人教A版数学选修2-3 3.1.2回归分析的基本思想及其初步应用(二)课件(共18张PPT)
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人教版高中选修2-3回归分析的基本思想及其初步应用课件
y=bx2+a 非线性关系
换元 t=x2 y=bt+a 线性关系
方案2解答
平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型 y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归 模型y=bt+a
温度
21
23
25
27
29
32
35
温度的平方t
441
529
625
729
841
1024
1225
产卵数y/个
产卵数y/个
350 300 250 200 150 100
50 0 0
t 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350
得：y=0.367x2 -202.543
当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，
从散点图看，还 象什么函数图像 的一部分？ 350
eˆi(2) yi yˆi(2) yi 0.367x2 202.543,i 1, 2,..., 7.
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115 325
eˆ(1) 0.557 -0.101 1.875 -8.950 9.230 -13.381 34.675 eˆ(2) 47.696 19.400 -5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968
令：z = lny, a = lnc1,b = c2
则y = c1ec2x就转换为：z = bx +a
温度xoC z=lny 产卵数y/个
21
数学：3.1《回归分析的基本思想及其初步应用》PPT课件(新人教A-选修2-3)
断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可 疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标 为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或 体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
非线性回归问题
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
收集了7组观测数据列于表中：
(4)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
2是、随数机据误点差和的它效在应回，归称直e$线i =上y相i 应$y位i 为置残的差差。异(yi $yi )
3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得
的值平方后加起来，用数学符号表示为：n ( yi $yi )2 i 1
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
3.1《回归分析的基本思想 及其初步应用》
教学目标
• 通过典型案例的探究，进一步了解回归分 析的基本思想、方法及初步应用.
• 教学重点：通过探究使学生体会有些非线 性模型通过变换可以转化为线性回归模型 ，了解在解决实际问题的过程中寻找更好 的模型的方法，了解可用残差分析的方法 ，比较两种模型的拟合效果.
29 841 66
32 1024 115
35 1225 325
作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为 y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802
将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543
当x=28时，y=0.367×282-
202.54≈85，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。
-30
-20
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标 为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或 体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
非线性回归问题
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
收集了7组观测数据列于表中：
(4)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
2是、随数机据误点差和的它效在应回，归称直e$线i =上y相i 应$y位i 为置残的差差。异(yi $yi )
3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得
的值平方后加起来，用数学符号表示为：n ( yi $yi )2 i 1
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
3.1《回归分析的基本思想 及其初步应用》
教学目标
• 通过典型案例的探究，进一步了解回归分 析的基本思想、方法及初步应用.
• 教学重点：通过探究使学生体会有些非线 性模型通过变换可以转化为线性回归模型 ，了解在解决实际问题的过程中寻找更好 的模型的方法，了解可用残差分析的方法 ，比较两种模型的拟合效果.
29 841 66
32 1024 115
35 1225 325
作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为 y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802
将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543
当x=28时，y=0.367×282-
202.54≈85，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。
-30
-20
人教A版高中数学选修2-3课件3.1回归分析的基本思想及其初步应用2新
2018/12/5
探究 对于一组具有线性相关关系的数据 x1, y1 , x 2 , y 2 , , xn , yn , 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小 二乘估计公式分别为: n
ˆx ˆ y b a
1
n
ˆ b
n
x
i1 n
i
x y i y
β
x
i1 n
n
i
x y i y
i
x
i1
x
, α y βx .
2
这正是我们所要推导的 公式.
下面我们通过案例 , 进一步学习回归分析的 基本思想及其应用 .
2018/12/5
例1 从某大学中随机选取 8名女大学生 , 其身高和体 重数据如表3 1所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/ cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 / kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的 身高预报她的体重的回 归方程, 并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重 .
2 n i1
由于Qα,β yi βxi y βx y βx α
n
2
y βx α y βx α
2 n 2
yi βxi y βx 2yi βxi y βx
解 由于问题中要求根 据身高预报体重 ,因此选 取身高为自变量 x , 真实 体重为因变量 y .作散点 图 (图3.1 1) :
2018/12/5
70 65 60 55 50 45 40
y
x
150 155 160 165 170 175 180
高中数学人教A版选修2-3课件：3.1回归分析的基本思想及其初步应用
问题导学
Байду номын сангаас
当堂检测
解:(1)由表画出散点图,如图所示.
问题导学
当堂检测
(2)从上图可看出,这些点基本上散布在一条直线附近,可以认为 x 和 y 线性相关关系显著,下面求其回归方程,首先列出下表.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ xi 5 .6 6 .0 6 .1 6 .4 7 .0 7 .5 8 .0 8 .2 54.8 yi 130 136 143 149 157 172 183 188 1 258 x2 i 31.36 36.00 37.21 40.96 49.00 56.25 64.00 67.24 382.02 y2 i 16 900 18 496 20 449 22 201 24 649 29 584 33 489 35 344 201 112 xiyi 728.0 816.0 872.3 953.6 1 099.0 1 290.0 1 464.0 1 541.6 8 764.5
例 1 某工厂 1~8 月份某种产品的产量与成本的统计数据见 下表:
月份 产量 (t) 成本 (万元) 1 5 .6 130 2 6 .0 136 3 6 .1 143 4 6 .4 149 5 7 .0 157 6 7 .5 172 7 8.0 183 8 8 .2 188
以产量为 x,成本为 y. (1)画出散点图; (2)y 与 x 是否具有线性相关关系?若有,求出其回归方程. 思路分析:画出散点图,观察图形的形状得 x 与 y 是否具有线性相关 关系.把数值代入回归系数公式求回归方程 . x
3.回归模型拟合效果的刻画
类 别 残差图法 残差点比较均匀地落在 特 点 水平的带状区域内,说明 选用的模型比较适合,这 样的带状区域的宽度越 窄,说明模型拟合精度越 高 残差平方和法 残差平方和
高中数学优质课件精选人教版选修2-3课件3.1回归分析的基本思想及其初步应用
a∧＝ y －b∧ x ＝－0.003 02， ∴回归方程为∧y＝1.041 5x－0.003 02.
• (3)残差分析
• 作残差图如下图所示，由图可知，残差点比 较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的 模型比较合适．
(4)计算相关指数 R2 计算相关指数 R2＝0.985 5.说明了该运动员的成绩的差异 有 98.55%是由训练次数引起的． (5)做出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程∧y＝1.041 5x－0.003 02 作为该运动员成绩的预报值． 将 x＝47 和 x＝55 分别代入该方程可得∧y＝49 和∧y＝57. 故预测该运动员训练 47 次和 55 次的成绩分别为 49 和 57.
5
所以，
(yi－∧yi)2＝0.3，
5
(yi－ y )2＝53.2，
i＝1
i＝1
5
yi－∧yi2
i＝1
R2＝1－
≈0.994，
5
yi－ y 2
i＝1
所以回归模型的拟合效果很好．
非线性回归分析
•
某地区不同身高的未成年男性的体重
平均值如下表：
身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
i＝1
1n
1n
＝_____n_i＝_1_x_i ____， y ＝____n_i＝_1_y_i ___.
• 2．变量样本点中心：( x_，__y _) ___________，回 归直线过样本点的中心．
• 3．线性回归模型y＝bx_＋_a_＋__e _______，a 其中b _____和_____是模e型的未知参数，___称为随 机解误释差变．量 自变量x又称为_预__报_变__量______，因变量 y又称为_____________．
新人教A版(选修1-2)1.1《回归分析的基本思想及其初步应用》ppt课件2
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：
（1）线性回归方程 yˆ bˆx aˆ 的回归系数 aˆ、bˆ ；
（2）求残差平方和；
R （3）求相关系数 2；
（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量 是预报变量。
线性关系
方案2
产卵数
400
300
200
100
气
温
0
-40 -30 -20 -10 0 -100
10 20 30 40
-200
方案2解答
平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a 就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a
温度
21
23
25
27
29
32
35
温度的平方t 441
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变 量y为预报变量。
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点（xi，yi ） 的残差。
ei =yi
yi
例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）
61 (0.849165 85.712) 6.627
残差平方和
把每一个n 残差所得的值平方后加起来，用数学符号表
身
高
异
与
常
体 重
点
残
差
• 错误数据
图
• 模型问题
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
高中数学人教A版选修2-3教学课件：3.1.2回归分析的基本思想及其初步应用(2)
～ ～ ～
(1)
～
^ ^ y ＝g(x，b)，其中a和b分别是参数 a 和 b 的估计值； (2)
^
• [例1] 以下是某地搜集到的新房屋的销售 价格y和房屋的面积x的数据： 房屋面积 115 110 80 135 105 2 (m ) 销售价格 • (1) 画出数据对应的散点图； 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (万元) • (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回 归直线； • (3)据(2)的结果估计当房屋面积为 150m2时 的销售价格．
∴^ e1＝2.2－2.54＝－0.34， ^ e2＝3.8－3.77＝0.03， ^ e3＝5.5－5＝0.5， ^ e4＝6.5－6.23＝0.27， ^ e5＝7.0－7.46＝－0.46. ∴残差平方和为 ( － 0.34)2 ＋ 0.032 ＋ 0.52 ＋ 0.272 ＋ ( － 0.46)2＝0.651.
• [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：
5 15 (2) x ＝5 xi＝109，lxx＝ (xi－ x )2＝1570， i＝1 i＝1
y ＝23.2，lxy＝ (xi－ x )(yi－ y )＝308.
i＝1 ^ ^ ^， 设所求回归直线方程为y＝bx＋a ^ lxx 308 则 b＝ ＝ ≈0.1962，a＝ y －b x ＝1.8166. lxy 1570
• 我们可以用残差图和相关指数R2＝
•
来刻画回归的效果．
• 4．建立回归模型的基本步骤 解释变量 • (1)确定研究对象，明确哪个变量是 预报变量 ，哪个变量是 ； 散点图 • (2) 画出确定好的解释变量和预报变量的 ，观察它们之间的关系 ( 如是否存 在线性关系等)； • (3) 由经验确定回归方程的类型 ( 如我们观 察到数据呈线性关系，则选用线性回归方 程 )；
(1)
～
^ ^ y ＝g(x，b)，其中a和b分别是参数 a 和 b 的估计值； (2)
^
• [例1] 以下是某地搜集到的新房屋的销售 价格y和房屋的面积x的数据： 房屋面积 115 110 80 135 105 2 (m ) 销售价格 • (1) 画出数据对应的散点图； 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (万元) • (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回 归直线； • (3)据(2)的结果估计当房屋面积为 150m2时 的销售价格．
∴^ e1＝2.2－2.54＝－0.34， ^ e2＝3.8－3.77＝0.03， ^ e3＝5.5－5＝0.5， ^ e4＝6.5－6.23＝0.27， ^ e5＝7.0－7.46＝－0.46. ∴残差平方和为 ( － 0.34)2 ＋ 0.032 ＋ 0.52 ＋ 0.272 ＋ ( － 0.46)2＝0.651.
• [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：
5 15 (2) x ＝5 xi＝109，lxx＝ (xi－ x )2＝1570， i＝1 i＝1
y ＝23.2，lxy＝ (xi－ x )(yi－ y )＝308.
i＝1 ^ ^ ^， 设所求回归直线方程为y＝bx＋a ^ lxx 308 则 b＝ ＝ ≈0.1962，a＝ y －b x ＝1.8166. lxy 1570
• 我们可以用残差图和相关指数R2＝
•
来刻画回归的效果．
• 4．建立回归模型的基本步骤 解释变量 • (1)确定研究对象，明确哪个变量是 预报变量 ，哪个变量是 ； 散点图 • (2) 画出确定好的解释变量和预报变量的 ，观察它们之间的关系 ( 如是否存 在线性关系等)； • (3) 由经验确定回归方程的类型 ( 如我们观 察到数据呈线性关系，则选用线性回归方 程 )；
《回归分析的基本思想及其初步应用》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第3.1课时)
因此，Q(α,β) = n [yi - βxi - (y - βx)]2 + n(y - βx - α)2 i =1
n
2
n
n
2
= β2 (xi - x) - 2β (xi - x)(yi - y) + (yi - y) + n(y - βx - α)2
i=1
i=1
i=1
n
2
n
(xi - x)(yi
的值均为0，即有
n
(xi - x)(yi - y)
β = i=1 n
(xi - x)2
i =1
这正是我们所要推导的公式.
新知探究
例题1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编号 身高/cm 体重/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
165 165 157 170 175 165 155 170
(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)
而言，它们的随机误差为ei=yi-bxi-a，i=1，2，…，n，
其估计值为 eˆ yi yˆ i yi bˆ xi aˆ，i 1，，2，...n,
要牢记！
eˆ i称为相应于点(xi，yi)的残差(residual).
新知探究
思考 如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？ （1）可以利用残差图来分析残差特性；
课堂练习
1. 某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了了解学生身体素质情况，采用按年级分层抽 样的方法，从该学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为_________. 解析：本题考查抽样的方法. 由已知抽样比200/2000=1/10，故样本中高三学生数为500*（1/10）=50.
高中数学人教课标版选修2-3《回归分析基本思想及其初步应用(第2课时)》课件
1.137
54.373
6.627
45.883
-2.883
58.618
0.382
我们可以利用图形来分析残差.作图时纵坐标为残差，横坐标可以选
为样本的编号或者解释变量的数值，这样作出的图形称为残差图.下表是 以女大学生编号为横坐标的残差图
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：什么是残差、及残差平方和、如何用残差判断拟合效果？
重点、难点知识★▲
从残差图中可以看到第 1 个样本点和第 6 个样本点的残差较大，需 要确认是否出现人为的错误.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：什么是残差、及残差平方和、如何用残差判断拟合效果？
重点、难点知识★▲
残差所能说明的情况： ①样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错 误或其他原因； ②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的 模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回 归方程的预报精度越高.
次数/x 成绩/y 30 30 33 34 35 37 37 39 39 42 44 46 46 48 50 51
根据数据分别计算相关系数、残差、相关指数
，判断能否用线性
回归模型，若能求出回归方程并试预测该运动员训练47次以及55次 的成绩，若不能说明理由.
详解：
（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示： 由散点图可知，它们之间具有线性相关关系.
y=bx+a+e中的bx+a.由于随机误差e=y-(bx+a)，所以 值.对于样本点 而言，它们的随机误差为
其估计值为 称 是相对于点 的残差.
知识回顾
54.373
6.627
45.883
-2.883
58.618
0.382
我们可以利用图形来分析残差.作图时纵坐标为残差，横坐标可以选
为样本的编号或者解释变量的数值，这样作出的图形称为残差图.下表是 以女大学生编号为横坐标的残差图
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：什么是残差、及残差平方和、如何用残差判断拟合效果？
重点、难点知识★▲
从残差图中可以看到第 1 个样本点和第 6 个样本点的残差较大，需 要确认是否出现人为的错误.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：什么是残差、及残差平方和、如何用残差判断拟合效果？
重点、难点知识★▲
残差所能说明的情况： ①样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错 误或其他原因； ②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的 模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回 归方程的预报精度越高.
次数/x 成绩/y 30 30 33 34 35 37 37 39 39 42 44 46 46 48 50 51
根据数据分别计算相关系数、残差、相关指数
，判断能否用线性
回归模型，若能求出回归方程并试预测该运动员训练47次以及55次 的成绩，若不能说明理由.
详解：
（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示： 由散点图可知，它们之间具有线性相关关系.
y=bx+a+e中的bx+a.由于随机误差e=y-(bx+a)，所以 值.对于样本点 而言，它们的随机误差为
其估计值为 称 是相对于点 的残差.
知识回顾
人教a版数学选修2-3全册课件：第三章 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(优秀经典公开课比赛课件)
精确度越高．
3．利用相关指数 R2 刻画回归效果
n
yi－^y i2
i＝1
1－
其计算公式为：R2＝
n
yi－ y 2
i＝1
，
其几何意义： R2越接近于1 ，表示回归效果越好．
[化解疑难] 1．在线性回归模型中，因为 e 是一个随机变量，所以 可以通过其数字特征来刻画它的一些总体特征． 2．在线性回归模型中，R2 表示解释变量对于预报变量 变化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i1 23 4
5 合计
xi 2
yi 30
xiyi 60
x2i
4
45 6 40 60 50 160 300 300 16 25 36
8 25 70 250 560 1 380 64 145
所以， x ＝255＝5， y ＝2550＝50，i＝51x2i ＝145，
[类题通法] 求线性回归方程的步骤
(1)列表表示 xi，yi，xiyi，x2i ；
n
n
(2)计算 x ， y ， xi2， xiyi；
i＝1
i＝1
(3)代入公式计算^a，^b的值； (4)写出线性回归方程．
[活学活用] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山下建立了 一个观测站，测量了最大积雪深度 x(尺)与当年灌溉面积 y(千 亩)，得到连续 10 年的数据于下表：
问题2：所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？ 提示：可以，但拟合程度很差．
[导入新知]
1．回归分析 回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析 的一种常用方法． 2．回归直线方程 方程^y ＝^bx＋^a是两个具有线性相关关系的变量的一组 数据(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中^a，^b是 待定参数，其最小二乘估计分别为：
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用( 二)课件(人教A版选修2-3)
编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg 这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。
用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。
数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
5. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系
6. 了解残差图的作用
7. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
2021/1/20
8. 正确理解分析方法与结果
郑平正 制作
回归分析的内容与步骤：
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释 另一变量的变化。
即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的值。
2021/1/20
郑平正 制作
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
n
R2
1
( yi yi )2
用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。
数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
5. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系
6. 了解残差图的作用
7. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
2021/1/20
8. 正确理解分析方法与结果
郑平正 制作
回归分析的内容与步骤：
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释 另一变量的变化。
即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的值。
2021/1/20
郑平正 制作
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
n
R2
1
( yi yi )2
高中数学人教A版选修2-3第三章3.1回归分析的基本思想及其初步应用 课件(共46张PPT)
现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等
探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规 律？
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
（3）预报一名身高为172cm的女大学生的体重？
【解】列出下表
编号i 1
23 4
5
6
7
8
身高xi 165 165 157 170 175 165 155 170
体重yi 48 57 50 54 64 61 43 59
xiyi 7920 9405 7850 9180 11200 10065 6665 10030
-1.0 -0.75 -0.25 0 0.25 0.5 1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
6、用相关指数R2来刻画拟合效果
n
n
( yi yi )2
(yi y)2
R2
1
i 1 n
i1 n
[0,1]
残差平 方和
( yi y)2
( yi y)2
总偏差
i 1
i 1
平方和
1、R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差。
型来拟合
z ax b e
(2) ②用模型y c3 x2 c4来拟合，令t x2， 则y c3t c4，
列出变换后数据表并画出y与t 的散点图：
t 441 529 625 729 841 1024 1225
y 7 11 21 24 66 115 325
环境等因素； 3、身高 y 的观测误差。
高中新课标数学人教A版选修2-3课件：3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 (共55张PPT)
^ ＋b ^x 中的b ^表示 x 增加 1 个单位时， (3)线性回归方程^ y＝a y 的平均 ^，而a ^表示 y 不随 x 的变化而变化的量． 变化量为b ^ ＋b ^x 预测在 x 取某一个值时 y 的估计 (4)可以用线性回归方程^ y＝a 值．
【练习 4】 有下列说法： ①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明 选用的模型比较合适； ②用 R2 可以刻画回归的效果，R2 值越大，说明模型的拟合效果越 好； ③对于已获取的样本数据，残差平方和越小，即模型的拟合效果 越好． 其中说法正确的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
Байду номын сангаас
n
.②
【练习 2】 观察两个相关变量的如下数据： x －1 －2 －3 3 2 1 －4 －5 5 4 y －0.9 －2 －3.1 －3.9 －5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9 则两个变量间的回归直线方程为( ) A.^ y＝0.5x－1 C.^ y＝2x＋0.3 B.^ y ＝x D.^ y＝x＋1
y＝bx＋a＋e， Ee＝0， 在此线性回归的模型中， 随机误差 e 的方差 σ2 越小， De＝σ2.
用 bx＋a 预报真实值 y 的精度越高．
2．残差分析 (1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)而言，对应 于它们的随机误差为 ei＝yi－^ y＝yi－bxi－a，i＝1,2，„，n，其估计值 ^xi－a ^，i＝1,2，„，n，^ 为^ ei＝yi－^ yi＝yi－b ei 称为对应于点(xi，yi)的残 差． (2)利用残差图进行残差分析的具体步骤如下： ①计算每组观测数据的残差，^ ei＝yi－^ y i(i＝1,2，„，n)，即残差 等于观测值减预测值； ②画残差图．残差图的纵坐标为残差，横坐标通常可以是观测样 本的编号、自变量 x 或因变量的预测值等，残差图是一种散点图； ③分析残差图．
高中数学人教A版选修2-3：回归分析的基本思想及其初步应用课件
体重/kg 48
57 50
54
64
61
43
59
eˆ 残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图） 来分析残差特性.
残差
8
6
4
2
0
系列1
-2 0
2
4
6
8
10
-4
-6
-8 编号
由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大， 需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的 错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新 利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误， 则需要寻找其他原因.
1 n
n i 1
yi .
(x,
y) 称为样本点的中心
对两个变量进行的线性分析叫做线性 回归分析。
2、求线性回归直线方程的步骤：
第一步：列表（把数据整理成表格）；
n
n
第二步：计算：x,
y,
xi
y ， i
x2 ； i
i 1
i 1
第三步：代入公式计算b,a的值；
第四步：写出直线方程：
yˆ bˆx aˆ
分析：由于问题 中要求根据身高 预报体重，因此 选取身高为自变 量，体重为因变 量．
1. 散点图； 2.回归方程：
yˆ 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重
yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
探究？
身高为172ｃｍ的女大学生的体重一定 是60.316kg吗？如果不是,其原因是什 么?
判断方法：
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1 0.272 x 3.843 y e
模型一 二次函数模型
350 300 250
产卵数
200 150 100 50 0 20 22 24 26
y c3 x c4
2
28 温度 30 32 34 36
令t=x2,可得y=c3t+c4 将y关于x的非线性回归方程转化为y关于t的线性 回归方程
23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325
对应的残差表
x y 21 7
1 0.518 -0.167 1.760 -9.149 8.889 -14.153 32.928 e 2 47.693 19.397 -5.835 -41.003 -40.107 -58.268 77.965 e
红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的数据表及散点图 t y 441 7
350 300 250
529 11
625 21
729 24
841 66
1024 1225 115 325
产卵数
200 150 100 50 0
400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
温度的平方
2.残差平方和;
2 µ (y µ e y ) i i i i 1 i 1
n
2
n
3.相关系数r和相关指数R2; R 2 1
2 yi y i
i 1 n
n
y
i 1
i
y
非线性相关的回归问题
例2 一只红铃虫的产卵数y各温度x有关.现收集了7组
(3)非线性相关问题中常见的几种线性变换
(1) 二次函数型： y bx2 a ，可令 t x2 ，原方程可化为
y bt a ；
(2) 指数型函数： y aebx ，可以两边同时取以 e 的对数， 可得 ln y bx ln a ，再令 z ln y ， a ln a ， 原方程可化为 z bx a ； b 1 (3) 反比例函数: y a ,可令 t , x x 原方程可化为 y a bt ;
方式一：利用残差平方和比较拟合效果 比较两个模型的残差平和的大小来判断模型的拟合 效果. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.
1 2 Q 1450 .673< , Q 15448 .432
方式二：利用相关指数比较拟合效果
R12 0.98 R22 0.80
可以用R2来比较两个模型的拟合效果 R2越大,拟合的效果越好
利用残差来分析
y关于x的指数回归方程：
y关于x的二次回归方程 两方程的残差
1 0.272 x 3.843 y e
2 2 y 0.367x 202.54
1 1 ei yi yi yi e 0.272 x 3.843 , i 1,2, ,7 2 2 2 ei yi yi yi 0.367xi 202.54, i 1,2, ,7
总结:比较两个拟合效果的步骤
) 1 ) 1 分别建立对应于两个模型的回归方程y f x, a ) ) 2 与y g x, $ b , 其中a 和b 分别是参数a和b的估计值;
2 分别计算两个模型的相关指数R 和R
2 1
2 2
.
（3）比较两个模型的相关指数大小，相关指数R2 越大的模型拟合效果越好.
x z 21 23 25 27 29 Nhomakorabea32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
7 6
产卵数的对数
5 4 3 2 1 0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36
得到线性回归方程为
z 0.272 x 3.843
红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
在彩显影中,由经验可知 :形成染料光学密度 y 与析出银的光学密度 x 由公式
y Ae (b 0) 表示.现没得试验数据如下:
b x
试求y对x的回归方程．
课堂练习
(2)关于x与y有如下数据
x
y
2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
为了对 x、 y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模 型：甲模型^ y ＝ 6.5x＋ 17.5，乙模型^ y ＝ 7x＋ 17，试比较哪一 个模型拟合的效果更好．
【方法技巧】非线性回归问题的处理方法
(1)两个变量不呈线性关系,不能直接利用线性回归方程建立两
个变量的关系,可以通过变换的方法转化为线性回归模型． (2)非线性回归方程的求法 ①根据原始数据(x,y)作出散点图; ②根据散点图,选择恰当的拟合函数; ③作恰当的变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程; ④在③的基础上通过相应的变换,即可得非线性回归方程.
温度x/℃ 产卵数y/个 21 7 23 11
350 300 250 200 150 100 50 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36
观测数据列于下表中,试建立y与x之间的回归方程. 25 21
产卵数
27 24
29 66
32
35
115 325
解:根据收集的数据作 散点图(如右图). 在散点图中,样本点并 没有分布在某个带状区 域内,因此两个变量不 满足线性关系,所以不 能利用线性回归模型来 刻画两个变量之间的关 系.
人教A版选修2-3 第三章
3.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用 (二)
复习回顾
一 求线性回归直线方程
$ y $ bx $ a
二 评价模型拟合效果的几个基本量
µ y µ µ , i 1, 2, , n yi yi $ bxi a 1.残差与残差图; e i i i
温度
模型一 指数型函数模型
350 300 250
两边同时取以 e为底的对数
产卵数
200 150 100 50 0 20 22 24 26 28 温度
y c1e
30 32 34
c2 x
令z=lny
36
样本点分布在直线 z=bx+a (a=lnc1,b=c2)
将指数关系变为线性关系
变换后的样本数据及其散点图