统计量数 - 欢迎光临,国立台北大学

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統計量數

集中趨勢量數 離散趨勢量數 相對位置量數 分配形態量數
集中量數（Measures of Central Tendency）

平均數
– – – – –
–
算術平均數 加權平均數 幾何平均數 調和平均數 截尾平均數 溫塞平均數

中位數 眾數
算術平均數（Arithmetic Mean）

分組資料：
kn c Pk L ( F) 100 f
四分位數（Quartile）

為百分位數的特殊應用，亦即第一個四分位數 (Q1)代表第二十五百分位數、第二個四分位數 (Q2) 代表第五十百分位數，亦為中位數，第 三個四分位數(Q3)則為第七十五百分位數。
標準分數（Standard score）
SK ( M 0 )

(或
3( x Md )

)
M0：眾數 Md：中位數 a. SK = 0對稱分配 b. SK > 0右偏分配 c. SK < 0左偏分配
正負偏態時，平均數、中位數、和眾數的 關係
峰度係數
m4 2 4 3 s
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則此分配為常態峰 則此分配為高狹峰 則此分配為低闊峰

算術平均數簡稱平均數，亦稱非加權平均數 (unweighted mean)。其運算公式如下：
–
未分組資料：
分組資料：
n
M X
X
i 1
n
i
n
M X
fm
i 1 i
i
n
加權平均數（ Weighted Mean ）

加權平均數適用於當各個數值之重要程度不同， 須使用不同權數表示不同比重時。

原動差：當 a = 0 時之 動差
m

' r
1 n
x
i 1
n
r i
主要動差：當 a =
x
時之動差
1 n r mr ( xi x ) n i 1
偏態(skewness)係數

動差法
1
m3 s3
1 0
1 0
對稱分配 右偏分配 左偏分配
1 0

Pearson法
Z
X

~ N(0,1)
分配形態量數（Measure of Distribution Shape）

動差 偏態 峰度
動差


定義：一群數字資料中每個數值與某特定值差 異之r次方的平均數，稱為r階動差。 概約動差
– 對任一實數a為特定值之動差，又稱之為輔助動差。
n 1 ' r mr ( xi a ) n i 1
n
s2

i 1
k
f i ( mi x ) 2 n 1
標準差（Standard Deviation, SD）

標準差為變異數的正平方根
母體的標準差
樣本的標準差
2
2 ( x x ) i i 1 n

(X i )
i 1
N
N
s
n 1
變異係數（Coefficient of Variation, CV）

當kn/100不為整數時，使用內差法的公式為
Pk X ([ kn /100 ]1) ( X ([ kn /100 ] 2) X ([ kn /100 ]1) ) k ([kn / 100]) /(n 1) *( ) ([kn / 100] 1) /(n 1) ([kn / 100]) /(n 1)
契比雪夫不等式（Chebyshev’s Inequality）
不論資料為何種分佈，至少有（1 – 1/k2）的資料落在距離平均數k個標 準差的範圍內，其中k為大於1的任意數。
1 p[(| X |) k ] 1 2 k
1 p[(| X |) k ] 2 k
相對位置量數（Measures of Relative Position）

變異係數是由標準差變化而來的另一量數，為將標準 差除以平均數所得。變異係數的主要功用是用以比較 單位不同之多種資料的差異程度；或用以比較單位相 同，但平均數不同之多種資料的差異程度。
SD CV M
四分位數距（Inter-quartile range）及 四分差（Quartile Deviation, QD）
Mw
W X
i 1 n i
n
i
W
i 1
i
幾何平均數（Geometric Mean）

幾何平均數適用於平均改變率、平均成長率、平均比率或是 對數分配等之資料的平均之求算。常見的幾何平均數有平均 經濟成長率、物價等具有基期之資料。
GM n X 1 X 2 X n n
X
i
n
i
調和平均數（Harmonic Mean）


若資料呈現調和級數（資料的倒數為等差級數）時， 適用調和平均數來計。在實際的應用中，如物價固定 下的平均物價、距離固定下之平均時速等資料皆適合 使用。 (調和平均數永遠小於幾何平均數，而幾何平均數又小 於算術平均數。)
HM
n

i
n
1 Xi
截尾平均數（Trimmed mean）


分組資料：
n F Md L ( 2 )c f
眾數（Mode）

眾數係指在一群體中出現次數最多的那個數值。通常它適 用名義尺度資料。
未分組資料：
–


分組資料：
–
將資料依序歸類， 找出出現次數最多 的數值，即為眾數。
使用King插補法
fa Md L ( )c fb fa
平均數、中位數、眾數的比較

尺度特性
– –
–
名義尺度：眾數 序列尺度：眾數或中位數 等距尺度及比例尺度：平均數 眾數：具有作為類別資料的判斷準則（例如在民意的表達，少數服 從多數）、不受極端值影響等之優點。但是如果觀察值的分佈並不 集中，則不適用眾數為判斷準則；另外眾數不適合數學運算。 中位數：具有不受極端值的影響，代表機率累積到中位數時所佔之 機率值為50％等優點。但是中位數一樣不適合數學運算。 算術平均數：具有可進行四則運算、誤差平方和（Error sum of squares）最小、母體平均數的最佳估計式等優點。但是容易受極端 值影響及資料分配呈現雙峰分配時，無法代表集中趨勢。
中位數（Median）

將統計資料依其大小排列，而其位置居於中間者，為該 群資料的中位數
未分組資料： – 首先將n個數值由小而大 順序排列，然後決定中位 數所在位次，如果樣本大 小n 為偶數，則以第n/2個 與n/2+1個數值的平均值 為中位數，如果樣本大小 n為奇數， 則以第(n+1)/2 個數值為中位數。
四分位數距 四分位差
IQR Q3 Q1
Q3 Q1 IQR QD 2 2
各種離散趨勢量數的比較 Nhomakorabea

全距：優點為計算容易，易於瞭解，缺點是只使用了資料中的極 大值與極小值，不能充份表達資料的分散情況而且易受資料中的 極端值的影響。 四分位距及四分位差：優點為使用第三及第一四分位數，避免受 極端值的影響；但是和全距一樣，不能充份表達資料的分散情況。 平均絕對離差：相對於全距及四分位距等量數，平均絕對離差使 用了全部的資料來計算；但是因為其運算是使用絕對值的方式， 在計算上較為不便。 變異數：和平均絕對離差一樣，變異數在計算上使用了全部的資 料，而且其計算較為方便；但是變異數較平均容易受極端值的影 響、

截尾平均數為將資料中的第一四分位數以下、 第三四分數位以上的觀察值去除後，計算剩餘 觀察值（第一和第三四分位數中間的數值）的 算術平均數。
溫塞平均數（Winsorized mean）

將資料中第一四分位數以下、第三四分數位以 上的觀察值分別以第一四分位數及第三四分數 位代替之，然後計算算術平均數。

百分位數 四分位數 標準分數
百分位數（Percentile）

將原始資料由小至大排序後，累積次數到達第 k％的觀測值，稱為第k百分位數；其表示方法 為「Pk」

原始資料
–
以遞增方式將原始資料排序，(1)≦X(2)≦、、≦X(n)
–
當kn/100為整數時，使用內差法的公式為
Pk X ([ kn /100 ]) ( X ( kn /100 1) X ( kn /100 ) ) k (kn / 100 1) /(n 1) *( ) (kn / 100) /(n 1) (kn / 100 1) /(n 1)

優缺點
–
– –
變異量數(Measures of Dispersion)或離 散量數

全距 平均絕對離差 變異數 標準差 變異係數 四分差
全距（Range, R）

全距是表示一群體全部數值的變動範圍。其計算簡單、意義 顯明，但反應不夠靈敏，即最大、最小數值不變而其它各項 數值皆改變時，全距不能反應；此外，全距容易受兩極端數 值的影響。
R X max X min
平均絕對離差（Mean absolute Deviation）

平均絕對離差係用以表示所有觀測值與平均數之絕對值差異距離。 由於其係根據全部數值求得，故較全距感應靈敏，但因使用絕對 值運算，較不易計算，故較不常使用。
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X
i 1
n
i
X
n
變異數（Variance）

變異數係用以顯示一群體中所有數值與平均數離散 的情形，應用最為廣泛。
未分組資料
母體變異數 樣本變異數
2
2
(X
i 1
N
i
)
N

X
i 1
N
2 i
n
2
N
s2
2 ( x x ) i i 1
n
n 1
母體變異數
樣本變異數

2
f (m
i 1 i
k
i
x)
2