牛吃草

14、某火车站检票前开始排队,假若前 来排队检票的人数均匀增加.若开5 个检票口,需要30分钟可以检完；若 开6个检票口,需要20分钟可以检完； 问要10分钟进完，需要开多少个检 票口？
15、现欲将一池塘水全部抽干,但同时 有水匀速流入池塘.若用8台抽水机 10天可以抽干；用6台抽水机20天 能抽干.问：若要5天抽干水,需多少 台同样的抽水机来抽水?
设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过 （5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客 （4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客 （4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。 假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消， 其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客 为 （4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。 60÷（7-2）=12（分钟）。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200





份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。 前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者 是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加 10天新长出的草。 200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃 的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 （l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100 （份）。 现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有 25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20 头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。 所以，这片草地可供25头牛吃5天。
11、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴 子可在9周内吃光，21只猴子可在12周 内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则 需要几周吃光？（假定野果生长的速度 不变）
11、把每只猴吃一周的野果数量视为1份
23只猴9周吃掉23×9=207份 21只猴12周吃掉21×12=252份 那么12周与9周时间相差的252-207=45份就 是12-9=5周新长的 则每周新长（252-207）÷（12-9）=15份 原来一开始吃之前已经有207-15×9=72份 把33只猴分成2批,一批每周去吃新长出来的, 一批去吃原来就有的72份, 当把原有的72份都吃光的同时刚好另一批把 新长的也吃光. 72÷（33-15）=4周吃光
片草若用17人去割，30天可以割完；若用19人去割， 则只需24天就能割完．现在需要6天将草割完，至 少要多少个人？
设每人每天割草1份， 原有草+30×草每天生产量=17×30…① 原有草+24×草每天生产量=19×24…② ①-②，得：草每天生产量=（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份） 带入①，得：原有草=（17-9）×30=240（份） 首先让9人割草来平衡草的生产量，没有新的积压， 另外每天需要的人数：240÷6=40（人） 9+40=49（人） 答：至少要49个人．
13、某车站在检票前若干分钟就开始排队，
每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到 等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30 分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时 打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，
“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于 “牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票 前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始 检票后新来的旅客。
16、一只船发现漏水时,已经进了一些 水,现在水匀速进入船内,如果10人淘 水,3小时可淘完；5人淘水8小时可 淘完.如果要求2小时淘完,要安排多 少人
16、解：设一人一小时淘出的水量定 为1, 3小时的总水量 10×3=30 8小时的总水量 5×8=40 每小时的进水量 （40-30）÷（8-3） =2 2小时的总水量 30-2=28 需要的人数28÷2÷1=14（人） 故2小时淘完,要安排14人
5、设每人每天割草1份，
原有草+30×草每天生产量=17×30…① 原有草+24×草每天生产量=19×24…② ①-②，得：草每天生产量=（17×30-19×24）× （30-24）=9（份） 带入①，得：原有草=（17-9）×30=240（份） 首先让9人割草来平衡草的生产量，没有新的积压， 另外每天需要的人数：240÷6=40（人） 9+40=49（人） 答：至少要49个人．
是︰ 假设定一头牛一天吃草量为“1” 1）草的生长速度＝（对应的牛头数× 吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天 数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的
生长速度×吃的天数；` 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草 的生长速度）； 4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的 生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。
9、假设地球上新生成的资源的增长 速度是一定的，照此测算，地球上 资源可供110亿人生活90年，或90 亿人生活210年，为使人类能不断繁 衍，那么地球上最多能养活多少人？
9、
设每1亿人，每年消耗资源为1份 那么110亿人90年消耗资源： 110×90=9900份 90亿人210年消耗资源为： 90×210=18900份 每年新生资源： （18900-9900）/（210-90）=75份 为使人类能够不断繁衍，那么每年消耗的资 源数量不能超过再生的资源数量 所以地球最多能养活75亿人
在例1的解法中要注意三点： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情
况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中 几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草， 根据吃的天数可以计算出原有的草量。 （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草， 其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出 能吃几天。
12、有一池泉水,泉底不断涌出泉水,
且每小时涌出的泉水一样多,如果用 10部抽水机,20小时能把全池泉水抽 干,如 果用15部抽水机10小时能把 全池泉水抽干,那么用30部抽水机几 小时能把泉池泉水抽干?
典型的牛吃草问题, 1：泉水涌出速度=（10×2015×10）÷（20-10）=5 2：原有水量=10×20-5×20=100 3：抽水天数=100÷（35-5）=4小 时
导入：“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可
供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们 一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果 我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草 地”，问题就不那么简单了，因为草每天都 在生长，草的数量在不断变化。这类工作总 量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问 题，牛吃草问题是牛顿问题的俗称。
3、一片牧草，每天生长的速度相同， 练习 3：20天，可供 这片牧草可供10 头牛吃 15头牛吃10天，可供30头牛吃多少 天？
假设每头牛每天吃草1份. 练习 3 ： 10×20＝200份 15×10＝150份 200－150＝50份 草场每天长草：50÷﹙20－10﹚＝5份 草场原来有草：200－5×20＝100份 让5头牛吃新草，则余30-5=25头牛吃老 草， 100÷25＝4（天） 答：30头牛,这片牧草4天正好被吃完.
英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学 题：牧场上一片青草，每天牧草都匀速 生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或 者可供15头牛吃10天。问：可供25头 牛吃几天？
假设每头牛每天吃草1份. 10×20＝200份 15×10＝150份 200－150＝50份 草场每天长草：50÷﹙20－10﹚＝5份 草场原来有草：200－5×20＝100份 让5头牛吃新草，则余25-5=20头牛吃老草， 100÷29＝5（天） 答：25头牛,这片牧草5天正好被吃完.
8、一片牧场,24头牛,6天可以将草吃 完.21头牛,8天可以吃完.要使牧场草 永远吃不完,至多可以 放牧几头牛吃 完牧草（草每天增长的量是相等的, 每头牛吃草的量也是相等 ）
8、24头奶牛6天吃的草量：24×6=144 （份） 21头8天吃完的草量：21×8=168（份） 每天新长的草量：（168-144）÷（8-6） =12（份） 要使牧场的草永远吃不完,最多放养12头 奶牛. 答：略.
的量是相等的,每头牛吃草的量也是相等 ）
7、（1）24头牛6天所吃的牧草为：24×6＝144
（这144包括牧场原有的草和6天新长的草.） （2）21头牛8天所吃的牧草为：21×8＝168 （这168包括牧场原有的草和8天新长的草.） （3）1天新长的草为：（168－144）÷（8－6） ＝12 （4）牧场上原有的草为：24×6－12×6＝72 （5）每天新长的草足够12头牛吃,16头牛减去12头, 剩下4头吃原牧场的草： 72÷（16－12）＝72÷4＝18（天） 所以养16头牛,18天才能把牧场上的草吃尽.
牛吃草问题
郑航附小 刘

由于牛在吃草的过程中，草是不 断生长的，所以解决消长问题的重点 是要想办法从变化中找到不变量。牧 场上原有的草是不变的，新长的草虽 然在变化，但由于是匀速生长，所以 每天新长出的草量应该是不变的。正 是由于这个不变量，才能够导出上面 的四个基本公式。
牛吃草问题的公式
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别
2、一片牧场长满草，每天均速生长。 2 8天，可供14 这片牧场可供练习 5头牛吃 头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？
设1头牛1天吃的草为1份 牧场上的草每天自然生长（8×514×2）÷（8-2）=2（份）； 原来牧场有草5×8-2×8=24 （份）； 让2头牛去吃新草 可供10头牛吃24÷（10-2）=3 （天）.
1、一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草 可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么， 可供21头牛吃几周？