网络学院概率论与数理统计模拟题五
概率统计试题5
《概率论与数理统计》试卷（A ）注：可能用到的数据()()()()()()()()()()()0.050.0250.050.050.0250.02522220.9750.9750.0250.0251.645,1.96,4 2.3138,5 2.0150,004 2.7764,5 2.5706, 1.6450.95, 1.960.9756 1.237,7 1.1.690,614.449,716.013z z t t t t χχχχ====Φ===Φ=Φ=====一、填空题（每小题4分，共40分）1．设3/1)()(==B P A P ，()1/2P A B = ，则()|P A B = 3/4 2．设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x x x fY 表示对X 的三次独立重复观察试验中事件{}2/1≤X 出现的次数，则{}==2Y P 9/643．设随机变量()()0,~2>σσμN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12，则=μ 44．设随机变量1X 与2X 有相同的分布，其分布律为{}114i P X =-=， {}102i P X ==， {}114i P X ==， 1,2i =且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P 05．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，令1232-+=X X Y ，则Y的数学期望()E Y = 1532-+λλ6．设随机变量X 的数学期望()μ=X E ，方差()2σ=X D ，则由切比雪夫不等式，有{}≤≥-σμ3X P 1/97．设121,,,,+n n X X X X 是来自正态总体()2,σμN 的样本，记∑==ni i X nX 11， ()∑=--=ni iXX n S 12211，则统计量1n X Sμ+-服从___t____分布，自由度为 n-18．已知总体X 的概率密度为()1,01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他1θ>-设n X X X ,,,21 为X 的样本，则参数θ的矩估计量为ˆθ= ˆθ=211X X--9．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F则==}1{2XP ____ 3/8_10．随机变量X 在区间[]1,2-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则Y 的方差()D Y = 8/9二 、（10分）设有来自A 、B 、C 三个地区考生报名表各10份、15份和25份，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，今随机地抽取一份报名表。
概率论与数理统计模拟题训练
X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本，求θ 的最大似然估计量。
四、应用题 1．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，
它取 1 元，2 元，3 元，各个值的概率别为 0.3, 0.4, 0.3 ，某天售出 250 只蛋糕，试用中心极限定理求这天
(B) T = X − µ S2 / n
5．在假设检验问题中，检验水平α 的意义是（
(C) T = X − µ S3 / n
）
(D) T = X − µ S4 / n
(A) 原假设 H0 成立，经检验被拒绝的概率；
(B) 原假设 H0 成立，经检验不能被拒绝的概率；
(C) 原假设 H0 不成立，经检验被拒绝的概率； (D) 原假设 H0 不成立，经检验不能被拒绝的概率；
P{X
≥
500}
=1−
P{X
<
500}
=1−
⎧ P⎨
X
−
500
<
500
−
500 ⎫ ⎬
⎩ 150
150 ⎭
=
1−
P
⎧ ⎨
X
−
500
<
⎫ 0⎬
=
1−
Φ(0)
=
0.5
⎩ 150 ⎭
2.
解： X
~
σ2 N (66.5, )
n
，设 H 0 : X = 70 , H1 : X ≠ 70 ，
则
T
=
X S
−
µ
~
t(n
10、10 个乒乓球中有 6 个新球，4 个旧球，从中任取两个，已知所取的两个球中有一个是旧球，则另一个
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
概率论与数理统计习题集及答案_5
概率论与数理统计习题集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：.(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：.(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为：.2. 设}42:{},31:{},50:{≤（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。
概率论与数理统计模拟考试题目及答案
概率论与数理统计复习题（一）一．填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
(整理)概率论与数理统计模拟试卷
概率论与数理统计模拟试卷(A )一、填空题(3%⨯7=21%)1. 设A ,B ,C 表示事件,则事件“A 和B 至少有一个发生而C 不发生”可表示为___________2. 设B A ,为随机事件,7.0)(=A P ,3.0)(=-B A P ,则(|)_______P B A =3. 已知随机变量),3(~p B X ,且2719)1(=≥X P ,则._____=p 4. 设随机变量X 的分布函数为0 10.411()0.81313x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,则{13}P X -≤≤=______5. 设随机变量X 的概率密度为)(x f ＝1[0,1]32[3,6]90x x ⎧∈⎪⎪⎪∈⎨⎪⎪⎪⎩若若其它,则{0.5 3.5}P X ≤≤＝____6. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为且P(X =0|Y =0)=0.1,则：随机变量X 与Y ____(填“是”或“不”)相互独立.7. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-- . ,0,,);()(θθθθx x e x f x 若若而n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为___________. 二、判断题(下列各小题你认为正确的在题后打“ ”否则“⨯”) (2%⨯5=10%)8. .A B A B 若事件与互不相容，则与相互对立 ( )9. 概率是0的事件就是不可能事件. ( ) 10. .A B A B 若事件与相互独立，则与也相互独立 ( ) 11. 随机变量只有离散型与连续型两种类型 ( ) 12. ()0X Y X Y 若二维随机变量，的相关系数为，则与相互独立. ( ) 三、选择题(3%⨯5=15%)0 1 20 0.04 0.08 b 1 a 0.12 0.08 Y X13. 若当事件C 发生时，事件A 与B 必同时发生，则（ ）.（A ）)(C P ≤)(A P ＋)(B P ； （B ）)(C P ≥)(A P ＋)(B P ； （C ）)(C P ＝)(AB P ； （D ）)(C P ＝)(B A P . 14. 设0<()P A <1，0<()P B <1，(|)P A B ＋(|)P A B ＝1，则（ ） （A ）事件A 和B 互不相容； （B ）事件A 和B 互相对立； （C ）事件A 和B 互不独立； （D ）事件A 和B 相互独立.15. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）（A ）}0{≤+Y X P ＝21； （B ）}1{≤+Y X P ＝21； （C ）}0{≤-Y X P ＝21； (D) }1{≤-Y X P ＝21.16. 设随机变量12,,,(1)n X X X n >独立同分布，且其方差为0σ2>，令随机变量11ni i Y X n ==∑，则( )(A) 12()n D X Y n σ2++=(B) 11()n D X Y nσ2+-= (C) 1cov(,)X Y nσ2=(D) 1cov(,)X Y σ2=17. 设一批零件的长度服从正态分布(,4)N μ，其中μ未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值20()X cm =，样本标准差1()S cm =，则μ的置信度为0.90的置信区间是( )．(A)0.050.051120,2022Z Z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (B) 0.10.11120,2022Z Z ⎛⎫-+⎪⎝⎭(C)0.050.051120(15),20(15)44t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (D)0.10.11120(15),20(15)44t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭四、计算题(6%+8%⨯4=38%)18. 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,试求该次品属A 生产的概率(6%)19. 设某商场里某种商品的月销售量X (公斤)的密度函数为：10()=100x f x ⎧⎪⎨⎪⎩ ≤≤100 0 其余,若售出一公斤此商品,可得利润300元,而积压一公斤此商品,每月要亏本5元,则每月此商品应进多少公斤,才能使商场的平均收益最大？(8%)20. 设随机变量(1,4),(1),XN Y E X Y ρ-与之间的相关系数=-0.1,试利用切比雪夫不等式估计(4)P X Y +≥的值.(8%)21. 设保险公司经抽样调查发现,每一个人受意外伤害的概率只有0.1%,为了吸引更多的投保人,保险公司决定每人投保10元,受意外伤害时赔偿2000元.要以99%以上的把握保证保险公司不亏本,则至少要动员多少人投保？(提示：利用中心极限定理进行近似计算)(8%)22. 某种合金弦的抗拉强度2~(,)X N μσ，由过去的经验知10560μ≤(公斤/厘米2)，今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512， 10623， 10668， 10554， 10776， 10707， 10557， 10581， 10666， 10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？(8%) 五、证明题(8%⨯2=16%)23. 假设随机变量X 服从参数为12的指数分布.,试证明：Y ＝1－2X e -在区间（0,1）上服从均匀分布(8%)24. 设19,,X X 是取自正态总体X 的简单随机样本，92212116278927)111(),(),(),.632i i Y Y Y X X Y X X X S X Y Z S=-=++=++=-=∑证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.(8%)概率论与数理统计模拟试卷(B )一、填空题(3%⨯7=21%)1. 某人在打电话时忘记了电话号码的最后三个数字,只记得这三个数字两两不同,于是他随意拨最后三个数字（两两不同）,则该人一次拨号就拨对了所要的电话号码的概率是________2. 设B A ,为随机事件,7.0)(=A P ,3.0)(=-B A P ,则()_______P AB = 3. 已知随机变量~(X P λ),且(0)(1)P X P X ===,则(2)_____.P X ==4. 设连续型随机变量X 的分布函数为()arcsin 11 1x F x A B x x x <⎧⎪=+-⎨⎪>⎩-1≤≤1则A =________5. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(34)e ,0,0;(,)0, x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则k =_________，其中随机变量X Y 与_________(填“是”或“不”)相互独立.6. 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1,X …,中任取一个数,记为Y ,则{2}P Y ==________.二、判断题(下列各题你认为正确的在题后打“ ”错误的打“⨯”)(2%*5)7. A B A B 若事件与相互对立，则与必不相容. ( )8. 不可能事件的概率必是0. ( ) 9. 若某事件组相互独立，则必两两独立. ( ) 10. 若事件A 和B 相互对立，则事件A 和B 必不相互独立. ( ) 11. 假设检验中若犯第一类错误概率越小，则犯第二类错误概率就越大. ( ) 三、选择题(3%*4=12%)12. 设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，记u α是满足()P X u αα>=的数，则满足式子()P X x α<=中的x 为( )（A ）u α2； （B ）1uα-2； （C ）1u α-2； （D ）1u α-13. 设二维随机变量1212(,)~(,,,,0)X Y N μμσσ，则（ ）.(A)X Y 与必相互独立 (B) X Y 与必不相互独立； (C) X Y 与不一定相互独立； (D) X Y 与不一定不相关.14. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，记12n n S X X X =+++，则根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要12,,,n X X X ( )(A) 有相同的数学期望； (B) 有相同的方差； (C) 有相同的分布； (D) .前面三者都要求.15. 设某种型号的电子管的寿命服从正态分布，现从中抽出10只，计算得样本均值1200=x 小时，标准差S ＝45小时，则方差2σ的置信度为0.95的单侧置信上限为( )(A) 220.9518225(9)σχ=; (B) 220.9520250(10)σχ= (C) 220.0518225(9)σχ=(D) 220.0520250(10)σχ= 四、计算题(39%)16. (5%)某批灯泡的寿命服从参数θ=2000的指数分布.试求它能使用2000小时以上的概率；17. (8%)设某教学楼有40间教室配有多媒体设备且在上课期间全都投入使用，若每一间教室的设备在同一时刻发生故障的概率都为0.01，且发生故障后只要一个维修人员就能很快修复，则要以99%以上的把握保证正常教学，同时又不造成人力资源的浪费，试通过计算求应配备几个维修人员？18. (10%)设二维随机变量(,)X Y 服从区域D 上均匀分布，其中D 由x 轴y 轴以及直线2,2x y ==X Y -所围成的正方形区域，试求的密度函数.19. (8%)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2,(;)0,x x e f x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩x 其中0>θ为未知参数,又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,试求参数θ的极大似然估计值．20. (8%)己知某仪器出厂时，工作精度15.00=σ米，经过若干年使用后，对一物体进行8次测量，其结果为(单位：米)：3.69，3.78，3.75，3.30，3.85，4.01，3.72，3.83．假定测量结果服从正态分布，试问：在显著水平10.0=α下，该仪器的精度是否下降? 五、证明题：(18%)21. (8%)若连续型随机变量X 的概率密度为 ()f x ，证明对于任意的>0ε，都有2()(())D X P X E X εε-≥≤22. (10%)设122121~(,),~(,),,,n X N Y N X X μσμσ是来自总体X 的样本，21,,n Y Y 是来自总体Y 的样本，设两组样本独立，,X Y 分别为两组样本的样本均值，2212,S S分别为两组样本的样本方差，,c d 是常数，证明12~(2)X Y T t n n =+-其中222112212(1)(1)2wn S n S S n n -+-=+-一、填空题1. ()A B C +-2. 473. 134. 15.5186. 不7. 1X -二、判断题8. ( ⨯ ) 9. ( ⨯ ) 10. ( ) 11. ( ⨯ ) 12. ( ⨯ ) 三、选择题 13. (B) 14. (D ） 15. (B) 16. (C) 17. (A) 四、计算题18.37 19. 22986120. (4)P X Y +≥≤0.287521. 339人22. 0.052.772(9) 1.833t t =>=，拒绝原假设010560H μ≤：即认为抗拉强度提高了. 五、证明题23. 略 24. 略一、填空题1.19002. 0.63. 212e4. 125. 12，是6.1348二、判断题7. ( ) 8. ( ) 9. ( ⨯ ) 10. ( ⨯ ) 11. ( ) 三、选择题12. (C) 13. (A) 14. (D) 15. (A) 四、计算题16.1e17. 218. 1(4), 24(), 1 X Y z z f z z +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≤≤41≤z ≤240，其余19. 1ˆmin ii nx θ≤≤= 20. 212.946χ=∈拒绝域(12.017,)+∞，故拒绝0H ：2202)15.0(==σσ，即认为该仪器的精度下降了.五、证明题21. 略 22. 略2006年全国硕士研究生入学考试概率统计部分考题1. (数学一)设,A B 是两个随机事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有( ) (A) ()>()P A B P A + (B) ()>()P A B P B + (C) ()()P A B P A += (D) ()()P A B P B +=2. (数学一、三)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max{,}1}P X Y ≤=___________3. (数学一、三、四)随机变量X 的密度函数为1,1021(),0240X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪⎪⎩≤其它令2Y X =,(,)F x y 为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,求(1) Y 的密度函数()Y f y ;(2) cov(X ,Y ); (3) 1(,4)2F -. 4. (数学三)设总体X 的密度函数为1 ()=()2xf x e x --∞<<+∞,1,,n X X 为总体的简单随机样本,其样本方差2S ,则, 2()E S =________5. (数学一、三、四)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且2{1}{1}P x P x μμ1-<>-<,则( )(A) σσ12<； (B) >σσ12； (C) μμ12<； (D) μμ12>.6. (其中,,a b c 为常数,且x 的数学期望()0.2E X =,{0}0.5P X Y =≤0,≤,记Z=X +Y ,求(1) ,,a b c 的值； (2) Z 的分布函数； (3) {}P X Z =.7. (数学一、三)设总体X 的概率密度为(,120 x f x x θθθ,0<<1⎧⎪)=-,1<⎨⎪⎩≤，其它,其中θ是未知参数(0θ<<1),1,,n X X 是来自总体的随机样本,记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试概率统计考题答案1. (C)2. 193. (1)01() 140 Y y f y y <<⎪<⎪⎩≤其它(2) 23(3) 144. 25. (A)6. (1) =0.1=0.3=0a b c ，， (2) 210120.10.10.50.30Z P --(3) 0.47. N n2007年全国硕士研究生入学考试概率统计部分考题1. (数学一、三、四)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击后,恰好是第2次命中目标的概率为( )(A) 23(1)p p -； (B) 26(1)p p -；(C) 223(1)p p -； (D) 226(1)p p -；2. (数学一、三、四)设随机变量(X ,Y )服从二维正态分布,且X 与Y 不相关, (), ()X Y f x f y 分别表示X ,Y 的密度函数,则在Y =Y 的条件下,X 的条件概率密度| (|)X Y f x y 为(A) ()X f x ； (B) ()Y f y ；(C) ()()X Y f x f y ； (D) ()()X Y f x f y . 3. (数学一、三、四)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为____4. (数学一、三、四)设二维随机变量(X ,Y )的概率密度 2, 01,01(,)0x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它 (1) 求(2)P X Y >；(2) 求Z=X +Y 的概率密度.5. (数学四)设随机变量X 与Y 独立同分布,且X 的概率分布为122133XP记{}{}max ,min ,,U V X Y X Y ==(1) 求(),U V 的概率分布；(2) 求U 与V 的协方差cov(,)U V .6. (数学一、三)总体X 的概率密度为1, 02(,, 10, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪1⎪)=<⎨2(1-)⎪⎪⎪⎩≤其它1,,n X X 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值,(1) 求参数θ的矩估计量θ(2) 判断24X 是否为θ2的无偏估计量,并说明理由.2007年全国硕士研究生入学考试概率统计考题答案1. (A)2. (A)3. 3 44. (1) 724；(2)222,01()44,120,Zz z zf z z z z⎧-<<⎪=-+<<⎨⎪⎩其它5. (1)(2) 4 816. (1)1=22Xθ-；(2) 不是。
概率论与数理统计
概率论与数理统计模拟题一、填空题1、已知,7.0)B (P 4.0)A (P ==，B (A P ）=0.2，则B)P(A += 0.5 。
2、已知,7.0)(,3.0)(=⋃=B A p B p 则B A P (）= 0.4 。
3、已知随机事件A 的概率0.5P(A)=，随机事件B 的概率P(B)=0.6,及条件概率 P(A|B)=0.8,则事件A B 的概率P(A B)= 0.7 。
4、已知事件A ，B ，C 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.9，P(C)=0.4。
则{}B C A )(P += 0.9 。
5、某射手每射击一枪击中目标的概率为0.8，今他对靶独立重复射击10枪，则至少有一枪击中目标的概率是__________________。
6、一口袋中装有4只白球，3只黑球，从中陆续不放回地取出三只球，则取出的三只球恰好有二只黑球的概率是 12/35 。
7、袋中有4个白球，10个红球。
甲先从袋中任取一个球，取后不放回，再放入一个与所取的颜色相反的球，然后乙再从袋中任取一球。
则甲取出的是白球，乙取出的是红球的概率是__________________。
8、某居民小区有45%住户订甲种报纸，有30%住户订乙种报纸，有60%住户至少订甲、乙两种报中的一种，则同时订甲、乙两种报的住户的百分比（概率）是 15% 。
9、某居民小区有45%住户订甲种报纸，有30%住户订乙种报纸，有2%住户同时订两种报纸。
则住户至少订甲、乙两种报纸中的一种报纸的百分比（概率）是____________。
10、若某居民小区有60%住户订甲报，有30%住户订乙报，有25%住户同时订甲、乙两种报纸。
则订甲报而不订乙报的住户的百分比（概率）是________。
11、已知事件A 与B 相互独立，又知A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A不发生的概率相等即P(A B )=B)A P(。
又已知95)B A P(=。
则）（A P =__________。
概率论与数理统计练习题(含答案)
数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.8，则P (A +B )=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(−−X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ∼B (2,p )，Y ∼B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
概率论与数理统计模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《概率论与数理统计》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、设A,B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0，P （B ）>0，则（）一定成立。
[A]P （A)＝1－P （B ） [B]P （A│B)＝0[C]P （A│B )＝1 [D]P （A B )＝02、设A,B 是两个事件，P （A ）>0，P （B ）>0，当下面条件（）成立时，A 与B 一定相互独立。
[A]P(A B )＝P （A ）P （B ）[B]P （AB ）＝P （A ）P （B ）[C]P （A│B ）＝P （B ） [D]P （A│B ）＝P(A ) 3、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（）。
[A])()()(B P A P B A P =[B]0)(=AB P[C])()(A B P B A P = [D])()(B P B A P =4、下面的函数中，（）可以是离散型随机变量的概率函数。
[A]{}11(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B]{}12(1,2)!e P k k k ξ-=== [C]{}31(0,1,2)2k P k k ξ===[D]{}41(1,2,3)2k P k k ξ===---5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则下列个组中应取（）。
概率论与数理统计试卷试题及答案5
概率论与数理统计试卷一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题2分，共10分。
）1. 设A 、B 满足1)(=A B P ，则 ． 【 】（a ）A 是必然事件；（b ）0)(=A B P ；（c ）B A ⊃；（d ）)()(B P A P ≤．2. 设X ～N （μ，σ2），则概率P （X ≤1＋μ）=（ ） 【 】 A ） 随μ的增大而增大 ； B ） 随μ的增加而减小； C ） 随σ的增加而增加； D ） 随σ的增加而减小．3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ已知，2σ未知，321X ,X ,X 是总体X 的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 】 （a ）321X X X ++； （b ）)X ,X ,X min(321； （c ）∑=σ31i 22i X ； （d ）μ+2X ．4. 在假设检验中, 0H 表示原假设, 1H 表示备择假设, 则成为犯第二类错误 的是 ． 【 】 （a ）1H 不真, 接受1H ； （b ）0H 不真, 接受1H ； （c ）0H 不真, 接受0H ； （d ）0H 为真, 接受1H ．5．设n 21X ,,X ,X Λ为来自于正态总体),(N ~X 2σμ的简单随机样本，X 是样本均值，记2n1i i21)X X(1n 1S --=∑=，2n1i i22)X X(n1S -=∑= ，2n1i i23)X(1n 1S μ--=∑=，2n1i i24)X(n1S μ-=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 . 【】 （a ）1n S X T 1-μ-=；（b ）1n S X T 2-μ-=；（c ）nS X T 3μ-=；（d ）nS X T 4μ-=.………………………………… 装 ……………………………… 订 ……………………………… 线 …………………………………二、填空题（将答案写在该题横线上。
概率论与数理统计试题与答案完整版
概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分）1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。
概率论与数理统计模拟试题5套带答案
06—07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A,B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2。
已知),2(~2σN X,且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________。
3。
设X 与Y 相互独立,且2)(=X E ,()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4。
设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布。
5。
设),3(~),,2(~p B Y p B X,且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________。
二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) 11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a ab a b -++-；（C ） a a b +；(D)2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】（A ） 2; (B)12; （C) 3; （D ）13。
3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4。
设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【 】 ()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0; ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5。
设()2,~σμN X ,b aX Y -=，其中a 、b 为常数,且0≠a ，则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ; ()B ()222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0。
概率论与数理统计第五章测试题
第5章 数理统计的一些基本概念一、选择题1．设随机变量X 服从n 个自由度的t 分布，定义t α满足P(X ≤t α)=1-α，0<α<1。
若已知 P(|X|>x)=b ，b>0，则x 等于（A ）t 1-b （B ） t 1-b/2 （C ）t b （D ）t b/22．设n X X X ,...,,21是来自标准正态总体的简单随机样本，X 和S 2为样本均值和样本方差，则（A ）X 服从标准正态分布 （B ）∑=ni iX12服从自由度为n-1的χ2分布（C ）X n 服从标准正态分布 （D ）2)1(S n -服从自由度为n-1的χ2分布 3．设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，X 为其均值，记∑=-=n i i X n S 1221)(1μ，∑=-=n i i X X n S 1222)(1，∑=--=n i i X n S 1223)(11μ， ∑=--=ni i X X n S 1224)(11，服从自由度为n-1的t 分布的随机变量是 （A ）1/1--=n S X T μ （B ）1/2--=n S X T μ（C ）1/3--=n S X T μ （D ）1/4--=n S X T μ4．设21,X X 是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，则21X X +与21X X -必 （A ）不相关 （B ）线性相关 （C ）相关但非线性相关 （D ）不独立 5．设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，统计量2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S X n Y μ，则 （A ）Y~χ2(n-1) （B ）Y~t(n-1) （C ）Y~F(n-1,1) （D ）Y~F(1,n-1) 6．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,2)，且X 与Y 相互独立，则（A ）223231Y X +服从χ2分布 （B ）2)(31Y X +服从χ2分布 （C ）222121Y X +服从χ2分布 （D ）2)(21Y X +服从χ2分布7．设X , 1021,...,,X X X 是来自正态总体N(0,σ2) 的简单随机样本，∑==ni i X Y 122101，则 （A ）X 2~χ2(1) （B ）Y 2~χ2(10) （C ）X/Y~t(10) （D ）X 2/Y 2 ~F(10,1)8．设总体X 与Y 相互独立且都服从正态分布N(μ,σ2) ，X ，Y 分别为来自总体X,Y 的容量为n 的样本均值，则当n 固定时，概率)|(|σ>-Y X P 的值随σ的增大而 （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定 9设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 （A ）X+Y 服从正态分布 （B ）22Y X+服从χ2分布（C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）22/Y X 服从F 分布 填空题1．已知随机变量 X ，Y 的联合概率密度为)}4849(721exp{121),(22+-+-=y y x y x f π， 则22)1(49-Y X 服从参数为 的 分布。
概率论与数理统计练习题及其答案
概率论与数理统计模拟试题（概率论部分）一、填空题（每小题3分）：1、同时抛出两枚硬币，两枚硬币均为正面的概率为 ；2、依次抛两枚骰子，若第一枚为3点,则第二枚也为3点的概率为 ；3、设事件A 、B ，()0.8,()0.5,()P A P AB P AB === ；4、若事件A 、B 互斥，()0.3,()0.4,()P A P B P A B ==-= ；5、设A 和B 相互独立，且()0.4,()0.3P A P B ==，则()P A B += ；6、设随机变量~(0,1)X N ,分布函数为()x Φ,则(0)Φ= ；7、设2(0,)XN σ，若{}20.45P X <-=，则{}22P X -<<= ；8、已知随机变量X 服从区间[0,1]上的均匀分布，21Y X =-，则DY = ； 9、设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为2和3，则(23)D X Y -= ； 10、设随机变量X 、Y 满足()()()E XY E X E Y =，则协方差(,)Cov X Y = ； 11、设随机变量X 、Y 满足0XY ρ=，则协方差(,)Cov X Y = ； 二、选择题（每小题3分，每题只有一个正确答案）：1、设事件A 、B ，()0,P AB =则下面说法中正确的是( ).()A A 、B 互斥；()B A 、B 相互独立；()C ()0P A =或()0P B =；()D ()()P A B P A -=.2、(),(),(),()P A a P B b P A B c P AB ====（ ）.()A a b -； ()B c b -； ()C a ab -； ()D b a -.3、设事件A 、B 互斥，()0P A >,()0P B >,则下面说法中正确的是( ); ()A ()0P B A >；()B ()()P A B P A =；()C ()0P A B =；()D ()()()P AB P A P B =.4、()0.8,()0.7,()0.8,P A P B P A B ===则下面说法中正确的是( );()A A 、B 相互独立；()B A 、B 互斥；()C A B ⊂；()D ()()()P A B P A P B +=+.5、设事件A 、B 相互独立，则下面的说法中，错误的是( );()A A 与B 独立；()B A 与B 独立；()C ()()()P AB P A P B =；()D A 、B 一定互斥.6、设随机变量X 的概率密度为2(3)4(),x f x x --=-∞<<∞，则( )(0,1)N .3()4X A -; ()B ; 3()2X C +; ()D . 7、设总体X 服从2(3,4)N ，且常数c 满足{}{}P X c P X c >=<，则C 等于（ ）；()A 3; ()B 2; ()C 1; ()D 0.8、设()P A p =，则n 次独立重复试验中事件A 至少发生一次的概率为（ ）.()A p ； ()B 1p -； ()C (1)n p -； ()D 1(1)n p --.9、设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为6和3，则(2)D X Y -=( ).()A 9; ()B 15; ()C 27; ()D 33.10、若随机变量X 和Y 的协方差(,)0Cov X Y =，则下列结论中正确的 （ ） ()A X 、Y 相互独立; ()B ()D X Y DX DY +=+;()C ()D X Y DX DY -=-; ()D ()D XY DX DY =⋅.三、计算题（一维随机变量部分）1、如图系统由3个电子元件组成，各元件独立工作，其正常工作的概率皆为0.8，求系统正常工作的概率.解：()()()()P P AB C P AB P C P ABC ==+- ()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+- 0.80.80.80.80.80.80.928.=⨯+-⨯⨯=2、在区间（0,1）上任意取5个数，求这5个数中有2个大于23的概率. 解：设取得的数为X ，则2133P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭，又设5个数中大于23的个数为Y ，则{}2522511802133243P Y C -⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3、设随机变量X 在[]2,5上服从均匀分布，现在对X 进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解：由已知，X 的分布密度为：1,25()30,.x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则 {}5312333P X dx >==⎰,设在三次独立观测中观测值大于3的次数为Y ,则2(3,)3Yb ,那么{}223333212202()()()33327P Y C C ≥=+=.4、已知离散型随机变量X 的分布列为：10120.10.40.20.3-⎛⎫ ⎪⎝⎭,求： (1) {1 1.5}P X -<≤；(2) 2()E X 、DX . 解: (1) {1 1.5}0.40.20.6P X -<≤=+=. (2) 0.7EX =2()00.410.340.3 1.5E X =⨯+⨯+⨯=. 22()() 1.50.70.8.DX E X EX =-=-= 5、已知随机变量X 的概率密度为:(12),01()0,A x x f x +<<⎧=⎨⎩其它, (1) 求A 的值； (2) 计算{0.10.5}P X << 解: (1) 由 11()(12)2f x dx A x dx A +∞-∞==+=⎰⎰得12A =. （2）: {}0.50.10.10.5()P X f x dx <<=⎰.0.50.11(12)0.322x dx =+=⎰.6、已知随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，求X Y e =的概率密度函数.解：X 的概率密度：1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩，其他 当0Y ≤时，()0Y f x =；当0Y >时，(){}{}(ln )X Y X F y P Y y P e y F y =≤=≤=，故1,1()0,Y X y e y f y F ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他. 7、已知连续型随机变量X 的密度函数为sin 0,()0A x x f x π<<⎧=⎨⎩ 其他.，求: (1)常数A ； （2）求33P X ππ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.解: (1) 由 01()sin 2f x dx A xdx A π+∞-∞===⎰⎰，得 12A =. （2）330311()sin 3324P X f x dx xdx πππππ+-⎧⎫-<<===⎨⎬⎩⎭⎰⎰.四、（二维随机变量部分：边缘分布、函数分布、概率、期望、方差）1、在区间（0,1）任意取2个数，求这2个数之和小于65的概率。
概率论与数理统计模拟试题参考答案
概率论与数理统计模拟试题参考答案概率论与数理统计模拟试题参考答案LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=，P(A+B)=，则当 A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8EX =, 4.8DX =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立_ ____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为, , , 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 0()1 010 x x x x x ?+≤<??=-≤≤其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n S n χσ-。
（）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（）4、已知θ是θ的无偏估计，则2θ一定是2θ的无偏估计。
（）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为。
（）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
《概率论与数理统计》模拟试卷
《概率论与数理统计》模拟试卷一、填空题1．三只考签由三个学生轮流放回抽取一次,每次取一只,设i A 表示第i 只考签被抽到(1,2,3)i =,则“至少有一只考签没有．．被抽到〞这一事件可表示为 . 2．设()0.4P A =,()0.3P B =,()0.6P A B =,则()P AB = .3．一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次不放回从袋中各取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .4．随机变量X 的分布函数为0,0()0.4,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则{1}P X == .5．设随机变量~(,25)X N μ,且{5}0.5P X >=,则μ= .6．设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩其它,则常数A = .7．设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,且16n =,()4D X =,则p = . 8．设二维随机变量(,)X Y 的分布律为则{}P X Y == .9．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则2{()}P X E X == .10．设随机变量~(1,1),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则2[()]E X Y -= . 11．()1D X =,()9D Y =,0.5XY ρ=,则(321)D X Y -+= .12．设X 和Y 的方差DX 和DY 都存在,且满足()()D X Y D X Y +=-,则X 与Y 的相关系数XY ρ= .13．设1210,,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本,则统计量2221210X X X +++服从自由度n = 的2χ分布.14．设来自总体~(,1)X N μ的容量为16的样本的样本均值 5.11x =,其未知参数μ的置信水平为1α-的置信区间为(4.62,5.60),则α= .15．设正态总体2~(,)X N μσ,其中2,μσ均未知,12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则检验假设01:0,:0H H μμ=≠的t 检验方法使用统计量t = .二、计算题1．设随机变量X 的概率密度函数,01()2,120,x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 ,求⑴{1}P X ≥;⑵分布函数()F x .2．设随机变量X 的概率密度函数1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,⑴求XY e =的概率密度函数()Y f y ;⑵求Y 的数学期望()E Y .3．设,X Y 的联合概率密度函数为,01,01(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他,⑴求X 和Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ;⑵推断X 与Y 的是否独立?4．将两封信随意投入3个邮筒,设X 和Y 分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目,⑴求X 和Y 的联合分布律;⑵求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y .5．设总体X 的概率密度函数22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,其中0θ>为未知参数,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本.⑴求未知参数θ的矩估量量ˆθ;⑵推断所求的估量量ˆθ是否为θ的无偏估量量.6．设总体X 的概率密度函数||1(;)()2x f x e x θθθ-=-∞<<+∞,其中0θ>为未知参数,6,3,1,2,4,7,8,9---为来自总体的X 样本值,求θ的极大似然估量值．参考答案一、填空题1．123A A A 2．0.3 3．0.3 4．0.6 5．56．2 7．0.5 8．0.4 9．12e10．6 11．27 12．0 13．10 14．0.05 15X三、计算以下概率问题1．解：⑴1{1}1{1}10.5P X P X xdx ≥=-<=-=⎰⑵当0x <时,()0F x =; 当01x ≤<时,2()2xx F x xdt ==⎰;当12x ≤<时,211()(2)212xx F x xdx x dx x =+-=--⎰⎰; 当2x ≥时,()1F x =;所以2200,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩，.2．解：⑴()1,01,0,x f x <<⎧=⎨⎩其他 (){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时,()0Y F y =; 当0,y ≥时,(){ln }(ln )Y X F y P X y F y =≤=,()()Y Y f y F y '=,于是1,1()0,Y y ey f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他⑵1()()1XxE Y E e e dx e ===-⎰3．解：⑴当01x <<时,11()(,)()2X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=+⎰⎰； 当01y <<时,101()(,)()2Y f y f x y dx x y dx y +∞-∞==+=+⎰⎰； ⑵(,)()()X Y f x y f x f y ≠∴X 与Y 不是相互独立的。
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分 18分，每题3分)1、设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,则P(AB)= ___________________________ 。
52、设随机变量X 〜B(2, p),Y 〜B(3, p)，若p(X 1) ，则p(Y 1) _____93、设X 与Y 相互独立，DX 2, DY 1，贝U D(3X 4Y 5) _________________________ 。
4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有P{X -EX 2} _______________n5、设(X「X2, ,X n)为来自总体2(10)的样本，则统计量Y X i服从i 1_______________ 分布。
6、设正态总体N( , 2) , 2未知，贝U 的置信度为1 的置信区间的长度L __________________ 。
(按下侧分位数)二、选择题(本题满分 15分，每题3分)1、若A与自身独立，则( )(A) P(A) 0 ; (B) P(A) 1 ; (C) 0 P(A) 1 ; (D) P(A) 0或P(A) 12、下列数列中，是概率分布的是( )X 5 x2(A) p(x) ,x 0,1,2,3,4 ；(B) p(x) ,x 0,1,2,315 61 x 14 253、设X ~ B( n, p)，则有( )(A) E(2X 1) 2np (B) D(2X 1) 4np (1 p)(C) E(2X 1) 4np 1 (D) D(2X 1) 4n p(1 p) 1本方差，则下列结果错误的是( )。
4、设随机变量X ~ N( , 2)，则随着的增大，概率P X ()。
(A)单调增大 (B) 单调减小(C)保持不变(D) 增减不定5、设(X1,X2, ,X n)是来自总体X ~ N( , 2)的一个样本，X与S2分别为样本均值与样三、(本题满分12分) 试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的。
《概率论与数理统计》习题五答案
《概率论与数理统计》习题及答案习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.【解】设i X 表每次掷的点数，则41i i X X==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 22291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形.而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=0.8.现要求n ,使得1{0.760.84}0.9.n i i X P n =≤≤≥∑即0.80.9ni X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得0.840.80.760.80.9,0.160.16n n n n n n --⎛⎫⎛⎫Φ-Φ≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得0.95,10n ⎛⎫Φ≥ ⎪ ⎪⎝⎭查表 1.64,10n ≥ n ≥268.96, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，0.7）,()140,()42,E X D X ==1400.95{0}().42m P X m P X m -⎛⎫=≤≤=≤=Φ ⎪⎝⎭查表知 140 1.64,42m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=201k k V，求P {V ＞105}的近似值.【解】易知:E (V k )=5,D (V k )=10012,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量201205~(0,1).10010020201212k k V Z N =-⨯==⨯⨯∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⎭即有 P {V >105}≈0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）从而{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ⨯⨯ 1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他令1001.ii X X ==∑ (1) X ~B (100,0.8)，1001{75}1{75}11000.80.2i i P X P X =>=-≤≈-Φ⨯⨯∑1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,0.7)， 1001{75}1{75}11000.70.3i i P X P X =>=-≤≈-Φ⨯⨯∑1(1(1.09)0.1379.21=-Φ=-Φ= 7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X ，则 p =0.05,n =1000,X ~B (1000,0.05)，E (X )=50，D (X )=47.5.故130{20} 6.895 6.89547.547.5P X ϕ⎛⎫===- ⎪⎝⎭6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，T 30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率. 【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ== ()1030300,E T =⨯= ()3000.D T =故{350}111(0.913)0.1814.P T >≈-Φ=-Φ=-Φ= 9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n 件才够用.则E (T i )=10，D (T i )=100，E (T )=10n ，D (T )=100n .从而1{3068}0.95,n i i P T =≥⨯=∑即0.05.≈Φ 故0.95, 1.64272.n =Φ=≈所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.易知E （X i =1.1）,D (X i )=0.19,i =1,2, (400)而400i i X X=∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).i X N -⨯=∑近似地 于是{450}1{450}1P X P X >=-≤≈-Φ1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得3404000.8{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y -⨯⎛⎫≤≈Φ=Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P {X ≤5000}. 由中心极限定理有5000100000.515{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X -⨯⎛⎫≤≈Φ=Φ-=-Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用X i 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i =1,2,…,1000）.令 S n =X 1+X 2+…+X 1000.(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P {m ≤S n ≤1000}≥0.95，事件90010000.9{}.10000.90.190n n S m m S --⨯⎛⎫≤=≤ ⎪⨯⨯⎝⎭ 由中心极限定理知：10000.9{}1{}10.95.10000.90.1n n m P m S P S m -⨯⎛⎫≤=-<≈-Φ≥ ⎪⨯⨯⎝⎭从而 9000.05,90m -⎛⎫Φ≤ ⎪⎝⎭ 故900 1.65,90m -=- 所以 m =900-15.65=884.35≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {0≤S n ≤M }≥0.95.{}0.95.90n P S M ≤≈Φ= 90M =900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”.于是所求概率为1120100000.006{120}100000.0060.994100000.0060.994P X ϕ-⨯⎛⎫=≈ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭21(60/59.64)230.181116011e 59.6459.64259.640.0517e 0ϕπ--⎛⎫== ⎪⎝⎭=⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60”于是所求概率为{060}100000.0060.994100000.0060.994P X ≤≤≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯ (0)0.5.59.64⎛=Φ-Φ≈ ⎝ 14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考）【解】令Z =X -Y ，有()0,()()()()2()() 3.E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=所以 2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P ZE Z P X Y --≥=-≥≤== 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X ~B (100,0.2)，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.k k k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得{1430}1000.20.81000.20.8P X ≤≤≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯ (2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设X i （i =1,2,…,n ）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X 1，X 2，…，X n 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量T n =X 1+X 2+…+X n 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,i E X = 5,=()50,n E T n = =依中心极限定理，当n ~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件{5000}n P T P ≤=≤0.977(2).≈Φ>=Φ 2>解出n <98.0199,即最多可装98箱.。
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(A) (B)
(C) (D)
8、设 的概率密度为
又 ，则 （）
(A) (B) (C) (D)
9、设随机变量 和 独立同分布，记 ，则随机变量 和 （）
（A）不独立（B）独立
（C）相关系数不为零（D）相关系数为零
10、设随机变量 ，则（）
(A) (B)
(C) (D)
（1）由全概率公式，得
（2）由Bayes公式，得
2、解（1）由 ，得 ，故 。
（2）
（3）
3、解由于 ， ，因此 的概率密度分别为
又 相互独立，故 的联合概率密度为
从而
4、解先求矩估计
由于 ，因此由矩估计法，得
解之得 矩估计量为
再求最大似然估计
对于样本 的一组样本值
（ ）似然函数：
（ ）取自然对数：
2、设连续型随机变量 的概率密度为
试求（1）常数 ；（2） 的分布函数 ；（3） 。
3、设随机变量 相互独立，且 ， ，求 。
4、设总体 的概率密度为
其中 为未知参数， 为来自总体 的一个样本，试求参数 矩估计和最大似然估计。
模拟题五参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1、解应选（B）。
方法一：由于 、 、 相互独立，且 ，因此
(C) (D)
4、设随机变量 服从 上的均匀分布，事件 ，则
(A) (B)
(C) (D)
5、设离散型随机变量 的分布律为
其中 为常数，则（）。
（A） 为任意的正实数（B）
（C） （D）
6、设 为标准正态分布的概率密度， 为 上均匀分布的概率密度，若
为概率密度，则 应满足（）
(A) (B)
(C) (D)
令 ，则
即 ，从而选项（A）不正确。
再取 ， ，则 与 的概率密度分别为
由于 与 相互独立，因此 的概率密度为
令 ，则
即 ，从而选项（B）、（C）不正确，故选（D）。
方法二：由于 ，且 与 相互独立，因此 ，故选（D）。
8、解应选（D）。
由 ，得
即
再由 ，得
解之，得 ，因此 ，从而 ，故选（D）。
9、解应选（D）。
5、设 、 为两个随机变量，且 ，则 。
6、设 的联合分布函数为
则 。
7、设 ，则 。
8、设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 。
9、设 为来自总体 的一个样本，记 ，则 的方差 。
10、设总体 ， 为来自总体 的一个样本，则 的方差为。
三、解答题（每小题10分，共40分）
1、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中含0、1和2只残次品的概率分别为0.8、0.1和0.1。一位顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意地取一箱，而顾客开箱随意查看4只，若没有残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
故填 。
7、解应填 。
由于 ，因此 ，从而 ，故填 。
8、解应填 。
由于 ，因此 ，且 的概率密度为
从而
故填 。
9、解应填 。
故填 。
10、解应填 。
由于 ，因此 ，从而
故填 。
三、解答题（每小题10分，共40分）
1、解设 表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”， 表示“顾客所查看的一箱玻璃杯中恰好有 只残次品”， ，则
（ ）令 ，解之得 的最大似然估计值为
由于 与 同分布，因此 ，从而 。再由 与 同分布，得
所以
从而 ，即 与 相关系数为零，故选（D）。
10、解应选（C）。
由于 ，因此 ，其中 ，且 与 相互独立，从而 ，且 与 相互独立，所以 ，故选（C）。
二、填空题（每小题3分，共30分）
1、解应填 。
由于 、 互不相容，因此
故填 。
2、解应填 。
二、填空题（每小题4分，共40分）
1、设随机事件 不相容，且 ，则 。
2、袋中有3只红球，4只白球，5只黑球，从袋中取球两次，每次取1只，若取出的球不放回，则第一次取到红球，第二次取到白球的概率为。
3、设 相互独立，且 都不发生的概率为 ， 发生 不发生的概率与 发生 不发生的概率相等，则 。
4、若随机变量 在 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为。
由于 ，因此 的概率密度为
，
从而
故选（D）。
5、解应选（C）。
由分布律的性质，得
由于 是概率，因此 收敛于 ，且 。由 ，得
从而 ，故选（C）。
6、解应选（A）。
由题设知
由于 为概率密度，因此
即 ，故选（A）。
7、解应选（D）。
方法一：取 ， ，则 与 的概率密度分别为
由于 与 相互独立，因此 的概率密度为、 、 相互独立，因此 与 、 与 、 与 相互独立，从而就不相互独立而言，选项A、C、D不正确，故选（B）。
2、解应选（C）。
由于 ，即 ，因此
从而
即
故选（C）。
3、解应选（D）。
由于事件 、 互不相容，因此 ，从而 ，即 ，所以
故选（D）。
4、解应选（D）。
概率论与数理统计模拟题五
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1、设随机事件 、 、 相互独立，且 ，则下面四对事件中不相互独立的是（）
（A） 与 （B） 与
（C） 与 （D） 与
2、设 、 是随机事件，且 ， ， ，则（）。
（A） （B）
（C） （D）
3、设事件 与事件 互不相容，则（）
(A) (B)
样本空间基本事件总数 ，有利于所求事件发生的基本事件数 ，从而所求的概率为
故填 。
3、解应填 。
由题设知， ， 。由于 、 相互独立，因此 、 相互独立，从而 ，又由于
故 ，从而 ，解之，得 ，所以 ，故填 。
4、解应填 。
由于 ，因此 的概率密度为
“方程 有实根”
故填 。
5、解应填 。
故填 。
6、解应填 。