云南省西点文化中学2018-2019学年高一下学期5月月考数学试卷 Word版含解析

云天化中学2018-2019学年度下学期五月月考高一年级数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}Q =，则U C Q =（ ） A. {1,3,5} B. {2,4,6}C. {1,2,4}D. U【答案】B 【解析】 【分析】根据题干和补集的概念可得到结果.【详解】集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}Q =，根据集合的补集的概念得到U C Q ={2,4,6}.故答案为：B.【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题.2.设向量(2,4)a =与向量(,6)b λ=共线，则实数λ=（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，进而求得参数结果.【详解】因为向量(2,4)a =与向量(,6)b λ=共线，故得到26=4=3.λλ⨯⇒ 故得到答案为：A.【点睛】这题目考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.3.若0.52a =，3log 2b =，21log 3c =，则（ ） A. b a c >>B. a c b >>C. a b c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数对数函数的性质得到各个参数值的范围，进而得到大小关系. 【详解】()0.5212a =∈，,()3b log 201=∈，,21log 03c =<,故得到a b c >>. 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了比较大小的应用，属于基础题，比较大小常用的方法有：做差和0比，做商和1比，构造函数根据函数单调性得到大小关系.4.已知定义在R 上的奇函数()g x 满足：当0x <时，2()log (1)g x x =-，则((7)g g =（ ）A. 2B. 1C. -1D. -2【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和函数解析式得到相应的函数值即可.【详解】根据函数的奇偶性和函数的解析式得到：()()()((7))73 2.g g g g g =--=-= 故答案为：A.【点睛】这给题目考查了函数奇偶性的应用，以及分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略：(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决；(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.23B.13C.43D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos b c B b C =+，则ab=（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理得到2sin sin B A =，再由正弦定理得到2b a =进而得到结果.【详解】在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos b c B b C =+，根据正弦定理得到()2sin sin cos sin cos sin sin B C B B C B C A =+=+= 进而得到2b a =，故 2.ab= 故答案为：B.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若100910103a a =，则333122018111log log log a a a +++的值为（ ）A. 2018B. -2018C. 1009D. -1009【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质的到10091010120182201732016......3a a a a a a a a ====，进而得到333331009122018111111log log log log ......log 10009333a a a +++=⋅==-【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若100910103a a =,根据等比数列的性质得到10091010120182201732016......3a a a a a a a a ==== 3333331009122018120182201711111111log log log log ......log ......log 10009333a a a a a a a +++=⋅=⋅==-故答案为：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.8.已知正数x 、y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A. 8 B. 12C. 10D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质的到()111144559.x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 【详解】正数x 、y 满足41x y +=，根据不等式性质得到：()111144441559.x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件为4x yy x= 故答案为：D.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.要得到函数sin 2y x =的图象，只需要将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移12π个单位长度D. 向左平移12π个单位长度【答案】C 【解析】试题分析：函数，将函数的图象向右平移π12个单位长度得到，故答案为C ．考点：函数图象的平移．10.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若12018OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点），2018S =（ ） A. 1008 B. 1009C. 2018D. 2019【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的相关性质得到120181a a +=，再由数列的性质得到()()20181201822017.......110091009.S a a a a =++++=⨯=【详解】A 、B 、C 三点共线，12018OB a OA a OC =+，故得到120181a a +=，()()20181220181201822017...........110091009.S a a a a a a a =+++=++++=⨯=故答案为：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.11.若函数,1()42,12x m x f x m x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A. (1,)+∞ B. [4,8)C. (4,8)D. (1,4)【答案】B 【解析】 【分析】分段函数要求每一段函数均为单调的，根据这一条件列式即可.【详解】函数,1()42,12x m x f x m x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则要求每一段上函数均为增函数，则要求140482422m mm m m ⎧⎪>⎪⎪->⇒≤<⎨⎪⎪≥-+⎪⎩故答案为：B.【点睛】本题考查了已知函数单调性求参的问题，要求每一段函数均为单调的，且要求在两段函数的连接点处，函数图像不能错位.12.已知函数)()lg3sin 1f x x x =++，设()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大、最小值分别为M 、N ，则M N +的值为（ ） A. 2 B. 1C. 0D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()1f x g x =+，()g x 为奇函数，根据奇函数对称性得到()()()()0000 2.f x f x g x g x +-=+-=【详解】函数)()()lg3sin 11f x x x g x =++=+，()()g x g x =--故()g x 为奇函数，设函数()g x 在0x 处取得最大值，()f x 也在此处取得最大值，则根据奇函数的对称性，函数在0x -处取得最小值，()f x 也在此处取得最小值，且满足()()000g x g x +-=.故得到()()()()0000 2.f x f x g x g x +-=+-= 故答案为：A.【点睛】本题考查了函数部分具有奇偶性的性质的应用，属于基础题；奇函数在对称区间上的对称点处取得相应的最大值和最小值，且最值互为相反数.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量(1,)a t t =-，(1,2)b =，若a b ⊥，t =__________． 【答案】13【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，求参即可.【详解】向量(1,)a t t =-，(1,2)b =，若a b ⊥，则1120.3t t t -+=⇒= 故答案为：13. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.定义运算a b ad bc c d =-，若1cos 7α=，sin sin cos cos 14αβαβ=，02πβα<<<，则β=__________．【答案】3π【解析】 【分析】()sin αβ=-，利用同角三角函数关系得到：()13cos 14αβ-=，sin 7α=，代入式子：()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦得到结果.【详解】根据题干得到()sin sin sin cos sin cos sin cos cos 14αβαββααβαβ==-=-()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦02πβα<<<，0αβ->，()13cos 14αβ-==1cos 7α=，sin α=，代入上式得到结果为：1cos 2β= .3πβ=故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.15.已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥面BCD ，90BCD ︒∠=，2,1AB BC CD ===，则三棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】92π 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明DC ⊥AD ，可得AC 为三棱锥A ﹣BCD 的外接球的直径，进一步求得AC ，再由球的体积公式求解．【详解】∵AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥DC ，又∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC ，而AB ∩BD ＝B ， ∴DC ⊥平面ABD ，则DC ⊥AD ．∴AC 为三棱锥A ﹣BCD 的外接球的直径，∵AB ＝BD ＝2，CD ＝1，∴AC 3==．∴三棱锥的外接球的半径为32．∴三棱锥的外接球的体积为V 3439()322ππ=⨯=． 故答案为：92π．【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.如已知数列{}n a 的通项为211(21)(21)2121n a n n n n ==--+-+，故数列{}n a 的前n 项和为1111335n S ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112212121n n n n ⎛⎫-= ⎪-++⎝⎭.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()*12n n n a a a n N +++=∈，若2021a m =，那么数列{}n a 的前2019项的和为__________．【答案】1m - 【解析】 【分析】根据累加法，即可求出答案.【详解】∵a 1＝1，a 2＝1，a n +a n +1＝a n +2（n ∈N *），∴a 1+a 2＝a 3， a 2+a 3＝a 4， a 3+a 4＝a 5， …a 2011+a 2012＝a 2013，……201920202021a a a +=以上累加得，122334201120122020342021+a a a a a a a a a a a a ++++++⋯++++⋯+....＝，∴123420112021202121a a a a a a a a m ++++⋯++-＝﹣＝, 故答案为：1m -【点睛】本题主要考查了数列的求和方法，采用累加法，属于基础题．三、解答题（本大题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{|2101}A x m x m =-<<-，{|26}B x x =<<.（1）若4m =，求A B ；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|23x x <<；（2）67m ≤≤或9m ≥.【解析】【分析】（1）由题意，代入4m =，得到集合,A B ，利用交集的运算，即可得到答案；（2）由题意，集合A B ⊆，分A φ=和A φ≠两种情况讨论，即可得到答案.【详解】（1）由题意，代入m 4=，求得结合{}{}A x 2x 3,B x 2x 6=-<<=<<， 所以{}A B x 2x 3⋂=<<.（2）因为A B ⊆①当A ,2m 10m 1∅=-≥-即，解得m 9≥，此时满足题意. ②A ,2m 10m 1,m 9∅≠-<-<当即且，则210216m m -≥⎧⎨-≤⎩则有6m 7≤≤，综上：6m 7≤≤或m 9≥.【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合之间的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的交集的运算，以及合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.设函数()f x m n =⋅，其中向量(2cos ,1)m x =，(cos 2)n x x =，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()2f A =，a =3()b c b c +=>，求,b c 的值.【答案】（1）（2）2,1b c ==【解析】试题分析：（1）2()2cos 21cos 22f x m n x x x x =⋅==+ 2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，周期22T ππ== （2）()2sin 21263f A A A ππ⎛⎫=++=∴= ⎪⎝⎭，由余弦定理得223b c bc =+-，又3()b c b c +=>2,1b c ∴==考点：三角函数化简性质及解三角形点评：三角函数化简时需用到基本的三角公式，求其性质先要将其整理为()sin y A x ωϕ=+的形式，在解三角形时应用到了余弦定理：2222cos a b c bc A =+-19.已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ） 12n n a -=，21n b n =- ；（Ⅱ）21n n T n =+ 【解析】【分析】(Ⅰ)先设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，根据34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，求出q ，即可得出{}n a 的通项公式，再由221log log n n n b a a +=+，可得出{}n b 的通项公式； (Ⅱ)先由等差数列的前n 项和公式求出n S ，再由裂项相消法求出n T 即可.【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --==221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-(Ⅱ)()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===． ∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， ∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前n 项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.20.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.【答案】（Ⅰ）b =.sin A =13（Ⅱ）26. 【解析】 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==所以，b sin A .（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21.已知数列{}n a 和{}n b 满足1a e =，11b =，()*1n n a ea n N +=∈，()*3211123n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈. （1）求n a 和n b ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）n n a e =，n b n =；（2）1n 2211(1)(1)n n e T e e e e +⎛⎫=-+ ⎪---⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据题干得到{}n a 是等比数列，进而得到通项公式，将原式变形得到11n n b n b n++=，累乘法得到数列通项；（2）错位相减求和即可. 【详解】（1）∵1a e =，1n n a ea +=， ∴n n a e =，当1n =时，121b b =-，故22b =；当2n ≥时，11n n n b b b n +=-，整理得11n nb n b n ++=， ()211211123122, (1121)n n n n n n n n n b b b b b b n n n n n b n b b b b b n n -------=≥=⋅⋅=⋅=--- n b n ∴=；（2）由（1）得：n n n a b n e =⋅，∴2323n n T e e e n e =+⋅+⋅++⋅， ∴234123n n eT e e e n e +=+⋅+⋅++⋅， ∴231(1)n n n e T e e e e n e +-=++++-⋅， 经化简整理得：1n 2211(1)(1)n n e T e e e e +⎛⎫=-+ ⎪---⎝⎭. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.22.已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）2()1x f x x =+；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明见解析；（3）102t -<<. 【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性和题干得到(0)00f b =⇒=，1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭进而求得参数；（2）根据奇偶性和单调性得到112211121112t tt t ⎧+<-⎪⎪⎪-<+<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩求解即可. 【详解】（1）(0)00f b =⇒=，2121()251x f a f x x ⎛⎫=⇒=⇒=⎪+⎝⎭； （2）任取1211x x -<<<， ()()()()()()()()1212121222121011x x x x f x f x f x f x x x ---=<⇒<++所以函数()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）11112222f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<--⇒+<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 110221311110222211311222t t t t t t t t ⎧⎧+<-⎪⎪<⎪⎪⎪⎪-<+<⇒-<<⇒-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪-<-<-<<⎪⎪⎩⎩. 【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.。