一元二次方程
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
方程计算公式
方程的公式是什么？
1、一元一次方程：ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）
2、二元一次方程：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
3、一元二次方程：ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
4、三元一次方程：ax+by+cz=d。
5、直线方程：
(1)一般式：Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式：知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)。
当k不存在时，直线可表示为x=x0
(3)截距式：若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/ b=1。
所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线。
一元二次方程求根公式德尔塔
一元二次方程求根公式德尔塔
我们要找出一元二次方程的求根公式，也就是德尔塔（Δ）的公式。
首先，我们需要了解一元二次方程的一般形式和它的求根公式。
一元二次方程的一般形式是：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，a≠0。
这个方程的求根公式是：
x = (-b ± √(Δ)) / (2a)
其中，Δ是德尔塔，它是一个判别式，用于确定方程的根的性质。
德尔塔（Δ）的公式是：
Δ = b^2 - 4ac
这个公式用于计算一元二次方程的根的数量和类型。
现在我们已经知道了一元二次方程的求根公式和德尔塔（Δ）的公式。
计算结果为：德尔塔（Δ） = -4ac + b2
所以，一元二次方程的德尔塔（Δ）的公式是：Δ = b^2 - 4ac。
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定方法是：
当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位)
即Δ大于零，有两个不相等的实根；Δ等于零，有一个实根；Δ小于零，无实根。
因此一元2次方程有实数根，Δ大于或者等于零。
知识拓展
一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不
是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2 。
、。
一元二次方程式
四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。
因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。
所以，我们也称此类方程式的解为根。
我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。
然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。
4-1 一元二次方程式的解法【因式分解法】因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。
我们以下面的例子来说明这种解法。
【范例1】求22151x x +=-的解。
【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。
由因式分解，可得2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为(21)(2)x x --= 0 所以，可得210x -=或20x -= 即12x =或2x =。
【类题练习1】求231030x x ++=的解。
【配方法】我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写为2(2)2x -=的形式，进而解得2x =2420x x -+=⇒242x x -=-两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -=∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -=⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。
当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥两边同时开方 ⇒ x -h =移项 ⇒ x = h注：x = h ±表示x = h x = h我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。
以下的例题继续来说明这种解法。
【范例2】求下列各方程式的解：(1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-=【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=-⇒22223383x x -⋅⋅+=-+⇒ 2(3)1x -=⇒31x -=±⇒ x -3 = 1或x -3 =-1⇒ x = 2或x = 4(2) 22460x x +-=⇒2230x x +-=⇒223x x +=⇒22221131x x +⋅⋅+=+⇒2(1)4x +=⇒12x +=±⇒12x +=或12x +=-⇒1x =或3x =-在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。
1元二次方程的公式法
1元二次方程的公式法一元二次方程啊，这可是数学里的一个重要知识点。
咱们先来说说啥是一元二次方程，它的一般形式是 ax² + bx + c = 0 ，这里的 a、b、c 都是常数，而且 a 还不能等于 0 。
要说一元二次方程的公式法，那可是解决这类问题的一把“万能钥匙”。
公式法就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这公式看起来有点复杂，但是只要搞清楚每个字母代表的意思，用起来那叫一个顺手。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。
我就拿了个很简单的例子，比如说 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 。
咱们把这些数字带进公式里，先算 b² - 4ac ，就是2²- 4×1×（-3）= 16 。
然后再把b 和算出来的这个值带到公式里，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。
那孩子眼睛一下子亮了，直说：“老师，原来这么简单！”在实际应用中，公式法可厉害了。
比如说要算一个物体的运动轨迹，或者算一个工程的进度啥的，都可能用到一元二次方程的公式法。
而且啊，这公式法还能检验我们前面用其他方法解出来的答案对不对。
咱再说说怎么能熟练掌握这个公式法。
首先，得把那几个字母代表啥记得牢牢的，可别弄混了。
然后就是多做几道题，俗话说得好，熟能生巧嘛。
还有啊，有些同学一看到根号就害怕，其实没啥好怕的，不就是个数学符号嘛，就把它当成一个普通的运算符号就行。
还有计算的时候要仔细，别粗心大意，一个小数字弄错了，结果可就全错啦。
总的来说，一元二次方程的公式法虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就一定能掌握好，让它成为我们解决数学问题的有力武器。
就像那个一开始迷糊的同学，后来不也搞明白了嘛。
方程的七种类型
方程的七种类型方程是数学中的重要概念，它描述了数学对象之间的关系。
在代数学中，方程可分为七种类型，分别是一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程、二元一次方程、二元二次方程和二元三次方程。
本文将分别介绍这七种类型的方程。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程类型，它的形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的关键在于找到x 的值使得等式成立。
通过移项、合并同类项和化简等步骤，可以求解出x的值。
例如，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的方法有多种，常用的方法是配方法和求根公式。
配方法通过将方程变形为完全平方式，进而求解出x的值。
求根公式是通过使用二次根式来求解方程。
例如，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x = 2或x = 3。
三、一元三次方程一元三次方程是形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知常数，x是未知数。
解一元三次方程的方法有多种，常用的方法是巴斯卡法和牛顿迭代法。
巴斯卡法通过将方程进行化简，然后使用求根公式求解出x的值。
牛顿迭代法是通过逐次逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。
例如，方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0的解为x = 1。
四、一元四次方程一元四次方程是形如ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的方程，其中a、b、c、d、e为已知常数，x是未知数。
解一元四次方程的方法有多种，常用的方法是费拉里法和求根公式。
费拉里法通过将方程进行变形，进而转化为两个二次方程的形式，然后使用求根公式求解出x的值。
求根公式是通过使用四次根式来求解方程。
例如，方程x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = 0的解为x = 1或x = 2或x = 3或x = 4。
一元二次方程的解法十字相乘法
对于多项式 x2 +(a+b)x+ab
x
a
步骤：
1.竖分二次项与常数项；
x
b
2.交叉相乘，积相加；
3.检验确定，横写因式。
x2 ax＋bx=(a+b)x ab
即：x 2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
十字相乘法： 借助十字交叉线分解因式的方法
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
=(x-2)(x+5)
当常数项是负数 时，分解的两个 数异号，其中绝 对值较大数符号 与一次项系数符 号相一致。
因式分解时，不但要 注意首尾分解，而且 需十分注意一次项系 数，才能保证因式分 解的正确性。
练习 因式分解：
(1) x2 + 5x+ 6
(2)
课后练习：分解因式 (x-y)2+(x-y)-6
总结：
二次多项式x2+px+q在分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个 同号因数，它们的符号与一次项系数p的符 号相同；
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个 异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同； 对于分解的两个因数，还要看它们的和是 不是等于一次项系数。
总结：
2.
3.
4.
1.2 一元二次方程的解法
——十字相乘法
复习回顾
一、计算：
(1) (x+1)(x+ 2)
(2)
(3)
(4) 总结：
复习回顾
反过来： (1)
(2)
(3)
(4) 所以：
= (x+1)(x+2)
十个从简单到难的方程
十个从简单到难的方程方程是数学中的基本概念，它描述了数学对象之间的关系。
解方程是数学中的一项重要技能，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在本文中，我将介绍十个从简单到难的方程，并提供详细的解答和分析。
1. 一元一次方程：x + 2 = 5解答：将方程两边同时减去2，得到x = 3。
这是一个简单的一元一次方程，只有一个未知数x，并且未知数的次数为1。
2. 一元二次方程：x^2 - 4 = 0解答：将方程移项，得到x^2 = 4。
然后对方程两边开平方，得到x = ±2。
这是一个一元二次方程，未知数的次数为2。
3. 一元三次方程：x^3 - 2x^2 + x = 0解答：将方程因式分解，得到x(x^2 - 2x + 1) = 0。
然后解得x = 0或x^2 - 2x + 1 = 0。
对于x^2 - 2x + 1 = 0，可以继续因式分解为(x - 1)^2 = 0，解得x = 1。
所以方程的解为x = 0或x = 1。
4. 一元高次方程：x^4 - 16 = 0解答：将方程移项，得到x^4 = 16。
然后对方程两边开四次方，得到x = ±2。
这是一个一元高次方程，未知数的次数为4。
5. 二元一次方程组：2x + y = 5，3x - 2y = 4解答：可以使用消元法或代入法解这个方程组。
使用消元法，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 10。
然后将第二个方程加上第一个方程，得到7x = 14，解得x = 2。
将x = 2代入第一个方程，得到2(2)+ y = 5，解得y = 1。
所以方程组的解为x = 2，y = 1。
6. 二元二次方程组：x^2 + y^2 = 25，x + y = 7解答：可以使用代入法解这个方程组。
将第二个方程改写为y = 7 - x，然后代入第一个方程，得到x^2 + (7 - x)^2 = 25。
展开并整理方程，得到2x^2 - 14x + 24 = 0。
1元二次方程求根公式
1元二次方程求根公式一元二次方程求根公式是解决一元二次方程的一种方法，可以通过这个公式得出方程的解析解。
在解决实际问题时，我们经常会遇到一元二次方程，因此掌握求根公式是十分重要的。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c 为已知系数，x为未知数。
我们通过求根公式可以得到方程的两个根，公式的形式如下：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a这里√(b^2 - 4ac)表示计算平方根，通常我们称为“根号”。
根号下面的内容称为判别式，它代表了根的性质。
接下来，我们将详细解释这个求根公式。
1.第一步：计算判别式方程的判别式Δ（Delta）等于 b^2 - 4ac，根据判别式的值我们可以判断方程的根的性质。
-当Δ>0时，方程有两个不同的实数根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个复数解。
2.第二步：套用求根公式根据判别式的值，我们可以得到不同的求根公式。
-当Δ>0时：求根公式为x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
这时方程有两个不同的实数根。
-当Δ=0时：求根公式为x1=x2=-b/(2a)。
这时方程有两个相等的实数根。
-当Δ<0时：求根公式为x1=(-b+√(，Δ，)i)/2a，x2=(-b-√(，Δ，)i)/2a。
其中i为虚数单位，这时方程没有实数解，但有两个复数解。
3.第三步：将系数代入求根公式将方程的系数a、b、c代入求根公式后，即可计算出x1和x2的值。
需要注意的是，除数不能为0，即a不能为0，否则方程不再是二次方程。
下面我们通过一个实例来解释求根公式的使用。
例题：解方程2x^2+5x+3=0的根。
解法：根据给定方程，我们可以知道a=2，b=5，c=3计算判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*2*3 = 25 - 24 = 1由于Δ>0，所以方程有两个不同的实数根。
△一元二次方程解法
△一元二次方程解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c皆为实数且a不等于零。
要解一元二次方程，我们可以使用以下步骤：
1. 将方程的三个项ax^2、bx和c按照次序排列。
2. 利用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，求得方程的解。
- 如果(b^2 - 4ac)大于零，则方程有两个不同的实数解。
- 如果(b^2 - 4ac)等于零，则方程有一个实数解。
- 如果(b^2 - 4ac)小于零，则方程无实数解，可以在复数域内得到两个共轭复数解。
4. 根据解的类型，得出一元二次方程的解。
这是一种常见且有效的求解一元二次方程的方法，通过将方程转化为求解一元二次方程根的问题，我们可以得到方程的解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视.一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解.（1）(3x+1)2=7 3x+1=2次根下7, 3x=2次根下7-1, x=2次根下7-1/3∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时,x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根.例3．用公式法解方程2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2, b=-8, c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x= = =∴原方程的解为x1=,x2= .4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-2( + )x+4=0 （选学）(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解.(2)2x2+3x=0x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0,x2=-是原方程的解.注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.(3)6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=, x2=- 是原方程的解.(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.小结：一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）.例5．用适当的方法解下列方程.(选学）（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0（3）x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0分析：（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积.（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解.（3）化成一般形式后利用公式法解.（4）把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0(5x-5)(-x+13)=05x-5=0或-x+13=0∴x1=1,x2=13（2）x2+(2- )x+ -3=0[x-(-3)](x-1)=0x-(-3)=0或x-1=0∴x1=-3,x2=1（3）x2-2 x=-x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0∴x=∴x1=,x2=（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=04x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=02x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0∴x1= ,x2=例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学）分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法）[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0即(5x-5)(2x-3)=0∴5(x-1)(2x-3)=0(x-1)(2x-3)=0∴x-1=0或2x-3=0∴x1=1,x2=是原方程的解.例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0x2+px+q=0可变形为x2+px=-q (常数项移到方程右边)x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)(x+)2= (配方)当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）∴x=- ±=∴x1= ,x2=当p2-4q一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]。
一眼二次方程求根公式
一眼二次方程求根公式一元二次方程的一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
一、推导过程。
1. 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 将方程左边配成完全平方式，x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边加上((b)/(2a))^2，得到x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成(x +(b)/(2a))^2，即(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
2. 然后求解x- 两边同时开平方，得到x+(b)/(2a)=±√((b^2)-4ac)/(4a^{2)}。
- 化简得x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项可得x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
二、使用求根公式的注意事项（以人教版教材为例）1. 确定a、b、c的值。
- 一定要将一元二次方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)后，才能准确确定a、b、c的值。
例如方程2x^2-3x = 4，要先化为2x^2-3x-4 = 0，此时a = 2，b=-3，c = -4。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的作用。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。
例如对于方程x^2+2x + 1 = 0，a = 1，b = 2，c = 1，Δ=2^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x=-1。
一元二次方程韦达公式
一元二次方程韦达公式
一元二次方程的韦达公式是解一元二次方程的重要方法之一。
韦达公式用于求
解形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
韦达公式给出
了方程的两个解，可以用来求解方程的根。
韦达公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
首先，我们根据方程的系数a、b和c，计算出Δ = b^2 - 4ac，即判别式。
接着，根据判别式的正负情况，可以得到方程的解的类型。
如果判别式Δ > 0，方程有两个不相等的实数解。
通过韦达公式，我们可以计
算出方程的两个解x1和x2，分别为 (-b + √Δ)/(2a) 和 (-b - √Δ)/(2a)。
这两个解分别
是方程的根。
如果判别式Δ = 0，方程有两个相等的实数解。
两个解相等且为实数，即方程
的根重合。
这时，我们可以使用韦达公式求得方程的解x = -b/(2a)。
如果判别式Δ < 0，方程没有实数解。
在这种情况下，方程的解是复数，我们
无法使用韦达公式求解。
一般情况下，我们会使用复数来描述方程的解。
总结来说，一元二次方程的韦达公式是一个非常有用的工具，可以用来求解方
程的根。
通过计算判别式，我们可以确定方程的解的类型，并使用韦达公式计算出方程的根。
1元二次方程根与系数的关系公式
1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。
咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。
韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。
可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。
”我笑了笑，给他举了个例子。
假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。
比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。
再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。
而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。
一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。
在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
初中数学 方程的分类有哪些
初中数学方程的分类有哪些在初中数学中，方程可以按照不同的特征进行分类。
以下是几种常见的方程分类：1. 一元一次方程：一元一次方程是最简单的方程形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b 是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的方法通常是通过移项、合并同类项和求解一元一次方程的一般步骤。
2. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的方法可以通过配方法、因式分解、求根公式等。
3. 多元一次方程：多元一次方程是包含多个未知数的一次方程。
多元一次方程的一般形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b，其中a1、a2、...、an和b是已知数，x1、x2、...、xn是未知数。
解多元一次方程的方法通常是通过消元、代入、求解一元一次方程等。
4. 分式方程：分式方程是包含有分数的方程。
分式方程的一般形式为P(x) / Q(x) = R(x) / S(x)，其中P(x)、Q(x)、R(x)和S(x)是多项式，x是未知数。
解分式方程的方法通常是通过通分、消去分母、求解一元一次方程等。
5. 绝对值方程：绝对值方程是包含有绝对值符号的方程。
绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解绝对值方程的方法可以通过列出正负两种情况，再求解一元一次方程等。
6. 指数方程：指数方程是包含有指数的方程。
指数方程的一般形式为a^x = b，其中a和b是已知数，x是未知数。
解指数方程的方法可以通过取对数、换底公式等。
以上是初中数学中常见的方程分类。
了解不同类型的方程有助于我们在解题过程中选择合适的解法和方法，提高解题的效率和准确性。
一元二次方程的顶点公式
一元二次方程的顶点公式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数常数，并且a≠0。
求一元二次方程的解通常有三种方法：因式分解、配方法和根的公式。
在这里，我们将讨论一元二次方程的顶点公式。
顶点公式是一种计算并描述一元二次方程抛物线的顶点坐标的方法。
抛物线的顶点是其最高（或最低）点，具有最大或最小的y值。
这个顶点可以通过顶点公式计算得到。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的标准形式ax²+bx+c=0。
根据顶点公式，一元二次方程的顶点的x坐标可以通过公式x=-b/2a来计算。
这意味着顶点的x坐标是直线x=-b/2a的横坐标，它是抛物线的对称轴。
为了计算顶点的y坐标，我们将x的值代入原方程中，即：y=ax²+bx+c。
用顶点的x坐标取代x，我们得到y=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c。
经过简化，我们可以得到一个新的公式y=c-(b²/4a)。
所以，顶点的坐标就是(-b/2a,c-(b²/4a))。
让我们通过一个具体的例子来演示一下使用顶点公式求解一元二次方程的顶点坐标。
假设我们要解方程x²-4x+3=0的顶点坐标。
首先，我们找出a、b和c分别是1、-4和3、然后，我们可以直接使用顶点公式x=-(-4)/2(1)来计算顶点的x坐标，得到x=2、接下来，我们将此值代入方程y=1(2)²-4(2)+3，得到y=1所以，这个方程的顶点坐标是(2,1)。
顶点公式是一种简单而有效的方法，可以帮助我们求解一元二次方程的顶点坐标。
通过顶点公式，我们可以确定抛物线的对称轴，并找出抛物线最高（或最低）点的坐标。
这使得我们更好地理解和分析一元二次方程的性质和特点。