(完整版)直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程练习一
直线的一般式方程练习一1. 已知直线过A(3,m+1)，B(4,2m+1)两点且倾斜角为56π，则m的值为（）A.−√3B.√3C.−√33D.√332. 直线l:y=√3x+1的倾斜角为()A.π3B.π6C.π4D.5π123. 过点(1, −3)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为()A.x−2y−7=0B.2x+y+1=0C.x−2y+7=0D.2x+y−1=04. 已知直线过点(1, 2)，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A.2x−y＝0B.2x+y−4＝0C.2x−y＝0或x+2y−2＝0D.2x−y＝0或2x+y−4＝05. 已知直线kx−y+1−3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点________．6. 已知直线l1:ax+4y−1=0，l2:x+ay−12=0，若l1 // l2，则实数a=________．7. 设直线l1：(3+m)x+4y=5−3m与l2:2x+(5+m)y=8，若l1 // l2，则m=________；若l1⊥l2，则m=________．8. 直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0平行，则a=________．9. 过点(−1, 2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．10. 直线AB的方程为x−√3y+√3=0，则直线AB的倾斜角为()A.30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘11. 已知两条直线l1:ax−by+4=0和l2：(a−1)x+y+b=0，若l1⊥l2且l1过点(−3, −1)，求a，b的值．12. 已知直线l过点P(3, 2)．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．13. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．14. 分别求经过下列两点的直线的斜率：（1）(−3, 2)，(2, −1)；（2）(2, 0)，(0．−4)；（3）(2, 1)，(3, 1)；（4）(a, a)，(a−1, a+3)．15. 直线l过点P(−2, 1)且斜率为k(k>1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45∘得直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点．（1）用k表示直线m的斜率；（2）当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程．参考答案与试题解析直线的一般式方程练习一一、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）1.【答案】C【考点】直线的斜率直线的倾斜角【解析】根据题意，由直线的倾斜角可得直线AB的斜率，又由AB的坐标结合两点间连线的斜率公式可得k的值，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线AB的倾斜角为56π，则其斜率k=tan56π=−√33，又因为A(3,m+1)，B(4,2m+1)，则AB的斜率k=(2m+1)−(m+1)4−3=m，则有m=−√33.故选C．2.【答案】A【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，由题意知k=tanθ=√3，∴ θ=π3.故选A.3.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的点斜式方程【解析】设与直线x−2y+3=0垂直的直线的方程为2x+y+c=0，把点(1, −3)的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点(1, −3)的坐标代入得2−3+c=0，∴c=1，故所求的直线方程为2x+y+1=0.故选B.4.【答案】D【考点】直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）5.【答案】(3, 1)【考点】过两条直线交点的直线系方程【解析】化直线方程为点斜式，由点斜式的特点可得答案．【解答】直线方程kx−y+1−3k＝0可化为y−1＝k(x−3)，由直线的点斜式可知直线过定点(3, 1)；6.【答案】−2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l1:ax+4y−1=0，l2:x+ay−12=0，∴a1=4a≠−1−12，解得a=−2.故答案为：−2．7.【答案】−7,−133【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由直线的平行和垂直关系分别可得m的方程，解方程验证可得．【解答】解：∵两直线l1：(3+m)x+4y=5−3m与l2:2x+(5+m)y=8，∴若l1 // l2，则(3+m)(5+m)−4×2=0，解得m=−1或m=−7，当m=−1时两直线重合应舍去，∴m=−7；若l1⊥l2，则2(3+m)+4(5+m)=0，解得m=−133.故答案为：−7；−133.8.【答案】−1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a 的值．【解答】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0平行，∴a1=2a−1≠6a2−1，解得a=−1.故答案为：−1．9.【答案】2x+y=0或x+y−1=0【考点】直线的截距式方程【解析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案．【解答】解：当直线过原点时，直线的斜率k=−2，直线方程为y=−2x，即2x+y=0；当直线不过原点时设直线方程为x+y=a，代入点(−1, 2)得：−1+2=a，即a=1．∴直线方程为：x+y−1=0．∴过点(−1, 2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为2x+y=0或x+y−1=0．故答案为：2x+y=0或x+y−1=0．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）10.【答案】A【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，直线的斜率k=√33，设直线的倾斜角为α，则tanα=√33.因为α∈[0∘，180∘)，所以α=30∘.故选A.11.【答案】解：由l1⊥l2，得：a(a−1)−b=0①；由l1过点(−3, −1)，得−3a−b+4=0②；由①②解方程组得：a=−1+√5，b=7−3√5；或a=−1−√5，b=7+3√5．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】由l1⊥l2，得a(a−1)−b=0①；l1过点(−3, −1)，得−3a−b+4=0②；由①②组成方程组，解方程组即可．【解答】解：由l1⊥l2，得：a(a−1)−b=0①；由l1过点(−3, −1)，得−3a−b+4=0②；由①②解方程组得：a=−1+√5，b=7−3√5；或a=−1−√5，b=7+3√5．12.【答案】解：（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=23x．当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点(3, 2)代入可得3+2=a，可得a=5．∴直线方程为x+y=5．综上可得直线方程为：y=23x，x+y=5．（2）设直线的方程xa +yb=1，把点P(3, 2)代入可得3a+2b=1．∴1≥2√3a ×2b，化为ab≥24，当且仅当3a=2b=12，即a=6，b=4时取等号．∴△ABO的面积的最小值为12ab=12，此时直线l的方程为x6+y4=1．【考点】直线的截距式方程【解析】（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=23x．当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点(3, 2)代入即可得出；（2）设直线的方程xa +yb=1，把点P(3, 2)代入可得3a+2b=1．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=23x．当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点(3, 2)代入可得3+2=a，可得a=5．∴直线方程为x+y=5．综上可得直线方程为：y=23x，x+y=5．（2）设直线的方程xa +yb=1，把点P(3, 2)代入可得3a+2b=1．∴1≥2√3a ×2b，化为ab≥24，当且仅当3a=2b=12，即a=6，b=4时取等号．∴△ABO的面积的最小值为12ab=12，此时直线l的方程为x6+y4=1．13.【答案】解：(1)由题意可知，若2−a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=−1，化为y+3=0，舍去．若a≠−1，2，化为：x a−2a+1+ya−2=1，令a−2a+1=a−2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．综上所述直线l的方程为：x+y+2=0或3x+y=0.(2)y=−(a+1)x+a−2，∵l不经过第二象限，∴{−(a+1)≥0，a−2≤0，解得：a≤−1．∴实数a的取值范围是(−∞, −1]．【考点】直线的截距式方程直线的斜截式方程直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y ＝−(a +1)x +a −2，由于l 不经过第二象限，可得{−(a +1)≥0a −2≤0，解出即可得出．【解答】解：(1)由题意可知，若2−a =0，解得a =2，化为3x +y =0．若a +1=0，解得a =−1，化为y +3=0，舍去．若a ≠−1，2，化为：x a−2a+1+y a−2=1，令a−2a+1=a −2，化为a +1=1，解得a =0，可得直线l 的方程为：x +y +2=0．综上所述直线l 的方程为：x +y +2=0或3x +y =0.(2)y =−(a +1)x +a −2，∵ l 不经过第二象限，∴ {−(a +1)≥0，a −2≤0，解得：a ≤−1．∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −1]．14.【答案】由斜率公式得：k =2−(−1)−3−2=−35； 由斜率公式得：k =0−(−4)2−0=2； 由斜率公式得：k =1−12−3=0；由斜率公式得：k =a−(a+3)a−(a−1)=−3．【考点】直线的斜率【解析】利用斜率公式即可求解．【解答】由斜率公式得：k =2−(−1)−3−2=−35； 由斜率公式得：k =0−(−4)2−0=2； 由斜率公式得：k =1−12−3=0；由斜率公式得：k =a−(a+3)a−(a−1)=−3．15.【答案】设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α+45∘，k m=tan(45+α)=1+tanα1−tanα=1+k1−k，∴直线l的方程为y−1＝k(x+2)，直线m的方程为y−1=1+k1−k(x+2)令x＝0，得y Q=2k+1,y R=3+k1−k，∴S△PQR=12|y Q−y R|⋅|x P|=|2(k2+1)k−1|∵k>1，∴S△PQR=|2(k2+1)k−1|=2⋅k2+1k−1=2[(k−1)+2k−1+2]≥4(√2+1)由k−1=2k−1得k=√2+1（k=1−√2舍去），∴当k=√2+1时，△PQR的面积最小，最小值为4(√2+1)，此时直线l的方程是(√2+1)x−y+2√2+3=0．【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）用点斜式求出m和l的方程，利用直线l绕P点按逆时针方向旋转45∘得直线m求出直线m的倾斜角为α+45∘；进而得到直线m的斜率；（2）求出R，Q两点的坐标，计算△PQR的面积，变形后应用基本不等式求出它的最小值．【解答】设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α+45∘，k m=tan(45+α)=1+tanα1−tanα=1+k1−k，∴直线l的方程为y−1＝k(x+2)，直线m的方程为y−1=1+k1−k(x+2)令x＝0，得y Q=2k+1,y R=3+k1−k，∴S△PQR=12|y Q−y R|⋅|x P|=|2(k2+1)k−1|∵k>1，∴S△PQR=|2(k2+1)k−1|=2⋅k2+1k−1=2[(k−1)+2k−1+2]≥4(√2+1)由k−1=2k−1得k=√2+1（k=1−√2舍去），∴当k=√2+1时，△PQR的面积最小，最小值为4(√2+1)，此时直线l的方程是(√2+1)x−y+2√2+3=0．。
【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
直线的方程(解析版)
第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1 直线的点斜式方程名师导学【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝3； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C (－1，2)，且与y 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3[x －(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y －4＝－(x ＋1)．(3)∵直线与y 轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x ＝－1. (4)∵直线过点D (2，1)和E (3，－4)， ∴斜率k ＝－4－13－2＝－5.由点斜式得y －1＝－5(x －2)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －5＝4(x －2)； (2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝ 3.∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2.【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)． ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【证明】 法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0，5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k |·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k ·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5).名师导练A 组-[应知应会]1．（宣城期末）过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=【答案】C【解析】∵直线过点()3,2且斜率为23， 由直线方程的点斜式得：22(3)3y x -=-， 整理得：230x y -=. 故选C.2．（绵阳期末）已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C. 3．（上饶期末）直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( ) A ．3，3 B ．3，－3 C ．3，3 D ．－3，－3 【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为3，令x ＝0可得在y 轴上的截距为y ＝－3.故选B. 4．（通州区期末）直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0【答案】 B【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5．（龙凤区校级期末）过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 【答案】D【解析】因为所求直线与直线25y x =+垂直，所以其斜率为12k =-， 又所求直线过点()2,0， 因此，所求直线方程为：()122y x =--，即112y x =-+. 故选D.6．（南关区校级期末）已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--【答案】C 【解析】直线l 与直线21y x =-+平行，∴直线l 的斜率与21y x =-+的斜率相等，即直线l 的斜率：2k =-；又直线l 过点()2,0，则由点斜式可知直线方程为()022y x -=-- 整理可得：24y x =-+ 故选C.7．（兴庆区校级期末）直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________． 【答案】 －5【解析】 ∵令x ＝0，则y ＝－5， ∴直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是－5.8．（无锡期末）在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】 与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为： k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．（金牛区校级期末）与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．【答案】 y ＝34x －3【解析】 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34.设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0，得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.10．（南岗区校级期末）斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3【解析】 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3.由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋16b 29＝12， 即|b |＋43|b |＋53|b |＝12，即4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是2； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.【解析】 (1)斜率k ＝tan 45°＝1，可得斜截式：y ＝x ＋2. (2)k ＝－1－10－3＝23，可得斜截式方程：y ＝23x －1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的斜截式方程． 【解析】 (1)∵所求直线与直线y ＝2x ＋7平行， ∴所求直线斜率为2， 由点斜式方程可得 y －1＝2(x －1)．(2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴所求直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.B 组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝ －38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 3.2.2 直线的两点式方程名师导学知识点1 直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【解答】直线AB 过A (1，3)，B (－2，－1)，其两点式方程为y －3－1－3＝x －1－2－1，整理，得4x －3y ＋5＝0，这就是直线AB 的方程．直线AC 垂直于x 轴，其方程为x ＝1.直线BC 平行于x 轴，其方程为y ＝－1.【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为y －（－1）1－（－1）＝x －21－2，整理得2x ＋y －3＝0，故选C.知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． 【解答】(1)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a ＝1，解得a ＝－1.所以直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l 过原点时，设直线l 的方程为y ＝kx ，因为l 过点A (3，4)，所以4＝k ·3，解得k ＝43，直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 【解析】(1)当截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，又知l 过(3，4)，∴3a ＋4a ＝1，解得a ＝7， ∴直线l 的方程为x ＋y －7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －7＝0或4x －3y ＝0. 知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【解答】如图，过B (3，－3)，C (0，2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5，0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 这就是BC 边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A (4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． 【解析】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.又因为过点A ，所以4a ＋2b ＝1. ①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|a |＝|b |. ② 由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. 所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2， 即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师导练A 组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.【答案】 A2．（红桥区期中）经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是 ( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y 4＝1 【解析】 由P ，Q 两点坐标知直线在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x4－y3＝1. 【答案】 C3．（江宁区校级月考）过点P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)代入方程得a ＝1.因而所求直线有2条． 【答案】 B4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为： y －0－5－0＝x －52－5，整理，得5x －3y －25＝0. 故选B. 【答案】 B5．（朝阳区校级月考）已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 显然a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等， ∴2a ＝2，解得a ＝1，故选A. 【答案】 A6．（庐江县校级期末）点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则 ( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5【解析】 ∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D. 【答案】 D7．（海淀区校级期末）已知A (2，－1)，B (6，1)，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 中点的直线方程为________．【解析】 由于A (2，－1)，B (6，1)，故线段AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在y 轴上的截距是－3，∴直线方程为x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.【答案】 3x －4y －12＝08．（红岗区校级期末）过点P (3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________． 【解析】 当直线过原点时，斜率等于2－03－0＝23，故直线的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，把P (3，2)代入直线的方程得m ＝－5， 故求得的直线方程为x ＋y －5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝09．（兴庆区校级期末）求经过点A (－2，3)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－2，3)代入y ＝kx 中，得k ＝－32，此时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x 2a ＋ya＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a ＝2，此时，直线方程为x ＋2y －4＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y －4＝0或3x ＋2y ＝0.10．（城关区校级期末）求经过点A (－2，3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】 过A ，B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4.点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1.B 组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1的位置，判断a ，b 的正负，从而确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.【答案】 D3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，∴6＝12×|－d 3|×|－d 4|＝d 224，∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－34．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 35．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 【解】 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32.因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.所以C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.3.2.3 直线的一般式方程名师导学知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【分析】(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项满足要求． (2)令y ＝0，则x ＝－3 3.【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2，化为一般式为：4x －y －2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ），解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直． 【解析】l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1，3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 由题意可设所求的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠2)， 代入已知点(2，1)，可得4－1＋c ＝0，即c ＝－3， 故所求直线的方程为：2x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．【解析】 直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，分别化为：y ＝－a ＋13x －23，y ＝－12x －12.若l 1∥l 2，则－a ＋13＝－12，解得a ＝12.若l 1⊥l 2，则－a ＋13×(－12)＝－1，解得a ＝－7.【答案】 12－7名师导练A 组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋c b .∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D. 【答案】 D6．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2，则－a2＝－1，解得a ＝2. 【答案】 27．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2.【答案】 28．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求． 【答案】 2x ＋3y ＋4＝09．（和平区校级期中）若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 10．（如东县期中）(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]1．（昌江区校级期末）若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.【答案】 a ≠±12．（河南校级月考）已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3. 3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)．因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
直线方程经典例题及解析
直线方程经典例题及解析直线是我们在几何学中经常遇到的基本概念之一，研究直线方程是数学中的一个重要分支。
本文将介绍几个经典的直线方程例题，并逐步解析它们的求解过程。
例题1：求过两点的直线方程已知直线上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，请求出通过这两个点的直线方程。
解析：我们知道，直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是与y 轴交点的纵截距。
首先我们需要计算斜率k，根据斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)然后，我们可以使用其中一个点（例如A点），将点坐标带入方程：y1 = kx1 + b可以得到b的值：b = y1 - kx1因此，通过这两个点的直线方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + (y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1)这就是通过两个已知点求直线方程的方法。
例题2：求与两直线的交点已知直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，求两直线的交点坐标。
解析：假设L1和L2的交点坐标为(x, y)。
那么根据直线方程，我们可以得到：k1x + b1 = k2x + b2整理后可得：(k1 - k2)x = b2 - b1从而得到交点横坐标x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)将x的值带入任意一条直线方程中，可以求出交点纵坐标y的值。
综上所述，我们可以通过以上步骤求得直线L1和L2的交点坐标。
例题3：已知截距和斜率求直线方程已知直线L的斜率为k，与y轴的截距为b，请求直线L的方程。
解析：根据直线方程y = kx + b，我们已知直线L的截距和斜率。
根据已知信息，我们可以直接写出直线L的方程：y = kx + b就是这么简单！我们只需将已知的斜率k和截距b带入直线方程即可求得直线L的方程。
例题4：已知直线与坐标轴的交点已知直线L与x轴和y轴的交点分别为A(2,0)和B(0,3)，求直线L的方程。
直线的一般式方程参考答案
2.2.3 直线的一般式方程参考答案1．过点(2,1)，斜率k ＝－2的直线方程为( )A ．x －1＝－2(y －2)B ．2x ＋y －1＝0C ．y －2＝－2(x －1)D ．2x ＋y －5＝0答案 D解析 根据直线方程的点斜式可得，y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.2．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0 答案 A解析 过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线的斜率为12，由点斜式求得直线的方程为y －3＝12(x －2)，化简可得x －2y ＋4＝0，故选A. 3．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝bx ＋a .A 中，由图知l 1∥l 2，而a ≠b ，故A 错；B 中，由l 1的图象可知，a <0，b >0，由l 2的图象知b >0，a >0，两者矛盾，故B 错；C 中，由l 1的图象可知，a >0，b >0，由l 2的图象可知，a >0，b >0，故正确；D 中，由l 1的图象可知，a >0，b <0，由l 2的图象可知a >0，b >0，两者矛盾，故D 错．4．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．－1答案 D解析 由l 1∥l 2知，a ×a ＝1×(a ＋2)，即a 2－a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1与l 2重合，不符合题意，舍去；当a ＝－1时，l 1∥l 2.∴a ＝－1.5．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－1 B.3，－1 C ．－3，1 D.3，1答案 A解析 原方程化为x 1a ＋y 1b＝1， ∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ， 且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选A.6．(多选)三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值可以是( )A ．－1B ．1C ．2D ．5答案 CD解析 直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都经过原点，而无论a 为何值，直线x ＋ay ＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x ＋ay ＝3与另两条直线不平行，所以a ≠±1.7．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．答案 2x －y ＋1＝0解析 由y －3＝2(x －1)得2x －y ＋1＝0.8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．答案 －415解析 把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. 9．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线l 过原点时，直线l 在x 轴和y 轴上的截距均为0，∴a ＝2，此时直线l 的方程为3x ＋y ＝0；当直线l 不过原点时，a ≠2，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a －2a ＋1，a －2， ∴a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0或a ＝2(舍去)， ∴直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知在△ABC 中，点A 的坐标为(1,3)，AB ，AC 边上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在直线的方程．解 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 分别为AB ，AC 的中点， ∵点B 在中线BE ：y －1＝0上，∴设B 点坐标为(x ,1)．又∵A 点坐标为(1,3)，D 为AB 的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，2.又∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0，解得x ＝5， ∴B 点坐标为(5,1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.11．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 ∵k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0.∴倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．如果直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，那么a ，b 的值分别为( )A ．－12，0 B ．2,0 C.12，0 D ．－12，2 答案 A解析 ∵直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1－b －2≠53，1＋a 1＝－1－2≠－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝0. 13．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )A ．－2B ．－4C ．10D ．8答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －4＝0，m ＋4p －2＝0，2－p ＋n ＝0，解得n ＝－2.14．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为______________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0(c ≠0)，令y ＝0，得x ＝－c 4，令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S ＝12⎪⎪⎪⎪－c 4·⎪⎪⎪⎪－c 3＝6，得c 2＝122，c ＝±12， ∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，B (－2,0)，C (1,0)，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为____________________．答案 x ＋4y －14＝0解析 过点H ，F 分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N (图略)． ∵四边形ACGH 为正方形，∴Rt △AMH ≌Rt △COA ，∵OC ＝1，MH ＝OA ＝2，∴OM ＝OA ＋AM ＝3，∴点H 的坐标为(2,3)，同理得到F (－2,4)，∴直线FH 的方程为y －34－3＝x －2－2－2， 化为一般式方程为x ＋4y －14＝0.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝a ＋1，B ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，当a 取何值时，A ∩B ＝∅？解 集合A ，B 分别为xOy 平面上的点集．集合A 表示l 1：(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(x ≠2)，集合B 表示l 2：(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)(a －1)＝－1·(a 2－1)，－1·(－15)≠(a －1)(－2a ＋1)，得a ＝±1. ①当a ＝1时，B ＝∅，A ∩B ＝∅；②当a ＝－1时，集合A 表示直线y ＝3(x ≠2)，集合B 表示直线y ＝－152，两直线平行．A ∩B ＝∅； ③由l 1可知(2,3)∉A ，当(2,3)∈B ，即2(a 2－1)＋3(a －1)－15＝0时，可得a ＝－4或a ＝52，此时A ∩B ＝∅.综上可知，当a 的值为－4，－1,1，52时，A ∩B ＝∅.。
直线的方程(解析版)
直线的方程(解析版)直线的方程(解析版)直线是几何学中的基本元素，也是数学中的重要概念之一。
直线的方程是研究直线性质和解决相关问题的基础。
在本文中，我们将详细讨论直线的方程及其解析表示方法。
一、直线的定义直线是由无数个点组成的，这些点满足连接其中任意两点的线段都完全在这条线上。
直线可以用来描述两个平面上的对应点之间的关系。
直线是平面几何学中最基本的图形之一。
二、直线方程的基本形式直线方程的基本形式是y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
斜率用来描述直线的倾斜程度，截距则表示直线与y轴的交点。
三、一般形式求解直线方程1. 已知两点求直线方程假设已知直线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 计算斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)；(2) 根据其中一个点和斜率，使用点斜式方程得到直线方程：y - y₁ = k(x - x₁)；(3) 化简得到一般形式：y = kx - kx₁ + y₁。
2. 已知斜率和截距求直线方程假设已知直线的斜率k和截距b，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 使用斜截式方程：y = kx + b。
四、直线方程的特殊情况1. 垂直于x轴的直线对于垂直于x轴的直线，斜率为无穷大，因此直线方程可以简化为x = a的形式，其中a为直线与x轴的交点的横坐标。
2. 垂直于y轴的直线对于垂直于y轴的直线，斜率为0，因此直线方程可以简化为y = b的形式，其中b为直线与y轴的交点的纵坐标。
五、直线方程的性质1. 斜率直线的斜率用来描述直线的倾斜程度。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为0表示直线水平。
2. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率互为负倒数。
六、实例分析以下是一些实例，展示了如何根据已知条件来确定直线的方程。
直线的一般式方程例题及答案
直线的一般式方程例题及答案直线的一般式方程是一种描述直线位置关系的方程形式。
对于给定直线，一般式方程可以唯一地确定它的位置和方向。
在这篇文章中，我们将会讲解一些常见的直线方程例题以及它们的答案，希望能对大家理解直线的一般式方程有所帮助。
例题1：给出点P(-3, 4)和直线L: 3x + 4y + 5 = 0，求P到L的距离。
解法：我们需要用到一个公式，即点到直线的距离公式。
该公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中，(x0, y0)为点P的坐标，Ax + By + C = 0为直线L的一般式方程。
将点P和直线L的值代入公式中，可得：d = |3(-3) + 4(4) + 5| / √(3^2 + 4^2) = 25 / 5 = 5因此，点P到直线L的距离为5。
例题2：求过点A(1, 2)且与直线L1: 2x - 3y + 1 = 0垂直的直线L2的一般式方程。
解法：由于直线L2与直线L1垂直，所以它们的斜率乘积为-1。
因此，我们需要先求出直线L1的斜率，然后求出直线L2的斜率。
将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：y = (2/3)x + 1/3因此，L1的斜率为2/3。
由于L2与L1垂直，所以L2的斜率为-3/2。
因此，直线L2的一般式方程为：3x + 2y + c = 0需要求出常数c。
将点A的坐标代入该方程中，可得：3(1) + 2(2) + c = 0解出c，可得c = -9。
因此，直线L2的一般式方程为：3x + 2y - 9 = 0例题3：求直线L1: 2x - y + 3 = 0和直线L2: 3x + ky - 1 = 0的交点坐标。
解法：我们可以将L1的一般式方程转化为y = 2x + 3的斜截式方程。
然后将该方程代入L2中，得到一个只含有x的方程。
解出x之后，再代入y = 2x + 3，即可求出交点坐标。
将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：y = 2x + 3将该方程代入L2中，可得：3x + k(2x + 3) - 1 = 0化简得到：(3 + 2k)x + 3k - 1 = 0因为L1和L2有交点，所以该方程有解。
直线方程的一般式课件可编辑全文
(2)方法 1：当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0 两直 线既不平行也不垂直；当 m≠0 时，
l1：y＝－m1 x－m6 ，l2：y＝－m－3 2x－23m，
解得 m＝2 或 3.故选 A.
• [错因分析] 错解忽视了当m＝2时，2m2－ 5m＋2＝0且－(m2－4)＝0.
• [思路分析] 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝ 0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0， 即A2＋B2≠0.当A＝B＝0时，方程变为C＝0， 不[表正解示] 任直何线图l1 的形斜．率为2m2m－2－5m4＋2，直线 l2 的斜率为 1，
• (2)当A＝0且B≠0时，这条直线与y轴垂直．
• (3)要使直线与x轴，y轴都相交，则它与两轴 都不垂直，由(1)(2)知，当A≠0且B≠0，即当 AB≠0时，这条直线与x轴和y轴都相交．
• (4)将x＝0，y＝0代入直线方程Ax＋By＋C＝ 0，得C＝0，故当C＝0时，这条直线过原 点．
• (5)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线方程化为y ＝0，直线与x轴重合．
斜率不存在 斜率 k＝0
• ●自我检测
• 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B 应满足的条件为( )
• A．A≠0
B．B≠0
• C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
• [答案] D
• [解析] A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0.
2．直线 2x＋y＋4＝0 的斜率 k＝( )
A．2
B．－2
ax＋by＝1
a，b 分别是直线 直线不垂直于 在 x 轴，y 轴上的 x 轴和 y 轴，且 两个非零截距 不过原点
直线的一般式方程(附答案解析)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95D.－3 3 答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项. 又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限， 所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－33.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋y b＝1， ∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)， 即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2； 直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a. (1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直. 题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3， 所以4m －12m 2＋m －3＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a 的直线.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为() A.A ≠0 B.B ≠0C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2B.2C.－3D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A.C ＝0，B >0B.A >0，B >0，C ＝0C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3B.3C.13D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≠±1B.a ≠1，a ≠2C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得：m ＝3.3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－aa ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直. ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意.故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.。
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题（含答案）
本文将介绍直线与方程问题的基本概念和解题方法，并提供一些示例问题及其答案。
以下是内容的简要概述：
直线与方程的基本概念
- 直线：直线是由一组无限延伸的点组成的，可以用线段来表示。
直线有无限多个点，无限延伸的长度和方向。
- 方程：方程是数学表达式中的等式，其中包含一个或多个未知数。
方程描述了两个对象之间的关系。
直线与方程问题的解题方法
- 求两点间的斜率：通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来得到直线的斜率。
- 根据斜率和一点求直线的方程：使用斜率和已知点的坐标来确定直线的方程。
- 点斜式方程：通过已知直线上的一点和该直线的斜率来写出直线的方程。
- 一般式方程：将直线的方程转化为一般的标准形式，即Ax + By + C = 0。
示例问题及答案
1. 求经过点A(2, 3)和点B(5, 7)的直线的斜率。
解答：斜率 = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3
2. 已知直线上的一点为P(4, 2)，斜率为2/5，求该直线的方程。
解答：使用点斜式方程，直线的方程为 y - 2 = (2/5)(x - 4)
3. 将直线的方程2x + 3y - 6 = 0转化为一般式方程。
解答：将方程重新排列为3y = -2x + 6，然后将其化简为Ax + By + C = 0的形式，即2x + 3y - 6 = 0。
以上是关于直线与方程问题的基本概念、解题方法和示例问题
的介绍。
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223 直线的一般式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程（基础知识+基本题型）知识点一：直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），Cb B -=（y 轴上的截距）；（2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.拓展直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式，斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．因此,要注意运用分类讨论的思想．在高考中,题型以选择题和填空题为主,与其他知识点综合时,一般以解答题的形式出现．知识点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠）1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.考点一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y ―4=0（2）y ―2=0（3）2x ―y ―3=0（4）10x y +-=【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y ―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x ―y ―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．考点二：直线与坐标轴形成三角形问题例2．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．考点三利用一般式研究平行或垂直例3.已知直线l 的方程为34120x y +-=，求直线'l 的方程，'l 满足：（1）过点(1,3)-，且与l 平行；（2）过点(1,3)-，且与l 垂直.解：方法1：由已知，l 的方程34120x y +-=可化为334y x =-+，所以直线l 的斜率为34-.（1）由l 与'l 平行，得直线'l 的斜率为34-.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.（2）由l 与'l 垂直，得直线'l 的斜率为43.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为43(1)3y x -=+，即43130x y -+=.方法2：（1）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为340x y m ++=.将点(1,3)-代入上式，得9m =-.所以直线'l 的方程为3490x y +-=.（2）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为430x y n -+=.将点(1,3)-代入上式，得13m =.所以直线'l 的方程为43130x y -+=.总结：（1）直线1111:0l A x B y C ++=，直线2222:0l A x B y C ++=：①'12210l l A B A B ⇔-= ，且122112210(0)B C B C A C A C -≠-≠或；②'12120l l A A B B ⊥⇔+=.（2）利用平行与垂直的关系巧设方程①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为10Ax By C ++=，再由其他条件求1C .注意当1C C =时，两直线重合，当1C C ≠时，两直线平行.②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为20Bx Ay C -+=，再由其他条件求2C .例4（1）过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是．(2)已知直线l 过点(2,1)p ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则BC △O 面积的最小值为；此时的直线方程为．【解析】欲求“直线与两坐标轴围成的三角形的面积”，设直线方程并求其在两坐标轴上的截距是解题的关键．（1）设所求直线方程为4(5)y k x +=+，依题意有14(5)(54)52k k--=，所以22530160k k -+=（无解）或22550160k k -+=，解得25k =或85k =；所以直线方程是25100x y --=或85200x y -+=．（2）设直线AB 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则11(2)(12)211 =44211 4(4)()21 442S k k k k k k =----=--+-≥+=△O A B ，当且仅当14kk-=-即12k=-时取等号，故当12k=-时，OABS△有最小值4．此时，直线方程为11(2),2y x-=--即240x y+-=．反思：本题第（2）小题是将面积化成关于斜率k的函数，然后用函数的有关方法求最值．这里的关键是根据函数式的结构特征选用均值不等式．。
2.2.3直线的一般式方程
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y
的二元一次方程来表示．( √ )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( √ )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.( × ) (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．(
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存 在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1， 所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
成套的课件成套的教案成套的试题成套
∴l 的斜率为－3. 4
(1)由 l′与 l 平行，∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为 y－3＝－3(x＋1)，即 3x
4 ＋4y－9＝0.
成套的课件成套的教案成套的试题成套
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43， 又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0.
般式．
成套的课件成套的教案成套的试题成套
题型二 直线一般式下的平行与垂直问题 例 1 (1)已知直线 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 l2：mx＋3y －2＝0 平行，求 m 的值； (2)当 a 为何值时，直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0 与直线 l2： (a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直？ 分析：注意考虑斜率不存在情况
∵上式对任意的 a 总成立，
直线的一般式方程含答案
直线的一般式方程1、若直线0=++C By Ax 经过第一、二、三象限，则( )0,0.>>BC AB A 0,0.<>BC AB B 0,0.><BC AB C 0,0.<<BC AB D2、若方程()(),0143222=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足( )1.≠m A 23.-≠m B 0.≠m C 1.≠m D 且23-≠m 且0≠m3、已知两条直线()021=-++y x a 和()0122=+++y a ax 互相垂直，则a 的值为( )1.-A 或2 1.-B 或2- 1.C 或2 1.D 或2-4、无论m 为何值时，直线()0121=++--m y x m 恒过定点( )⎪⎭⎫⎝⎛-21,1.A ()0,2.-B ()3,2.C ()3,2.-D5、已知直线01=-+by ax 在y 轴上的截距为,1-且它的倾斜角是直线033=--y x 的倾斜角的两倍，则( )1,3.==b a A 1,3.-==b a B 1,3.-=-=b a D6、过点()3,1-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为( )012.=-+y x A 052.=-+y x B 052.=-+y x C7、直线()()05425222=+--+-y m x m m 的斜率与直线01=+-y x 的斜率相同，则=m ( )2.A 或3 2.B3.C 3.-D8、三条直线3,0,0=+=-=+ay x y x y x 能构成三角形，则a 的取值范围是( )1.±≠a A 2,1.≠≠a a B 1.-≠a C 2,1.≠±≠a a D9、若,0,0<>bc ac 则直线0=++c by ax 不经过第 象限。
10、已知直线(),0232:,06:221=++-=++m my x m l y m x l 求m 为何值时.//21l l11、已知直线0355:=+--a y ax l(1)、求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限； (2)、为使直线l 不经过第二象限，求a 得取值范围。
直线的方程(含答案)
(两粒种子★一片森林)直线的方程专题研究直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=+-C y A x B （C 为常数） （三）过定点的直线系① 斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；② 过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
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直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2， 得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1， 即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去； 当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限. 3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0. 4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B. 2.答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3. 3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断. 4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2). 6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1. 7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题 8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。