直线的一般式方程(附答案)

直线的一般式方程

[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.

知识点 直线的一般式方程

1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.

2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，

在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B .

3.直线一般式方程的结构特征

(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列.

(3)x 的系数一般不为分数和负数.

(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么

(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗

答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.

故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.

(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，

直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.

题型一 直线的一般形式与其他形式的转化

例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )

＋4y ＋7＝0

＋3y ＋7＝0 ＋3y －42＝0 ＋4y －42＝0

(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( )

B.－5 D.－33

答案 (1)B (2)D

解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.

又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，

所以只有B 项正确.

(2)令y ＝0则x ＝－3 3.

跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.

解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，

∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①

又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴12|a |·|b |＝1.②

由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧

a －

b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1，

b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2

＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.

题型二 直线方程的应用

例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：

(1)过点(－1,3)，且与l 平行；

(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.

解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，

∴l 的斜率为－34.

(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.

又∵l ′过点(－1,3)，

由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，

即3x ＋4y －9＝0.

(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，

由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，

即4x －3y ＋13＝0.

方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.

(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.

将(－1,3)代入上式得n ＝13.

∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.

跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.

(1)平行；(2)垂直.

解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2；

直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .

(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，

得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，

解得a ＝－1或a ＝2.

所以当a ＝－1或2时，两直线平行.

(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，

即1a ·－1＋a 2＝－1，解得a ＝13.

所以当a ＝13时，两直线垂直.

题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围

例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.

(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.

①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.

(1)答案 m ≠－3

解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线.

(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，

所以此直线的斜率是1，

所以－2m 2＋m －3m 2－m

＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－m 2－m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，

令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3

， 所以4m －12m 2＋m －3

＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧

m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.

所以m ＝－12或m ＝2.