角函数的平移与伸缩变换_整理
三角函数的基本变换
三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。
本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。
一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。
对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。
1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。
当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。
平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。
2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。
当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。
二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。
余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。
1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。
当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。
2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。
当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。
三角函数的图象变换与性质
三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。
接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。
三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。
平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。
伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。
翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。
通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。
正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。
正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。
余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。
余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。
正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。
正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。
正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们的图象可以通过适当的变换得到。
例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。
三角函数的伸缩变换与平移变换
三角函数的伸缩变换与平移变换嘿，你们知道吗，三角函数其实还挺有意思的呢。
它们可以通过
伸缩变换和平移变换，变得更加灵活多变。
就好比我们平时的生活一样，有时候也需要做些变化才能更加精彩呢。
哎呀，伸缩变换就是把三角函数的图像按照一定的比例进行伸缩，就好像我们自己的身高一样。
有时候我们想变得更高更远一些，就需
要做一下伸缩变换嘛。
这样一来，三角函数的图像就可以变得更高或
者更矮，更宽或者更窄了。
咦，平移变换和伸缩变换不太一样哦。
它是把三角函数的图像沿
着坐标轴水平或者垂直方向进行移动，就好像我们在空间中移动一样。
有时候我们想要到达不同的地方，就需要做一下平移变换。
这样一来，三角函数的图像就可以在坐标轴上来回移动了。
唉呦，你们知道吗，这些伸缩变换和平移变换其实也可以帮助我们更好地理解三角函数的特点。
就好像我们在生活中需要不断调整自己的状态一样，三角函数也可以通过这些变换，变得更加灵活和多样化。
嗨，如果你们对三角函数感兴趣的话，不妨也尝试一下图像的变换，也许会有意想不到的收获呢。
就好比我们平时生活中，经历一些变化之后，也会找到更多新的乐趣和意义一样。
三角函数的平移伸缩变换规律
三角函数的平移伸缩变换规律三角函数是数学中非常重要的一部分，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，平移和伸缩变换是非常常见的操作，通过对三角函数的平移和伸缩变换，我们可以得到不同的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质。
接下来，我们将详细介绍三角函数的平移伸缩变换规律。
首先，让我们来了解一下什么是三角函数的平移和伸缩变换。
在数学中，平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移，而伸缩变换则是指对函数图像进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，平移和伸缩变换会改变函数图像的周期、振幅、相位等性质。
对于正弦函数和余弦函数而言，它们的平移和伸缩变换规律如下：1. 正弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*sin(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制振幅的变化，当|A|>1时，振幅增大；当0<|A|<1时，振幅减小。
B控制周期的变化，周期T=2π/|B|。
C控制相位的变化，向右平移C个单位；向左平移-C个单位。
D控制上下平移，向上平移D个单位；向下平移-D个单位。
2. 余弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cos(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与正弦函数相似，只是对于余弦函数而言，A控制振幅的变化，B控制周期的变化，C控制相位的变化，D控制上下平移。
除了正弦函数和余弦函数外，切线函数和余切函数也有类似的平移和伸缩变换规律：3. 切线函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*tan(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制纵向拉伸或压缩。
B控制周期的变化，周期T=π/|B|。
C控制横向平移。
D控制上下平移。
4. 余切函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cot(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与切线函数相似，只是对于余切函数而言，A控制纵向拉伸或压缩，B控制周期的变化，C控制横向平移，D控制上下平移。
复习三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数s i n()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象 得sin()y x ϕ=+的图象得sin()y x ωϕ=+的图象 得sin()y A x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象 得sin y A x =的图象 得sin()y A x ω=的图象得sin ()y A x x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．xy sin =)3s in(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．练习1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度3．（07山东文）4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 4．（06江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6、（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43（C ）32（D ） 37（2010福建）将函数()()ϑω+=x x f sin 的图像向左平移2个单位，若所得图像与原图重合，则ω的值不可能是（ ）（A ）423 （B ） 643 （C ） 832（D ） 12作业 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数3.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 34.将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( )(A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R)5.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ）(A)y=sin(x/2)(B)y=sin(x/2-π/2)(C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6) 6.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-7.5yAsin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）12(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8、将函数y=sin2x 的图象向左平移π/4个单位，再向上平移1个单位所得到函数解析式（ ） y=cos2x y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π/4) y=2(sinx)*(sinx)。
函数的变换平移翻折与伸缩
函数的变换平移翻折与伸缩函数的变换平移、翻折与伸缩函数的变换是数学中很重要的概念，它可以通过平移、翻折与伸缩等操作对原函数进行改变。
在本文中，我们将重点讨论函数的平移、翻折与伸缩三种常见的变换方式，并且介绍它们的数学表示和几何意义。
一、函数的平移变换平移是指将函数沿着坐标轴进行水平或者垂直的移动，而不改变函数的形状和大小。
具体而言，设有函数y = f(x)，若对于函数中的每个点(x, y)，将其平移到(x + a, y + b)处，则得到一个新的函数y = f(x - a) + b。
这里，a是水平方向的平移量，b是垂直方向的平移量。
以函数y = x^2为例，我们来进行一次平移变换。
假设需要将该函数沿水平方向向右平移2个单位，垂直方向向上平移3个单位，那么变换后的函数为y = (x - 2)^2 + 3。
这个平移变换使得函数整体上移3个单位，同时向右平移2个单位，而函数的形状和大小仍然保持不变。
二、函数的翻折变换翻折是指通过对函数的反射操作，将函数关于某一轴翻转。
常见的翻折方式有关于x轴、y轴和原点的翻折。
对于函数y = f(x)，我们可以得到以下翻折变换：1. 关于x轴的翻折：新函数为y = -f(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(x, -y)的位置。
2. 关于y轴的翻折：新函数为y = f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, y)的位置。
3. 关于原点的翻折：新函数为y = -f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, -y)的位置。
举个例子，考虑函数y = sin(x)，如果我们对该函数进行关于x轴的翻折，那么新函数将变为y = -sin(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被对称地映射到了(x, -y)的位置。
三、函数的伸缩变换伸缩是指通过改变函数的自变量和因变量的比例关系，调整函数在坐标轴上的形状和大小。
具体而言，对于函数y = f(x)，我们可以得到以下伸缩变换：1. 水平方向的伸缩：新函数为y = f(cx)，其中c是一个常数。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以经由过程变更A kωϕ，，，来互相转化．A ω，影响图象的外形,k ϕ，影响图象与x 轴交点的地位．由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称高低平移变换,它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换办法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍例1将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（办法一）①把sin y x=的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． （办法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解释：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到本来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于庞杂的变换,可引进参数求解． 例2将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 剖析：应先经由过程引诱公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 依据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数的平移与伸缩变换-整理
)(A > 0,3> 0) ,x € [0,+ s)表示一个振动量时，A1图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的-，得到函数）图像的横坐标不变， 纵坐标向上（k 0）或向下（k 0），要特别注意，若由y sin x 得到y sin x 的图像，则向左或向右平移应平 移|—|个单位。
对y sin （x ）图像的影响一般地，函数y sin （x ）的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向 ____ 当＞0时）或向 ______ 当 ＜0时）平移| |个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“ _____________ ”_ 对y sin x 图像的影响函数y sin x x R （ 0且 1），的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的1横坐标 ______ 1）或 _____ 0 1）到原来的一倍（纵坐标不变）。
A 对y A sin x 的影响函数y A sinx , x R(A 0且 A 1)的图像可以看成是把正弦函数上所有的点 的纵坐标 ______ (A 1)或 ________ _0 A 1)到原来的A 倍得到的函数 y A sin( x）的图像2 称为振幅，T = 一-称为频率，x 称为相位，称为初相。
T(2)函数 y Asin( x）k 的图像与ysin x 图像间的关系:① 函数y sin x 的图像纵坐标不变, 横坐标向左（＞0 ）或向右（＜0 ）平移||个（1）物理意义：y Asin （ x② 函数y sin xy sin x的图像；③ 函数ysin xy As in( x）的图像;④ 函数y Asin( x得到 y Asi n x图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数k 的图像。
单位得y sin x 的图像;由y si nx到y A si n( x )的图像变换先平移后伸缩：先伸缩后平移：【典型例题】例1 将y sin x的图象怎样变换得到函数y 2sin 2x n1的图象.4练习：将y cosx的图象怎样变换得到函数y cos 2x」的图象.44例2、把y 3cos(2x )作如下变换：(1)向右平移一个单位长度；21(2)纵坐标不变，横坐标变为原来的-；33(3)横坐标不变，纵坐标变为原来的；4(4)________________________________________________ 向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为_____________________________ .4练习：将y 2sin(2x ) 2做下列变换：(1)向右平移—个单位长度；2(2)横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变;(3)纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；(4)沿y轴正方向平移1个单位，最后得到的函数y f(x) ________________ . 例3、把y f (x)作如下变换：(1)横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变；(2)向左平移—个单位长度；33(3)纵坐标变为原来的-，横坐标不变；53 3(4)沿y轴负方向平移2个单位，最后得到函数y —sin(—x -),求y f (x).练习1 ：将y4sin( x8 才)作何变换可以得到y sinx. 练习2:对于y 3sin(63|x)作何变换可以得到y si nx.例4、把函数y sin( x )(0,112)的图象向左平移 A. 1,B.61, -6C.2,—D.2, —33练习：7、 右图是函数 y Asin( x )(x R)在区间5(-,—)上的图象，只要将 6 6(1) y si nx 的图象经过怎样的变换?(2) y cos2x 的图象经过怎样的变换?【课堂练习】1、为了得到函数y sin(3x —)的图象，只需把函数y sin 3x 的图象曲线的一部分图象如图所示，则() 3个单位长度，所得3、要得到函数y sinx 的图象，只需将函数y cos x —的图象( )A 、向右平移-个单位B 、向右平移-个单位C 、向左平移-个单位D 、向 左平移-个单位4、为了得到函数y sin(2x )的图象，可以将函数y cos2x 的图象( )6A 、向右平移-个单位长度B 、向右平移-个单位长度63C 、向左平移-个单位长度D 、向左平移-个单位长度636、为了得到函数y sin(2x —)的图像，只需把函数y sin(2x —)的图像()g(x) cos x 的图象，只要将y f (x)的图象 ( )A 、向左平移6B 向左平移18C 向右平移云D 、向右平移182、为得到函数yncos 2x3的图像'只需将函数ysin 2x 的图像(A 、向左平移55个长度单位12C 、向左平移 乞个长度单位6B 、向右平移55个长度单位12D 、向右平移55个长度单位65、把函数y sin x ( x所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是()A 、y sin(2 x) , x R 3C 、 y sin(2x ) , x R 3 R )的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把312倍(纵坐标不变)，得到的图象所表xB 、y sin( ) , x R2 6 2D 、 y sin(2x ) , x R3A 、向左平移-个长度单位4 C 、向左平移-个长度单位27、已知函数 f (x) sin( x )(x R,4B 、向右平移-个长度单位4 D 、向右平移-个长度单位20)的最小正周期为，为了得到函数A 、 向左平移-个单位长度8B 、 向右平移一个单位长度8C 、 向左平移一个单位长度4D 、 向右平移一个单位长度48.将函数 y=s inx 的图象向左平移 (0V 2）的单位后，得到函数y=sin (x -）的图象，则等于（)A.—B. 5C. 7D.116 6 6 6专练：1. （2009山东卷理）将函数y sin2x 的图象向左平移；个单位,再向上平移1个 单位，所得图象的函数解析式是（ ）.A. y cos2xB. y cos2x 1C. y 1 sin （2x ）4D. y 2sin 2 x2. （2009天津卷理）已知函数f （x ） sin （ x -）（x R, 0）的最小正周期为4 为了得到函数g （x ） cos x 的图象，只要将y f （x ）的图象A 、向右平移—个单位B 、向右平移—个单位C 、向左平移—个单位D 、向左平移—个单位4（ （ 10江苏卷）为了得到函数y 2sin （Z ）,x R 的图像，只需把函数3 6y 2 si nx,x R 的图像上所有的点A 、向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐63标不变）A 向左平移一个单位长度8 C 向左平移一个单位长度4B 向右平移一个单位长度8 D 向右平移一个单位长度43.（09山东）要得到函数y sin x 的图象，只需将函数y cos x 的图象（）B、向右平移—个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）C、向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D、向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵6坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数y sin（2x -）的图像，只需把函3数y sin(2x -)的图像A、向左平移一个长度单位4C、向左平移一个长度单位26、（ 2010辽宁）设0,函数y sin(原图像重合，则的最小值是A、-3 B、-3B、向右平移一个长度单位4D、向右平移-个长度单位2x -） 2的图像向右平移—个单位后与3 3C、-D、 32。
三角函数伸缩变换法则
三角函数伸缩变换法则
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
高考数学复习点拨：三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩河北 张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A kωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下:先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x=的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解:（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x=的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数．解:ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x=的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
高中数学三角函数的图像平移与缩放技巧
高中数学三角函数的图像平移与缩放技巧在高中数学的学习中，三角函数是一个重要的内容，它是解决各种实际问题的基础。
而理解三角函数的图像平移与缩放技巧，则能够帮助我们更好地理解和应用三角函数。
本文将通过具体题目的举例，来说明这方面的考点和解题技巧，并给出一些相关的练习题供读者练习。
一、图像平移图像平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向上移动一定的单位长度。
对于三角函数而言，图像平移主要是通过改变函数中的常数项来实现的。
例如，考虑函数y = sin(x)。
我们知道，正弦函数的图像在原点处有一个特殊的点，即(0, 0)。
现在，如果我们想将这个函数的图像向右平移2个单位长度，我们只需要将函数中的自变量x替换为x-2，即y = sin(x-2)。
这样，原来的(0, 0)点就变成了(2, 0)点，整个图像向右平移了2个单位长度。
同样地，如果我们想将函数y = cos(x)的图像向上平移3个单位长度，我们只需要将函数中的因变量y替换为y+3，即y+3 = cos(x)。
这样，原来的(0, 1)点就变成了(0, 4)点，整个图像向上平移了3个单位长度。
通过上述例子，我们可以看出，图像平移主要是通过改变函数中的常数项来实现的。
对于正弦函数而言，平移的方向和距离由常数项的正负和数值大小决定；对于余弦函数而言，平移的方向和距离由常数项的正负和数值大小决定。
练习题：1. 画出函数y = sin(x-π/2)的图像，并说明其平移的方向和距离。
2. 画出函数y = cos(x+π/4)的图像，并说明其平移的方向和距离。
二、图像缩放图像缩放是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩，使得图像变得更宽或更窄，更高或更矮。
对于三角函数而言，图像缩放主要是通过改变函数中的系数来实现的。
例如，考虑函数y = 2sin(x)。
我们知道，这个函数的图像是正弦函数图像的纵坐标放大了2倍。
也就是说，原来的正弦函数图像上的每个点的纵坐标都乘以了2。
高一三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 练习1、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）A 、B 、C 、D 、 2、将函数的图象按向量平移，得到y=f （x ）的图象，则f （x ）=（ ）A 、B 、C 、D 、sin （2x ）+3 3、要得到函数y=cos()24x π-的图象，只需将y=sin 2x 的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 4、若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1y= sinx 2的图象则y=f(x)是（ ） A ． 1y=sin(2)122x π++ B. 1y=sin(2)122x π-+ C. 1y=sin(2)124x π++ D. 1sin(2)124y x π=-+ 5.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位6.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位7.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度8.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度9.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（C ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换、单选题 (共 8 道，每道 12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 再把图象上各点向左平移 个单位长度，则所得的图象的解析式是 ( )答案： C 解题思路：试题难度： 三颗星 知识点： 函数 y=Asin( ω x+φ的)图象变换个图象沿 x 轴向左平移 个单位，沿 y 轴向下平移 ＝f(x) 的表达式时 ( )2.已知函数 y ＝f(x) 图象上每个点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再将整 A. B. C. D. A. C.1 个单位，得到函数 ，则 y答案： B 解题思路：三颗星 知识点： 函数 y=Asin( ω x+φ的)图象变换A. 2B.3C.4D.5答案： C 解题思路：试题难度： 三颗星 知识点： 函数 y=Asin( ω x+φ的)图象变换4. 已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向 左平移 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是 ( )A. B.答案： D解题思路：3.已知函数 ，若 f(x)的图象向左平移 个单位所得的图象与 f(x ) 的图象向右平移 个单位所得的图象重合，则 的最小值是 ( ) 试题难度：试题难度： 三颗星 知识点： 函数 y=Asin( ω x+φ的)图象变换5.偶函数 的图象向右平移的图象关于原点对称，则的值可以是 ( ) A.1 B.2C.3D.4答案： B解题思路：个单位得到试题难度：三颗星知识点：函数 y=Asin（ωx+φ的）图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿 x 轴向右平移 a个单位（a >0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是（）A.πB.C. D.答案： D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数 y=Asin( ω x+φ的)图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将 f(x) 的图象 ( )答案： C 解题思路：A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度试题难度：三颗星知识点：函数 y=Asin( ω x+φ的)图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 ( )A. B.C. D.答案： C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数 y=Asin（ω x+φ的）图象变换。
初中数学知识归纳三角函数的变换与像
初中数学知识归纳三角函数的变换与像初中数学知识归纳：三角函数的变换与像三角函数是数学中的重要部分，它在初中数学中也是一个重要的内容。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解其基本概念和性质，还需要熟悉与之相关的变换与像。
本文将对初中数学中三角函数的变换与像进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、角度的变换角度的变换主要包括角度的度数与弧度的转换，以及角度的正负变换。
1.1 角度的度数与弧度的转换在三角函数中，角度可以用度数或弧度进行表示。
一般来说，我们习惯性地使用度数来表示角度，但在某些问题中，弧度更为方便。
因此，我们需要掌握角度的度数与弧度之间的转换关系。
当角度用度数表示时，它等于弧度乘以180°再除以π。
反之，当角度用弧度表示时，它等于角度乘以π再除以180°。
1.2 角度的正负变换在三角函数中，正负角对应于平面直角坐标系中的不同象限。
根据象限的不同，三角函数的值也会发生变化。
对于角度为θ的正弦函数sinθ，当θ为锐角时，sinθ>0，当θ为钝角时，sinθ<0。
对于角度为θ的余弦函数cosθ，当θ为锐角时，cosθ>0，当θ为钝角时，cosθ<0。
对于角度为θ的正切函数tanθ，当θ为锐角时，tanθ>0，当θ为钝角时，tanθ<0。
二、三角函数的图像掌握三角函数的图像特点对于进一步研究其性质和变换是非常重要的。
根据三角函数的定义和性质，我们可以得出以下结论。
2.1 正弦函数y=sin(x)的图像正弦函数的图像为一条连续的曲线，通过原点(0, 0)。
正弦函数的值域为[-1, 1]，当自变量的值增大时，函数值的绝对值在不断变小。
其图像在0到2π的一个周期内，呈现出周期性的波动。
2.2 余弦函数y=cos(x)的图像余弦函数的图像也是一条连续的曲线，通过原点(0, 1)。
余弦函数的值域为[-1, 1]，当自变量的值增大时，函数值的绝对值会在不断变小。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
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函数)sin(A ϕω+=x y 的图像
（1）物理意义：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A
称为振幅，T =
ωπ
2，
1
f T
=
称为频率，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相。
（2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系：
① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；
② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数
()sin y x ωϕ=+的图像；
③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数
sin()y A x ωϕ=+的图像；
④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移|
|ϕ
ω
个单位。
ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响
一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ>0时)或向______(当ϕ<0时)平移ϕ个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________”
ω对x y ωsin =图像的影响
函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω
1
倍（纵坐标不变）。
A 对x y sin A =的影响
函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的
由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩：
先伸缩后平移：
【典型例题】
例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
的图象．
练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象．
例2、把)3
42cos(3π
+=x y 作如下变换： （1）向右平移
2
π
个单位长度； （2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31
；
（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的4
3
；
（4）向上平移个单位长度，则所得函数解析式为________.
练习：将2)5
42sin(2++=π
x y 做下列变换：
（1）向右平移2
π
个单位长度；
（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；
（4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y 例3、把)(x f y =作如下变换：
（1）横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；
（2）向左平移3
π个单位长度；
（3）纵坐标变为原来的5
3
，横坐标不变；
（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),4
23sin(43π
+=x y 求).(x f y =
练习1：将)4
8sin(4π
π+=x y 作何变换可以得到.sin x y =
练习2：对于)53
6sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =
例4、把函数)2
||,0)(sin(π
ϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移
3
π
个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6
,1π
ϑω== B. 6
,1π
ϑω-
==
C. 3
,2π
ϑω=
= D. 3
,2π
ϑω-
==
练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间
)6
5,6(π
π-
上的图象，只要将
（1）x y sin =的图象经过怎样的变换
（2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换 【课堂练习】
1、为了得到函数)6
3sin(π
+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象
（ ）
A 、向左平移6π
B 、向左平移18π
C 、向右平移6π
D 、向右平移18
π
2、为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A 、向左平移
5π
12个长度单位 B 、向右平移
5π
12个长度单位 C 、向左平移5π
6
个长度单位
D 、向右平移5π
6
个长度单位
x
3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝
⎭的图象（ ）
A 、向右平移π6个单位
B 、向右平移π3个单位
C 、向左平移π
3
个单位 D 、向左
平移π
6
个单位
4、为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）
A 、向右平移6π个单位长度
B 、向右平移3π
个单位长度
C 、向左平移6π个单位长度
D 、向左平移3
π
个单位长度
5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把
所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表
示的函数是（ ）
A 、sin(2)3y x π=-，x R ∈
B 、sin()26x y π
=+，x R ∈
C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈
D 、sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像（ ）
A 、向左平移4π个长度单位
B 、向右平移4π
个长度单位
C 、向左平移2π个长度单位
D 、向右平移2
π
个长度单位
7、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象 （ ）
A 、向左平移
8π个单位长度 B 、 向右平移8π
个单位长度 C 、 向左平移4π个单位长度 D 、 向右平移4π
个单位长度
8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的图象，则ϕ等于（ ）
A ．6π
B ．56π C. 76π D.116
π
专练：
1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.12cos +=x y
C.)4
2sin(1π
++=x y
D.22sin y x =
2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，
为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π
个单位长度3．（09山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝⎭
的图象（ ）
A 、向右平移
π
6个单位 B 、向右平移
π
3个单位 C 、向左平移π
3个单位
D 、向左平移π
6
个单位
4．（10江苏卷）为了得到函数R x x
y ∈+=),6
3
sin(2π
的图像，只需把函数
R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点
A 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） B 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） C 、向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D 、向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图像，只需把函数
sin(2)6y x π
=+的图像
A 、向左平移4π个长度单位
B 、向右平移4π
个长度单位
C 、向左平移2π个长度单位
D 、向右平移2
π
个长度单位
6、（2010辽宁）设0ω>,函数sin()23
y x π
ω=++的图像向右平移43π个单位后与
原图像重合，则ω的最小值是 A 、23 B 、 43 C 、 3
2
D 、3。