四年级奥数：格点与面积(B)

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第十一讲格点与面积

第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。

小学奥数之格点型面积求解(完整版)

小学奥数之格点型面积求解模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】判断下列图形哪些是格点多边形？【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形⑴⑵⑶⑷4-2-7.格点型面积例题精讲毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．【例 2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑴是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑴是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑴是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑴是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑴是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑴，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑴，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑴、⑴也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑴15；图⑴10；图⑴15；图⑴12；图⑴18．【例 3】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形⑴的面积是：6226⨯÷=；直角三角形⑴的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（） (面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】 ⑴ ⑴12L =；10N =，⑴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑴ ⑴10L =；16N =，⑴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；（1）（2）（3）（4）⑴ ⑴6L =；12N =，⑴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑴ ⑴10L =；13N =，⑴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑴ 20；⑴14；⑴17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理，则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（） (面积单位)．【答案】46【例 8】比较图中的两个阴影部分①和①的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ⑴的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，⑴的面积也为3223⨯÷=。

(完整版)第3讲格点与面积

第3讲格点与面积格点按其特征可分为正方形格点和正三角形格点两种．如下图：在格点中的图形有些是学过的图形，如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等，如果是不规则的多边形，一般可以借助割补法、分割法及相关的公式来解题。

例题与方法例1下图是一个方格图。

图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。

请你利用方格网计算出它们的面积各是多少(如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米)。

例2在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少(单位：厘米)?例3观察下面四个图形，计算下列各多边形的面积，并统计图形四周的格点数和图形内的格点数。

例4下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

例5下面是一个以小正三角形(每条边都相等的三角形)为格点的图形，共有21个点，其中每相邻的3个“∴”，和“∴”所构成的都是面积为1的等边三角形。

请你计算图中三角形的面积。

总结与提示本讲主要介绍了正方形格点和正三角形格点的面积计算，很多图形的面积计算都可以利用分割的方法求出每一小块的面积，然后再加起来，或用总面积减去图形周围部分的面积求出。

毕克定理提供给我们一种全新的方法，关键要找到两个重要条件：一个是内部的格点数，即被图形所围住的格点的数量；另一个是四周的格点数，即在格点图形边上的格点数量。

正确使用这种方法，可以迅速地解决许多难以直接计算的多边形面积。

思考与练习(每题12.5分，共100分)1．求下面各图形的面积。

2．求下图中的各图形的面积。

3．求下图中各图形的面积。

4．下图是一个5×5的方格，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。

请你在图中选择七个点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段连接后所围成的面积尽可能大。

那么，所围图形的面积是多少平方厘米?5．下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE 的面积。

6．下面是一个5×5的方格，求出图中阴影部分面积的和(每小格的面积是1平方厘米)。

小学奥数格点型面积毕克定理

小学奥数：格点型面积毕克定理板块一正方形格点问题在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等通常规定是1个单位,这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么,格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有,这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧用N 表示多边形内部格点,L 表示多边形周界上的格点,S 表示多边形面积,请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵如右图．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少面积等于2平方厘米的三角形有多少个【例 2】如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个．【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形【例 4】如图,计算各个格点多边形的面积．巩固如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么教师总结：面积数值均扩大4倍．【例 5】如图a ,计算这个格点多边形的面积．【例 6】 “新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵巩固求下列各个格点多边形的面积．【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少【例 9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少巩固如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米【例 11】 “小学数学奥林匹克”竞赛试题55⨯的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么,所围图形的面积是平方厘米．【例 12】 “保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少【例 13】第六届“从小爱数学”邀请赛试题两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的阴影部分块状面积为25.12cm ,右下角的阴影部分线状面积为27.4cm ,求大正方形的面积．【例 14】第六届“华杯赛”试题图中正六边形ABCDEF 的面积是54,AP =2PF ,CQ =2BQ ,求阴影四边形CEPQ 的面积．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积,N 表示图形内包含的格点数,L 表示图形周界上的格点数,那么有22S N L =⨯+-,就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图a ,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．巩固如图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算ABC 的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点,它的边界上有L 个格点,则它的面积为12L S N =+-．【例 16】求下列格点多边形的面积每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形．【例 17】把大正三角形每边八等分,组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分如图1,图2,然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米【例 22】第五届“华杯赛”试题正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点,N是CD中点,P 是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么,三角形ABC的面积是_____平方厘米．。

高斯小学奥数四年级下册含答案第04讲_格点图形面积计算

第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个．一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．第四讲格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。

小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案30格点型面积(二)

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题格点型面积（二）上一节中，我们主要学习了正方形格点面积，这一节，我们主要学习三角形格点面积。

三角形格点面积公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有：S ＝2×N ＋L －2。

也就是说，格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与图形周界上格点数的和减去2。

例1 如下图（a ），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是正三角形。

每个小正三角形的面积均为1（面积单位），计算△ABC 的面积。

分析与解：解法一：如图（b ）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC 的面积为10.解法二：如图（c ）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而△ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即ABC S ∆＝3，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而△ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即ADC S ∆＝2。

平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而△FBC 的面积是平行四边形FBGC 面积的一半，即FBC S ∆＝4。

所以三角形ABC 的面积是1＋2＋3＋4＝10（面积单位）。

解法三：因为N ＝4，L ＝4，所以S ＝2×N ＋L －2＝2×4＋4－2＝10（面积单位）。

例2 如下图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC 的面积。

分析与解：因为N＝5，L＝3，所以S＝2×N＋L－2＝2×5＋3－2＝11（面积单位）。

例3如图，如果每一个小正三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：解法一：正三角形格点阵中多边形面积＝（2N＋L－2）个单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L为图形周界上格点数。

(完整word版)小学奥数模块教程四年级杯赛备战讲义——巧求面积

上课日期：上课时间：教师姓名：知识点一：格点面积一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．二、三角形格点问题1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．知识点二：图形剪拼巧求面积知识框架毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．（1）把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．（2）反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．（3）将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．（1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．（2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．（3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．（4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．一、解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

小学数学《格点与面积》练习题(含答案)

小学数学《格点与面积》练习题（含答案）内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。

【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例15】判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有（1）是格点多边形。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点

【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。

”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。

因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。

以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【篇⼀】知识点： (⼀)正⽅形格点图⾯积在⼀张纸上，先画出⼀些⽔平直线和⼀些竖直直线，并使任意两条相邻的平⾏线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了⼀个⽅格，其中的每个交点就叫做⼀个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在⽅格中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点⾄少有⼀个顶点格点上，⽐如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(⼆)三⾓形格点图的⾯积三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三⾓形都是等边三⾓形，规定它的⾯积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。

【篇⼆】常见解题⽅法：求格点图⾯积常见的⼏种⽅法：数格⼦法、分割法、扩展法、毕克定理。

（⼀）数格⼦法对于格点图⾥⾯的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正⽅形⽅格或者三⾓形⽅格的个数得出规则图形的⾯积，或者由图形得出规则图形相应的⾯积公式需要的量，代⼊公式解出⾯积即可! 【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的⾯积运⽤公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就⾏了。

第(1)图是正⽅形，边长是4，所以⾯积是4×4=16(⾯积单位); 第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(3)图是三⾓形，底是5，⾼是4，所以⾯积是5×4÷2=10(⾯积单位); 第(4)图是平⾏四边形，底是5，⾼是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(5)图是直⾓梯形，上底是3，下底是5，⾼是3，所以⾯积是(3+5)×3÷2=12(⾯积单位); 第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，⾼是4，所以⾯积是(3+6)×4÷2=18(⾯积单位)。

(完整)四年级奥数-格点与面积

格点与面积
知识点介绍：
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。

计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。

皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶⑷。

小学奥数讲义4年级-16- 格点面积 -难版

生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。

同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。

这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。

先来介绍什么是“格点”。

见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

正方形格点阵中多边形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）三角形格点阵中多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。

【例1】★判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵ ⑶典型例题知识梳理【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例2】★计算下图中各图形的面积：【解析】先仔细观察图中的每个图形，选择方法。

显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。

而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。

（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。

（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。

（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。

四年级奥数格点与面积

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。

计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。

皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶
练习下图中喇叭、小猫、小狗是格点多边形吗？
例题2、求下面各图形的面积。

练习
如图，计算各个格点多边形的面积．
例题3、下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

练习
下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
例题4、你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
练习
1、(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
2、如图，44 的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．
F E D
C
B A
1cm 1cm
课后训练
1.如图，计算各个格点多边形的面积．
2.求下列各个格点多边形的面积．
3、“乡村小屋”的面积是多少？
⑵
⑴⑷
⑶
4、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？。

四年级奥数巧箱格点与面积

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

四年级奥数题：格点与面积习题及答案

九、格点与面积(B)年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题:1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).3.在一个9⨯6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积.5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?8.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.二、解答题:1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC∆的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 5.5面积单位.分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位).2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位).3. 27.5面积单位.解: ①由毕克定理得:25+7÷2-1=27.5(面积单位).②用拼割方法得:ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9⨯6-(6⨯2÷2+3⨯3÷2+4⨯3÷2+4⨯5÷2)=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).4. 48平方厘米.解: ①内部格点数为: 9个;②周界上格点数为: 8个;③阴影部分的面积是: 4⨯(9+8÷2-1)=48(平方厘米).5. 30面积单位.解: 因为ABCD不是凸四边形,所以如在原题图上取格点E,则三角形BCE及四边形AECD都是凸的图形,故:S=(4+6÷2-1)+(21+8÷2-1)ABCD=6+24=30(面积单位).6. 46面积单位.解: 因为ABCDEFGH不是凸多边形,所以,连结GC、MN,则ABH∆、矩形GCNM、三角形MFE、EDN都是凸的图形.故箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2=12+32+2=46(面积单位).7. 67.5面积单位.解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19.所以图形的面积为:59+19÷2-1=67.5(面积单位).8. 23.5(平方厘米).分析与解: 这是一个5⨯5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4⨯4=16,周界上格点数最多为5⨯4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如右上图所示,就得到了面积最大的图形.所围成图形的最大面积为: 16+17÷2-1=23.5(平方厘米).9. 8.5平方分米.解:图形内部格点数为7,图形周界上格点数为 5.阴影部分的面积为:7+5÷2-1=8.5(平方分米).10. 18.5面积单位.解: 图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7.图形的面积为: 16+7÷2-1=18.5(面积单位).二、解答题:1. 10面积单位.分析: 由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形 ,可以推出如下计算这类格点面积的公式:图形面积=(内部格点数+周界上格点数÷2-1)⨯2.解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.ABC S ∆=(4+4÷2-1)⨯2=10(面积单位).2. 12面积单位.解: DEFG S 四边形=(5+4÷2-1)⨯2=12(面积单位).3. 11面积单位.解: 图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3. DEF S ∆=(5+3÷2-1)⨯2=11(2cm ).4. 26面积单位.解: 图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4. 图形的面积为: (12+4÷2-1)⨯2=26(面积单位).。

格点面积（一）

格点⾯积（⼀）年级四年级学科奥数版本通⽤版课程标题格点型⾯积（⼀）编稿⽼师李允⼀校林卉⼆校张琦锋审核⾼旭东什么是格点?格点与⾯积之间⼜有什么关系？这⼀讲我们就来探讨这些问题。

定义：画在⽅格纸上的多边形，多边形的所有顶点都在⽅格纸上的横、纵两组平⾏线垂直相交的交点上，这样的多边形，我们称它为格点多边形。

或者，在纸上画出两组不垂直的平⾏线，连结它们的交点所构成的三⾓形都是等边三⾓形，以这样的点为顶点画出的多边形也称为格点多边形。

分类：我们现在最常接触到的，就是正⽅形格点问题和三⾓形格点问题。

1. 正⽅形格点问题指的是正⽅形的格点都是由两组互相垂直相交的平⾏线的交点构成的.每⼀个⼩⽅格都是⼀个⼩正⽅形。

2. 所谓三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三⾓形都是等边三⾓形，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。

计算格点多边形⾯积常⽤的⽅法： 1. “割补法”或“扩展法”。

2. 公式法：毕克定理（若⼀个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的⾯积为：S ＝N ＋2L－1）例1 判断下列图形中哪些是格点多边形。

分析与解：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上。

所以只有（1）是格点多边形。

例2第⼀届保良局亚洲区城市⼩学数学邀请赛在1996年7⽉21⽇开幕，下⾯的图形中，每⼀⼩⽅格的⾯积是1，那么7，2，1三个数字所占的⾯积之和是。

分析与解：7，2，1所占的⾯积分别为7.5，10和7.5 ，所以它们所占的⾯积之和为25。

例3根据下列图形，⽤N表⽰多边形内部的格点，L表⽰多边形周界上的格点，S表⽰多边形的⾯积，填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）⾯积（S）图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）分析与解：如下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）⾯积（S）图（1）9 16 16图（2）8 16 15图（3）10 12 15图（4）7 12 12图（5）13 12 18根据表格，我们能发现如下规律：S ＝N ＋2L－1。

奥数——格点与面积

格点与面积
例1 下图是一个格点图。

图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。

请你利用方格网计算出它们的面积各是多少？（每个小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？
例3 下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

例4、求下列图形的面积。

例5、如图，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

则在此图中最多可以画出多少个面积是2平方厘米的格点正方形？
课堂练习
1、求下面各图形的面积。

2、求下图中各图形的面积。

3、求下图中各图形的面积。

4、下面是一个5*5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）。

5、图中每个小正方形的边长都是1厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形多少个？
课后作业
1、计算所给图形的面积。

2、求出下面格点图形的面积。

3、在下面5*10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积是1）。

4、下图是由8个边长为1厘米的正方形所组成的一个图形，共有15个格点。

请以15个格点中的3个为顶点作一个面积为3.5平方厘米的三角形。

奥数-格点与面积

学科：奥数教学内容：第六讲格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。