1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词3改
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．()(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．()题组二教材改编2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞06．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号)思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________．思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q )二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(綈q ) B ．(綈p )∧q C ．p ∧qD ．(綈p )∨q6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(綈q )是真命题 C ．命题(綈p )∧q 是真命题 D ．命题(綈p )∨(綈q )是假命题 7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．12．(2017·江西五校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。
1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(������ q)”是假 命题;③命题“(������ p)或 q”是真命题;④命题“(������ p)或(������ q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= ������ +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(������ q)”是假命题;命题“(������ p)且 q”是真命题;命题“(������ p)或(������ q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.������ p
(学案)1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含答案
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃3.名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．两类否定(1)¬(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q).(2)¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q).3．三句口诀p∧q全真为真，p∨q有真即真，¬p与p真假相反．1．(基础知识：复合命题真假)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题¬p ，¬q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B2．(基础知识：特称命题的否定)设命题p ：∃n 0∈N ，n 20 ＞，则¬p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n 0∈N ，n 20 ≤C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n 0∈N ，n 20 ＝答案：C3．(基本方法：判断命题真假)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有4x >0；命题q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．p ∧(¬q )答案：D4．(基本能力：含有量词命题的真假)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x 0∈R ，x 20 －x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直， 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案：①②③5．(基本应用：求参数)已知命题p ：x 2－5x ＋4≤0，q ：13－x ＜1.若(¬q )∧p 是真命题，则x 的取值范围是________．答案：[2，3]题型一 含有逻辑联结词的命题真假1．(2021·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )解析：x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －12 2＋34 ≥34 ＞0，所以∃x 0∈R ，使x 20 －x 0＋1≥0成立，故p 为真命题，¬p 为假命题．又易知命题q 为假命题，所以¬q 为真命题，可知p ∧(¬q )为真命题．答案：B2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题解析：因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)， 所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，¬p 为假命题，¬q 为真命题． 答案：D3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2 ；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是__________．(填序号)①p 为真命题；②¬q 为假命题； ③p ∧q 为假命题；④p ∨q 为真命题； ⑤(¬p )∧(¬q )为真命题；⑥¬(p ∨q )为真命题．解析：p 、q 均为假命题，故¬q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，¬(p ∨q )为真命题．答案：③⑤⑥ 方法总结复合命题的真假判断方法解读适合题型直接 法(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假能够顺利分解为简单命题转化 法 根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性原命题的真假性不易判断题型二 全称命题、特称命题1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2解析：因为sin x 0＋cos x 0＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4 ≤2 ＜2，所以选项D 为假命题． 答案：D2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )解析：∵方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图象开口向上，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q 为假命题，¬q 为真命题．因此p ∧(¬q )为真命题．答案：B3．“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－πx ＜0 B ．∀x ∈R ，x 2－πx ≤0C ．∃x 0∈R ，x 20 －πx 0≤0D ．∃x 0∈R ，x 20 －πx 0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20 －πx 0＜0”．答案：D4．命题“∃x 0∈N ，使得ln x 0(x 0＋1)＜1”的否定是( )A．∀x∈N，都有ln x(x＋1)＜1B．∀x∉N，都有ln x(x＋1)≥1C．∃x0∈N，都有ln x0(x0＋1)≥1D．∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1解析：原命题是特称命题，其否定为全称命题，所以原命题的否定是“∀x∈N，ln x(x＋1)≥1”．答案：D1．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题,真,存在一个对象使命题真,否定为假假,所有对象使命题假,否定为真2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．题型三命题中参数的取值范围[典例剖析]类型1复合命题中的参数问题[例1](2021·武汉模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x 的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12. 因为p ∨q 是真命题，所以a ∈R ， 即a 的取值范围是(－∞，＋∞). 答案：(－∞，＋∞) 方法总结1．已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．如本题中，当p 为真时a 的范围与当q 为真时a 的范围的并集．2．含逻辑联结词命题真假的等价关系： (1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(¬p )∧(¬q )假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(¬p )∧(¬q )真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(¬p )∨(¬q )假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(¬p )∨(¬q )真． (5)¬p 真⇔p 假；¬p 假⇔p 真． 类型 2 含有量词命题中的参数问题[例2] (1)(任意恒成立)已知函数f (x )＝e xx －mx (e 为自然对数的底数)，若f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，e)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，e24 D ．⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞解析：∵f (x )＝e xx －mx ＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴m ＜e xx 2 在(0，＋∞)上恒成立，令g (x )＝e xx2 ，x ＞0，∴g ′(x )＝（x 2－2x ）e x x 4 ＝（x －2）e xx 3 ，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，则当x ＝2时，g (x )取得最小值，且最小值为g (2)＝e 24，∴m ＜e 24，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，e 24 . 答案：C(2)(存在成立)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20 ＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝(a －1)2－4＞0，∴a ＞3或a ＜－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 方法总结1．∃x 0∈R ，使b ≤－x 20 －2x 0成立． 设y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1， ∴y max ＝1.只要b ≤y max 即可，∴b ≤1.2．单变量对“任意”恒成立，“存在”成立问题： (1)∀x ∈[m ，n ]，a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ， a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)∃x 0∈[m ，n ]，使a ＞f (x )成立⇔a ＞f (x )min ， a ＜f (x )成立⇔a ＜f (x )max .[题组突破]1．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2，2]D ．(－2，2)解析：当a ＝2时，有－4＜0，对∀x ∈R 恒成立． 当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝[－2（a －2）]2－4（a －2）·（－4）＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－2＜a ＜2，∴－2＜a ＜2.综上可得－2＜a ≤2. 答案：C2．已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )＞0恒成立，命题q ：∃x 0∈[－2，2]，2a ≤，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题知，命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )＞0恒成立，即x 2＋x ＋a －1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)＜0，解得a ＞54 ；命题q ：∃x 0∈[－2，2]，使得2a ≤，则a ≤2.当p ∧q为真命题时，须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞54，a ≤2，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤54，2 . 答案：⎝⎛⎦⎤54，23．若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3 ，m ≤tan x 0＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3 时，1≤tan x ＋2≤2＋3 .∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3 ，使m ≤tan x 0＋2，则m ≤2＋3 .答案：2＋34．(母题变式)若例1中p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． 解析：∵p ∧q 为真命题， ∴p 和q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4或a ≥4，a ≥－12.∴a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞).5．(母题变式)若例1中p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：由p ∨q 为真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4).再研高考创新思维1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0 表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ；②¬p ∨q ；③p ∧¬q ；④¬p ∧¬q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2，4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8，∴2x ＋y ∈[8，＋∞).由此得命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12不正确，∴①③真，②④假．法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0， 且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假，∴①③真，②④假． 答案：A2．(2019·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23 ，则实数a 的最大值是________．解析：由题意，得f (t ＋2)－f (t ) ＝a (t ＋2)3－(t ＋2)－(at 3－t ) ＝a [(t ＋2)3－t 3]－2＝a (t ＋2－t )[(t ＋2)2＋(t ＋2)·t ＋t 2]－2 ＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2＝2a [3(t ＋1)2＋1]－2. 由|f (t ＋2)－f (t )|≤23 ，得|2a [3(t ＋1)2＋1]－2|≤23 ，即－23 ≤2a [3(t ＋1)2＋1]－2≤23 ，23 ≤a [3(t ＋1)2＋1]≤43， ∴23 ·13（t ＋1）2＋1 ≤a ≤43 ·13（t ＋1）2＋1 . 设g (t )＝43 ·13（t ＋1）2＋1 ，则当t ＝－1时，g (t )max ＝43，∴当t ＝－1时，a 取得最大值43 ，满足题意．答案：43素养升华命题真假的判断已知命题p ：∀x ＞2，2x ＞x 2；命题q ：∃x 0∈R ，x 30 ＝1－x 20 ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )解析：在平面直角坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象，如图①所示，结合图象可知当x ∈(2，4)时，2x ＜x 2，可知p 为假命题，所以¬p 为真命题．在平面直角坐标系中作出y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象，如图②所示，结合图象可知y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象有交点，可知q 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．答案：B- 11 -。
《1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》 学案
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习重点 学习难点 全称命题、特称命题的否定及判断 全称命题、特称命题的否定及判断
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学习过程 一、复习预习 1、四种命题的相互关系 2、充分条件与必要条件及其判断方法
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7．已知命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：∃x0∈R，x2 0＋2ax0＋2－a＝0，若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．
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课程小结
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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 2. 知 识 点 3. 4. 5. 学习目标 逻辑联结词“且”“或”“非”的含义 含有逻辑联结词的命题真假的判断 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题 含有一个量词的命题的否定 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
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【答案】
选D
【解析】对于 A，当 α＝β＝0 时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项 A 是真命题；对于 B，注意到 lg2x＋lg x＋1 1 3 3 ＝lg x＋22＋4≥4>0，因此选项 B 是真命题；对于 C，在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B(其中 R π 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项 C 是真命题；对于 D，注意到当 φ＝ 时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项 2 D 是假命题．
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【答案】C 【解析】∵函数 y＝cx 在 R 上单调递减，∴0<c<1. 即 p：0<c<1，∵c>0 且 c≠1，∴非 p：c>1. 1 1 1 又∵f(x)＝x2－2cx＋1 在2，＋∞上为增函数，∴c≤2.即 q：0<c≤2， ∵c>0 且 c≠1， 1 ∴非 q：c>2且 c≠1. 又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， ∴p 真 q 假或 p 假 q 真．
1.3简易逻辑联结词、全称量词与存在量词
)
B．∃x∈R，tan x＝1
解析：
对于 A，当 x＝1 时，lg x＝0，正确； π 对于 B，当 x＝ 时，tan x＝1，正确；对于 C， 4 当 x＜0 时，x3＜0，错误；对于 D，∀x∈R,2x ＞0，正确．
答案：
C
第一章 集合与常用逻辑用语
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数学
3．若“p 且 q”与“¬ p 或 q”均为假命题，则 ( ) A． p 真 q 假 C．p 与 q 均真 B．p 假 q 真 D．p 与 q 均假
第一章 集合与常用逻辑用语
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解析： 命题 p：∃x∈R，使 tan x＝1 正确，命 题 q：x2－3x＋2＜0 的解集是{x|1＜x＜2}也正确， ∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬ q”是 假命题；③命题“¬ p∨q”是真命题；④命题“¬ p ∨¬ q”是假命题，故应选 D.
第一章 集合与常用逻辑用语
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2．一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列 表如下： 至多 正面 词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是
有一
个 至少
否定 词语
不等于(≠)
不大于 不小于 (≤) (≥) 不是 不都是 有两
个
第一章 集合与常用逻辑用语
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正面 词语 否定 词语
第一章 集合与常用逻辑用语
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1 ．下列命题中是全称命题并且是真命题的是 ( ) A．所有菱形的四条边都相等 B．若 2x 为偶数，则∀x∈N C．若对∀x∈R，则 x2＋2x＋1＞0 D．π 是无理数
答案：
A
第一章 集合与常用逻辑用语
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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．p q p∧qp∨q綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2014·湖南)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x0∈R，x20＋1≤0解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解：对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解：显然p真，由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，q假，綈q真，p∧(綈q)是真命题．故选D.给出下列结论：①命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；②命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；③命题“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p：x2－2x－3<0；q：1x－2<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．解：若p为真，则由x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)<0，得－1<x<3；若q为真，则由1x－2<0，得x<2.∵p且q为真，∴－1<x<2.故填(－1，2)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p1：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题．(2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题．(3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．点拨：命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．(2014·天津)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)·e x ＞1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)ex 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是都是否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的一定 否定词语 至少有两个 一个也没有某个 某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A.2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解：根据特称命题的否定是全称命题，需先将“存在”改为“任意”，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解：y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，很明显命题p 是一个假命题．函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，所以命题q 也是假命题．因此，p ∧q 为假，故选C.4．(2014·湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 解：全称命题的否定是特称命题．故选D .5．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x ＋1x<2；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，下列命题为真的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC. p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：对于命题p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2＜2，所以命题p 是真命题，则綈p 是假命题；对于q ，Δ＝1－4＝－3＜0，所以不等式x 2＋x ＋1＞0的解集为R ，所以命题q 是真命题，则綈q 是假命题，所以p ∧q 为真命题．故选A.6．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π时，sin x ＞cos x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错； C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，是真命题的是________________________．解：∵p 1是真命题，p 2是假命题，∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵命题p ∧q 是真命题，∴命题p ，q 均为真．对于命题p ，当x ∈[1，2]时，a ≤x 2恒成立， 即a ≤(x 2)min ＝1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋a 2＝a 2＋a －2，即(x ＋a )2＝(a －1)(a ＋2)≥0，得a ≤－2或a ≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 得a ≤－2或a ＝1.因此，实数a 的取值范围为{}a |a ≤－2或a ＝1.11．已知a >0，设命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R ；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 时，函数y＝x ＋1x >1a恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围．解：由a ＞0，命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R 可知，Δ＝1－a24＜0，解得a ＞2.因此，命题p 为真时，a ＞2.对于命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x ＞1a恒成立，即函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最小值y min ＞1a， ∵y min ＝2，∴1a ＜2.又a ＞0，∴a ＞12.因此，命题q 为真时，a ＞12.∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，可得a ∈∅；当p 假q 真时，可得12＜a ≤2.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．。
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-5年3年模拟北京高考
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词五年高考考点1 简单的逻辑联结词 1．（2013湖北．3,5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( ))().(q p A ⌝⌝∨ )(q p B ⌝⋅∨ )().(q p c ⌝⌝∧ q p D∨⋅ 2．（2012辽宁．4,5分）已知命题-∈∀)[,,:221x f R x x p （,0))]((121≥-x x x f 则p ⌝是( )0))](()([,,.121221≤--∈∃x x x f x f R x x A 0))](()([,,.121221≤--∈∀x x x f x f R x x B0))](()([,,.121221<--∈∃x x x f x f R x x C 0))](()([,,.121221<--∈∀x x x f x f R x x D考点2 全称量词与存在量词1．（2013重庆．2,5分）命题“对任意.R x ∈都有”02≥x 的否定为( )A ．对任意,R x ∈都有02<x B ．不存在,R x ∈使得02<xC ．存在,0R x ∈使得020≥x D ．存在,0R x ∈使得020<x2．（2013四川．4,5分）设,z x ∈集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题,2,:B x A x p ∈∈∀则( )B x A x p A ∉∈∀⌝⋅2,:, B x A x p B ∉∉∀⌝⋅2,:B x A x pC ∈∉∃⌝2,:. B x A x pD ∉∈∃⋅2,:￢3．（2012湖北．2,5分）命题”“Q x Q C x R ∈∈∃300,的否定是( ) Q x Q C x A R ∈∉∃300,. Q x Q C x B R ∉∈∃300,.Q x Q C x C R ∈∉∀3,. Q x Q C x D R ∉∈∀3,.4．（2010辽宁，11,5分）已知a>0，则0x 满足关于x 的方程b ax =的充要条件是( )02022121,.bx ax bx ax R x A -≥-∈∃020222,.bx ax bx ax R x B -≤-∈∃02022121,.bx ax bx ax R x C -≥-∈∀02022121,.bx ax bx ax R x D -≤-∈∀5．（2012北京．14,5分）已知),3)(2()(++-=m x m x m x f .22)(-=x x g 若同时满足条件：0)(,<∈∀x f R x ①或;0)(<x g ,0)()(),4,(<--∞∈∃x g x f x ②则m 的取值范围是6．（2010安徽．11,5分）命题“对任何>-+-∈|4||2|,x x R x ”3的否定是智力背景高明的蜂王 有一箱蜜蜂，每天辛勤地采蜜．但是如果它们归巢时蜂拥而来，就会拥挤碰伤 ，聪明的蜂王想了一个办法：把蜜蜂分成三群，第一群50分钟归巢一次；第二群60分钟归巢一次；第三群70分钟归巢一次．这样就避免了全体一起归巢的情况发生，你能说明 这是为什么吗？答案：如果早上9时，蜜蜂倾巢而出的话，要到35小时以后，即第二天晚上8时才会出现全体同时归巢的情况，而蜜蜂晚上不工作，因此不必担心拥挤了.解读探究知识清单1．命题中的“① ”“② ”“③ ”叫做逻辑联结词，一般地，用联结词“且”把命题p 和g 联结起来，得到一个新命题，记作,q p ∧读作“p 且q”；用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作,q p ∨读作“p 或q”；对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作,p ⌝读作“非p”或“p 的否定”．2．用来判断复合命题的真假的真值表：3．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切…每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个’’‘‘有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号表示；存在量词用符号表示． 4．全称命题与特称命题 (1)的命题叫全称命题． (2)的命题叫特称命题． 5．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p 或q 的否定：非p 且非q;p 且q 的否定：非p 或非q ．6．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择，【知识拓展】1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思．(2)集合中的“交”“并”“补”与逻辑联结词“且”“或”“非”密切相关，①A x x B ∈=|{A或},B x ∈集合的并集是用“或”来定义的，A x xB A ∈=|{ ②且|,B x ∈集合的交集是用“且”来定义的， U x x AC U ∈=|{③且},A x ∉集合的补集与“非”密切相关，④“p 或q ”的含义有三种情形：只有p 成立；只有q 成立；p 、q 同时成立．这三种情形依次对应于集合中;)(;)(B A C A B C UU .B A⑤“或”“且”联结词的否定形式：“p 或q ”的否定形式是“非p 且非q ”，“p 且q ”的否定形式是“非p 或非q ”，它类似于集合中的”“)()()();()()(B C LA B A L B CLA B A c U UU ==2．复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成的，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断， ·知识清单答案智力背景美丽的数学 奇妙的图像 分形几何是描述不规则 复杂现象的秩序和结构的新方法，是研究无 限复杂但具有一定意义的自相似图形和结构的几何学，分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域 显示出非凡的作用，用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这 些艺术图案人们称之为““分形艺术”.她天生丽质的源泉就是优美的数学方程.突破方法方法1复合命题的真假判断——真值表法对于复合命题真假的判断，一定要分清其结构形式，确定构成它的简单命题p 和q ．首先对简单命题p 、q 的真假作出判断，然后根据真值表对复合命题的真假作出判断．例1 （2012河北石家庄二模，8,5分）命题P ：将函数=y x 2sin 的图象向右平移3π个单位得到函数)32sin(π-=x y 的图象；命题Q ：函数)3cos()6sin(x x y -+=ππ的最小正周期为,π则复合命题””“￢∧”“∨“P Q P Q P 为真命题的个数是 ( ) 1.A 2.B 3.C 4.D解析 函数x y 2sin =的图象向右平移3π个单位后，所得函数为)]3(2sin[π-=x y ),32.2sin(π-=x ∴ 命题P 是假命题． 又)3cos()6sin(x x y -+=ππ)]6(2cos[)6sin(πππ+-+=x x),32cos(2121)6(sin 2ππ+-=+=x x∴ 其最小正周期为∴==,22ππT 命题p 真． 由此，可判断复合命题”∨“Q p 真，”∧“Q p 假，”“p ⌝为真，故选B ． 答案 B【方法点拨】””“￢∧”““p q p q pv ,形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定””“∨”“∧“p q p q p ⌝形式命题的真假， 方法2 全（特）称命题真假的判断方法例2（2012河南郑州三模，6,5分）下列命题中的假命题是( )02,.1>∈∀-x R x A 0)1(*,.2>-∈∀x N x B1lg ,.<∈∃x R x C 2tan ,.=∈∃x R x D 解题思路 理解””““∃∀的含义，依据相关数学知识进行分析、判断．解析 A 正确；对于B ，当1=x 时，,0)1(2=-x 错误；对于C ，当)1,0(∈x 时，,10lg <<x 正确；对于=∈∃x R x D tan ,,,2正确． 答案 B 【方法点拨】三年模拟A 组2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：20分钟 分值：30分 选择题（每题5分，共30分）1．（2013河南安阳一模．4）已知命题,:R x p ∈∃使;25sin =x 命题,:R x q ∈∀都有.012>++x x 给出下列结论：①命题∧“p ”q 是真命题；②命题”∧“q p ⌝是假命题；③命题”∨“q p ⌝是真命题；④命题”∨“q p ⌝⌝是假命题，其中正确的是 ( ) ②④.A ②③.B ③④.C ①②③.D2．（2013福建宁德4月．2）已知命题2:>x p “是42>x 的充要条件”，命题q ：“若,22cbc a >则 ”，b a >则( )A ．“p 或q”为真B ．“p 且q”为真 C.p 真q 假 D.p ，q 均为假3．（2012河北保定二模．2）下列命题中正确的是 ( )A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题”∧“q P 为真命题 ”“21sin .=αB 是”“6πα=的充分不必要条件C.L 为直线，βα,为两个不同的平面，若,,βαβ⊥⊥l 则α//lD ．命题”“02,>∈∀x R x 的否定是”“02,00≤∈∃x R x 4．（2012安徽皖南八校三联．4）下列命题中，真命题是( )A ．存在212cos 2sin,22=+∈x x R x B ．任意x x x cos sin ),,0(>∈π C ．任意x e x x +>+∞∈1),,0(D ．存在1,0200-=+∈x x R x5．（2012北京东城二模．1）下列命题中，真命题是 ( )01,..2<--∈∀x R x A1,.0200-=+∈∃x x R x B041,.2>+-∈∀x x R x C 022,.0200<++∈∃x x R x D智力背景有关人体的一些有趣数字 一个体型较大的人，全身皮肤总够有1000亿个细胞，几乎相当于地球人口的20倍，，心脏每天消耗的能量足以把900千克重的物体升高1.2米.一个人活到50岁时，其心脏所做的功，相当于把18000吨的物体升高20多万米人躺在床上，每分钟只需要吸入8.8升空气，而坐起来就需要17.6升，散步时需要26.4升，跑步每分钟则需要55升．6．（2011湖南六校4月模拟．2）已知命题;21,:2x x R x p <+∈∃命题q ：若012<--mx mx 恒成立，则,04<<-m 那么( )”“p A ⌝.是假命题 B.q 是真命题 C ．“p 或q”为假命题 D ．“p 且q”为真命题B 组2011-2013年模拟探究专项提升测试时间.20分钟 分值：30分选择题（每题5分，共30分） 1．（2013吉林延边一模，4）下列命题错误的是 ( )A ．命题“若022=+y x ，则x=y=0”的逆否命题为“若x ，y 中至少有一个不为0，则”022=/+y x B ．若命题,01,:0200≤+-∈∃x x R x p 则1,:2+-∈∀⌝x x R x p 0>C ．△ABC 中，B A sin sin >是A>B 的充要条件D ．若向量a ，b 满足,0<⋅b a 则a 与b 的夹角为钝角 2．（2012河南开封二模．4）下列说法不正确的是 ( )”“01,0200<--∈∃x x R x A 的否定是”“01,2≥--∈∀x x R x B ．命题“若,00>>y x 且则”0>+y x 的否命题是假命题,R a C ∈∃“使方程022=++a x x 的两根21,x x 满足<<11x ,,2x 和“函数)1(log )(2-=ax x f 在[1，2]上单调递增”都为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则A C B 222sin sin sin <+是△ABC 为钝角三角形的充要条件3．（2012辽宁鞍山五模．2）A x ∈∃“使得,,0322>--x x 的否定为 ( ) ,.A x A ∈∃使得0322<--x x ,.A xB ∈∃使得0322≤--x x ,.A xC ∈∀使得0322>--x x ,.A xD ∈∀使得0322≤--x x4．（2012北京海淀二模．2）已知命题p R x p nx 则￢,12,:0=∈∃是( )12,.00=/∈∀x R x A 12,.00=/∉∀x R x B 12,.00=/∈∃x R x C 12,.00=/∉∃xR x D5．（2011广东中山4月模拟．2）q p ∨为真命题”是q p ∧“为真命题”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2011辽宁协作体4月模拟，4）命题R x ∈∃0“使0log 02≤x 成立”的否定为 ( ),.0R x A ∈∃使0log 02>x 成立 ,.0R x B ∈∃使0log 02≥x 成立 ,.0R x C ∈∀均有0log 02≥x 成立,.0R x D ∈∀均有0log 02>x 成立智力背景千千万、万万千 “千千万”是形容数量多，“万万千”也是形容数量多.那么是“干千万”多呢，还是“万万千”多？顾名思义，应该是：)千千万=10101000010001000=⨯⨯。
§1.3_简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(人教A版选修2-1)
p
6
或
)
q
为真命题，p
若当若 当 若 当若 当若 当 若当pppppppppppp或真或 真或 真或 真或真或 真qqqqqqqqqqqq为假为 假为 假为 假为假为 假真时真 时真 时真 时真时真 时命，命 ，命 ，命 ，命，命 ，题c题c题c题c题c题c的的的,的的的,,,p,,取pp取取ppp取取取且且且值且且且值值值值值q范qq范范qqq范范范为为为围为为为围围围围围假假假是假假假是是是是是命命命命命命000题0<00题题<<题题题<<<c,cc≤,,ccc≤≤,,,≤≤≤则则则12则则则121212；1212；；p；；；ppp,pp,,q,,,qqqqq中中中中中中必必必必必必有有有有有有一一一一一一真真真真真真一一一一一一假假假假假假......
第三讲 简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
临沂一中高三数学组
知识网络
命题及 其关系
常 充分条件
用
必要条件
逻
充要条件
辑
用
简单的逻
语
辑联结词
量词
命题
四种命题
四种命 题的相 互关系
原命题：若p则q
互否
否命题：若p则q
互逆
互为逆否 等价关系
互逆
逆命题：若q则p
互否
逆命题：若q则p
充分条件
p ⇒q
必要条件
③③∵∴∵∴ppaa和aa和>≤>≤11q12q12或中或中a有a有≥≥且且88仅仅或有或有一一12a12a<≤个<≤个aa1正<1是<88确真，，命，题∴∴，a≥a≤812或或12a<≥a≤8 1.或12<a<8
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(3)
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案 C解析由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．故选C.3．小题热身(1)(2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2)(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.题型1 含有逻辑联结词的命题的真假典例1 (2018·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题．故选B.典例2(2017·武汉模拟)若存在正常数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin x 2，其中是“限增函数”的是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③注意放缩法的应用．答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为 (x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，即x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 均成立，因函数的定义域为R ，故不存在满足条件的正常数a ，b ，故f (x )＝x 2＋x ＋1不是“限增函数”；对于②，若f (x )＝|x |是“限增函数”，则 f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为：|x ＋a |≤|x |＋b ， ∴|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |恒成立，又 |x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |， ∴|x |≥a －b 22b ，显然当a <b 2时式子恒成立， ∴f (x )＝|x |是“限增函数”； 对于③，∵－1≤f (x )＝sin x 2≤1， ∴f (x ＋a )－f (x )≤2，∴当b ≥2时，a 为任意正数，使f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，故f (x )＝sin x 2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(2018·天星二联)已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 C解析因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6>0可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.2．(2018·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )均为假命题，p ∧(綈q )为真命题．故选C.题型2 全称命题与特称命题角度1 全称命题、特称命题的真假判断典例(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2 x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2 x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点，D 正确．故选B.角度2 全称命题、特称命题的否定典例 (2018·厦门模拟)已知命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥x B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥x D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0用构造函数法，求导法．答案 B解析 令f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1<0， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2递减， f (x )max <f (0)＝0，故sin x <x ，命题p 是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．(2018·晋中模拟)已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0 答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，即当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，所以∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．则綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0， 综上只有C 成立．故选C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.题型3 由命题的真假求参数的取值范围典例1已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是假命题，则实数a的取值范围是________．注意分情况讨论．答案 a ≤－2或a >2解析 命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，∴0<a <1. 又∵命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即－2<a ≤2.若P ∨Q 为假命题，则P 假Q 假，命题P 为假时，有a ≤0或a ≥1；命题Q 为假时，有a ≤－2或a >2，所以P ∨Q 为假时a ≤－2或a >2.[结论探究] 在本例条件下，若P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤0或1≤a ≤2解析 若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，命题P 和Q 一真一假，若P 真Q 假，无解；若P 假Q 真，有－2<a ≤0或1≤a ≤2.典例2 (2018·河北调研)对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，lg e －lg (lg e)]B ．(－∞，1]C ．[1，lg e －lg (lg e)]D ．[lg e －lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析 对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，即a －x ≤|lg x |恒成立，设y ＝－x ＋a ，g (x )＝|lg x |，如图，当直线y ＝－x ＋a 与g (x )相切时，a 取得最大值，设切点为A (x ，y )，则－1＝(－lg x )′，得到x ＝lg e ，所以y ＝－lg (lg e)，所以切线方程为：y ＋lg (lg e)＝－(x －lg e)，令x ＝0得到y ＝lg e －lg (lg e)， 所以a 的取值范围为(－∞，lg e －lg (lg e)]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练(2018·寿县月考)已知命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[25，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫143，＋∞ D ．(－∞，25]答案 A解析 若∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 恒成立，则a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，x ∈(2,3)． ∵f (x )＝x ＋5x 在(2，5)上是减函数，在(5，3)上为增函数，∴函数f (x )的最小值是f (5)＝25，则a <2 5.∵命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，∴a ≥25，实数a 的取值范围是[25，＋∞)．故选A.1．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x ＞0，ln (x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0，∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案 B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B.3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案 D解析A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，正确．故选D.4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p 且q为假命题，则实数a的取值范围是()A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 B 解析 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3. 综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为() A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e.则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )答案 D 解析 设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x －ax <1不恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m <0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(綈q )为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________；(2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )．∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上，∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．解 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋a 2x －7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1. 若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ 0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52. 故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.。
课标版高考理科数学 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词挖命题【考情探究】分析解读 1.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学命题.3.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.破考点【考点集训】考点一简单的逻辑联结词1.(2018安徽淮北第二次(4月)模拟,3)命题p:若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角;命题q:若cosαcosβ=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是()A.pB.¬qC.p∧qD.p∨q答案D2.(2017广东惠州二调,5)在射击训练中,某战士射击了两次,设命题p是“第一次射击击中目标”,命题q是“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示为()A.( ¬p)∨(¬q)B.p∨(¬q)C.( ¬p)∧(¬q)D.p∨q答案A考点二全称量词与存在量词1.(2018江西师范大学附属中学4月月考,3)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)答案C2.(2017河北五所名校联考,3)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.∀x∈R,1<f(x)≤2B.∃x∈R,1<f(x)≤2C.∃x∈R,f(x)≤1或f(x)>2D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2答案D3.(2018安徽马鞍山含山联考,5)已知函数f(x)=e x-lo x,给出下列两个命题:命题p:若x0≥1,则f(x0)≥3;命题q:∃x0∈[1,+∞),f(x0)=3.则下列叙述错误的是()A.p是假命题B.p的否命题是若x0<1,则f(x0)<3C. ¬q:∀x∈[1,+∞),f(x)≠3D. ¬q是真命题答案D炼技法【方法集训】方法解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题的方法1.(2018山东日照5月联考,6)已知p:∀x∈R,x2+2x+a>0;q:2a<8.若“p∧q”是真命题,则实数a 的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)答案C2.(2018广东汕头一模,6)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-2,1]C.(1,2)D.(1,+∞)答案C3.(2018豫西南五校4月联考,13)若“∀x∈-,m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为.答案1过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一简单的逻辑联结词1.(2017山东,3,5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧¬qC.¬p∧qD.¬p∧¬q答案B2.(2014辽宁,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)答案A考点二全称量词与存在量词1.(2016浙江,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x22.(2015浙江,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案D3.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案1C组教师专用题组(2014重庆,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q答案D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届湖南、湖北八十二校第一次调研联考,2)已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则¬p是()A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<02.(2019届江西赣州十四县期中联考,4)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题p:∃x0∈R,使得sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x>sin x,则命题p∨q为真”C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题答案D3.(2019届湖南三湘名校教育联盟高三第一次大联考,6)设a∈Z,函数f(x)=e x+x-a,若命题p :“∀x∈(-1,1),f(x)≠0”是假命题,则a的取值有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案D4.(2019届四川绵阳高中第一次诊断性考试,5)已知命题p:∃x0∈R,使得lg cos x0>0;命题q:∀x<0,3x>0,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∨q答案D5.(2017湖北武汉2月调研,3)命题“y=f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是()A.∃x∈M,f(-x)=-f(x)B.∀x∈M,f(-x)≠-f(x)C.∀x∈M,f(-x)=-f(x)D.∃x∈M,f(-x)≠-f(x)答案D6.(2018湖南湘东五校4月联考,3)已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0)B.[0,4]C.[4,+∞)D.(0,4)7.(2018山东泰安3月联考,4)下列命题正确的是()A.命题“∃x∈[0,1],使x2-1≥0”的否定为“∀x∈[0,1],都有x2-1≤0”B.若命题p为假命题,命题q是真命题,则(¬p)∨(¬q)为假命题C.命题“若非零向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0”及它的逆命题均为真命题D.命题“若x2+x=0,则x=0或x=-1”的逆否命题为“若x≠0且x≠-1,则x2+x≠0”答案D8.(2017河南商丘二模,3)已知f(x)=sin x-x,命题p:∃x∈,f(x)<0,则()A.p是假命题,¬p:∀x∈,f(x)≥0B.p是假命题,¬p:∃x∈,f(x)≥0C.p是真命题,¬p:∀x∈,f(x)≥0D.p是真命题,¬p:∃x∈,f(x)≥0答案C9.(2018山东济南一中期中联考,6)已知命题p:对于任意x∈R,恒有2x+2-x≥2成立;命题q:奇函数f(x)的图象必过原点.则下列结论正确的是()A.p∧q为真B.(¬p)∨q为真C.¬q为假D.p∧(¬q)为真答案D10.(2018广东汕头潮南5月冲刺,4)下列命题正确的是()A.命题∃x0∈R,+1>3x0的否定是∀x∈R,x2+1<3xB.命题△ABC中,若A>B,则cos A>cos B的否命题是真命题C.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p为真命题,q为假命题D.ω=1是函数f(x)=sinωx-cosωx的最小正周期为2π的充分不必要条件答案D二、解答题(共25分)11.(2019届安徽皖南八校高三第一次联考,20)命题p:∀x∈R,-有意义;命题q:函数y=ax2+3(xcos x-sin x)在(0,+∞)上是单调函数.(1)写出命题¬p,若p为真命题,求实数a的取值范围;(2)若(¬p)∨q为真命题,(¬p)∧q为假命题,求实数a的取值范围.解析(1)¬p:∃x∈R,-无意义;p为真命题时,a+1≥0,当a+1=0,即a=-1时,-有意义,当a+1>0时,Δ=(a+1)2-4(a+1)≤0,即-1<a≤3,有意义,∴当p为真命题时,a∈[-1,3].(2)当¬p为真命题时,a∈(-∞,-1)∪(3,+∞),当q为真命题时,y'=2ax+3(cos x-xsin x-cos x)=x(2a-3sin x),由函数在(0,+∞)上是单调函数,∴2a≥3sin x或2a≤3sin x在x∈(0,+∞)上成立,∵sin x∈[-1,1],∴2a≥3或2a≤-3,即a≥或a≤-.∵(¬p)∨q为真命题,(¬p)∧q为假命题,∴¬p与q一真一假,当¬p为真命题,q为假命题时,-<a<-1,当¬p为假命题,q为真命题时,≤a≤3,∴a的取值范围是--∪.突破攻略此类题目一般会出现“p或q”为真,“p或q”为假,“p且q”为真,“p且q”为假等条件,解题时应先将这些条件转化为p,q的真假.有时p,q的真假是不确定的,需要讨论.但无论哪种情况,一般都是先假设p,q为真,求出参数的取值范围,当它们为假时取补集即可.12.(2018辽宁鞍山一中一模,17)设a∈R,命题q:∀x∈R,x2+ax+1>0,命题p:∃x∈[1,2],满足(a-1)x-1>0.(1)若命题p∧q是真命题,求a的取值范围;(2)若(¬p)∧q为假,( ¬p)∨q为真,求a的取值范围.解析(1)若p为真命题,则---或---解得a>;若q为真命题,则a2-4<0,解得-2<a<2,∴若p∧q为真命题,则<a<2.(2)由(¬p)∧q为假,( ¬p)∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真,若p假,q假,则-或⇒a≤-2,若p真,q真,则-⇒<a<2.综上,a≤-2或<a<2.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假． 第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选 B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A. 【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
2021届高考数学一轮必备 1.3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》考情分析学案(1)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的明白得，表达简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.注意事项1.逻辑联结词与集合的关系。
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词组成的命题问题2．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．3．复合命题的否定(1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．典型例题题型一含有逻辑联结词命题真假的判定【例1】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，那么在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析可判定p1为真，p2为假；那么q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案C【变式1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出以下结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的选项是( )．A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③解析 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确．答案 C题型二 全称命题与特称命题【例2】►写出以下命题的否定，并判定其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．【变式2】 写出以下命题的否定，并判定真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根；(2)q ：有些合数是偶数；(3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题．(2)¬q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．题型三 依照命题的真假，求参数的取值范围【例3】已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．假设“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．解 由p 得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2. 由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，那么1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3； ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2. ∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.【变式3】 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．假设p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1.不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≥4，得a ≥4. ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1. 故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．难点冲破【例1】(2021辽宁模拟)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，假设“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． [解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴¬p：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12. ∵c ＞0且c ≠1，∴¬q：c ＞12且c ≠1.(6分) 又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ c ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.(12分)【例2】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1. ∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，现在m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，现在－1≤m ＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．巩固提高1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，那么( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案C2．假设p是真命题，q是假命题，那么( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析此题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的明白得运用能力．只有¬q是真命题．答案D3．命题p：假设a，b∈R，那么|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而没必要要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的概念域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)那么( )．A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真答案D4．设p、q是两个命题，那么复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案C5．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3。
1.3简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词
【解析】选A．“非p或非q”是假命题，可得“非p”与“非q” 均为假命题，即p,q均为真命题，故结论①③正确．
4．已知命题p： x∈R,sin x≤1，则(
(A) p: x∈R,sin x≥1 (C) p: x∈R,sin x>1
)
(B) p: x∈R,sin x≥1 (D) p: x∈R,sin x>1
b 2
项C中的命题为假；根据不等式的性质，a>1，b>1⇒ab>1，但 反之不成立，故选项D中的命题为真．
(2)选D．由于x2+x+1= (x 1 ) 2 3 0 对任意实数x恒成立，故选
2 4
项A中的命题为真命题；令y=ex,y=-x+1，结合两个函数的图象 可知这两个函数的图象存在公共点，故“ x∈R,ex+x=1”为 真命题；f′(x)=3x2+a，只要a≥0，f′(x)≥0即在(-≦,+≦) 上恒成立，函数f(x)=x3+ax即在(-≦,+≦)上单调递增，故选 项C中的命题为真命题；由于Δ=a2-4a，当Δ<0，即0<a<4时， 函数f(x)=x2+ax+a不存在零点，故“ a∈R,f(x)=x2+ax+a存 在零点”是假命题．
x 2 (2)“ a∈R，函数 f x a 是R上的奇函数”的否定是 2x a
_________． 【思路点拨】(1)已知命题是一个含全称量词的命题，其否定 是一个含存在量词的命题． (2)已知命题是一个含存在量词的命题，其否定是含全称量词 的命题，注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”．
p是对p的否定，故有 p: x∈R,sin x>1. 【解析】选C．
1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 、 、 、
⑶全称量词用符号“____”表示；存在量词用符号
“____”表示.
⑷全称命题与特称命题
含有全称量词 ①_____________的命题叫全称命题.
含有存在量词 ②_____________的命题叫特称命题.
3. 命题的否定
⑴全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是 全称命题. ⑵p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;
a x
2
,故只有当 a
0
时, f x 在 0 , 时, f x
x
2
上是增函数,因此 A,B 不对;当 a 函数,因此 C 对,D 不对.
0
是偶
题型分类 深度剖析
题型一 用“或” “且”“非”联结简单命题 、 、 判断其真假
【例 1】写出由下列各组命题构成的“ p q ”,“ p q ”, “ p ”形式的复合命题,并判断真假. ⑴p:1 是质数;q:1 是方程 x 2 互相垂直; ⑶p: 0 ;q: x
⑵p:函数 y q:方程 x
2
x x2
2
的图象与 x 轴没有公共点. 没有实根.
的图象[解]⑵ p q :函数 y 共点,且方程 x 2
p q
x x2
x2 0
2
真
:函数 y
x x2
x2 0
2
的图象与 x 轴没有公共
,故 p 1 为假;
在 p 2 : x (0 ,1), lo g
1 2
x lo g 1 x
中，
当x
1 2
时, lo g
1
1 2
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
点评：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定 的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词, 全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； 二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论 即可．
例 2、已知 a>0，设命题 p：函数 y＝ax 在 R 上单调递增； 命题 q： 不等式 ax2－ax＋1>0 对∀x∈R 恒成立． 若“p∧q” (0,1]∪[4，＋∞) 为假，“p∨q”为真，求 a 的取值范围．
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
复习目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义; 2.理解全称量词与存在量词的意义; 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
要点回顾 1．简单复合命题的真值表：
p 真 假 真 假 q 真 真 假 假 p∧q p∨q ¬p
真 假 假 假
真 真 真 假
例 3、已知命题 p：方程 2x2＋ax－a2＝0 在[－1,1]上有解；命 题 q：只有一个实数 x0 满足不等式 x2＋2ax0＋2a≤0，若命题 0 {a|a>2 或 a<－2} “p 或 q”是假命题，求 a 的取值范围．
达标检测 1．若p为真命题，q为假命题，以下四个命题：(1)p且q； (2)p或q；(3)非p；(4)非q其中假命题的个数为( ) A (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.下列命题中，真命题是( A ) A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
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（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当 的真假不易判断时，可转化为去判断 的真假．
例1．16写出下列命题的否定并判断其真假．
（1） 不论 取何实数，方程 必有实数根；
（2） 有的三角形的三条边相等；
（3） 菱形的对角线互相垂直；
（4） ， ．
（2）存在量词与特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为“ ”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（特称命题也叫存在性命题）．
3．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题．全称命题 的否定 为 ， ．
表1-2
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
口诀:（1）“ 且 ”，一假则假，全真才真；（2）“ 或 ”，一真则真，全假才假；（3）“ ”，真假相对．
2．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对 中的任意一个 ，有 成立”可用符号简记为“ ”，读作“对任意 属于 ，有 成立”．
（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；
（2）矩形的对角线互相垂直或相等；
（3）菱形不是平行四边形；
（4） ．
分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论．
解析：（1）命题 是 的倍数， 是 的倍数，用“且”联结后构成新命题，即 ．因为 都是真命题，所以 为真命题．
（2） 矩形的对角线垂直， 矩形的对角线相等，用“或”联结后构成新命题，即 ．因为 是真命题，所以 是真命题．
（3） 菱形是平行四边形，用“非”联结后构成新命题，即 ．因为 是真命题，所以 是假命题．
（4） ， ，用“或”联结后构成新命题，即 ，因为命题 是真命题，所以命题 是真命题．
变式1（2017·山东）已知命题 ；命题q： ，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧qB． C． D．
解析：命题 ，则命题 为真命题，则 为假命题；
A. B．
B. D．
解析A 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选A．
题型9根据命题真假求参数的范围
例1．17命题p:关于x的不等式 ，对一切 恒成立，q：指数函数
是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系．
题型归纳及思路提示
题型7判断含逻辑联结词的命题的真假
思路提示
判断命题真假的一般步骤为：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假；
（3）报据真值表判断新命题的真假．
例1．15判断下列命题的真假．
（2）特称命题的否定是全称命题．特称命题 的否定 为 ．
注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一．
区别否命题与命题的否定:
①只有“若 ，则 ”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式)；
命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ，而否定形式为“若 ，则 ”．
A． B． C． D．
解析：由指数函数恒过点 知，函数 是由 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所以函数 恒过点 ，故命题 为真命题；命题 ： 与 的位置关系也可能是 ，故 是假命题．所以 为真命题．故选D
题型8含有一个量词的命题的否定
思路提示
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”)．再否定结论；
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲解读
1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
命题趋势探究
预测2019年高考主要考查：复合命题真假的判断、全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参数范围．题型主要以选择题、填空题为主．
取 ，但 ，则命题 是假命题，则 是真命题．
是假命题， 是真命题， 是假命题， 是假命题．
故选B．
变式2已知命题 ，则“ 或 为真”是 且 为真”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B．解析：
C．
D． 故选B
变式3(2016·商丘模拟)已知命题 ：函数 的图象恒过点 ；命题 ：已知 ，则直线 是直线 的充要条件．则下列命题为真命题的是( )
知识点精讲
1．简单的逻样联结词
（1）一般地，用联结词“且”把命题 和 联结起来，得到一个新命颐，记作 ，读作“ 且 ；
（2）一般地，用联结词“或”把命题 和 联结起来，得到一个新命题．记作 ，读作“ 或 ”；
（3）一般地，对一个命题 否定，得到一个新命题，记作 ，读作“非 ”或“ 的否定”．
逻辑联结词的真值规律如表1-2所示．
“p且q”的否定是“ 或 ”，“p或q”的否定是“ 且 ”．即 ， ，与集合的德摩根法则可类比记忆．
变式1命题“存在 ， ”的否定是（）
A．不存在 ， B．存在 ，
C．对任意的 ， D．对任意的 ，
解析对于存在性命题的否定，要先改变量词，再否定结论，所以原命题的否定为“对任意的 ”．故选D
变式2（2017·成都七中半期）设命题 ，则 为（）
分析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，再对命题进行否定并判断真假．
解析：（1） 存在一个实数 ，使方程 没有实数根．因为该方程的判别式 ，故 为假命题．
（2） 所有三角形的三条边不全相等．显然 为真，故 为假命题．
（3） 有的菱形对角线不垂直．显然 为真，故 为假命题．
（4） 。显然，当x=1时， ，故 为假命题．
评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表1-3所示．
表1-3
正面词语
否定
等于（=）
不等于（ ）
大于（>）
不大于（ ）
小于（<）
不小于（ ）
是
不是
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
至少有一个
一个也没有
任意
存在
ห้องสมุดไป่ตู้所有
某个（些）
至多有n个
至少有n+1个
任意两个
某两个
特别地，联结词“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”．