4.简单的逻辑联结词与量词
第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 (1)短语“ 所有的 ”、“ 任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称 量词，并用符号“ ∀ ”表示. (2)含有 全称量词 的命题，叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记
为： ∀x∈M，p(x) ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
(3)∀θ ∈R，函数y＝sin(2x＋θ )都不是偶函数.
(4)∂x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题这一部分 内容往往能够和其他的知识联系起来，通过这两类量词的理 解与运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容是高考命
题的热点内容.2009年宁夏、海南卷就考查了这一内容.
2.判断下列命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)存在x∈R，x3≤0；
解：(1)指数函数的形式为y＝ax(其中a＞0且a≠1)，定义
域{x|x∈R}，对每一个符合题意的a，函数y＝ax都是单调
的，当a＞1时，函数y＝ax在R上为增函数.当0＜a＜1时， 函数y＝ax在R上为减函数，所以，全称命题“每个指数函 数都是单调函数”是真命题. (2)－1是实数，但x2＝－1无解，也就是 无意义，
一、简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题p和命题q，记作 p∧q，
读作“ p且q”. 2.用联结词“或”联结命题p和命题q，记作 p∨q，
读作“ p或q ”.
3.对一个命题p全盘否定记作 “p的否定”. ，读作“非p”或
4.命题p∧q，p∨q， p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教案)
1、给出下列三个命题
①若 ,则
②若正整数m和n满足 ,则
③设 为圆 上任一点，圆O2以 为圆心且半径为1.当 时,圆O1与圆O2相切
其中假命题的个数为.
2、已知命题p：集合 只有3个真子集， ：集合{y|y＝ }与集合{ }相等．则下列新命题：①p或 ；②p且 ；③非p；④非 .其中真命题序号为________．
【示例】►已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在 上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
【试一试】设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．
课题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
学情分析
学生刚学过这块内容，对其掌握还不是很牢固，需要及时加强巩固。
教学目标与
考点分析
1、理清相关相似概念间的异同点；
2、准确把握逻辑联结词的含义和用法；
3、熟练掌握对含有量词命题的否定的方法。
教学重点
对含有量词命题的否定是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
【例1】►已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬ p1)∨p2和q4：p1∧(¬ p2)中，真命题是()．
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0．给出下列结论，其中正确的是()．
简单的逻辑联结词-全称量词与存在量词
可得a2-5a-3≥3, ∴a≥6或a≤-1. 命题q:不等式x2+ax+2<0有解，∴Δ=a2-8>0.
a 2 2或a 2 2.
从而命题q为假命题时， 2 2 a 2 2,
∴p真q假时，a的取值范围为 2 2 a 1.
练习: (1)x0 [1,1], x02 x0 1 a 0成立， 求a的取值范围.
(2)x [1,1], x02 x0 1 a 0成立，
求a的取值范围.
解 : (1)x0 [1,1], a x02 x0 1成立，
a ( x02 x0 1)max .
题型分类 深度剖析
题型一 用“或”、“且”、“非” 联结简单命题并判断其真假
【例1】写出由下列各组命题构成的“p∨q”、
“p∧q”、“ p”形式的复合命题，并判断真假.
（1）p:1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根； （2）p:平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的
对角线互相垂直； （3）p：0∈ ；q：{x|x2-3x-5<0} R； （4）p：5≤5；q：27不是质数.
x0 [1,1], x02 x0 a 3 (2)x [1,1],
1的 a x02
值域：[ 3 ,3] x0 14恒成
立
，
a ( x02 x0 1)min .
y由(1)知：a 3 4
例5：已知c 0，设P：函数y c x在R上单调 递减，Q : 不等式x x 2c 1的解集为R， 若P和Q有且只有一个正确，求c的取值范围
（C）
A. a∈R,f(x)在(0，+∞)上是增函数
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题[常用结论与微点提醒]1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修1－1P26A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是()A.綈p：∀x∈R，x≤1B.綈p：∃x∈R，x≤1C.綈p：∀x∈R，x<1D.綈p：∃x∈R，x<1解析特称命题的否定为全称命题.∴綈p：∀x∈R，x≤1.答案 A3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R，lg x0＝1B.∃x0∈R，sin x0＝0C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x ＜0时，x 3＜0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R ，2x ＞0，则D 为真命题.故选C.答案 C4.(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧qD.(綈p )∧(綈q )解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0， ∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 是真命题，綈p 为假命题.∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q 为假命题，綈q 为真命题.根据真值表可知p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题.答案 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧(綈q )(2)(2018·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A.p ∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.(綈p )∧q解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题.综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题.∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题.(2)命题p ：当a ＝0时，有1>0恒成立；当a ≠0时 ，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解之得0<a <4. ∴实数a ∈[0，4)，因此p 假，綈p 是真命题.命题q ：由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，q 为真命题.故(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)A (2)D规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.【训练1】(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为()A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q解析由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题.由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题. 答案 B考点二含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()A.(綈p )∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析 (1)全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是：∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0.(2)对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2，∴p 为假命题.取x 0∈(0，1)，此时x 20＞x 30，∴q 为真命题.从而綈p 为真命题，(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)D (2)A规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【训练2】 命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：( 綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题. 答案 B考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(4，＋∞)B.[1，4]C.[e ，4]D.(－∞，－1) (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是_________________________________________.解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2018·咸阳模拟)命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题綈p为()A.∃x0<0，x20≥2x0B.∃x0≥0，x20<2x0C.∃x0<0，x20<2x0D.∃x0≥0，x20≥2x0解析全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴綈p：∃x0<0，x20<2x0.答案 C2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n解析命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：∀n∈N，n2≤2n.答案 C3.若命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是()A.p∨(綈q)B.p∧qC.(綈p)∧qD.p∨q解析命题p和命题q都是假命题，则命题綈p和命题綈q都是真命题，故选A.答案 A4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()A.(綈p )∨(綈q )B.p ∨(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∨q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定选A.答案 A5.(2018·成都调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p ∧(綈q )B.(綈p )∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题.答案 A6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 D7.以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4解析 ∵Δ＝(－3)2－4×2>0, ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题； 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.答案 A8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞). 答案 D二、填空题9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定是________.答案 ∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>210.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)11.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题.其中为真命题的是________(填序号).解析 显然①③正确；②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确；④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误.答案 ①②③12.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________.解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1<x ≤2或x <－3}.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析 改变量词，否定结论.∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.答案 D14.(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.答案 B15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16.(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件． 5．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①∃x ∈R ，lg x ＝1； ②∃x ∈R ，sin x ＝0； ③∀x ∈R ，x 3＞0； ④∀x ∈R ，2x ＞0. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则④为真命题．6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]解析 由已知条件，知p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2017·山东改编)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p ，q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，log 12x ＞13log x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎫12x＞12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故②是真命题；对于③，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；对于④，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎫0，13上的图象，可以判断④是真命题．命题点2 含有一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”． (2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是________． 答案 ∀x ＞1，x 2＜2解析 根据存在性命题的否定规则得“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是“∀x ＞1，x 2＜2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号) ①∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；③∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)； ④∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点．答案 ②解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，②错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0，③正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，④正确．(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>0解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”． 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上单调递增， 故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故当p 为真时，m >45； 函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1， 若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得m <1， 故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的________条件． 答案 必要不充分解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题． 二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的________条件． 答案 必要不充分解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件． 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意，知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )． 答案 ④解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假． 3．下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ③∀x ∈R,3x ＞0； ④∃x ∈R ，lg x ＝0. 答案 ②解析 对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确． 4．下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号) ①p ∧q;②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q ); ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q );④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质可知，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立， 当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．7．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．(2017·江苏南通中学月考)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真命题，则0<c <1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假．当p 真q 假时，0<c ≤12； 当p 假q 真时，c ≥1.故c 的取值范围是为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，0)解析 f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．14．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为a >1，所以g (x )在[2，＋∞)上单调递，即g (x )≥a 2.又当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。
简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词
(2)┐p：所有的三角形的三条边不全相等．
显然┐p为假命题．
有关全(特)称命题问题的解题策略． (1)判断全(特)称命题真假时，要注意假命题时只需举出 一个反例否定即可，而真命题必须保证对限定的集合中 每一个元素都成立． (2)写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命 题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相 应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在 量词改成全称量词，同时否定结论．
解析：全称命题的否定是特称命题，
即命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“x0∈R，|x0|＋ x02<0”．
故选C.
(2)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋ b＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )
A．x0∈R，f(x0)<f(m) B．x0∈R，f(x0)>f(m) C．x∈R，f(x0)≤f(m) D．x∈R，f(x)≥f(m)
考向分层突破二：含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1：(1)(2014•辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若 a•b＝0，b•c＝0，则a•c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下 列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q C．( ┐p)∧(┐q) D．p∨(┐q)
解析： (1)命题p：若a•b＝0，b•c＝0，则a•c＝0，错误；
2．含量词的命题的否定方法 是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换， 然后否定原命题的结论．
3．判断命题的真假要注意： 全称命题为真需证明，为假举反例即可； 特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
考向分层突破一：全称命题与特称命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断[必记结论]1．真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假．2．“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”．2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．[必记结论]1．判定全称命题为真，需证明对任意x∈M，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到一个x∈M，使p(x)不成立即可．2．判定特称命题为真，只需找到一个x∈M，使p(x)成立即可；判定特称命题为假，需证明对任意x∈M，p(x)均不成立．3．含有一个量词的命题的否定[必记结论]对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．[小题诊断]1．命题“∃x0≤0，x20≥0”的否定是()A．∀x≤0，x2＜0B．∀x≤0，x2≥0C．∃x0＞0，x20＞0 D．∃x0＜0，x20≤0答案：A2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧命题q B．命题p∧qC．命题p∧命题q D．p∧q解析：由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p是假命题，命题q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧命题q是真命题．答案：A3．已知命题p：“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，命题q：“a2＞b2”是“a＞b”的充要条件，则()A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p∨q为假解析：由x＞3能够得出x2＞9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2＞b2可得|a|＞|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．答案：D4．(优质试题·唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x30＜x20；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真解析：由x30＜x20，得x20(x0－1)＜0，解得x0＜0或0＜x0＜1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝log a1＝0，∴命题q为真命题．答案：A5．下列四个命题：p 1：对任意x ∈R ，都有2x ＞0； p 2：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0； p 3：对任意x ∈R ，都有sin x ＜2x ； p 4：存在x ∈R ，使得cos x ＞x 2＋x ＋1. 其中的真命题是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 3，p 4D ．p 1，p 4解析：由指数函数的性质可知p 1为真命题；∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0恒成立，∴p 2为假命题；∵sin ⎝⎛⎭⎫－3π2＝1＞2－3π2，∴p 3为假命题；∵当x ＝－12时，cos x ＞cos π6＝32＞⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－12＋1，∴p 4为真命题．故选D. 答案：D6．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，则k 的取值范围是________． 解析：“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，当k ＝0时，则有－1＜0；当k ≠0时，则有k ＜0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k ＜0，解得－4＜k ＜0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]◆ 易错通关 ◆1．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________． 答案：存在两个全等三角形的面积不相等2．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”，其否定为________． 答案：若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0考点一 全称命题与特称命题 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．(优质试题·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，)≤0，则()解析：∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，∴p是假命题：命题p：∀x∈R，log2(3x ＋1)＞0.故应选B.答案：B2．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则命题p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，使得(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)e x≤1解析：由全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，命题p(x0)”，可得命题p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.答案：B全称命题与特称命题真假的判断方法注意无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假．考点二含有逻辑联结词的真假判断互动探究重点保分考点——师生共研[典例](1)(优质试题·高考山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．p ∧命题qC ．命题p ∧qD ．命题p ∧命题q(2)已知命题p ：若a ＜b ，则ac 2＜bc 2；命题q ：∃x 0＞0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(命题q )C ．(命题p )∧qD ．(命题p )∧(命题q )解析：(1)∵∀x ＞0，x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞0，∴命题p 为真命题；当b ＜a ＜0时，a 2＜b 2，故命题q 为假命题，由真值表可知B 正确，故选B.(2)依题意，对于p ，注意到当c ＝0时，ac 2＝bc 2，因此命题p 是假命题；对于q ，注意到当x 0＝1时，x 0－1－ln x 0＝0，因此命题q 是真命题，命题命题q 是假命题，p ∧q 是假命题，p ∨(命题q )是假命题，(命题p )∧q 是真命题，(命题p )∧(命题q )是假命题，综上所述，选C.答案：(1)B (2)C判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤 (1)先判断简单命题p ，q 的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.[即时应用]1．(优质试题·安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(命题q )B ．(命题p )∧qC ．p ∧qD ．(命题p )∨q解析：对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(命题q )为真命题，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题： 命题p ：若m ＝14，则f [f (－1)]＝0；命题q ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解． 那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(命题p )∧qC ．p ∧(命题q )D ．(命题p )∧(命题q )解析：若m ＝14，则f [f (－1)]＝f ⎝⎛⎭⎫12＝0，故命题p 为真命题．当x ＜0时，f (x )＝2x ＞0；当x ≥0时，若m ＜0，则f (x )＝m －x 2＜0.故∀m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0无解，所以命题q 为假命题．所以p ∧q ，(命题p )∧q ，(命题p )∧(命题q )为假命题，p ∧(命题q )为真命题，故选C.答案：C考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 变式探究 母题变式考点——多练题型[典例] (优质试题·济南模拟)给定命题p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，若p ∧q 为真，则a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a＜4.当q 为真命题时，关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.p ∧q 为真时，0≤a ≤14.答案：[0，14][变式探究1]若p ∨q 为真，问题不变．解析：由本例中知p ∨q 为真，分三种情况： ①p 真q 假；②p 假q 真；③p 、q 均为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ＜4，a ＞14或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0或a ≥4，a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜4，a ≤14.∴a ＜4. 答案：(－∞，4) [变式探究2]若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，问题不变． 解析：∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则有0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4； 若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，∴a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫14，4. 答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫14，4根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)； (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．[即时应用]设p ：实数a 满足不等式3a ≤9，q ：函数f (x )＝13x 3＋3(3－a )2x 2＋9x 无极值点．(1)若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)已知“p ∧q ”为真命题，并记为r ，且t ：a 2－⎝⎛⎭⎫2m ＋12a ＋m ⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0，若r 是命题t 的必要不充分条件，求正整数m 的值．解析：(1)若p 为真，则3a ≤9，得a ≤2.若q 为真，则函数f (x )无极值点，∴f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立， 得Δ＝9(3－a )2－4×9≤0，解得1≤a ≤5. ∵“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题， ∴p 与q 只有一个命题是真命题．若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ＜1或a ＞5⇒a ＜1；若q 为真命题，p 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，1≤a ≤5⇒2＜a ≤5.综上，实数a 的取值范围为{a |a ＜1或2＜a ≤5}． (2)∵“p ∧q ”为真命题，∴p 、q 都为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，1≤a ≤5⇒1≤a ≤2. ∵a 2－⎝⎛⎭⎫2m ＋12a ＋m ⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0， ∴(a －m )⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0， ∴a ＜m 或a ＞m ＋12，即t ：a ＜m 或a ＞m ＋12，从而命题t ：m ≤a ≤m ＋12，∵r 是命题t 的必要不充分条件，∴命题t ⇒r ，r ⇒/ 命题t ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋12≤2(两个不等式不能同时取等号)， 解得1≤m ≤32，又∵m ∈N *，∴m ＝1.课时作业单独成册 对应学生用书第213页A 组——基础对点练1．(优质试题·郑州模拟)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0解析：依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”，选A.答案：A2．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2＜0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0解析：命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”，故选C.答案：C3．(优质试题·沈阳模拟)命题p ：“∀x ∈N *，(12)x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，(12)x ＞12B ．∀x ∉N *，(12)x ＞12C ．∃x 0∉N *，(12)x 0＞12D ．∃x 0∈N *，(12)x 0＞12解析：命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“(12)x ≤12”改为“(12)x 0＞12”即可，故选D.答案：D4．(优质试题·武昌调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)·(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1，故选A.答案：A5．已知命题p ：若a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ＜c ＜b ；命题q ：“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(命题q )C ．(命题p )∧qD ．(命题p )∧(命题q )解析：因为0＜a ＝0.30.3＜0.30＝1，b ＝1.20.3＞1.20＝1，c ＝log 1.20.3＜log 1.21＝0，所以c ＜a ＜b ，故命题p 为假命题，命题p 为真命题；由x 2－x －6＞0可得x ＜－2或x ＞3，故“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(命题p )∧q 为真命题，选C.答案：C6．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x 0∉R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0解析：全称命题的否定是特称命题：∃x 0∈R ，x 20＝x 0，选D. 答案：D7．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．命题p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．命题p ：∀x ∉A,2x ∉BC．命题p：∃x0∉A,2x0∈BD．命题p：∃x0∈A,2x0∉B解析：由命题的否定易知选D，注意要把全称量词改为存在量词．答案：D8．命题“存在实数x0，使x0＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x0，使x0≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x0，使x0≤1解析：由特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对任意实数x，都有x≤1，故选C.答案：C9．已知命题p：“a＝2”是“直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充要条件，命题q：“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)＞2n”的否定是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)≤2n0”，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(命题p)∧qC．p∧(命题q) D．(命题p)∧(命题q)解析：由l1∥l2得a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1，故“a＝2”是“直线l1：ax＋2y －6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充分不必要条件，则p是假命题，命题p 是真命题；“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)＞2n”的否定是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)≤2n0”，故q是假命题，命题q是真命题．所以p∧q，(命题p)∧q，p∧(命题q)均为假命题，(命题p)∧(命题q)为真命题，选D.答案：D10．已知命题p：∀x∈R，e x－x－1＞0，则命题p是()A．∀x∈R，e x－x－1＜0B．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0C．∃x0∈R，e x0－x0－1＜0D．∀x∈R，e x－x－1≤0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，e x－x－1＞0，则命题p：∃x0∈R，e x0－x0－1≤0.故选B.答案：B11．下列命题错误的是()A．若p∨q为假命题，则p∧q为假命题。
4-简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词
教 学 过 程 变式 2： (2010· 广西南宁二中高三月考)已知 p： 方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等负根． q： 2 方程 4x ＋4(m－2)x＋1＝0 无实根．
考点 3:全称命题与存在性命题的判断 【例 3】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假： (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被 5 整除； (3)∀x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数； (4)∃x∈{x|x∈Z}，log2x>0.
x
课堂练习： 1．判断下列复合命题的真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)方程 x ＋3x＋2＝0 的根是 x＝±1；(3)A 教 学 过 程 2．写出下列命题的否定并判断真假． (1)p：所有末位数字是 0 的整数都能被 5 整除； (2)q：∀x≥0，x2>0； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于 180°； (4)t：某些梯形的对角线互相平分．
教 学 过 程
考点 4：含有一个量词的命题折否定 【例 4】 写出下列命题的非，并判断其真假： (1)p：不论 m 取何实数，方程 x2＋x－m＝0 必有实数根；
2 (2)q：存在一个实数 x0，使得 x0 ＋x0＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等； (4)s：对任意角α ，都有 sin2α ＋cos2α 构成的“p 或 q” ， “p 且 q” ， “非 p”形式的新命题， 并判断其真假． (1)p：3 是 9 的约数，q：3 是 18 的约数； (2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直； (3)p：π 是有理数，q：π 是无理数．
考点 2: 含逻辑联结词的命题的应用 【例 2】 已知 p：函数 y＝x2＋mx＋1 在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数 y＝4x2＋4(m－2)x＋1 大于零恒成立．若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求 m 的取值 范围．
[整理版]逻辑连接词与量词
![[整理版]逻辑连接词与量词](https://img.taocdn.com/s3/m/653025750a1c59eef8c75fbfc77da26925c59665.png)
逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．2.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．2、量词（1）短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
（2）短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。
3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题：存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是：:1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题：【典型例题】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．（1）相似三角形周长相等或对应角相等；（2）9的算术平方根不是3；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数； （2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q ：函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确，求的取值范围。
人教版选修2-1第一章第二节简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
解析：由 C 选项，若 p∨q 为真命题，则 p ，q 中至少有一 个是真命题，所以 C 选项命题是假命题，故选 C.
1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特 称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题 否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其 否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举 反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命 题为真．
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
p∧q
非p
3. 全 称 量 词 (universal quantifier) 与 存 在 量 词 (existential quantifier) (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一 个”、“任给”、“所有的”等． (2)常见的存在量词有： “存在一个”、 “ “有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ 表示． ”表示； 存在量词用符号“∃” 有一个”、
【解析】 (1)∵方程 x2＋x＋1＝0 的判别式 Δ＝12－4＝－ 3<0， ∴x2＋x＋1<0 无解， 故命题 p1 为假命题， 綈 p1 为真命题； 由 x2－1≥0，得 x≥1 或 x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故 命题 p2 为真命题，綈 p2 为假命题．∵綈 p1 为真命题，p2 为真 命题，∴綈 p1∧p2 为真命题，选 C.
(2)∵y＝2 在 R 上为增函数，y＝2 数，∴y＝－2
－x
x
－x
1 ＝ x 在 2
R 上为，
∴y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题． y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题． ∴q1：p1∨p2 是真命题，因此排除 B 和 D，
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．命题趋势探究预测高考主要考查：复合命题真假的判断、全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参数范围．题型主要以选择题、填空题为主．知识点精讲1．简单的逻样联结词（1）一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命颐，记作p q∧，读作“p且q；（2）一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题．记作p q∨，读作“p或q”；（3）一般地，对一个命题p否定，得到一个新命题，记作p⌝，读作“非p”或“p的否定”．逻辑联结词的真值规律如表1-2所示．表1-2口诀:（1）“p 且q ”，一假则假，全真才真；（2）“p 或q ”，一真则真，全假才假；（3）“p ⌝”，真假相对． 2．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”．（2）存在量词与特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（特称命题也叫存在性命题）．3．含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题．全称命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M∃∈，0()p x ⌝．（2）特称命题的否定是全称命题．特称命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝．注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一． 区别否命题与命题的否定:①只有“若p ，则q ”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形命题“若p，则q”的否命题是“若p⌝，则q⌝，而否定形式为“若p，则q⌝”．②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系．题型归纳及思路提示题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假思路提示判断命题真假的一般步骤为：（1）确定命题的构成形式；（2）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假；（3）报据真值表判断新命题的真假．例1．15 判断下列命题的真假．（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）矩形的对角线互相垂直或相等；（3）菱形不是平行四边形；（4）30≥．分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论．变式1（优质试题·山东）已知命题01)0p x l n x ∀>+>:,(；命题q ：22 a b a b 若＞，则＞ ， 下列命题为真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝变式2 已知命题,p q ，则“p 或q 为真”是p 且q 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式3(优质试题·商丘模拟)已知命题p ：函数1(10)1x y a a a >≠＋＝＋且的图象恒过点()1,2－；命题q ：已知//αβ平面平面，则直线//m α是直线//m β的A ． p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．( )p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝题型8 含有一个量词的命题的否定 思路提示（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”)．再否定结论；（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提； （3）注意命题的否定与否命题的区别；（4）当p ⌝的真假不易判断时，可转化为去判断p 的真假．例1．16 写出下列命题的否定并判断其真假． （1）:p 不论m 取何实数，方程210x mx +-=必有实数根； （2）:p 有的三角形的三条边相等；（4）0:N p x ∃∈，200210x x -+≤．评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表1-3所示． 表1-3特别地，联结词“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”．“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”，“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”．即)()()(q p q p ⌝∨⌝=∧⌝，)()()(q p q p ⌝∧⌝=∨⌝，与集合的德摩根法则可类比记忆． 变式1 命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）A ．不存在0x R ∈，020x≤B ．存在0x R ∈，020x≥C ．对任意的R x ∈，20x ≤D ．对任意的R x ∈，20x >变式2（优质试题·成都七中半期）设命题:(0,),tan 2p x x x π∀∈<，则p ⌝为（ ）A.000(0,),tan 2x x x π∃∈≥ B ．(0,),tan 2x x x π∀∈≥B.000(0,),tan 2x x x π∃∈<D ．(0,),tan 2x x x π∀∈=题型9 根据命题真假求参数的范围例1．17 命题p:关于x的不等式2240x∈恒成立，q：x ax++>，对一切R指数函数()()32x=-是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范f x a围．分析由命题p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真命题，由此进行讨论．评注：正确理解p 或q 为真，p 且q 为假的含义是解本题的关键点．把p 和q 在数轴上表示出来，在q p 中去掉q p ，剩余部分就是所求，即()pqp q ð．变式1 已知命题P ：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+≤的解集为ϕ；命题q ：函数()22xy a a =-为增函数．若命题q p ∧为真命题，则实数a 的取值范围为变式2 给定两个命题：P ：对任意实数x ，都有210ax ax ++>恒成立．Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．例 1.18已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞) B．(－∞，14]C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]变式1已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．最有效训练3（限时45分钟）1．(优质试题·浙江)命题“**()()n N f n N f n n ∀∈∈≤，且”的否定形式是( )A ．**()()n N f n N f n n ∀∈∉>，且B ．**()()n N f n N f n n ∀∈∉>，或C ．0000()*()*n N f n N f n n ∃∈∉>，且D ．0000()*()*n N f n N f n n ∃∈∉>，或2．已知p ，q 是简单命题，则“q p ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p :存在),0(,+∞∈b a ，当1=+b a 时，+a1;31=b命题q :任意01,2≥+-∈x x R x 恒成立，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．p ⌝或q ⌝B ．p ⌝且q ⌝C ．p ⌝或 qD ．p ⌝且q 4．已知命题:,2lg ;p x R x x ∃∈->命题2,:x R x q ∈∀>0则（ ） A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ⌝∨是假命题D ．命题)(q p ⌝∧是真命题5．已知命题[];0,2,1:2≥-∈∀a x x p 命题,:R x q ∈∃.0222=-++a ax x 若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）10．(优质试题·郑州一模)已知函数f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[12，3]，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥013.已知函数f(x)＝x2－x＋1x－1(x≥2)，g(x)＝a x(a>1，x≥2)．(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．。
简单逻辑联结词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q ¬p真真假真真假假假2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：¬p且¬q；p且q的否定为：¬p或¬q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定1．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．2．复合命题的否定(1) ¬ (p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2) ¬ (p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假则假；(2)对“p∨q”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．二、双基自测一、选择题1．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题2．(2011·山东日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是 ( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假4．(2011·潍坊模拟)下列说法错误的是() A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“存在x 0∈R 使得x 02＋x 0＋1＜0”，则¬p ：“任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”5．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是 ( ) A ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真 B ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真 C ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真6．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是 ( )A ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数D ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数7．已知命题“任意a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”则它的否命题是 ( ) A ．任意a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．存在a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．存在a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤08．(人教A 版教材习题改编)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )． A ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ．¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ．¬p：∀x ∈R ，sin x >1二、填空题9．(2010·安徽)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是___ ________________． 10．(2011·山东淄博调研)已知命题“存在x 0∈R ，使2 x 02＋(a －1) x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．11．已知命题p ：函数f (x )＝log 0.5(3－x )的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k ＜0，则函数h (x )＝kx在(0，＋∞)上是减函数．则下列结论中错误的是________．①命题“p 且q ”为真；②命题“p 或¬q ”为假；③命题“p 或q ”为假；④命题“¬p 且¬q ”为假．12．命题p ：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ， 命题q ：函数g (x )＝sin(2x ＋φ)＋1可能为奇函数(φ为常数)，则复合命题①“p 或q ”，②“p 且q ”，③“ ¬p ”中，真命题是________． 三、解答题13．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q ：任意x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数；(3)s：存在x0∈R，|x0|＞0. (4)p：∀x∈R，x不是3x－5＝0的根；(5)q：有些合数是偶数； (6)r：∃x0∈R，|x0－1|＞0. 14．(2010·江苏盐城调研)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假． 第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选 B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A. 【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
简单的逻辑关联结词、全称量词与存在量词
全称量词与存在量词的应用场景
全称量词
用于描述某一集合中所有元素的性质或关系，例如“所有人都会死亡”。
存在量词
用于描述某一集合中至少有一个元素的性质或关系，例如“有一个人会游泳”。
感谢您的观看
THANKS
全称量词还可以用于定义函数、证明不等式等方面，是数学逻辑推理中不 可或缺的重要工具。
03
存在量词
存在量词的用法
01
存在量词表示某集合中至少存在一个元素满足某个条件。 在逻辑公式中，存在量词通常用符号“∃”表示。
02
存在量词的逻辑公式通常具有形式“∃x(P(x))”，其中“x”表 示一个变元，“P(x)”是一个逻辑表达式，表示对“x”的某种
3
在使用存在量词进行推理时，我们需要 关注具体实例的特性，并根据这些特性 进行逻辑推理。这有助于我们更准确地 理解和分析问题。
存在量词在数学中的应用
在数学中，存在量词被广泛应用于实数、 函数、集合等领域。例如，在实数理论 中，存在量词用于证明某些实数集合的 存在性。
在函数分析中，存在量词用于描述函数的性 质和行为。例如，我们可以使用存在量词来 证明函数在某个区间内至少有一个零点或一 个极值点。
02
在逻辑推理中，全称量词表示一种普遍性的条件，可以用于推
导出一系列具有相同性质或关系的结论。
全称量词的逻辑推理通常用于证明定理、推导公式等逻辑推理
03
任务。
全称量词在数学中的应用
在数学中，全称量词广泛应用于各种证明和推导中，特别是在代数、几何、 分析等领域。
全称量词可以用于描述某一性质或关系对某一集合中的所有元素都成立， 例如全等定理、勾股定理等。
整个表达式A∧B才为真。
03
高三数学简单的逻辑联结词
基础知识梳理
2．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个， 任给，用符号“ ∀ ”表示． 存在量词有：存在一个，至少有一个， 有些，用符号“ ∃ ”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做 全称命题 ；“对M中任意一个x，有p(x) 成立”，可用符号简记为 ∀x∈M，p(x) ， 读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
答案：p∨q， ￢p p∧q， ￢q
课堂互动讲练
考点一 命题真假的判断
“p∨q”、“p∧q”、“￢p”形式命 题真假的判断步骤：
(1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假； (3)确定“p∨q”、“p∧q”、“￢p” 形式命题的真假．
课堂互动讲练
例1 写出由下列各组命题构成的“p或 q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题， 并判断真假． (1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2 x－3＝0的根； (2)p：平行四边形的对角线相等； q：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根 符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实 根的绝对值相等．
三基能力强化
4．(教材习题改编)“矩形的对角 线互相平分或互相垂直”是________ 命题．
答案：真
三基能力强化
5．命题p：“－2不是偶数”，q：π是 无理数，则在“p∧q”，“p∨q”，“￢p”，“ ￢q”中，真命题有________，假命题有___ _____．
解析：易判断知p假，q真，故真命题 有p∨q， ￢p；假命题有p∧q， ￢q.
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)利用“或”、 “且”、“非”把两个命题联结成新 命题；
(2)根据命题p和命题q的真假 判断复合命题的真假．
课堂互动讲练
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(3)
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案 C解析由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．故选C.3．小题热身(1)(2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2)(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.题型1 含有逻辑联结词的命题的真假典例1 (2018·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题．故选B.典例2(2017·武汉模拟)若存在正常数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin x 2，其中是“限增函数”的是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③注意放缩法的应用．答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为 (x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，即x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 均成立，因函数的定义域为R ，故不存在满足条件的正常数a ，b ，故f (x )＝x 2＋x ＋1不是“限增函数”；对于②，若f (x )＝|x |是“限增函数”，则 f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为：|x ＋a |≤|x |＋b ， ∴|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |恒成立，又 |x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |， ∴|x |≥a －b 22b ，显然当a <b 2时式子恒成立， ∴f (x )＝|x |是“限增函数”； 对于③，∵－1≤f (x )＝sin x 2≤1， ∴f (x ＋a )－f (x )≤2，∴当b ≥2时，a 为任意正数，使f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，故f (x )＝sin x 2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(2018·天星二联)已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 C解析因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6>0可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.2．(2018·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )均为假命题，p ∧(綈q )为真命题．故选C.题型2 全称命题与特称命题角度1 全称命题、特称命题的真假判断典例(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋lnx ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确．故选B.角度2 全称命题、特称命题的否定典例 (2018·厦门模拟)已知命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xD ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 用构造函数法，求导法．答案 B解析 令f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1<0， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2递减，f (x )max <f (0)＝0，故sin x <x ，命题p 是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．(2018·晋中模拟)已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0 答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，即当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，所以∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．则綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0， 综上只有C 成立．故选C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.题型3 由命题的真假求参数的取值范围典例1已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是假命题，则实数a的取值范围是________．注意分情况讨论．答案 a ≤－2或a >2解析 命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，∴0<a <1. 又∵命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即－2<a ≤2.若P ∨Q 为假命题，则P 假Q 假，命题P 为假时，有a ≤0或a ≥1；命题Q 为假时，有a ≤－2或a >2，所以P ∨Q 为假时a ≤－2或a >2.[结论探究] 在本例条件下，若P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤0或1≤a ≤2解析 若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，命题P 和Q 一真一假，若P 真Q 假，无解；若P 假Q 真，有－2<a ≤0或1≤a ≤2.典例2 (2018·河北调研)对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，lg e －lg (lg e)]B ．(－∞，1]C ．[1，lg e －lg (lg e)]D ．[lg e －lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析 对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，即a －x ≤|lg x |恒成立，设y ＝－x ＋a ，g (x )＝|lg x |，如图，当直线y ＝－x ＋a 与g (x )相切时，a 取得最大值，设切点为A (x ，y )，则－1＝(－lg x )′，得到x ＝lg e ，所以y ＝－lg (lg e)，所以切线方程为：y ＋lg (lg e)＝－(x －lg e)，令x ＝0得到y ＝lg e －lg (lg e)， 所以a 的取值范围为(－∞，lg e －lg (lg e)]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练(2018·寿县月考)已知命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[25，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫143，＋∞ D ．(－∞，25]答案 A解析 若∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 恒成立，则a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，x ∈(2,3)． ∵f (x )＝x ＋5x 在(2，5)上是减函数，在(5，3)上为增函数，∴函数f (x )的最小值是f (5)＝25，则a <2 5.∵命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，∴a ≥25，实数a 的取值范围是[25，＋∞)．故选A.1．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x ＞0，ln (x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0，∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案 B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B.3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案 D解析A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，正确．故选D.4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p 且q为假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 B 解析 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3. 综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为() A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e.则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )答案 D解析 设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x －ax <1不恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m <0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(綈q )为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________；(2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )．∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上，∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．解 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋a 2x －7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1.若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ 0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
点评：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定 的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词, 全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； 二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论 即可．
例 2、已知 a>0，设命题 p：函数 y＝ax 在 R 上单调递增； 命题 q： 不等式 ax2－ax＋1>0 对∀x∈R 恒成立． 若“p∧q” (0,1]∪[4，＋∞) 为假，“p∨q”为真，求 a 的取值范围．
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
复习目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义; 2.理解全称量词与存在量词的意义; 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
要点回顾 1．简单复合命题的真值表：
p 真 假 真 假 q 真 真 假 假 p∧q p∨q ¬p
真 假 假 假
真 真 真 假
例 3、已知命题 p：方程 2x2＋ax－a2＝0 在[－1,1]上有解；命 题 q：只有一个实数 x0 满足不等式 x2＋2ax0＋2a≤0，若命题 0 {a|a>2 或 a<－2} “p 或 q”是假命题，求 a 的取值范围．
达标检测 1．若p为真命题，q为假命题，以下四个命题：(1)p且q； (2)p或q；(3)非p；(4)非q其中假命题的个数为( ) A (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.下列命题中，真命题是( A ) A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数