简单的逻辑联结词(非)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
第12讲简单的逻辑联结词(且或非)讲义-高三艺考数学一轮复习
第12讲：简单的逻辑联结词（且或非）【课型】复习课【教学目标】1.了解逻辑联结词【预习清单】【基础知识梳理】1．常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．23【引导清单】考向一：含有逻辑联结词的命题的真假判断例1：（1）命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．﹁p（2）记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：存在(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：对任意的(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤①p 或q ②﹁p 或q ③p 且﹁q ④﹁p 且﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【解析】（1）取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．（2）在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p 或q 和p 且﹁q 正确．故选A.考向二：由命题的真假确定参数的取值范围例2：已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围．【解析】若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎨⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2. 所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．【训练清单】【变式训练1】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号)①p 1且p 4 ②p 1且p 2 ③﹁p 2或p 3 ④﹁p 3或﹁p 4【解析】对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④【变式训练2】已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，即a ≥p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜aa 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．【巩固清单】1．已知命题p ，q ，则“﹁p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的( )条件。
知识讲解_逻辑联接词“且”“或”“非”
简单的逻辑联结词【要点梳理】要点一：逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题． 要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p q ∧的真与假．2．与集合中的交集类比交集{|}A B x x A x B =∈∈I 且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念． 要点二：逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p q ∨的真与假．2．与集合中的并集类比并集{|}A B x x A x B =∈∈U 或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念． 3．“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：qp（1）p 成立且q 不成立； （2）p 不成立但q 成立； （3）p 成立且q 也成立．要点三：逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”． 规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题； 当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题． 要点诠释：1．逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论 “非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究．2．下面是一些常用词的否定：注意：“一定”的否定不是“一定不”． 3．否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即p ⌝．如：命题p ： 若1x =，则(1)(1)0x x -+=． 命题p 的否命题：若1x =/，则(1)(1)0x x -+=/． 命题p 的否定p ⌝：若1x =，则(1)(1)0x x -+=/． 4．“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或q ”的否定⇔p ⌝且q ⌝； “p 且q ”的否定⇔p ⌝或q ⌝. 要点四：简单命题与复合命题 1. 定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” “且” “非”构成的命题叫做复合命题． 2. 复合命题的构成形式： （1）p 或q ；记作：p q ∨； （2）p 且q ；记作：p q ∧；（3）非p （即命题p 的否定）；记作：p ⌝. 3.复合命题的真假判断要点诠释：1. 当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2. 当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；3. “非p ”与p 的真假相反．【典型例题】类型一：复合命题的构成例1．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题． （1）李明是老师，赵山也是老师； （2）1是合数或质数； （3）他是运动员兼教练员.【思路分析】观察命题结构，判断其中是否还有“或” “且” “非”等联结词或相似含义的联结词，利用“或” “且” “非”的概念对复合命题进行结构分解. 【解析】（1）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：李明是老师，q ：赵山是老师． （2）这个命题是“p 或q ”形式，其中p ：1是合数， q ：1是质数． （3）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：他是运动员，q ：他是教练员．【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义是解题的关键．根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式．举一反三：【高清课堂：简单的逻辑联结词395484例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题： （1）p ： 平行四边形的对角线互相平分， q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ： 集合A 是A B I 的子集， q ：集合A 是A B U 的子集； （3）p ： 211x +≥， q ：34>． 【答案】（1）p q ∧：平行四边形的对角线互相平分且相等； （2）p q ∧：集合A 是A I B 的子集，且是A U B 的子集； （3）p q ∧：211x +≥，且34>．【变式2】判断下列复合命题的形式，并写出构成其的简单命题 （1）1是奇数或偶数； （2）梯形不是平行四边形； （3）2是偶数也是质数． 【答案】（1）p 或q 的形式，其中p ：1是奇数， q ：1是偶数； （2）非p 的形式， 其中p ：梯形是平行四边形；（3）p 且q 的形式，其中p ：2是偶数， q ：2是质数．例2．判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或” “且” “非”，若含有，请指出其中p q 、的基本命题． （1）正方形的对角线垂直相等； （2）2是4和6的约数；（3）不等式2560x x -+>的解为32x x ><或； （4）平行四边形的对角线不一定相等. 【解析】（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：正方形的对角线互相垂直；q ：正方形的对角线相等． （2）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数； q ：2是6的约数． （3）是简单命题，而不是用“或” “且” “非”联结的复合命题； （3）是“非p ”形式的命题，其中p ：平行四边形的对角线一定相等.【总结升华】对于用逻辑联结词“或” “且” “非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．举一反三：【变式】指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题． (1) 菱形的对角线互相垂直平分；（3）6是12或18的约数． 【答案】（1）p 且q 的形式，其中p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形对角线互相平分；（2）非p 的形式，其中p（3）p 或q 的形式，其中p ：6是12的约数，q ：6是18的约数． 类型二：复合命题真假的判定例3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假． （1）8或6都是30的约数； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）方程210x x ++=无实根.【思路点拨】将复合命题写成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”的形式，并一一判断p ，q 的真假，再由真值表判断复合命题的真假.【解析】（1）“p 或q ”形式．其中p ：8是30的约数， q ：6是30的约数， ∵p 假q 真，∴该复合命题为真．（2）“p 且q ”形式．其中p ：矩形的对角线互相垂直，q ：矩形的对角线互相平分， ∵p 假q 真，∴该复合命题为假．（3）“非p ”形式．其中p ： 方程210x x ++=有实根，∵p 假，∴该复合命题为真．【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假．举一反三：【变式1】已知命题p 、q ，试写出p 或q 、p 且q 、非p 的形式的命题并判断真假． （1）p ：平行四边形的一组对边平行， q ：平行四边形的一组对边相等； （2）p ：2{1,3,5,7}∈， q ：2{2,4,6,8}∈； （3）p ：1{12}∈，， q ：{1}⊆{12}，； （4）p ：2{|1}x x ∅=<， q ：∅◊2{|1}x x <； （5）p ：34<， q ：34=． 【答案】（1） p 或q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p 且q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）； 非p ： 平行四边形的一组对边不平行（假命题）．（2） p 或q ：2{1,3,5,7}∈或2{2,4,6,8}∈，即2{1,2,3,4,5,6,7,8}∈（真命题）；p 且q ：2{1,3,5,7}∈且2{2,4,6,8}∈（假命题）； 非p ： 2{1,3,5,7}∈/（真命题）. （3） p 或q ：1{12}∈，或{1}⊆{12}，（真命题）； p 且q ：1{12}∈，且{1}⊆{12}，（真命题）； 非p ： 1{12}∈/，（假命题）. （4） p 或q ：2{|1}x x ∅=<或∅◊2{|1}x x <，即2{|1}x x ∅⊆< （真命题）；p 且q ：2{|1}x x ∅=<且∅◊2{|1}x x <（假命题）； 非p ： 2{|1}x x ∅=</（真命题）.（5） p 或q ：34<或34=，即34≤（真命题）；p 且q ：34<且34=（假命题）； 非p ： 34</，即34≥（假命题）． 【变式2】已知命题p ：33ß； q ：3＞4，则下列判断正确的是（ ） A ．p q ∨为真，p q ∧为真，p ⌝为假 B ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真 C ．p q ∨为假，p q ∧为假，p ⌝为假 D ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假 【答案】D【解析】 p ：33ß，是真命题， q ：3＞4是假命题，根据真值表：p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，所以选D ．【变式3】已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【变式2】以下判断中正确的是（ ）A ．命题p 是真命题时，命题“p q ∧”一定是真命题B ．命题“p q ∧”为真命题时，命题p 一定是真命题C ．命题“p q ∧”为假命题时，命题p 一定是假命题D ．命题p 是假命题时，命题“p q ∧”不一定是假命题 【答案】B例4. 如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么 （ ） A .命题p 一定是真命题 B .命题q 一定是真命题 C .命题q 一定是假命题D .命题q 可以是真命题也可以是假命题【思路点拨】由“非p 是真命题”入手，可判断p 的真假性，再由“p 且q 是假命题”可知q 的真假. 【答案】D【解析】∵“非p ”是真命题， ∴p 是假命题，∵“p 且q ”是假命题，∴q 可以是真命题也可以是假命题， ∴选项为D.【总结升华】含逻辑联结词命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成命题的真值情况，再进行判断.【变式】如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则（ ） A. p q ，均为假命题 B. p q ，均为真命题C. p q ，中至少有一个为真命题D. p q ，中至多有一个为真命题 【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）p ：若0x ß且0y ß，则0x y +ß． 【解析】(1) p ⌝：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）；p 的否命题是：在整数范围内，若a 、b 不都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）； (2) p ⌝：若0x ≥且0y ≥，则0x y +<（假命题）； p 的否命题是：若0x <或0y <，则0x y +<（假命题）． 【总结升华】1. “0x ß且0y ß”的否定是“0x <或0y < ”；“a 、b 都是偶数”的否定为“a 、b 不都是偶数”.2. 命题的否定和否命题是不一样的．举一反三：【变式1】命题 “ABC ∆是直角三角形或等腰三角形”的否定是 ； 【答案】ABC ∆既不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：若220x y +=，则x ，y 全为零； （2）p ：若3x =且5y =，则8x y +=． 【答案】(1) p 的否定：若220x y +=，则x ，y 不全为零 （假命题）；p 的否命题：若220x y +=/，则x ，y 不全为零 （真命题）； (2) p 的否定：若3x =且5y =，则8x y +=/ （假命题）； p 的否命题：若3x =/或5y =/，则8x y +=/ （假命题）． 【变式3】 “220x y +=/”是指 （填出符合条件的所有选项） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 至少有一个不是0D ．x ，y 都不是0E ．x ，y 不都是0 【答案】B 、C 、E【解析】220x y +=/是指x ，y 不同时为零，即x ，y 至少有一个不是0，亦即x ，y 不都是0，0x ≠或0y ≠． 类型四：复合命题的应用例6．已知命题2560p x x +：－ß；命题04q x <<：．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解析】 由2560x x +－ß得x ≥3或x ≤2． ∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4．则{x |x ≥3或x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤0或x ≥4}． ∴满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．【总结升华】解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．举一反三：【变式】已知命题p ：方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根；命题q ：方程244(2)10x +m x+－＝无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p ⌝”为真命题，求m 的取值范围．【解析】∵方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根， ∴2m >， ∵方程244(2)10x +m x+－＝无实数根，∴13m << 由条件可知，p 假q 真，。
1.3.3简单逻辑连接词 非
1.3.3简单的逻辑联结词非(一)学习目标（1）掌握逻辑联结词“非”的含义（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题（二）学习过程学生探究过程：1、思考、分析问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；（2）①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
2、归纳定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：读作。
3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系：若p是真命题，则￢p必是命题；若p是假命题，则￢p必是命题；4、命题的否定与否命题的区别：让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：p的否命题：5.例题分析例1例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；（2）p：3＜2；（3）p：空集是集合A的子集。
例3.写出下列命题的否定与否命题.(1)面积相等的三角形是全等三角形.（2）若xy=0,则x=0或y=0.6.巩固练习：P19 练习第3题7．教学反思：（１）正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．（２）简洁、准确地表述命题“￢P”.８．作业过关检测:1.“x 不大于y ”是指( )A ．x ≠yB ．x <y 或x ＝yC ．x <yD ．x <y 且x ＝y 2.若命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，则下列结论中正确的个数是( ) ①命题q 一定是真命题；②命题q 不一定是真命题；③命题p 不一定是真命题；④命题p 与q 的真值相同．A ．1B ．2C ．3D ．43.“p ∨q 为假命题”是“￢p 为真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(￢p )∨qB ．p ∧qC ．(￢p )∧(￢q )D ．(￢p )∨(￢q )5. 下列命题中是“p 或q ”的形式且为真命题的是__________．①3是9的约数或是21的约数；②方程x 2＋2x －1＝0的两实根符号相同或绝对值相等；③三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和或大于与它不相邻的任意内角．6. 命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为__________，命题的否定为__________．7. p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是__________．8.写出下列命题的否定，并判断真假．(1)若x ，y 是奇数，则x ＋y 是偶数；(2)若一个数是质数，则这个数一定是奇数；(3)若两个角相等，则这两个角是对顶角．9.分别指出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“ ￢p ”形式的命题的真假．(1)p ：1∈{2，3}，q ：2∈{2，3}；(2)p ：2是奇数，q ：2是合数；(3)p ：4≥4，q ：23不是偶数；(4)p ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x |－2<x <5}，q ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x |x >5或x <－2}．10.(选做题)已知p ：不等式mx 2＋1>0的解集是R ；q ：f (x )＝log m x 是减函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．。
3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ，p (x )典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．Øp ：任意x ∈A,2x ∉B B ．Øp ：任意x ∉A,2x ∉BC ．Øp ：存在x ∉A,2x ∈BD ．Øp ：存在x ∈A,2x ∉B题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，sin x ＝52B ．存在x ∈R ，log 2x ＝1C ．任意x ∈R ，(12)x >0 D ．任意x ∈R ，x 2≥0 变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．Øp ∧ØqC ．Øp ∧qD ．p ∧Øq题型三 由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 变式训练 已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ,使得20x <B ．不存在x ∈R ,使得20x <C ．存在0x ∈R ,都有200x ≥D ．存在0x ∈R ,都有200x <2．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有()A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．￢p或q B．p且q C．￢p且￢q D．￢p或￢q4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“￢q”为假B．“p或q”为真，“￢q”为假C．“p且q”为假，“￢p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>05．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2 7．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)8．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是()A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“∃x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是_____________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．。
1.3.2 简单的逻辑连接词：非(not)
1.3.2简单的逻辑连接词：非(not)学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“¬p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.知识点一命题的否定思考1观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？答案命题q是对命题p的否定，非表示“否定”“不是”“问题的反面”等.思考2你能判断思考1中问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与¬p的真假有关系吗？答案①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题.若p为真命题，则¬p为假命题.(1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”.“¬p”形式命题：若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题. (2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则¬p就是集合A的补集.知识点二命题的否定与否命题的区别思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定. 答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p 的否定：平行四边形的对角线不相等.(1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定.(2)注意常见词语的否定形式：类型一命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p: 若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)¬p：y＝sin x不是周期函数，假命题.(2)¬p：实数的绝对值不都大于零，真命题.(3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分，假命题.(4)¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题.反思与感悟¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反.对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”等.跟踪训练1写出下列命题的否定形式，并判断真假.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.真命题.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.假命题.(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至多有两个为0.假命题.类型二命题的否定与否命题例2写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.解(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题.(2)命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；命题的否命题：若x 2－3x －10≠0，则x ≠－2且x ≠5，为真命题.反思与感悟 命题的否定是对命题的全盘否定，否定的是命题的结论，其真假性和原命题相反；而否命题对条件、结论均进行否定，其真假性和原命题的真假性没有关系. 跟踪训练2 写出下列各命题的非(否定). (1)p ：“a ≥5，且b ≥3”； (2)q ：三条直线两两相交； (3)r ：一元二次方程至多有两个解； (4)s ：2<x ≤3.解 (1)非p ：a ＜5，或b ＜3. (2)非q ：三条直线不都两两相交. (3)非r ：一元二次方程至少有三个解. (4)非s ：x ≤2或x >3.类型三 p ∧q ，p ∨q 与¬p 的应用例3 已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，若p ∨q 为真命题，(¬p )∨(¬q )也为真命题，求实数a 的取值范围.解 ∵y ＝a x 在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真. 由(¬p )∨(¬q )也为真，则¬p 、¬q 中至少有一个为真， 可得p 、q 至少有一个为假， ∴p 、q 中有一真、一假.①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}.反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、¬p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，¬p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.解 p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， ∴m 的取值范围为{m |m ≥3或1<m ≤2}.1.若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A.p 且q 是真命题 B.p 或q 是假命题 C.非p 是真命题 D.非q 是真命题答案 D解析 “p 且q ”一假即假，A 错；“p 或q ”一真即真，B 错；“非p ”与“p ”，“非q ”与“q ”真假相反，故C 错，D 对.2.已知命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有( ) A.p 真q 假 B.q 真p 假 C.q 真p 真 D.p 真，q 可真可假 答案 D解析 ∵非p 为假，∴p 为真.∵p 或q 为真，∴q 可真可假.3.p ：100既能被4整除，又能被5整除，¬p 为________________________. 答案 100不能被4整除，或不能被5整除4.已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________(只填序号). 答案 ②④解析 由于命题p 是真命题；命题q 是假命题，由真值表可知：p 且q 为假；p 或q 为真；非p 为假；非q 为真，所以真命题是②④.5.分别判断由下列命题构成的“p 且q ” “p 或q ”“非p ”形式的命题的真假.(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数.(2)p：∅{0}，q：0∈∅.解(1)∵命题p是真命题，命题q是真命题，∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题.(2)∵p是真命题，q是假命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题.1.若命题p为真，则“¬p”为假；若p为假，则“¬p”为真，类比集合知识，“¬p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(¬p)∧p为假，(¬p)∨p为真.2.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.一、选择题1.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么()A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真值相同答案 B解析“非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.2.命题“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是()A.“p∨q”形式的命题B.“p∧q”形式的命题C.“¬p”形式的命题D.以上都不对答案 B3.已知命题p：x∈A∪B，则p的否定是()A.x∉A且x∉BB.x∉A或x∉BC.x∉A∩BD.x∈A∩B答案 A解析x∈A∪B即x∈A或x∈B，∴¬p：x∉A且x∉B.4.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A.p、q均为真命题B.p、q均为假命题C.p、q至少有一个为真命题D.p、q中至多有一个为假命题答案 C解析“¬(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p、q中至少有一个为真命题.5.已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨qC.¬pD.(¬p)∧(¬q)答案 B解析∵p为真，q为假，¬q为真.∴p∧q为假，p∨q为真，¬p为假，(¬p)∧(¬q)为假，故选B.6.已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则¬p是¬q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由|a|≤1得－1≤a≤1，∴¬p：a>1，¬q：a<－1或a>1，∴¬p⇒¬q，但¬q⇒/ ¬p，故选A.7.已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1；命题q：互斥事件一定是对立事件，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(¬q)C.p∨qD.(¬p)∨q答案 D解析由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，故p为假命题，又q为假命题，∴p∨q、p∧q都是假命题，又¬p为真命题，∴(¬p)∨q为真命题，故选D.二、填空题8.已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面. 命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； 命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中：①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∧q .真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析 易知p 是假命题，q 是真命题. ∴¬p 为真，¬q 为假，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，p ∨(¬q )为假，(¬p )∧q 为真.9.已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________________. 答案 {－1,0,1,2}解析 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假.故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z ，因此x 的值可以是－1,0,1,2.10.已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：13－x>1，若“¬q 且p ”为真，则x 的取值范围是______________________.答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 解析 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1， ∴p ：x <－3或x >1. 由13－x >1，得x －2x －3<0， ∴2<x <3.∴q ：2<x <3，¬q ：x ≤2或x ≥3.若“¬q 且p ”为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <－3或x >1，x ≤2或x ≥3，∴x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 三、解答题11.分别指出由下列各组命题构成的新命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”的真假. (1)p ：梯形有一组对边平行， q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ， q ：不等式x 2－3x －4<0的解集为∅.解 (1)p 真、q 假，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为假.(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为{x |x ≠1}，∴p 假； 不等式x 2－3x －4<0的解集为{x |－1<x <4}，∴q 假. 故“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真.12.设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0， ∴1<x <3；由x －3x －2≤0得，2<x ≤3. ∵p ∧q 为真，∴2<x <3.(2)∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2. 13.已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“¬q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0x 1＋x 2>－2(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p ∨q ”与“¬q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].。
第1章 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”
1．2简单的逻辑联结词1．2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”¬设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作¬p，读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∧q，读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∨q，读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.逻辑联结词“非”写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答](1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题，其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题，故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．(1)若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．解：原命题的否定：(1)若a，b都是奇数，则a＋b不是偶数，为假命题．(2)全等三角形不是相似三角形，为假命题．原命题的否命题：(1)若a，b不都是奇数，则a＋b不是偶函数，为假命题．(2)不全等的三角形不是相似三角形，为假命题．逻辑联结词“且”对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假．(1)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(2)p：π>3，q：π<2；(3)p：x≠0，则xy≠0，q：y≠0，则xy≠0.[自主解答](1)p∧q：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题．(2)p∧q：“π大于3且小于2”，是假命题．(3)p∧q：“x≠0，则xy≠0，且y≠0，则xy≠0”，是假命题．逻辑联结词“且”联结的是两个命题，若两个命题具有相同的条件，则联结后可以省略一个条件，而用“且”联结两个结论；若两个命题的条件不同，但结论相同，则不可以用“且”联结两个条件而省略一个结论(注：在不改变命题真假性的前提下，可以用)，要完整地写出两个命题，用“且”联结．2．用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假．(1)24既是8的倍数，又是9的倍数；(2)y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数；(3)函数y＝sin x不仅是奇函数，还是周期函数．解：(1)命题“24既是8的倍数，又是9的倍数”可以改写为“24是8的倍数且是9的倍数”，因为“24是9的倍数”是假命题，所以这个命题是假命题．(2)命题“y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数”可以改写为“y＝x＋1是单调增函数且y ＝x3是单调增函数”．因为“y＝x＋1是单调增函数”与“y＝x3是单调增函数”都是真命题，所以这个命题是真命题．(3)命题“函数y＝sin x不仅是奇函数，还是周期函数”可以改写为“函数y＝sin x是奇函数且是周期函数”．因为“函数y＝sin x是奇函数”与“函数y＝sin x是周期函数”都是真命题，所以这个命题是真命题．逻辑联结词“或”对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假．(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；(2)p：4＞5，q：4＜5；(3)p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1，q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2.[自主解答](1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题．(2)p∨q：“4＞5或4＜5”，即“4≠5”，是真命题；(3)p∨q：“方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2”，是假命题．p∨q形式的命题与p∧q形式的命题不同的是：两命题的条件相同时，p∧q形式的命题可以省去一个条件，而p∨q形式的命题则不可以(注：在不改变命题真假性的前提下，可以用)；两命题的结论相同时，p∧q形式的命题有时不能用“且”联结两个条件，而p∨q 形式的命题却可以．3．判断下列命题的真假．(1)4≥4；(2)仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形．解：(1)命题“4≥4”的含义是“4>4或4＝4”，其中“4＝4”是真命题，所以“4≥4”是真命题．(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“p∨q”形式的命题，其中p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．因为p真q假，所以p∨q为真，故原命题是真命题．解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a ＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．[巧思]因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，故p和q必有一真一假．因此可先求出p，q为真命题时a的取值范围，然后分“p真q假”“p假q真”两种情况即可求出a的取值范围．[妙解]对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解不等式得：－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时有－3<a≤0，当p假q真时有a≥1.综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0 D．不都是零解析：xy≠0是指“x≠0，且y≠0”．答案：A2．若命题p：x∈A∩B，则綈p为()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：“x∈A∩B”是指“x∈A，且x∈B”，故綈p：x∉A或x∉B.答案：B3．(2017·山东高考)已知命题p：对任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．答案：B4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，则p∧q是________，p∨q是________，綈p是________．解析：p∧q：6是12和24的约数；p ∨q ：6是12或24的约数； 綈p ：6不是12的约数．答案：6是12和24的约数 6是12或24的约数 6不是12的约数5．命题p ：0不是自然数，命题q ：2是无理数，则在命题“p 且q ”“p 或q ”“非p ”“非q ”中真命题是________，假命题是____________．解析：显然p 为假命题，q 是真命题，故“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，“非p ”为真命题，“非q ”为假命题．答案：p 或q, 非p p 且q ，非q6．对命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素，则a 为何值时，“p 或q ”为真？a 为何值时，“p 且q ”为真？解：若p 为真，则1∈{x |x 2<a }， 所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4. 若“p 或q ”为真，则a >1或a >4，即a >1； 若“p 且q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.一、选择题1．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故p ∨q 为假命题⇒綈p 为真命题，但綈p 为真命题p ∨q 为假命题．答案：A2．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题p ∧q 为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题，即点P 为直线y ＝2x －3与y ＝－3x ＋2的交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.故选C.答案：C3．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈(A ∪B )，则命题“綈p ”是( ) A.3∉A B.3∈(∁U A )∩(∁U B ) C.3∈∁U BD.3∉(A ∩B )解析：由p ：3∈(A ∪B )，可知綈p ：3∉(A ∪B )， 即3∈∁U (A ∪B )，而∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )． 答案：B4．下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，且“非p ”为真的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R)；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条解析：A 中，p ，q 均为假命题，故“p 或q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“非p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“非p ”为真，q 为真，从而“p 或q ”为真；D 中，p 为真，故“非p ”为假，排除D.故选C.答案：C 二、填空题5．命题“若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________.解析：否定形式：若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零． 否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 全不为零．答案：若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零 若abc ≠0，则a ，b ，c 全不为零6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x ＜1，则綈p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)．解析：p ：x ≤1⇒綈p ：x ＞1⇒1x ＜1，但1x ＜1 x ＞1.∴綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．若命题p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因命题p ，q 均为假命题，所以“p ∨q ”“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为真命题． 答案：綈p8．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由綈p 是綈q 的充分而不必要条件，可知綈p ⇒綈q ，但綈q 綈p ，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p ，但p q ，又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞) 三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线一定相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N.解：(1)因为p 假q 真，所以p 或q ：1是质数或1是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真命题；p 且q ：1是质数且1是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假命题；非p ：1不是质数，为真命题．(2)因为p 假q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；p 且q ：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题．(3)因为p 真q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真命题；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真命题；非p ：N Z ，为假命题．10．设命题p ：函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0(a >0，且a ≠1)的解集只有一个子集．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：当命题p 是真命题时，应有a >1. 当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32.由于p ∨q 为真，则p 和q 中至少有一个为真， 又p ∧q 为假，则p 和q 中至少有一个为假，所以p 和q 中一真一假， 当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1<a <32， 不存在符合条件的实数a ；当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤1或a ≥32，解得a ≥32， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。
简单的逻辑联结词或(or)且(and)非(not)
简单的逻辑联结词或(or)且(and)非(not) 教学目标1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)教材整理1 “且”“或”“非”的含义阅读教材P14第1段～第6段，P15“思考”～第3段，P16“思考”～第2段，完成下列问题.1..用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”.课堂练习1.命题：“菱形的对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分.∴使用逻辑联结词“且”.【答案】 B2.若p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0，则p∨q：________.(用文字语言表述)【答案】正数或负数的平方大于0教材整理2 含有逻辑联结词的命题的真假判断阅读教材P14第7,8段，P15最后两行，P17第3,4段，完成下列问题.课堂练习1.已知命题p：5≤5，q：5＞6，则下列说法正确的是()A.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为真B.p∧q为假，p∨q为假，﹁p为假C.p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假D.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为假【解析】易知p为真命题，q为假命题，由真值表可得：p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假.【答案】 C2.若命题p：常数列是等差数列，则﹁p：________.【解析】只否定命题的结论：常数列不是等差数列.【答案】常数列不是等差数列例题分析(1)用适当的逻辑联结词填空(填“且”“或”“非”)：①若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；②若ab＝0，则a＝0________b＝0；③平行四边形的一组对边平行________相等.【解析】①若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，故填且.②若ab＝0，则a＝0或b＝0，故填或.③平行四边形的一组对边平行且相等，故填且.【答案】①且②或③且(2)将下列命题写成“p∧q”“p∨q”和“﹁p”的形式：①p：6是自然数，q：6是偶数；②p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}；③p：甲是运动员，q：甲是教练员.【解】①p∧q：6是自然数且6是偶数.p∨q：6是自然数或6是偶数. ﹁p：6不是自然数.②p∧q：∅⊆{0}且∅＝{0}.p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}. ﹁p：∅⃘{0}.③p∧q：甲是运动员且甲是教练员.p∨q：甲是运动员或甲是教练员.﹁p：甲不是运动员.小结1.判断一个命题的构成形式时，不能仅从命题的字面上找逻辑联结词，而应当从命题的结构特征进行分析判断.2.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤3.常见词语的否定形式：[再练一题]1.(1)判断下列命题的形式(从“p∨q”“p∧q”和“﹁p”中选填一种)：①π不是整数：______；②6≤8：______；③2是偶数且2是素数：_______.(2)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题：①p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；②p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【解析】(1)①﹁p②p∨q③p∧q(2)①“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“﹁p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.②“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“﹁p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.指出下列命题的真假：(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”.【精彩点拨】本题主要考查判断复合命题的真假，关键是搞清每个简单命题的构成形式.【自主解答】(1)此命题是“﹁p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解.∵x＝－2是该不等式的一个解，∴命题p为真命题，即﹁p为假命题，故原命题为假命题.(2)此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数. ∵命题p为假命题，命题q为真命题，∴“p∨q”为真命题，故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式，其中p：2∈Q，q：2∈R.∵命题p为假命题，命题q为真命题.∴命题“p∧q”为假命题，故原命题为假命题.小结判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断.[再练一题]2.分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题，并判断其真假.(1)p ：等腰梯形的对角线相等，q ：等腰梯形的对角线互相平分； (2)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1>0恒成立. 【解】 (1)p ∧q ：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题. p ∨q ：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题. ﹁p ：等腰梯形的对角线不相等，假命题.(2)p ∧q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点且不等式x 2－2x ＋1>0恒成立，假命题. p ∨q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点或不等式x 2－2x ＋1>0恒成立，真命题. ﹁p ：函数y ＝x 2－2x ＋2有零点，假命题.探究 对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？【提示】 已知命题p ∧q 、p ∨q 、﹁p 的真假，可以通过真值表判断命题p 、q 的真假，然后将命题间的关系转化为集合间的关系，利用解不等式求参数的范围，要注意分各种情况进行讨论.已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 【精彩点拨】分别解出p ，q 中a 的范围→由条件得出p ，q 的真假→求出a 的取值范围 【自主解答】 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎨⎧a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0，由于⎩⎨⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎨⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].小结应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤1.分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.2.由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假.3.由p，q的真假转化为相应的集合的运算.4.求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.[再练一题]3.已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围. 【解】由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝a2或x＝－a，∴当命题p为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2，∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).1.已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是()A.p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假B.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真C.p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假D.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假【解析】p为真，q为假，故选D. 【答案】 D2.已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.﹁p∧﹁qC.﹁p∧qD.p∧﹁q【解析】因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p 为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.【答案】 D3.命题“若x＞0，则x2＞0”的否定是________.【答案】若x＞0，则x2≤04.命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴；q：2π是y＝|sin x|的最小正周期.下列命题：①p∨q；②p∧q；③﹁p；④﹁q.其中真命题的序号是________.【解析】∵π是y＝|sin x|的最小正周期，∴q为假.又∵p为真，∴p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假，﹁q为真.【答案】①④5.判断下列命题的真假：(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解.【解】(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题.。
4.3逻辑联结词“非”-北师大版选修1-1教案
4.3逻辑联结词“非”-北师大版选修1-1教案知识点概述在命题逻辑中，逻辑联结词“非”（not）是最简单的逻辑联结词之一，它表示否定关系，代表陈述句的否定形式。
在英语中，逻辑联结词“非”通常用not表示。
例如：•北京是中国的首都——非（not）北京是中国的首都。
•这个苹果很甜——非（not）这个苹果很甜。
教学目标1.理解逻辑联结词“非”的定义和逻辑含义。
2.能够正确理解透过“非”的否定, 得到自然语言的否定形式。
3.能够应用“非”联结词进行命题转化，举一反三。
教学重点1.逻辑联结词“非”的定义和逻辑含义。
2.应用“非”联结词进行命题转化的方法。
教学难点1.如何理解逻辑联结词“非”的否定作用。
2.如何运用“非”联结词进行命题转化。
教学方法1.答疑法。
2.举例法。
教学过程第一步：导入1.从学生熟悉的日常例子入手，引出逻辑联结词“非”表示否定的概念，并提醒学生注意逻辑学的精确性。
2.引导学生从自己的日常生活（电影、游戏等），经过理性思考寻找到更多的“非”的例子。
第二步：讲解1.讲解逻辑联结词“非”的定义和逻辑含义，并结合例子讲解。
2.讲解应用“非”联结词进行命题转化的方法，并结合例子讲解。
第三步：实例操作1.让学生进行课堂练习，提高学生的动手能力。
2.随时解答学生提出的问题，引导学生思维并巩固所学知识。
第四步：课堂练习•将下列命题转化为自然语言：1.非（p 且 q）。
2.非（p 或 q）。
3.非（如果p那么q）。
4.如果非p，那么q。
5.如果p，则非q。
6.如果非p，则非q。
第五步：课堂总结1.碰到陈述句是否句的时候，要始终记住“非”的概念。
2.在命题转化中，一定要认真理解原命题的逻辑含义，避免在转化的过程中出现错误。
3.必须注意逻辑学的严谨性。
总结逻辑联结词“非”是命题逻辑中最简单的逻辑联结词之一。
在进行命题转化时，需要掌握“非”的表示方法，并结合逻辑含义理解原命题。
上述教学中所给的例子，只是命题逻辑中“非”的用法中的一种，希望学生能够通过实践进一步加深对“非”的理解，从而更好地运用“非”联结词进行命题转化，最终达到提高逻辑思维的效果。
简单的逻辑联结词非
【知识整合1】
思考：命题P与┐p的真假关系如何？ p与┐p真假性相反 填空：当p为真命题时，则┐p为 假命题；当p为假 命题时，则┐p为 真命题 .
一句话概括： 真假相反
p 真 假
¬ p 假 真
【合作探究】
探究1：逻辑联结词“非”的含义与集合 中学过的哪个概念的意义相同呢？ 对“非”的理解，可联想到集合中的 “补集”概念，若命题p对应于集合P， 则命题非p就对应着集合P在全集U中的补 集C UP ．
1 (1) p : x R, x x 0; 4
2
（2）q：所有的正方形都是矩形；
(3)r : x R, x 2 2 x 2 0;
（4）s：至少有一个实数 x，使 x 1 0
3
【合作探究2】
变式：写出下列命题的非.并判断真假。 （1）有些三角形是锐角三角形； （2）一切分数都是有理数； （3） x R, x x x 2 ；
2
(4)x R,2 x 4 0.
当堂检测： 1.若命题“﹁p”与命题“p∨q”都是真 命题，那么（ B ） A．命题p与命题q的真假相同 B．命题q一定是真命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p不一定是真命题
自主总结
p 真 真
q 真 假
p∧q 真 假
p∨q 真 真
﹁p 假 假
假
填写下表
词语 等于 大于 小于
【知识整合】
否定 不等于 不大于 不小于 词语 都是
注意“非”对关键词的否定方式
否定 不都是
至多有 至少有两个 一个 至少有 一个都没有 一个
是
不是
【合作探究2】
变式：写出下列命题的非，并判断真假 （1）2 是方程 x 4 0 的根
1.2.2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.
高考总复习·数学 高考总复习 数学 （4）命题与集合的关系：命题的“且”“或” “非”对应 集合的“交”、“并”、“补” （5）命题与电路的关系：命题p∧q对应着“串联”电路， 命题p∨q对应着“并联”电路，命题¬p对应着线路的“断开 与闭合”。
高考总复习·数学 高考总复习 数学
3、常见词语的否定：
高考总复习·数学 高考总复习 数学 【思路分析 思路分析】“且”的否定形式为“或”，“都不”的否定形式为 思路分析 “不都”， 反之亦然。注意区分否命题和命题的否定形式的不同。
x ≠ 1 或 y ≠ 2, 则x + y ≠ 3 ”。是假命题。 解：（1）否命题：“若
“非”命题为：“若x=1且y=2， x + y ≠ 3 ”。是假命题。 则 （2）1.该命题的否定形式为：没有一个四边形有外接圆。是假命题 2.∃x, 使关于x的不等式
∃
表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题。 x 特称命题的形式为：“存在一个 ∈ M ，有 p ( x ) 成立”； 记为；“∃x ∈ M , p ( x ) ”。
高考总复习·数学 高考总复习 数学
（3）含有一个量词的命题的否定： 全称命题 p ：∀ ∈M, p(x) ；它的否定 x
¬ p ： ∀x ∈ M , ¬ p ( x )
x − ax + 2a ≥ 0
2 2
不一定成立。是假命题。 【点评与感悟】掌握逻辑联结词和量词用法，区分否命题与命题的 点评与感悟】 否定形式是不同的。
高考总复习·数学 高考总复习 数学 根据含有逻辑联结词的命题的真假， 根据含有逻辑联结词的命题的真假， 求参数的取值范围 已知a>0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；q：不等式
第一章集合与常用逻辑用语 第一单元
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”、“或”
“”与“”类似
例如：p：a>3 q：a<5
p q：a 3且a 5, 即：3 a 5
q
p
p q的真值表如下：
p q p q
真真真
类似于串联电路， 真 假 假 一假“且”即假
当且仅当开关p与 开关q都闭合时，
假
真
假
灯才会亮
假假假
例2：书本P15（详见书本）
补例 用逻辑连结词"且"改写下列命题,并判断 它们的真假:
1.2 简单的逻辑联结词
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”、“或”
联结词“非”
我们学习了命题的否命题，知道“若p则q”的否命题为 “若﹁p则﹁q”,其中“﹁p”是p的否定“﹁q”是q的否定。
“非” 否定
﹁p:排除p以外的所有事实
（概率中，即为求对立事件）
例如：p:a是大于5的实数,则﹁p：a是不大于5的实数
真
(4)﹁p：方程至少有三个解
假
(5)﹁p：小王和小李不都是一中的学生 假
即：小王或小李不是一中的学生
常用否定词语如下：
正面词语 = >
否定词语
是
不是
全是不全是至多有源自个至少有两个至少有一个
一个也没有
至多有n个
至少有n+1个
至少有k个
至多有k-1个
任意（每一个） 存在（某一个）
所有
存在某一些
a且b
11既是奇数,又是素数; 22和3都是素数.
解 1命题"1既是奇数,也是素数"可以改写
为"1是奇数且1是素数"因为"1是素数"是假命 题, 所以这个命题是假命题.
2命题" 2和3都是素数"可以改写为"2是素数
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”
假
假
假
（即一假则假）（即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
※典型例题
例1.例1：将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p∧q”与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。
（2）一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
2．问题4可以这样理解：定义中的“且”字与“或”字与两个命题中的“且”字与“或”字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足,逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
教学重点
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容
教学难点
用逻辑联结词“或”、“且”、“非”简洁、准确地表述“或”命题、“且”命题、“否”命题等命题及所得到的新命题真假的判断
展
示
知识链接
课
前
器材
情景导入
中国的文化博大精深，我们说话或书面表达时都喜欢用一些联词来连接，不同的联词连接意思有很大的区别，如老师说：“请张三和李四到办公室去”，“张三或李四到办公室去”，两句话的意思就有区别，数学表达更需要严密和准确，那么在数学表达中我们该怎么使用这样的词语呢？这就是我们本节要讨论的内容——简单的逻辑联结词
简单的逻辑联结词(第一课时)“且”“或”“非” 课件
正面词语 否定词语 正面词语
等于 不等于
都是
大于(>) 不大于
(≤) 任意的
是 不是 至多有一个
否定词语 不都是 某一个 至少有两个
正面词语 否定词语
至少有一个 一个也没有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.判断含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题 的真假
(1)弄清构成命题的p，q的真假； (2)弄清结构形式； (3)用真值表判别命题的真假．
题型二 判断命题的真假 例2 分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判 断真假： (1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3； (3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段 弧．
分析 根据组成上述各命题的语句中所出现的逻辑联结 词，并用真值表判断真假．
解 (1)这个命题是 p∨q 的形式，其中 p：相似三角形周 长相等；q：相似三角形对应角相等，因为 p 假 q 真，所以 p ∨q 为真．
答案 1．“且”、“或”、“非” 2．真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真
1.对逻辑联结词“或”的理解 (1)“或”与日常生活用语中的“或”意义不同．日常生 活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休 息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<－ 1，或x>2.
(2)“或”与集合A∪B有关系，A∪B＝{x|x∈A，或x∈ B}．集合的并集是用“或”来定义的．
规律技巧 一个命题“若 p，则 q”的否定是：“若 p， 则﹁q”；否命题为：“若﹁p，则﹁q”.
4．命题的否定与否命题 (1)一个命题的否定(非)只否定结论，而一个命题的否命 题是对条件和结论都否定．
如：命题 p：空集是集合 A 的子集．綈 p：空集不是集合 A 的子集．否命题：若集合不是空集，则它不是集合 A 的子集．因 此，一个命题的否定与它的否命题是有区别的．
(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
简单的逻辑联结词
[解] (1)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，綈p是假命题．
(2)∵p是假命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题． (3)∵p是假命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．
[点评与警示]
判断含有逻辑联结词 “或”“且”“非”
(1) 全( 特 ) 称命题的否定与命题的否定有
着一定的区别，全 (特 ) 称命题的否定是将其全称量词改为存 在量词( 或存在量词改为全称量词 )，并把结论否定；而命题 的否定，则直接否定结论即可． (2)要判断“綈p”的真假，可以直接判断，也可以判断p
的真假，利用p与綈p的真假相反判断．
写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出 命题的否定属全称命题还是特称命题： (1)所有的有理数是实数； (2)有的三角形是直角三角形；
1．如命题“p∨q”为真命题则 ( A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题 )
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题 [答案] C
2．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是
(
A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R,2x＞0
”在
逻辑中通常叫做全称量词，用“ ∀ ”表示，常用的全称量词 还有“ ”等． 的命题叫全称命题． (2)全称命题：含 全称量词
(3)存在量词：短语“ 存在一个 ”、“ 至少一个 ” 在
逻辑中通常叫存在量词，用“∃ ”表示，常见的存在量词还
有“ 有些、有一个、某个 ”等． (4)特称命题：含有 存在量词 的命题叫特称命题．
的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结 构形式；③根据真值表判断其真假．
简单逻辑连接词或、且、非
定义、符号 1、或 2、且 3、非
基本概念
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
1、有下列命题： ① 年10月1日是国庆节，又是中秋节； ②10的倍数一定是5的倍数； 无 ③梯形不是矩形； ④方程x2=1的解x=±1。 其中使用逻辑联结词的命题有几个?
答案： 3个
简单逻辑连接词——或、且、非
结论： 命题的否定否定结论 否命题否定条件和结论
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
4、若命题“p q ”为假，且“p ”为假，则B
（）
A．p或q为假 B.q假
C．p真
D．不能判断q的真假
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
5、已知命题 p : x2 x 6,q : x Z
且“ p且q ”与“ 非q ”同时为假命题， 求x的值。
基本题型
2、将下列命题分别用“且”与“或” 联结成 新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，
（1）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分；
（2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
3、写出下列命题的“p ”命题：
（1）正方形的四边相等 （2）平方和为0的两个实数都为0 （3）若 ( x 1)( x 2) 0,则x 1且x 2
x 2 x ＜6且x∈Z
-1、0、1、2
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
6、已知p：方程x2 + mx +1=0有两个不等负根 q：方程4x2 + 4（m -2）x +1=0无实根
若p或q为真，p且q为假。求m的取值范围
《4.3逻辑联结词“非”》知识清单
《4.3逻辑联结词“非”》知识清单高中北师大版选修1 1第一章常用逻辑用语§4逻辑联结词“且”“或”“非”之4.3逻辑联结词“非”知识清单一、“非”的基本概念1、定义就像我们平常说的“不是”这种感觉。
在逻辑里，“非”是一种对命题的否定操作。
比如说，有一个命题“今天是晴天”，那它的“非”命题就是“今天不是晴天”。
简单吧？这就是逻辑联结词“非”的基本作用，就是把一个命题的真假性给反过来。
用数学的话来说，如果我们有一个命题\（p\），那么它的“非”命题就记作\（＼neg p\）。
这就像是给\（p\）戴了一个“否定”的帽子。
2、实例理解我给你讲个事儿。
有一次我去参加一个抽奖活动。
规则是如果一个小球是红色的，那你就能得到大奖。
这里“小球是红色的”就是一个命题\（p\）。
可是我一看，小球不是红色的，这时候“小球不是红色的”就是\（＼neg p\）。
结果我就没得到大奖，好可惜啊。
不过通过这个事儿，是不是对“非”的概念理解得更清楚了呢？二、“非”与命题真假性的关系1、规则当原命题\（p\）为真时，那么\（＼neg p\）就为假。
就像刚刚说的那个抽奖，如果小球真的是红色的（＼（p\）为真），那说小球不是红色的（＼（＼neg p\））就是假的。
反过来，当原命题\（p\）为假时，＼（＼neg p\）就为真。
要是小球实际上不是红色的（＼（p\）为假），那说小球不是红色的（＼（＼neg p\））这个说法就是真的。
2、更多例子命题\（p\）：“这个数是偶数”，如果这个数真的是偶数，比如\（2\），那\（p\）是真的，＼（＼neg p\）：“这个数不是偶数”就是假的。
但如果这个数是\（3\），＼（p\）是假的，＼（＼neg p\）就是真的。
再比如命题\（p\）：“小明的身高超过180厘米”。
如果小明实际身高是185厘米，＼（p\）为真，＼（＼neg p\）：“小明的身高不超过180厘米”就是假的；要是小明身高是175厘米，＼（p\）为假，＼（＼neg p\）就是真的。
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复习回顾
1.命题“p∧q”和“p∨q”的含义分 别是什么？
p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q 联结起来得到的命题.
p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q 联结起来得到的命题.
2.命题p、q的真假与命题“p∧q” 和“p∨q”的真假分别有什么关系？
当且仅当p、q都是真命题时，p∧q为真 命题；
小结作业 1.命题的否定即﹁p，它是对命题p的
全盘否定，与p的否命题有本质的区别， 二者不能混为一谈.
2.命题p与﹁p有且只有一个为真命题， 命题p与p的否命题的真假关系不确定.
3.对于p∧q，p∨q和﹁p相互渗透的真 假命题，一般应转化为p、q的真假来解 决.
﹁p：负数没有平方根；
否命题：如果一个数是非负数，则 这个数没有平方根.
例2 写出下列命题的否定，并判断
它们的真假：
（1）p：y＝sinx是周期函数；
（2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集.
（1）﹁p：y＝sinx不是周期函数.
假命题.
（2）﹁p：3≥2.
真命题.
（3）﹁p：空集不是集合A的子集. 假命题
例3 已知p：函数 f (x) (a2 a)x在
R上单调递减，q:函数 y lg(ax2 x a)
的定义域为R，如果﹁p∨q为假命题， 求实数a的取值范围.
a (0, 1 ] 2
Hale Waihona Puke 思考：已知p: 函数f(x)=logax是减函数， q: |x+2|-|x-1|≤a对x∈R恒成立，
若p∧q为假，且p∨q为真，求a的范围.
探究（二）：三种命题的逻辑拓展
思考1：如何从集合的交、并、补运算理
解p∧q、p∨q、﹁p的真假关系？
若x∈P且x∈Q，则x∈P∩Q；
若p为真且q为真，则p∧q为真.
若x∈P或x∈Q，则x∈P∪Q；
若p为真或q为真，则p∨q为真.
若x∈P，则x Ï ðU P ；
若p为真，则﹁p为假.
思考2：对于命题p、q，如何确定 ﹁p∧q，﹁p∨q的真假？
函数y＝lgx不是偶函数； 真
（3）|a|≥0，
真
|a|＜0；
假
（4）方程x2－4＝0无实根， 假
方程x2－4＝0有实根. 真
思考2：一般地，对一个命题p全盘否定， 就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非 p”或“p的否定”，那么﹁p的否定是什 么？
﹁p的否定是p
思考3：命题p与﹁p的真假有什么关系？ p与﹁p必有一个是真命题， 另一个是假命题.
当且仅当p为假命题，q为真命题时，
﹁p∧q为真命题；
当且仅当p为真命题，q为假命题时，
﹁p∨q为假命题.
思考3：命题﹁(p∧q)和﹁(p∨q)分别等
价于什么命题？
﹁(p∧q)＝﹁p∨﹁q；
﹁(p∨q)＝﹁p∧﹁q.
理论迁移 例1 已知命题p：负数有平方根，写
出命题﹁p，p的否命题，并判断其真假.
当且仅当p、q都是假命题时，p∨q为假 命题.
3.逻辑联结词不只是“且”与“或”， 其中“非”也是一个常用的逻辑联结词， 对此，我们再作些理论分析.
探究（一）：逻辑联结词“非”
思考1：下列各组语句是命题吗？它们之
间有什么关系？并判明真假.
（1）35能被5整除，
真
35不能被5整除； 假
（2）函数y＝lgx是偶函数， 假
练习：写出下列命题的否定,并判明真假.
1.矩形的对角线相等且相互平分； 60o
2.若f(x)是偶函数，则对任意的x∈R 恒有f(-x)=f(x);
思考4：命题p：“大于1的数是正数”的 否定是什么？其否命题是什么？ ﹁p：大于1的数不是正数.
否命题：不大于1的数不是正数.
命题的否定只否定结论
否命题则既否定条件也否定结论