数学建模 港口问题_排队论

排队模型之港口系统

本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1

M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。好。关键词：问题提出：

一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。

那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？

若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？

卸货设备空闲时间的百分比是多少？

船只排队最长的长度是多少？

问题分析：

排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。【1】

M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，//1

前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。

蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。（2）

排队论研究的基本问题

1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。

2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。

3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。【3】 为了得到一些合理的答案，利用计算器或可编程计算器来模拟港口的活动。 假定相邻两艘船到达的时间间隔和每艘船只卸货的时间区间分布，加入两艘船到达的时间间隔可以是15到145之间的任何数，且这个区间内的任何整数等可能的出现。再给出模拟这个系统的一般算法之间，考虑有5艘传至的假象情况。

对每艘船只有以下数据： 因为船1在时钟于t=0分钟计时开始后20分钟到达，所以港口卸货设备在开始时空空闲了20分钟。船1立即开始卸货，卸货用时55分，其间，船2在时钟开始计时后t=20+30=50分中到达。在船1与t=20+55=75分钟卸货完毕之前，船2不能开始卸货，这意味着船2在卸货前必须等待75-50=25分钟。

在船2开始卸货之前，船2于t=50+15=65分钟到达，因为船2在t=75分钟开始卸货，并且卸货需45分钟，所以在船2与t=75+45=120分钟卸货完毕之前，船3不能开始卸货。这样，船3必须等待120分钟。

船4在t=65+120=185分钟之前没有到达，因此船3已经在t=120+60=180分钟卸货完毕，港口卸货设备空闲185-180=5分钟，并且，船4到达后立即卸货。

最后，在船4于t=185+75=260分钟卸货完毕之前，船5在t=185+25=210到达，于是船5在开始卸货前等待260-210=50分钟。 模型建立：

对于问题中存在的服务系统，建立排队论模型，在仅能为一艘船通过是一个标准的//1M G 模型：

所谓//1M G 模型，就是输入过程为泊松流时，服务时间为任意的条件之下的，服务机器只有一个得时候。对于//1M G 模型，服务时间T 的分布式一般的，

船1 船2 船3 船4 船5 相邻两艘船到达的时间间隔 20 30 15 120 25 卸货时间

55

45

60

75

80

（但是要求期望值()E T 和()Var T 方差都存在），其他条件和标准的//1M M 型相同。为了达到稳态1ρ<还是必要的，其中有()E T ρλ=。

单服务员的排队模型设：

（1） 船只到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布． （2） 对船只的服务时间服从［４，１５］上的均匀分布． （3） 排队按先到先服务规则，队长无限制． 系统的假设：

（1） 船只源是无穷的； （2） 排队的长度没有限制；

（3） 到达系统的船只按先后顺序依次进入服务， 即“先到先服务”。 符号说明

w ：总等待时间；c i ：第i 个顾客的到达时刻；b i ：第i 个顾客开始服务时刻；e i ：第i 个顾客服务结束时刻；x i ：第i-1个顾客与第i 个顾客之间到达的间隔时间；y i ：对第i 个顾客的服务时间 c i =c i-1+ x i e i =b i +y i b i =max(c i ,e i-1)

图9-2单服务台单队系统

…

…

船只到达

进入队列

服务台

接受服务

船只离去

模框

初始化：令i=1，e i-1=0，w=0

产生间隔时间随机数x i ~参数为0.1的指数分布

c i =x i , b i =x i

产生服务时间随机数y i ~[4,15]的均匀分布 e i =b i +y i

模型检验：

表1 100艘船港口和系统的模拟结果

97 79 78 81 85 99 一艘船呆在港口

的平均时间

上图为一艘船呆在港口的平均时间

上图为一艘船呆在港口的最长时间

一艘船呆在港口的最长时间

174 121 111 141 140 159

一艘船的平均等待时间

23 8 5 9 12 24

一艘船的最长等待时间

99 46 33 64 68 93

卸货设备空闲时间的百分比

0.067 0.079 0.093 0.07 0.069 0.028