(_数学建模)排队论模型
飞机排队模型_数学建模 ppt课件
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模型设计与可行性分析
如果在t0时刻仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机，则机场就
直接安排其起飞或闲置 。因此设在t0有n架飞机同时要求起飞。
由假设1，可将n架飞机起飞所需要的总时间分成n个等长的小时 间段（如∆长）。下面如何安排哪架飞机在哪个时段上起飞要依 赖于实际航班的花费和顾客的满意程度来确定。
MCM-89题机场安排最优排队调度问题
机场通常是用“先到先服务”的原则来分配飞机跑道，即 当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入 等候跑道的队伍。假设控制塔可以快速在线数据库中得到每架 飞机的如下信息：
1、预定离开登机口的时间； 2、实际离开登机口的时间； 3、机上乘客人数； 4、预定在下一站转机的人数和转机时间； 5、到达下一站的预定时间。
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即第一架飞机排第2个窗口起飞，第2架排第一个窗口起飞…， 最后一架排最后起飞。并由上表的安排结构，知道（2）中的距 阵满足每行中仅有一个元素为1，即每个窗口上仅有一架飞机占 用；该阵每列中也有一个元素为1，即每架飞机占用n个窗口中的
一个。即变量Xij须满足约束：
n
xij =1
j 1
i 1, 2,..., n
不必对飞机实地重排。并且飞机须在为其指定的小时间段上
才准许离开自己的通道口P。PT课件
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4.设 是一架飞机要按时到达目的地所必须起飞的最
晚时限，并假设如果一架飞机在 时限以后才起飞，
则它必须以最大安全速度飞完全程。（而在 以内起
飞者可着情加速）。
5.如果一架飞机在时限 以后起飞，则该机上所有需
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
数学建模：排队论2
无顾客
无顾客
n
无顾客 1 个顾客
n
1 个顾客 无顾客
n
1 个顾客 1 个顾客
n
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上述四种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
概率
A
n
无顾客 无顾客 pn (t )(1 t )(1 t )
B
n+1
无顾客 1 个顾客 pn1(t )(1 t )t
时刻 t 顾客数
0 1 0
区间[ t，t + △t )
时刻 t + △t
到达顾客 离开顾客 顾客数
无顾客
无顾客
0
无顾客 1 个顾客
0
1 个顾客 1 个顾客
0
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上述三种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
A
0
无顾客
无顾客
B
1
无顾客 1 个顾客
D
0
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dpn (t ) dt
pn1(t )
pn1(t )
(
)
pn (t )
解上述方程的解是很困难的。这里只研究系统达到平
稳状态的情况，即系统运行了无限长时间之后，状态
概率分布不再随时间变化，显然此时 dpn (t ) 0
dt
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由此可得，当 n≥1 时：
pn1 pn1 ( ) pn 0，n 1
第四节 单服务台负指数分 布排队系统
讨论单服务台的排队系统，并设定： 顾客到达过程服从泊松分布。 顾客服务时间服从负指数分布。
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数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是一种数学理论，它研究的是人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
在排队论中，数学建模被广泛应用于分析和优化这些系统的性能和效率。
排队系统的基本构成包括到达过程、服务过程和队列规则。
到达过程指的是顾客或流量进入系统的过程，它可以用概率分布来描述。
服务过程指的是系统为每个顾客提供服务的时间，同样也可以用概率分布来描述。
队列规则则规定了顾客在等待队列中的顺序以及他们被服务的顺序。
在排队系统中，我们通常关注两个主要的性能指标：平均等待时间和平均队列长度。
平均等待时间指的是顾客在进入系统后需要等待多长时间才能接受服务的时间平均值，而平均队列长度则指的是在某个时间点等待服务的顾客数量的平均值。
为了分析和优化排队系统的性能，我们可以使用数学模型进行建模。
其中最常用的模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等。
这些模型分别描述了不同的到达过程、服务过程和队列规则，并且可以计算出各种性能指标。
例如，M/M/1模型表示到达过程和服务过程都是泊松分布，并且只有一个服务窗口。
在这种情况下，我们可以使用该模型计算出平均等待时间和平均队列长度，并比较不同服务率下的性能指标。
M/M/c模型则表示到达过程和服务过程都是泊松分布，但是有c个服
务窗口。
在这种情况下，我们可以研究如何合理分配服务窗口的数量以优化系统的性能。
数学建模排队论是一种非常有用的工具，它可以用来分析和优化人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解这些系统的性能和效率，从而为实际应用提供指导。
数学建模-排队论(二)
基本的排队模型
一、随机服务过程基本组成 二、随机服务记号方案 三、排队论的重要公式
一、基本组成
排队系统
输入 来源
顾客
队列
服务机构 服务完离开
排队系统的三个基本组成部分
输入过程 (顾客到达规律) 排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务) 服务机构 (服务机构的设置，服务台的数量，
服务的方式，服务时间分布等)
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务(FCFS)；后来先服务(LCFS)；随 机服务(RSS)；有优先权的服务(PS)；排队模 型中也用到服务中的“一般规则（GD）”它 包括前三种排队规则。
基本排队模型－服务规则
服务机构可以有一个，也可以有多个； 对于多个服务台可以是并列、串列、混合
排列； 服务方式可以是一个或成批； 服务时间分布：
排队论
（Queueing Theory）
排队等候随机服务现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等
一系列等待现象比比皆是
排队论的基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理论 是研究由顾客、服务机构及其排队现象所 构成的一种排队系统的理论。
若 时,即 1 此时顾客在 系统中的逗留时间服从参数为 的
指数分布。
三、排队论的重要公式
平均到达率：单位时间 平均队长： 内到达顾客的平均数 平均服务率：单位时间 内被服务顾客的平均数 平均等待时间： 服务强度：/
AB AB AB
A
B
第t时刻有 n-1个顾客
Pn1(t) Pn1(t)
服务率问题、顾客满意问题）
( 数学建模)排队论模型
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络的排队论模型是一种理论模型，用于研究计算机网络中传输数据时产生的排队现象和性能表现。
排队论模型可以帮助我们理解计算机网络中的数据传输过程，优化网络性能，提高网络的吞吐量和响应速度。
在本文中，我们将介绍计算机网络排队论模型的基本概念、分类和应用。
一、排队论模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指在一个服务设施之前等待服务的顾客队列。
在计算机网络中，排队系统可以看作是数据包在网络节点之间传输时产生的排队现象。
排队系统包括输入过程、服务机构和排队规则。
1.2 排队论模型排队论模型是对排队系统进行数学建模和分析的方法。
排队论模型通常包括顾客到达过程、服务时间分布、队列容量和服务规则等因素。
排队论模型可以帮助我们预测排队系统的性能表现，如平均等待时间、系统繁忙度和响应时间等指标。
二、排队论模型的分类2.1 M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队论模型之一，其中"M"代表顾客到达过程和服务时间满足指数分布，"1"代表只有一个服务设施。
M/M/1排队模型可以用来分析单一服务节点的性能表现，如平均等待时间和系统繁忙度等指标。
2.2 M/M/C排队模型M/M/C排队模型是相对复杂一些的排队论模型，其中"C"代表有C个服务设施。
M/M/C排队模型可以用来分析多个服务节点的性能表现，如系统的吞吐量和响应时间等指标。
2.3 其他排队模型除了M/M/1和M/M/C排队模型，还有很多其他类型的排队论模型，如M/M/∞排队模型、M/G/1排队模型和多类别排队模型等。
每种排队模型都有其独特的特点和适用范围，可以根据实际情况选择合适的模型进行性能分析。
三、计算机网络排队论模型的应用3.1 网络流量建模计算机网络排队论模型可以用来建模网络中的数据传输过程，分析网络节点的繁忙度和数据包的平均等待时间。
通过对网络流量进行建模，可以优化网络拓扑结构、改进路由算法和提高网络性能。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
数学建模之排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
数学建模港口问题-排队论
数学建模港⼝问题-排队论排队模型之港⼝系统本⽂通过排队论和蒙特卡洛⽅法解决了⽣产系统的效率问题，通过对⼯具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使⽤计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对⽣产系统的整个运⾏过程进⾏模拟，得出最后的结论。
好。
关键词：问题提出：⼀个带有船只卸货设备的⼩港⼝，任何时间仅能为⼀艘船只卸货。
船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。
⼀艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。
那么，每艘船只在港⼝的平均时间和最长时间是多少？若⼀艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分⽐是多少？船只排队最长的长度是多少？问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统⼯作过程的数学理论和⽅法，⼜称随机服务系统理论，为运筹学的⼀个分⽀。
本题研究的是⽣产系统的效率问题，可以将磨损的⼯具认为顾客，将打磨机当做服务系统。
【1】M M：较为经典的⼀种排队论模式，按照前⾯的Kendall记号定义，前//1⾯的M代表顾客(⼯具)到达时间服从泊松分布，后⾯的M则表⽰服务时间服从负指数分布，1为仅有⼀个打磨机。
蒙特卡洛⽅法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)⽅法，或称计算机随机模拟⽅法，是⼀种基于“随机数”的计算⽅法。
这⼀⽅法源于美国在第⼀次世界⼤战进研制原⼦弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持⼈之⼀、数学家冯·诺伊曼⽤驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种⽅法，为它蒙上了⼀层神秘⾊彩。
（2）排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断⼀个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进⾏研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
(完整word版)数学建模 港口问题_排队论
排队模型之港口系统本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。
好。
关键词：问题提出：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。
船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。
一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。
那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分比是多少？船只排队最长的长度是多少？问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。
本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。
【1】M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，//1前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。
蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
（2）排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
美赛数学建模常用模型及解析
美赛数学建模常用模型及解析
数学建模是数学与实际问题的结合，解决实际问题的具体数学模型是数学建模的核心。
以下是一些美赛中常用的数学模型及其解析。
1. 线性规划模型
线性规划模型是一种最常见的优化模型，它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划模型可以用于解决资源分配、生产计划、运输优化等问题。
2. 整数规划模型
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型可以应用于旅行商问题、装配线平衡问题等需要整数解决方案的实际问题。
3. 动态规划模型
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为单阶段决策问题求解的方法。
动态规划模型可以用于解决背包问题、序列对齐问题等需要在不同阶段做出决策的问题。
4. 排队论模型
排队论模型用于分析系统中的排队现象，包括到达率、服务率、系统稳定性等指标。
排队论模型可以用于研究交通流量、电话系统、服务器排队等实际问题。
5. 随机过程模型
随机过程模型用于描述随机事件的演变过程，其中最常见的是马尔可夫链和布朗运动。
随机过程模型可以用于模拟金融市场、天气预测、股票价格等随机变化的问题。
这些模型只是数学建模中常用的几种类型，实际问题通常需要综合运用多种模型进行分析和求解。
对于每个具体的问题，需根据问题的特点和要求选择合适的数学模型，进行合理的建模和求解。
第六章 排队论模型
4
排队模型及类型
根据顾客到达和服务台数，排队过程可用下列模型表示：
模型1 单服务台排队模型
模型2
单队列多服务台并联的排队模型
5
模型3
多队列多服务台的并联排队模型
模型4
单队多个服务台的串联排队模型
6
模型5
多队列多服务台混联网络模型
纵观上述排队模型，实际上都可由下面模型加以统一描述：
称该统一模型为随机聚散服务系统。由于顾客到来的时刻和服务台提 供服务的时间长短都是随机的，因此任一排队系统都是一个随机聚散 7 服务系统。 “聚”表示顾客的到达,“散”表示顾客的离去。
1修理店空闲的概率2店内恰有3个顾客的概率3店内至少有1个顾客的概率4在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间6等待服务的平均顾客数7每位顾客平均等待服务时间8顾客在店内等待时间超过10min的概率581001594在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间067607每位顾客平均等待服务的时间02678顾客在店内逗留时间超过10min的概率由于逗留时间服从参数的负指数分布即分布函数为1003679注
20
例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS， 则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)； 服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统 等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先 到先服务规则。 某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的 前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系 统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务， 单个服务的等待制系统。
11
(2) 等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。 例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
数学建模-食堂排队问题
数学建模论文——食堂排队问题指导老师：***小组成员: 姓名学号李晟源200807010409 自己闲来无事做的，仅供参考！[摘要]通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节约学生排队就餐时间，提高食堂服务质量，效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置提供一种较有效的管理决策手段。
[关键词]排队论；M/M/s模型；灵敏度；等待损失1.引言在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。
饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。
增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。
然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。
排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。
本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。
2.多服务台排队系统的数学模型2.1排队论及M/M/s模型。
排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。
在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象。
排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。
其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C 表示服务规则。
排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
数学建模--排队论
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离
开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达 队列 服务完成后离去 服务台
服务台1 顾客到达 队列
队列1
服务台2 服务台s
服务完成后离去
顾客到达
队列2 队列s
服务台1 服务台2
服务完成后离去 服务完成后离去 服务完成后离去
服务台s 课件
4
随机服务系统：
排队系统 输入 来源 顾客 队列 服务机构 服务完离开
课件
5
二、排对系统的描述
系统由三个部分组成：
输入过程 排队和排队规则 服务机制
M/D/1
D/M/1
M/E k/1
课件
30
结束语
排队论是专门研究带有随机因素，产生 拥挤现象的优化理论。也称为随机服务 系统。 排队论应用十分广泛。
课件
31
n 1
1
因此：
pn (1 )
n
n 0,1,
课件
23
②几个主要数量指标 平均队长：
L npn n(1 )
n n 0 n 0
1
平均排队长：
Lq (n 1) pn L (1 p0 ) L
初中数学建模30种经典模型
初中数学建模30种经典模型初中数学建模是培养学生综合运用数学知识解决实际问题的一种教学方法和手段。
以下是初中数学建模中的30种经典模型，并对每种模型进行简要介绍：1.线性规划模型：通过建立线性目标函数和线性约束条件，优化解决线性规划问题。
2.排队论模型：研究排队系统中的等待时间、服务能力等问题，以优化系统效率。
3.图论模型：利用图的概念和算法解决实际问题，如最短路径、网络流等。
4.组合数学模型：应用组合数学的方法解决实际问题，如排列组合、集合等。
5.概率模型：利用概率理论分析和预测事件发生的可能性和规律。
6.统计模型：收集、整理和分析数据，通过统计方法得出结论和推断。
7.几何模型：运用几何知识解决实际问题，如图形的面积、体积等。
8.算术平均模型：利用算术平均数来描述和分析数据的集中趋势。
9.加权平均模型：利用加权平均数考虑不同数据的重要性来得出综合结论。
10.正态分布模型：应用正态分布来描述和分析数据的分布情况。
11.投影模型：通过投影的方法解决几何体在平面上的投影问题。
12.比例模型：利用比例关系解决实际问题，如物体的放大缩小比例等。
13.数据拟合模型：根据已知数据点，通过曲线或函数拟合来推测未知数据点。
14.最优化模型：寻找最大值或最小值，优化某种指标或目标函数。
15.路径分析模型：研究在网络或图中找到最优路径的问题。
16.树状图模型：通过树状图的结构来描述和解决问题，如决策树等。
17.随机模型：基于随机事件和概率进行建模和分析。
18.多项式拟合模型：利用多项式函数对数据进行拟合和预测。
19.逻辑回归模型：通过逻辑回归分析，预测和分类离散型数据。
20.回归分析模型：分析自变量和因变量之间的关系，并进行预测和推断。
21.梯度下降模型：通过梯度下降算法来求解最优解的问题。
22.贪心算法模型：基于贪心策略解决最优化问题，每次选择当前最优解。
23.线性回归模型：通过线性关系对数据进行建模和预测。
24.模拟模型：通过构建模拟实验来模拟和分析实际情况。
飞机排队模型数学建模
现更符合实际的模拟。
03
应用场景
国内航班排队模型适用于模拟和分析国内大型机场的航班起飞过程，有
助于优化国内航空运输系统的运营效率。
高峰时段航班排队模型
模型建立
高峰时段航班排队模型主要考虑高峰时段的航班流量、机场容量、航班的优先级等因素， 通过建立数学模型来描述飞机在高峰时段的起飞过程。
模型特点
高峰时段航班排队模型需要特别考虑高峰时段的特性，如旅客流量大、航班密集等，以实 现更精确的模拟。
应各种复杂情况。
人工智能还可以用于预测飞机 到达时间、航班延误等不确定 性因素，帮助航空公司更好地
安排飞机起降顺序。
大数据在飞机排队模型中的应用
大数据技术可以提供大量的航 班数据和气象数据，帮助飞机 排队模型更好地考虑各种实际 情况。
通过大数据分析，可以预测航 班流量和航班延误趋势，从而 更好地安排飞机起降顺序。
大数据还可以用于评估飞机排 队模型的性能和效果，帮助改 进和优化模型。
飞机排队模型中的不确定性问题
飞机排队模型需要考虑各种不确 定性因素，如航班延误、取消、
天气条件等。
不确定性问题可能导致飞机排队 模型出现波动和不稳定，需要采 取相应的措施进行管理和控制。
飞机排队模型还需要考虑安全性 和可靠性，以确保航空交通管理
模型能够根据历史数据和实际情况，较为准确地预测飞机的平均等待时间。
04
飞机排队模型的优化与改进
优化飞机调度策略
动态调度
根据实时航班信息和气象条件，动态调整飞机起降时间，提高航 班准点率。
优先级调度
对于紧急、特殊或重要航班，给予优先起降权，确保其按时完成。
协同调度
加强航空公司、机场和空中交通管理部门的协同配合，提高调度 效率。
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N
pn
， 1
n0
1
p0
N 1
(1
)
1 N1
1 1
N
n p0 1
n0
1
pn
N 1
(1
)
n
1 N1
1 1
系统的各项指标
N
L
N
npn
n0
2
(N 1) N1
1
1 N1
1 1
Lq
N
(n
n0
1) pn
N 2
N N 1
N N1
1 1 N1
1 1
N 1
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别
取a 0 得
Prx(t) k (t)k et
k!
Ex(t) t
(k 0,1, 2, )
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t) :t 构0成Poisson过程时，就称为
pn p0
(t (t
) )
pn1(t，) 有( p0 (t) p1(t)
)
pn
(t
)
pn1
(t
)
n 1,2,, N 1
对于n＝N，
pN (tபைடு நூலகம் t) pN1(t)t pN (t)(1 t) o(t)
pN (t) pN1(t) pN (t)
即 满Pn (足t) 微分方程
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1,t2,,…,，tn 发生的时间间隔记为 n tn tn1(n，1其,2,中) 。 t0 0
定理2 事件流 x(t) :为t P0oisson流的充要条件是
x(t) :t的 0流 发生时间间隔 相互 n独 立，且服从相同的
负指数分布，即
Pr n
t
1 0
布是什么。
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另 求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务 可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机 服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损 失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排 队，若排队的位置已满就离去。
多通道就是多服务台，这里主要讨论M／M／c／
∞排队系统问题，即输入、输出与M／M／1／∞相
同，这里有c个相互独立工作，且服务速率相同的服
务台，这时整个系统的服务能力为cμ。
当 时(c，) 系1 统有稳定解
pn
1( n!
)n
p0
1
( )n
cncc!
p0
n
0,1,, c 1 n c, c 1,
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
E (T忙 )
1
由此可见，一个忙期中所服务顾客的平均数为
E(T忙 )
1
1
（二）系统容量有限的模型
即 为 M／M／1／N 排 队 系 统 。 考 虑 排 队 系 统 的
容量为N，即若系统已有N个顾客，则再来新顾客
即被拒绝进入系统。对于n＝N，与M／M／1／∞
相P类n (似t) ，Prx(t) n
L
(1
pN
)
2
1
N N
(1 N )
1 1
N 1
q
Lq
(1 pN )
2
N N
1 1
(1 N )
由于有容量的限制，顾客实际进入系统的速率不是
λ，而是
e,e(有效(1到p达N ) 率)，因而Little公式成立：
L e
Lq eq
三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
当 时t 有0
p0(t) p0 (t) p1(t)
对 n1
pn (t t) pn1(t)t pn (t)(1 t)(1 t) pn1(t)t o(t)
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
故pn (t满)足的微分方程组
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
• 等待时间是指一顾客从进入系统起到接受服务时 所花费的时间。
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再 次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的时 间长度。 这是服务机构最关心的数量指标，因为它直接关系到 服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲期，即为服 务机构连续保持空闲的时间长度。显然，在排队系统 中，忙期与闲期是交错出现的。
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
n 1,2,
对于系统的稳定状态情形， pn (与t)t无关，
故 pn (t)， 0记
pn，从pn而(t)有
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0
n 1,2,
对于上述差分方程，利用归纳法不难求得
pn
( )n
p0
由于 p构n成概率分布，则
et
t0 t0
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程 为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务 台的情形，即M／M／1排队系统。
（一）标准模型
即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的负 指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队模 型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
机器发生故障需要维修
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t) :t， 其0 中 为时x刻(t) 时排队系t 统
中的顾客数。
对于任何 0 t1 t条2 件概 t率n
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2,, x(tn1) in1
由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，
从而级数
(
必)n须收敛，故有
n0
，pn 1
n0
。 1
记 为 排 队系统的来往强度，当
时1 ，由 p可n 得1 n0 pn n (1 ) n 0,1,2,
M／M／1／∞系统的数量指标
(1)稳定状态下系统中顾客数的数学期望的定义为
L npn n0
被称为系统中顾客的平均数，简称平均队长。
q
1
1
( )
Little公式
L与, Lq 是衡,量q 排队系统质量的很重要的效率度量
上式称为LittleL公式。
Lq q
表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系
统时间L 内来 到的新的顾客数；
表明系统中处于等待状态的顾客数，等于一
个顾L客q 的等q待时间内来到的新顾客数。
(3)稳定状态下忙期的数学期望
k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／ 1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
• 队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正在 接受服务的顾客数)；
• 等待队长是指系统中等待服务的顾客数。
(2)逗留时间
• 逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；
p0
c1 n0
1 ( n!
)n
1 (c c!
)( c c
1
)
系统指标
Lq
(c
( )c 1)!(c )2
p0
L
Lq
q
Lq
因而Little公式成立：
q
1
L
L
Lq q
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由 输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达 • 包括顾客总体数，是有限的还是无限的； • 顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的
还是确定性的)还是单个到达； • 相继到达的顾客(或批或单个)之间的时间间隔的分
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
pN (t) pN1(t) pN (t)
n 1,2,, N 1
在稳态情况下， pn ，pn (t) ，pn则(t) 0
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0 pN1 pN 0