(_数学建模)排队论模型

N
pn
， 1
n0
1
p0
N 1
(1
)
1 N1
1 1
N
n p0 1
n0
1
pn
N 1
(1
)
n
1 N1
1 1
系统的各项指标
N
L
N
npn
n0
2
(N 1) N1
1
1 N1
1 1
Lq
N
(n
n0
1) pn
N 2
N N 1
N N1
1 1 N1
1 1
N 1
k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／ 1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
• 队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正在 接受服务的顾客数)；
• 等待队长是指系统中等待服务的顾客数。
(2)逗留时间
• 逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；
多通道就是多服务台，这里主要讨论M／M／c／
∞排队系统问题，即输入、输出与M／M／1／∞相
同，这里有c个相互独立工作，且服务速率相同的服
务台，这时整个系统的服务能力为cμ。
当 时(c，) 系1 统有稳定解
pn
1( n!
)n
p0
1
( )n
cncc!
p0
n
0,1,, c 1 n c, c 1,
记时刻t系统处于状态n的概率 Pn (t) Prx(t) n
利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布的假设，在时
间区间 (t,t 内t，) 新进入或离开顾客个数有以下结果：
Pr(t,内t 没有t) 顾客进入
et 1 t o(t)
Pr(t,内t 新进t) 入一名顾客
tet t o(t)
机器发生故障需要维修
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
L
(1
pN
)
2
1
N N
(1 N )
1 1
N 1
q
Lq
(1 pN )
2
N N
1 1
(1 N )
由于有容量的限制，顾客实际进入系统的速率不是
λ，而是
e,e(有效(1到p达N ) 率)，因而Little公式成立：
L e
Lq eq
三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
n 1,2,
对于系统的稳定状态情形， pn (与t)t无关，
故 pn (t)， 0记
pn，从pn而(t)有
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0
n 1,2,
对于上述差分方程，利用归纳法不难求得
pn
( )n
p0
由于 p构n成概率分布，则
pn p0
(t (t
) )
pn1(t，) 有( p0 (t) p1(t)
)
pn
(t
)
pn1
(t
)
n 1,2,, N 1
对于n＝N，
pN (t t) pN1(t)t pN (t)(1 t) o(t)
pN (t) pN1(t) pN (t)
即 满Pn (足t) 微分方程
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
布是什么。
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另 求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务 可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机 服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损 失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排 队，若排队的位置已满就离去。
Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1,t2,,…,，tn 发生的时间间隔记为 n tn tn1(n，1其,2,中) 。 t0 0
定理2 事件流 x(t) :为t P0oisson流的充要条件是
x(t) :t的 0流 发生时间间隔 相互 n独 立，且服从相同的
负指数分布，即
Pr n
t
1 0
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由 输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达 • 包括顾客总体数，是有限的还是无限的； • 顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的
还是确定性的)还是单个到达； • 相继到达的顾客(或批或单个)之间的时间间隔的分
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
L
npn
n
n
1
n0
n0
(1 )( n )
n0
1
稳定状态下系统中等待服务顾客数的数学期望，
简称平均等待队长。
2
Lq
(n 1) pn
n0
npn
n0
pn n0
1
可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μλ的负指数分布。
(2)顾客在系统中的平均逗留时间
1
则顾客在系统中的平均等待时间
则无论x(t)在 t1,t2,处,tn取何值，上式条件概率仅依赖于
的值和x(t区n1 )间
的长度(tn1,tn )，即
tn tn1
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2,, x(tn1) in1
Pr x(tn ) in x(tn1) in1
2.排队系统的稳态解
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别
取a 0 得
Prx(t) k (t)k et
k!
Ex(t) t
(k 0,1, 2, )
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t) :t 构0成Poisson过程时，就称为
• 等待时间是指一顾客从进入系统起到接受服务时 所花费的时间。
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再 次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的时 间长度。 这是服务机构最关心的数量指标，因为它直接关系到 服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲期，即为服 务机构连续保持空闲的时间长度。显然，在排队系统 中，忙期与闲期是交错出现的。
Pr(t,内t 多于t) 一名顾客进入 Pr(t,t内没t有) 顾客离开
o(t) et 1 t o(t)
Pr(t,t内有t一) 名源自文库客离开
tet t o(t)
Pr(t,内t 多t于) 一名顾客离开
o(t)
导出pn (t)满足的微分方程组
p0(t t) p0(t)(1 t) p1(t)t(1 t) o(t) p0 (t t) p0 (t) p0 (t)t p1(t)t o(t)
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
q
1
1
( )
Little公式
L与, Lq 是衡,量q 排队系统质量的很重要的效率度量
上式称为LittleL公式。
Lq q
表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系
统时间L 内来 到的新的顾客数；
表明系统中处于等待状态的顾客数，等于一
个顾L客q 的等q待时间内来到的新顾客数。
(3)稳定状态下忙期的数学期望
（三）Poisson流与指数分布
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
(3)流具有普通性 lim Prx(a t) x(a) 1 0
t
t
即在t时间内，事件发生多于1次的概率为 o(。t)
定理1设 x(t) :t是 0最 简单流，则对任何 和a 0 t 0
都有
Px(a t) x(a) k (t)k et
k!
(k 0,1, 2, )
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t) :t 0
et
t0 t0
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程 为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务 台的情形，即M／M／1排队系统。
（一）标准模型
即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的负 指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队模 型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等 待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
顾客源
到来
排队机构
当 时t 有0
p0(t) p0 (t) p1(t)
对 n1
pn (t t) pn1(t)t pn (t)(1 t)(1 t) pn1(t)t o(t)
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
故pn (t满)足的微分方程组
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
pN (t) pN1(t) pN (t)
n 1,2,, N 1
在稳态情况下， pn ，pn (t) ，pn则(t) 0
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0 pN1 pN 0
n 1,2,, N 1
则 pn n p0
由 可得
(3)服务机构
• 服务机构主要指服务台的数目， • 多个服务台进行服务时，服务方式是并联还
是串联； • 服务时间服从什么分布等。
（二）排队模型的分类及数量指标
1.排队模型的分类
这里仅针对并列的服务台。 记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的分
布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。 常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek——
从而级数
(
必)n须收敛，故有
n0
，pn 1
n0
。 1
记 为 排 队系统的来往强度，当
时1 ，由 p可n 得1 n0 pn n (1 ) n 0,1,2,
M／M／1／∞系统的数量指标
(1)稳定状态下系统中顾客数的数学期望的定义为
L npn n0
被称为系统中顾客的平均数，简称平均队长。
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t) :t， 其0 中 为时x刻(t) 时排队系t 统
中的顾客数。
对于任何 0 t1 t条2 件概 t率n
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2,, x(tn1) in1
由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，
E (T忙 )
1
由此可见，一个忙期中所服务顾客的平均数为
E(T忙 )
1
1
（二）系统容量有限的模型
即 为 M／M／1／N 排 队 系 统 。 考 虑 排 队 系 统 的
容量为N，即若系统已有N个顾客，则再来新顾客
即被拒绝进入系统。对于n＝N，与M／M／1／∞
相P类n (似t) ，Prx(t) n
p0
c1 n0
1 ( n!
)n
1 (c c!
)( c c
1
)
系统指标
Lq
(c
( )c 1)!(c )2
p0
L
Lq
q
Lq
因而Little公式成立：
q
1
L
L
Lq q