排队论模型
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
带优先权排队论模型简介应用案例
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案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
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0.154 hour
mm1n排队论模型参数
mm1n排队论模型参数
M/M/1 排队论模型是一种简单的排队系统模型，用于分析单一服务台、顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的系统。
在M/M/1 模型中，有三个主要参数：
1. 到达率（λ）：表示单位时间内到达系统的顾客数的期望值，服从参数为λ的泊松分布。
到达率决定了系统中的顾客数量变化速率。
2. 服务率（μ）：表示单位时间内一个顾客被服务完成的期望值，服从参数为μ的指数分布。
服务率决定了系统中顾客等待服务的速度。
3. 顾客到达和服务时间是独立的：这个条件表明顾客的到达和服务的完成之间没有影响，使得模型更具有现实意义。
通过平衡方程法，可以对M/M/1 模型进行稳态分析，计算出以下几个重要性质：
1. 队长（Ls）：表示系统中的顾客数（n）的期望值。
2. 排队长（Lq）：表示系统中排队等待服务的顾客数（n）的期望值。
3. 逗留时间（Ws）：指一个顾客在系统中的全部停留时间，为期望值。
4. 等待时间（Wq）：指顾客在系统中等待服务的時間，为期望值。
了解这些参数后，可以对M/M/1 模型进行评估和优化，以提高系统的效率和服务质量。
M/M/1 模型虽然简单，但在实际应用中具有广泛的价值，如电话交换系统、计算机网络、银行窗口等。
掌握M/M/1 模型的基本原理和分析方法对于学习排队论和实际应用具有重要意义。
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1
第四章 排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。
优先权排队论模型
优先权排队论模型带优先权的排队论模型在优先权排队模型中，队中的成员被服务的顺序基于他们被赋予的优先级。
相⽐⼀般的排队模型，很多真实存在的排队系统实际上更符合带优先权的排队论模型，⽐如紧急⼯作的招聘优先于其他⼀般的⼯作；VIP客户较其他⼀般客户，在服务上享有优先权等等。
因此，带优先权的排队论模型有其实际意义。
这⾥介绍两种最基本的优先权排队模型——⾮强占性优先权模型和强占性优先权模型。
两个模型除优先权⾏使⽅式之外，其他假设均⼀致。
我们⾸先描述这两个模型，之后分别给出其结论，最后通过⼀个案例来阐述其在实际中的应⽤。
1.模型公共假设：（1）两个模型都存在N个优先级（1级代表最⾼）（2）服务顺序⾸先基于优先级，同⼀优先级内，依据“先到先服务”（3）对任意优先级，顾客到达服从Poisson分布，服务时间服从负指数分布（4）对任意优先级顾客的服务时间相同（5）不同优先级顾客的平均到达率可以不同⾮强占性优先权（Nonpreemptive Priorities）是指，即使⼀个⾼优先级的顾客到达，也不能强制让⼀个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。
也就是说，⼀旦服务员开始对⼀个顾客服务，这项服务就不能被打断直⾄服务结束。
强占性优先权（Preemptive Priorities）是指，⼀旦有⾼优先级的顾客到达，服务员即中断对低优先级顾客的服务（这名顾客重新回到排队中），并马上开始为⾼优先级顾客服务。
结束这项服务后，再按照公共假设中的原则选取下⼀个被服务的顾客。
（这⾥由于负指数分布的⽆记忆性，我们不必关注被中断顾客的服务进度，因为剩余服务时间的分布与从起点开始的服务时间的分布总是相同的。
）对这两个模型来说，如果忽略顾客的优先级，它们是完全等同于⼀般的M/M/s排队模型的。
因此，当计算整个队列中顾客的总⼈数（L,L q）时，M/M/s模型的结论是适⽤的；实际上，若随机选择⼀个顾客，其等待时间（W,W q）也可以通过Little公式计算得出。
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络的排队论模型是一种理论模型，用于研究计算机网络中传输数据时产生的排队现象和性能表现。
排队论模型可以帮助我们理解计算机网络中的数据传输过程，优化网络性能，提高网络的吞吐量和响应速度。
在本文中，我们将介绍计算机网络排队论模型的基本概念、分类和应用。
一、排队论模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指在一个服务设施之前等待服务的顾客队列。
在计算机网络中，排队系统可以看作是数据包在网络节点之间传输时产生的排队现象。
排队系统包括输入过程、服务机构和排队规则。
1.2 排队论模型排队论模型是对排队系统进行数学建模和分析的方法。
排队论模型通常包括顾客到达过程、服务时间分布、队列容量和服务规则等因素。
排队论模型可以帮助我们预测排队系统的性能表现，如平均等待时间、系统繁忙度和响应时间等指标。
二、排队论模型的分类2.1 M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队论模型之一，其中"M"代表顾客到达过程和服务时间满足指数分布，"1"代表只有一个服务设施。
M/M/1排队模型可以用来分析单一服务节点的性能表现，如平均等待时间和系统繁忙度等指标。
2.2 M/M/C排队模型M/M/C排队模型是相对复杂一些的排队论模型，其中"C"代表有C个服务设施。
M/M/C排队模型可以用来分析多个服务节点的性能表现，如系统的吞吐量和响应时间等指标。
2.3 其他排队模型除了M/M/1和M/M/C排队模型，还有很多其他类型的排队论模型，如M/M/∞排队模型、M/G/1排队模型和多类别排队模型等。
每种排队模型都有其独特的特点和适用范围，可以根据实际情况选择合适的模型进行性能分析。
三、计算机网络排队论模型的应用3.1 网络流量建模计算机网络排队论模型可以用来建模网络中的数据传输过程，分析网络节点的繁忙度和数据包的平均等待时间。
通过对网络流量进行建模，可以优化网络拓扑结构、改进路由算法和提高网络性能。
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
第六章 排队论模型
上述事例中的各种问题虽互不相同，但却都 有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或 机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾 客”,而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样 的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、 若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
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③随机服务 (RAND) 。即当服务台空闲 时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去 接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是 一例。 ④优先权服务 (PR)。如老人、儿童先进 车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要 处理计算机立即中断其他数据的处理等，均 属于此种服务规则。
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(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种 服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无 限长下去。具体说来，大致有三种：
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3、服务台
服务台可以从以下3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有 单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台 有：①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队列多 服务台并串联混合式等等。 如之前的分类模型图所示。
2
排队论历史：
起源于1909年在丹麦哥本哈根电子公司工作的电话工程 师A. K. Erlang(A.K.爱尔朗)对电话通话拥挤问题的研究工作， 其开创性论文---概率论和电话通讯理论则标志此理论的诞生。 表明了排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的， 并到现在也还是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通 讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、各类生产服务、库存 管理等等各领域中均得到广泛的应用。 排队论具体事例：
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
现实生活中的排队系统
序 到达的顾客 号
要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器 修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件 发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术 医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船 装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
3 6 1 5 6 7 22 3 4 6 11 45 5 2 0 4 11 9 1 2 8 26 3 10 5 12 47 4 2 3
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1）、有请求服务的人或物 2）、有为顾客服务的人或物 3）、具有随机性 4）、服务的数量超过服务机构的容量
2、排队系统的三大基本组成部分
1）、输入过程(顾客到达的方式) a、顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也
可能是无限的； b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的，也可以
8 上游河水进入水库 放水，调整水位 水闸管理员
2、排队论的起源与应用领域
1）、20世纪初Bell电话公司为减少用户呼叫， 研究电话线路合理配置问题；
2）、1909年丹麦工程师A.K.Erlang受热力 学统计平衡概念启发发表论文《概率论与电 话交换》，解决上述问题；
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
( 数学建模)排队论模型
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0t1t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
的分布只取决于 t1,t2, 而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
对互不交接的时间区间序列 a i,b i ( 1 i， n )
x(bi)是x(a一i)组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 liP m xr (a t)x(a ) 1 0
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
P T t 1 r T t 0 P T t 1 r t 0
上式可改写为：对任何 t0 ，0都有
P T t 0 r x T t 0 P T x r
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等 待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
到来 顾客源
排队机构
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型； Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互 独立的随机分布，G——一般随机分布。这里主要讨 论M／M／1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
排队论模型
E[N (t)] = λt ； Var[N (t)] = λt 。
当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔 T 必服从指数分布。这是
由于
P{T > t} = P{[0, t) 内呼叫次数为零} = P0 (t) = e−λt 那么，以 F (t) 表示 T 的分布函数，则有
P{T
≤
t}
=
F (t)
设 N (t) 表示在时间区间 [0, t) 内到达的顾客数（ t > 0 ），令 Pn (t1,t2 ) 表示在时间区
间 [t1,t2 )(t2 > t1 ) 内有 n(≥ 0) 个顾客到达的概率，即 Pn (t1,t2 ) = P{N (t2 ) − N (t1) = n} (t2 > t1, n ≥ 0)
=
⎧1 − e−λt , ⎨
⎩0,
t≥0 t<0
而分布密度函数为
f (t) = λe−λt , t > 0 .
-121-
对于泊松流, λ 表示单位时间平均到达的顾客数,所以 1 就表示相继顾客到达平均 λ
间隔时间，而这正和 ET 的意义相符。
对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从
n=2
（2）
-120-
在上述条件下，我们研究顾客到达数 n 的概率分布。 由条件 2o，我们总可以取时间由 0 算起，并简记 Pn (0,t) = Pn (t) 。
由条件 1o 和 2o，有
P0 (t + Δt) = P0 (t)P0 (Δt)
n
∑ Pn (t + Δt) = Pn−k (t)Pk (Δt), k =0
指数分布是单参数 λ 的非对称分布，记作 Exp(λ) ，概率密度函数为：
基于机器学习的排队论模型研究
基于机器学习的排队论模型研究
随着科技的不断发展和应用，机器学习作为一种新型的技术手段，正在不断应用到当今社会的各个领域中。
其中，基于机器学习的排队论模型正成为研究的热点之一。
本文将对这一领域进行探讨和分析。
首先，什么是排队论模型呢？排队论是一种数学工具，它主要用于分析排队等待过程中的各种问题，并为我们提供决策支持。
排队论模型是建立在排队论理论之上的模型，它通过统计机会、分析队列、构建数学模型等手段，对排队等待系统的行为进行建模和分析。
而基于机器学习的排队论模型，就是基于人工智能技术，通过对大量数据进行学习和挖掘，构建预测模型，从而实现对排队等待系统进行决策和预测。
机器学习技术的应用，可以有效地提高排队等待系统的效率和准确性，实现自动化决策和管理。
在实际应用中，基于机器学习的排队论模型可以被应用于各种场景例如：交通拥堵、医院排队、电话客服等。
例如，在交通拥堵领域，我们可以通过对历史交通数据进行分析和挖掘，建立预测模型，以预测道路拥堵的情况，帮助交通管理部门合理规划交通路线和控制车流量，缓解交通拥堵现象。
而在医院排队等待领域，我们可以通过挖掘患者就诊数据，建立排队等待模型，为患者提供更加便捷的医疗服务。
总之，基于机器学习的排队论模型的应用，可以使排队等待系统更高效、更精准，为我们提供更便捷、更舒适的服务。
未来，机器学习技术将会不断发展，相信会有更广泛的应用和更多的创新模型诞生出来。
队列问题的公式
队列问题的公式通常用于解决一些具有队列特性的数学问题。
下面列举几个常见的队列问题公式：
1.排队论中的M/M/1公式：M/M/1模型表示一个系统有无限个顾客和有限
个服务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从
相同的指数分布。
该模型可以用以下公式表示：L = λW，其中L是队列长
度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。
2.排队论中的M/M/c公式：M/M/c模型表示一个系统有无限个顾客和c个服
务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从相同
的指数分布。
该模型可以用以下公式表示：L = (c / (c - λ)) * λ * W，其中L
是队列长度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。
3.优先队列公式：优先队列是一种数据结构，其中元素具有优先级。
最常见
的优先队列公式是查找具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)，插入新元素的时间复杂度为O(log n)，删除具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)。
4.循环队列公式：循环队列是一种使用固定大小的数组实现队列的方法，其
中头尾指针可以指向队列的开头和结尾。
循环队列的公式包括：front =
(front + enqueue) % size和rear = (rear + enqueue) % size，其中front是头指针，rear是尾指针，enqueue是入队操作，size是数组大小。
以上是一些常见的队列问题公式，它们可以帮助我们解决一些具有队列特性的数学问题。
(完整版)排队论模型
排队论模型排队论也称随机服务系统理论。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：➢有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
➢有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
➢顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。
一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：➢输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
➢排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。
所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。
➢服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。
若以ξn表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn}，n=1，2，…所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。
医院排队论模型(1)
医院排队论模型(1)医院排队论模型指的是人在医院排队就诊的过程中，如何利用排队论模型来优化排队过程，提高就诊效率，降低排队时间。
下面从排队论模型的三要素（到达率、服务率、队列容量）出发，探讨在医院排队过程中如何优化流程。
第一、到达率到达率指的是单位时间内到达就诊的人数。
在医院排队过程中，到达率的分析可以帮助医院预测每天需要接待的患者数量，从而根据就诊人数、科室人员数量等资源来合理安排诊疗流程，避免出现拥堵的情况。
在医院安排就诊计划时，可以根据就诊需求、人员数量、诊室开放时长等来制定排班计划，如早上安排主诊医生接待复杂病人，下午安排副诊医生接待一般患者等。
第二、服务率服务率指的是单位时间内完成服务的人数。
在医院排队过程中，每个病人的就诊时间不同，有的患者需要进行详细检查、化验，需要较长时间，有的患者可能只需要短暂检查，大约十几分钟左右。
因此，为了提高个体效率，医院可以根据病人种类、健康状况等特不同性制定不同的服务时间，避免患者等待时间过久。
医院服务行业，提高服务水平可以吸引更多患者就诊，轻松排队也能提高了患者就诊时的舒适度和安全感。
第三、队列容量队列容量指的是医院可以容纳等待就诊人数和等待空间。
医院到达的患者数量与就诊人数不匹配，往往会造成人流混乱，交通拥堵等问题。
因此，医院应该合理利用队列容量，充分利用场地现有资源，设置等待区域、设立排队标识等措施，通过这些技术手段，既可以避免人流混乱，也可以避免就诊过程中因不注意安全方面出现不必要的伤害。
以上是基本的医院排队论模型，通过对到达率，服务率和队列容量的分析可以合理安排医院就诊计划，优化流程，提高服务水平、减少等待时间，使得医院就诊流程得到良性循环。
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（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互 关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验 有关分布。 3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行 特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进 系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负 指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程， 而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随 机过程的生灭过程。
“M/M/c”即Poisson输入负指数服务时间分布C个 服务台的等待制排队模型。 “M/G/1”即Poisson输入，一般服务时间分布， 单个服务台的等待制排队模型。
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达 排队 00…00
服务台
顾客离去
(2)多服务台的平衡系统
顾客到达 排队 00…00
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受 服务时止的这段时间，其期望值记 Wq ；逗留时间则指从 顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间， 即是顾客在系统中所花费的总时间，其期望值记 Ws 。 逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达 空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间 。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工 作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保 持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期， 是交替出现的。 排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务 台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例) 在排队论的研究中也是很重要的指标。
从而可以求得概率分布列 { pn }
（五）、典型排队模型和理论结果 下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果 (一)单服务台等待制M/M/1排队模型 1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的 负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数 的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系 统容量为 的等待制排队模型。 可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率 可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
2.生灭过程微分差分方程组 设 pn( t ) 表示系统在时刻t的状态X(t)=n的概率即 pn( t ) p{ X (t ) n} n s ， t 0 则系统在时刻t+△t的 状态为n的概率近似于以下四个概率之和。 (1)P{系统在时刻t时为n，而在△t内没有到达也没有 消失} = pn(t ) [1 n t ](1 un t ) pn(t ) (1 n t n t ) 0(t ) (2)P{系统在t时为n-1而在△t内有一个到达并且没有一 个消失}= pn1(t ) n1t (1 n1t ) pn1(t ) n1t 0(t ) (3)P{系统在t时为n+1，而在△t内没有到达而有一个 消失}= pn1( t ) n1t (1 n1t ) pn1( t ) n1t 0(t ) (4)P{系统在△t内发生多于一个的到达或消失}=0(△t) 即应用全概率公式有
| n k
当系统状态S为可数集时，生灭过程微分差分方程 组为
' p n( t ) n1 pn1( t ) ( n n ) pn( t ) n1 pn1( t ) ' p0( t ) 0 p0( t ) 1 p1 (t )
（二）排队模型的符号表示与几种重要排队模型 1.排队模型的符号一般表示法 一般表示法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔的分布类型 B:服务时间的分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务的等待排队模型主要由三参数法即 A/B/C 例“M/M/1/k/ 表示顾客到达间隔时间和服务 /F1F0” 时间均服从负指数分布，一个服务台，系统至多容纳 k个顾客潜在的顾客数不限，先来先服务的排队系统。
Pn (t t ) pn (t )(1 n t n t ) pn1 (t )n1t pn1 (t ) n1t O(t )
当 n0 时
pk (t t ) pk (t )(1 k t ) pk 1 (t )k 1t O(t )
0 p 0 1 p1 0 p p 0 k k k 1 k n ) pn n1 pn1 0 0 p0 1 p1 0 n 1
(9.4
1.生灭过程的定义 设有一个系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1， 2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为 系统在时刻t所处的状态，若在某一时刻t系统的状态数为 n，如果对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一个新的到达的概 率为 n t 0( t ), n 0 的常数；没有发生新的到达的概率 为 1 n t 0( t ) ；出现多于一个以上的新的到达概率 为0(△t) 。 (2)消失(灭):在(t，t+△t)内，系统消失一个的概率的 n t 0( t ); n 0 的常数，没有消失的概率为 1 n t 0( t ); 消失多于一个以上的概率为0(△t)则称系统状态随时间而 变化的过程X(t)为一个生灭过程。
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
(包括排队等待和正在接受服务的)数目小于k则他排队等 待，否则他即时离去，等待制服务的次序规则有先到先服 务随机服务，有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先 服务的系统。 3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计 服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq . 系统中的顾客数 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以 Lq (或Ls ) 越大，说明服务效率越低。
二、实例分析
一、排队论简介
（一）基本概念 1．排队系统 排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列 排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统 排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找 供求关系平衡的最优方案。 现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征: (1)有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等， 我们将此称为“顾客”。 (2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们 称为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。 (3)顾客随机地一个一个(或者一批一批)来到服务系统每位顾 客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成 某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。
服务台 服务台 顾客离去 顾客离去
服务机构
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00 0 0 顾客离去 … 0
M1
M2
Mn
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00 0 0 0 顾客离去
10% ( 调试 0 检验 90% )
(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车) 港口 轮船
另外还有 (6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型 我们讨论(1)(2)两种
(1)顾客输入过程 {N (t ) : t 0},( N (0)
0)是平均率为
的Poisson过程即 N (t ) ～ (t ) 设M(t)为(0，t)内容去顾客数，则 {M(t ) : t 0}是平均率为 的Poisson分布即 M(t ) ～ (t ) (2)X(t):时刻t系统中的顾客数 则 X ( t ) N ( t ) M( t ) L(t):时刻t排队等待顾客数 L( t ) max{ X ( t ) 1,0} 则 研究X(t)的分布模型 令
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。 一、排队论简介
n 1
(9.2) 若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概 率分布 { pn( t ) , n s} 称为生灭过程的瞬时解，一 般这种瞬时解是难以求得的
3.统计平衡下的极限解 实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生 灭过程微分差分方程组的极限解。 lim ' pn(t ) pn 由pn 令 t ( t ) 0 及(9.1)(9.2)式得当S为有限状 态集时，(9.1)式变为 1 n k n 1 p n 1 ( n n ) p n n 1 p n 1 0 (9.3)
2 排队系统的特征 为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成 (1)输入过程 顾客陆续来到的过程，设N(t):(0，t)时间内来到的顾客数(非负 整数值) {N (t ),t 0} 是随机过程，又设 Ti 第i个顾客到达的时间，从 j i Ti Ti 1 时间间距(隔) N (t ) max{j, i t} 而 {Ti } 随机变量序列， i 1 一般假设顾客来到时间间隔 i 相互独立与随机变量 有相同的； 分布 可以根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布， 然后按照统计学的方法(如x 检验法)确定服从哪种理论分布，并 估计它的参数值。我们主要讨论 概率分布为负指数分布 M (另外有定长分布D， k阶爱尔兰分布 E k ，一般独立分布GI等)