数学建模排队论

排队论课件
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下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：
N (t ) 时刻 t 系统中的顾客数，即队长
Nq (t ) 时刻 t 系统中排队的顾客数，即排队长
T (t )
时刻 t 到达系统的顾客在系统中的逗留时间
Tq (t ) 时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间
上述数量指标与时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布 非常困难。
n , n 1,2,,
n
记 , 并设 1, 则：Cn
n 1,2,
pn p0
n
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n 1,2,
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其中：
n p0 1 1 n n 0 1
n 1
1
因此：
pn (1 )
n
n 0,1,
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②几个主要数量指标 平均队长：
L npn n(1 )
n n 0 n 0



1


平均排队长：
Lq (n 1) pn L (1 p0 ) L
T Tq V
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其中V为服务时间，故由： W E (T ) E (Tq ) E (V ) Wq 可得平均等待时间 W
q
1

为：Wq W ( )
1
平均队长与平均逗留时间具有的关系： 平均排队长与平均等待时间的关系： 称为little公式
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讨论系统处于平衡状态下的性质：
记 pn (t ) 为时刻t时系统处于状态n概率，即系统的瞬时分布 根据前面的约定，我们将主要分析系统的平衡分布，即当系统到 达统计平衡时时所处状态 n 概率，记为
pn , 又记：
N 系统处于平衡状态时队长，其均值为L，称为平均队长
N q 系统处于平衡状态时排队长，其均值为
n , n 0,1,2,,

n Cn n! s s!
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n 1,2,, s s
ns
s! s n s
n
ns

M/D/1


D/M/1


M/E k/1

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结束语


排队论是专门研究带有随机因素，产生 拥挤现象的优化理论。也称为随机服务 系统。 排队论应用十分广泛。
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e t t0 b(t ) 0 t0
其中
0 为一常数。
k (kt ) k 1 kt b(t ) e (k 1)!
③k阶爱尔朗分布 ( Ek ) : 密度函数为
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三、排队系统的符号表示
为了方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种 目前在排队论中被广泛的使用的“Kendall记号”， 一般形式为： X/Y/Z/A/B/C 其中X表示顾客相继到达时间间隔的分布，Y表示服务时间分 布， Z表示服务台的个数； A表示系统的容纳，即可容纳最多顾客数 B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
n 1

1 ( )
2 2
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关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数 的负指数分布，P T t e ( ) t 因此，平均逗留时间W为：
t 0
1 W E (T )
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：
1
S1
2
k
Sk
n 1

n
n 1 n r 1

n 2
nr
k 1
n
Sn
n1
S n1 Snr
n r
nr 1
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为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程： 对状态 S0 对状态
S1 :
0 P0 1P 1
1P 1 2 P 2
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M / M / 1 / / / FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、 排队规则为先来先服务的排队模型。
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四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期

队列1
服务台2 服务台s
服务完成后离去

顾客到达
队列2 队列s



服务台1 服务台2

服务完成后离去 服务完成后离去 服务完成后离去

Fra Baidu bibliotek

服务台s 排队论课件
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随机服务系统：
排队系统 输入 来源 顾客 队列 服务机构 服务完离开
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二、排对系统的描述
系统由三个部分组成：
输入过程 排队和排队规则 服务机制
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L W
Lq Wq
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2、多服务台模型
M /M /s/
记 pn PN n(n 1,2,) 为系统到达平衡状态后队长 N的概率分布， 注意到对个数s个服务台系统，有：
n n s
记 s s s
并设 s 1, 则：
n 1,2, s ns
s
平均队长：
L Lq
Little公式：
L W
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Lq Wq
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其他模型

M/M/c/K/K

顾客来源是有限的服务系统. 例如： 一个饭店有 X 张桌子和 Y 个服务生服务来源有限的顾客. 服务时间不变的服务系统. 确定性到达模式, 及指数分布服务时间. 例如：医生赴约治病的 时间表. 服务服从 Erlang 分布. 例如：用相同平均时间去完成一些程序。
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pn n p0
其中：
p0 n! s!(1 ) s n 0
s 1 n s
1
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几个主要数量指标
平均排队长：
p0 s Lq (n s) pn 2 s ! ( 1 ) n s 1 s
P
n 0

n
1
有：
1 Cn P0 1 n1
于是：
P0
1 1 Cn
n 0
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六、M/M/S等待制排队模型
1、单服务台模型 ①队长的分布
M / M /1/
记 pn PN n(n 1,2,) 为系统到达平衡状态后队长 N的概率分布， 注意到 n , n 0,1,2,,
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
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一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离
开系统。
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排队的形式：
顾客到达 队列 服务完成后离去 服务台

服务台1 顾客到达 队列
排队长；
Lq ,
称为平均
T
系统处于平衡状态时顾客的逗留时间， 均值为 W , 称为
逗留时间；
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Tq 系统处于平衡状态时顾客的等待时间， 其均值记为 Wq ,
称为平均等待时间；
n 当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率 （单位时
间内来到系统的平均顾客数）
n
当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位
时间内完成的顾客数） 当 n 为常数时， 记为 ; 当每个服务台的平均服务率为 常数时，记为 , 当 n s 时，有： n s
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1/ 1/
期望到达间隔时间 期望服务时间 服务强度， 或称使用因子, /(s)
五、排队论原理
0
1
S0
k 1

k
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不难注意到损失制和等待制可以看成是混合制的特殊情况 如记 当K 当 K s 时，混合制即为损失制 s 为系统中服务台的个数， 时，即成为等待制。

(2)排队规则： 先来先服务（FCFS）
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3、服务机制
主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）； 顾客是单个还是成批接受服务的；服务时间的分布。 记某服务台的服务时间为V， 其分布函数为B(t), 密度函数 为b(t), 则常见的分布有： ① 定长分布（D）：每位顾客接受的服务的时间是常数； ② 负指数分布（M）： 每位顾客接受服务时间相互独立， 具有相同的负指数分布：
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1、输入过程
（1）顾客总数量： 有限或者无限 （2）到达方式：单个到达或成批到达 （3）到达方式： 顾客相继到达时间间隔的分布，这是刻画 输入过程的最主要内容。 令 T0
0, Tn 表示第n个顾客到达的时刻，
X n Tn Tn1 (n 1,2,)
T0 T1 L Tn L , 记 则有：
e t t0 a(t ) 0 t0
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2、排队及排队规则
（1）排队 分为有限和无限排队
①损失制排队系统： 排队空间为零的系统
②混合制排队系统： 等待制和损失制的结合，是指允许 排队，但是不允许队列无限长下去，具体的又分三种情况： （ⅰ）队长有限，即等待空间有限 （系统只能容纳K个顾客） （ⅱ）等待时间有限，即顾客在系统中等待时间不超过某一 给定的长度T （ⅲ）逗留时间（等待时间和服务时间之和）
X n 是独立同分布的，并记其分布函数为 A(t ), 关于 假设： X n 的分布，排队论中经常用到以下几种：
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① 定长分布（D）： 顾客相继到达时间间隔为确定的常数， 如产品通过传输带进入包装箱 ② 最简流（或称poisson分布）（M）：顾客相继到达时间 间隔 X n 为独立， 同负指数分布，其密度函数为：
0 P P0 1 1
0 1 P2 P0 1 2 01 n1 Pn P0 12 n
对状态 S n1 :
01 n 1 记 Cn , 1 2 n
n1Pn1 n Pn
则平稳状态分布：
Pn Cn P0
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则概率分布的要求：