正交设计及其方差分析
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
正交试验设计及其方差分析
第三节正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：(1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数↓L4 （23）↑↑行数水平数（2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.最多能安排的因素数↓L4 (23)↑↑试验次数水平数(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.L4 (23)↑↑实际试验数理论上的试验数正交表的特点：（1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L p（n m）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.例9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.表9-18解本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为 1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.2.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A 3B 3C 2D 1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析. （1） 极差计算在代表因素A 的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T 11，求得T 11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T 21，求得T 21=183.一般地，定义T ij 为表9-21的第j 列中，与水平i 对应的各次试验结果之和(i =1,2,3; j =1,2,3,4).记T 为9次试验结果的总和，R j 为第j 列的3个T ij 中最大值与最小值之差，称为极差.显然T =31iji T=∑，j =1,2,3,4.此处T 11大致反映了A 1对试验结果的影响，T 21大致反映了A 2对试验结果的影响， T 31大致反映了A 3对试验结果的影响，T 12，T 22和T 32分别反映了B 1，B 2，B 3对试验结果的影响， T 13，T 23和T 33分别反映了C 1，C 2，C 3对试验结果的影响， T 14，T 24和T 34分别反映了D 1，D 2，D 3对试验结果的影响.R j 反映了第j 列因素的水平改变对试验结果的影响大小，R j 越大反映第j 列因素影响越大.上述结果列表9-22. 表9-22由极差大小顺序排出因素的主次顺序： 主→次B ；A 、D ；C这里，R j 值相近的两因素间用“、”号隔开，而R j 值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B ，即反应时间.其次是要考虑因素A 和D ，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T 31=185；即取水平A 3，同理可选B 3C 1D 3.故例9.7中较好的因素水平搭配是A 3B 3C 1D 3.例9.8 某试验被考察的因素有5个：A ，B ，C ，D ，E .每个因素有两个水平.选用正交表L 8(27)，现分别把A ，B ，C ，D ，E 安排在表L 8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23. 表9-23试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表9-23的极差R j的大小顺序排出因素的主次顺序为 主 → 次A 、B ；D ；C 、E最优工艺条件为A 2B 1C 1D 2E 1.表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差R j 应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.3.方差分析正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.设有一试验，使用正交表L p (n m ),试验的p 个结果为y 1,y 2,…,y p ,记T =1pi i y =∑, y =11p i i Ty p p ==∑，S T =21()pii yy =-∑为试验的p 个结果的总变差；S j =222111nn ij ij i i T T T r T r p r p ==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑ 为第j 列上安排因素的变差平方和，其中r =p/n .可证明S T =1mij S=∑即总变差为各列变差平方和之和，且S T 的自由度为p -1，S j 的自由度为n -1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的S j 之和就是误差的变差平方和S e ，这时S e 的自由度f e 也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取S j 中的最小值作为误差的变差平方和S e .从以上分析知，在使用正交表L p (n m )的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为： F =1jeeS S n f -.当因素作用不显著时， F ~F (n -1,f e ),其中第j 列安排的是被检因素.在实际应用时，先求出各列的S j /(n -1)及S e /f e ,若某个S j /(n -1)比S e /f e 还小时，则这第j 列就可当作误差列并入S e 中去，这样使误差S e 的自由度增大，在作F 检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的S j 全并入S e 后得新的误差变差平方和，记为S e Δ,其相应的自由度为f e Δ,这时选用统计量 F =1je eS S n f - ~F (n -1,f e Δ).例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的极差值R j ，利用公式S j =2211n ij i T T r p=-∑,得表9-24.表9-24中第3，6列为空列，因此S e =S 3+S 6=1.250,其中f e =1+1=2,所以S e /f e =0.625,而第7列的S 7=0.125，S 7/f 7=0.1251=0.125比S e /f e 小，故将它并入误差. S e Δ=S e +S 7=1.375,f e Δ=3.整理成方差分析表9-25. ee由于F 0.05(1,3)=10.13, F 0.01(1,3)=34.12,故因素A ，B 作用高度显著，因素C 作用不显著，因素D作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F检验法要求选取S e，且希望f e 要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A和B 的交互作用A×B.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.。
第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
表 L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
单4 因素 2
1
2
3
y4
试5 验数 2
2
3
1
y5
因素A第2
SS据A6＝资13（料y1 y22
格式 78＝13（K12
3 K322
y3）2 （y43y5
K32）-
T2 9
1 2
y6）2 （ 1 y7 3 1
y 82y 9）2 2 3
（y1yy62 ...
9
y7 y8
y水9）平2（修 3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：MS因素＝
SS因素 df因素
，MS误差＝
SS误差 df误差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
高级篇 第二章 正交试验设计及统计分析-方差分析
0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r
第6章-正交试验设计结果的方差分析
（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
正交检验的极差分析和方差分析
其中 SA/(k1) 和 SE/k(m1)称为均方(Mean Square).
第四章 方差分析
4.2.4 显著性检验
利用(8-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给
定的显著水平 ,可以从F分布表查出临界值F(k1,k(m1)),
再根据样本观测值算出FA的值.
当 F AF (k1 ,k(m 1 ))时,拒绝H0, 当 F AF (k1 ,,k(m 1 ))时,接受H0。
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N (,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
每个总体中抽取一个容量为4的样本,得到的数据记作yij
ˆ Y, ˆi Yi Y, ˆi Yi (4-9)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
, i
, i
称为最小二乘估计量.
我们还可以证明 ,i , i分别是参数 ,i,i 的无
偏估计量。
将和 i 分别用它们的估计量代替,可以得到试 验误差 ij 的估计量 e ij ,
为两部分
Yi i i
（4-1）
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
i 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). i 是实验误差(也称为随机误差)。
i ~N(0,2) （4-2）
Yi ~N(i,2)
第三章正交试验设计中的方差分析2例题分析
第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。
本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。
首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。
正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。
在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。
在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。
我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。
接下来，我们需要进行方差分析。
方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。
在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。
首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。
然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。
同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。
接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。
F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。
如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。
最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。
同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。
通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
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（2）方差分析
ˆ
xˆ
T 9
xi..
Ti.. 3
，
x. j.
T. j. 3
x..k
T..k 3
ˆi xi.. x
ˆ j x. j. x
ˆk x..k x
SST
x2 ijk
C
SS
1 3
(K12
K 22
K32 )
C
C
T2
9
C 65.582 477 .8596 9
SST 6.252 4.97 2 8.952 C 53.0304
正交试验设计及其方差分析
正交试验设计
表3-7-1 L9（34）正交表 列号
试验号 1 2 3 4 1 1111 2 1222 3 1333 4 2123 5 2231 6 2312 7 3132 8 3213 9 3321
L9（34）表头设计
因素
A
B （A×B）1 （A×B）2
列号 1 2
3
4
表3-7-3 L8（27）正交表及其表头设计
表3-7-10因素水平表
因素
水平
A
B
C
1
250
9
6
2
300
12
4
表3-7-11 L8（27）的交互作用列表
列号 列号
1234567
1
(1) 3 2 5 4 7 6
2
(2) 1 6 7 4 5
3
(3) 7 6 5 4
4
(4) 1 2 3
5
(5) 3 2
6
(6) 1
7
(7)
表3-7-12 例3-7-4的试验方案及结果
SS A
1 3
(15.762
18.572
31.252 )
C
45.4021
SSB
1 (25.182 3
21.412
18.992 )
C
6.4873
SSC
1 (22.652 3
21.452
21.482 )
C
0.3122
SS空
1 3
(20.702
21.872
22.972 )
C
0.8289
SSe SS空 SSC 1.1411
因素 Ａ
列号
1
1
1
2
1
3
1
处 理
4
1
号
5
2
6
2
7
2
8
2
Ｂ Ａ×Ｂ Ｃ Ａ×Ｃ Ｂ×Ｃ Ａ×Ｂ×Ｃ
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
112正Fra bibliotek表具有正交性 ：
①在交互作用不存在时，正交表可安排多于全因子析因试验 的因素个数，是一个部分实施试验，但每一列中因素的各个 水平都出现，而且机会均等，这一点叫做“整齐可比性”．
2.05
C
4 1（6） 2（4）
1 2 1 2 1 2 44.3 50.5 11.075 12.625 1.55
A×C
5
1 2 1 2 2 1 2 1 40.4 54.4 10.100 13.600 3.50
B×C
6
1 2 2 1 1 2 2 1 58.9 35.9 14.725 8.975 5.75
1（50）
2（7.0）
2（2.4）
2
4.97
3
1（50）
3（7.5）
3（2.8）
3
4.54
4
2（55）
1（6.5）
2（2.4）
3
7.53
5
2（55）
2（7.0）
3（2.8）
1
5.54
6
2（55）
3（7.5）
1（2.0）
2
5.50
7
3（58）
1（6.5）
3（2.8）
2
11.40
8
3（58）
2（7.0）
水平 1 2 3
A(单位: ℃) 50 55 58
因素 B(pH值)
6.5 7.0 7.5
C(加酶量: %) 2.0 2.4 2.8
表3-7-5 啤酒酵母最适自溶条件试验方案及结果
表头设计
A
B
C
空列
试验指标
试验号 1
列号
2
3
4
xijk(蛋白质: %)
1
1（50）
1（6.5）
1（2.0）
1
6.25
2
②任两列之间的所有可能的水平组合都出现，且出现的次数 均等，这一点叫做“均衡分散性”
只要一张设计试验处理的表满足整齐可比性和均衡分散性 两点，这张表都可以称作正交表．常用的有等水平正交表 ， 还有混合水平正交表 ，如L8（41×24）等。
正交试验的方差分析
表3-7-4 啤酒酵母最适自溶条件试验因素水平表
C
T2 ...
94.82
1123 .38
88
SST
x2 ijk
C
171.28
SS
1 4
(K12
K
2 2
)
C
SS AB
51.52
4
FA
SSA / 2 SSe / 4
22.70 0.2853
79.57**
FB
SSB / 2 SSe / 4
3.2437 0.2853
11.37*
例3-7-4】 电渡前金属零件要去油去锈，原工艺去油去锈 分别进行，现探索去油去锈一步进行，为此对影响去油去 锈时间的因素A（硫酸：ml/l），B（OP乳化剂：ml/l）和 C（硫脲：g）进行了正交试验，并要求分析它们间的交 互作用．
A×B×C
7
1 2 2 1 2 1 1 2 49.2 45.6 12.300 11.400 0.90
去油去 锈时间
xijk
7.7 6.1 6.0 17.7 17.3 10.5 13.3 16.2
94.8(T…)
5.85
从直观上看，影响去锈时间的因素次序为B×C，A，A×C，
B等．由于交互作用起主要作用，因而必须经过严格的方差 分析，才能进一步推断出好的处理．
1（2.0）
3
10.90
9
3（58）
3（7.5）
2（2.4）
1
8.95
K1
水平和 K2
K3
水平
k1
均值
k2
k3
极差R
15.76 18.57 31.25 5.253 6.190 10.417 5.164
25.18 21.41 18.99 8.393 7.137 6.330 2.063
22.65 21.45 21.48 7.550 7.150 7.160 0.400
20.74 21.87 22.97
65.58(T…)
хijk i j k ijk
(1) 正交试验的直观分析
①求各列各水平的和K1，K2，K3； ②由于各列各水平均重复了3次，故可由和求出各水 平的均值k1，k2和k3； ③用各列最大平均值减去最小平均值得各列的极差R
R愈大，说明该因素对指标影响愈大．因而可利用R给出各因 素影响指标的主次顺序：A→B→C, 从平均值上看，A以A3好， B以B1好，C以C1好．综合起来应该A3B1C1好，但这个处 理未作试验，故还需作必要的验证工作。
变因
A
列号
试验号
1
1
2
3
4
5
6
7
8
水
K1
平
和
K2
水平
k1
均值
k2
极差R
1（250） 1 1 1
2（300） 2 2 2
37.5
57.3
9.375 14.325
4.95
B
A×B
2
3
1（9）
1
1
1
2（12）
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
41.6
43.3
53.2
51.5
10.400 13.300
2.90
10.825 12.875