Henon映射的一些图像展示

4种混沌映射的特点

4种混沌映射的特点
混沌映射是一种重要的非线性动力学系统，具有复杂的动力学特性，已经被广泛应用于许多领域。

本文介绍了四种常见的混沌映射及其特点。

1. Logistic映射
Logistic映射是一种广泛应用于混沌理论研究中的典型非线性动力学系统。

它的特点是简单易行，具有双稳态和混沌行为，是研究混沌现象的经典示例。

2. Henon映射
Henon映射是一种双参数混沌映射，它的特点是具有分形结构、非周期性、高度敏感依赖于初值和参数，并且在参数空间中形成了复杂的混沌吸引子。

3. Lorenz映射
Lorenz映射是一种具有吸引子的三维非线性动力学系统，它的特点是具有强的混沌行为和灵敏的初始条件依赖性，常被用于模拟大气和海洋中的流体运动。

4. Ikeda映射
Ikeda映射是一种典型的非线性动力学系统，它的特点是具有高度敏感的初值和参数、分形结构和复杂的混沌吸引子，常被用于研究光学系统中的非线性动力学现象。

以上是四种典型的混沌映射及其特点。

混沌映射在科学研究、信息加密、密码学、图像处理等领域有着广泛的应用价值，未来将会有
更多的研究和应用。

广义Henon映射的Fold—Flip分支

第２６卷源自第２期长沙
大
学
学
报
２０１２年３月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＨＡＮＧＳＨＡＵＮＩＶＥＲＳｌＴＹ
Ｖｏ．６ＮＯ．１２２Ｍａ．２０１２ｔ
广义Ｈｅｏｎｎ映射的Ｆｌｏｄ—Ｆｉ支ｌｐ分
蔡美香
ｘ，ｚｙ，
，
１Ｆｌｆｐ分支存在的不动点条件ｏｌｄ— ｉ
令ｐｘｙ（，）＝２ｘ—ｃｂｙ—ｅｑｘＹ，（，）＝一（ｂ２ｅ＋ｃ一ａｚ）ｄ２
毫。
，
＋ｃｙ一口不动点Ｚ（０Ｙ）的特征值为Ａｅ，ｘ，ｏ处。＝１Ａ，２＝一１，
关键词：广义Ｈｎｎ映射；维２ｆｌｌｐ分支ｅｏ余；ｄ—ｆｏｉ中图分类号：１５７０７．Ｈｎｎ映射ｅｏ
－＋ｎ一
因此，件ｐ，）＝０，（Ｙ＝一１导致条（Ｙｑ，）
ｔ
ｙｎｌ＝＋
（）１
ｆｃ一ｃ：２ ’ ３ ‰ 一 ‰
分支：
＜ｑ’ ｑ＞＝１，
，
－
ｌｌｙ＋
＝
ａｎ：。ｎｙ一
＋ｃｙ
（
。≠ ０１，）
（）２
Ａ＝一ＰＡ ‘ ＝一Ｐ，＜Ｐ’Ｐ＞＝１ｐ，，，
应用中心流形方法，通过对映射（）的规范型（ｏｍｌ２ｎｒａ
的分析．更有，对保测度的Ｈｎｎ映射（ＩＩｅｏ＿＝一ｂ＝一１，，）
也有一些研究，如应用几何方法与反证法，ｒｗ证明当ｏＢｏｎ＞０时存在一个横截同宿点，即保测度的Ｈｎｎ映射存在ｅｏＳｌｍａｅ马蹄；ｎｅ证明保测度的Ｈｎｎ映射的不稳定流Ｊｓｎｅｅｏ

机构综合的Henon混沌映射牛顿迭代方法研究

于单变量的实值方程求解的，将它直接推广到Ｂｎｃａａｈ空间便可以求多元非线性方程组。当选择的迭代初始值满足一定的条
件时，牛顿迭代法是二阶收敛的。注意用牛顿迭代法时，要避免出现，（）， ’ ｋ＝０否则出现奇异。为了提高牛顿迭代法的性能，ｘ
法。牛顿迭代技术是一种非线性方程及非线性方程组常用的求解技术，其最大的特点是具有二阶敛速，收敛速度快，迭代函数明了，其动力学特性较易把握，但对初始值较为敏感，但计算量大，只能得到一个解。文献【提出了求解非线性方程组的混且－ ’
进行迭代，中／ｘ）／ｘ）其（为（在点ｘＩ函数值， ’ Ｉｋ的，（）ｘ为／ｘ）（在点ｘ的一阶导数值，Ｉ也称为，ｘ的Ｊｃｂ矩阵，（）ａｏｉ通
常以Ｊ表示。（表示牛顿迭代函数值。／ｘ）牛顿迭代法原本是用
j作为牛顿迭代方法的初值用牛顿迭代方法迭代式3运行n后可得全部解1机构简图如图1所示在对平面四杆机构进行函数综合时一般要求其输入角1j与输出角1j之间保持一定的函数关系建立36装备制造技术2007年第10期如图1所示的直角坐标系则c点的坐标为10取铰链点ab的坐标为表示
维普资讯
ｘ表示。４
量区间均为［１，０，出全部解的时间为：．５２ｓ表２中－０１］求０１６２（７
－；序号１¨，＾与文献［卜・ ∑ ） ∑ ∑ 合处理，４５致的解。如果按近似综求解时
间为１．１３ｓ求得的解如表２所示（Ｐ～６０１７，除１４号解外，还增加ＰＰ了几个近似解）且得到的近似解随混沌序列长度不同、，映射的ＸＸＸ

基于Henon混沌映射的图像加密实验

基于Henon 混沌映射的图像加密实验一、实验目的1．熟悉具有分组密码结构特性的混沌映射；2．掌握利用二维Henon 混沌映射实现图像像素扩散加密的原理； 3．培养学生从事高维信号安全保护的动手编程能力。

二、实验原理通过读操作获取图像像素值，然后利用Henon 混沌映射实现像素值扩散操作，其结果通过写操作写入加密后文件。

1、对于长宽相等（M=N ）的图像加密解密原理如下：（1）加密过程加密函数为：21211(1)mod ()mod n n n n n n x ax by My cx dx N+++⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ （2-1）其中，a=5; b=1;c=1;d=3;(,)n n x y 为原图像像素值的位置，11(,)n n x y ++为改变后的位置。

modM 为对M 取余数。

同理modN 也是。

改变像素值并赋给新的位置11(,)n n x y ++，公式如下：2211(,)[(,)]mod 256n n n n n n data x y A x y x y ++=++ （2-2）（2）解密过程为：有（2-1）得， 2111n nn x ax y l M +=-+- （2-3）2112n n n y x dx l N ++=+- （2-4）由（2-3）得2112n n n x y dx l N ++=-+，等式两边同时对M 取余数，得211()mod n n n x y dx M ++=- （2-5）然后把n x 代入（2-3），整理得2111n n ny x ax l M +=-++，最后把等式两边同时对N 取余数得：21(1)mod n n n y x ax N +=-+（2-5）由式（2-2）可得像素值的恢复：2211(,)[(,)]mod 256n n n n n n A x y data x y x y ++=-- （2-6）2、对于长宽不相等（M ≠N ）的图像加密加密解密原理如下：（1）加密过程加密函数为：11()mod ((1))mod n n n n n n x x y My cx c y N++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩ （2-7）其中，c=N/gcd(M,N)；改变像素值并赋给新的位置11(,)n n x y ++，公式如下：2211(,)[(,)]mod 256n n n n n n data x y A x y x y ++=++ （2-8）（2）解密过程为：由加密函数得：11n n n x x y l M +=+-（2-9） 12(1)n n n y cx c y l N +=++-（2-10）对（2-9）两边同时乘以c,然后（2-10）减去（2-9）整理可得：1112n n n y cx y cl M l N ++-=+- （2-11）（2-11）两边对N 取余整理可得：11()mod n n n y y cx N ++=- （2-12）把y n 代入（2-9），然后两边对M 取余整理可得：1()mod n n n x x y M +=- （2-13）由（2-8）可恢复像素值的大小：2211(,)[(,)]mod 256n n n n n n A x y data x y x y ++=-- （2-14）三、实验步骤1．熟悉图像加密解密原理；2．熟悉Henon 混沌系统；3．采用Matlab 编写图像加解密程序并仿真测试；四、程序代码1、（M=N ） clc; clear;I=imread('C:\Users\Lilong\Desktop\matlab\dianzishiyan\lena.bmp'); figure(1)subplot(2,2,1); imshow(I);title('原始图像');A=double(rgb2gray(I)); %转换成灰度图像subplot(2,2,2);imshow(uint8(A));%显示灰度图像title('灰度图像');[M,N]=size(A);%获取图像的大小data=zeros(M,N);a=5; b=1; c=1; d=3;A1=zeros(M,N);for loop=1:2for x=1:Mfor y=1:Nx1=mod((1-a*x^2+b*y),M);%改变行值if x1==0x1=M;endy1=mod((c*x+d*x1^2),N);%改变列值if y1==0y1=N;enddata(x1,y1)=mod(A(x,y)+x^2+y^2,256);%改变像素数值并赋值给新的位置endendA1=data;endsubplot(2,2,3);imshow(uint8(A1));%显示解密后的图像title('加密后图像');A2=zeros(M,N);A3=zeros(M,N);for loop=1:2for x1=1:Mfor y1=1:Nx2=mod(y1-d*x1^2,M);%解密原来的行值if x2==0x2=M;endy2=mod(x1+a*x2^2-1,N);%解密原来的列值if y2==0y2=N;endA2(x2,y2)=mod(A1(x1,y1)-x2^2-y2^2,256);%恢复像素值endendA3=A2;endsubplot(2,2,4);imshow(uint8(A3));%显示解密后的图像title('解密后图像');2、（M≠N）clc;clear;I=imread('C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\lena.bmp'); figure(1)subplot(2,2,1);imshow(I);title('原始图像');I1=I(51:150,31:170,1:3);%裁剪图像A=double(rgb2gray(I1));%转换成灰度图像subplot(2,2,2);imshow(uint8(A));title('灰度图像');[M,N]=size(A);data=zeros(M,N);c=N/gcd(M,N);A1=zeros(M,N);for loop=1:2for x=1:Mfor y=1:Nx1=mod(x+y,M);if x1==0x1=M;endy1=mod(c*x+(1+c)*y,N);if y1==0y1=N;enddata(x1,y1)=mod(A(x,y)+x^2+y^2,256);%改变像素值%data(x1,y1)=A(x,y);endendA1=data;endsubplot(2,2,3);imshow(uint8(A1));title('加密后图像');%加密后的图像A2=zeros(M,N);A3=zeros(M,N);for loop=1:2for x1=1:Mfor y1=1:Ny2=mod(y1-c*x1,N);if y2==0y2=N;endx2=mod(x1-y2,M);if x2==0x2=M;endA2(x2,y2)=mod(A1(x1,y1)-x2^2-y2^2,256);%恢复像素值%A2(x2,y2)=A1(x1,y1);endendA3=A2;Endsubplot(2,2,4);imshow(uint8(A3));title('解密后图像');五、仿真测试运行程序，结果如下图，可以正确解密加密后的图像。

henon映射的迭代轨迹

henon映射的迭代轨迹
Henon映射是一种二维动力系统，它是由Michel Henon在1976
年提出的。

这个动力系统在混沌理论中有着重要的应用。

Henon映射可以用以下的式子表示：
x_n+1 = 1 - a * x_n^2 + y_n
y_n+1 = b * x_n
其中a和b是映射的参数，通常取值范围为0到1。

通过对这个式子进行迭代，我们可以得到Henon映射的迭代轨迹。

这个迭代轨迹是由一系列的点组成的，每个点的坐标是(x_n, y_n)。

Henon映射的迭代轨迹具有以下的特点：
1. 对于不同的参数a和b，Henon映射的迭代轨迹可以呈现出不同的形态，包括周期轨道、分岔图、混沌吸引子等。

2. 在Henon映射的迭代过程中，轨迹会不断地变形和扭曲，这
种变形和扭曲的程度取决于参数a和b的取值。

3. Henon映射的迭代轨迹在维度上是二维的，因此可以用二维
图像来展现它的形态。

通过对Henon映射的迭代轨迹进行分析和研究，可以帮助我们更好地理解混沌理论以及动力系统的行为。

- 1 -。

韦恩图

韦恩（Venn）图韦恩图，也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。

韦恩图法是利用封闭的曲线来表示集合的一种方法，在高中课本中虽然没有给出过多的说明，但是对于初学集合的学生来说解决一些问题还是比较容易的。

一、在数学中的应用：1、并集∪定义：取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，表示：A∪B。

2、交集∩定义：（交就是取两个集合共同的元素）A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。

A和B的交集写作“A∩B”。

形式上：x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。

（1）取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，X为A和B的相交部分，则集合间有如下关系：A∩B＝X，A＋B＝A∪B－X；（2）取一个集合，设全集为I，A、B、C是I中的两个子集，D＝A∩C，E＝B∩C，F＝A∩B，x为A、B、C的公共部分，即x＝A∩B∩C，则集合间有如下关系：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B ∩C?；A∪B∪C＝A＋B＋C－只重合两次的-2×只重合三次的。

二、运用韦恩（Venn ）图解题“三层次由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图。

1、识图是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示。

例1：如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）。

A 、（M ∩P ）∩SB 、（M ∩P ）∪SC 、（M ∩P ）∩ðI SD 、（M ∩P ）∪ðI S解：阴影部分是M 与P 的公共部分（转化为集合语言就是M ∩P ），且在S 的外部（转化为集合语言就是ðI S ），故选（C ）。

例2：用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（）。

法国天文学家 henon映射-概述说明以及解释

法国天文学家henon映射-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在这一部分，我们将介绍法国天文学家Henon映射的概念及其重要性。

Henon映射是一种动力系统，被广泛运用于天文学和混沌理论中。

通过Henon映射，我们可以更好地理解动力系统中的非线性行为，探索天体运动的复杂性和深度。

本文将探讨Henon映射的数学原理及其在天文学中的应用，并展望未来Henon映射的研究方向。

通过对Henon映射的深入研究，我们可以更好地认识宇宙的奥秘，推动天文学领域的发展。

Henon映射的引入为我们揭示宇宙的奥秘提供了新的视角和方法，对于推动科学技术的发展和人类认知世界的进步具有重要意义。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍Henon映射的概念，包括其起源、定义和基本特性。

接着将深入探讨Henon映射的数学原理，包括其迭代公式、分岔图和混沌特性等方面。

然后将重点讨论Henon映射在天文学中的应用，包括如何通过Henon映射模拟星系运动、探索银河系结构等方面。

最后，我们将总结Henon映射在天文学中的重要性，并展望未来可能的研究方向。

通过本文的介绍，读者将对Henon映射有一个全面的了解，并对其在天文学领域的应用有更深入的认识。

1.3 目的:本篇文章旨在深入探讨法国天文学家Henon映射的概念、数学原理和在天文学中的应用。

通过对Henon映射的研究和探讨，我们旨在增进对这一重要数学工具在天文学领域中的意义和作用的理解，并探讨其在复杂系统中的应用和潜在的未来发展方向。

同时，本文也旨在向读者介绍Henon映射的基本概念和原理，让读者对这一重要的数学工具有一个清晰的认识。

通过对Henon映射的深入探讨，我们希望读者能够进一步认识到其在天文学和其他领域中的重要性，并在未来的研究中能够更好地应用和发展这一工具。

2.正文2.1 Henon映射的概念Henon映射是由法国著名天文学家Michel Henon于1976年提出的一种非线性动力系统。

几何画板迭代全解

第二章：迭代与分形几何
分形作为现代数学的一个分支，从诞生的那天起，就有着独特的魅力。分形的特点是整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。 1.用(A,B,C)表示有顺序的三点 A、B 和 C。 2.(A,B,C)(D,E,F,)，(G,H,I)表示 A 映射到 D，B 映射到 E，C 映射到 F,然后添加映射 A 映射到 G，B 映射到 H，C 映射到 I,以此类推。
例 2.1 Sierpinski 三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏三角” 、 “谢氏地毯” 、 “谢氏海绵” 、 “谢氏墓垛” 。如今，几乎任何一本讲
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《几何画板迭代全解》

图 1.1
图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 边形这个例子来看一下它们的区别。

混沌映射及其应用研究

混沌映射及其应用研究第一章引言混沌映射是一种非线性、混沌现象十分明显的映射，其研究在理论与应用上都有着广泛的关注和应用，包括密码学、信息处理、数字信号处理、图像压缩等领域。

随着科技的不断进步，混沌映射在信息与通信领域的应用越来越广泛，成为一种重要的研究方向。

本文将对混沌映射理论、性质以及应用领域等进行详细讨论。

第二章混沌映射理论混沌映射的研究始于20世纪60年代，是研究全息照相中杂乱光的现象时，由美国物理学家莱耳·约翰逊（E. L. Lorenz）提出。

混沌映射是指一种具有混沌现象的非线性映射，可以简单地表示为一个迭代的函数。

一般而言，混沌映射可以被形式化地表示为：Xn+1=f(Xn)其中，Xn是第n次迭代的值，Xn+1是Xn在下一次迭代后的值，f表示迭代函数。

混沌映射的混沌现象表现在迭代次数增加时，系统的演化呈现出无规律性，即原始状态对系统的演化结果影响极大，微小扰动也会对系统的演化结果产生显著的影响。

混沌映射广泛存在于自然界中，例如流体力学中的Navier-Stokes方程、经典物理中的Henon映射等。

第三章混沌映射性质混沌映射作为非线性映射，在理论模型与实际应用领域都具有许多重要特性。

混沌映射的一般特性包括极度敏感依赖于初始条件、周期运动、奇变现象、自相关和高维混沌等。

3.1 极度敏感依赖于初始条件混沌映射的极度敏感依赖于初始条件是其最为重要的特性之一。

由于基于迭代函数的计算方式，系统的演化对初始状态有着非常高的敏感性，微小的扰动会导致系统最终的演化结果与原始的演化结果存在极大的差异。

3.2 周期运动混沌映射并非没有规律性，在一定的条件下，会呈现出周期运动。

周期运动指的是一些状态在经过一定次数的迭代得到之后，会出现周期性的状态转化，即循环出现相同的状态集。

周期运动是混沌映射在实际应用中的关键特性之一。

3.3 奇变现象混沌映射还具有奇变现象，即在某些情况下，当系统的某个参数发生无限的微小变化时，混沌映射的演化结果将快速发生剧烈的变化，即小扰动会导致混沌映射的演化结果发生“突变”。

混沌发展史

中国和希腊的神话故事是最早出现“混沌”一词的，从此之后随着人类文明的进步，文化和科技的发展，中外的文学、艺术、宗教典籍和科学著作早已不断采用“混沌”一词。

“混沌”的英文翻译为“chaos”。

到了近代，特别是近几十年，混沌”一词在各类报刊文章、文献中出现的频率极高。

很多学者认为二十世纪继相对论、量子力学之后的又一次物理学革命就数混沌学了。

法国伟大的数学、物理学家庞加莱（H. Poincare）是研究混沌的第一人, 他在研究太阳系的稳定问题时，猜想能否用数学来证明，从而发现了即使只有三个星体的模型，还是能够产生明显的随机结果。

于是，庞加莱在1903年提出了庞加莱猜想。

庞加莱把拓扑学和动力系统有机地结合，并提出了三体问题在一定范围内，其解是随机的。

到1954，前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）发表的《哈密顿（Hamilton）函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文成为了KAM定理的雏形。

到了1963 年, 柯尔莫哥洛夫的学生，年轻的、具有超群才华的V.I.Arnold 对此给出了严格的数学证明, 基本上在同一时间, 瑞士数学家J.Moser 对此给出了改进表述, 并独立地作出了数学证明。

此文的思想为混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌提供了信息。

这也为早期明确不仅好散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。

1963 年，美国的气象学家、物理学家E.N.Lorenz，对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值仿真时，发现在某些条件下可以出现非周期的无规则行为。

这一结果解释了长期天气预报为什么始终没有获得成功的原因，其根本原因为有一种混沌运动存在于确定非线性动力系统中。

E.N.Lorenz 不仅发觉了第一个奇怪吸引子——Lorenz吸引子，而且还揭示了混沌运动的其他一些基本特征。

这个三阶常微分方程组即著名的洛仑兹系统方程组：（1963 年，美国气象学家 E.N.Lorenz发表了著名的论文《确定性非周期流》，他在论文中指出：在三阶非线性自治系统中可能出现非周期的无规则行为。

一种结合Cat映射和Henon映射的图像加密技术

ＡｂｔａｔｓｒｃＣａｓａｎｌａｐＣＢｃａｇｈｏｉｏｆｅｃｉｅｐｉｔｏｇｈｏｇｔｒｔｎｆｒｅｃｙｔｎｂｔｅａｓｆｈｌｓｉｌｃＡｒｏｄｃｔｍａａｈｎｅｔｅｐｓｔｎｏａｈｐｘｌｏｎｆｉｅｔｒｕｈｉａｉｏｎｒｐｉ，ｕｃｕｅｏｅｉｍａｅｏｏｂｔ
果表明，算法可以达到较好的加密效果，该并且具有较强的抗攻击性能。
关键词混沌图像加密Ｃｔ射ａ映Ｈｎｎ映射ｅｏ
ＡＮＭＡＧＥＩＥＮＣＲＹＰＴＩｏＮＣＨＥＭＥＳＣｏＭＢＩＮＧＮＩＣＡＴＡＰＭＡＮＤＨＥＮｏＮＡＰＭ
第２７卷第９期
２１００年９月
计算机应用与软件
ＣｏｕｅｐｉａｉｎｎｏｔｒｍｐｔｒＡｐｌｃｔｓａｄＳｆｗａｅｏ
Ｖｏ．７Ｎｏ９Ｉ２．Ｓｐ．２０ｅ０１
一
种结合Ｃｔ射和Ｈｅｏａ映ｎｎ映射的图像加密技术

ｐｒｄｃｔｆＡｎｌａ，ｅｅｐｘｌｏｎｓｍｉｈｅｒｓｏｅｏｔｅｒｏｉｉａｏｉｏｆｒｂｉｇｉｒｔｄａｃｒａｎｔｓＳｉｒｇｓｍｅｅｉｉｉｏｒｏｄｃｔｔｓｉｅｉｔｏｙｈｐｇｔｅｔｒｄｔｈｉｒｎｌｐｓｔｎａｔｅｎｔａｅｅｔｉｉｂｇｉｅｅｍｅ，ＯｉｗｌｂｎｏｔｌｉｓｃｒｙｐｔｌｏｔｅｓｓｅＴｉｓｏｔｏｎａｅｅｆｃｉｅｙａｏｄｄｂａｓｓｇｓｒｍｂｅｅｕｔｉａｌｔｙｔｍ．ｈｓｈｒｍｉｇｃｎｂｆｔｌｖｉｅｙｔｎｆｉｃａｌｄＡｍｏｄｃｔｍａｐｎｇｏｃａｓｓｓｍｉｆｓｈｃｅｖｒｕｎｌａｐｉｇｉｅｔｈｏｙｔｍａｅ

一种基于Henon映射的图像加密算法的分析及改进

混沌图像加密算法（为方便描述，以下简称该加密
算法为ＨＥ。该算法的核心思想是：ＩＡ）采用经过取
模处理的可逆二维非线性Ｈｎｎ映射．图像各像ｅｏ对
素点的灰度值进行链式循环迭代。有关ＨＩＡ算Ｅ
法的详细内容可参考文献『６。ＨＥ１］ＩＡ算法具有设计简单、解密准确、无舍人误差等优点。然而，本文对ＨＥＩＡ算法进行深入分析后发现：先，首密文图像中的大部分像素不受明文图像微小改变的影响，这意味着攻击者可以通过寻找密文的相似性获得相关明文信息，采用相同密钥加密多幅相似倘若
一
种基于Ｈｅｏｎｎ映射的图像加密算法的分析及改进
平萍王志坚许峰刘凤玉，，，
（．１河海大学计算机与信息学院，江苏南京２０９；．１０８２南京理工大学计算机科学与工程学院，江苏南京２０９）１０４
ｗａＥｘｅｍｅｔｌｒｓｌｓｓｏｔａｈｅａｇｒｔｍａｅｔｒｐｒｏａｅｏｏｈｓｃｒｔｎｙ．ｐｒｎａｅｕｔｈｗｈｔｔｅｎｗｌｏｈｈｓａｂｔｅｆｒｎｃｎｂｔｅｕｉａｄｉｉｅｍｙ
散效果不仅仅由扩散阶段完成，进的置换阶段改
也参与像素值的改变，而提高了算法的加密速从度；ａ人［提出了一种基于超混沌的图像加Ｇｏ等９密算法。随后由王静等人ｌ。其进行了深入分析１对。和改进；ａｄｒＰｔａ等人提出了多个基于置乱一散ｉ扩结构的混沌图像加密算法及其改进＿．】］但安全卜性分析结果［，］明这些算法都存在安全隐患。１１表４５

S2-非线性离散系统

3.55
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.1 解的形态及稳定性问题1：如何观察和确定迭代解？ Poincare截面
3.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
N 100
N 500
1 0.9 0.8 0.7
循环：扫描参数区间
循环：数值迭代消除过渡过程并画图
2.1 解的形态及稳定性问题4：分岔图的程序实现
2.1 解的形态及稳定性
2.1 解的形态及稳定性【分岔】随着参数的变化，动力系统的解的性态发生质的变化。
发生分岔的前提：失稳
分岔：把定常解、周期解的稳定性和混沌联系在一起。运动稳定性：经典的课题混沌：现代的课题
临界慢化现象：在解的性态发生改变的临界点处，过渡过程变得很长，收敛速度变得非常慢。
2.1 解的形态及稳定性
一元一次离散映射系统数值迭代的问题：观察和确定迭代解临界点处的迭代：临界慢化现象初值点对迭代解性态的影响分岔图的绘制
2.1 解的形态及稳定性问题3：初值对解的性态的影响
8 7 6 5 4 3 x 10
29
60
80
100
120
y = 4.7332e-031
f ( x) 2 x
2 1 0
2.1 解的形态及稳定性
f ( x) x(1 x)
x=0.1; u=0.5; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 7.8544e-008

10种混沌映射matlab

10种混沌映射matlab如何在MATLAB中实现10种混沌映射引言：混沌理论是非线性动力学研究的一个重要分支，它研究的是一类具有确定性但展现出随机行为的系统。

混沌映射是混沌理论的基础，通过它可以生成一系列具有随机性质的数值序列。

本文将介绍10种经典的混沌映射，并提供在MATLAB中实现它们的详细步骤。

一、Logistic映射Logistic映射是最早被研究的混沌映射之一，它的迭代公式为：x(n+1) = r * x(n) * (1 - x(n))其中，x(n)表示第n次迭代的值，r是产生的随机参数。

在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Logistic映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 1000;初始值x = zeros(N, 1);随机参数r = 3.9;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.5;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = r * x(n-1) * (1 - x(n-1)); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(1:N, x);二、Henon映射Henon映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = 1 - a * x(n)^2 + y(n)y(n+1) = b * x(n)其中，x(n)和y(n)分别表示第n次迭代的x坐标和y坐标，a和b是产生的随机参数。

在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Henon映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);随机参数a = 1.4;b = 0.3;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = 1 - a * x(n-1)^2 + y(n-1);y(n) = b * x(n-1);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);三、Tinkerbell映射Tinkerbell映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n)^2 - y(n)^2 + a * x(n) + b * y(n)y(n+1) = 2 * x(n) * y(n) + c * x(n) + d * y(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Tinkerbell映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 100000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);随机参数a = 0.9;b = -0.6013;c = 2;d = 0.5;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = x(n-1)^2 - y(n-1)^2 + a * x(n-1) + b * y(n-1);y(n) = 2 * x(n-1) * y(n-1) + c * x(n-1) + d * y(n-1); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);四、Ikeda映射Ikeda映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = u + d * cos(theta(n) - w)y(n+1) = v + d * sin(theta(n) - w)theta(n+1) = b - a / (1 + x(n)^2 + y(n)^2)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Ikeda映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 5000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1); theta = zeros(N, 1); 随机参数u = 0.9;v = 0.6;a = 0.4;b = 6;d = 0.9;w = 0.4 * pi;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;theta(1) = 0;进行迭代计算for n = 2:Ntheta(n) = b - a / (1 + x(n-1)^2 + y(n-1)^2);x(n) = u + d * cos(theta(n) - w);y(n) = v + d * sin(theta(n) - w);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);五、Lorenz映射Lorenz映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n) + dt * a * (y(n) - x(n))y(n+1) = y(n) + dt * (x(n) * (b - z(n)) - y(n))z(n+1) = z(n) + dt * (x(n) * y(n) - c * z(n))在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Lorenz映射：1. 初始化参数：时间步长dt = 0.01;时间序列t = 0:dt:50;随机参数a = 10;b = 28;c = 8/3;初始值x = zeros(size(t));y = zeros(size(t));z = zeros(size(t));x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;z(1) = 0.1;2. 进行迭代计算：进行迭代计算for n = 1:numel(t)-1dx = a * (y(n) - x(n));dy = x(n) * (b - z(n)) - y(n);dz = x(n) * y(n) - c * z(n);x(n+1) = x(n) + dt * dx;y(n+1) = y(n) + dt * dy;z(n+1) = z(n) + dt * dz;end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);六、Chen映射Chen映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = a * x(n) - y(n) * z(n)y(n+1) = c * y(n) + x(n) * z(n)z(n+1) = -b * z(n) + x(n) * y(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Chen映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);随机参数a = 35;b = 3;c = 28;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;z(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = a * x(n-1) - y(n-1) * z(n-1);y(n) = c * y(n-1) + x(n-1) * z(n-1);z(n) = -b * z(n-1) + x(n-1) * y(n-1);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);七、Genesio-Tesi映射Genesio-Tesi映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = y(n)y(n+1) = z(n)z(n+1) = -a * x(n) - b * y(n) - c * z(n) - x(n)^3 + u(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Genesio-Tesi映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);随机参数a = 0.1;b = 0.1;c = 14;u = 1;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 1;y(1) = 1;z(1) = 1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = y(n-1);y(n) = z(n-1);z(n) = -a * x(n-1) - b * y(n-1) - c * z(n-1) - x(n-1)^3 + u; end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);八、Newton-Leipnik映射Newton-Leipnik映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n) + 0.1 * (y(n) - x(n)^5)y(n+1) = y(n) + 0.1 * (z(n) - y(n)^5)z(n+1) = z(n) + 0.1 * (-0.4 * z(n) - x(n) * y(n))在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Newton-Leipnik映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 100000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.2;z(1) = 0.3;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = x(n-1) + 0.1 * (y(n-1) - x(n-1)^5);y(n) = y(n-1) + 0.1 * (z(n-1) - y(n-1)^5);z(n) = z(n-1) + 0.1 * (-0.4 * z(n-1) - x(n-1) * y(n-1)); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);九、Zaslavskii映射Zaslavskii映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = a * x(n) + y(n) * z(n)y(n+1) = b * y(n) + z(n) * x(n)z(n+1) = c * z(n) + x(n) * y(n) + x(n) * z(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Zaslavsk。

一种基于Henon映射的图像加密算法

２０１３年１１月
ＮＯＶ．２０ｌ３
文章编号：１６７２－０５８Ｘ（２０１３）１１－００６２－０５
一
种基于Ｈｅｎｏｎ映射的图像加密算法
黄波，张林华，段婉玉
（重庆师范大学数学学院，重庆４０１３３１）
一
种方式，研究图像加密技术具有重要的理论和现实意义 … 。混沌最早由Ｌｏｒｅｎｚ在１９６３年研究模拟天气
预报时发现，Ｆｒｉｄｒｉｅｈ在１９９７年首次将它用于图像加密Ｊ。由于混沌系统对初始条件和系统参数的极端敏感性、白噪声的统计特性和不可预测性等优良特征，使得混沌具有天生的密码学特性。近年来，国内外学者
两个长度为（ＭｘＮ）／２的混沌序列（）、Ｙ（Ｊ），其中Ｐ＝１．４，ｇ＝０．３，０ ≤ （１） ≤１，０≤），（１） ≤１，ｉ：＝０，１， …，
摘要：混沌是一种非线性动力学规律控制的行为，提出了一种新的基于Ｈｅｎｏｎ混沌映射的数字图像加密算法；算法应用Ｈｅｎｏｎ混沌映射生成随机序列，再将该序列按照一定顺序重排，与进行排序变换后的初始图像做异或运算，得到加密图像；理论分析和仿真实验表明，方案具有良好的统计特性和加密效果，是一种有效的图像加密算法。

韦恩(Venn)图

韦恩（Venn）图韦恩图，也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。

韦恩图法是利用封闭的曲线来表示集合的一种方法，在高中课本中虽然没有给出过多的说明，但是对于初学集合的学生来说解决一些问题还是比较容易的。

一、在数学中的应用：1、并集∪定义：取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，表示：A∪B。

2、交集∩定义：（交就是取两个集合共同的元素）A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。

A和B的交集写作“A∩B”。

形式上：x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。

（1）取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，X为A和B的相交部分，则集合间有如下关系：A∩B＝X，A＋B＝A∪B－X；（2）取一个集合，设全集为I，A、B、C是I中的两个子集，D＝A∩C，E＝B∩C，F＝A∩B，x为A、B、C的公共部分，即x＝A∩B∩C，则集合间有如下关系：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B ∩C ；A∪B∪C＝A＋B＋C－只重合两次的-2×只重合三次的。

二、运用韦恩（Venn）图解题“三层次由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图。

1、识图是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示。

例1：如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）。

A、（M∩P）∩SB、（M∩P）∪SC、（M∩P）∩I SD、（M∩P）∪I S解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是M∩P），且在S的外部（转化为集合语言就是I S），故选（C）。

例2：用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（）。

A、（A∪B）－（A∩B）B、U（A∩B）C、（A∩U B）∪（UA∩B） D、U（A∪B）∩U（A∩B）解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外（转化成集合语言就是A∩UB），右边部分在B内且A外（转化成集合语言就是UA∩B），故选（C）。

基于耦合网络的Henon映射混沌性研究

ｅｎｏｎ映射的影响，不合动力学网络下出现的混沌现象的研究是一个日益突出的基础上，分析不同参数的取值对于Ｈ同耦合网络对于Ｈｅｎｏｎ映射的不同影响，并加以比较，进问题，也必将是一个重点问题。Ｈｅｎｏｎ映射，在能源预测，化
中图分类号：Ｔ３９１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６ — ４３１１（２０１３）０２ — ０００８ — ０３
０引言
工生产，以及处理湍流现象都有很好的应用［２－３］。为此，我们
动态网络是近两年人们关注的焦点，因为一个节点可将二维Ｈｅｎｏｎ映射应用在一些耦合网络中，验证耦合网络以代表一个个体，一个组织或者一个细胞等，一个边可以代在叠加中出现混沌现象的条件。将节点数目增加到Ｎ个，使其能更好地在比较大型的耦合网络中得到应用。并在此表我们定义的关系哪。随着混沌动力学的不断兴起，对于耦
一
基金项目：国家自然科学基金（项目编号１０９７１２４５和６１１５３００１）；中央高校自主科研基金（项目编号：ＤＣ１１０１０３和
ＤＣ１１０３１１ｏ
步阐释了耦合网络对于Ｈｅｎｏｎ映射的影响关系。１Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数及Ｈｅｎｏｎ映射１．１Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数是一种描述系统在
ｏｆｆｅｒ．
关键词：Ｈｅｎｏｎ映射；全局耦合网络；最近邻点耦合网络；星型网络

43奈氏图

当s 过平面原点时，s j ，它在GH平面上的映射为
G(s)H (s) G( j)H ( j) K
（4-118）
s j
即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环增益）。
（3）当s在s
的第三部分上的变化时，s
lim
R
Re
j，
G(s)H (s)
s lim Re j
R
bm s m an s n
(2)
(a)n m
图4-43 s 在GH平面上的映射
(b)n m
（2）当s在S平面正虚轴上变化时，s j
G(s)H (s) G( j )H ( j ) s j G( j )H ( j ) e jG( j )H ( j )
如图4-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。
N=P-Z=1-2=-1
说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。
由幅角定理，我们可以确定辅助函数点数 Z的差值P-Z。
F
(s)
被封闭曲线s
所包围的极点数P与零
前面已经指出，F(s) 的极点数等于开环传递函数G(s)H (s) 的极点数，因此当从 F(s) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来
周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0，F(s1) 2 ，即N=－1，F(s1)绕 F(s) 平面原点顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1，F(s1) 2 ，即N=1，F(s1) 绕 F(s) 平面原点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1， F(s1) 0，即N=0，F(s1) 不包围平面原点。将上述分析推广到一般情况则有