高一数学必修五三角函数练习题

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高中数学必修一第五章三角函数必须掌握的典型题(带答案)

高中数学必修一第五章三角函数必须掌握的典型题单选题1、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（）． A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B2、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203) 答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π，由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.3、cos 2π12−cos 25π12=（） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32. 故选：D.4、已知α ∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则sin α=（） A ．√53B ．23 C ．13D ．√59 答案：A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos2α−8cosα=5，得6cos 2α−8cosα−8=0，即3cos 2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos 2α=√53. 故选：A.小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56]答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1，由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )，可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )，由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]．6、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S =π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32，而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．7、已知函数f(x)=2sin (x +π4)+m 在区间(0,π)上有零点，则实数m 的取值范围为（）A ．(−√2,√2)B ．(−√2,2]C ．[−2,√2]D ．[−2,√2) 答案：D分析：令f(x)=0，则2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，根据x 的取值范围求出g (x )的值域，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，即可求出参数的取值范围；解：令f(x)=0，即2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，因为x ∈(0,π)，所以x +π4∈(π4,5π4)，所以sin (x +π4)∈(−√22,1]，即g (x )∈(−√2,2]，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，则−√2<−m ≤2，所以−2≤m <√2，即m ∈[−2,√2)；故选：D8、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12 答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值． f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)，所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)，由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12．故选：A. 多选题9、若函数f (x )=√2sinxcosx +√2cos 2x −√22，则下列说法正确的是（） A ．函数y =f (x )的图象可由函数y =sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到 B ．函数y =f (x )的图象关于直线x =−3π8对称 C ．函数y =f (x )的图象关于点(−3π8,0)对称D ．函数y =x +f (x )在(0,π8)上为增函数答案：BD分析：由三角函数的恒等变换化简f (x )=sin (2x +π4)，再由三角函数的平移变换可判断A ；求出f (−3π8)=−1可判断B 、C ；先判断y =f (x )在(0,π8)上为增函数，即可判断y =x +f (x )在(0,π8)的单调性.由题意，f (x )=√2sinxcosx +√2cos 2x −√22=√22sin2x +√22cos2x =sin (2x +π4)．函数y =sin2x 的图象向右平移π4个单位长度可得到f (x )=sin2(x −π4)=sin (2x −π2)=−cos2x ，故A 错误；f (−3π8)=sin [2×(−3π8)+π4]=−1，所以函数y =f (x )的图象关于直线x =−3π8对称，故B 正确，C 错误；函数y =x 在(0,π8)上为增函数，x ∈(0,π8)时，2x +π4∈(π4,π2)，故函数f (x )在(0,π8)上单调递增，所以函数y =x +f (x )在(0,π8)上为增函数，故D 正确．故选：BD ．10、已知函数f (x )=sinxcosx −cos 2x ，则（） A ．函数f (x )在区间(0,π8)上为增函数B ．直线x =3π8是函数f (x )图像的一条对称轴C ．函数f (x )的图像可由函数y =√22sin2x 的图像向右平移π8个单位得到 D ．对任意x ∈R ，恒有f (π4+x)+f (−x )=−1 答案：ABD解析：首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得f (x )=√22sin (2x −π4)−12，根据正弦函数的单调递增区间可判断A ；根据正弦函数的对称轴可判断B ；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C ；代入利用诱导公式可判断D. f (x )=12sin2x −1+cos2x2=√22sin (2x −π4)−12.当x ∈(0,π8)时，2x −π4∈(−π4,0)，函数f (x )为增函数，故A 中说法正确；令2x −π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =3π8+kπ2，k ∈Z ，显然直线x =3π8是函数f (x )图像的一条对称轴，故B 中说法正确；函数y =√22⋅sin2x 的图像向右平移π8个单位得到函数y =√22⋅sin [2(x −π8)]=√22sin (2x −π4)的图像，故C 中说法错误； f (π4+x)+f(−x)=√22sin (2x +π4)−12+√22sin (−2x −π4) −12=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +π4)−1=−1，故D 中说法正确. 故选：ABD.小提示：本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础题.11、若角α的终边在直线y =−2x 上，则sinα的可能取值为（） A ．√55B ．−√55C ．2√55D ．−2√55答案：CD分析：利用三角函数的定义，分情况讨论sinα的可能取值. 设角α的终边y =−2x 上一点(a,−2a )，当a >0时，则r =√5a ，此时sinα=y r=−2√55，当a <0时，则r =−√5a ，此时sinα=y r=2√55，故选：CD 填空题12、若cos 2θ=14，则sin 2θ+2cos 2θ的值为____. 答案：138##158分析：利用二倍角公式后，代入求解.∵cos2θ=14，∴sin2θ+2cos2θ=1−cos2θ2+1+cos2θ=32+12cos2θ=32+12×14=138．所以答案是：138.13、求值：sin10°−√3cos10°cos40°=____________．答案：−2分析：应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.sin10°−√3cos10°cos40°=2(12sin10°−√32cos10°)cos40°=2sin(10°−60°)cos40°=−2sin50°cos40°=−2．所以答案是：−214、函数f(x)=sinx−√3cosx的严格增区间为________．答案：[2kπ−π6,2kπ+5π6],k∈Z分析：利用辅助角公式将f(x)化为f(x)=2sin(x+π3)，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数f(x)的单调区间.依题意f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，所以f(x)单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+π6](k∈Z).所以答案是：[2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)解答题15、设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).（1）求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；（2）求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22.分析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y=sin(2x−π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解.（1）由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π2)]2=[√2sin(x+3π4)]2=2sin2(x+3π4)=1−cos(2x+3π2)=1−sin2x，所以该函数的最小正周期T=2π2=π;（2）由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√22sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,3π4]，所以当2x−π4=π2即x=3π8时，函数取最大值1+√22.。

(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(答案解析)

一、选择题1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上是增函数的是（） A ．32()f x x = B ．13()f x x -= C ．()sin 2f x x =D ．()22x x f x -=-2．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 3．sin 3π=（）A ．12B ．12-C ．2D ． 4．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=5．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（） A ．sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R7．已知函数()()2sin ,0,2f x x x x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π C ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设1cos 3x =-，则cos2x =（）A ．13B ．3C ．79D ．79-9．设129sin 292a =-，b =22tan161tan 16c =+，则有（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>10．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（）A ．B ．12C ．12-D 11．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（）A ．45-B ．45C ．35D ．3512．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______．15．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．16．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为3π，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .17．已知tan 2α=，则cos2=α__．18．已知α，β，且()()1tan 1tan 2αβ-+=，则αβ-=______． 19．若0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 20．已知sin θ＋cos θ＝15，则tan θ＋cos sin θθ的值是____________________. 三、解答题21．已知函数()()30,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值和最小值. 22．已知函数()cos f x x =.（1）已知α，β为锐角，()5f αβ+=，4tan 3α=，求cos2α及()tan βα-的值；（2）函数()()321g x f x =+，若关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，求实数a 的最大值.23．已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值；（3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()4f α=，求α的值. 24．已知sin ,2sin 212a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 112b x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x a b =⋅ （1）求函数()y f x =的单调减区间和对称轴；（2）若关于x 的不等式()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求m 的取值范围.25．已知函数()sin (sin )1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 26．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】A.根据32()f x x ==[0,)+∞判断；B. 由幂函数的性质判断；C.由函数sin y x =的性质判断；D.由指数函数2x y =的性质判断. 【详解】A. 32()f x x ==[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶，故错误；B. 由幂函数知()1133()()f x x xf x ---=-=-=-是奇函数，在()0,1是减函数，故错误；C. 因为()()sin 2sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在,14π⎛⎫⎪⎝⎭上减函数，故错误；D. 因为()()2222()xx x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，因为2,2x x y y -==-是增函数，()22x x f x -=-在区间()0,1上是增函数，故正确；故选：D2．D解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误. 故选：D3．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.4．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A5．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式．【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．6．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B7．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤，所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.8．D解析：D 【分析】利用二倍角的余弦公式可得解. 【详解】1cos 3x =-，2212723cos 22cos 11199x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴=----故选：D.9．B解析：B 【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si 3n 2912n a =︒-︒=︒=-， b =sin 33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin 161tan 161c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．10．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin α==，所以sin(2)sin παα-=-=．故选：D ．11．A解析：A 【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，进而求出()f α 【详解】由2ππω=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇函数，()2k k Z πθπ∴=+∈，，又0θπ<<，得2πθ=，()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，又由tan 2α=，可得()2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15f αααααααα-=-==-=-++ 故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，难度属于基础题12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)，所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，所以34sin ,cos 55αα====，所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-14．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 15．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π16．【分析】设利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长表示出矩形的面积为借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可【详解】解：如图：做的角平分线交于设则在中由正弦定理可知：则所以矩形农田的面解析：()1000023-【分析】设EOA θ∠=，利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长，表示出矩形的面积为()2sin 302sin S R R θθ=-⋅，借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可. 【详解】解：如图：做AOB ∠的角平分线交BE 于D ，设EOA θ∠=，则()22sin 30DE R θ=-，150OFE ∠=，在OFE △中，由正弦定理可知：sin sin150EF Rθ= ，则2sin EF R θ= 所以矩形农田的面积为：()22sin 302sin 4sin sin(30)S R R R θθθθ=-⋅=- 22132sin 2cos 232R R θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()222sin 2603R R θ=+-当()sin 2601θ+=时，即15θ=时，S 有最大值为()223R-又100R =，所以面积的最大值为()1000023-. 故答案为：()1000023-.【点睛】本题考查在扇形中求矩形面积的最值，属于中档题. 思路点睛：（1）在扇形中求矩形的面积，关键是设出合适的变量，一般情况下是以角度为变量；（2）合理的把长和宽放在三角形中，利用角度表示矩形的长和宽；（3）对三角函数合理变形，从而求出面积.17．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为：解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 18．【分析】将原式打开变形然后根据正切的差角公式求解【详解】即即即故答案为：【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用常见的变形形式有：（1）；（2）解析：()+4k k Z ππ-∈【分析】将原式打开变形，然后根据正切的差角公式求解. 【详解】()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ-+=-+-=，即tan tan 1tan tan βααβ-=+，tan tan 11tan tan βααβ-∴=+，即()tan 1βα-=，()π4k k Z βαπ∴-=+∈，即()+4k k Z παβπ-=-∈. 故答案为： ()+4k k Z ππ-∈.【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用，常见的变形形式有：（1）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+++⋅⋅；（2）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ-=---⋅⋅.19．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：解析：)+∞【分析】根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，则(sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥故答案为：)+∞.20．【分析】先通过已知求出再化简tanθ＋即得解【详解】由sinθ＋cosθ＝得tanθ＋故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sinθ＋cosθ＝两边平方得到解析：2512-【分析】先通过已知求出12sin cos 25θθ=-，再化简tan θ＋cos sin θθ即得解. 【详解】由sin θ＋cos θ＝15得1121+2sin cos ,sin cos 2525θθθθ=∴=-. tan θ＋cos sin θθsin cos 125cos sin sin cos 12θθθθθθ=+==-.故答案为：2512- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sin θ＋cos θ＝15两边平方得到12sin cos 25θθ=-. 三、解答题21．（1）2ω=，6πϕ=-；（2）max ()f x =min ()f x = 【分析】（1）由图象上相邻两个最高点的距离为π得()f x 的最小正周期T π=，故2ω=，由函数图象关于直线3x π=对称得232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，再结合范围得6πϕ=-；（2）由（1）得()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得52666x πππ-≤-≤，再结合正弦函数的性质即可得答案. 【详解】（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又22ππϕ-≤<，所以2236ππϕπ=-=-. 综上，2ω=，6πϕ=-.（2）由（1）知()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知52666x πππ-≤-≤.故当226x ππ-=，即3x π=时，max ()f x =当266x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-. 【点睛】本题解题的关键在于先根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题. 22．（1）7cos 225α=-，()2tan 11βα-=；（2）a 的最大值为3. 【分析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出()cos αβ+，sin()αβ+，进而求出()tan αβ+，最后，利用()()tan tan 2βααβα-=+-求解即可（2）由()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，得关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，化简得，即()()()213g x a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解即可【详解】解：（1）∵4tan 3α=，∴222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+2222411tan 73251tan 413αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵α，β为锐角，即α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,απ∈，()0,αβπ+∈.22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()cos f x x =，∴()()cos 5f αβαβ+=+=-， ∴()sin αβ+==，∴()()()sin tan 2cos αβαβαβ++==-+， ∴()()()()242tan tan 227tan tan 2241tan tan 211127αβαβααβααβα-++--=+-===+++⨯. 综上，7cos 225α=-，()2tan 11βα-=. （2）()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，即()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，则[]1,7t ∈，()()231t a t -≥+有解，即916a t t+≤+-有解， max97a t t ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设()9h t t t =+，则()h x 在[)1,3上单调递减，在(]3,7上单调递增，则()(){}max9max 1,710t h h t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴3a ≤，故实数a 的最大值为3. 【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解；（2）通过化简，把问题转化为()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解；主要考查学生的转化化归思想以及运算能力，属于中档题 23．（1）2π；（2）函数()f x 的最大值为2，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()fx 的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π．（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期（2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值；（3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案．【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)4x π=+，所以()f x )4x π=+，所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x )24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为2-，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()4f α=，所以())244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π. 24．（1）单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ；（2）()1,+∞.（1）根据平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭，依题意可得()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）()()22sin cos 2sin 11212a b x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 22cos sin 2cos 2166x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 再令262x k πππ-=+，解得23k x ππ=+，所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z （2）令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭因为()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 13x g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以1m ，于是m 的取值范围是()1,+∞ 【点睛】本题解答的关键是三角恒等变换及三角函数的性质的应用，利用恒等变换公式及辅助角公式()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中（tan baϕ=） 25．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==，令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈，解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.26．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()410f α=+. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++==【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.。

高中数学第五章三角函数检测试题(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

第五章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)的值为( B )A.45 B ．－45C ．±45D.35解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角，∴cos σ＝45.∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45.2．计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( D ) A.12B.33 C.22D.32解析：原式＝cos45°cos15°＋si n45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.故选D.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，原函数的单调递增区间就是y ＝2sin2x －π6的单调递减区间，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，对比各选项，令k ＝0，得选项C 正确．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( B )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：T ＝2πω＝π，所以ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，所以φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝76π＋k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故选B.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)等于( C )A ．0B ．503C ．2 017D ．2 012解析：由题意知，函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝4.S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝504[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋1＝504×4＋1＝2017.选C.6．已知sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6解析：∵sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan －θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1，故选A. 7．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( C ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π.∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2X 围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的图象，需明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．10．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3向右平移π3个单位长度可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋56π－ωπ3. 因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 图象重合，所以ωx ＋5π6－ωπ3＝ωx ＋2k π(k ∈Z )．又ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为52，故选B.11．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( C )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6＝34sin2x ＋12cos 2x －14 ＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)，所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( D )A ．π B.3π4C.3π2 D.7π4解析：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根．由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为2弧度．解析：设扇形圆心角的绝对值为α弧度，则4＝12α·22，所以α＝2.14．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值为－45.解析：由已知得32cos α＋32sin α＝435，所以12cos α＋32sin α＝45，即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.15．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝143.解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝8k －103(k ∈Z )．①又π3－π6≤2πω(ω>0)，∴0<ω≤12.② 由①②得k ＝1，ω＝143.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )的最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③④. 解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 18．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡－π8，⎦⎥⎤π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.19．(12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x ·cos π3－sin2x ·sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋12＝12－32sin2x ， ∴当2x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝1＋32.T ＝2π2＝π. 故f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32. 又C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝223.∴sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，某某数m 的取值X 围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值X 围是[3＋1,3)．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x .(1)若f (x )＝0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，求x 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，若y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，求函数h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域．解：f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x＝3sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(1)由f (x )＝0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，∴2x －π6＝－π6＋2k π或2x －π6＝－5π6＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，∴x ＝－π3或0或2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＋1＝2sin2x ＋π2＋1＝2cos2x ＋1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2cos x ＋1.又y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋1. ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故函数h (x )的值域为(0,3]．22．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1＝32sin2ωx ＋1＋cos2ωx2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52 .。

高中数学新教材必修第一册第五章三角函数 5.3 诱导公式(南开题库含详解)

第五章三角函数 5.3 诱导公式一、选择题（共40小题；共200分）1. 已知sin(π+α)=45，且α是第四象限角，则cos(α−2π)的值是( )A. −35B. 35C. ±35D. 452. 已知sin(5π2+α)=15，那么cosα=( )A. −25B. −15C. 15D. 253. 设函数f(x)=sin(2x−π2),x∈R，则f(x)是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数4. 知f(sinx)=sin3x，则f(cos10∘)的值为( )A. −12B. 12C. −√32D. √325. 如图，△ABC中，已知点D在BC上，AD⊥AC，sin∠BAC=2√23，AB=3√2，AD=3，则BD 的长为( )A. 2B. √3C. 4D. 16. 为得到函数y=cos(2x+π3)的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位C. 向左平移5π6个长度单位 D. 向右平移5π6个长度单位7. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位8. 已知sin(π−α)=−2sin(π2+α)，则tanα的值为( )A. 12B. 2 C. −12D. −29. 已知sin(α−π8)=45，则cos(α+3π8)=( )A. −45B. 45C. −35D. 3510. ＂θ=2π3＂是＂tanθ=2cos(π2+θ)＂的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[−3,−2]上递减，α，β是锐角三角形的两个内角且α≠β，则下列不等式正确的是( )A. f(sinα)>f(cosβ)B. f(sinα)<f(cosβ)C. f(sinα)>f(sinβ)D. f(cosα)>f(cosβ)12. 已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y=f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度13. 已知cos(π12−θ)=13，则sin(5π12+θ)的值是( )A. 13B. 2√23C. −13D. −2√2314. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点(35,45)，则tan(π+θ)的值为( )A. 43B. 34C. −43D. −3415. 已知α∈(0,π6)，sin(α+π3)=1213，则cos(π6−α)=( )A. 512B. 1213C. −513D. −121316. 若A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式成立的是( )A. cos(B+C)=cosAB. tan(B+C)=tanAC. sin B+C2=sin A2D. cos B+C2=sin A217. 已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30∘)的值为( )A. 0B. 1C. −1D. √3218. 在△ABC中，若sin(A+B−C)=sin(A−B+C)，则△ABC必是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形19. 已知cos(5π12+α)=13，且−π<α<−π2，则cos(π12−α)等于( )A. 2√33B. 13C. −13D. −2√2320. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度21. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令a=f(sin2π7)，b=f(cos5π7)，c=f(tan5π7)，则( )A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. a <b <c22. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 sinB +sinA (sinC −cosC )=0，a =2，c =√2，则 C = ( )A. π12B. π6C. π4D. π323. 设 A 是三角形的一个内角且 cos (π+A )=√32，那么 cos (π2+A) 的值是 ( )A. 12B. √32C. −12D. −√3224. 已知 sin (π3−θ)=12，则 cos (π6+θ)= ( )A. −√32B. −12C. 12D. √3225. 已知：sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=sin (−θ)，则 sinθcosθ+cos 2θ= ( )A. 15B. 25C. √55D. 3526. 已知 sin (x +π12)=13，则 cos (x +7π12) 的值为 ( )A. 13 B. −13C. −2√23D.2√2327. 设 a =sin5π7，b =cos2π7，c =tan 2π7，则 ( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c28. 有四个关于三角函数的命题： p 1：∃A ∈R ，使得 sin 2A2+cos 2A2=12；p 2：∃A ，B ∈R ，使得 sin (A −B )=sinA −sinB ； p 3：∀x ∈[0,π]，都有 √1−cos2x2=sinx 成立；p 4：sinx =cosy ⇒x +y =π2．其中假命题是 ( )A. P 1,P 4B. P 2,P 4C. P 1,P 3D. P 2,P 329. 若角 A ，B ，C 是 △ABC 的三个内角，则下列等式中，一定成立的是 ( )A. cos (A +B )=cosCB. sin (A +B )=−sinCC. cosA+C 2=sinBD. sinB+C 2=cos A230. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，则 f (2013) 的值为 ( )A. −1B. 1C. 3D. −331. 已知 f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (−π−α)tanα，则 f (−313π) 的值为 ( ) A. 12B. −13C. −12D. 1332. 已知 sin (π−θ)=−2sin (π2+θ), 则 sinθ⋅cosθ= ( )A. 25B. −25C. 25 或 −25D. −1533. 若 tan π12cos 5π12=sin 5π12−m ⋅sin π12，则实数 m 的值为 ( ) A. 2√3B. √3C. 2D. 334. 已知 sinα−cosα=13，则 cos (π2−2α)= ( ) A. −89B. 23C. 89D.√17935. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x −π)=f (x )+sinx ，当 0≤x ≤π，f (x )=1 时，则 f (−13π6)=( )A. 12B. −12C. 32D. −3236. 若 sin (π−α)=13，且 π2≤α≤π，则 cosα= ( )A.2√23B. −2√23 C. −4√29D.4√2937. 已知 tan (α+π4)=34，则 cos 2(π4−α)= ( )A. 725B. 925C. 1625D. 242538. 已知 θ 是第四象限角，且 sin (θ+π4)=35，则 tan (θ−π4)= ( )A. 34B. −34C. 43D. −4339. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x +π)=f (x )+sinx ．当 0≤x <π 时，f (x )=0，则 f (23π6)=( )A. 12B. √32C. 0D. −1240. 设 a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数 x 都有 sin (3x −π3)=sin (ax +b )，则满足条件的有序实数对 (a,b ) 的对数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共40小题；共200分） 41. 已知 sin (x −π3)=13，则 cos (x +π6)= .42. 化简：1+sin (α−360∘)cos (α−270∘)−2cos 2α= ． 43. cos17π6= ．44. 计算 cos7π6的值为．45. 若 sin (π4−α)=13，则 cos (π4+α)= ．46. 已知 sin (π−α)=log 814，且 α∈(−π2,0)，则 tan (2π−α) 的值为．47. cos (−585∘)tan495∘+sin (−690∘) 的值是． 48. tan (−556π) 的值是．49. sin1320∘ 的值是．50. 已知 sin40∘=a ，则 cos130∘= ． 51. 已知 tan (π6−α)=√33，则 tan (56π+α)= ．52. 已知 sinβ=13，sin (α+β)=1，则 sin (2α+β)= ． 53. 已知 sin (x +π6)=13，那么 sin (x −5π6)+sin 2(π3−x) 的值为． 54. 已知 α 是锐角，且 cos (α+π6)=13，则 cos (α−π3)= ．55. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，则 f (2017) 的值为．56. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x +π)=f (x )+sinx ，当 0≤x <π 时，f (x )=0，则f (23π6)= ．57. 已知 cos (π6−α)=23，则 sin (α−2π3)= ．58. 已知角 α 终边上一点 P (−4,3)，则 cos(π2+α)sin (−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)的值为．59. 已知 f (α)=sin (π+α)cos (2π−α)tan(−α+3π2)cos (−π−α)，则 f (−31π3) 的值为．60. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，求 f (2013) 的值． 61. 已知 sinα 是方程 5x 2−7x −6=0 的根，求sin(α+32π)sin(32π−α)tan 2(2π−α)tan (π−α)cos(π2−α)cos(π2+α)的值．62. 已知函数 f (x )=cos x2，给出下列等式：① f (2π−x )=f (x )；② f (2π+x )=f (x )；③f (−x )=−f (x )；④ f (−x )=f (x )．其中恒成立的有．（填序号） 63. √1−2cos (π+2)sin (π+2)= ．64. 化简：tan1∘⋅tan2∘⋅tan3∘⋅ ⋯ ⋅tan89∘= ． 65. 若 cos (π−α)=√53，且 α∈(π2,π)，则 sin (π+α)= ．66. 已知 α 为第二象限角，且 sinα=35，那么 tan(π＋α)= ． 67. 已知 cos (α−π6)=−13，那么 sin (2π3−α)= ．68. 已知 α 为锐角，且 2tan (π−α)−3cos (π2+β)+5=0，tan (π+α)+6sin (π+β)=1，那么sinα 的值是． 69. 计算：sin (−π3)+2sin4π3+3sin2π3= ．70. 已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y =x 对称，且 β=−π3，那么 sinα= ． 71. 若函数 f (x )=asin2x +btanx +1，且 f (−3)=5，则 f (π+3)= ． 72. 已知 f (α)=cos(π2+α)sin(3π2−α)cos (−π−α)tan (π−α)，则 f (−25π3) 的值为．73. 若sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，则 sin (θ−5π)sin (3π2−θ)= ．74. cos 21∘+cos 22∘+⋯+cos 289∘= ．75. 设 a,b ∈R ，c ∈[0,2π]，若对任意实数 x 都有 2sin (3x −π3)=asin (bx +c )，则满足条件的有序实数组 (a,b,c ) 的组数为．76. 已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足cosAsinA1=cosBsinB1=cosCsinC1=1则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90∘,B=60∘,C=30∘；②A=75∘,B=60∘,C=45∘；③A=75∘,B=75∘,C=30∘．（ii）若△ABC存在“友好”三角形，且A=70∘，则另外两个角的度数分别为．77. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，(2−cosA)tan B2=sinA，则△ABC的面积的最大值为．78. 有下列命题：①y=cosx在第一象限是减函数；②若cos(α+β)=1，则sin(2α+β)+sinβ=0；③若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，则y=f(x)是周期函数；④a⃗，b⃗⃗，c⃗是非零向量，若a⃗∥b⃗⃗，b⃗⃗∥c⃗，则a⃗∥c⃗；⑤若存在实数m，n，使得ma⃗=nb⃗⃗，则b⃗⃗与a⃗共线．其中正确命题的序号为．79. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC =−b2a+c，若b=√13，a+c=4，则a的值为．80. 由sin36∘=cos54∘，可求得cos2016∘的值为．三、解答题（共20小题；共260分）81. （1）求下列三角函数值：①cos225∘；②sin25π6；③sin(−17π3)；④tan(−32π3)．（2）将下列三角函数化为0∘到45∘之间角的三角函数：①sin85∘；②cos35π；③tanπ3；82. 已知tan(α+π4)=13．（1）求tanα的值；（2）求2sin2α−sin(π−α)sin(π2−α)+sin2(3π2+α)的值．83. 函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示．（1）求 φ 及图中 x 0 的值；（2）设 g (x )=f (x )+f (x +13)，求函数 g (x ) 在区间 [−12,13] 上的最大值和最小值．84. 已知函数 f (x )=sin (x −π6)+cosx ．（1）求函数 f (x ) 的最小正周期；（2）若 α 是第一象限角，且 f (α+π3)=45，求 tan (α−π4) 的值．85. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足2a−b cosB=c cosC．（1）求角 C 的值；（2）若 c =7，△ABC 的面积为 10√3，求 a +b 的值．86. 在 △ABC 中，∠A =60∘，c =37a ．（1）求 sinC 的值；（2）若 a =7，求 △ABC 的面积．87. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2cos (B −C )+1=4cosBcosC ．（1）求 A ；（2）若 a =2√7，△ABC 的面积为 2√3，求 b +c ．88. 已知函数 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx (ω>0) 的最小正周期为 π．（1）求 ω 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 g (x ) 在区间 [0,π16] 上的值域．89. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ．已知 asin2B =√3bsinA ．（1）求 B ；（2）若 cosA =13，求 sinC 的值．90. 已知向量 m ⃗⃗⃗=(sinx,−1)，n ⃗⃗=(√3cosx,−12)，函数 f (x )=m ⃗⃗⃗2+m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗−2．（1）求 f (x ) 的最大值，并求取最大值时 x 的取值集合；（2）已知 a 、 b 、 c 分别为 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边，且 a ，b ，c 成等比数列，角 B 为锐角，且 f (B )=1，求1tanA+1tanC的值．91. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 S 为 △ABC 的面积，满足 4S =√3(a 2+b 2−c 2)．（1）求角 C 的大小；（2）若 1+tanAtanB =2c b，且 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−8，求 c 的值．92. 设 x ∈R ，函数 f (x )=cos (ωx +φ)（ω>0，−π2<φ<0）的最小正周期为 π，且 f (π4)=√32．（1）求 ω 和 φ 的值；（2）在给定坐标系中作出函数 f (x ) 在 [0,π] 上的图象；（3）若 f (x )>√22，求 x 的取值范围．93. 已知 f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)tan(−α+32π)1tan (−α−π)⋅sin (−π−α)，若 cos (α−32π)=15，且 α 是第三象限的角，求 f (α) 的值．94. 已知 cos (75∘+α)=13⋅α 是第三象限角，求 cos (15∘−α)+sin (α−15∘) 的值．95. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =3，cosA =√63，B =A +π2．（1）求 b 的值；（2）求 △ABC 的面积．96. 角 α 的终边上的点 P 与 A (a,b ) 关于 x 轴对称（a ≠0，b ≠0），角 β 的终边上的点 Q 与 A 关于原点对称，求 sinαcosβ+tanαtanβ+cosαsinβ 的值．97. 已知 cos (75∘+α)=13，α 是第三象限角，求 cos (15∘−α)+sin (α−15∘) 的值．98. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2013年的春节是2月10日，因为2sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin2013∘sin210∘ ，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.99. 己知向量 m ⃗⃗⃗=(√3sin x4,1)，n ⃗⃗=(cos x4,cos 2x4)．记 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗．（1）若 cos (2π3−x)=−12，求 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ 的值；（2）在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且满足 (2a −c )cosB =bcosC ，求函数 f (A ) 的取值范围．100. （1）在 △ABC 中，已知边 BC =√3，AC =√2，已知角 B =45∘，求角 A ；若该题中的条件改为边 BC =√3，AC =√2，已知角 A =60∘，求角 B ；请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；（2）A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知 3acosA =ccosB +bcosC ，求 A 的值；（3）在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，求角 A ；（4）在锐角 △ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，ba +ab =6cosC ，求 tanCtanA +tanCtanB 的值．答案第一部分 1. B【解析】由 sin (π+α)=45，得 sinα=−45，而 cos (α−2π)=cosα，且 α 是第四象限角，所以 cosα=√1−sin 2α=35． 2. C【解析】因为 sin (5π2+α)=sin (2π+π2+α)=sin (π2+α)=cosα=15，所以 cosα=15． 3. B 【解析】f (x )=−cos2x ．4. C 【解析】cos10∘=sin80∘，所以 f (sin80∘)=sin240∘=sin (180∘+60∘)=−sin60∘=−√32． 5. B6. A【解析】y =cos (2x +π3)=sin (2x +5π6)=sin2(x +5π12), 只需将函数 y =sin2x 的图象向左平移 5π12 个单位，可得到函数 y =cos (2x +π3) 的图象．7. A 8. D 9. A 10. A【解析】cos (π2+θ)=−sinθ，于是可得 tanθ=−2sinθ，即 cosθ=−12或 sinθ=0．显然 θ=2π3时，cosθ=−12，充分性成立；而 cos4π3=−12，必要性不成立．11. A 【解析】因为 f (x +1)=−f (x )，所以 f (x +2)=−f (x +1)=f (x )，所以 f (x ) 是周期为 2 的周期函数．因为 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，所以 f (−x )=f (x )．因为 f (x ) 在 [−3,−2] 上是减函数，所以根据偶函数图象的对称性可知函数 f (x ) 在 [2,3] 上是增函数．根据函数的周期可知，函数 f (x ) 在 [0,1] 上是增函数．因为 α，β 是锐角三角形的两个内角，所以 α+β>90∘，α>90∘−β，所以 1>sinα>sin (90∘−β)=cosβ>0，所以 f (sinα)>f (cosβ)．12. A 【解析】函数 f (x )=sin (2x +π4)，则 g (x )=cos2x =sin (2x +π2)，为了得到函数 g (x ) 的图象，需要将 y =f (x ) 的图象向左平移 π8 个单位．13. A 【解析】sin (5π12+θ)=sin (π2−(π12−θ))=cos (π12−θ)=13． 14. A15. B 16. D 17. C 18. C19. D 【解析】cos (π12−α)=cos [π2−(5π12+α)]=sin (5π12+α)．又 −π<α<−π2，所以 −712π<5π12+α<−π12．所以 sin (512π+α)=−2√23．所以 cos (π12−α)=−2√23．20. B21. A 【解析】由题可得 sin 2π7=sin5π7，且 ∣cos 5π7∣<∣sin 5π7∣<∣tan 5π7∣．因为 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 [0,+∞) 上是增函数，所以 b <a <c ． 22. B 【解析】由题意 sin (A +C )+sinA (sinC −cosC )=0 得 sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC −sinAcosC =0，即 sinC (sinA +cosA )=√2sinCsin (A +π4)=0，所以 A =3π4．由正弦定理 asinA =csinC 得 2sin3π4=√2sinC ，即 sinC =12，得 C =π6．23. C 24. C 25. D【解析】因为 sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=cosθ−3cosθ=−2cosθ=sin (−θ)=−sinθ，所以 tanθ=2，则 sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=35．26. B 【解析】因为 sin (x +π12)=13，所以 cos (x +7π12)=cos [π2+(x +π12)]=−sin (x +π12)=−13． 27. D 【解析】a =sin5π7=sin2π7，且2π7>π4，c >1>a >√22>b ．28. A 【解析】p 1 为假命题；因为 sin 2A2+cos 2A2=1 恒成立，所以命题 p 1 为假命题； p 2 为真命题；因为当 A =0，B =0 时，sin (A −B )=sinA −sinB ，所以命题 p 2 为真命题； p 3 为真命题；因为 √1−cos2x2=√sin 2x =∣sinx∣，而 x ∈[0,π]，所以 sinx ≥0，所以 √1−2cos2x2=sinx ，所以命题 p 3 为真命题； p 4 为假命题；因为 sin5π2=cos0，而5π2+0≠π2，所以命题 p 4 为假命题．29. D 30. D【解析】因为 f (4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asinα+bcosβ=3，所以f (2013)=asin (2013π+α)+bcos (2013π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+bcosβ)=−3. 31. C 【解析】因为 f (α)=sinαcosα−cosαtanα=−cosα，所以 f (−313π)=−cos (−313π)=−cos (10π+π3)=−cos π3=−12．32. B 【解析】由已知等式得 sinθ=−2cosθ，所以 sin 2θ+cos 2θ=5cos 2θ=1，所以 cos 2θ=15，故 sinθcosθ=−2cos 2θ=−25． 33. A34. C 【解析】因为 sinα−cosα=13，所以两边平方，可得：1−2sinαcosα=19，可得：1−sin2α=19，所以 cos (π2−2α)=sin2α=89．35. C36. B 【解析】因为 sin (π−α)=sinα=13，且 π2≤α≤π，则 cosα=−√1−sin 2α=−2√23． 37. B 【解析】因为 tan (α+π4)=34，所以cos 2(π4−α)=sin 2(α+π4)=sin 2(α+π4)sin 2(α+π4)+cos 2(α+π4)=11+cos 2(α+π4)sin 2(α+π4)=11+1tan 2(α+π4)=11+169=925.38. D 【解析】因为 θ 是第四象限角，所以 −π2+2kπ<θ<2kπ，则 −π4+2kπ<θ+π4<π4+2kπ,k ∈Z ，又 sin (θ+π4)=35，所以 cos (θ+π4)=√1−sin 2(θ+π4)=45．所以 cos (π4−θ)=sin (θ+π4)=35，sin (π4−θ)=cos (θ+π4)=45．所以tan (θ−π4)=−tan (π4−θ)=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43.39. A 【解析】f (23π6)=f (17π6)+sin 17π6=f (11π6)+sin11π6+sin17π6=f (5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=0+12−12+12=12.40. B【解析】sin (3x −π3)=sin (3x −π3+2π)=sin (3x +5π3)，(a,b )=(3,5π3)，又 sin (3x −π3)=sin [π−(3x −π3)]=sin (−3x +4π3)，(a,b )=(−3,4π3)，注意到 b ∈[0,2π]，只有这两组．第二部分 41. −13 42. 略 43. −√32【解析】cos 17π6=cos (3π−π6)=−cos π6=−√32． 44. −√32【解析】cos 7π6=cos (π+π6)=−cos π6=−√32． 45. 13【解析】因为 sin (π4−α)=13，所以 cos (π4+α)=sin (π2−(π4+α))=sin (π4−α)=13． 46.2√55【解析】sin (π−α)=sinα=log 814=−23，因为α∈(−π2,0)，所以cosα=√1−sin2α=√53，所以tan(2π−α)=tan(−α)=−tanα=−sinαcosα=2√55．47. √248. −√3349. −√3250. −a51. −√3352. 1353. 59【解析】因为sin(x−5π6)=sin(x+π6−π)=−sin(x+π6)=−13,sin2(π3−x)=sin2[π2−(x+π6)]=cos2(x+π6)=1−sin2(x+π6)=89,所以原式=−13+89=59.54. 2√2355. −3【解析】因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,所以f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β)=−asinα−bcosβ=−3.56. 12【解析】由已知，得f (23π6)=f (17π6)+sin 17π6=f (11π6)+sin11π6+sin17π6=f (5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=0+12+(−12)+12=12.57. −23【解析】因为 (π6−α)+(α−2π3)=−π2，所以 α−2π3=−π2−(π6−α)．所以sin (α−2π3)=sin [−π2−(π6−α)]=−sin [π2+(π6−α)]=−cos (π6−α)=−23.58. −34【解析】因为 tanα=y x =−34，所以cos(π2+α)sin (−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)=−sinα⋅sinα−sinα⋅cosα=tanα=−34．59. 12【解析】原式=−sinαcosαcotα−cosα=cosα，则 f (α)=cosα，所以 f (−31π3)=cos (−31π3)=cos 31π3=cos π3=12．60. −3【解析】∵f (4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asinα+bcosβ=3.∴f (2013)=asin (2013π+α)+bcos (2013π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+bcosβ)=−3. 61. ±34 62. ④ 63. sin2−cos2 64. 1【解析】因为 tanα⋅tan (90∘−α)=1tanα⋅tanα=1，所以tan1∘⋅tan2∘⋅ ⋯ ⋅tan89∘=(tan1∘⋅tan89∘)⋅(tan2∘⋅tan88∘)⋅ ⋯ ⋅(tan44∘⋅tan46∘)⋅tan45∘= 1. 65. −23【解析】因为 cos (π−α)=−cosα=√53，所以 cosα=−√53．又 α∈(π2,π)，所以 sinα=√1−cos 2α=√1−(−√53)2=23，所以 sin (π+α)=−sinα=−23． 66. −34【解析】因为 α 为第二象限角，所以 cosα=−√1−(35)2=−45，所以tan (π+α)=tanα=sinαcosα=−34.67. −13【解析】由题知sin (2π3−α)=sin [π2+(π6−α)]=sin [π2−(α−π6)]=cos (α−π6)=−13.68.3√1010【解析】由题意可知 −2tanα+3sinβ+5=0，tanα−6sinβ=1，解得 tanα＝3，故 sinα=3√1010． 69. 0【解析】原式=−sin π3+2sin (π+π3)+3sin (π−π3)=−sin π3−2sin π3+3sin π3=0.70. 12【解析】因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y =x 对称，所以 α+β=2kπ+π2(k ∈Z )，又 β=−π3，所以 α=2kπ+5π6(k ∈Z )，所以 sinα=12．71. −3【解析】因为 f (−3)=−(asin6+btan3)+1=5，所以 asin6+btan3=−4，所以 f (π+3)=asin6+btan3+1=−3． 72. 12 73. 310【解析】由 sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，得 sinθ+cosθ=2(sinθ−cosθ)，两边平方得 1+2sinθcosθ=4(1−2sinθcosθ)，故 sinθcosθ=310，所以sin (θ−5π)sin (3π2−θ)=sinθcosθ=310.74. 892 75. 4【解析】（i ）若 a =2，若 b =3，则 c =5π3；若 b =−3，则 c =4π3．（ii ）若 a =−2，若 b =−3，则 c =π3；若 b =3，则 c =2π3．共 4 组． 76. ②，45∘,65∘ .【解析】由题意，三角形 ABC 为锐角三角形，A +A 1=90∘ 或 A +A 1=180∘，B +B 1=90∘ 或 B +B 1=180∘，C +C 1=90∘ 或 C +C 1=180∘ .所以经检验②存在“友好”三角形；当 A =70∘ 时，B +C =110∘ . B 1+C 1=160∘或20∘ .不防设另外两个角中的一个角 B 的度数为 x ，则另一个角的度数为 110∘−x .所以对应的 B 1 、 C 1 分别为：B 1=90∘−x ，C 1=90∘−(110∘−x ) （舍）；或 B 1=180∘−(90∘−x )，C 1=90∘−(110∘−x ) .所以 B =45∘,C =65∘ . 77. √3【解析】方法一：均值取等法，不难猜出当 a =c 时面积取最大值，此时 A =C ⇒B =π−A −C ⇒B =π−2A ．(2−cosA )tan B2=sinA ⇒(2−cosA )tan (π2−A)=sinA ⇒(2−cosA )cosAsinA =sinA ⇒2cosA =cos 2A +sin 2A =1．所以 cosA =12⇒A =60∘，所以 a =b =c =2⇒S =√3．方法二：(2−cosA )tan B2=sinA ⇒sinA2−cosA =tan B2=sinB2cosB2=2sinB2cosB22cos2B2=sinB1+cosB⇒sinA+sinAcosB=2sinB−sinBcosA⇒(sinAcosB+sinBcosA)+sinA=2sinB⇒sin(A+B)+sinA=2sinB⇒sinC+sinA=2sinB⇒a+c=2b=4⇒b=2,a+c=4.所以cosB=a 2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−222ac=12−2ac2ac=6−acac．又ac≤(a+c2)2=4（当且仅当a=c时取等号），所以S=12acsinB=12ac√1−cos2B=12ac√1−(6−acac)2=12√(ac)2−(6−ac)2=12√6(2ac−6)≤12√12=√3．78. ②③④【解析】①y=cosx在(0,π2)上是减函数，但在第一象限不是减函数，例如cosπ3=12，cos13π6=√32，显然π3<13π6时，12<√32，①不正确；②因为cos(α+β)=1，所以sin(α+β)=0，所以sin(2α+β)+sinβ=sin[(α+β)+α]+sinβ=sinα+sinβ，又α+β=2kπ，k∈Z，所以α=2kπ−β，k∈Z，所以sinα+sinβ=sin(2kπ−β)+sinβ=−sinβ+sinβ=0，所以②正确；③f(x+2)=f[(x+1)+1]=−f(x+1)=−(−f(x))=f(x)，所以2是f(x)的周期，③正确；④因为a⃗∥b⃗⃗，b⃗⃗∥c⃗，所以存在非零实数m，n有a⃗=mb⃗⃗，b⃗⃗=nc⃗，所以a⃗=(mn)c⃗，所以a⃗∥c⃗，④正确；⑤若m=n=0，则必有ma⃗=nb⃗⃗=0，而a⃗与b⃗⃗可以不共线，⑤不正确．79. 1或3【解析】cosBcosC =−b2a+c，即有−2acosB=bcosC+ccosB，即−2sinAcosB=sinBcosC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA，即有cosB=−12，由于B为三角形的内角，则B=2π3，又b2=a2+c2−2accosB，即有13=a2+c2+ac，又a+c=4，解得，a=1，c=3或a=3，c=1．80. −√5+14【解析】由sin36∘=cos54∘得2sin18∘cos18∘=cos(36∘+18∘)，化简整理得4sin218∘+2sin18∘−1=0，解得sin18∘=−2+√22+162×4=√5−14，所以cos2016∘=cos(6×360∘−144∘)=cos(144∘)=−cos36∘=2sin218∘−1=−√5+1.第三部分81. （1）①cos225∘=cos(180∘+45∘)=−cos45∘=−√22.②sin25π6=sin(π6+4π)=sinπ6=12.③sin(−17π3)=sin(π3−3×2π)=sinπ3=√32.④tan(−32π3)=tan(−11π+π3)=tanπ3=√3.（2）①sin85∘=sin(−5∘+90∘)=cos5∘.②cos35π=cos(π2+π10)=−sinπ10=−sin18∘.③tanπ3=tan(−π6+π2)=cotπ6=sin30∘.82. （1）因为tan(α+π4)=tanα+11−tanα=13，所以tanα=−12．（2）原式=2sin2α−sinαcosα+cos2α=2sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tan2α−tanα+1tan2α+1=2×(−12)2−(−12)+1(−12)2+1=85.83. （1）由题图得f(0)=√32，所以cosφ=√32，因为0<φ<π2，故φ=π6．由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x0<2，故7π6<πx0+π6<13π6．由f(x0)=√32得cos(πx0+π6)=√32，所以πx0+π6=11π6，x0=53．（2）因为f(x+13)=cos[π(x+13)+π6]=cos(πx+π2)=−sinπx，所以g(x)=f(x)+f(x+13)=cos(πx+π6)−sinπx=cosπxcosπ6−sinπxsinπ6−sinπx=√32cosπx−32sinπx=√3sin(π6−πx).当x∈[−12,13]时，−π6≤π6−πx≤2π3．所以−12≤sin(π6−πx)≤1，故π6−πx=π2，即x=−13时，g(x)取得最大值√3；当π6−πx=−π6，即x=13时，g(x)取得最小值−√32．84. （1）f(x)=sin(x−π6)+cosx=sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx=√32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x+π6).所以函数f(x)的最小正周期为2π．（2）因为f(α+π3)=45，所以sin(α+π3+π6)=45．所以sin(α+π2)=45．所以cosα=45．因为α是第一象限角，所以sinα=√1−cos2α=35．所以tanα=sinαcosα=34．所以tan (α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=34−11+34×1=−17.85. （1）由题意得 (2a −b )cosC −ccosB =0．即 (2sinA −sinB )cosC −sinCcosB =0，整理得 2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB =sin (B +C )=sinA ，因为 0<A <π，所以 sinA ≠0．所以 cosC =12．又因为 0<C <π，所以 C =π3．（2）由 S △ABC =12absinC =12absin π3=10√3 得 ab =40，由（1）知 cosC =12，所以由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b )2−3ab =(a +b )2−3×40，即 49=(a +b )2−3×40，(a +b )2=169．故 a +b =13．86. （1） ∠A =60∘，c =37a ，由正弦定理可得 sinC =37sin∠A =37×√32=3√314．（2） a =7，则 c =3，c <a ，所以 C <∠A ，C 为锐角，由（1）可得 cosC =1314，所以sinB =sin (∠A +C )=sin∠AcosC +cos∠AsinC=√32×1314+12×3√314=4√37,所以 S △ABC =12acsinB =12×7×3×4√37=6√3．87. （1） 2cosBcosC +2sinBsinC +1=4cosBcosC ，cosBcosC −sinBsinC =12，cos (B +C )=12，cosA =−12，所以 A =2π3．（2） S =12bcsinA 得 bc =8，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，28=(b +c )2−bc ，b +c =6． 88. （1）由 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx ，得 f (x )=sinωxcosωx +cos 2ωx =12sin2ωx +1+cos2ωx2=√22sin (2ωx +π4)+12，所以 T =2π2ω=π，得 ω=1．（2）由（1）知 f (x )=√22sin (2x +π4)+12，所以 g (x )=√22sin (2×2x +π4)+12=√22sin (4x +π4)+12，因为 0≤x ≤π16，所以 π4≤4x +π4≤π2，所以 √22≤sin (4x +π4)≤1，所以 g (x )∈[1,√2+12]． 89. （1）在 △ABC 中，由 a sinA=b sinB，可得 asinB =bsinA ，又由 asin2B =√3bsinA ，得 2asinBcosB =√3bsinA =√3asinB ．又 sinB ≠0，得 cosB =√32，从而 B =π6．（2）由 cosA =13，得 sinA =2√23，则 sinC=sin [π−(A +B )]=sin (A +B )=sin (A +π6)=√3sinA +1cosA =2√6+16.90. （1）f (x )=(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)⋅m ⃗⃗⃗−2=sin 2x +1+√3sinxcosx +12−2=1−cos2x2+√32sin2x −12=√32sin2x −12cos2x=sin (2x −π6)故 f (x )max =1，此时 2x −π6=2kπ+π2,k ∈Z ，得 x =kπ+π3,k ∈Z ，取最大值时 x 的取值集合为 {x∣ x =kπ+π3,k ∈Z}．（2） f (B )=sin (2B −π6)=1，因为 0<B <π2，所以 −π6<2B −π6<5π6，所以 2B −π6=π2，B =π3．由 b 2=ac 及正弦定理得 sin 2B =sinAsinC 于是1tanA +1tanC =cosAsinA+cosC sinC =sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin (A+C )sin 2B=1sinB =2√33．91. （1）因为根据余弦定理得 a 2+b 2−c 2=2abcosC ，△ABC 的面积 S =12absinC ，所以由 4S =√3(a 2+b 2−c 2) 得 4×12absinC =2√3abcosC ，化简得 sinC =√3cosC ，可得 tanC =sinCcosC =√3，因为 0<C <π，所以 C =π3．（2）因为 1+tanAtanB =2cb，所以 1+sinAcosB sinBcosA =cosAsinB+sinAcosBcosAsinB =2c b，可得 sin (A+B )cosAsinB =2cb，即 sinCcosAsinB =2cb ．所以由正弦定理得 sinC cosAsinB=2sinC sinB，解得 cosA =12，结合 0<A <π，得 A =π3．因为 △ABC 中，C =π3，所以 B =π−(A +C )=π3，因此，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣⋅∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣cosB =−12c 2，因为 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−8，所以 −12c 2=−8，解之得 c =4（舍负）． 92. （1） ∵ 函数 f (x ) 的最小正周期 T =2πω=π，∴ω=2，∴f (π4)=cos (2×π4+φ)=cos (π2+φ)=−sinφ=√32．又 −π2<φ<0， ∴φ=−π3．（2）由（1）知 f (x )=cos (2x −π3)，列表如下：xπ65π122π311π12π2x −π3−π30π2π3π25π3f (x )1210−1012f (x ) 在 [0,π] 上的图象如图所示：（3） ∵f (x )>√22，即 cos (2x −π3)>√22， ∴2kπ−π4<2x −π3<2kπ+π4(k ∈Z )，则 2kπ+π12<2x <2kπ+7π12(k ∈Z )，即 kπ+π24<x <kπ+7π24(k ∈Z )．∴x 的取值范围是 {x∣ kπ+π24<x <kπ+7π24,k ∈Z}． 93. 略94. sin (15∘−α)=cos (75∘+α)=13 .于是 sin (α−15∘)=−sin (15∘−α)=−13.因为 α 是第三象限角，所以 15∘−α∈(15∘,105∘)，结合 sin (15∘−α)=13 可知，15∘−α 在第一象限，于是 cos15∘=√1−(13)2=2√23 .所以 cos (15∘−α)+sin (α−15∘)=2√2−13. 95. （1）因为 cosA =√63，所以 sinA =√1−69=√33，因为 B =A +π2．所以 sinB =sin (A +π2)=cosA =√63，由正弦定理知 a sinA=b sinB ，所以 b =a sinA⋅sinB =√33√63=3√2．（2）因为 sinB =√63，B =A +π2>π2所以 cosB =−√1−69=−√33，sinC =sin (π−A −B )=sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13,所以 S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22． 96. 略． 97. 略． 98. 101【解析】sin2013∘=sin (33∘+11×180∘)=−sin33∘，sin210∘=−sin30∘=12 .2sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin2013∘sin210∘ 可化为 4sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin33∘ ，根据结论：4sinx ⋅sin (60∘−x )⋅sin (60∘+x )=sin3x ，令 x =11∘ ，则有 4sin11∘sin71∘sin49∘=sin33∘ ，因此 sin49∘=sin131∘=sin [( )∘+30∘] ，故依题意得：101 .99. （1）由 cos (2π3−x)=−12，得2π3−x =2kπ+2π3,k ∈Z ，即 x =−2kπ,k ∈Z ．f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=√3sin x 4cos x 4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x2+π6)+12.所以当 x =−2kπ,k ∈Z 时，f (x )=1 或 f (x )=0．（2）因为 (2a −c )cosB =bcosC ，由正弦定理，得 (2sinA −sinC )cosB =sinBcosC ，所以 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ，即 2sinAcosB =sin (B +C )．因为 A +B +C =π，所以 sin (B +C )=sinA ，且 sinA ≠0，从而 cosB =12，即 B =π3，所以 A +C =2π3．因为 △ABC 锐角三角形，所以 0<A <π2，且 0<C <π2，即 0<2π3−A <π2，解得 π6<A <π2，则 π4<A 2+π6<5π12，所以 √22<sin (A2+π6)<√6+√24．又因为 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=sin (x2+π6)+12，所以 f (A )=sin (A2+π6)+12．故函数 f (A ) 的取值范围是 (√2+22,√6+√2+24)． 100. （1） ①由正弦定理可得：√3sinA =√2sin45∘，可得 sinA =√32，因为 a >b ，所以 A =60∘ 或 120∘．② BC =√3，AC =√2，A =60∘，由正弦定理可得：√3sin60∘=√2sinB，解得 sinB =√22，因为 a >b ，所以B =45∘．综上可得：已知 a >b ，A 为锐角，则 B 为锐角，B 有一解．已知 a >b ，B 为锐角，b <asinB 时，无解；b =asinB 时，A =90∘；asinB <b <a 时，A 有两解．（2）由正弦定理可得：3sinAcosA =sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA ，因为 sinA ≠0，所以 cosA =13，所以 A =arccos 13．（3）因为 sinC =2√3sinB ，由正弦定理可得：c =2√3b ，又 a 2−b 2=√3bc ，所以 a 2=b 2+6b 2=7b 2，即 a =√7b ．所以 cosA =b 2+c 2−a 22bc=2222b×23b=√32，又 A ∈(0,π)，所以 A =π6．。

2022秋新教材高中数学第五章三角函数章末检测新人教A版必修第一册

第五章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B　【解析】由tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．2．函数y＝的周期是( )A．2πB．πC． D．【答案】C　【解析】函数y＝＝＝tan 2x的周期为.故选C．3．已知tanα＝2，则＝( )A．B．C．4D．5【答案】D4．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A．－B．C．D．－【答案】B　【解析】易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.5．在平面直角坐标系中，点P(sin 100°，cos 200°)位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D　【解析】因为sin 100°＞0，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＜0，所以点P(sin 100°，cos 200°)位于第四象限．故选D．6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )A．2或0B．0C．－2或0D．－2或2【答案】D　【解析】由f＝f(－x)得直线x＝＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2.故选D．7．函数y＝sin的单调递减区间为( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )A．1B．C．D．【答案】C　【解析】由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)．将点P的坐标代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝.故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列计算正确的选项有( )A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C．＝D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－【答案】CD　【解析】对于A，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B错误；对于C，＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD．10．已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值不可能是( )A．B．C．D．【答案】CD　【解析】f(x)＝sin x·sin－＝sin x－＝sin2x＋sin x cos x－＝·＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin.因为函数的值域为，所以不妨令2n－＝，则2m－的最小值为－，最大值为－，即当n＝时，m的最小值为－，最大值为－ .所以n－m的范围为.所以n－m的值不可能是C或D．故选CD．11．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为( )A．－B．C．0D．－【答案】AB　【解析】将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，由于所得函数为一个偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故当k＝0时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－.故选AB．12.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)的图象关于点对称C．函数f(x)在区间上单调递增D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和【答案】BCD　【解析】由图可知，A＝2，＝－＝，所以T＝＝π，则ω＝2.又2×＋φ＝π，所以φ＝，满足0＜|φ|＜π，则f(x)＝2sin.因为f＝－1，所以f(x)的图象不关于直线x ＝对称．因为f＝0，所以f(x)的图象关于点对称．由x∈，得2x＋∈，则f(x)在区间上单调递增．由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，所以2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.所以函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为＋π＋＝.故选BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________.【答案】　【解析】由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝＝＝.14．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.【答案】　【解析】由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，所以S扇形＝lr＝×20×＝(cm2)．15．(2020年冀州区校级高一期中)已知θ为第二象限角，若tan＝，则sin－sin(θ－3π)＝________.【答案】　【解析】由tan＝，得＝，解得tan θ＝－.又θ为第二象限角，所以联立解得sin θ＝，cos θ＝－.所以sin－sin(θ－3π)＝－cos θ＋sin θ＝.16．(2020年洛阳高一期中)已知函数f(x)＝sin x＋2cos x在x0处取得最小值，则f(x)的最小值为________．【答案】－　【解析】f(x)＝sin x＋2cos x＝＝sin(x＋α)，其中cos α＝，sin α＝，所以当x＝2kπ－α－，k∈Z时，函数f(x)取得最小值为－.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)＝sin－2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解：f(x)＝sin－2sin x cos x＝－sin 2x＝sin 2x－cos 2x－sin 2x＝sin.(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为x∈，所以2x－∈.所以f(x)的值域为.18．已知角α是第三象限角，tan α＝.(1)求sin α，cos α的值；(2)求的值．解：(1)tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，故或而角α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，故(2)＝＝＝＝＝.∵tan α＝，∴＝－3.19．已知函数f(x)＝sin2＋cos ＋sin.　(1)求f的值；(2)求函数f(x)在上的值域．解：f(x)＝sin2＋cos＋sin＝＋2sin＝－cos＋2cos＝4cos2－cos－.(1)f＝4cos2－cos－＝.(2)设t＝cos，x∈，所以t∈.则原函数化为g(t)＝4t2－t－，t∈，所以f(t)∈.20．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sin ωx cos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＋＝sin＋.因为ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意，知g(x)＝f(2x)＝sin＋.当0≤x≤时，≤4x＋≤，所以≤sin≤1，所以1≤g(x)≤.故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1.21．已知函数f(x)＝cos2x＋sincos－(x∈R)．(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(2)若f＝，求sin 2α的值．解：f(x)＝cos2x＋sincos－＝＋－＝＝＝＝sin.(1)因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，则f(x)max＝，f(x)min＝－.(2)由f＝，得sin＝，所以sin＝.所以sin 2α＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.22．已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f的值；(2)若关于x的方程f(x)－m＝1在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝－＝＝＝＝＝sin.由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，所以＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.(2)原方程可化为×sin＝m＋1，即2sin＝m＋1.设y＝2sin，0≤x≤，当x＝0时，y＝2sin＝；当x＝时，y的最大值为2.要使方程在x∈上有两个不同的解，需使≤m＋1<2，即－1≤m<1，所以m∈[－1,1)．。

高中数学新教材必修第一册第五章三角函数 5.1 任意角和弧度制(南开题库详解)

第五章三角函数 5.1 任意角和弧度制一、选择题（共60小题；共300分）1. 下列结论正确的是A. 终边相同的角一定相等B. 轴上的角均可表示为C. 第一象限的角都是锐角D. 钝角一定是第二象限的角2. 如果，，则是A. 第一或第三象限角B. 第一或第二象限角C. 第二或第四象限角D. 第三或第四象限角3. 已知角，的终边相同，那么的终边在A. 轴非负半轴上B. 轴非负半轴上C. 轴非正半轴上D. 轴非正半轴上4. 在半径不等的两个圆内，弧度的圆心角A. 所对弧长相等B. 所对的弦长相等C. 所对弧长等于各自半径D. 所对弦长等于各自半径5. 下列四个选项中，与角终边相同的角是A. B. C. D.6. 与的终边相同的角是A. B. C. D.7. 下列命题正确的是A. 第一象限角一定不是负角B. 小于的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限角D. 终边相同的角一定相等8. 若是第二象限角，则是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. 的弧度数是A. B. C. D.10. 已知一个扇形的圆心角的弧度数为，则该扇形的弧长与半径的比等于A. B. C. D.11. 半径为，中心角为的弧长为A. B. C. D.12. 下列各组角中，终边相同的是A. 与，B. 与，C. 与，D. 与，13. 一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为A. B. C. D.14. 与角终边相同的角是A. B. C. D.15. 圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为A. B. C. D.16. 集合中，各角的终边都在A. 轴正半轴上B. 轴正半轴上C. 轴或轴上D. 轴正半轴或轴正半轴上17. 已知扇形的半径为，周长为，则扇形的圆心角等于A. B. C. D.18. 设集合，，那么A. B. C. D.19. 把表示成的形式，使最小的的值是A. B. C. D.20. 设小于的角，锐角，第一象限的角，小于但不小于的角，那么有A. B.C. D.21. 已知为第二象限角，则所在的象限是A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限22. 下列命题正确的是A. 第一象限角一定不是负角B. 小于的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限角D. 终边相同的角一定相等23. 将表的分针拨快分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是A. B. C. D.24. 将化为弧度为A. B. C. D.25. 是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角26. 对于始边相同的角，下列命题正确的是A. 第一象限角必定为锐角B. 终边相同的角必定相等C. 相等的角，其终边位置必定相同D. 不相等的角，其终边位置必定不同27. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.28. 下列选项中叙述正确的是A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角B. 锐角是第一象限的角C. 第二象限的角比第一象限的角大D. 终边不同的角同一三角函数值不相等29. 与角的终边相同的角是A. B. C. D.30. 角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限31. ，则的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限32. 已知集合，，则等于A.B.C.D. 或33. 将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是A. B. C. D.34. 下列说法正确的是A. 第二象限的角比第一象限的角大B. 若，则C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关35. 时钟经过一小时，时针转过了A. B. C. D.36. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为A. B. C. D.37. 时钟经过一小时，时针转过了A. B. C. D.38. 已知第一象限角，锐角，小于的角，那么，，之间的关系是A. B. C. D.39. 周长为，圆心角为的扇形面积为A. B. C. D.40. 已知扇形的圆心角为，半径等于，则扇形的弧长为A. B. C. D.41. 在单位圆中，面积为的扇形所对的弧长为A. B. C. D.42. 集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是A. B.C. D.43. 已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是A. 或B.C.D.44. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是A. B. C. D.45. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.46. 已知弧度的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是A. B. C. D.47. 一圆内切于圆心角为，半径为的扇形，则该圆的面积与扇形面积之比为A. B. C. D.48. 中心角为的扇形，它的弧长为，则三角形的内切圆半径为A. B. C. D.49. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A. B. C. D.50. 设集合，，那么A. B. C. D.51. 下列结论中错误的是A. 若，则B. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C. 若角的终边过点，则D. 若扇形的周长为，半径为，则其中心角的大小为弧度52. 若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A. B.C. D.53. 若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A. B.C. D.54. 设，下列终边相同的角是A. 与B. 与C. 与D. 与55. 在一块顶角为，腰长为的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，则A. 方案一中扇形的周长更长B. 方案二中扇形的周长更长C. 方案一中扇形的面积更大D. 方案二中扇形的面积更大56. 已知第一象限角，锐角，小于的角，那么，，关系是A. B. C. D.57. 设集合，集合，则．A. B. C. D.58. 下列命题中正确的是A. 若，则是第一或第三象限角B. 若，则C. 若，则与的终边相同D. 若角的终边在坐标轴上，则，59. 已知，则是A. 第一象限或第二象限的角B. 第二象限或第四象限的角C. 第一象限或第三象限的角D. 第二象限或第三象限的角60. 若是第二象限角，那么和都不是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角二、填空题（共30小题；共150分）61. 若角，则角的终边在第象限．62. 与角终边相同的角的集合是，它们中最小的正角是，最大的负角是，它们是第象限角．63. 某蒸汽机上的飞轮直径为，每分钟按顺时针方向旋转转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为．64. 设，且角的终边与角的终边相同，则．65. 如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角的集合为．66. 已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为．67. 有下列四个结论：①角和的终边重合，则，；②角和的终边关于原点对称，则，；③角和的终边关于轴对称，则，；④角和的终边关于轴对称，则，．其中正确的有．（填序号）68. 若是第四象限，则是第象限角．69. 如果把化为（，）的形式，那么，．70. 已知角的终边经过点，且为第三象限角，则的取值范围是．71. 在集合中，属于区间的角的集合是．72. 终边与角的终边互相垂直的角的集合是．73. 若角的终边与角的终边关于直线对称，且，则．74. 已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，那么扇形的周长为．75. 巳知一扇形的圆心角，那么此扇形的面积与其内切圆的面积之比为．76. 如图，已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形中所含弓形的面积是．77. 已知扇形的周长为，那么当扇形的半径为时，扇形的面积最大．78. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则它的内切圆半径是．79. 若某扇形的面积是，它的周长是，则该扇形圆心角的弧度数为．80. 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．81. 若将时钟拨慢，则时针转了；若将时钟拨快，则分针转了．82. 下列说法：①终边相同的角一定相等；②第二象限角大于第一象限角；③的角是第一象限角；④小于的角是钝角，直角或锐角．⑤弧度是的圆心角所对的弧；⑥弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角；⑦弧度等于．其中正确的序号为（把正确的序号都写出来）．83. 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，则是第二或第三象限的角．其中不正确的命题是．84. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为．85. 如图，点，，是圆上的点，且，，则劣弧的长为．86. （）终边在直线上的角的集合是．（）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角的个数为．87. 用弧度制表示终边在直线上的角的集合是．88. 有下列四个结论：①角和角的终边重合，则，；②角和角的终边关于原点对称，则，；③角和角的终边关于轴对称，则，；④角和角的终边关于轴对称，则，．其中正确的有．（填序号）89. 圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合）沿圆周逆时针滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．90. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为．三、解答题（共10小题；共130分）91. 已知，若的终边与角的终边重合，求角．92. 试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．93. 已知，求，并指出的终边位置．94. 今天是周日，那天后是周几?过多少天是周二?在数轴上表达：如图，周二是那些天?如何统一表达?95. （1）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：①；②（2）试写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来．96. 已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为．（1）若，，求扇形的面积；（2）若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．97. 如图，动点，从点出发，沿着圆周做匀速运动．点按逆时针方向每秒转，点按顺时针方向每秒转，求点，第一次相遇时所用的时间及点，各自走过的弧长．98. 己知弦长为，它所对的圆心角，求所夹的扇形面积以及所对的弓形的周长．99. 设是第二象限角，试比较，，的大小．100. 如图，在扇形中，，弧长为，求此扇形内切圆的面积．答案第一部分1. D2. A3. A4. C5. C6. D7. C8. A9. A10. C11. D12. D13. A 【解析】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的面积．14. D15. C16. C17. B18. B19. C20. D21. C22. C23. C 【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A、B不正确，又因为拨快分钟，故转过的角的大小应为圆周的 .故所求角的弧度数为 .24. B25. B26. C27. A 【解析】设扇形的弧长为，扇形所在圆的半径为，由题意得解得．扇形28. B29. A30. C【解析】由，知角和角终边相同，在第三象限．31. C32. D33. C【解析】钟表的指针按顺时针方向转动，角为负角．．36. B 【解析】，所以扇形37. B 【解析】钟表的指针按顺时针方向转动，角为负角．38. A39. A40. A41. B42. C 【解析】当时，；当时，，应选C．43. A44. A 【解析】由于第一象限角不小于第二象限角，故①错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于，但与的终边不相同，故④错；当，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．45. A【解析】由题意得解得所以．46. C 【解析】由题设，圆弧的半径，所以圆心角所对的弧长．47. B48. B49. D 【解析】如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，作，垂足为，在中，，，所以，，所以，由弧长公式得．50. B51. C52. B53. B【解析】因为为顶角为，腰长为的等腰三角形，所以，，，所以方案一中扇形的周长，方案二中扇形的周长，方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积．56. B 【解析】因为第一象限角，小于的角，锐角，所以．集合57. D 【解析】集合，所以．58. D 【解析】当时，，但不是第一或第三象限角，所以A不正确；当，时，，所以B不正确；当，时，，但是与的终边不相同，所以C不正确；D 正确．59. C 【解析】提示：由已知，所以，即．故是第一象限或第三象限的角．60. B【解析】因为是第二象限角，所以，，所以，，所以是第一或第三象限角，而是第三象限角，所以是第四象限角．第二部分61. 二62. ；，；，；，三63. ，64.65.【解析】由题图知，终边落在射线上的角为，以为终边的角与角的终边相同，所以终边落在图中阴影部分的角的集合为．66.【解析】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得．67. ①②③④68. 三69. 略，略70.71.72. 略73.74.【解析】设扇形的半径为，则，所以，所以扇形的周长为．75.【解析】设扇形的半径为，内切圆的半径为，则，即．又扇，内切圆，所以扇内切圆．76.【解析】因为扇形（），（），所以弓形扇形（）．77.【解析】设扇形的圆心角为，半径为，扇形的弧长．因为，，所以扇形当时，扇形的面积最大．78.【解析】如图，设内切圆半径为，则扇形的半径为，扇形弧长，解得．79.【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意知解得所以扇形的圆心角的弧度数为．80.【解析】设圆半径为，则圆内接正方形的对角线长为，所以正方形边长为，所以圆心角的弧度数是．81. ，【解析】将时针拨慢，时针按逆时针方向转动，转过的是正角，转过的度数为．将时针拨快，分针按顺时针方向转动，转过的是负角，转过的度数为．82. ⑥【解析】（1）明确各种角的定义，逐一判断即可．对于①，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍，故①是错误的；对于②，角是第一象限角，角是第二象限角，，所以②错误；对于③，的角是指的角，其中角不是任何象限的角，为轴线角，故③错误；对于④，小于的角指满足的角，其中也包括负角和零角，故④错误．（2）弧度角的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角．由此可知，只有⑥正确．⑤⑦错误．83.【解析】由于第一象限角不小于第二象限角，故错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于，但与的终边不相同，故错；当，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错．综上可知只有正确．84.【解析】由，解得．85.【解析】．86. ，【解析】（）在内终边在直线上的角为，所以终边在直线上的角的集合为．（）因为，所以，依题意，，所以，所以＝，即在内与角的终边相同的角为，，共三个．87.【解析】，，，解得，又，故，，，角为，，．88. ①②③④89. ．【解析】每次转动一个边长时，圆心角转过，正方形有边，所以需要转动次，回到起点．在这次中，半径为的次，半径为的次，半径为的次，点走过的路径的长度= + = ．90.【解析】设，，由题意知劣弧长为，由于圆的半径为，所以．设，则，，所以的坐标为．第三部分91. 略92. 因为，所以终边在题图所示阴影区域内的角的集合为．93. 略94. 略．95. （1）①，其中适合不等式的元素为：，，；②，其中适合不等式的元素为：，，．（2）终边在直线上的角的集合其中适合不等式的元素为：，．96. （1）．（2）由题意知，即，，当时，的最大值为，当时，，．即扇形面积的最大值为，此时扇形圆心角的弧度数为．97. ，得秒，走过的弧长为，走过的弧长为．98. （）；（）．99. 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以是第一或第三象限角（如图阴影部分）．结合单位圆上的三角函数线可得，（i）当是第一象限角时，，，，从而得；（ii）当是第三象限角时，，，，从而得．综上，当是第一象限角，即，时，；当是第三象限角，即，时，．100. 设扇形的半径为，其内切圆的半径为，由已知得，．又因为，所以．所以内切圆的面积为．。

高中数学新教材必修第一册第五章三角函数 5.1 任意角和弧度制(南开题库含详解)

第五章三角函数 5.1 任意角和弧度制一、选择题（共40小题；共200分）1. 下列四个选项中，与角终边相同的角是A. B. C. D.2. 已知一个扇形的圆心角的弧度数为，则该扇形的弧长与半径的比等于A. B. C. D.3. 的弧度数是A. B. C. D.4. 与的终边相同的角是A. B. C. D.5. 把表示成的形式，使最小的的值是A. B. C. D.6. 与角的终边相同的角是A. B. C. D.7. 将化为弧度为A. B. C. D.8. 是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. 一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为A. B. C. D.10. 已知为第二象限角，则所在的象限是A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限11. 在单位圆中，面积为的扇形所对的弧长为A. B. C. D.12. 与角终边相同的角是A. B. C. D.13. 下列说法正确的是A. 第二象限的角比第一象限的角大B. 若，则C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角14. 将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是A. B. C. D.15. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.16. 已知集合，，则等于A.B.C.D. 或17. ，则的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18. 圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为A. B. C. D.19. 时钟经过一小时，时针转过了A. B. C. D.20. 集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是A. B.C. D.21. 下列命题中：①小于的角是锐角，②第二象限角是钝角，③终边相同的角相等，④若与有相同的终边，则必有，正确的个数是A. B. C. D.22. 时钟经过一小时，时针转过了A. B. C. D.23. 设小于的角，锐角，第一象限的角，小于但不小于的角，那么有A. B.C. D.A. 轴正半轴上B. 轴正半轴上C. 轴或轴上D. 轴正半轴或轴正半轴上25. 已知扇形的半径为，周长为，则扇形的圆心角等于A. B. C. D.26. 设集合，，那么A. B. C. D.27. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为A. B. C. D.28. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.29. 下列结论中错误的是A. 若，则B. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C. 若角的终边过点，则D. 若扇形的周长为，半径为，则其中心角的大小为弧度30. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是A. B. C. D.31. 设集合，集合，则．A. B. C. D.32. 若是第二象限角，那么和都不是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角33. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A. B. C. D.34. 设集合，，那么A. B. C. D.35. 已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是A. 或B.C.D.36. 若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A. B.C. D.37. 若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为A. B.C. D.38. 设，下列终边相同的角是A. 与B. 与C. 与D. 与39. 中心角为的扇形，它的弧长为，则三角形的内切圆半径为A. B. C. D.40. 一圆内切于圆心角为，半径为的扇形，则该圆的面积与扇形面积之比为A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 若是第三象限的角，则是第象限角．42. 若角，则角的终边在第象限．43. 如图，射线绕顶点顺时针旋转到，再逆时针旋转到达，则的度数为．44. 将化为弧度为．45. 若是第四象限，则是第象限角．46. 已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为．47. 已知角的终边经过点，且为第三象限角，则的取值范围是．48. 若扇形的中心角为，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为．49. 终边与角的终边互相垂直的角的集合是．50. 某蒸汽机上的飞轮直径为，每分钟按顺时针方向旋转转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为．51. 与角终边相同的角的集合是，它们中最小的正角是，最大的负角是，它们是第象限角．52. 的角化为角度制的结果为，的角化为弧度制的结果为．53. 已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为．54. 设，且角的终边与角的终边相同，则．55. 如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角的集合为．56. 已知，的终边所在的象限是．57. 有下列四个结论：①角和的终边重合，则，；②角和的终边关于原点对称，则，；③角和的终边关于轴对称，则，；④角和的终边关于轴对称，则，．其中正确的有．（填序号）58. 如果把化为（，）的形式，那么，．59. 在集合中，属于区间的角的集合是．60. 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．61. 把写成的形式为．62. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则它的内切圆半径是．63. 如图，点，，是圆上的点，且，，则劣弧的长为．64. 如图，已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形中所含弓形的面积是．65. 若将时钟拨慢，则时针转了；若将时钟拨快，则分针转了．66. 已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，那么扇形的周长为．68. 巳知一扇形的圆心角，那么此扇形的面积与其内切圆的面积之比为．69. 下列说法：①终边相同的角一定相等；②第二象限角大于第一象限角；③的角是第一象限角；④小于的角是钝角，直角或锐角．⑤弧度是的圆心角所对的弧；⑥弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角；⑦弧度等于．其中正确的序号为（把正确的序号都写出来）．70. 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，则是第二或第三象限的角．其中不正确的命题是．71. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为．72. （）终边在直线上的角的集合是．（）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角的个数为．73. 若角的终边与角的终边关于直线对称，且，则．74. 有下列四个结论：①角和角的终边重合，则，；②角和角的终边关于原点对称，则，；③角和角的终边关于轴对称，则，；④角和角的终边关于轴对称，则，．其中正确的有．（填序号）75. 扇形的周长为，若这个扇形的面积为，则圆心角的大小为 .76. 已知扇形的周长为，那么当扇形的半径为时，扇形的面积最大．77. 若某扇形的面积是，它的周长是，则该扇形圆心角的弧度数为．78. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为．79. 圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．80. 圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合）沿圆周逆时针滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．三、解答题（共20小题；共260分）81. 将集合中的角（角度制）在数轴上表达出来，并表示出第一象限角，锐角，负角的区间．82. 今天是周日，那天后是周几?过多少天是周二?在数轴上表达：如图，周二是那些天?如何统一表达?83. 已知角的终边与的终边相同，求在内与终边相同的角．84. 已知，若的终边与角的终边重合，求角．85. 用弧度制表达．写出终边在下列阴影部分内的角的集合（含边界）．（1）（2）86. 已知，求，并指出的终边位置．87. 集合，，试确定集合与之间的关系．88. （1）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：①；②（2）试写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来．89. 试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．90. 如图，三棱锥内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知，，，，（1）求圆锥的侧面积及侧面展开图的中心角；（2）求经过圆锥的侧面到点的最短距离．91. 如图，动点，从点出发，沿着圆周做匀速运动．点按逆时针方向每秒转，点按顺时针方向每秒转，求点，第一次相遇时所用的时间及点，各自走过的弧长．92. 请回答下列问题：（1）设，，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限．（2）设，，用角度制表示它们，并在～的范围内找出终边相同的所有角．93. 己知弦长为，它所对的圆心角，求所夹的扇形面积以及所对的弓形的周长．94. 已知是第二象限的角，求，是第几象限的角．95. 设是第二象限角，试比较，，的大小．96. 如图，在扇形中，，弧长为，求此扇形内切圆的面积．97. 如图所示，点在半径为且圆心在原点的圆上，．点从点出发，依逆时针方向匀速地沿圆周旋转，已知在内转过的角度为，经过到达第三象限，经过后又回到出发点，求，并判断其是第几象限角．98. 已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为．（1）若，，求扇形的面积；（2）若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．99. （1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的圆心角的弧度数．（2）已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?100. 如图，一个扇形的周长为，问它的圆心角取何值时，扇形的面积最大?并求出最大值．答案第一部分1. C2. C3. A4. D5. C6. A7. B8. B9. A 【解析】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的面积．10. C11. B12. D13. D14. C15. A【解析】设扇形的弧长为，扇形所在圆的半径为，由题意得解得．扇形16. D17. C18. C19. B 【解析】钟表的指针按顺时针方向转动，角为负角．20. C【解析】当时，；当时，，应选C．21. B22. B 【解析】钟表的指针按顺时针方向转动，角为负角．23. D24. C25. B26. B．27. B 【解析】，所以扇形28. A 【解析】由题意得解得所以．29. C30. A【解析】由于第一象限角不小于第二象限角，故①错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于，但与的终边不相同，故④错；当，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．集合31. D 【解析】集合，所以．32. B 【解析】因为是第二象限角，所以，，所以，，所以是第一或第三象限角，而是第三象限角，所以是第四象限角．33. D 【解析】如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，作，垂足为，在中，，，所以，，所以，由弧长公式得．34. B35. A36. B37. B38. A39. B40. B第二部分41. 四42. 二43.44.45. 三46.【解析】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得．47.48.49. 略50. ，51. ；，；，；，三52. ，53.【解析】设扇形的半径为，所以，，所以，扇形的弧长为，半径为，扇形的面积为．54.55.【解析】由题图知，终边落在射线上的角为，以为终边的角与角的终边相同，所以终边落在图中阴影部分的角的集合为．56. 一、二象限57. ①②③④58. 略，略59.60.【解析】设圆半径为，则圆内接正方形的对角线长为，所以正方形边长为，所以圆心角的弧度数是．61.62.【解析】如图，设内切圆半径为，则扇形的半径为，扇形弧长，解得．63.【解析】．64.【解析】因为扇形（），（），所以弓形扇形（）．65. ，【解析】将时针拨慢，时针按逆时针方向转动，转过的是正角，转过的度数为．将时针拨快，分针按顺时针方向转动，转过的是负角，转过的度数为．66.【解析】设扇形的半径为，则，所以，所以扇形的周长为．67.【解析】，，，解得，又，故，，，角为，，．68.【解析】设扇形的半径为，内切圆的半径为，则，即．又扇，内切圆，所以扇内切圆．69. ⑥【解析】（1）明确各种角的定义，逐一判断即可．对于①，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍，故①是错误的；对于②，角是第一象限角，角是第二象限角，，所以②错误；对于③，的角是指的角，其中角不是任何象限的角，为轴线角，故③错误；对于④，小于的角指满足的角，其中也包括负角和零角，故④错误．（2）弧度角的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角．由此可知，只有⑥正确．⑤⑦错误．70.【解析】由于第一象限角不小于第二象限角，故错；当三角形的内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于，但与的终边不相同，故错；当，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错．综上可知只有正确．71.【解析】由，解得．72. ，【解析】（）在内终边在直线上的角为，所以终边在直线上的角的集合为．（）因为，所以，依题意，，所以，所以＝，即在内与角的终边相同的角为，，共三个．73.74. ①②③④75. 或76.【解析】设扇形的圆心角为，半径为，扇形的弧长．因为，，所以扇形当时，扇形的面积最大．77.【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意知解得所以扇形的圆心角的弧度数为．78.【解析】设，，由题意知劣弧长为，由于圆的半径为，所以．设，则，，所以的坐标为．79.【解析】由题意知，圆的半径，正方形的边长．由图可知，以正方形的边为弦时所对的圆心角为．正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示．当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈共次．设第次滚动，点的路程为，则；；；，因此，点所走过的路径的长度为．80. ．【解析】每次转动一个边长时，圆心角转过，正方形有边，所以需要转动次，回到起点．在这次中，半径为的次，半径为的次，半径为的次，点走过的路径的长度= + = ．第三部分81. 略．82. 略．83. 略84. 略85. （1）略．（2）略．86. 略87. 因为集合表示终边在四个象限的角平分线上角的集合，集合表示终边在坐标轴上（为偶数时）和四个象限的角平分线上（为奇数时）的角的集合，所以．88. （1）①，其中适合不等式的元素为：，，；②，其中适合不等式的元素为：，，．（2）终边在直线上的角的集合其中适合不等式的元素为：，．89. 因为，所以终边在题图所示阴影区域内的角的集合为．90. （1）因为，，，所以为底面圆的直径侧．圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为，弧长为，则，所以，所以．（2）沿着圆锥的侧棱展开，在展开图中，，，．91. ，得秒，走过的弧长为，走过的弧长为．92. （1），所以在第二象限；，所以在第一象限．（2），与它终边相同的角可表示为，，由，得，所以，，即在～的范围内与终边相同的角是，．同理，在～范围内与终边相同的角是．93. （）；（）．94. ①因为为第二象限角，则，，所以，，所以是第三或第四象限角，以及终边落在轴的非正半轴上的角．②，．令，则，所以为第一象限角．令，则，所以为第二象限角．令，则，所以为第四象限角．所以是第一或第二或第四象限角．95. 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以是第一或第三象限角（如图阴影部分）．结合单位圆上的三角函数线可得，（i）当是第一象限角时，，，，从而得；（ii）当是第三象限角时，，，，从而得．综上，当是第一象限角，即，时，；当是第三象限角，即，时，．96. 设扇形的半径为，其内切圆的半径为，由已知得，．又因为，所以．所以内切圆的面积为．97. 由题意，有．所以．又，即，所以，且所以或．故或．易知，故当，是第一象限角；当，是第二象限角．98. （1）．（2）由题意知，即，，当时，的最大值为，当时，，．即扇形面积的最大值为，此时扇形圆心角的弧度数为．99. （1）设扇形的圆心角的弧度数为，弧长为，半径为．由题意得：解得：，当时，，此时（舍）当时，，此时，∴扇形圆心角的弧度数是．（2）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，．所以当时，扇形的面积最大，这个最大值是，此时．当它的半径和圆心角分别取和弧度时，才能使扇形的面积最大，最大面积是．100. 设扇形的半径为，则周长，所以．．因为，当且仅当，即时等号成立．此时，所以当时，取得最大值为．。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．5-B ．19-C ．5 D ．193．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（）． A ．34-B ．43- C ．53- D ．45-5．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（） A ．2425- B ．725 C ．2425D ．725-6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）.A ．3B ．12-C ．32D ．127．2cos 232cos()4θθθ=-，则sin 2θ=（）A ．13B ．23C ．23-D ．13-8．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=、22tan161tan 16c =+，则有（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（） A ．19B ．459C ．19-D ．459-10．已知()1sin 2=-f x x x ，则()f x 的图象是（）． A ． B ．C ．D ．11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．310-B ．310 C ．35D ．35二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.15．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 16．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．17．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______．18．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 19．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 20．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min7x x π-=，求ϕ的值.23．若函数223sin cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 24．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 25．已知函数()sin (sin 3cos )1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ．【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠=∴30PE DE PD CD ==== ∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．A解析：A 【分析】由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-．故选：A ．5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒2=. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin2cos()cos cos sin sin444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin2cos sinθθθθθθ+-==-，()2cos sin2θθθ∴-=，两边平方得()241sin23sin2θθ-=，解得sin22θ=-（舍去）或2sin23θ=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin2θθθ-=，再平方求解.8．B解析：B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,ab c，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si3n29122na =︒-︒=︒=-，b=sin33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin161tan161ccos16sin32os16c===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b<<．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．9．C解析：C【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．B解析：B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】()()1sin 2f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；当π2x =时，ππ1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ．故选：B. 【点睛】根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手：（1）判断函数的定义域；（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项；（3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为：解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为：解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意3sin 2θ=-，1cos 2θ=，所以，31sin sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-16．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.17．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 18．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值.【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 19．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：120．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=，此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==，由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=，此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭，由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝，所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈，所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）37π；（2）14π. 【分析】（1）题意说明周期6T π≥，4x π=是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6T π≥得ω的范围，从而得ω的值；（2）()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π，由此可得．【详解】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤.又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+，又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论． 23．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 24．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 25．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==，令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈，解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上，则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ；（2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒，则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题1．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定4．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=5．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．sin15cos15+=（） A ．12B ．22C ．3 D ．6 8．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（）． A ．1B ．2C ．2.5D ．49．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-10．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，则sin θ=（）A ．79B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为75°，则山高h =______米.14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________. 15．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________． 16．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________． 19．已知50sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，tan α=__________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知函数()sin 31f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值；（Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 23．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 24．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值（2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若323f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 26．已知π0π2αβ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=. （1）求cos α的值；（2）求sin β.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==，故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．4．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+，解得1,224x k k Z ππ=+∈，故选：D5．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断；对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法：（1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式．【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.8．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．9．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故选：C.10．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：解析：150【分析】PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立等量关系，解得h ．【详解】首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒2321622-=⨯-⨯=， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒2321622+=⨯+⨯=， 31tan 45tan 303tan 75tan(4530)231tan 45tan 3031+︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒-，山高h 为PQ 长度，根据图可得，()200sin155062CQ =︒=-，3tan 603h AQ h ==︒，tan 75PCBC =︒()506223h --=+()()23503652h =---， ∴()()()323503652200cos1550623h h --+-=︒=+，解得()15062h =+.故答案为：()15062+.14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值．【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=，则1cos sin 3ϕθ=±=±，故答案为：13±16．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为：解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=，即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去），所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】tan tan1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为：13-18．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析：【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称，故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ；函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 44444422ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos 10α==， sin tan 3cos ααα==．故答案为：3．【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得．【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin 2αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12；当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出；（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++，由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=，又[0,2]απ∈，得2=3απ或53π；（Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或122x ππ≤≤，即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 23．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.24．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．（2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω，解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤. 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为.25．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos22223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 3πα⎤⎛⎫=-+= ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 26．（1）3cos 5α=；（2）6365. 【分析】（1）根据二倍角的正切公式以及同角三角函数的关系，可求得结果；（2）由3cos 5α=求出4sin 5α，由5sin()13αβ+=求出12cos()13αβ+=-，再根据[]sin sin ()βαβα=+-以及两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）因为1tan22α=，所以22tan42tan 31tan 2ααα==-，所以22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3cos 5α=.（2）由已知得322ππαβ<+<，又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+==-，又24sin 1cos 5αα， sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+531246313515565⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，二倍角的公式，两角差的正弦公式，关键在于观察，用已知角表示待求的角，属于中档题.。

(必考题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1B ．2C ．4D ．62．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（） A ．)3,⎡+∞⎣ B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==，B 是,A C 的等差中项，则角C =（） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb+ 的值为（） A ．22B ．2C ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为3a ，则c bb c+的最大值是（） A ．8B ．6C ．32D ．49．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（） A ．25B ．35C ．45D ．65 11．在ABC 中，若2a =，23b =，30A =︒，则B 等于（） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒12．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<二、填空题13．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.14．如图，三个全等的三角形ABF ，BCD ，CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，则tan ACE ∠的值为__________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.17．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若62AC =DC 的长度；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -．（1）求角A 的大小；（2）若32b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ． 23．在ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边长分别为a b c 、、，且,,a b c 满足5cos 44cos 5sin sin cos a B b cB A BC -=+.（1）求cos A ；（2）若3a =，求b c +的最大值.24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 12+=A C a c ，且2b =.（1）证明：4+≥a c ；（2）若ABC 的周长为232+S .25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．2．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围．【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=，化为3sin cos sin cos B A A B =，在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠，则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >，故选：B ．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin 222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ．【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案．【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c +2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 226bc A a a =⨯，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭，所以c bb c +的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+，因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-，所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =，故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ．【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin AC BCB A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ．【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==sin A =，三角形有两解，故sin 12A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =，所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=，所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=，因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=，在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=，可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 28ABC S AC AB BAC =⋅∠=，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.14．【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型【分析】首先设AE x =，CBD ACE θ∠=∠=，CBD 中，CD AE x ==,3BD x =,6060BCE ACE θ∠=-∠=-,利用正弦定理表示tan ACE ∠的值.【详解】设AE x =，22EF AE x ==，因为三角形ABF ，BCD ，CAE 互为全等三角形，且ABC 是等边三角形，所以CBD ACE θ∠=∠=，CD AE x ==，3BD AF AE EF x ==+=，且6060BCE ACE θ∠=-∠=-,在CDB △中，根据正弦定理有sin sin CD BD CBD BCD=∠∠，所以()3sin sin 60x x θθ=-，所以()13sin sin 60sin 2θθθθ=-=-，即7sin 2θθ=，sin tan cos θθθ==.【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BC B A =∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2AB αα=，∴= 解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B=，根据正弦定理：sin sinb cB C=，∴=c，根据余弦定理：2222cosa b c bc A=+-，又222a b=，故可联立方程：222222cos2ca b c bc Aa b⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A=..【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB∠与BAC∠，求出ABC∠的度数，根据sin ACB∠，sin ABC∠，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．【详解】解：在ABC∆中，50AC m=，45ACB∠=︒，105CAB∠=︒，即30ABC∠=︒，则由正弦定理sin sinAB ACACB ABC=∠∠，得：50sin21sin2AC ACBABABC∠===∠．故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解AB BC⋅的值即可.【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为3-【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解．【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b a ab a +--=，整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=，由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=，即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==①，由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠；sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =，则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， ∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）7；（2 【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度；（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==， ∴5BD =或4BD =．当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去；当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意． ∴5BD =．在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==， ∴12BC =或3BC =-（舍）．∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，sin 2θ=sin θ=，cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin3C B B B B πθθθθ=--=+=+法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠=【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可.22．（1）π4A =；（2）a =3AD =．【分析】（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos A C A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos A A A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =．【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.23．（1）45-；（2 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简整理，即可求得答案.（2）由（1）可得4cos 5A =-，根据余弦定理，可得25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，根据基本不等式，即可求得b c +的最大值.【详解】（1）由题意得5cos cos 4cos 4cos 5sin sin a C B b C c B c A B -=+，正弦定理边化角得：5sin cos cos 4sin cos 4sin cos 5sin sin sin A C B B C C B C A B -=+，所以5sin (cos cos sin sin )4(sin cos sin cos )A C B C B C B B C -=+，所以5sin cos()4sin()A B C B C +=+，又A B C π++=，所以sin()sin()sin ,cos()cos()cos B C A A B C A A ππ+=-=+=-=-，所以5sin cos 4sin A A A -=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以4cos 5A =-. （2）由（1）可得4cos 5A =-，由余弦定理得2222()294cos 225b c a b c bc A bc bc +-+--===-，所以25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，由基本不等式可得22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以225()922b c b c +⎛⎫⎡⎤+-≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得b c +≤ 当且仅当b c =时等号成立，所以b c +【点睛】解题的关键是熟练掌握正余弦定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简的能力，属中档题.24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到2sin sin sin B A C =，再变成2b ac =，运用基本不等式可证明解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式2b ac =，再用基本不等式求解即可. （2）用余弦定理求出3cos 4B =，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由已知及正弦定理，得cos cos 1sin sin sin A C A C B += 因为cos cos cos sin cos sin sin()sin sin sin sin sin sin sin sin sin +++===A C A C C A A C B A C A C A c A c所以sin 1sin sin sin =B A c B，2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =，即4ac =.4a c +≥=. 解法二：由已知及余弦定理，得222221222+-+-+=b c a a b c abc abc ，得24==ac b ，所以4a c +≥=.（2）因为ABC 的周长为2+a c +=因为22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅又因为4ac =，所以3cos 4B =得sin B =.所以1sin 2sin 2===ABC S ac B B 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =，所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =，所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数1.1任意角训练含解析新人教A版必修第一册

任意角A级——基础过关练1．－215°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B 【解析】由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．(2021年白银高一期中)下列选项中叙述正确的是( )A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．锐角一定是第一象限的角C．小于90°的角一定是锐角D．终边相同的角一定相等【答案】B 【解析】A中，当三角形的内角为90°时，不是象限角，A错误．B中，锐角的范围是(0°，90°)，是第一象限角，B正确．C中，0°＜90°，但0°不是锐角，C 错误．D中，终边相同的角不一定相等，比如45°和360°＋45°的终边相同，但两个角不相等，D错误．故选B．3．(2021年杭州模拟)下列说法：①第二象限的角必大于第一象限的角；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限．则( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】D 【解析】①第二象限的角不一定大于第一象限的角，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，故①错误；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故②错误．故选D．4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C 【解析】可以给α赋一特殊值，如－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．(多选)下列四个选项中正确的有( )A．－75°角是第四象限角B．225°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－315°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD．6．已知α为第三象限角，则α2是__________________，2α是____________________________．【答案】第二或第四象限角第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴的角．7．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】因为5α＝α＋k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z.又因为180°<α<360°，所以α＝270°.8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．【答案】－75°或285°【解析】如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或k＝1，得α＝－75°或α＝285°.9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．B级——能力提升练10．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A 【解析】因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．11．与－468°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}【答案】B 【解析】因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z.故选B．12．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．【答案】{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z} 【解析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．13．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．【答案】一或三【解析】由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．C 级——探究创新练14．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、N 之间的关系为( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅【答案】B 【解析】对集合M ：x ＝(2k ±1)·45°，k ∈Z ，即为45°的奇数倍；对于集合P ：x ＝(k ±2)·45°，k ∈Z ，即为45°的整数倍．所以M N .故选B ．15．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角α的集合，并指出2α，α2分别是第几象限的角．解：由题意可知k ·360°＋135°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z ，所以k ·720°＋270°＜2α＜k ·720°＋300°，k ∈Z ，是第四象限角，k ·180°＋67.5°＜α2＜k ·180°＋75°，k ∈Z ，是第一或第三象限的角．。

(新教材)人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题含答案

绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题试卷副标题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.若α＝－3 rad，则它是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ()A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π2＋2kπD．α＋β＝(2k＋1)π3.化简√1－2sin4cos4的结果是()A． sin 4＋cos 4B． sin 4－cos 4C． cos 4－sin 4D．－sin 4－cos 44.当x∈[－2π，－32π]时，化简√1＋sinx＋√1－sinx的结果为()A．－2sin x2B．－2cos x2C．－2sin x2－2cos x2D． 2cos x25.已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A．43B．34C．－43D．－346.设tan(π＋α)＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)等于() A． 3B．13C． 1D．－17.设α是第二象限角，且cosα2＝－√1−cos2(π−α2)，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8.下列函数中，同时满足：①在(0,π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tan xB．y＝cos xC．y＝tan x2D．y＝|sin x|9.函数f(x)＝sin(x+π3)＋sin(x−π3)的最大值是()A． 2B． 1C．12D．√310.函数f(x)＝sin x－√3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[−π,−5π6]B．[−5π6,−π6]C．[−π3,0]D．[−π6,0]11.为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的()A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变12.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.角α∈(－π，－π2)，化简√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝________.14.若k ∈{4,5,6,7}，且sin(kπ2－α)＝－sin α，cos(kπ2－α)＝cos α，则k 的值为________.15.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________. 16.关于f (x )＝4sin (2x +π3)(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos (2x −π6)；③y ＝f (x )图象关于(−π6,0)对称；④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.三、解答题(共6小题, 共70分)17.(1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角. 18.证明：cosx1－sinx ＝1＋sinx cosx .19.已知cos (π6−α)＝√33，求cos (56π+α)－sin 2(α−π6)的值.20.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合.(1)sin x ＞－12且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.21.证明：cos 20°cos(－70°)＋sin 200°sin 110°＋1+tan15°1+tan165°＝√3.22.如下图，f (x )＝A sin (2ωx +φ)(ω＞0，A ＞0，－π2＜φ＜0). (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－π，－π2]上的值域.答案1.【答案】C【解析】根据角度制与弧度制的转化，1 rad ＝(180π)°，则α＝－3 rad ＝－(540π)°≈－171.9°，分析可得，α是第三象限角.2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验. 3.【答案】C【解析】√1－2sin4cos4＝√sin 24−2sin4cos4＋cos 24＝|sin 4－cos 4|. ∵5π4＜4＜3π2，∴由三角函数线易知cos 4＞sin 4. ∴√1－2sin4cos4＝cos 4－sin 4. 4.【答案】B【解析】∵x ∈[－2π，－32π]， ∴x2∈[－π，－34π]，∴sin x2＜0，cos x2＜0，sin x2－cos x2＞0， sin x2＋cos x 2＜0，则原式＝√sin 2x2+cos 2x2+2sin x2cos x2+√sin 2x2+cos 2x2−2sin x2cos x2＝√(sin x2+cos x2)2＋√(sin x2−cos x2)2＝|sin x2＋cos x2|＋|sin x2－cos x2|＝－sin x2－cos x2＋sin x2－cos x2＝－2cos x2. 5.【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sin α＝35， ∴cos α＝－√1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sinαcosα＝－34，则tan(π＋α)＝tan α＝－34. 6.【答案】A【解析】由tan (π＋α)＝2，得tan α＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)＝－sinα－cosα－sinα－(－cosα)＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3.7.【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴α2为第一或第三象限角. 又∵cos α2＝－√1−cos 2(π−α2)＜0，∴α2是第三象限角.8.【答案】A【解析】经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 9.【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos π3＝sin x ，所以最大值为1. 10.【答案】D【解析】f (x )＝2sin (x −π3)，f (x )的单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+5π6](k ∈Z )，因为x ∈[－π，0]，所以令k ＝0得单调递增区间为[−π6,0]. 11.【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 12.【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合；当0＜|a |＜1时， T ＞2π，且最小值为正数，A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D. 13.【答案】－2tan α【解析】∵角α∈(－π，－π2)，则√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|＝－1＋sinαcosα－(－1－sinαcosα)＝－2sinαcosα＝－2tan α.14.【答案】4【解析】由k ∈{4,5,6,7}，sin(kπ2－α)＝－sin α，可得k ＝4，由cos(kπ2－α)＝cos α，可得k ＝4.15.【答案】(2kπ−π,2kπ−π2)，(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )【解析】由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时单调递增的区间为(2kπ−π,2kπ−π2)，(2kπ−π2,2kπ)k ∈Z ).16.【答案】②③【解析】对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z ). ∴x ＝k2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin (2x +π3)利用公式得 f (x )＝4cos [π2−(2x +π3)]＝4cos (2x −π6)，∴②对；对于③，f (x )＝4sin (2x +π3)的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k2π－π6，k ∈Z ，∴(−π6,0)是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋kπ2，k ∈Z ，∴④错. 17.【答案】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角.(2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°. 18.【答案】cosx1－sinx ＝cosx(1+sinx)(1−sinx)(1+sinx)＝cosx(1+sinx)cos 2x ＝1＋sinx cosx.19.【答案】cos (56π+α)－sin 2(α−π6)＝cos [π−cos(π6−α)]－sin 2(π6−α)＝－cos (π6−α)－[1−cos 2(π6−α)]＝cos 2(π6−α)－cos (π6−α)－1＝(√33)2－√33－1＝－2+√33.20.【答案】(1)作出单位圆，如图①则同时满足sin x ＞－12且cos x ＞12的区域部分为阴影部分，此时在[0,2π]内满足条件的角x ∈[0，π3]，则满足sin x ＞－12且cos x ＞12的角x 的集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3}＝[2k π，2k π＋π3]，k ∈Z .(2)如图②所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于P 和P ′，则射线OP 、OP ′就是满足tan α＝－1的角α的终边， ∵在[0,2π)内，满足条件的∠POx ＝π－π4＝3π4，∠P ′Ox ＝－π4， ∴满足条件tan α＝－1的角α的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }，则满足tan x ≥－1的角α的集合是{x |－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z }.21.【答案】左边＝cos 20°cos 70°＋(－sin 20°)sin 70°＋tan45°+tan15°1−tan45°tan15° ＝cos(20°＋70°)＋tan(45°＋15°)＝0＋√3＝√3＝右边． 22.【答案】(1)由题知A ＝2，T ＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (x )的图象过(0，－1)， ∴2sin φ＝－1，又∵－π2＜φ＜0， ∴φ＝－π6. ∴f (x )＝2sin(2x －π6).(2)∵x ∈[－π，－π2]，∴2x －π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x －5π6)∈[－1,2]，∴函数f (x )在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].。

2023最新人教版高中数学必修一第五章《三角函数》单元测试(附答案解析)

试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】 cos
150
cos150 cos(1800 300 ) cos 300
3， 2
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值. 2．A
答案第 2 页，共 12 页
【详解】 f (x) sin x cos
2
sin( x
π 4
)
，因为
x
a
,
b
，所以
x
π 4
a
π 4
,
b
π 4
，因
为 1
2
sin( x
π 4
)
2 ，所以
2 2
sin( x
π 4
)
1.
正弦函数
y
sin
x
在一个周期
π 2
,
3π 2
内，要满足上式，则
x
π 4
π 4
f
x
sin x
的图象过点
1 3
,1
，若
f
x 在2, a 内有
5
个
零点，则 a 的取值范围为______.
四、解答题
17．在① sin
6 3
，②
tan 2
2 tan 4 0 这两个条件中任选一个，补充到下面的
问题中，并解答.
已知角 a 是第一象限角，且___________.
(1)求 tan 的值；
S1 S2
2
1 2
可求得

人教高中数学必修一第五章三角函数经典大题例题

(名师选题)人教高中数学必修一第五章三角函数经典大题例题单选题1、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20，所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2，如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点，因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5，所以r =5sin11+sin1，故选：C.2、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（） A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 答案：D分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解.解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6，令k =0,∴x =π6，所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0). 故选：D3、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m ，肩宽约为π8m ，“弓”所在圆的半径约为54m ，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）（）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m 答案：B分析：由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB⌢ 的长l =π4+π4+π8=5π8，其所对圆心角α=5π854=π2，则两手之间的距离|AB |=2|AD |=2×54×sin π4≈1.768(m )．故选：B ．4、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A．2B．3C．5D．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <2π2π15=15，所以k =0,t =5s . 故选：C5、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（）A ．−169B ．169C ．−43D ．43 答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.6、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（）．A ．1B ．32C ．2D ．3 答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3 ，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B7、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可. 由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−xcosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A. 又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C8、sin1860°等于（） A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32, 故选: C9、已知α ∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则sin α=（） A ．√53B ．23 C ．13D ．√59 答案：A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos2α−8cosα=5，得6cos2α−8cosα−8=0，即3cos2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos2α=√53.故选：A.小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10、将函数f(x)=2cosx的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若对g(x)满足|g(x1)−g(x2)|=4，有|x1−x2|min=π4恒成立，且g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．[π12，π3]B．[π3，π2]C．(π3，2π3]D．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D. 填空题11、函数f (x )=2tan (kx +π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为_______．答案：2或3分析：由正切型函数的最小正周期可构造不等式，结合k 为自然数可求得结果. ∵f (x )的最小正周期T =π|k |，∴1<π|k |<2，又k 为自然数，∴k <π<2k ，解得：π2<k <π，∴k =2或3.所以答案是：2或3.12、已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c .若cosA (sinC −cosC )=cosB, a =2,c =√2，则角C 大小为_____. 答案：π6解析：根据三角形内角和以及诱导公式将B 转化为A,C ，利用两角和公式，可求出A ，再用正弦定理，即可求解.因为cosA (sinC −cosC )=cosB, 所以cosA (sinC −cosC )=−cos (A +C ),所以cosAsinC =sinAsinC,所以sinC (cosA −sinA )=0, 因为C ∈(0,π),∴sinC ≠0，所以cosA =sinA ，则tanA =1，所以A =π4，又a sinA =√2sinC ，则sinC =12，因为c <a ，所以0<C <π4，故C =π6. 故答案为:π6.小提示：本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题. 13、已知sin α−3cos α=0，则sin 2α+sin2α=__________. 答案：32##1.5分析：首先根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；解：因为sinα−3cosα=0，所以tanα=sinαcosα=3，所以sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=32+2×332+1=32所以答案是：3214、若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)＝________.答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin(2θ−π4)=sin[2(θ+π8)−π2]=−cos[2(θ+π8)]=2sin2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79．所以答案是：−7915、若cosα=−35,α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).∵cosα=−35,α为第二象限的角，∴sinα=√1−cos2α=45，∴sin(π−α)=sinα=45.所以答案是：45.小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.解答题16、函数f(x)=A sin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π2.（Ⅰ）求函数y=f(x)解析式；（Ⅱ）求x∈[0,π2]时，函数y=f(x)的值域.答案：（Ⅰ）f(x)=2sin(2x+π6)+2；（Ⅱ）[1,4].解析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由f(π6)=4求出φ的值，可得函数的解析式；（Ⅱ）由已知可求范围2x+π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的图象和性质可得sin(2x+π6)∈[−12,1]，即可求解.（Ⅰ）根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<π2，可得A=4−2=2，B=2，T4=14⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2.又f(π6)=4，得2sin(2×π6+φ)+2=4，∴π3+φ=2kπ+π2，即φ=2kπ+π6，∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)+2；（Ⅱ）∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，∴y=2sin(2x+π6)+2∈[1,4].小提示：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.17、已知1|sinα|=−1sinα，且lgcosα有意义．(1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点M (35,m)，且OM =1（O 为坐标原点），求实数m 的值及sinα的值．答案：(1)角α是第四象限角 (2)m =−45，sinα=−45分析：（1）根据已知分别确定sinα,cosα的正负，再三角函数值符号得象限角的结论（2）由余弦函数定义求出m ，再由正弦函数定义求得结论．（1） ∵1|sinα|=−1sinα，∴sinα<0， ∴角α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lgcosα有意义，可知cosα>0，∴角α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上，角α是第四象限角（2）∵OM =1，∴(35)2+m 2=1，解得m =±45．又角α是第四象限角，故m <0，∴m =−45．∴sinα=−451=−45．18、已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx . (1)若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；(2)若f （x ）在[0，m ]上的最小值为2，求实数m 的取值范围. 答案：(1)[−π3+kπ,π6+kπ]（k ∈Z ） (2)(0,π3]分析：（1）先化简得到f(x)=2sin (2x +π6)+1，利用复合函数单调性“同增异减”列不等式求出f （x ）的递增区间；.（2）利用单调性实数m的取值范围.(1)f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx=cos2x+√3sin2x+1=2sin(2x+π6)+1.令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，（k∈Z）解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，（k∈Z）∴f（x）的递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]（k∈Z）.(2)x∈[0,m]，得2x+π6∈[π6,π6+2m].∵f（x）在[0,m]上的最小值为2，∴π6+2m≤5π6，解得m∈(0,π3].。

部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识总结例题

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识总结例题单选题1、已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 5π6,cos5π6)，则角α的最小正值为（）A ．π6B ．2π3C ．7π6D ．5π32、当θ∈(0,π2)，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为（） A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12 3、关于函数y =sinx(sinx +cosx)描述正确的是（） A ．最小正周期是2πB ．最大值是√2C ．一条对称轴是x =π4D ．一个对称中心是(π8,12)4、已知角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)，则sinα的值为（） A ．−√32B ．−12C ．√32D ．125、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位 6、已知函数f(x)=sin (x +π3)．给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f (π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是（） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 7、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（）A ．−2B ．2C ．−12D ．128、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（）A ．−45B ．45C ．−35D ．35多选题9、已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．f (136)=12B ．函数f (x −13)是偶函数C ．函数f (x )在区间[2k −23,2k +13](k ∈Z )上单调递增D ．若函数f (x )在[−2,a ]上有5个零点，则176≤a <23610、设函数f (x )=sin (2x +2π3)，则下列结论中正确的是（）A ．y =f (x )的图象关于点(π6,0)对称B ．y =f (x )的图象关于直线x =−π12对称C ．f (x )在[0,π3]上单调递减D ．f (x )在[−π6,0]上的最小值为011、已知函数f(x)=tanx,x 1,x 2∈(−π2,π2)(x 1 ≠x 2),则下列结论中正确的是 A ．f (x 1+π)=f (x 1)B ．f (−x 1)=f (x 1) C ．f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0D ．f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2(x 1x 2>0)填空题12、将函数y =sin(2x +φ)的图像向左平移π12个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin2φ=_________．13、已知角θ的终边经过点M(3m,1−m)，且tanθ=2，则实数m=______．部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(十八)参考答案1、答案：D分析：先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值．因为sin5π6>0，cos5π6<0，所以角α的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sinα=cos5π6=−√32，故角α的最小正值为α=2π−π3=5π3．故选：D．2、答案：B分析：利用诱导公式和平方关系求解.因为cos(5π6−θ)=−cos(π−(5π6−θ))=−cos(π6+θ)=−12，所以cos(π6+θ)=12，因为θ∈(0,π2)，所以π6+θ∈(π6,2π3)，所以sin(θ+π6)=√1−cos2(π6+θ)=√32，故选：B3、答案：D分析：利用三角恒等变换化简y得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：∵y=sinx(sinx+cosx)=sin2x+12sin2x=1−cos2x2+12sin2x=√22sin(2x−π4)+12选项A：函数的最小正周期为T min=2πω=2π2=π，故A错误；选项B：由于−1≤sin(2x−π4)≤1，函数的最大值为√22+12，故B错误；选项C：函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，x=k2π+3π8，当x=π4时，k=−14∉Z，故C错误；选项D：令x=π8，代入函数的f(π8)=√22sin(2×π8−π4)+12=12，故(π8,12)为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D4、答案：C分析：根据三角函数的定义即可求出．因为角α的终边与单位圆交于点P(−12,√32)，所以根据三角函数的定义可知，sinα=y=√32．故选：C．5、答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin(2x+π3+π2)=cos(2x+π3)所以sin(2x+π3)→sin(2x+π2+π3)，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位，故选：A.6、答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为f(x)=sin(x+π3)，所以周期T=2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y =sinx 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y =sin(x +π3)的图象，故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题. 7、答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C. 8、答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C 9、答案：CD分析：根据图像得到函数解析式为f(x)=sin (πx +π6)，代入数据计算知A 错误，f (x −13)=sin (πx −π6)，非奇非偶，所以B 错误，计算单调性得到C 正确，计算t =πx +π6∈[−2π+π6,a π+π6]，根据函数图像计算得到D 正确，得到答案.T 2=43−13=1，T =2πω=2，即ω=π，由13π+φ=2k π+π2，可得φ=2k π+π6，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ=π6，因此函数f(x)=sin (πx +π6).f (136)=f (16)=√32，所以A 错误；f (x −13)=sin [π(x −13)+π6]=sin (πx −π6)，非奇非偶，所以B 错误；由2k π−π2≤πx +π6≤2k π+π2，可得2k −23≤x ≤2k +13(k ∈Z)，所以函数f(x)在区间[2k −23,2k +13](k ∈Z)单调递增，所以C 正确；因为x ∈[−2,a]，所以t =πx +π6∈[−2π+π6,a π+π6]，结合函数y =sint(t ∈R)的图象可得3π≤a π+π6<4π，所以176≤a <236，所以D 正确.故选：CD. 10、答案：ABC分析：AB 选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C 选项，求出u =2x +2π3∈[2π3,4π3]，由f (u )=sinu 数形结合验证单调性，D 选项，求出u =2x +2π3∈[π3,2π3]，结合f (u )=sinu 求出最小值.当x =π6时，f (π6)=sin π=0，所以y =f (x )的图象关于点(π6,0)对称，A 正确；当x =−π12时，f (−π12)=sin π2=1，所以y =f (x )的图象关于直线x =−π12对称，B 正确；当x ∈[0,π3]时，u =2x +2π3∈[2π3,4π3]，f (u )=sinu 在[2π3,4π3]上单调递减，故C 正确；当x ∈[−π6,0]时，u =2x +2π3∈[π3,2π3]，f (u )=sinu 在[π3,2π3]上的最小值为√32，D 错误.故选：ABC 11、答案：AC解析：根据正切函数的周期性可得A 正确，根据奇偶性判断B 错误，根据单调性判断C 正确，结合函数图象即可判断D 错误.f(x)=tanx 的周期为π,故A 正确；函数f(x)=tanx 为奇函数,故B 不正确；C 表明函数为增函数，而f(x)=tanx 为区间(−π2,π2)上的增函数,故C 正确；由函数f(x)=tanx 的图像可知，函数在区间(−π2,0)上有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,在区间(0,π2)上有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2,故D不正确.故选：AC小提示：此题考查正切函数图象性质的辨析，涉及单调性，奇偶性周期性，结合图象理解凹凸性.12、答案：−√32解析：先根据函数平移变换得平移后的解析式为y=sin(2x+φ+π6)，再根据其图象关于原点中心对称得φ=−π6+kπ,k∈Z，进而计算得sin2φ=−√32.解：根据题意得函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移π12个单位后得到的函数解析式为：y=sin(2x+φ+π6)，由函数y=sin(2x+φ+π6)图象关于原点中心对称，故φ+π6=kπ,k∈Z，即φ=−π6+kπ,k∈Z所以sin2φ=sin(−π3+2kπ)=sin(−π3)=−√32.所以答案是：−√32小提示：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z)；函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是偶函数⇔φ=kπ+π2(k∈Z)；函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ+π2(k∈Z)；函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是偶函数⇔φ=kπ(k∈Z).13、答案：17分析：根据三角函数的定义，已知角终边上的点(x,y)，则角的正切值为yx，可得答案由三角函数的定义可知tanθ=1−m3m =2，解得m=17．所以答案是：17。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C ．3D ．192．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-3．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（）A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．计算cos 20cos80sin160cos10+=（）．A ．12B C ．12-D ． 5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．sin 20cos10cos160sin10-=（）A ．B ．12C ．12-D ．28．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）.A ．79-B ．13-C ．13D ．799．若将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭10．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（） A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349111．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．310-B ．310 C ．35D ．3512．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________.14．已知函数sin cos y x x =-，其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =________.15．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 16．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．17．已知1tan()3πα+=-，则sin 2cos 5cos sin αααα+=-______． 18．已知tan 2α=，则cos2=α__． 19．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.20．若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．三、解答题21．已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =++．求：（1）()f x 的最小正周期；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． 22．已知函数()cos f x x =.（1）已知α，β为锐角，()5f αβ+=-，4tan 3α=，求cos2α及()tan βα-的值；（2）函数()()321g x f x =+，若关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，求实数a 的最大值.23．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .（1）求h 与θ的函数关系式；（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h . 24．已知函数25()23cos()2cos (0)32f x wx wx wx w π=+-+>的图像上相邻的两个最低点的距离为π. （1）求w 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间. 25．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值（2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26．已知α∈(0,)2π，tan α＝12，求tan 2α和sin ()4πα-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 2．A解析：A 【分析】由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-．故选：A ．3．C解析：C 【分析】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-，解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.4．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=．故选：A ．5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=；33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式．【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．B解析：B 【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B8．A解析：A 【分析】根据1sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A9．A解析：A 【分析】先求出平移后的解析式为23sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度得：23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()223x k k Z ππ+=∈，解得：()32kx k Z ππ=-+∈，当1k =时，326x πππ=-+=，所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A10．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒，所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈，故选：B11．B解析：B【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0解析：0 【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=sin cos 12a b αβ=++=，所以sin cos 1αβ+=a b ，所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.故答案为：0.14．【分析】函数令求解【详解】已知函数令解得所以其图象的对称轴中距离轴最近的一条对称轴方程为故答案为：解析：4π-【分析】函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令42x k πππ-=+求解.【详解】已知函数sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令,42x k k Z πππ-=+∈，解得 3,4x k k Z ππ=+∈，所以其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =4π-. 故答案为：4π-15．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可．【详解】1cos cos 2513πααα⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=. 16．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π 17．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键解析：516【分析】由已知条件求出1tan 3α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】1tan()3πα+=-，1tan 3α∴=-，sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--123153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭516=．故答案为：516【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键.18．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为：解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 19．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.20．【分析】由结合诱导公式和二倍角公式得出答案【详解】故答案为：解析：19-【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-三、解答题21．（1）π；（2）最小值为1，最大值为4．【分析】（1）由二倍角降幂，由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可求得最小正周期；（2）求出26x π-的范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】（1）因为2()2sin cos 1f x x x x =++1cos2cos 1x x x =-++2cos 22x x =-+2sin 226x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．所以()2sin 22[1,4]6f x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．即()f x 的最小值为1，最大值为4．【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 22．（1）7cos 225α=-，()2tan 11βα-=；（2）a 的最大值为3. 【分析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出()cos αβ+，sin()αβ+，进而求出()tan αβ+，最后，利用()()tan tan 2βααβα-=+-求解即可（2）由()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，得关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，化简得，即()()()213g x a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解即可【详解】解：（1）∵4tan 3α=，∴222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+2222411tan 73251tan 413αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵α，β为锐角，即α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,απ∈，()0,αβπ+∈.22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()cos f x x =，∴()()cos 5f αβαβ+=+=-， ∴()sin αβ+==，∴()()()sin tan 2cos αβαβαβ++==-+， ∴()()()()242tan tan 227tan tan 2241tan tan 211127αβαβααβααβα-++--=+-===+++⨯. 综上，7cos 225α=-，()2tan 11βα-=. （2）()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，即()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，则[]1,7t ∈，()()231t a t -≥+有解，即916a t t+≤+-有解， max97a t t ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设()9h t t t =+，则()h x 在[)1,3上单调递减，在(]3,7上单调递增，则()(){}max9max 1,710t h h t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴3a ≤，故实数a 的最大值为3. 【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解；（2）通过化简，把问题转化为()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解；主要考查学生的转化化归思想以及运算能力，属于中档题 23．（1） 5.6 4.8cos h θ=-；（2）3.2m. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B 的坐标后可得h 与θ间的函数关系式；（2）由60秒转动一圈，易得点A 在圆上转动的角速度是/30rad s π，再计算出经过10秒后转过的弧度数为3π，然后代入（1）中所求函数解析式计算即可得到答案. 【详解】（1）以圆心O 原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2πθ-，故点B 坐标为 4.8cos ,4.8sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ 5.6 4.8sin 5.6 4.8cos 2h πθθ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭；（2）点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是/30rad s π，∴经过t 秒后转过的角度30t πθ=，则经过10秒后转过的角度为3πθ=，∴ 5.6 4.8cos 5.6 2.4 3.23h π=-=-=（m ）.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O 为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键． 24．（1）1；（2）()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式()f x 化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间. 【详解】（1）5()23(cos cossin sin )(1cos 2)332f x wx wx wx wx ππ=--++23sin 23sin cos 222wx wx wx =--+1cos 2323cos 222wx wx wx -=-⨯-+12cos 22wx wx =+ sin(2)6wx π=+又因为()f x 图象上相邻的两个最低点间的距离为π，0w >，所以22w，解得1w =.（2）据（1）求解知，()sin(2)6f x x π=+令222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以所求的单调递增区间是()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将()f x 化为sin cos a x b x 的形式；（2）构造())f x x x +；（3）和差公式逆用，得())f x x ϕ=+ (其中ϕ为辅助角，tan b aϕ=)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．25．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．（2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω，解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤. 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x取得最小值为. 26．an 2α＝43，sin ()4πα-＝. 【分析】先由tan α＝12可得tan 2α＝43，再由sin cos αα＝12，结合角的范围可得sin α和cos α的值，再由in ()4πα-的展开求解即可.【详解】∵tan α＝12，∴tan 2α＝22tan 1tan a a -＝122114⨯-＝43. 且sin cos αα＝12，即cos α＝2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1.而α∈(0,)2π，∴sin α，cos α. ∴sin ()4πα-＝sin αcos4π－cos αsin 4π。

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数真题

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数真题单选题1、将函数f(x)=2cosx的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若对g(x)满足|g(x1)−g(x2)|=4，有|x1−x2|min=π4恒成立，且g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．[π12，π3]B．[π3，π2]C．(π3，2π3]D．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.2、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t =−3π4即x =0时y =−√2，当t =−π2即x =π8时，y =−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.3、已知简谐振动f (x )=Asin (ωx +φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（） A ．16，π6B ．18，π3C ．18，π6D ．16，π3答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解.由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52，则T ＝8，ω＝2π8＝π4， ∴ y ＝32sin (π4x +φ).由32sin φ＝34，得sin φ＝12.∵|φ|＜π2， ∴φ＝π6.因此频率是18，初相为π6.故选：C4、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（）A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125，解得tanα=−43或tanα=−34，又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|，故tanα=−43，故选：C5、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位，故选：A.6、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210 答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35，又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)，又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√22×35+√22×45=−3√2+4√210=√210.故选：B．7、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，∴ω=2+24k5，k∈Z，由图象知T =2πω＞2×5π12，∴ω＜125，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x +π6），∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移π12个单位得， ∴A 错，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，对称轴为x =π6+kπ2，则B 错，令2x +π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x ∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C 错，令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x ＝kπ2−π12，则D 对，故选：D ．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 8、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（）A ．−45B ．45C ．−35D ．35 答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C9、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解.因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B10、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20，所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2，如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点，因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1，故选：C. 填空题11、已知sin α＝√55，sin(α－β)＝－√1010，α，β均为锐角，则β＝________. 答案：π4分析：通过α，β，α－β的范围求出他们的正弦，余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]可得sin β，进而可得β. 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－√1010，所以cos(α－β)＝3√1010. 又sin α＝√55，所以cos α＝2√55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝√55×3√1010－2√55×(−√1010)＝√22. 所以β＝π4. 所以答案是：π412、若sin (α−π6)=−45，则cos (α+π3)=___________.答案：45分析：由已知函数值，根据诱导公式即可求cos (α+π3)的值.cos (α+π3)=cos [(α−π6)+π2]=−sin (α−π6)，又sin (α−π6)=−45， ∴ cos (α+π3)=45，所以答案是：45.13、已知tan(α+β2)=√62,tanαtanβ=137,则cos(α−β)的值为______.答案：23分析：应用三角函数的恒等变换公式对tanβ=sinαsinβcosαcosβ变形求得cos(α−β)=−103cos(α+β)，再由tanα+β2求得cos(α+β)，可得结论． tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]12(cos(α−β)+cos(α+β)]=137，所以cos(α−β)=−103cos(α+β)，cos(α+β)=1−tan 2α+β21+tan 2α+β2=1−(√62)21+(√62)=−15，所以cos(α−β)=−103×(−15)=23．所以答案是：23．解答题14、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x ⩽π2，有π6⩽2x −π3⩽2π3，所以12≤sin (2x −π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f (C )=√3，有sin(2C −π3)=√32， ∵C 为锐角，∴2C −π3=π3，∴C =π3． ∵c =2，∴由余弦定理得：a 2+b 2−ab =4， ∵a 2+b 2⩾2ab ，∴4=a 2+b 2−ab ⩾ab ．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．15、已知函数f(x)=asin(x+π4)−√6cos(x+π3)，其中a∈R．(1)当a为何值时，f(x)为偶函数?(2)当a为何值时，f(x)为奇函数? 答案：(1)a=−3(2)a=√3分析：（1）由题意求得f(π2),f(−π2)，根据f(π2)=f(−π2)，求得a=−3，结合偶函数的定义，即可求解；（2）由题意求得f(0)=√22a−√62，根据f(0)=0，求得a=√3，结合奇函数的定义，即可求解；(1)解：由函数f(x)=asin(x+π4)−√6cos(x+π3)，可得f(π2)=√22a+32√2，f(−π2)=−√22a−32√2，若f(x)是偶函数，则f(π2)=f(−π2)，即√22a+32√2=−√22a−32√2，可得a=−3，当a=−3时，函数f(x)=−3sin(x+π4)−√6cos(x+π3)=(−3√22−√62)cosx，此时函数满足f(−x)=f(x)，函数f(x)为偶函数.(2)解：由f(x)=asin(x+π4)−√6cos(x+π3)，可得f(0)=√22a−√62，若f(x)是奇函数，则f(0)=0，可得a=√3，当a=√3时，f(x)=−3sin(x+π4)−√6cos(x+π3)=(√62+32√2)sinx，此时函数满足f(−x)=−f(x)，函数f(x)为奇函数.。

四川省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数基础知识题库

四川省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数基础知识题库单选题1、已知函数f(x)=2sin (x +π4)+m 在区间(0,π)上有零点，则实数m 的取值范围为（） A ．(−√2,√2)B ．(−√2,2]C ．[−2,√2]D ．[−2,√2) 答案：D分析：令f(x)=0，则2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，根据x 的取值范围求出g (x )的值域，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，即可求出参数的取值范围；解：令f(x)=0，即2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，因为x ∈(0,π)，所以x +π4∈(π4,5π4)，所以sin (x +π4)∈(−√22,1]，即g (x )∈(−√2,2]，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，则−√2<−m ≤2，所以−2≤m <√2，即m ∈[−2,√2)；故选：D2、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值． f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)，所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)，由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12．故选：A.3、函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，∴ω=2+24k5，k∈Z，由图象知T=2πω＞2×5π12，∴ω＜125，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+π6），∵函数f（x）的图象可由y＝A sinωx的图象向左平移π12个单位得，∴A错，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，对称轴为x =π6+kπ2，则B 错，令2x +π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x ∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C 错，令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x ＝kπ2−π12，则D 对，故选：D ．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 4、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（）A ．2B ．-2C ．0D ．23答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B5、若函数f (x )=sin (ωx −π3)(0<ω<40)的图象经过点(16,−1)，则f (x )的最小正周期为（）A ．211B ．29C ．27D ．25答案：A分析：f (16)=−1，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期. 依题意可得f (16)=−1，则ω6−π3=−π2+2k π(k ∈Z )，得ω=(12k −1)π(k ∈Z ).因为0<ω<40，所以ω=11π，T =2π|ω|=211.故选：A.6、函数f (x )=sinx+xcosx+x 2在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．答案：D分析：先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．由f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx−x cosx+x 2=−f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1, f(π)=π−1+π2>0．故选D ．小提示：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．7、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（） A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 答案：D分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解.解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6，令k =0,∴x =π6，所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0). 故选：D8、时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C 时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C 时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T （单位：°C ）与时间t （单位：h ）近似满足关系式T =20−10sin (π8t −π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（）(sin 3π10≈0.8) A ．1.4h B ．2.4h C ．3.2h D ．5.6h 答案：B分析：由函数关系式T =20−10sin (π8t −π8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，则20−10sin (π8t 1−π8)=20,又t 1∈[5,17]，解得t 1=9，20−10sin (π8t 2−π8)=28，∴sin (π8t 2−π8)=−45,由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈−45，∴π8t 2−π8=13π10,∴t 2=575,∴t 2−t 1=125=2.4.故选：B.9、在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于一点P (m,1)，则cos (α+π6)=（） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32答案：A分析：根据点P (m,1)在单位圆上，可求得m 的值，进而可求得角α，再根据诱导公式即可求解. 因为点P (m,1)在单位圆上，所以m 2+12=1，解得：m =0，所以P (0,1)为单位圆与y 轴非负半轴的交点，所以α=π2+2k π(k ∈Z )，所以cos (α+π6)=cos (π2+2k π+π6)=cos (π2+π6)=−sin π6=−12，故选：A. 10、化简：tan(π−α)cos(2π−α)sin(−a+3π2)cos(−a−π)sin(−π−a)的值为（）A ．−2B ．−1C ．1D ．2 答案：B分析：运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案. 解：原式＝−tanα⋅cosα⋅(−cosα)cos(π+a)⋅[−sin(π+a)]＝tanα⋅cos 2α−cosα⋅sinα＝−sinαcosα⋅cosαsinα＝－1．故选：B. 填空题11、函数f (x )=2tan (kx +π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为_______．答案：2或3分析：由正切型函数的最小正周期可构造不等式，结合k 为自然数可求得结果. ∵f (x )的最小正周期T =π|k |，∴1<π|k |<2，又k 为自然数，∴k <π<2k ，解得：π2<k<π，∴k=2或3.所以答案是：2或3.12、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosA(sinC−cosC)=cosB,a=2,c=√2，则角C大小为_____.答案：π6解析：根据三角形内角和以及诱导公式将B转化为A,C，利用两角和公式，可求出A，再用正弦定理，即可求解. 因为cosA(sinC−cosC)=cosB,所以cosA(sinC−cosC)=−cos(A+C),所以cosAsinC=sinAsinC,所以sinC(cosA−sinA)=0,因为C∈(0,π),∴sinC≠0，所以cosA=sinA，则tanA=1，所以A=π4，又asinA =√2sinC，则sinC=12，因为c<a，所以0<C<π4，故C=π6.故答案为:π6.小提示：本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.13、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r ，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积. 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP ′，由余弦定理可得： cos ∠P ′OP =OP 2+OP ′2−PP ′22OP·OP ′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos ∠P ′OP =2π3.设底面圆的半径为r ,则有2πr =2π3·4,解得r =43, 所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V =13Sℎ=13πr 2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81. 小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量. 解答题14、已知1|sinα|=−1sinα，且lgcosα有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点M (35,m)，且OM =1（O 为坐标原点），求实数m 的值及sinα的值．答案：(1)角α是第四象限角 (2)m =−45，sinα=−45分析：（1）根据已知分别确定sinα,cosα的正负，再三角函数值符号得象限角的结论（2）由余弦函数定义求出m ，再由正弦函数定义求得结论．（1）∵1|sinα|=−1sinα，∴sinα<0，∴角α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lgcosα有意义，可知cosα>0，∴角α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上，角α是第四象限角（2）∵OM =1，∴(35)2+m 2=1，解得m =±45．又角α是第四象限角，故m <0，∴m =−45． ∴sinα=−451=−45．15、求函数y =3sin(2x +π3)的对称轴和对称中心. 答案：对称轴为x =kπ2+π12,k ∈Z ；对称中心为(kπ2−π6,0),k ∈Z分析：结合y =3sinx 的性质，分别令2x +π3=kπ+π2和2x +π3=kπ可解得对称轴和对称中心. 由2x +π3=kπ+π2，得x =kπ2+π12,k ∈Z ，所以对称轴为x =kπ2+π12,k ∈Z . 由2x +π3=kπ，得x =kπ2−π6,k ∈Z ，所以对称中心为(kπ2−π6,0),k ∈Z .小提示：本题主要考查了正弦型三角函数的对称轴及对称中心，用到了整体代换的思想，属于基础题.。

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