Leslie模型(数学建模)

记R=f1(1)=b0+P0b1+…+(P0…P k-1)b k
易见R即为女性一生所生女孩的平均值。
有 定理： 1 =1的充要条件为R=1
但并非每一个均能活到足够的年龄并生下R个女孩， 每一妇女可生子女数可定为某一略大于2的数， 称为临界生育率。据统计，中国妇女的临界生育 率为2.2左右。
要实现对人口增长的控制只能采取降低人口出 生率的办法。 记j时段I年龄组中女性所占的百分比为Ki（j） 并设i1,…,i2为育龄年龄组，则j时段新生儿总数 为 N(0,j+1)=bi(j)K i(j)N(i,j) N(i,j+1)=Pi-1N(i-1,j) i=1,…,m
p/ r + p/ t=- µ (r,t)p(r,t)
p(r,0)=p0(r) p(0,t)=f(t)
在社会比较安定的情况下,死亡 率大致与时间无关. μ (r,t)=μ (r) p(r,t)= p0(r-t)e f(t-r)e
( s)ds
r t r
0≤t≤r t>r
(s)ds
目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计 划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人 口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又 会使人口迅速青年化而走向另一个极端。
为减少这种年龄结构上的振荡，人们又引入了一 个控制变量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)
且 h(i,j)=1 h(i,j)称为女性的生育模式，用来调整育龄妇 女在不同年龄组内生育率的高低。为简便可通过 控制结婚年龄和两胎之间的年龄差来接近h(i,j)的 理想值。 于是Leslie模型可以如下形式上的改变： N j+1=[A(j)+B(j)]N j
(5)依赖性指数 设l1,…,l2与l`1,…,l`2分别为男性 与女性中具有劳动能力的年龄组，则j时段具有劳 动能力的人口数
L(j)= [1-Pi(j)]N(i,j)+ K i(j)N(i,j)。而N(j)-L(j) 为j时段由社会抚养的失去劳动能力的老人或尚未 具有劳动能力的未成年人的数量。定义社会的依 赖性指数(j)=[N(j)-L(j)]/L(j),即平均每一劳动者抚 养的无劳动能力的人数。
建立模型:
F(0) F(1) F(2) • • • F(n) S(0)
构造n+1阶方阵 M=
S(1) S(2) •••
S(n-1)
那么I (1)=MK I (t)=MtK
考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总 的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分 析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把 女性人口数作为研究对象.
0
r
分析：
1.当t<r时，p(r,t)完全由年龄为r-t的人口的初始密度及 这些人的死亡率决定。 2.t>r 时，p(r,t)完全由未来的生育状况f(t-r)及死亡率决 定。
两个重要模型:
Keyfitz Leslie
一些定义:


n为人类的年龄上限 F(x)=x岁的妇女所生的婴儿数/x岁的总人口数 S(x)=x岁人的存活率 P(x)=初始时x岁的总人口数 Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数
关于建立人口增长模型,我们考虑了两条 主要思路: 一.以微分方程为主要手段: 二.以高等代数为主要手段:
提出问题:
我们首先考虑Malthus 模型： x(t)为人口总数，r为自然增长率； 于是可以得出：
x(t)=x0er(t-t0)
改进的模型
设地球能容纳的总人数为k，随着人口的增 长，出生率必然会下降，于是r与x存在 着一定的关系。基于上述假设，我们选 择一种简单的函数。 r(x)=r0(1-x/k) r0为特定的常数
定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相
邻的bi>0则 |i|< |1|且N j/ 1j Pi及N0决定
CN其中C为某一常数，由值bi，
本定理的条件通常能够得到满足，故在j充分大 时有N j=C 1j N，即各年龄组的人口比例总会趋 于稳定，且N j+1= 1N j。若1 >1，种群增大， 1 <1时，种群减小。
则t时刻年龄处在[r,r+dr)的人口总数为p(r,t)dr
设µ (r,t)为t时刻年龄为r的人的死亡率，t时刻年龄在[r,r+dr) 单位时间死亡的人数为µ (r,t)p(r,t)dr
分析：
下面考虑从t到t+dt这一过程的人口变化： 年龄处在[r,r+dr)到t+dt时刻活着的人的年龄变为 [r+dt,r+dr+dt)而这一时刻死亡的人数为µ (r,t)p(r,t)drdt 则p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr= µ (r,t)p(r,t)drdt
n0 .
A属于1的特征向量N=
.
nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1)
N=
1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定 且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于 一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的 存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数， 事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
P(0)
P(1)
Nt(0)
Nt(1)
K=
I(t)=
… …
P(n)
… …
Nt(n)
数学表达:
第一年新生儿的总数: F(0)•P(0)+ F(1)•P(1)+ ••• +F(n)•P(n) 第一年x岁人口总数: N1(x)=S(x-1)•P(x-1) 第一年末人口总数:F(0)•P(0)+ F(1)•P(1)+ ••• +F(n)•P(n)+ S(0)•P(0)+ S(1)•P(1)+ ••• +S(n-1)•P(n-1)
其中 0
P0(j) A(j)= 0
…
…
… 0
0 B(j)= 0 0 … … … …
0 P m-1(j) 0 0 … … … … … … 0 … … 0
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0 … b`i1(j) … b`i2(j) 0 …
b`i(j)=(j)h(i,j)K i(j) 在一定时期内，Pi(j),(I=0,…,m-1), (j),h(i,j) 和K i(j)可视为与j无关的常数， 从而在这一时期内A(j),B(j)取常数矩阵 A,B。
另外在这个模型中我们还加上了人口迁移对起其总数 的影响.
一些定义:


n为人类的年龄上限 a(x)=x岁的妇女所生的婴数/x岁的妇女总数 b(x)=x岁人的存活率 h(x)= x岁的妇女迁移数/x岁的妇女总数 Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数
Nt(0) Nt(1) h(0) h(1)
控制论模型常采取一些评价函数来评判控制 模型的效果，对于人口模型，可类似连续型模型， 引入以下一些人口指数： (1)人口总量 不妨以N(j)记j时段的人口总量， N(j)= N(i,j). (2)平均年龄 y(j)=(1/ N(j)) i N(i,j). (3)平均寿命 Q(j)= exp [- (1-Pi(j))],其中(1Pi(j))为j时段i组人的死亡率。 (4)p社会人口老龄化指数 w(j)=y(j)/Q(j)
建立模型:
a(0) a(1) a(2) • • • a(n) b(0)
构造n+1阶方阵 L=
b(1) b(2) •••
b(n-1)
那么I (1)=(L-H)K ; I (t)=(L-H) I (t-1) I (t)= (L-H) tK
定理：Leslie矩阵具有唯一的正特征根1，
与之对应的特征向量为 N=（ 1k/(P0P1…P k-1), 1k-1(P1…P k-1),…, 1/P k-1,1)T
解得：
x(t)=k/[1+(k/x0-1)e-r(t-t0)]
分析以上两个模型：
每个个体的出生率与死亡率是相同的。但实 际上不同年龄的年的生育率与死亡率有很大 的不同。
基于这种考虑，下面将建立一个人口按 年龄分布的模型
定义
r表示年龄，函数F（r,t)为t时刻年龄小于r的人口总数，称 其为人口分布函数 令p(r,t)= F/ r p(r,t)为年龄密度函数
K= I(0)
I(t)=
H(t)=
… …
Nt(n)
…..
h(n)
数学表达:
第一年新生女婴的总数: a(0)•Nt(0)+ a(1)•Nt(1)+ ••• +a(n)• Nt(n) 第一年x岁女性人口总数: N1(x)=b(x-1)•Nt(x-1)- h(x-1)•b(x1)•Nt(x-1)=(1- h(x-1) )•b(x-1)•Nt(x-1) 第一年末女性人口总数: a(0)•Nt(0)+ a(1)•Nt(1)+ ••• +a(n)• Nt(n)+ (1- h(0) )•b(0)•Nt(0)+ ••• + (1- h(n-1) )• b(n-1)•Nt(n-1)