2020届上海市各区初三中考数学一模试卷全集
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020年上海市九年级数学中考模拟卷
2020年上海市中考数学模拟卷第I 卷（选择题)一、单选题1．已知线段a 、b ，如果a ：b ＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ） A ．a +b ＝7 B ．5a ＝2b C ．a+b b =72 D ．a+5b+2＝12．若要得到函数y ＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y ＝x 2的图象( )A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度3．若斜坡的坡比为1：√33，则斜坡的坡角等于( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播天气预报B ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上C ．从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除D ．长度分别是3cm ，3cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形5．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 6．如图，⊙O 的半径为4，点A ，B 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，sin ∠APB =35，AB ⊥PB ，如果OP ⊥OA ，那么OP 的长为( )A ．53B ．3C ．95D ．43 第II 卷（非选择题)二、填空题7．计算（﹣12）﹣2＝_____．8．如图，把边长为单位1的正方形一边与数轴重叠放置，以O 为圆心，对角线OB 长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 对应的数是_____．9．不等式﹣2x ＞﹣4的正整数解为_____． 10．不等式组{3x −15<03−x <0的解集是_____． 11．在函数y ＝x −2x+3中，自变量x 的取值范围是_____．12．已知关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是_____． 13．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象14．正五边形的中心角的度数是_____．15．两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为__________．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．17．如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝_____米．（结果保留根号）18．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC=2√5，D为边AC上一点(点D与点A、C不重合)．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD =______．三、解答题19．先化简，再求值：x2x2+4x+4÷xx+2−x−1x+2，其中x=√2﹣1．20．解不等式组：{6x−2>4x−4，23x≥x−13，并把解集在数轴上表示出来．21．如图，在⊙O 中，两条弦AC,BD 垂直相交于点E ，等腰ΔCFG 内接于⊙O ，FH 为⊙O 直径，且AB =6，CD =8． （1）求⊙O 的半径；（2）若9CF CG ==，求图中四边形CFGH 的面积．22．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A 地时距地面的高度b 为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？23．如图，在RtΔACB 中，∠ACB =90∘，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接CE,CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．（1）求证：BCD BEC ∠=∠；（2）若BC =2，BD =1，求CE 的长及sin ∠ABF 的值．24．如图，二次函数y=ax2−32x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t 秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．参考答案1．C2．B3．D4．C5．C6．D7．48．√29．x ＝1．10．3＜x ＜511．x ≠1.512．m ＜413．（3，0）．14．72°．15．216．1017．100√6−100√218．56．19．√2−1．20．11x -<≤； 21．（1）5（2）252√192522．23．（1）（2）CE=6√55，sin ∠ABF =9√1050．24．（1）y =12x +2（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、，﹣2）、，﹣2）25．（1）y=45t 2（2）4（3）t=14.5s （4）IC=24√345−245。
2020年上海市中考数学模拟试卷(含答案)
2020年上海市中考数学模拟试卷含答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）2．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（）A．B．C．D．3．如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A． = B． = C． = D． =4．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（）A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜105．已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A．如果||=||，那么=B．如果||=|﹣|，那么∥C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||6．已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果3x=4y，那么= ．8．已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是．9．已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c= ．10．已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m= ．11．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．12．在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是．13．已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是．14．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE= ．15．如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为米．16．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= ．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B= ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．20．如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=， =，请用向量、表示和（直接写出结果）21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．求（1）⊙D的半径；（2）CE的长．22．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．（1）求背水坡AD的坡度；（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．23．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．（1）求证：GF=BF．（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心， OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．25．已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB 边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选B．2．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据sinA=代入数据直接得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴sinA==，故选D．3．如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A． = B． = C． = D． =【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：∵=，∴BC∥ED；故选C．4．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（）A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜10【考点】圆与圆的位置关系．【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．【解答】解：两圆半径差为4，半径和为8，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，4＜O1O2＜8．故选C．5．已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A．如果||=||，那么=B．如果||=|﹣|，那么∥C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||【考点】*平面向量．【分析】根据向量的定义，可得答案．【解答】解：A、如果||=||，与的大小相等，与的方向不一向相同，故A错误；B、如果||=||，与的大小相等，与不一定平行，故B错误；C、如果∥，与的大小不应定相等，故C错误；D、如果=﹣，那么||=||，故D正确；故选：D．6．已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系；等腰三角形的性质．【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD=BC=2，由勾股定理求出AD=4＞5，即d＞r，即可得出结论．【解答】解：如图所示：在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD=CD=BC=2，∴AD===4＞5，即d＞r，∴该圆与底边的位置关系是相离；故选：A．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果3x=4y，那么= ．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得x：y=4：3，故答案为：．8．已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是x=1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴是：x=1．故本题答案为：x=1．9．已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c= ﹣3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x=0代入即可求得交点坐标为（0，c），再根据已知条件得出c的值．【解答】解：当x=0时，y=c，∵抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），∴c=﹣3，故答案为﹣3．10．已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m= 4 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣2，m）代入抛物线y=﹣x2﹣3x中，列出m的一元一次方程即可．【解答】解：∵y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），∴m=﹣×22﹣3×（﹣2）=4，故答案为4．11．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，故答案为：．12．在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是y=2（x﹣1）2+1 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律写出（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移1个单位，再向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，1），所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1．故答案为y=2（x﹣1）2+1．13．已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是AB＞2 ．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P在圆外⇔d＞r，可得线段AB长度的取值范围是AB＞2．【解答】解：∵⊙A的半径是2，B是⊙A外一点，∴线段AB长度的取值范围是AB＞2．故答案为：AB＞2．14．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE= 2 ．【考点】三角形的重心；平行线分线段成比例．【分析】先根据点G是△ABC的重心，得出DG：DA=1：3，再根据平行线分线段成比例定理，得出=，即=，进而得出GE的长．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴DG：AG=1：2，∴DG：DA=1：3，∵GE∥AB，∴=，即=，∴EG=2，故答案为：2．15．如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为6+1.5 米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据正切的定义求出CE，计算即可．【解答】解：在Rt△CDE中，tan∠CDE=，∴CE=DE•tan∠CDE=6，∴BC=CE+BE=6+1.5（米），故答案为：6+1.5．16．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为．【考点】相交两圆的性质．【分析】首先连接O1A，O2A，设AC=x，O1C=y，由勾股定理可得方程组，解方程组即可求得x 与y的值，继而求得答案．【解答】解：连接O1A，O2A，如图所示设AC=x，O1C=y，则AB=2AC=2x，∵O1O2=2，∴O2C=2﹣y，∵AB⊥O1O2，∴AC2+O1C2=O1A2，O2C2+AC2=O2A2，∴，解得：，∴AC=，∴AB=2AC=；故答案为：．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= 2：1 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】由平行线证出△AOD∽△COB，得出S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，由S△AOD：S=1：3，得出S△ABC：S△ABE=2：1，即可得出答案．△ABE【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵DO：BO=1：2，∴S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，∵S△AOD：S△ABE=1：3，∴S△ABC：S△ABE=6：3=2：1，∴BC：BE=2：1．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE 沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B= 或7．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】分两种情况：①如图1，作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10，由中点的定义求出AD和BD 的长，证明四边形HFGB是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长，并由翻折的性质得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性质和勾股定理可以得出结论：A′B=；②如图2，作辅助线，构建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的长．【解答】解：分两种情况：①如图1，过D作DG⊥BC与G，交A′E与F，过B作BH⊥A′E与H，∵D为AB的中点，∴BD=AB=AD，∵∠C=90，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BD=AD=5，sin∠ABC=，∴，∴DG=4，由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=A D=5，∴sin∠DA′E=sin∠A=，∴，∴DF=3，∴FG=4﹣3=1，∵A′E⊥AC，BC⊥AC，∴A′E∥BC，∴∠HFG+∠DGB=180°，∵∠DGB=90°，∴∠HFG=90°，∵∠EHB=90°，∴四边形HFGB是矩形，∴BH=FG=1，同理得：A′E=AE=8﹣1=7，∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B==；②如图2，过D作MN∥AC，交BC与于N，过A′作A′F∥AC，交BC的延长线于F，延长A′E 交直线DN于M，∵A′E⊥AC，∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，∴∠M=∠MA′F=90°，∵∠ACB=90°，∴∠F=∠ACB=90°，∴四边形MA′FN是矩形，∴MN=A′F，FN=A′M，由翻折得：A′D=AD=5，Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，∴FN=A′M=4，Rt△BDN中，∵BD=5，∴DN=4，BN=3，∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，BF=BN+FN=3+4=7，Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B==7；综上所述，A′B的长为或7．故答案为：或7．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=×﹣××+=﹣+2=+2．20．如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=， =，请用向量、表示和（直接写出结果）【考点】相似三角形的判定与性质；*平面向量．【分析】（1）求出AD=AB=5，证明△ACD∽△ABC，得出，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出AE=EC，由向量的定义容易得出结果．【解答】解：（1）∵D是AB中点，∴AD=AB=5，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=10×5=50，∴AC==5；（2）如图所示：∵DE∥BC，D是AB的中点，∴AD=DB，AE=EC，∵=， =，∴==，∴，∵==，∴．21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．求（1）⊙D的半径；（2）CE的长．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）根据三角函数的定义得出CD和BD，从而得出⊙D的半径；（2）过圆心D作DH⊥BC，根据垂径定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函数的定义得出BE，从而得出CE即可．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，AD=8，tanA=，在Rt△ACD中，tanA==，AD=8，CD=4，在Rt△CBD，cot∠ABC==，BD=3，∴⊙D的半径为3；（2）过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，∴BH=EH，在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC==5，cos∠ABC==，在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC==，BD=3，BH=，∵BH=EH，∴BE=2BH=，∴CE=BC﹣BE=5﹣=．22．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．（1）求背水坡AD的坡度；（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；梯形．【分析】（1）作CP⊥AB于点P，即可知四边形CDGP是矩形，从而得CP=DG=2、CD=GP=6，由BP==2根据AG=AB﹣GP﹣BP可得DG：AG=1：1；（2）根据题意得EF=MN=4、ME=CD=6、∠B=30°，由BF=、HN=、NF=ME，根据HB=HN+NF+BF可得答案．【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥AB于点P，则四边形CDGP是矩形，∴CP=DG=2，CD=GP=6，∴BP===2，∴AG=AB﹣GP﹣BP=8+2﹣6﹣2=2=DG，∴背水坡AD的坡度DG：AG=1：1；（2）由题意知EF=MN=4，ME=CD=6，∠B=30°，则BF===4，HN===4，NF=ME=6，∴HB=HN+NF+BF=4+6+4=10+4，答：加高后坝底HB的宽度为（10+4）米．23．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．（1）求证：GF=BF．（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据已知条件可得到GF∥AD，则有=，由BF∥CD可得到=，又因为AD=CD，可得到GF=FB；（2）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到，由于BM=BE，得到GF=FH，由GF∥AD，得到，等量代换得到，即，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，∵GF∥BE，∴GF∥BC，∴，∵AB∥CD，∴，∵AD=CD，∴GF=BF；（2）延长GF交AM于H，∵GF∥BC，∴FH∥BC，∴，∴，∵BM=BE，∴GF=FH，∵GF∥AD，∴，∴，∴，∴FO•ED=OD•EF．24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心， OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用待定系数法即可确定出函数解析式；（2）用tan∠OAP=3建立一个b，c的关系，再结合点A得出的等式即可求出b，c进而得出函数关系式；（3）用两圆外切，半径之和等于AC建立方程结合点A代入建立的方程即可得出抛物线解析式．【解答】解：（1）把点A（2，0）、B（﹣4，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，，∴b=﹣1．c=8，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c 得，﹣4+4b+c=0①，∵抛物线的顶点为P，∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，∴P（b，b2+c），∴PH=b2+c，AH=2﹣b，在Rt△PHA中，tan∠OAP=，∴=3②，联立①②得，，∴（不符合题意，舍）或，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；（3）∵如图2，抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C，∴C（0，c）（c＞0），∴OC=c，∵A（2，0），∴OA=2，∴AC=，∵⊙A与⊙C外切，∴AC=c+2=，∴c=0（舍）或c=，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，∴b=，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+．25．已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB 边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．由△BDE∽△CFD，得=，推出FC=，由DM∥AB，得=，推出DM=，由DM∥AB，推出∠B=∠MDC，∠MDC=∠C，CM=DM=，FM=﹣，于DM∥AB，得=，代入化简即可．（3）分三种情形讨论①当AO=AF时，②当FO=FA时，③当OA=OF时，分别计算即可．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EDC=∠B+∠BED，∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，∵∠EDO=∠B，∴∠BED=∠EDC，∵∠B=∠C，∴△BDE∽△CFD．（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．∵△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=8，BD=3，BE=x，∴=，∴FC=，∵DM∥AB，∴=，即=，∴DM=，∵DM∥AB，∴∠B=∠MDC，∴∠MDC=∠C，∴CM=DM=，FM=﹣，∵DM∥AB，∴=，即=，∴y=（0＜x＜3）．（3）①当AO=AF时，由（2）可知AO=y=，AF=FC﹣AC=﹣5，∴=﹣5，解得x=．∴BE=②当FO=FA时，易知DO=AM=，作DH⊥AB于H（如图2中），BH=BD•cos∠B=3×=，DH=BD•sin∠B=3×=，∴HO==，∴OA=AB﹣BH﹣HO=，由（2）可知y=，即=，解得x=，∴BE=．③当OA=OF时，设DP与CA的延长线交于点N（如图3中）．∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，作EG⊥BC于G，则BG=x，EG=x，∴GD=，∴BG+GD=x+=3，∴x=＞3（舍弃），综上所述，当△OAF是等腰三角形时，BE=或．。
上海市长宁区、金山区2020年中考数学一模试卷(解析版)
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．3．（4分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（）A．如果||＝||，那么＝B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝k（k≠0），那么∥D．如果m＝0或＝，那么m＝0 5．（4分）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内6．（4分）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（﹣2）+3（+）＝．8．（4分）如果＝，那么的值等于．9．（4分）已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．10．（4分）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为米．14．（4分）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．17．（4分）如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：20．（10分）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF 与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝，＝．（用向量、表示）21．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）【分析】由二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），对选项中的解析式进行判断即可．【解答】解：二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，故选：D．【点评】本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的形式是解题的关键．2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB＝2，AB＝3，再根据余切的意义求出结果即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，故选：B．【点评】考查直角三角形的边角关系，将坐标转化为线段的长是解答的前提，利用余切的意义是解决问题的关键．3．（4分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：∵将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y＝（x+1﹣2）2﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．4．（4分）下列命题正确的是（）A．如果||＝||，那么＝B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝k（k≠0），那么∥D．如果m＝0或＝，那么m＝0【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【解答】解：A．向量是既有大小又有方向，||＝||表示有向线段的长度，＝表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；C.＝k（k≠0）⇔∥，所以C选项正确；D．如果m＝0或＝，那么m＝0，不正确．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握向量的定义和要素．5．（4分）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．6．（4分）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF 与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【解答】解：如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，＝，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（4分）如果＝，那么的值等于3．【分析】直接利用已知得出x，y之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴3x﹣3y＝2x，故x＝3y∴＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．9．（4分）已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（BP＞AP），且使BP是AB和AP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．【解答】解：根据黄金分割定义可知：∵BP2＝AB•AP，设AB为1，则AP＝1﹣BP，∴BP2＝1•（1﹣BP）BP2+BP﹣1＝0，解得BP＝（舍去）∴BP＝．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．10．（4分）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是a＞﹣1．【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．故答案为a＞﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是下降．（填“上升”或“下降”）【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y 随x的增加而减小．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，故答案为下降．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．12．（4分）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线x ＝﹣．【分析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x＝＝﹣对称，即可求抛物线的对称轴．【解答】解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，∴A、B关于x＝＝﹣对称，∴抛物线的对称轴x＝﹣，故答案为x＝﹣．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为13米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB＝＝＝13，故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14．（4分）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于6．【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题．【解答】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是．【分析】延长BG交AC于E．易知AH＝2，根据三角函数计算AB的长，由勾股定理可得BH的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论．【解答】解：延长BG交AC于H．∵G是△ABC的重心，∴AH＝AC＝＝2，∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝，∴，∴AB＝6，由勾股定理得：BH＝＝＝2，∵∵G是△ABC的重心，∴BG＝2GH，∴BG＝＝；故答案为：．【点评】本题考查三角函数的定义，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长．【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中， 其三边分别为8，15，17， 由于172＝152+82，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形， 斜边上的高＝＝， 故公共弦长＝2×＝，故答案为．【点评】本题考查相交两圆的性质，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）如果直线l 把△ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做△ABC 的“完美分割线”，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若AB ＝2，则BC 的长等于 4﹣4 ．【分析】设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ，设AE ＝AD ＝x ，证△AED ∽△ABC ，可求x 的值，进一步可求出BC 的长． 【解答】解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ， 则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ， ∴＝，∵l ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴＝＝＝，设AE ＝AD ＝x ，则＝，∴x＝，∴BE＝CD＝2﹣，∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．【点评】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．【分析】如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通过证明△ABP ∽△CBA，可得∠PAB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的长，由相似三角形的性质可求B'D，BD的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵点M是AC中点，∴AM＝，∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，∴AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，∵AP2＝AB2+PB2，∴PB＝1，∵＝2＝，且∠ABP＝∠ABC＝90°，∴△ABP∽△CBA，∴∠PAB＝∠C，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE，∵AE2＝AB2+BE2，∴CE2＝4+（4﹣CE）2，∴CE＝AE＝，∴BE＝，∵B'D∥BC，∴△AB'D∽△AEB，∴，∴，∴AD＝，B'D＝，∴BD＝，∴BB'＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE的长是本题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF 与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝﹣，＝+．（用向量、表示）【分析】（1）由平行线得出＝＝，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出＝＝，＝＝，即＝，＝，解得EG＝3，GF＝4，即可得出答案；（2）求出＝＝，得出＝+＝﹣，得出＝+＝﹣+＝+，证出FC＝DC，得出＝＝（+）＝+．【解答】解：（1）∵＝．∴＝，＝，∵AD∥EF∥BC，∴＝＝，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，∴＝＝，＝＝，即＝，＝，解得：EG＝3，GF＝4，∴EF＝EG+GF＝7；（2）∵AD＝5，BC＝10，∴AD＝BC，∵AD∥EF∥BC，∴＝＝，∴＝+＝﹣，∴＝+＝﹣+＝+，∵＝＝，∴＝，∴FC＝DC，∴＝＝（+）＝+；故答案为：﹣，+．【点评】考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等知识；解答（2）题时，求出＝＝是解题的关键．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．【分析】（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．【解答】解：（1）如图1，连接OB，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°﹣∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝6﹣r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，∴r2＝（2）2+（6﹣r）2，解得，r＝4，∴cos∠OAD＝＝＝，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如图2，连接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等边三角形，∴BE＝r＝4．【点评】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴＝，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，∴＝＝，∴CD•CG＝FC•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，得，解得，m＝﹣，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC＝＝5，BC＝＝，AB＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣，∴y AB'＝﹣x+5，联立，解得，x1＝，x2＝0（舍去），则F'（，﹣），将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，得，，解得，k＝1，b＝﹣5，∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，∴y FF'＝x﹣，联立，解得，x＝，y＝，∴F（，），则FF'＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．【分析】（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可．（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ 于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝＝＝．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝，BK＝BQ＝，•MK∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝，∵QN＜QK，∴x＜，∴x＜，∴y＝PM•MK＝（0≤x＜）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH ⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，∴x＝•（8﹣x），解得x＝．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝•x，解得x＝，综上所述，满足条件x的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试卷-解析版
2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各数中，无理数是()A. −√4B. 912C. √93D. 2272.不等式−2x>3的解集是()A. x>−23B. x<−23C. x>−32D. x<−323.下列方程中，有实数根的是()A. √x−1=−xB. √x−1+√x=0C. xx2−1=1x2−1D. x2+2020x−1=04.已知反比例函数y= kx，当x>0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y=2kx2−x−k图象的选项是()A. B.C. D.5.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是()A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量对角线是否互相垂直D. 测量其中三个角是否是直角6.如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是()A. 内含B. 内切C. 外切D. 相交．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：a2⋅a3=______．8.在实数范围内分解因式：x2−2x−2=______．9.已知f(x)=2x2−1，且f(a)=3，那么a=______．10.如图．函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象如图，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______．11.中码CHN220225230…250255260…美码USA 4.55 5.5…7.588.5…如果美码(y)与中码(x)之间满足一次函数关系，那么关于的函数关系式为．12. 一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：______．13. 如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是______ .(请写成1：m 的形式)14. 如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，如果用向量a ⃗ ，b ⃗ 表示向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为______．15. 已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为______．16. 如果两点A(2,a)和B(x,b)在抛物线y =x 2−4x +m 上，那么a 和b 的大小关系为：a ______b.(从“>”“≥”“<”“≤”中选择)．17. 平移抛物线y =2x 2−4x ，可以得到抛物线y =2x 2+4x ，请写出一种平移方法______．18. 如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β=90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”.在△ABC 中，已知∠C =90°，BC =3，AC =4(如图所示)，点D 在AC 边上，联结BD.如果△ABD 为“准互余三角形”，那么线段AD 的长为______(写出一个答案即可)． 三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：|√3−1|−√2×√6+12−√3−82320. 解方程组：{x +2y =8x 2+5xy −6y 2=021. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，点D 在边AC 上，且∠DBC =45°，求sin∠ABD 的值．22.某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？23.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．(1)当∠ACD=∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；(2)当∠BCD=∠A时，求证：CDCA =CFAD．24.如图，已知一个抛物线经过A(0,1)，B(1,3)，C(−1,1)三点．(1)求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；(2)联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；(3)如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．25.在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，．联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB.当OA=√5，且tan∠OAB=12(1)求弦CD的长；(2)如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；(3)如果S△CEF=4S△BOF，求线段AF的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．−√4=−2，是整数，属于有理数；B.912=√9=3，是整数，属于有理数；C.√93是无理数；D.227是分数，属于有理数．故选：C．根据无理数的概念及其三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项解答即可．本题主要考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2.【答案】D【解析】解：不等式的两边同时除以−2得，x<−32．故选D．直接把x的系数化为1即可．本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵√x−1≥0，x−1≥0，∴x≥1，∴−x<0，∴√x−1≠−x，∴A不正确；∵√x−1≥0，√x≥0，当x=1时√x−1+√x有最小值1，∴√x−1+√x≥1，∴B不正确；x x2−1=1x2−1两边同时乘以x2−1，得x=1，经检验x=1是方程的增根，∴方程无解；∴C不正确；x2+2020x−1=0，∵△=20202+4>0，∴方程有两个不相等的实数根，∴D正确；故选：D．A选项中，√x−1≥0，−x<0，则方程无实数根；B选项中，当x=1时√x−1+√x有最小值1，则方程无实数根；C选项中，解得x=1是方程的增根，则方程无实数根；D 选项中，△>0，则方程有两个不相等的实数根．本题考查分式方程、无理方程、二元一次方程；熟练掌握分式方程解法、一元二次方程根的判别式、掌握二次根式成立的条件是解题的关键．4.【答案】D，当x>0时，y的值随x的值增大而增大，【解析】解：∵反比例函数y= kx∴k<0，∴二次函数y=2kx2−x−k中，2k<0，则图象开口向下，−k>0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b=−1<0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．故选：D．直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．由矩形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定；熟记三个角是直角的四边形为矩形是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，∴R−r<4−1，R+r>5即：R−r<3，∵圆心距为3，∴两圆不可能外切，故选：C．首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据两圆的半径的大小或取值范围求得两圆的半径之差，然后根据圆心距与半径的关系确定本题的答案．7.【答案】a5【解析】解：a2⋅a3=a2+3=a5．故答案为：a5．根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．8.【答案】(x−1+√3)(x−1− √3)【解析】解：原式=(x −1)2−3=(x −1+√3)(x −1− √3) 故填：(x −1−√3)(x −1− √3)．先组完全平方，再利用平方差公式而得．本题考查实数范围内分解因式，从完全平方，再平方差公式很容易而得．9.【答案】±√2【解析】解：∵f(x)=2x 2−1，f(a)=3， ∴f(a)=2a 2−1=3，∴2a 2−1=3时，a =±√2， 故答案为±√2．由已知可得f(a)=2a 2−1=3，解出a 即可．本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键．10.【答案】x <2【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．从图象上得到函数的增减性及与x 轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx +b >0的解集． 【解答】解：函数y =kx +b 的图象经过点(2,0)，并且函数值y 随x 的增大而减小， 所以当x <2时，函数值小于0，即关于x 的不等式kx +b >0的解集是x <2． 故答案为x <2．11.【答案】y =0.1x −17.5【解析】解：设y 关于x 的函数关系式为：y =kx +b ， 由题意可得：{5=225k +b8=255k +b解得：{k =0.1b =−17.5∴y 关于x 的函数关系式为y =0.1x −17.5， 故答案为：y =0.1x −17.5．设y 关于x 的函数关系式为：y =kx +b ，利用待定系数法求解析式．本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，理解题意是本题的关键．12.【答案】38【解析】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：38． 故答案为：38．让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率． 本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ．13.【答案】1：√3【解析】解：i =tanα=tan30°=√33=1：√3，故答案是：1：√3．坡比等于坡角的正切值，据此即可求解．本题主要考查了坡比与坡角的关系，注意坡比一般表示成1：a 的形式．14.【答案】12a ⃗ +12b ⃗【解析】解：如图，延长AD 到E ，使得DE =AD ，连接BE ，CE ．∵AD =DE ，BD =CD ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ ．故答案为12a ⃗ +12b ⃗ ． 如图，延长AD 到E ，使得DE =AD ，连接BE ，CE.证明四边形ABEC 是平行四边形，利用三角形法则求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题．本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】2√33【解析】解：如图所示：连接OA 、OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ， ∵△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴AB =AC =BC =2，∠ABC =60°， ∴∠OBD =30°， ∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，BD =CD =12BC =1， ∴OD =BD ⋅tan30°=1×√33=√33， ∴OB =2OD =2√33， ∴该三角形的半径长为2√33， 故答案为：2√33． 根据题意作出图形，构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案．本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．16.【答案】≤【解析】解：∵抛物线y =x 2−4x +m 的对称轴为x =2， ∴当x =2时函数有最小值， ∴b ≥a ， 故答案为≤．由已知可得当x =2时函数有最小值，则可求b ≥a ．本题考查二次函数图象上点的特征；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．17.【答案】向左平移2个单位【解析】解：∵y =2x 2−4x =2(x −1)2−2，y =2x 2+4x =2(x +1)2−2， ∴两抛物线的顶点坐标分别为(1,−2)和(−1,−2)，∴将抛物线y =2x 2−4x 先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y =2x 2+4x ． 故答案为：向左平移2个单位．把y =2x 2−4x 和y =2x 2+4x 改写成顶点式，进而解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．18.【答案】52或74【解析】解：过点D 作DM ⊥AB 于M.设∠ABD =α，∠A =β．①当2α+β=90°时，∵α+β+∠DBC =90°， ∴∠DBC =∠DBA ，∵DM ⊥AB ，DC ⊥BC ， ∴DM =DC ，∵∠DMB =∠C =90°，DM =DC ，BD =BD ，∴Rt △BDC≌Rt △BDM(HL)， ∴BM =BC =3，∵∠C =90°，BC =3，AC =4， ∴AB =√BC 2+AC 2=5，∴AM =5−3=2，设AD =x ，则CD =DM =4−x ， 在Rt △ADM 中，则有x 2=(4−x)2+22， 解得x =52． ∴AD =52．②当α+2β=90°时，∵α+β+∠DBC =90°， ∴∠DBC =β=∠A ， ∵∠C =∠C ，∴△CBD∽△CAB ， ∴BC 2=CD ⋅CA ， ∴CD =94，∴AD =AC −CD =4−94=74． 故答案为52或74．作DM ⊥AB 于M.设∠ABD =α，∠A =β.分两种情形：①当2α+β=90°时．②当α+2β=90°时，分别求解即可．本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．19.【答案】解：|√3−1|−√2×√6+2−√3−823=√3−1−2√3+2+√3−4 =−3【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：{x +2y =8 ①x 2+5xy −6y 2=0 ②，由②得：x +6y =0，x −y =0，原方程组可化为{x +2y =8x +6y =0或{x +2y =8x −y =0，故原方程组的解为{x 1=12y 1=−2，{x 2=83y 2=83．【解析】先将第2个方程变形为x+6y=0，x−y=0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．21.【答案】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH=DH，连接DH.设DM=a．∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°−30°=60°，∵∠DBC=45°，∴∠ABD=60°−45°=15°，∵HB=HD，∴∠HBD=∠HDB=15°，∴∠DHM=∠HBD+∠HDB=30°，∴DH=BH=2a，MH=√3a，BM=2a+√3a，∴BD=√DM2+BM2=√a2+(2a+√3a)2=(√2+√6)a，∴sin∠ABD=DMDB =(√2+√6)a=√6−√24．【解析】如图，作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH=DH，连接DH.设DM=a.解直角三角形求出BD即可解决问题．本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得：800÷40%(1+x)2=2880，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2(不合题意舍去)，则800÷40%×(1+20%)=2400(万元)，答：2020年预计经营总收入为2400万元．【解析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×(1+增长率)2=2021年经营总收入，列出方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×(1±x)2=后来的量，其中增长用+，减少用−．23.【答案】证明：(1)∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，又∵∠ECF=90°，∴四边形DECF为矩形．∵∠ACD =∠BCD ，∴CD 平分∠ACB ，∴DE =DF ，∴四边形DECF 是正方形．(2)∵∠BCD +∠ACD =∠ACB =90°，∠BCD =∠A ，∴∠A +∠ACD =90°，∴∠ADC =180°−90°=90°．∵∠DCF =∠A ，∠DFC =∠ADC =90°，∴△CDF∽△ACD ， ∴CD CA =CF AD ．【解析】(1)由垂直的定义可得出∠DEC =∠DFC ，结合∠ECF =90°可得出四边形DECF 为矩形，由∠ACD =∠BCD 可得出CD 平分∠ACB ，利用角平分线的性质可得出DE =DF ，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF 是正方形；(2)由∠BCD +∠ACD =∠ACB =90°，∠BCD =∠A 可得出∠A +∠ACD =90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC =90°，由∠DCF =∠A ，∠DFC =∠ADC =90°可证出△CDF∽△ACD ，再利用相似三角形的性质可证出CD CA =CF AD ．本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：(1)利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF 是正方形；(2)利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF∽△ACD ．24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)．由题意可得：{3=a +b +c1=a −b +c c =1解得：{a =1b =1c =1∴抛物线的解析式为：y =x 2+x +1，∵y =x 2+x +1=(x +12)2+34，∴顶点D 的坐标(−12,34)；(2)如图，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，延长CA 交BF 于点D ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，∴BF =3，∵A(0,1)，C(−1,1)，∴AC//x 轴，∴CD ⊥BF ，∴CD=BD=2，AD=1，CA=1，∴BC=2√2，∠BCD=∠CBD=45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC=∠MCA=45°，∴CM=AM，∴CM=AM=2=√22，∴BM=BC−CM=3√22，∴tan∠ABC=AMBM =13；(3)∵A(0,1)，B(1,3)，C(−1,1)，∴直线AC解析式为：y=1，直线AB解析式为：y=2x+1，直线BC解析式为：y=x+2，若BE//AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E(−12,3)；若CE//AB，则CE的解析式为；y=2x+3，∵点E在对称轴上，∴x=−12，∴y=2，即点E(−12,2)；若AE//BC，则AE解析式为：y=x+1，∵点E在对称轴上，∴x=−12，∴y=12，即点E(−12,12 )，综上所述：点E的坐标为(−12,3)或(−12,2)或(−12,12).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A(0,1)、B(1,3)、C(−1,1)代入，求a、b、c的值，可得结果；(2)如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；(3)分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，梯形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：(1)如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB=12=OHAH，∴设OH=a，AH=2a，∵AO2=OH2+AH2=5，∴a=1，∴OH=1，AH=2，∵OH⊥AB，∴AB=2AH=4，∵弧AC=弧BD∴AB⏜=CD⏜，∴AB=CD=4；(2)∵OA=OB，∴∠OAF=∠OBA，∴∠OAF=∠ECF，①当∠AFO=90°时，∵OA=√5，tan∠OBA=12，∴OC=OA=√5，OF=1，AB=4，∴EF=CF⋅tan∠ECF=CF⋅tan∠OBA=√5+12；②当∠AOF=90°时，∵OA=OB，∴∠OAF=∠OBA，∴tan∠OAF=tan∠OBA=12，∵OA=√5，∴OF=OA⋅tan∠OAF=√52，∴AF=52，∵∠OAF=∠OBA=∠ECF，∠OFA=∠EFC，∴△OFA∽△EFC，∴EFOF =OC+OFAF=3√55，∴EF=3√55OF=32，即：EF=32或√5+12；(3)如图，连接OE，∵∠ECB=∠EBC，∴CE=EB，∵OE=OE，OB=OC，∴△OEC≌△OEB，∴S△OEC=S△OEB，∵S△CEF=4S△BOF，∴S△CEO+S△EOF=4(S△BOE−S△EOF)，∴S△CEOS△EFO =53，∴COFO =53，∴FO=35CO=3√55，∵△OFA∽△EFC，∴CEEF =AOFO=OCOF=53，∴BF=BE−EF=CE−EF=23EF，∴AF=AB−BF=4−23EF，∵△OAF∽△EFC，∴CFFA =EFFO，∴85√54−23EF=3√55，∴EF=3−3√55，∴AF=4−23EF=2+2√55．【解析】(1)如图，过点O作OH⊥AB于点H，由锐角三角函数可求OH=1，AH=2，由垂径定理可得AB=4，即可求CD=4(2)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；(3)先利用面积关系得出COFO =53，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出CEEF =AOFO=OCOF=53是解本题的关键．。
【2020精品中考数学提分卷】上海宝山区初三一模数学试卷 +答案
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣14．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．若2||＝3，那么3||＝．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为千米．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB 交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．2020年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故选：B．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为直线x＝3 ．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，故其图象的对称轴为：直线x＝3．故答案为：直线x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10．若2||＝3，那么3||＝．【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为225 千米．【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺＝＝，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16 ．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是2≤r≤8 ．【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D ＝AC＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折叠∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案为：【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得＝，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝＝，AH＝＝，EH ＝AE﹣AH＝，依据tan D＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|，根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝＝，∴OA＝2，即A（2，0），将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，∴2（m+1）＝3|﹣m|，解得m＝或m＝．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【分析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP＝x，利用△APE∽△PEC，得出PC2＝CE•AP，利用勾股定理得出PC2＝PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴＝，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x＝（不合题意值已舍去），即：AP＝；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG＝EC＝5﹣2，∴＝，即：＝，解得：FG＝3﹣1．【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。
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2 7PH3考生注意：杨浦区 2019 学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷2019.12（测试时间：100 分钟，满分：150 分）1. 本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1. 把抛物线 y = x2 向左平移 1 个单位后得到的抛物线是 A ． y =（x +1 2 ；B ． y =（x -1 2 ；C ． y = x 2 +1；D ． y = x 2 -1.32. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2， cos A =5 ，那么AB 的长是410 A.；B 8C ． ；D ． ．． ； 23333. 已知 a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a // b 的是1 A ． a // c ，b // c ； B ． a = 2c ， b = 2c ；C ． a = 2b ；D ． a = b .4. 如图，在 6×6 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A 、B ，如果线段 AB 与网格线的其中两个交点为 M 、N ，那么 AM ∶MN ∶NB 的值是A ．3∶5∶4；B ．3∶6∶5；C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y （米）关于水珠和喷头的水平距离 x （米）的函数解析式是第 4 题图y = - 3 x 2+ 6x （0）≤ x ≤ 4 2，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是A ．1 米；B ．2 米；C ．5 米；D ．6 米．6. 如图，在正方形 ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与 BF 相交于点 H ，下列结论中错误的是 AD A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7. 如果cot= ，那么锐角= ▲ 度．8. 如果抛物线 y = -x 2 + 3x -1 + m 经过原点，那么 m =▲． 9. 二次函数 y = 2x 2 + 5x -1 的图像与 y 轴的交点坐标为 ▲．FE BC第 6 题图10. 已知点 A （，）y 、 B （x ）y 为抛物线 y =（x - 2 2 上的两点，如果 x < x < 2 ，那么 ▲．112212（填“>”、“<”或“=”）11. 在比例尺为 1：8 000 000 地图上测得甲、乙两地间的图上距离为 4 厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12. 已知点 P 是线段 AB 上的一点，且 BP 2 = AP ⋅ AB ，如果 AB =10cm ，那么 BP =▲ cm ．13. 已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作 MN ∥BC 分别交边 AB 、AC 于点 M 、N ，那么 S∆AMN =▲S ∆ABC．14. 如图，某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC ，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA 的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米，那么栏杆端点 D 离地面的距离为▲ 米．15. 如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的坡角为 31°，AB 的长为 12 米，那么大厅两层之间 BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】416. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2， tan A = ，那么 CD = ▲ ．3DAAO B CE第 14 题图AC第 15 题图DCB第 16 题图17. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形 ABCD 中，对角线 BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18. 在 Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边 BC 翻折，点 A 落在点 A 1 处，点 D 、E分别为边 AC 、BC 的中点，联结 DE 并延长交 A 1B 所在直线于点 F ，联结 A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么 a = ▲ ．三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）抛物线 y ＝ax 2+bx +c 中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应关系如下表：x … -3 -2 -1 0 1 … y…-4-1-1-4…B31°（1）求该抛物线的表达式；2 3 6 E（2） 如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点 M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .20．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）如图，已知在梯形 ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点 E 在边 AD 上， DE = 2 ，过点 E 作AE 3EF //AB 交边 BC 于点 F . D C （1） 求线段 EF 的长；EF（2） 设 AB = a ， AD = b ，联结 AF ，请用向量 a 、b 表示向量 AF ．21. （本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）第 20 题图如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º， sin B = 3，延长边 BA 至点 D ，使 AD =AC ，联结 CD .5（1） 求∠D 的正切值；（2） 取边 AC 的中点 E ，联结 BE 并延长交边 CD 于点 F ，求 CF的值．FDC22．（本题满分 10 分）DAB第 21 题图某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学 楼的高度，他们先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为30︒ ，再沿 DF 方向前行 40 米到达点 E 处，在点 E 处测得楼顶 M 的仰角为45︒，已知测角仪的高 AD 为 1.5 米．请根据他们的测量数据求此楼 MF 的M高．（结果精确到 0.1m ，参考数据： ≈ 1.414 ， ≈ 1.732 ， ≈ 2.449 ）23．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）A30ºDB 45ºC EF第 22 题图如图，已知在△ABC 中， AD 是△ABC 的中线， ∠DAC = ∠B ，点 E 在边 AD 上， CE = CD .AC BDA （1） 求证： = ；AB AD（2） 求证： AC 2 = 2 AE ⋅ AD .DC24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx 2 - 2mx + 4 ( m ≠ 0 ) 与 x 轴交于点 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6．（1） 求这条抛物线的对称轴及表达式；（2） 在 y 轴上取点 E （0，2），点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF 、EF ，如果 S 四边形OEFB =10 ，求点 F 的坐标；（3） 在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧，如果直线 PF与 y 轴的夹角等于∠EBF ，求点 P 的坐标.25．（本题满分 14 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分）已知在菱形 ABCD 中，AB=4， ∠BAD = 120︒ ，点 P 是直线 AB 上任意一点，联结 PC ，在∠PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q （与 B 、D 不重合），且∠PCQ= 30︒ ．（1） 如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP = 3 ，求线段 PC 的长；（2） 当点 P 在射线 BA 上时，设 BP =x ，CQ =y ，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；（3） 联结 PQ ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段 BP 的长．第 25 题图备用图⎨⎩⎩⎨b a b 在 Rt △ABC 中，∵ sin B = ，∴ （1 分）杨浦区 2019 学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．A ；2．B ；3．D ；4．C ；5．B ；6．C二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．30； 8．1； 9．（0，- 1）； 10．>； 11．320； 12． 5 13． 4 ； 14．2.4； 15．6.2； 16． 6 ； 17．145； 18． 4 9 5 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）- 5 ；、 419. 解：（1）∵二次函数 y = ax 2 + bx + c 图像过点（- 1，0 ）、 ⎧a - b + c = 0，(0，-1) 和(1，- 4) ，∴ ⎪c = -1， ⎪a + b + c = -4. ⎧a = -1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3 分） ∴ ⎪= -2，∴二次函数解析式为 y = -x 2 - 2x -1 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3 分） ⎪c = -1. （2）平移的方法是先向右平移 3 个单位再向上平移 4 个单位或先向上平移 4 个单位再向右平移 3 个单位.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4 分）20. 解：（1）过 D 作 DH //BC 交 AB 于 H ，交 EF 于 G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形 DHBC 是平行四边形.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） 同理 GF =7. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） 又 AB=12，∴AH =5. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） ∵EF //AB ， ∴ EG = DE. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）AH DA∵ DE = 2 ，∴ DE = 2 . AE 3 DA 5 ∴ EG = 2 ， EG = 2 ，∴ EF = 9 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）5 5 （2） 3 →+ 3 →∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4 分）4 521. 解：（1）过 C 作 CH ⊥AB 于 H ．3 AC 3=.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 5 AB 5∴设 AC =3k ，AB =5k ，则 BC =4k .∵ S = 1 AC ⋅ BC = 1 AB ⋅ CH ，∴ CH = AC ⋅ BC = 12k . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∆ABC 2 2 AB 5 ∴ AH = 9k . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）55 33 ∵AD=AC ，∴DH = 3k + 9 k = 24k . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）5 5CH12k 1 在 Rt △CDH 中， tan ∠CDH = = 5 = .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）DH（2） 过点 A 作 AH//CD 交 BE 于点 H.24 k 25∵AH//CD ，∴ AH = AE . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分 ）CF EC∵点 E 为边 AC 的中点，∴ AE = CE .∴ AH = CF . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） ∵AH//CD ，∴ AH = AB. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分 ）DF BD∵AB =5k ，BD =3k ，∴ AB = 5 .∴ AH = 5.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）BD 8 DF 8∴ CF = 5.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） DF 8 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.设 MC =x 米，则在 Rt △MBC 中，由tan ∠MBC = MC得 BC = x . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2 分） BC 又 Rt △ACM 中，由cot ∠MAC =AC得 AC =MC3x . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2 分）∴ 3x - x = 40 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2 分 ）∴x = 20 + 20 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∴MF =MC+CF = 20 3+21.5 ≈ 56.1米.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2 分） 答：此楼 MF 的高度是 56.1 米.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∴∠AEC =∠BDA . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∴ AC =CE .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分 ） AB AD∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD = CD .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∵CD =CE ，∴ BD = CE .∴ AC = BD. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）AB AD（2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∴ AC = CD ，∴ AC 2 = CD ×CB . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） BC AC∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BC = 2CD ，∴ AC 2 = 2CD 2 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）5 5 (2 - 4)2 + (4 - 0)2∵△ACE ∽△BAD ，∴ CE = AE. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）AD BD 又∵CD =CE=BD ，∴ CD 2 = AD ×AE . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） ∴ AC 2 = 2 AD ×AE .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）24. 解：（1）抛物线对称轴 x = -- 2m= 1 ................................................................... （1 分） 2m ∵AB =6，∴抛物线与 x 轴的交点 A 为(- 2，0) ，B (4，0) ............................................. （1 分）∴ 4m + 4m + 4 = 0 （或16m - 8m + 4 = 0 ） .................................................................. （1 分）∴ m = -1.∴抛物线的表达式为 y = - 2 1 x 2 + x + 4..................................................... （1 分） 2（2） 设点 F (x ，- 1 x 2+ x + 4) ..................................................................................... （1 分） 2 ∵点 E （0，-）2 ，点 B （4，0），∴OE = 2，OB = 4.∵ S 四边形OEFB =S ∆OEF+S ∆OBF= 10 ， ∴ 1 ⨯ 2 ⨯ x + 1 ⨯ 4 ⨯ (- 1 x 2+ x + 4) = 10 ....................... （1 分） 2 2 2∴ x = 1或2 ，∴点 F （19、（2，4） .............................................................................. （2 分），） 2（3） ∵ S=S +S = 10 ，又 S = 1 OB ⋅ OE = 1⨯ 4 ⨯ 2 = 4 ，∴ S = 6 . 四边形OEFB∆OBE ∆ BEF ∆OBE 2 2∆ BEF 过 F 作 FH ⊥ BE ，垂足为点 H .∵ S ∆ BEF= 1 BE ⋅ FH = 6 ，又 BE = 2 = 2 ，∴ FH = 6 585 ................................. （1 分） 又 BF = = 2 ，∴ BH = 5 .5 ∴在 Rt ∆BFH 中，tan ∠EBF= FH = 565 3 ................................................................... = （1 分）BH 8 5 45设直线 PF 与 y 轴的交点为 M ，则∠PMO=∠EBF ，过 F 作 FG ⊥ x 轴，垂足为点 G. ∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1 分）∴tan ∠PFG= PG = 3.FG 4 又 FG =4，∴PG =3.∴点 P 的坐标（- 1，0 ） ........................................................................................................ （1 分）25. 解：（1）过 P 作 PH ⊥ BC ，垂足为点 H.在 Rt ∆BPH 中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴ BH = 3，PH = 3 3 .................................. （2 分）2 2 在 Rt ∆PCH 中， CH = 4 -3 = 5，PC =2 2（2）过 P 作 PH ⊥ BC ，垂足为点 H.=...1..3 .................................... （1 分） 22 + 42 ( 3 2 3)2 + ( 5)2 24 x 2 - 4x + 163 3 3 34 3x 在 Rt ∆BPH 中， BH = 1x ，PH =3 x . 2 2∴在 Rt ∆PCH 中， CH = 4 - 1x ，PC =2设 PC 与对角线 BD 交于点 G .∵AB//CD ，∴ BP = PG = BG = x.CD GC GD 4= ...x ..2..-...4..x ...+...1..6 ............. （1 分）∴ BG = x + 4，CG = x + 4. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .∴ PB = BG ，∴ x = CQ CG y x + 4 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分） x + 4∴ y =3x 2 -12x + 48（ 0 ≤ x < 8 ）.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2 分） 3（3）i ）当点 P 在射线 BA 上，点 E 在边 BC 的延长线时.∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC= 1∠ABC = 30︒ .2∵△PBG ∽△QCG ，∴ PG =BG，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . QG CG∴∠QPG =∠QBC = 30︒ ， 又 ∠PBQ =∠PCQ = 30︒ ，∴ ∠CQE = ∠QPC + ∠QCP = 60︒ .∴ ∠CQE = ∠PBC = 60︒ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1 分）∵ ∠PCB > ∠E ，∴ ∠PCB = ∠QCE .又∠PCB + ∠QCE + ∠PCQ = 180︒ ，∠PCQ = 30︒ ，∴ ∠PCB = ∠QCE = 75︒ .过 C 作CN ⊥ BP ，垂足为点 N ，∴在 Rt ∆CBN 中， BN = 2，CN = 2.∴在 Rt ∆PCN 中， PN = CN = 2 .∴ BP = 2 + 2 ..................................................................................................................... （2 分）ii ）当点 P 在边 AB 的延长线上，点 E 在边 BC 上时，同理可得 BP = 2 - 2 .......... （3 分）4 3x ( 3 x )2 + (4 - 1 x )2 2 24 x 2 - 4x + 16“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2020年上海市静安区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市静安区初三一模数学试卷一、选择题1、已知a =b =ab 的值为（ ）A. B.C.x y -D.x y +2、已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为（ ）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33、在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是（ ）A.45DE BC = B.94BC DE = C.45AE AC = D.54EC AC = 4、在Rt ABC 中90C ∠=，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是,,a b c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为（ ）A.13B.3 5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A.DC a b =+B.DC a b =-C.DC a b =-+D.DC a b =--6、如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是（ ） A.向右平移4个单位，向上平移11个单位 B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题7、因式分解：25x x -= .8、已知()f x =()3f = .9、方程1112x x -=+的根是 . 10、已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- . 11、在ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = . 12、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么两个三角形的面积比是 .13、如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 米。
（结果保留根号）14、某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x （0x >），六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是 . 15、矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 .16、已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，0a ≠），当自变量x 分别取6-，4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“<”、“=”）.17、平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= . 18、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .三、解答题19、先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =，cos 60y =.20、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，20AC =，3sin 5A =，CD AB ⊥，垂足为D . （1）求BD 的长；（2）设AC a =，BC b =，用a 、b 表示AD21、已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx =++（b 为常数）的对称轴是直线1x =. （1）求该抛物线的表达式；（2）点()8,A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为'A ，求点'A 的坐标. （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线.22、如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22方向上. （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由.（sin 220.375≈，cos 220.927≈，tan 220.404≈ 1.732≈.）23、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =⋅.（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ⋅=⋅，求证：ABEACD .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABDBCDSS=，求tan DBC ∠的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.参考答案1-6、CDBACD7、()5x x - 8 9、3x = 10、3411、412、16:25 13、 14、()22001y x =+ 15、240 16、> 17、23 18、1719、原式2x yx y+=+=20、（1）9；（2）16162525AD a b =-； 21、（1）221y x x =-+；（2）()'6,49A -；（3）略 22、（1）167.79m ；（2）能 23、略24、（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭25、（1）ACD EBA EAD ；（2（3）24+。
2020届初三中考数学一诊联考试卷含参考答案 (上海)
2020届**市初三中考一诊联考试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.考试时间：120分钟。
一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为（）A．13B．1136C．512D．142．下列各数中是无理数的是（）A．cos60°B．·1.3C．半径为1cm的圆周长D3．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的边OB在y轴上，∠ABO＝90°，AB＝3，点C在AB上，BC＝13AB，且∠BOC＝∠A，若双曲线y＝kx经过点C，则k 的值为（ ）A B C ．1 D ．24．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为( )A ．44×108B ．4.4×108C ．4.4×109D ．4.4×10105．已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知反比例函数(0)k y k x=<的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <，则12y y -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定7．在下列命题中，是真命题的是（ ）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8．关于反比例函数y=2x的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小9．按如图所示的运算程序，当输出的y值为0时，x的值是（）A．1B．2C．1±D．2±10．如图，AB是圆O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与圆O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD，CD＝BD＝OE的长度为( )A B．2C．D．4二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=12，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=12x2的通径长为______．12．如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝120°，∠2＝80°，则∠3的度数是_____．13．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣3，﹣1），把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是______．14．已知一元二次方程x2＝0有两个相等的实数根，则nm的值是_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．如图，AP平分∠BAC，∠ADP和∠AEP互补．(1)作P到角两边AB，AC的垂线段PM，PN．(2)求证：PD＝PE．16．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t=3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．17．为了更好的落实阳光体育运动，学校需要购买一批足球和篮球，已知一个足球比一个篮球的进价高30元，买一个足球和两个篮球一共需要300元．（1）求足球和篮球的单价；（2）学校决定购买足球和篮球共100个，为了加大校园足球活动开展力度，现要求购买的足球不少于60个，且用于购买这批足球和篮球的资金最多为11000元．试设计一个方案，使得用来购买的资金最少，并求出最小资金数．18．据《中国教育报》2004年5月24日报道：目前全国有近3万所中小学建设了校园网，该报为了了解这近3万所中小学校园网的建设情况，从中抽取了4600所学校，对这些学校校园网的建设情况进行问卷调查，并根据答卷绘制了如图的两个统计图：说明：统计图1的百分数＝样本中校园网建设时间在某段时间内的中小学数量×100%；样本数量统计图2的百分数＝样本中校园网建设资金投入在某资金段内的中小学数量×100%．样本容量。
2020届初三中考数学一诊联考试卷含答案解析 (上海)
2020届**市初三中考一诊联考试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.考试时间：120分钟。
一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．在△ABC中，AB=10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或102．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．24 B．16 C．14 D．123．关于x的一元二次方程(m﹣2)x2﹣4x+1＝0有两个实数解，则实数m的取值范围()A．m≤6 B．m≤6且m≠2 C．m＜6且m≠2 D．m＜64．若a﹣b＝12，则a2﹣b2﹣b的值为（）A．12B．14C．1 D．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点C出发，沿折线CA→AB以3cm/s的速度匀速运动，动点Q从C出发沿CB以1cm/s 的速度匀速运动，若动点P、Q同时从点C出发任意一点到达B点时两点都停止运动，则这一过程中，△PCQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系大致图象是（）A．B．C．D．6．下列方程，是一元二次方程的是（ ）①3x 2+x =20，②2x 2-3xy +4=0，③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2-3x +3=0 A ．①② B ．①④⑤ C ．①③④ D ．①②④⑤7．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P 是反比例函数y ＝kx （k ≠0）图象上的一点，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，点B 为AO 的中点若△P AB 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．12D ．﹣128．将一副三角板（∠A ＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB ∥EF ，则∠1等于（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．115°9．如图，在矩形ABCD 中，4,30AD DAC =∠=，点,P E 分别在,AC AD 上，则PE PD +的最小值是（）A ．2B ．C ．4 D10．若实数m、n满足20m-=，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．6二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若正六边形的面积等于O的面积等于 __________ .12．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为_____．13．分解因式：4m2﹣16n2＝_____．14．如图，PA切⊙O于点A，点B是线段PO的中点，若⊙O，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．16．如图，10×10的网格中，A，B，C均在格点上，诮用无刻度的直尺作直线MN，使得直线MN平分△ABC的周长（留作图痕迹，不写作法）（1）请在图1中作出符合要求的一条直线MN；（2）如图2，点M为BC上一点，BM＝5．请在AB上作出点N的位置．17．某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据统计图的信息解决下列问题：（1）本次调查的学生有多少人？（2）补全上面的条形统计图；（3）扇形统计图中C 对应的中心角度数是 ；（4）若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A ，B 口味的牛奶共约多少盒？18．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4.19．如图，抛物线2y ax bx c =++经过A(-2,0), B(4,0), C(0,-4)三点．点P 是抛物线BC 段上一动点（不含端点(,)B C ，BD BC ⊥与CP 的延长线交于点D（1）求抛物线的解析式．。
2020年上海市长宁(金山)区初三一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市长宁（金山）区初三一模数学试卷2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. 22y x = B. 22(3)y x x =+- C. 221y x x =+- D. (1)y x x =-2. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点(2,3)A ，那么OA 与x 轴正半轴的夹角α的余切值是（ ）A. 32B. 23C. 31313D. 21313 3. 将抛物线2(1)3y x =+-向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)3y x =--B. 2(3)3y x =+-C. 2(1)1y x =+-D. 2(1)5y x =+-4. 下列命题正确的是（ ）A. 如果||||a b =，那么a b =B. 如果a 、b 都是单位向量，那么a b =C. 如果a kb =（0k ≠），那么a ∥bD. 如果0m =或0a =，那么0ma =5. 已知在矩形ABCD 中，5AB =，对角线13AC =，C 的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A. C 与直线AB 相交B. C 与直线AD 相切C. 点A 在C 上D. 点D 在C 内6. 如果点D 、E 、F 分别在△ABC 的边AB 、BC 、AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（ ）A. 如果EF ∥AB ，那么::AF AC BD AB =B. 如果::AD AB CF AC =，那么EF ∥ABC. 如果△EFC ∽△BAC ，那么EF ∥ABD. 如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 计算：2(2)3()a b a b -++=8. 如果32x x y =-，那么x y的值等于 9. 已知点P 在线段AB 上，且满足2BP AB AP =⋅，则BP AB的值等于10. 已知抛物线2(1)y a x =+的开口向上，则a 的取值范围是 11. 抛物线221y x =-在y 轴左侧的部分是 （填“上升”或“下降”）12. 如果一条抛物线经过点(2,5)A ，(3,5)B -，那么它的对称轴是直线13. 如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度1:2.4i =，那么物体所经过的路程AB 为 米14. 如图，AC 与BE 交于点D ，90A E ∠=∠=︒，若点D 是线段AC 的中点，且10AB AC ==，则BE 的长等于15. 如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是重心，4AC =，1tan 3ABG ∠=，则 BG 的长是16. 已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为17. 如果直线l 把△ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做△ABC 的“完美分割线”，已知在△ABC 中，AB AC =，△ABC 的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若2AB =，则BC 的长等于18. 如图，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：22sin30tan 60cot 45cos60cos30sin 45︒⋅︒-︒+︒︒-︒.20. 如图，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，AD ∥EF ∥BC ，EF 与BD 交于点G ，5AD =，10BC =，23AE EB =. （1）求EF 的长； （2）设AB a =，BC b =，那么DB = ，FC = ；（用向量a 、b 表示）.21. 如图，已知AB 是O 的弦，点C 在O 上，且AC BC =，联结AO 、CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，43AB =，6CD =.（1）求OAB ∠的大小；（2）若点E 在O 上，BE ∥AO ，求BE 的长.22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O A B C ---表示支架，支架的一部分O A B --是固定的，另一部分BC 是可旋转的，线段CD 表示投影仪探头，OM 表示水平桌面，AO OM ⊥，垂足为点O ，且7AO cm =，160BAO ∠=︒，BC ∥OM ，8CD cm =.将图2中的BC 绕点B 向下旋转45°，使得BCD 落在BC D ''的位置（如图3所示），此时C D OM ''⊥，AD '∥OM ，16AD cm '=，求点B 到水平桌面OM 的距离.【参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，cot700.36︒≈，精确到1cm 】23. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅.（1）求证：AFD AEC ∠=∠；（2）若EG ∥CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213y x mx n =++经过点(6,1)B 、(5,0)C ， 且与y 轴交于点A .（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ OA ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果45PAB ∠=︒，求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包括端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线上，求FF '的长.25. 如图，已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP CQ =，过点P 作PM AB ⊥，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP x =，平行四边形PQNM 的面积为y .（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求的PQM ∠正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边中点时，直接写出x 的值.参考答案一. 选择题1. D2. B3. A4. C5. D6. C一. 填空题7. 5a b - 8. 3 9.10. 1a >-11. 下降 12. 12x =- 13. 13 14.15.16. 2401717. 4 18. 三. 解答题19. 1+.20.（1）7EF =；（2）12DB a b =-，33510FC a b =+. 21.（1）30OAB ∠=︒；（2）4BE =.22. 45cm .23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）218533y x x =-+，(0,5)A ；（2）证明略；（3）FF '=. 25.（1）9tan 25PQM ∠=；（2）23962525y x x =-+（2407x <<）；（3）20043x =或40059.。
2020年上海市九年级数学中考模拟卷(含答案)
2020年上海市中考数学模拟试卷第I 卷（选择题)一、单选题1．已知线段a 、b ，如果a ：b ＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ）A ．a +b ＝7B ．5a ＝2bC ．a+b b =72D ．a+5b+2＝1 2．若要得到函数y ＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y ＝x 2的图象( )A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度3．若斜坡的坡比为1：√33，则斜坡的坡角等于( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播天气预报B ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上C ．从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除D ．长度分别是3cm ，3cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形5．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 6．如图，⊙O 的半径为4，点A ，B 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，sin ∠APB =35，AB ⊥PB ，如果OP ⊥OA ，那么OP 的长为( )A ．53B ．3C ．95D ．43 第II 卷（非选择题)二、填空题7．计算（﹣12）﹣2＝_____．8．如图，把边长为单位1的正方形一边与数轴重叠放置，以O 为圆心，对角线OB 长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 对应的数是_____．9．不等式﹣2x ＞﹣4的正整数解为_____．10．不等式组{3x −15<03−x <0的解集是_____． 11．在函数y ＝x −2x+3中，自变量x 的取值范围是_____．12．已知关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是_____． 13．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象14．正五边形的中心角的度数是_____．15．两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为__________．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．17．如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝_____米．（结果保留根号）18．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC=2√5，D为边AC上一点(点D与点A、C不重合)．将△ABC 沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD =______．三、解答题19．先化简，再求值：x2x2+4x+4÷xx+2−x−1x+2，其中x=√2﹣1．20．解不等式组：{6x−2>4x−4，23x≥x−13，并把解集在数轴上表示出来．21． 如图，在⊙O 中，两条弦AC,BD 垂直相交于点E ，等腰ΔCFG 内接于⊙O ，FH 为⊙O 直径，且AB =6，CD =8．（1）求⊙O 的半径；（2）若9CF CG ==，求图中四边形CFGH 的面积．22．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A 地时距地面的高度b 为 米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？23．如图，在RtΔACB 中，∠ACB =90∘，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接CE,CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．（1）求证：BCD BEC ∠=∠；（2）若BC =2，BD =1，求CE 的长及sin ∠ABF 的值．24．如图，二次函数y=ax2−32x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．参考答案1．C2．B3．D4．C5．C6．D7．48．√29．x ＝1．10．3＜x ＜5 11．x ≠1.512．m ＜413．（3，0）． 14．72°．15．216．1017．100√6−100√218．56． 19．√2−1．20．11x -<≤；21．（1）5（2）252√1925 22．23．（1）（2）CE=6√55，sin ∠ABF =9√1050．24．（1）y =12x +2（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、（32--，﹣2）、（32-+，﹣2） 25．（1）y=45t 2（2）4（3）t=14.5s （4）IC=24√345−245。
2020年度上海市九年级中考数学模拟试卷(含答案)
2020年度上海市九年级中考数学模拟试卷（含答案）一．选择题（满分24分，每小题4分）1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．22．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c 的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b3．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．4．下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似5．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥6．如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（）A．2sinαB．2cosαC．D．二．填空题（满分48分，每小题4分）7．如果2a＝3b，那么＝．8．线段9和25的比例中项是．9．如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．10．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝cm．11．在直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝13，AB＝12，则tan B＝．12．二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…B n A n∁n都是正方形，则正方形A n﹣1B n A n∁n的周长为．四边形A n﹣113．将抛物线y＝x2+4x+5向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为．14．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果＝，那么＝（用表示）．15．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是．16．小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了米．17．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是．18．如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD＝7，CG＝4，AB'＝B'G，则＝（结果保留根号）．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）2sin60°•tan45°+4cos230°﹣tan60°20．（10分）已知一抛物线y＝ax2+bx和抛物线y＝﹣2x2的形状及开口方向完全相同，且经过点（1，6）（1）求此抛物线解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．21．（10分）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC＝∠AEB．（1）求证：△ADF∽△CAE；（2）当AD＝8，DC＝6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求BC的长？22．（10分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．23．（12分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且＝，DG∥AB，求证：DF＝BG．24．（12分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．25．（14分）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．直角尺的直角顶点放在点P 处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2）．①求证：△APB∽△DCP；②求PC、BC的长；（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中（图1是该过程的某个时刻），观察、猜想并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②设AE＝x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值．参考答案一．选择题1．解：抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2﹣4ac ＞0，故①正确；对称轴为x ＝﹣1，即：﹣＝﹣1，也就是2a ＝b ，故②正确；当x ＝﹣1时，y 最大＝a ﹣b +c ，当x ＝t 时，y ＝at 2+bt +c ，∴at 2+bt +c ≤a ﹣b +c ，即：t （at +b ）≤a ﹣b ，故③正确；由抛物线的对称性可知与x 轴另一个交点0＜x ＜1，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，又2a ＝b ，即a ＝b ，代入得： b +b +c ＜0，也就是3b +2c ＜0；因此④正确；点A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）到对称轴x ＝﹣1的距离分别为L A 、L B 、L C ，则有L A ＞L C ＞L B ，且A 、B 在对称轴左侧，C 在对称轴的右侧，故y 1＜y 3＜y 2，因此⑤正确，综上所述，正确的结论有5个，故选：A ．2．解：∵抛物线y ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，∵点A （﹣2，a ），B （2，b ），C （4，c ）是抛物线y ＝x 2﹣4x 的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a ＞c ＞b ，故选：D ．3．解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，则OB ＝2，AB ＝3，在Rt △OAB 中，cot ∠AOB ＝cot α＝＝， 故选：B ．4．解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；故选：B ．5．解：A 、如果k ＝0，是非零向量，那么k ＝0，错误，应该是k ＝．B 、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C 、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D ．6．解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD ，则∠ABE ＝α，过A 作AE ⊥BC 于E ，则AE ＝1，设BE ＝x ，∵∠ABE ＝α，∴AB ＝＝，∴BC ＝AB ＝，∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C ．二．填空题7．解：∵2a ＝3b ，∴＝．故答案为：．8．解：设比例中项是x，则：9：x＝x：25，x2＝225，x＝±15故答案为15．9．解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．10．解：∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝5﹣5．故答案为：（5﹣5）．11．解：在直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝13，AB＝12，∴AC＝＝＝5，∴tan B＝＝，故答案为．12．解：∵四边形A0B1A1C1是正方形，∠A0B1A1＝90°，∴△A0B1A1是等腰直角三角形．设△A0B1A1的直角边长为m1，则B1（m，m）；代入抛物线的解析式中得：（m）2＝m，解得m1＝0（舍去），m1＝；故△A0B1A1的直角边长为，同理可求得等腰直角△A1B2A2的直角边长为2，…B n A n的直角边长为n，依此类推，等腰直角△A n﹣1B n A n∁n的周长为4n．故正方形A n﹣1故答案是：4n．13．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线y＝x2+4x+5向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y＝x2+1．故答案为：y＝x2+1．14．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，DB＝2DC，∴AD＝2DC，∴CD＝AC，∴＝﹣，故答案为﹣．15．解：在Rt△BDC中，∵B C＝4，sin∠DBC＝，∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，∴BD＝＝，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABD中，∴AB＝＝×＝2，故答案为：2．16．解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．17．解：∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝2，故答案为：2．18．解：连接AC，AG，AC'，由旋转可得，AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，∴＝，∴△ABB'∽△ACC'，∴＝，∵AB'＝B'G，∠AB'G＝∠ABC＝90°，∴△AB'G是等腰直角三角形，∴AG＝AB'，设AB＝AB'＝x，则AG＝x，DG＝x﹣4，∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2，∴72+（x﹣4）2＝（x）2，解得x1＝5，x2＝﹣13（舍去），∴AB＝5，∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．三．解答题19．解：2sin60°•tan45°+4cos230°﹣tan60°＝2××1+4×（）2﹣＝+3﹣＝3．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的形状和开口方向与y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2+bx∵图象经过点（1，6）代入得：6＝﹣2+b，解得：b＝8，∴抛物线的解析式是y＝﹣2x2+8x；（2）y＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，即抛物线的顶点坐标是（2，8）．21．证明：（1）∵AD∥BC∴∠DAC＝∠ACE∵∠DFC＝∠AEB∴∠AFD＝∠AEC且∠DAC＝∠ACE∴△ADF∽△CAE（2）∵AD＝8，DC＝6，∠ADC＝90°∴AC＝＝10∵点F是AC中点∴AF＝5∵△ADF∽△CAE∴即∴CE＝∵点E是BC中点∴BC＝2CE＝22．解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝90，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝90，∴AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝30km，∴AC＝AE+CE＝90+30，∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．23．证明：∵DG∥AB，∴，∵，∴，∵∠EHB＝∠DHF，∴△DFH∽△EBH，∴∠E＝∠FDH，∴DF‖BC，∴四边形BGDF平行四边形，∴DF＝BG．24．解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，∴解之，得；（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．∴，解之，得，∴；当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．∴，解之，得，∴；当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．∴，此方程无解．综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）设直线y＝kx过点，可得直线．由（1）可得抛物线，∴，∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．∴PQ最大时，线段BQ为定长．∵MN＝2，∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），则解之，得∴直线过点Q2和点B．解方程组得∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，所以点Q、M、N的坐标分别为，，．25．解：（1）①如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝2，∴∠ABP+∠APB＝90°，BP＝．又∵∠BPC＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∴∠ABP＝∠DPC，且∠A＝∠D，∴△APB∽△DCP；②由△APB∽△DCP．∴，即．∴PC＝2，DP＝4．∴BC＝AD＝AP+DP＝5；（2）①tan∠PEF的值不变，理由如下：如图1，过F作FG⊥AD，垂足为点G．则四边形ABFG是矩形．∴∠A＝∠PGF＝90°，FG＝AB＝2，∴在Rt△APE中，∠1+∠2＝90°，又∵∠EPF＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．∴△APE∽△GFP，∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF＝＝2∴tan∠PEF的值不变；②由△APE∽△GFP．∴．∴GP＝2AE＝2x，∵四边形ABFG是矩形．∴BF＝AG＝AP+GP＝2x+1．△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：（Ⅰ）当PB＝PF时，点P在BF的垂直平分线上．∴BF＝2AP．即2x+1＝2，∴x＝，（Ⅱ）当BF＝BP时，2x+1＝．∴x＝，（Ⅲ）当BF＝PF时，（2x）2+22＝（2x+1）2，∴x＝．。
2020年上海市中考数学一模试卷 (含解析)
2020年上海市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. 4√6B. √18C. √32 D. √122.用换元法解方程x2−12x −4xx2−12=3时，设x2−12x=y，则原方程可化为()A. y−1y −3=0 B. y−4y−3=0 C. y−1y+3=0 D. y−4y+3=03.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 以上都可以4.若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k的值是()A. 2B. 3C. 6D. 15.下列命题中，正确的是()A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角为90°的四边形是平行四边形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形6.下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2a2⋅3ab=______．8.已知函数f(x)=1x−2，那么f(0)=______．9.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，则k的值可以是____.(写出一个值即可)．10.若关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．11.从0～9这些自然数中，任取一个，是4的倍数的概率是______ ．12. 如果将抛物线y =3(x +1)2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______．13. 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为________名．14. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD =2米的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一直线上，如果测得BD =20米，FD =4米，EF =1.8米，则树的高度为__________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗=______．16. 波波和爸爸两人以相同路线从家出发，步行前往公园．图中OA 、BC 分别表示爸爸和波波所走的路程y(米)与爸爸步行的时间x(分)的函数图象，已知爸爸从家步行到公园所花的时间比波波的2倍还多10分钟．则在步行过程中，他们父子俩相距的最远路程是______ 米．17. 如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，AB =6，AC =4，CD 是△ABC 的中线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点B′是点B 的对应点，点E 是线段CD 上的点，如果∠CAE =∠BAB′，那么CE 的长是______．18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r 的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 化简：(12)−2−|2√2−3|+3√18；20. 解不等式组{2x ≤x +4x+33−x <−1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB =AD ，BD 平分∠ABC ，若CD =3，BD =2√6，sin∠DBC =√33，求对角线AC 的长．22.某旅游商店8月份营业额为15万元，9月份下降了20%.受“十一”黄金周以及经济利好因素的影响，10月份、11月份营业额均比上一个月有所增长，10月份增长率是11月份增长率的1.5倍，已知该旅游商店11月份营业额为24万元．(1)问：9月份的营业额是多少万元？(2)求10月份营业额的增长率．23.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)求证：EB2=EF⋅EG；(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，AE：EC=1：3，求BG的长．24.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的2，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．3【答案与解析】1.答案：D解析：此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．解：A．4√6与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C.√32=√62与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确；故选D．2.答案：B解析：【试题剖析】【试题解析】解：∵设x2−12x=y，∴x2−12x −4xx2−12=3，可转化为：y−4y=3，即y−4y−3=0．故选：B．直接利用已知将原式用y替换得出答案．此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．3.答案：A解析：此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：根据统计图的特点可知：空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是扇形统计图；故选A．4.答案：C解析：本题主要考查的是反比例函数的图象，求反比例函数的解析式的有关知识．把点(2,3)代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．，解：由题意得3=k2解得k=6．故选C．5.答案：D解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、有一个角是90°的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选D．利于平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法，难度不大．6.答案：A解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．解：A、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项正确；B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；C、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误．故选：A．7.答案：6a3b解析：解：2a2⋅3ab=6a3b，故答案为：6a3b.根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，计算可得．本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．8.答案：−12解析：本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．将x=0代入f(x)=1x−2求解即可．解：∵函数f(x)=1x−2，∴f(0)=10−2=−12，故答案为：−12．9.答案：2(答案不唯一)解析：本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．根据正比例函数的性质可得k>0，写一个符合条件的数即可．解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，∴k>0∴k的值可以是2．故答案为2．10.答案：98解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根可得△=(−3)2−4×2k=0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=(−3)2−4×2k=0，∴9−8k=0，∴k=9．8故答案为9．811.答案：310解析：解：∵从0−9这10个自然数中任取一个数，每个数被取到的机会相同，即这10个结果出现的机会相同，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，∴P(是4的倍数)=3．10．故答案为：310首先得出从0−9有10个自然数，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，进而得出概率．此题主要考查了概率公式，正确理解列举法求概率应用的条件，是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.答案：y=3(x+3)2+1解析：解：抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，把点(−1,0)向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点(−3,1)，所以所得到的抛物线的表达式为y=3(x+3)2+1．故答案为y=3(x+3)2+1．先得到抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，再根据题意把点(−1,0)向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点(−3,1)，则可根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：150解析：本题考查用样本估计总体．用全校学生乘以样本中体重超标学生占的比例，即可求解．=150(名)解：2000×15200故答案为150．14.答案：3米解析：本题考查相似三角形的应用，属于中档题．过E作EH⊥AB于H，交CD于G，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G；则：CG=CD−EF=0.2米，EG=FD=4米，EH=BF=BD+DF=24米；可得CG//AH ，可知：△CEG∽△AEH ，则有：CG AH =EG EH ，即：0.2AH =424，解得：AH =1.2米；∴AB =AH +BH =AH +EF =3米，故答案为3米．15.答案：−13a ⃗ −12b ⃗解析：本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∵DE =DC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ， ∵DE//AB ，∴EF ：AF =DE ：AB =1：2，∴EF =13AE ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −12b ⃗ ， 故答案为−13a ⃗ −12b ⃗ ． 16.答案：1200解析：解：波波所花的时间为(50−10)÷2=20(分钟)，爸爸的速度为3000÷50=60(米/分钟)，波波的速度为3000÷20=150(米/分钟)．根据题意得：线段OA的解析式为y=60x(0≤x≤50)；线段BC的解析式为y=150(x−10)=150x−1500(10≤x≤30)．当x=10时，60x−(150x−1500)=600；当x=30时，150x−1500−60x=1200．∵1200>600，∴他们父子俩相距的最远路程是1200米．故答案为：1200．根据父子所需时间之间的关系可算出波波所花的时间，由速度=路程÷时间即可分别算出父亲及波波的速度，再根据路程=速度×时间即可找出线段OA、BC的函数解析式，代入x=10及x=30求出y 值，比较后即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据路程=速度×时间找出线段OA、BC的函数解析式是解题的关键．17.答案：165解析：解：如图，∵△CDB′是由△CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CB′D，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD =DB =DB′=3，∴∠AB′B =90°，∵∠ACE =∠ABB′，∠CAE =∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC =∠AB′B =90°，在Rt △ADC 中，∵AC =4，AD =3，∴CD =√AC 2+AD 2=5， ∵12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ， ∴AE =AC⋅ADCD =125，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．故答案为165． 先证明∠AB′B =90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC =90°，利用面积法求出AE ，再利用勾股定理求出EC 即可．本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．18.答案：√10−√5<r <√10+√5解析：解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC =90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG ⊥AF ，则点G 是AF 的中点，∴GF =12AF =2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG=12AE=1，∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5，故答案为：√10−√5<r<√10+√5．连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF=12AF=2，OG=12AE=1，继而求得OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，最后根据两圆的位置关系可得答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．19.答案：解：原式=4−(3−2√2)+3√2，=4−3+2√2+√22，=1+52√2．解析：这是一道考查实数的运算的题目，解题关键在于根据负整数指数幂和绝对值以及去分母，将原式进行化简，再进行合并．20.答案：解：解不等式2x≤x+4，得：x≤4，解不等式x+33−x<−1，得：x>3，则不等式组的解集为3<x≤4．解析：求得每一个不等式的解集，再进一步求得公共部分即可．此题考查一元一次不等式组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”．21.答案：解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，如图，则∠E=90°，∵sin∠DBC=√3，BD=2√6，3∴DE=2√2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，同理AD//BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，∴OC=√BC2−BO2=√3，∴AC=2√3．解析：本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形有关知识，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2√2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，根据勾股定理得到结论．22.答案：解：(1)9月份的营业额=15×(1−20%)=12(万元)；(2)设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，, x2=−2(不合题意，舍去)，解得：x1=13=0.5．∴10月份的增长率为1.5×13答：10月份的增长率为50%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．(1)用8月份的营业额×(1+增长率)计算九月份的营业额即可；(2)设设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，解方程即可．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，又AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)；(2)∵AB//CG，∴∠ABG=∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED=EB，∠ABG=∠ADE，∴∠EGD=∠ADE，∵∠FED=∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFED，所以ED2=EF⋅EG；∴EB2=EF⋅EG；(3)∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA=OC=2，OB=2√3，∵AE ：EC =1：3，∴AE =OE =1．∴BE =√(2√3)2+1=√13．∵AD//BC ，∴AE EC =EF BE =13， ∴EF =13BE =√133． 由(2)得EB 2=EF ⋅EG ，∴EG =√13)2√133=3√13， ∴BG =BE +EG =4√13．解析：【试题解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定性质菱形的性质．线段间的转化是解题的关键．(1)用SAS 证明即可；(2)先证明△EDF∽△EGD ，得到ED 2=EF ⋅EG ，代换ED =EB 即可；(3)根据已知先求出BE 和EF 值，再根据EB 2=EF ⋅EG 求出EG 值，最后用BG =BE +EG 计算即可．24.答案：解：(1)由题意得：{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，∴x 1=−1，x 2=3，即B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b′，∴{b′=33k +b′=0， 解得：{k =−1b′=3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，设P(a,3−a)，则D(a,−a 2+2a +3)，∴PD =(−a 2+2a +3)−(3−a)=−a 2+3a ，∴S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12PD ⋅3 =32(−a 2+3a) =−32(a −32)2+278， ∴当a =32时，△BDC 的面积最大，此时P(32,32)；(3)由(1)，y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0≤n ≤4，取CM 的中点Q(m 2,32)，∵∠MNC =90°，∴NQ =12CM ，∴4NQ 2=CM 2，∵NQ 2=(1−m 2)2+(n −32)2， ∴4[(1−m 2)2+(n −32)2]=m 2+9，整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54，∵0≤n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5．解析：(1)由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；(2)首先令−x 2+2x +3=0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y =kx +b′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P(a,3−a)，即可得D(a,−a 2+2a +3)，即可求得PD 的长，由S △BDC =S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC =−32(a −32)2+278，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时点P 的坐标；(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值得到最小值和最大值．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大． 25.答案：(1)证明见解析；(2)4；(3)AC =√2BC ．解析：(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB 得CE CB =DE AB ，据此求得CE 的长，依据AE =AC −CE =AB −CE 可得答案；(3)由BD =CD 知S △CDE =S △BDE ，证△OBF∽△ABE 得，据此知S △ABE =4S △OBF ，结合S ▵CDE S ▵OBF =23知S △ABE =6S △CDE ，S △CAB =8S △CDE ，由△CDE∽△CAB 知，据此得出CDCA =2√2，结合BD =CD ，AB =AC 知BC AB =√2，从而得出答案．【详解】(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD ，BD =CD ，∴BD ⌢=ED ⌢，∴OD ⊥BE ；(2)∵∠AEB =90°，∴∠BEC =90°，∵BD =CD ，∴BC =2DE =2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴，∴S△ABE=4S△OBF，∵S▵CDES▵OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴，∴CDCA =2√2，∵BD=CD，AB=AC，∴BCAB =√2，即AC=√2BC．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．。
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020年上海市浦东新区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市浦东新区初三一模数学试卷一、选择题1. 在Rt ABC V 中，∠C =90°，如果BC =5，AB =13，那么sinA 的值为（ ）A . 513B . 512C . 1213D .1252. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A . 21y x =-B . 22y x =C . 21y x =+D .()221y x x =--3. 抛物线245y x x =-+的顶点坐标是（ ） A . ()2,1-B . （2,1）C . ()2,1--D . ()2,1-4. 如图，点D 、E 分别在ABC V 的边AB 、AC 上，下列各比例式不一定能推得DE //BC 的是（ ） A .AD AEBD CE=B .AD DEAB BC=C .AB ACBD CE=D .AD AEAB AC=5. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为（ ）A .B . 米C .D . 9米6. 下列说法正确的是（ ）A . ()0a a +-=r rB . 如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r rC . 如果a b =r r，那么a b =r rD . 如果12a b =-r r （b r为非零向量），那么a r //b r二、填空题7. 已知3x y =，那么2x yx y+=+____________8. 已知线段AB =2cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，P A >PB ，那么线段P A 的长度等于____________cm 9. 如果两个相似三角形对应边之比是2:3，那么它们的对应中线之比是____________ 10. 如果二次函数223y x x k =-+-的图像经过原点，那么k 的值是____________11. 将抛物线23y x =-向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为____________ 12. 如果抛物线经过点()1,0A -和点B （5,0），那么这条抛物线的对称轴是直线____________ 13. 二次函数()221y x =-+的图像在对称轴左侧的部分是____________（填“上升”或“下降”）14. 如图，在ABC V 中，AE 是BC 边上的中线，点G 是ABC V 的重心，过点G 作GF //AB 交BC 于点F ，那么EFEB=____________ 15. 如图，已知AB //CD //EF ，AD =6，DF =3，BC =7，那么线段CE 的长度等于____________16. 如图，将ABC V 沿射线BC 方向平移得到DEF V ，边DE 与AC 相交于点G ，如果BC =6cm ，ABCV 的面积等于92cm ，GEC V 的面积等于42cm ，那么CF =____________cm17. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了如下的表格：那么当时，该二次函数y 的值为____________18. 在Rt ABC V 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将BDE V 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点'D 、'E ，当直线''D E 经过点A 时，线段'CD 的长为____________三、解答题19. 计算：2tan 45cos60cot 602sin 30︒-︒+︒︒20. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设,BA a BC b ==u u u r r u u u r r .（1）用,a b r r 表示,BE DF u u u r u u u r；（2）先化简，再求作：()322a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭r r r r （不要求写作法，但要写明结论）21. 如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8. （1）如果BC =7，求线段DE 的长；（2）设DEC V 的面积为a ，求BDC V 的面积（用a 的代数式表示）.22. 为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC 的长度，在地面上点A 处测得避雷针底部B 和顶部C 的仰角分别为55°58’和57°，已知点A 与楼底中间部位D 的距离约为80米，求避雷针BC 的长度（参考数据：sin5558'0.83,cos5558'0.56,tan5558' 1.48,sin570.84︒≈︒≈︒≈︒≈)23. 如图，已知ABC V 和ADE V ，点D 在BC 边上，DA =DC ，∠ADE =∠B ，边DE 与AC 相交于点F . （1）求证：AB AD DF BC ⋅=⋅；（2）如果AE //BC ，求证：BD DFDC FE=.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为()()1,0,3,0A B -，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；（3）点P 在抛物线上，且∠P AB =∠ACB ，求点P 的坐标.25. 在Rt ABC V 中，∠A =90°，AB =4，AC =3，D 为AB 边上一动点（点D 与点A 、B 不重合），联结CD ，过点D 作DE ⊥DC 交边BC 于点E . （1）如图，当ED =EB 时，求AD 的长；（2）设,AD x BE y ==，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）把BCD V 沿直线CD 翻折得'CDB V ，联结'AB ，当'CAB V 是等腰三角形时，直接写出AD 的长.参考答案一、选择题1. A2. C3. B4. B5. A6. D二、填空题7.458. 1 9. 2:3 10. 3 11. 234y x =-- 12. 2x =13. 上升 14. 13 15. 72 16. 2 17. 8- 18.三、解答题19. 原式=56 20.（1）23BE a b =+u u u r r r ，12DF a =u u u r r（2）原式=12a b -r r，作图略21.（1）72（2）5BDC S a =V 22. 约4.8米23.（1）证明略 （2）证明略24.（1）223y x x =-++ （2）2（3）点P 坐标为（1,4）或()5,12- 25.（1）94（2）()22050494x x y x x-=<<+（3）7243。
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷含答案
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y 的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．3．（4分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（）A．如果||＝||，那么＝B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝k（k≠0），那么∥D．如果m＝0或＝，那么m＝05．（4分）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内6．（4分）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（﹣2）+3（+）＝．8．（4分）如果＝，那么的值等于．9．（4分）已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．10．（4分）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为米．14．（4分）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．17．（4分）如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：20．（10分）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF 与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝，＝．（用向量、表示）21．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD ＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C （5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）【分析】由二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），对选项中的解析式进行判断即可．【解答】解：二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，故选：D．2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y 的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB＝2，AB＝3，再根据余切的意义求出结果即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，故选：B．3．（4分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：∵将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y＝（x+1﹣2）2﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故选：A．4．（4分）下列命题正确的是（）A．如果||＝||，那么＝B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝k（k≠0），那么∥D．如果m＝0或＝，那么m＝0【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【解答】解：A．向量是既有大小又有方向，||＝||表示有向线段的长度，＝表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；C.＝k（k≠0）⇔∥，所以C选项正确；D．如果m＝0或＝，那么m＝0，不正确．故选：C．5．（4分）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．6．（4分）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF 与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【解答】解：如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，＝，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．8．（4分）如果＝，那么的值等于3．【分析】直接利用已知得出x，y之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴3x﹣3y＝2x，故x＝3y∴＝3．故答案为：3．9．（4分）已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（BP＞AP），且使BP是AB和AP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．【解答】解：根据黄金分割定义可知：∵BP2＝AB•AP，设AB为1，则AP＝1﹣BP，∴BP2＝1•（1﹣BP）BP2+BP﹣1＝0，解得BP＝（舍去）∴BP＝．故答案为．10．（4分）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是a＞﹣1．【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．故答案为a＞﹣1．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是下降．（填“上升”或“下降”）【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y 随x的增加而减小．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，故答案为下降．12．（4分）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线x＝﹣．【分析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x＝＝﹣对称，即可求抛物线的对称轴．【解答】解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，∴A、B关于x＝＝﹣对称，∴抛物线的对称轴x＝﹣，故答案为x＝﹣．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为13米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB＝＝＝13，故答案为：13．14．（4分）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于6．【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题．【解答】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是．【分析】延长BG交AC于E．易知AH＝2，根据三角函数计算AB的长，由勾股定理可得BH的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论．【解答】解：延长BG交AC于H．∵G是△ABC的重心，∴AH＝AC＝＝2，∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝，∴，∴AB＝6，由勾股定理得：BH＝＝＝2，∵∵G是△ABC的重心，∴BG＝2GH，∴BG＝＝；故答案为：．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长．【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，其三边分别为8，15，17，由于172＝152+82，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形，斜边上的高＝＝，故公共弦长＝2×＝，故答案为．17．（4分）如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于4﹣4．【分析】设直线l与AB、CD分别交于点E、D，由“完美分割线”的定义可知，S△AED ＝S四边形BCDE，设AE＝AD＝x，证△AED∽△ABC，可求x的值，进一步可求出BC的长．【解答】解：如图，设直线l与AB、CD分别交于点E、D，则由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，∴＝，∵l∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝＝＝，设AE＝AD＝x，则＝，∴x＝，∴BE＝CD＝2﹣，∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．【分析】如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP＝AM＝，∠P AB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通过证明△ABP ∽△CBA，可得∠P AB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的长，由相似三角形的性质可求B'D，BD的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵点M是AC中点，∴AM＝，∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，∴AP＝AM＝，∠P AB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，∵AP2＝AB2+PB2，∴PB＝1，∵＝2＝，且∠ABP＝∠ABC＝90°，∴△ABP∽△CBA，∴∠P AB＝∠C，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE，∵AE2＝AB2+BE2，∴CE2＝4+（4﹣CE）2，∴CE＝AE＝，∴BE＝，∵B'D∥BC，∴△AB'D∽△AEB，∴，∴，∴AD＝，B'D＝，∴BD＝，∴BB'＝＝＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝+1．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF 与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝﹣，＝+．（用向量、表示）【分析】（1）由平行线得出＝＝，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出＝＝，＝＝，即＝，＝，解得EG＝3，GF＝4，即可得出答案；（2）求出＝＝，得出＝+＝﹣，得出＝+＝﹣+＝+，证出FC＝DC，得出＝＝（+）＝+．【解答】解：（1）∵＝．∴＝，＝，∵AD∥EF∥BC，∴＝＝，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，∴＝＝，＝＝，即＝，＝，解得：EG＝3，GF＝4，∴EF＝EG+GF＝7；（2）∵AD＝5，BC＝10，∴AD＝BC，∵AD∥EF∥BC，∴＝＝，∴＝+＝﹣，∴＝+＝﹣+＝+，∵＝＝，∴＝，∴FC＝DC，∴＝＝（+）＝+；故答案为：﹣，+．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．【分析】（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．【解答】解：（1）如图1，连接OB，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°﹣∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝6﹣r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，∴r2＝（2）2+（6﹣r）2，解得，r＝4，∴cos∠OAD＝＝＝，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如图2，连接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等边三角形，∴BE＝r＝4．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD ＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴＝，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，∴＝＝，∴CD•CG＝FC•BD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C （5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，得，解得，m＝﹣，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC＝＝5，BC＝＝，AB＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠P AB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠P AB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QP A＝90°，∴∠QP A＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣，∴y AB'＝﹣x+5，联立，解得，x1＝，x2＝0（舍去），则F'（，﹣），将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，得，，解得，k＝1，b＝﹣5，∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，∴y FF'＝x﹣，联立，解得，x＝，y＝，∴F（，），则FF'＝＝．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．【分析】（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可．（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝＝＝．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝，BK＝BQ＝，•MK∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝，∵QN＜QK，∴x＜，∴x＜，∴y＝PM•MK＝（0≤x＜）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH ⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，∴x＝•（8﹣x），解得x＝．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝•x，解得x＝，综上所述，满足条件x的值为或．。
2020年中考模拟上海市闵行区中考数学一模试卷 含解析
2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）1．如果把Rt ABC ∆的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值( )A ．都缩小到原来的n 倍B ．都扩大到原来的n 倍C ．都没有变化D ．不同三角比的变化不一致2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP = B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．512AB AP -= 3．k 为任意实数，抛物线2()(0)y a x k k a =--≠的顶点总在( )A ．直线y x =上B ．直线y x =-上C ．x 轴上D ．y 轴上4．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE BE =，那么有( )A ．AED BED ∆∆∽B ．BAD BCD ∆∆∽C ．AED ABD ∆∆∽ D ．AED CBD ∆∆∽5．下列命题是真命题的是( )A ．经过平面内任意三点可作一个圆B ．相等的圆心角所对的弧一定相等C ．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D ．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有以下结论：①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<；其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共12题）7．如果线段4a =厘米，9c =厘米，那么线段a 、c 的比例中项b = 厘米．8．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是 的．（填“上升”或“下降” )10．如果两个相似三角形的相似比为2:3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 cm ．11．e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a =r e r ．12．某人从地面沿着坡度为3i =100米，这时他离地面的高度是 米．13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠= ．14．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，C e 与斜边AB 相切，那么C e 的半径为 ．15．设抛物线2:(0)l y ax bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C 为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 ．16．半径分别为3cm 17cm 的1O e 与2O e 相交于A 、B 两点，如果公共弦42AB cm =，那么圆心距12O O 的长为 cm ．17．正五边形的边长与边心距的比值为 ．（用含三角比的代数式表示）18．如图，在等腰ABC ∆中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将ACD ∆沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知二次函数图象的最高点是(1,4)A ，且经过点(0,3)B ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）．求BCD ∆的面积．20．已知：在平行四边形ABCD 中，:3:2AB BC =．（1）根据条件画图：作BCD ∠的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ．（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量CG =u u u r ；（用向量a r 、b r 表示），并在图中画出向量DG u u u r 在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量．21．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =；（2）求：直径AB 的长．22．2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30︒的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7︒方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点(A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin230.39︒≈；sin370.60︒≈，︒≈，tan230.42︒≈，cos230.92︒≈，tan370.75︒≈．)cos370.8023．如图，在ABC∆中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且g g，AF是BAC∠的平分线，交BC于点F，交DE于点G．=AD OC AB OD求证：（1）CE AB⊥；（2）AF DE AG BCg g．=24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线2C，与x轴x=-的抛物线经过点(0,2)交于(3,0)A-、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求BCO∠的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且CEO BCO∠=∠，求点P的坐标．25．已知：如图，在Rt ABCADCCD=，∠=︒，90∠=︒，2=，90∆和Rt ACD∆中，AC BCACB（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt ABC∆的重心，射线CG交边AB于点F，AD x=．=，CE y（1）求证：DAB DCF∠=∠；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果CDG∆是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．参考答案一、选择题1．如果把Rt ABC ∆的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值( )A ．都缩小到原来的n 倍B ．都扩大到原来的n 倍C ．都没有变化D ．不同三角比的变化不一致【解答】解：如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，锐角A 不变，锐角三角函数值不变， 故选：C ．2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP = B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP 是AB 和BP 的比例中项，即2AP AB BP =g ， ∴AB AP AP BP=． 故选：A ．3．k 为任意实数，抛物线2()(0)y a x k k a =--≠的顶点总在( )A ．直线y x =上B ．直线y x =-上C ．x 轴上D ．y 轴上【解答】解：2()(0)y a x k k a =--≠Q ，∴抛物线的顶点为(,)k k -，k Q 为任意实数，∴顶点在y x =-直线上，故选：B ．4．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE BE =，那么有( )A ．AED BED ∆∆∽B ．BAD BCD ∆∆∽C ．AED ABD ∆∆∽ D ．AED CBD ∆∆∽【解答】解：:1:3AD AC =Q ，:1:2AD DC ∴=；ABC ∆Q 是正三角形，AB BC AC ∴==；AE BE =Q ，::1:2AE BC AE AB ∴==::AD DC AE BC ∴=；A ∠Q 为公共角，AED CBD ∴∆∆∽；故选：D ．5．下列命题是真命题的是( )A ．经过平面内任意三点可作一个圆B ．相等的圆心角所对的弧一定相等C ．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D ．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【解答】解：A 、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题； B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C 、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D 、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C ．6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有以下结论：①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<；其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，所以①正确；Q 抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a ∴、b 异号，即0b >，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ∴>，0abc ∴<，所以②错误；1x =-Q 时，0y <，即0a b c -+<，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，所以④错误．故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果线段4a =厘米，9c =厘米，那么线段a 、c 的比例中项b = 6 厘米．【解答】解：Q 线段a 和c 的比例中项为b ，::a b b c ∴=，即4::9b b =，6b ∴=±（负值舍去）． 故答案为：6．8．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 4【解答】解： 2sin 5BC A AB==Q ，10SB =， 4BC ∴=，故答案为：4．9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是 下降 的．（填“上升”或“下降” )【解答】解：20a =-<Q ，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．10．如果两个相似三角形的相似比为2:3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 40 cm ．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm ，则较大的三角形的周长为(100)x cm -， Q 两个相似三角形的相似比为2:3，∴两个相似三角形的周长比为2:3， ∴21003x x =-， 解得，40x =，故答案为：40．11．e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a =r 6- e r ．【解答】解：Q e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，∴6a e =-r r ，故答案为6-．12．某人从地面沿着坡度为3i =100米，这时他离地面的高度是 50 米．【解答】解：Q 坡度为3i =∴设离地面的高度为x 3x ．222(3)100x +=Q解得50x =．即这时他离地面的高度是50米．13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠=2 ．【解答】解；如图，Q 正方形ABCD ，90ABC C ∴∠=∠=︒，在Rt BCD ∆中，2DC BC ==，根据勾股定理得：22442BD AD AB =+=+=Q 将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处， 22BE BD ∴==22tan 2BE BAE AB ∴∠=== 214．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，C e 与斜边AB 相切，那么C e 的半径为 5． 【解答】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =；由勾股定理，得：2223425AB =+=，5AB ∴=；又AB Q 是C e 的切线，CD AB ∴⊥，CD r ∴=；1122ABC S AC BC AB r ∆==Q g g ， 125r ∴=，故答案为：125．15．设抛物线2:(0)l y ax bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C 为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 21y x =-+ ．【解答】解：Q 抛物线2241(2)3y x x x =-+=--，∴顶点坐标D 为(2,3)-，与y 轴交点为(0,1)C ，设伴随抛物线的解析式为：21y ax =+，把(2,3)D -代入得1a =-，∴伴随抛物线21y x =-+，故答案为：21y x =-+．16．半径分别为3cm 17cm 的1O e 与2O e 相交于A 、B 两点，如果公共弦42AB cm =，那么圆心距12O O 的长为 2或4 cm ．【解答】解：如图，1O Q e 与2O e 相交于A 、B 两点，12O O AB ∴⊥，且AD BD =； 又2AB =Q22AD ∴=∴在Rt △1AO D 中，根据勾股定理知11O D =厘米；在Rt △2AO D 中，根据勾股定理知23O D =厘米，12124O O O D O D ∴=+=厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得123O O =厘米1-厘米2=厘米．故答案是：4或2；17．正五边形的边长与边心距的比值为 2tan 36︒ ．（用含三角比的代数式表示）【解答】解：O Q e 是正五边形ABCDE 的外接圆，1360725BOC ∴∠=⨯︒=︒， 111723622BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 设这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，222211()24R r a a -==， 1sin 362a R =︒， 2sin 36a R =︒；1tan 362a r =︒， 2tan 36a r ∴=︒，∴2tan 36a r=︒， 故正五边形的边长与边心距的比值为2tan 36︒，故答案为：2tan 36︒．18．如图，在等腰ABC ∆中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将ACD ∆沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 1 ．【解答】解：AB AC =Q ，ABC C∴∠=∠，DAC ACD ∠=∠Q，DAC ABC∴∠=∠，C C∠=∠Q，CAD CBA∴∆∆∽，∴CA CD CB AC=，∴464CD =，83CD∴=，103BD BC CD=-=，DAM DAC DBA∠=∠=∠Q，ADM ADB∠=∠，ADM BDA∴∆∆∽，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，3215DM∴=，65MB BD DM=-=，ABM C MED∠=∠=∠Q，A∴、B、E、D四点共圆，ADB BEM∴∠=∠，EBM EAD ABD∠=∠=∠，ABD MBE∴∆∆∽，（不用四点共圆，可以先证明BMA EMD∆∆∽，推出BME AMD∆∽，推出ADB BEM∠=∠也可以！)∴AB BDBM BE=，1BM DBBEAB∴==g．故答案为：1．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知二次函数图象的最高点是(1,4)A，且经过点(0,3)B，与x轴交于C、D两点（点C 在点D的左侧）．求BCD∆的面积．【解答】解：设二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠，把(0,3)B 代入得23(01)4a =-+解得：1a =-，令0y =，那么2(1)40x --+=，解得：13x =，21x =-，∴点C 的坐标为(1,0)-，点D 的坐标为(3,0)，4CD ∴=，Q 点B 的坐标为(0,3)，3OB ∴=，BCD ∴∆的面积是：43622CD OB ⨯==g ． 20．已知：在平行四边形ABCD 中，:3:2AB BC =．（1）根据条件画图：作BCD ∠的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ．（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量CG =u u u r 1324a b -r r ；（用向量a r 、b r 表示），并在图中画出向量DG u u u r 在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量．【解答】解：（1）作BCD ∠的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ．作图如下：（2）CE Q 为BCD ∠的平分线，BCE DCE ∴∠=∠ 又//AB CD QDCE BEC ∴∠=∠GEF GCD ∴∆∆∽:3:2AB BC =Q ∴13EF EG CD CG == 13EF CD ∴=，34CG CE = Q AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，∴DC AB a ==u u u r u u u r r ，BC AD b ==u u u r u u u r rQ EB BC EC +=u u u r u u u r u u u r ，EC CG GE =--u u u r u u u r u u u r ∴33213()()44324CG EB BC a b a b =-+=-+=--u u u r u u u r u u u r r r r r 同理可得，333213()())444324DG DF DA AF a b a b =-=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r DG u u u r 在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量，如图所示：故答案为：1324CG a b =--u u u r r r ． 21．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =；（2）求：直径AB 的长．【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ．//AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥，90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ．DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒，90AGB BCN ∠=∠=︒Q ，//AG DC ∴．//AD BC Q ，AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ，tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+ 210AB ∴=．22．2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆． “米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30︒的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7︒方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点(A 点）到达B 岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？ （结果保留整数，参考数据：sin 230.39︒≈，cos 230.92︒≈，tan 230.42︒≈；sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈．)【解答】解：（1）由题意得，980AB =千米，台风中心到达B 岛的时间是39.5小时， ∴9802539.5v =≈（千米）， 答：台风中心从生成点(A 点）到达B 岛的速度是每小时25千米；（2）过点S 作SH ZD ⊥，垂足为点H ，90SHZ ∴∠=︒，30NZD ∠=︒Q ，7CZN ∠=︒，73037CZD CZN NZD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt SHZ ∆中，sin SH CZD SZ∠=． 37CZD ∠=︒Q ，250SZ =千米，sin 250sin 372500.60150SH SZ CZD ∴=∠=⨯︒≈⨯≈g （千米）， 150Q 千米170<千米，∴设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响到F 处影响结束．即170SE SF ==（千米）．Q 在Rt SEH ∆中，90SHE ∠=︒，222SE SH HE =+， ∴222217015080HE SE SH -=-≈，2160EF EH ∴=≈（千米）， ∴上海遭受这次台风影响的时间为16082020EF =≈（小时）， 答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．23．如图，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，点E 在边AB 上，联结CE 交BD 于点O ，且AD OC AB OD =g g ，AF 是BAC ∠的平分线，交BC 于点F ，交DE 于点G ． 求证：（1）CE AB ⊥；（2）AF DE AG BC =g g ．【解答】证明：（1）AD OC AB OD =Q g g ， ∴AD AB OD OC=， BD Q 是AC 边上的高，90BDC BDA ∴∠=∠=︒，ADB ∆和ODC ∆是直角三角形，Rt ADB Rt ODC ∴∆∆∽，ABD OCD ∴∠=∠，又EOB DOC ∠=∠Q ，180DOC OCD ODC ∠+∠+∠=︒，180EOB ABD OEB ∠+∠+∠=︒． 90OEB ∴∠=︒，CE AB ∴⊥；（2）在ADB ∆和AEC ∆中，BAD CAE ∠=∠Q ，ABD OCD ∠=∠，ADB AEC ∴∆∆∽，∴AD AB AE AC=，即AD AEAB AC=，在DAE∆和BAC∆中DAE BAC∠=∠Q，AD AEAB AC=．DAE BAC∴∆∆∽，AFQ是BAC∠的平分线，∴AG DEAF BC=，即AF DE AG BC=g g．24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线2x=-的抛物线经过点(0,2)C，与x轴交于(3,0)A-、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求BCO∠的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且CEO BCO∠=∠，求点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为2y ax bx c=++，将点(0,2)C、(3,0)A-、对称轴直线2x=-代入，得：229302baa b cc⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，解得：23a=，83b=，∴这条抛物线的表达式为228233y x x=++；（2）令0y =，那么2282033x x ++=， 解得13x =-，21x =-，Q 点A 的坐标是(3,0)-，∴点B 的坐标是(1,0)-，(0,2)C Q ，1OB ∴=，2OC =，在Rt OBC ∆中，90BOC ∠=︒， ∴cot 2OC BCO OB∠==；（3）设点E 的坐标是(,0)x ，得||OE x =．CEO BCO ∠=∠Q ，cot cot CEO BCO ∴∠=∠，在Rt EOC ∆中，∴||cot 22OE x CEO OC ∠===， ||4x ∴=，∴点E 坐标是(4,0)或(4,0)-，Q 点C 坐标是(0,2)， ∴11:2222CE l y x y x =+=-+或， ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ∴点P 坐标是13(4-，3)8或19(4-，35)8．25．已知：如图，在Rt ABCADCCD=，∠=︒，90∠=︒，2ACB=，90∆和Rt ACD∆中，AC BC（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt ABC∆的重心，射线CG交边AB于点F，AD x=．=，CE y（1）求证：DAB DCF∠=∠；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果CDG∆是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【解答】（1）证明：Q点G是Rt ABC∆的重心，∆的中线，∴是Rt ABCCF又Q在Rt ABC∠=︒，ACB=，90∆中，AC BCCF AB ∴⊥，即90AFC ∠=︒，DEF ADE DAE EFC ECF ∠=∠+∠=∠+∠Q ，且90ADE EFC ∠=∠=︒， DAB DCF ∴∠=∠；（2）解：如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则90CBH BCH ∠+∠=︒，又90BCH ACD ∠+∠=︒Q ，ACD CBH ∴∠=∠，又90ADC CHB ∠=∠=︒Q ，AC CB =，CAD BCH ∴∆≅∆，2BH CD ∴==，CH AD x ==，2DH x =-，90ADC CHB BHD ∠=∠=∠=︒Q ，//AD BH ∴，ADE BHE ∴∆∆∽， ∴AD DE BH EH =， ∴2x DE EH =， ∴22x DE EH DH EH EH++==， ∴422x EH x -=+， ∴2424(02)22x x y CE CH HE x x x x -+==+=+=<++…；（3）解：当GC GD =时，如图21-，取AC 的中点M ，联结MD ，那么MD MC =，联结MG ，MG CD ⊥，且直线MG 经过点B ，那么BH 与MG 共线，又CH AD =，那么112AD CH CD ===；当CG CD =时，如图22-，即2CG =，点G 为ABC ∆的重心，∴332CF CG ==， 26AB CF ∴==， ∴2322AC AB ==， ∴2218414AD AC CD =-=-=；综上所述，1AD =或14．。
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2020届上海市各区初三中考数学一模试卷全集上海运光教学研究中心2020年1月目录宝山区2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷 (1)崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷 (11)奉贤区2019学年第一学期中考数学一模 (23)虹口区2019学年第一学期中考数学一模 (28)黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试 (35)浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测 (45)闵行区2019学年第一学期中考数学一模 (51)嘉定区2019学年第一学期九年级期终学业质量调研测试 (57)静安区2019学年第一学期期末教学质量调研 (63)徐汇区2019学年度第一学期期末质量调研 (69)普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷 (75)松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷 (81)青浦区2019学年第一学期九年级期终学业质量调研测试 (87)杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研 (97)长宁区、金山区2019学年第一学期初三数学教学质量检测试卷 (103)宝山区2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1． 本试卷含四个大题，共25题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．符号A sin 表示………………………………………………………………… （ ） A ．32−； B ．23−； C ．5； D ．1−．3．二次函数221x y −=的图像的开口方向…………………………………… （ ） A ． 向左； B ． 向右； C ．向上； D ．向下．4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA =67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的……………… （ ）A ．俯角67°方向；B ．俯角23°方向；C ．仰角67°方向；D ．仰角23°方向．C ．a 和b 方向互相垂直；D ．a 和b 之间夹角的正切值为5． 6．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其 边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB =2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积………（ ） A ．3+π B ． 3−π C ．322−π D ．32−π二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 已知1:2=3：x ，那么x = ▲ ．8．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ▲ ． 9．如图，△ABC 中∠C =90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和 ▲ 的比例中项．10．在△ABC 中，AB BC CA ++u u u r u u u r u u u r= ▲ ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的▲ 方向．12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 是∠ABC 的平分线．如果x AC =，那么=CD ▲ （用x 表示）． 13．如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ．如果BE =9，BC =12，那么cosC = ▲ ． 14．若抛物线2()(1)y x m m =−++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ▲ ． 15．二次函数=y 322++x x 的图像与y 轴的交点坐标是__▲__．16. 如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是»AB的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE＝ ▲ ． 17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为AC 的长度是 ▲ ．18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．三、（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）第9题图第18题图A第12题图 第13题图19． （本题满分10分）计算： 21245cos 260tan 6−°−°20．（本题满分10分，每小题各5分）已知：抛物线m x x y +−=22与y 轴交于点C(0,-2)，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称． （1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求△MCD 的周长．21．（本题满分10分，每小题各5分）某仓储中心有一个坡度为2:1=i 的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 DE =2.5米，高EF =2米.该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所 在水平面的高度不断变化，求当BF =3.5米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．（本题满分10分，每小题各5分） 如图，直线l:y =，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，O 1B 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，O 2B 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去． 求：（1）点1B 的坐标和∠1A O 1B 的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边A C 上，联结BD 交AM 于 点F ，延长BD 至点E ，使得DCADDE BD =，联结CE ． 求证：（1）∠ECD=2∠BAM ；（2） BF 是DF 和EF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2−+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）． （1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中°°1800p p α）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究∠ONB 的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数．第25题图2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． A ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5． B ； 6．C ； 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6； 8．1:2； 9．AB ； 10．0； 11．南偏西14°； 12． 13．32； 14．01p p m −； 15．（3,0）； 16．212−； 17．2； 18．3)4(2+−=x y . 三、简答题（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分．第25题14分；满分78分）19．解：原式=2236−− ……………………6分=2)23)(23()23(6−+−+⋅ ……………………2分=322221218+=−+ ……………………2分20．（1）∵点C(0,-2)在抛物线m x x y +−=22上，∴2−=m ，此抛物线的解析式为222−−=x x y ……………………………2分 ∵222−−=x x y =3)1(2−−=x y ，∴对称轴为直线1=x ，………………1分 和点C 关于抛物线对称轴对称的点D 的坐标为：D （2，-2）．………………2分 （2）根据题意点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，∴M （1,0）……………2分 ∴MC=MD=52122=+， CD=2 …………………………2分△MCD 的周长为252+． ……………………………………………………1分21. 解：（1）根据题意斜坡高AC 为4m ，2:1=i ，∴水平宽度BC =8；……………2分坡面AB=5422=+BC AC ………………………………………………3分（2）过D 作DH ⊥BC 于H 交AB 于点M∵∠DMG =∠BAC ∠DGM =∠BCA∴△ DGM ∽△BCA …………………………1分 ∵ 矩形DEFG 中长DE =2.5m ，高EF =2m BF =3.5m点D 离BC 所在水平面的高度为52米 。
……………………………1分22.解：（1）∵过点1A （1，0）作x 轴的垂线交直线l :y =于点1B将1=x 代入y =得3=y ，∴点1B 的坐标为1B （3,1）………3分在直角三角形1A O 1B 中，3111=OA B A ∴∠1A O 1B 的度数=60︒ ………2分（2）根据题意，△O 43A B 为等边三角形 ………………………………2分弦43A B 的弦心距和33A B 同为此等边三角形边上的高，…………………1分 弦43A B 的弦心距的长度为34 ……………………………………2分23. （1）∵线段AC 与BE 相交于D ，且DCADDE BD =， ∴CE ∥BA ， ∠E CD =∠B AD ， …………………………3分 ∵△ABC 中，AB=AC ，AM 为BC 边的中线∴AM 垂直平分BC ，∠BAD =2∠BAM …………………………2分 ∴∠ECD=2∠BAM …………………………1分 （2）联结CF ，∵F 在BC 的垂直平分线上，∴CF =BF ． …………………………1分 ∵∠ABC =∠ACB ， ∠FBC =∠FCB ∴∠ABF =∠ACF ……………1分 ∵CE ∥AB ，∴∠CEF =∠ABF ∠CEF =∠ACF ………………………1分 ∵∠EFC =∠CFD ∴△ EFC ∽△CFD …………………………1分 ∴FDCF FC EF =∴DF EF CF ⋅=2 ………………………………1分 ∴DF EF BF ⋅=2 ∴BF 是DF 和EF 的比例中项． ……………1分24. (1)∵设直线AB ：)0(≠+=k b kx y 交y 轴于（b ,0） …………………1分 将点A （1，a ）代入有：b k a +=将点B （﹣1，﹣a ）代入有：b k a +−=−∴0=b ，直线AB 与y 轴的交于坐标原点．………………………………3分 （2）经过点A （1，a ）的反比例函数为xay =…………………1分∵要使反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大， ∴由反比例函数的性质a ＜0． …………………1分 ∵二次函数)1(2−+=x x a y =−+=45)21(2x a y ，∴它的对称轴为：直线21−=x ． …………………1分 在a ＜0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即21−p x 时，才能使得y 随着x 的增大而增大． …………………1分 ∴综上所述，a ＜0且21−p x ．（3）由（2）得二次函数图像的顶点Q （45,21a−），…………………1分 由（1）得坐标原点交点O （0,0）是线段AB 的中点．以AB 为直径的圆的圆心为 O （0,0）， …………………1分 当Q 在以AB 为直径的圆上时有OQ=OA221162541a a +=+ …………………………………1分 解得：332±=a …………………………………1分 ∴当332±=a 时，二次函数图像的顶点Q 在以AB 为直径的圆上． 25．解：（1）∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，△AOC 的面积为13，∴△ABC 的面积为26，∵DE ∥CA ∴△ODE ∽△OCA∵OD ＝k ·OC ∴△ODE 的面积为213k （2）当N 在B 右侧时在射线ON 上截取MF=OM ， 联结EF 、DF易知四边形OEFD 为平行四边形， 易证∠OEF=∠BOC…………1分∵OCEFOC OD OA OE OB OE === ∴△OEF ∽△BOC, ∴∠EOF=∠OBC …………1分 ∴∠AON=∠AOE +∠EOF=∠OBC+∠ONB∴∠AOE=∠ONB, 即)1440(°°=p p ααy …………2分当N 在B 左侧时（如图）同理(在射线ON 上截取MF=OM ， 联结EF 、DF)同样可以证明△OEF ∽△BOC ∴∠EOF =∠OBC∠ONB =∠BOE=180°-∠AOE即)180144(180°°−°=p p ααy ………………………………2分 （3）当N 在B 右侧时当OB=ON 时，旋转角α=36°………………………………1分 当BO=BN 时，旋转角α=72° ………………………………1分 当NO=NB 时，旋转角α=108° ………………………………1分当N 在B 左侧时),(NB NO OB ON f f当BO=BN 时，旋转角α=162° ………………………………1分综上所述：当旋转角α分别为36、72、108、162度时△ONB 为等腰三角形．崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各组图形一定相似的是（ ▲ ）(A ) 两个菱形；(B ) 两个矩形；(C ) 两个直角梯形； (D ) 两个正方形．2．在Rt ABC △中，90C =°∠，如果8AC =，6BC =，那么B ∠的余切值为（ ▲ ）(A )34； (B )43； (C )35； (D )45．3．抛物线23(1)2y x =−++的顶点坐标是（ ▲ ）(A )(1,2)；(B )(1,2)−； (C )(1,2)−； (D )(1,2)−−．4．已知c r为非零向量，3a c =r r ，2b c =−r r ，那么下列结论中错误．．的是（ ▲ ） (A )a b rr ∥；(B )32a b =r r；(C )a r 与b r 方向相同； (D )a r与b r 方向相反．5．如图，在55×正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ▲ ） (A ) 点P ；(B ) 点Q ；(C ) 点R ；(D ) 点M ．6．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且DE BC ∥，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是（ ▲ ） (A )AD ANAN AE=； (B )DN BMNE CM =； (C )DN AEBM EC=； (D )DN NEMC BM=．ADEBNCM(第6题图)ABCP Q · · · · ··RM· (第5题图)二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知23x y =，那么x y x+= ▲ ． 8．已知线段8AB =cm ，点C 在线段AB 上，且2AC BC AB =⋅，那么线段AC 的长 ▲ cm ．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为 ▲ 度．10．小杰沿坡比为1︰2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 ▲ 米．11．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为90米，那么这栋楼的高度为 ▲ 米．12．如果将抛物线221y x x =+−先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 ▲ ．13．如果二次函数2y ax bx c =++图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示，那么它的图像与x 轴的另一个交点坐标是 ▲ ．x… 1−0 1 2 … y…343…14．一个正五边形的中心角的度数为 ▲ 度．15．两圆的半径之比为3︰1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为 ▲ ． 16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 ▲ ． 17．如图，在ABC △中，AC AB >，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，联结EF ．如果四边形DCFE 和BDE △的面积都为3，那么ABC △的面积为 ▲ ． 18．如图，在Rt ABC △中，90C =°∠，10AB =，8AC =，点D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE △沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A E AB ′⊥时，那么A A ′的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30°+°°+−°°．(第17题图)ABEFDCBAC·D(第18题图)20．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点O ，设AD a =u u u r r ， AB b =u u u r r ．（1）试用a r 、b r 的式子表示向量AO u u u r；（2）在图中作出向量DO u u u r在a r 、b r 方向上的分向量，并写出结论．21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，AC 是O e 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，联结BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ， 8BD =，2AE =．（1）求O e 的半径； （2）求OF 的长度．(第21题图)ADOBC(第20题图)22．（本题满分10分，第(1)小题５分，第(2)小题５分）如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC 、 CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC =°∠，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当150BCD =°∠时台灯光线最佳．求此时连杆端点D 离桌面l 的高度比原来降低了多少厘米？23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，ABC △中，AD BC ⊥，E 是AD 边上一点，联结BE ，过点D 作DF BE ⊥，垂足为F ，且AE DF EF CD ⋅=⋅，联结AF 、CF ，CF 与边AD 交于点O ．求证：（1）EAF DCF =∠∠；（2）AF BD AC DF ⋅=⋅．D·C··B l· A(图3)·DC··BlEA(图2)(图1)AEFOBCD(第23题图)(第22题图)如图，抛物线与x 轴相交于点(3,0)A −、点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，点D 是抛物线上一动点，联结OD 交线段AC 于点E ．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求ACB ∠的正切值；（3）当AOE △与ABC △相似时，求点D 的坐标．(第24题图)（备用图）如图，在ABC △中，10AB AC ==，16BC =，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作ADE B =∠∠，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于点F ． （1）求证：AB CE BD CD ⋅=⋅； （2）当DF 平分ADC ∠时，求AE 的长； （3）当AEF △是等腰三角形时，求BD 的长．DB AFEC(第25题图)(备用图)崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考2020.1一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、D2、A3、C4、C5、B6、B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、52 8、4 9、70 10、5011、54 12、(1,1) 13、(3,0) 14、7215、2 16、6 17、10 18三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=22−………………………………………5分132………………………………………………………………3分52=+………………………………………………………………2分20、（1）∵AD BC∥，2BC AD=∴12AO ADOC BC==…………………………………………………………1分∴13AOAC=即13AO AC=…………………………………………………1分∵AD a=u u u r r，BCu u u r与ADu u u r同向∴2BC a=u u u r r…………………………………1分∵2AC AB BC b a=+=+u u u r u u u r u u u r r r……………………………………………………1分∴1233AO b a=+u u u r r r……………………………………………………………1分（2）略，画图正确得4分，结论正确得1分21、（1）解：∵AC是Oe的直径，弦BD AO⊥，8BD=∴142BE DE BD===……………………………………………………1分联结OB，设Oe的半径为x，则OA OB x==∵2AE=∴2OE x=−………………………………………………1分∵在Rt OEB△中，222OE BE OB+=……………………………………1分∴222(2)4x x −+= 解得5x =∴O e 的半径为5 ………………………………………………………2分（2）∵在Rt CEB △中，222CE BE BC +=又 ∵538CE =+=，4BE = ∴BC =……………………2分∵OB OC =，OF BC ⊥∴ 12BF CF BC === …………………………………………1分 ∵在Rt OFB △中，222OF BF OB +=∴OF ………………………………………………2分22、（1）解：过点B 作BH DE ⊥，垂足为H由题意可得：5AB HE cm == ………………………………………1分40BD BC CD cm =+= ………………………………………………1分 90ABH DHB ==°∠∠， 1509060DBH =°−°=°∠ ……1分∴在Rt DHB △中，40DH DHsin DBHDB ===∠∴DH = ……………………………………………………1分∴5()DE cm =+ ………………………………………………1分 （2）解：过点C 作CG BH ⊥，CK DE ⊥，垂足分别为G 、K 由题意可得：20BC CD cm ==，CG KH =∴在Rt CGB △中，20CG CGsin CBHBC ===∠ ∴CG =∴KH = ……………………………………………………1分 ∵906030BCG =°−°=°∠ ∴150903030DCK =°−°−°=°∠……1分∴在Rt DCK △中，1202DK DK sin DCKDC ===∠ ∴10DK cm = …………………………………………………………1分∴现在的高度为15+1分∴5)(1510+−+比原来降低了10−厘米 …………………………………………1分23、（1）证明：∵AD BC ⊥，DF BE ⊥ ∴90ADB DFE ==°∠∠………1分∴90DBE BED +=°∠∠，90DBE BDF +=°∠∠ ∴BED BDF =∠∠∴AEF CDF =∠∠ ……………………………………………………1分 ∵AE DF CD EF ⋅=⋅ ∴AE EFCD DF=∴AEF CDF △∽△ ………………………………3分 ∴EAF DCF =∠∠ …………………………………………………………1分 （2）证明：∵AEF CDF △∽△ ∴EFA DFC =∠∠∴90AFO EFD ==°∠∠∵90DFB =°∠ ∴BFD AFC =∠∠ ……………………………1分∵EAF DCF =∠∠，AOF COD =∠∠ ∴AOF COD △∽△ ∴AO OFOC OD=∴AO OCOF OD=又∵AOC FOD =∠∠ ∴AOC FOD △∽△ ∴ACF EDF =∠∠ …………………………1分 ∵90DBE BED FDE BED +=+=°∠∠∠∠∴DBE EDF =∠∠ ………………………………………………………1分 ∴ACF DBE =∠∠ ……………………………………………………1分 又∵BFD AFO =∠∠ ∴BFD CFA △∽△ ………………………1分 ∴AF ACDF BD=∴AF BD AC DF ⋅=⋅ …………………………………1分 24、（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a ++≠∵抛物线2y ax bx c ++过点(3,0)A −、(1,0)B 、(0,3)C∴93003a b c a b c c −+=++==…………………………………………………………1分解得123a b c =−=− =……………………………………………………………1分∴这条抛物线的解析式为223y x x =−−+ ………………………1分 顶点坐标为(1,4)− …………………………………1分（2）解：过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ∵90AOC =°∠，3OAOC == ∴45OAC OCA ==°∠∠，AC =……………………………………1分 ∵90BHA =°∠ ∴90HAB HBA +=°∠∠ ∴45HAB HBA ==°∠∠ ∵在Rt AHB △中，222AH BH AB +=，4AB =∴AH BH == ……………………………………………………………1分∴CH = ……………………………………………………1分∵90BHC =°∠∴2BH tan ACB CH ==∠ …………………1分 （3）解：过点D 作DK x ⊥轴，垂足为K设2(,23)D x x x −−+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限 ∴223DK x x =−−+，OK x =−∵BAC ∠是公共角 ∴当AOE △与ABC △相似时 存在以下两种可能 1° AOD ABC =∠∠ ∴3tan AOD tan ABC ==∠∠∴2233x x x −−+=−解得1x =，2x =1分∴D ……………………………………………………1分 2° AOD ACB =∠∠ ∴2tan AOD tan ACB ==∠∠∴2232x x x−−+=−解得1x =2x =（舍去）………………1分∴(D …………………………………………………………1分 综上所述：当AOE △与ABC △相似时， 点D 的坐标为或(．25、（1）证明：∵AB AC = ∴B C =∠∠ …………………1分 ∵ADC B BAD =+∠∠∠ 即ADE CDE B BAD +=+∠∠∠∠ ∵ADE B =∠∠ ∴BAD CDE =∠∠ ……………………………………1分 ∴BDA CED △∽△ …………………………………………………………1分∴AB BDCD CE=∴AB CE BD CD ⋅=⋅ ……………………………………1分 （2）∵OF 平分ADC ∠ ∴ADE CDE =∠∠∵CDE BAD =∠∠ ∴ADE BAD =∠∠ ∴DF AB ∥ ∴AE BDAC BC=…………………………………………1分 ∵ADE B C ==∠∠∠ ∴BAD C =∠∠又∵B ∠是公共角 ∴BDA BAC △∽△ …………………………1分 ∴BD BA BA BC = ∴101016BD = ∴254BD =…………………………1分 ∴2541016AE = ∴12532AE = …………………………………………1分 （3）过点A 作AH BC ⊥，垂足为H∵AB AC =，AH BC ⊥ ∴182BH CH BC === 由勾股定理得出6AH = ∴34tanB =∵ADE B =∠∠ ，AF AD ⊥ ∴34AF tan ADF AD ==∠ 设3AF k =，则4AD k =，5DF k = ∵BDA CED △∽△ ∴AD ABDE CD=①点F 在线段DE 的延长线上，当AEF △是等腰三角形时，存在以下三种情况： 1° 3FA FE k ==，则2DE k =∴1042kCD k=∴5CD = ∴16511BD =−= ……………………2分 2° EA EF = 则 2.5DE k = ∴1042.5k CD k=∴254CD = ∴25391644BD =−= ……………2分 3°3AEAF k == 则75DE k = ∴10475kCD k = ∴72CD = ∴7251622BD =−= ………………2分 ②点F 在线段DE 上，当AEF △是等腰三角形时， ∵90AFE ADF =°+∠∠ ∴AFE ∠是一个钝角 ∴只存在3FA FE k ==这种可能，则8DE k = ∴1048kCD k=∴2016CD =＞，不合题意，舍去 综上所述，当AEF △是等腰三角形时，BD 的长11或394或252． （做对1种情况2分，做对2种情况4分，做对3种情况但没有讨论在线段DE 上的这种可能5分，做对3种情况并分类讨论出不存在的情况6分）奉贤区2019学年第一学期中考数学一模2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知线段a 、b 、c ，如果::1:2:3a b c =，那么a bc b++的值是（ ） A . 13B . 23C . 35D . 532. 在Rt ABC V 中，90C °∠=，如果A ∠的正弦值是14，那么下列各式正确的是（ ）A . 4AB BC = B . 4AB AC = C . 4AC BC =D . 4BC AC =3. 已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u r 用a r表示正确的是（ ）A . 34a r B . 34a −r C . 43a rD . 43a −r4. 下列命题中，真命题是（ ）A . 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B . 邻边之比相等的两个矩形一定相似C . 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D . 对角线之比相等的两个矩形一定相似5. 已知抛物线2y ax bx c ++(0)a ≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：根据上表，下列判断正确的是（ ）A . 该抛物线开口向上B . 该抛物线的对称轴是直线1x =C . 该抛物线一定经过点15(1,)2−−D . 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 6. 在ABC V 中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是（ ）A . 外离B . 外切C . 相交D . 内含二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果tan α=，那么锐角α的度数是8. 若a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为3，则a =r （用单位向量e r 表示向量a r ）9. 若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）10. 如果二次函数2(1)y a x =−(0)a ≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的 取值范围是11. 抛物线22y x bx =++与y 轴交于点A ，如果点(2,2)B 和点A 关于该抛物线的对称轴 对称，那么b 的值是12. 已知ABC V 中，90C °∠=，3cos 4A =，6AC =，那么AB 的长是 13. 已知ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若13AD AB =，则当AEEC的值是 时，DE ∥BC14. 小明从山脚A 出发，沿坡度为1:2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置 比原来的位置升高了 米15. 如图，将ABC V 沿BC 边上的中线AD 平移到A B C ′′′V 的位置，如果点A ′恰好是ABC V 的重心，A B ′′、A C ′′分别于BC 交于点M 、N ，那么A MN ′V 的面积与ABC V 的面积之比是16. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O e 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O e 的面积，那么O e 的面积约是17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且3CD EC =，那么:AD AB 的值是 18. 如图，已知矩形ABCD ()AB CD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 已知函数(1)(3)y x x =−−−.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.x⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ y⋅⋅⋅⋅⋅⋅20. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC °∠=，45BAD °∠=，2DC =，6AB =， AE ⊥BD ，垂足为点F .（1）求∠DAE 的余弦值；（2）设DC a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，用向量a r 、b r 表示AE u u u r .21. 如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，E 是»BC的中点，OE 与弦BC 交于点F .（1）如果C 是AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长.22. 如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD 垂直于水平地面GQ ，当点P 与点A 重合时，伞收紧；当点P 由点A 向点B 移动时，伞慢慢撑开；当点P 与点B 重合时，伞完全张开. 已知遮阳伞的高度CD 是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM PN CM ===50CN =厘米，120CE CF ==厘米，20BC =厘米.（1）当53CPN °∠=，求BP 的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E 到地面GQ 的距离. （参考数据：sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）23. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结CE 、EF ，2CE DE CF =⋅.（1）求证：D CEF ∠=∠；（2）联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分∠ECF ， 求证：AC AE CB CG ⋅=⋅.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点(2,3)A −和点(5,0)B ， 顶点为C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值； （3）将抛物线2y x bx c =++向上平移t （0t >）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE BF =，求t 的值.25. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AD =5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE m =. （1）当点E 在边AD 上时，① 求CEF V 的面积；（用含m 的代数式表示） ② 当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF V 与CFG V 相似，求m 的值.参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. B5. C6. B一. 填空题7. 60°8. 3e −r9. 22y x =（形如2y ax c =+(0)a ≠即可）10. 0a > 11. 2− 12. 8 13. 1414. 5015. 1916. 18. 1三. 解答题19.（1）开口向下，顶点(2,1)，当2x ≤，y 随x 的增大而增大， 当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）略.20.（1；（2）334AE a b =+u u u r r r .21.（1）1:3；（2. 22.（1）40厘米；（2）196厘米. 23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）265y x x =−+，(3,4)C −；（2）3；（3）52.25.（1）① 2m −；② 3；（2虹口区2019学年第一学期中考数学一模一、选择题 1、如果1cos 2α=，那么锐角α的度数为（ ）A.30oB.45oC.60oD.90o2、在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，如果2BC =，tan 2B =，那么AC =（ ）A.1B.4D.3、抛物线()2311y x =++的顶点所在象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、已知抛物线2y x =经过()12,A y −、()21,B y 两点，在下列关系式中，正确的是（ ）A.120y y >>B.210y y >>C.120y y >>D.210y y >>5、已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r的是（ ）A.a b =r rB.//a c r r ，//b c r rC.0a b +=r r rD.2a b c +=r r r ，3a b c −=r r r6、如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，BAD C ∠=∠，2AC AD =，如果ACD V 的面积为15，那么ABD V 的面积为（ ）A.15B.10C.7.5D.5二、填空题7、如果:2:3a b =，且10a b +=，那么a = .8、如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式()230b a x −+=r r r r ，那么用向量a r 、b r 表示向量x =r .9、如果抛物线()211y a x =−+的开口向下，那么a 的取值范围是 .10、沿着x 轴正方向看，抛物线()21y x =−−在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）11、如果函数()212m my m x−=++是二次函数，那么m = .12、如图，抛物线的对称轴为直线1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为()4,0，那么点Q 的坐标为 .13、如图，点()2,A m 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，如果3tan 2α=，那么m = .14、已知111ABC A B C V :V ，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，12AC =、118A C =，ABC V 的高AD 为6，那么111A B C V 的高11A D 长为 .15、如图，在梯形AEFB 中，//AB EF ，6AB =，10EF =，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且//CD AB ，如果3AC CE =，那么CD = .16、公元三世际，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 .17、如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，1AC =，2BC =，点D 为边AB 上一动点，正方形DEFG 的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan DGB ∠= .18、如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，sin 5C 4=，9AB =，6AD =，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将BEF V 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段'B F 经过顶点A ，'B F 交对角线BD 于点P ，当'B F AB ⊥时，AP = .三、解答题19、计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45−−o o o o20、在平面直角坐标系中，将抛物线21:2C y x x =−向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线2C .（1）求新抛物线2C 的表达式；（2）如图，将OAB V 沿x 轴向左平移得到'''O A B V ，点()0,5A 的对应点'A 落在平移后的新抛物线2C 上，求点B 与其对应点'B 的距离.21、如图，在Rt ABC V 中，90ABC ∠=o ，点G 是Rt ABC V 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE BC ⊥交边BC 于点E .（1）如果AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r 、b r表示向量BG u u u r ；（2）当12AB =时，求GE 的长.22、某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7o （即'7BAB ∠=o ）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得37CDA ∠=o ，5AD =米，求这棵大树AB 的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin 370.6≈o ，cos370.8=o ，tan 370.75≈o ）23、如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，点D 是边BC 的中点，联结AD .过点C 作CE AD ⊥于点E ，联结BE .（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果ABC DCE ∠=∠，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅.24、在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为（1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”， ①当D 在射线AP 上，如果DAB ∠为ABD V 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE EF ⊥，如果CEF ∠为ECF V 的特征角，求点E 的坐标.25、在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，4BC =，3sin 5ABC ∠=，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE AD ⊥分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ，过点A 作//AG BD ，交直线BE 于点G . （1）当点D 在BC 的延长线上时，如果2CD =，求tan FBC ∠；（2）当点D 在BC 的延长线上时，设AG x =，ADF S y =V ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果8AG =，求DE 的长.参考答案1-6、CBBCAD7、4 8、23b a −r r9、1a > 10、右 11、212、()2,0− 13、3 14、4 15、9 16、16917、13 18、247192−20、（1）()214y x =+−；（2）4个单位21、（1）1233BG a b =−u u u r r r；（2）422、4+ 23、证明略24、（1）223y x x =−++，(1,P ；（2）①(，(3,；②25、（1）23；（2）()22724x y x =+；（32120.黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数 学 试 卷 2020年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ▲ ）． （A ）8；（B ）6；（C）；（D ） 2．2．在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，如果∠A =α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ▲ ）． （A ）sin m α⋅；（B ）cos m α⋅；（C ）tan m α⋅；（D ）cot m α⋅．3．已知一个单位向量e v，设a v 、b v 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ▲ ）．（A ）1a e a=r rr ；（B ）e a a =r r r ； （C ）b e b =r r r；（D ）11a b a b=r r r r ．4．已知二次函数2x y =，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图像的表达式是（ ▲ ）． （A ）2(1)2y x =++； （B ）2(1)2y x =+−； （C ）2(1)2y x =−+；（D ）2(1)2y x =−−．5．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=o ，AB AC DFDE=，如果∠B =50°，那么∠E 的度数是（ ▲ ）． （A ）50°； （B ）60°； （C ）70°；（D ）80°．6．如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ▲ ）． （A ）AD DEAB BC=； （B ）AD AEAC AB=； （C ）AD AB DE BC ⋅=⋅；（D ）AD AC AB AE ⋅=⋅．图17．计算：2(32)(2)b a a b −+−v v v v= ▲ ．8．如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果5AE =，3EC =，4DE =，那么线段BC 的长是 ▲ ．图2 图3 图4 图5 9．如图3，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果23AB BC =，DF =15，那么线段DE 的长是 ▲ ．10．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），那么BPAP的值是 ▲ ． 11．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式 ▲ ．12．如图4，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=o ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果4BC =，2sin 3DBC ∠=，那么线段AB 的长是 ▲ ．13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠=▲ ． 14．如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE x =，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 ▲ ． （不需写出x 的取值范围）．15．如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 ▲ 厘米．16．在△ABC 中， AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE =6，那么线段AD 的长是 ▲ ．17．如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果5AG =，6BF =，那么线段CE的长是 ▲ ．BB桌面图6B图7。