三重积分教学的一题多解谈思维的发散性培养 学生版
初中数学发散性思维能力的培养策略
初中数学发散性思维能力的培养策略数学的发散性思维能力是指学生在解题过程中，能够灵活运用各种数学概念与方法，采用多种不同的思路来解决问题的能力。
下面是初中数学发散性思维能力的培养策略：1. 提供自主解题的机会让学生接触到各种不同类型的问题，并鼓励他们用自己的方式来解决。
让学生由浅入深地思考问题，逐步提高解题的难度。
鼓励学生发扬自由思维，尽可能创造性地解决问题。
2. 引导学生进行思维导图在解题过程中，学生可以利用思维导图的方式，将问题的关键信息和解题思路进行整理和梳理。
这种方式有助于学生形成系统性的思维，同时也可以帮助学生发现问题中的一些潜在规律和联系。
3. 鼓励学生进行思维角度的转换数学问题往往有多种解法，引导学生从不同的角度去思考问题，并寻找不同的解题思路。
可以通过改变问题的表述方式，或是从已经获得的一些条件出发，来推导和发现其他有用的信息。
4. 提供合作解题的机会组织学生进行小组合作解题，鼓励他们互相讨论和交流思路。
在小组合作的过程中，可以让学生相互启发和借鉴思路，互相补充和纠正错误，从而培养学生的发散性思维能力，同时也提高学生的合作意识和团队精神。
5. 注重学生创新思维的培养鼓励学生在解题过程中提出自己的猜想和独特的解法，并引导他们进行有效的验证和推理。
教师可以提供一些开放性的问题，激发学生主动探索和发现问题的能力。
6. 着重培养学生的问题意识在培养学生发散性思维的过程中，要注重培养学生的问题意识和解决问题的主动性。
可以在教学中提出一些具有挑战性的问题，让学生主动思考和解决。
教师可以通过提问的方式，引导学生自主思考并形成自己的观点。
7. 鼓励学生尝试新的方法在解题过程中，鼓励学生尝试一些新的方法和思路。
教师可以引导学生接触一些新的数学工具和技巧，通过学习和掌握这些方法，培养学生的发散性思维能力。
初中数学发散性思维能力的培养需要提供自主解题机会、进行思维导图、引导思维角度转换、提供合作解题机会、注重学生创新思维的培养、培养问题意识、鼓励尝试新方法等方面进行综合策略的培养。
一题多解在三重积分计算中的应用
Key words one question with multiple solutions;triple integral; Cartesian coordinates;spherical coordinates
仔
仔
乙 乙 乙 乙 乙 2π
= d兹
3
d渍
R
（r
cosφ）2·r2
sin
渍dr+
2π
d兹
2
d渍
0
0
0
0
R
3
乙 2R cos 渍 （r
cosφ）2·r2
sin
渍dr
0
=
7仔R5 60
+
仔R5 160
=
59仔R5 480
3 三重积分计算四种方法的比较分析
在实例分析中采用投影法、柱面坐标法、球面坐标法计
算比较复杂，计算量过大，而利用截面法计算虽然有分区
一般满足以下两个条件：第一被积函数中含有 x2+y2+z2 项; 第二积分区 Ω 域由球面或圆锥面所围成时最适合采用 球面坐标法求解。在采用球面坐标法计算时：①要明确变量 不再是 x,y,z，也不是 籽，兹，z，而是 兹，渍，r；兹 是积分区域 Ω 在 xoy 面上的投影的极角，渍 是 Ω 中任意一点与坐标原点连线 与 z 轴正方向的夹角，r 是 Ω 中任意一点与坐标原点连线 的距离；x=r cos 兹 sin 渍，y=r sin 渍，z=r cos 渍。②dxdydz=r2 sin 渍d兹d渍dr。③分析是否要分区域计算：通常用过原点的射线 去穿过 Ω，若截下的射线段不是自始至终夹在相同的曲面 之间，则需分区域计算。 3.4 投影法最适合使用的条件和应注意的事项
培养发散性思维能力提升高中学生的数学解题能力
培养发散性思维能力提升高中学生的数学解题能力张晓玲(江苏省启东市东南中学ꎬ江苏南通２２６０００)摘㊀要:教师要通过培养学生的发散性思维能力ꎬ帮助学生更好地理解和应用数学知识ꎬ提升他们的解题能力ꎬ并促进他们的学科素养的发展.关键词:高中数学ꎻ解题能力ꎻ发散思维ꎻ学科素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００５５－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:张晓玲(１９８２.２ )ꎬ女ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀目前ꎬ很多高中学生在数学解题方面存在着能力不强的问题ꎬ这对他们的数学发展产生了一定的制约.然而ꎬ教师可通过培养学生的发散性思维能力ꎬ让他们能够从多个角度和途径解决问题.发散性思维能够帮助学生跳出刻板思维ꎬ推动他们深入思考解题过程中的逻辑和推理ꎬ从而提高解题的效率和准确性.１在一题多解中培养发散性思维能力在教学中ꎬ教师应该注重提高学生解题的质量ꎬ而不是一味地增加他们解题的数量.因此教师可改变教学的策略ꎬ对于同一个问题ꎬ可引导学生多角度思考ꎬ找寻不同的解决方案.大多时候ꎬ学生在做完一道题目之后ꎬ不会再对这道题进行深入的思考ꎬ而是转战下一题.如果教师能引导学生多进行一题多解的体验ꎬ学生不但能深刻理解和灵活运用所学的知识ꎬ还能进一步地开阔视野ꎬ提升发散性思维能力[１].以下面这题为例ꎬ已知ｔａｎα＋１ｃｏｓα＝３ꎬ则ｃｏｓαｓｉｎα－１等于多少?不少学生先是想到利用弦切转化并结合同角三角函数关系ꎬ求出具体的正㊁余弦值.学生由ｔａｎα＋１ｃｏｓα＝ｓｉｎαｃｏｓα＋１ｃｏｓα＝ｓｉｎα＋１ｃｏｓα＝３ꎬ得出:ｓｉｎα＋１＝３ｃｏｓαꎬ所以(ｓｉｎα＋１)２＝３ｃｏｓ２α＝３－３ｓｉｎ２α.进而学生解得:ｓｉｎα＝１２ｃｏｓα＝３２ìîíïïïï或ｓｉｎα＝－１ｃｏｓα＝０{(舍去)ꎬ进一步地ꎬ他们推断出:ｃｏｓαｓｉｎα－１＝３２１２－１＝－３.当学生完成这样的解题过程之后ꎬ教师可引导他们发散思维:能不能换一个路径ꎬ用另外的方法ꎬ同样能求得答案.学生想到可利用弦切转化并结合条件与问题形式上的内在关系解决问题.学生由ｔａｎα＋１ｃｏｓα＝ｓｉｎαｃｏｓα＋１ｃｏｓα＝ｓｉｎα＋１ｃｏｓα＝３得出:ｃｏｓαｓｉｎα－１＝ｃｏｓ２α(ｓｉｎα－１)ｃｏｓα＝１－ｓｉｎ２α(ｓｉｎα－１)ｃｏｓα＝(１－ｓｉｎα)(１＋ｓｉｎα)(ｓｉｎα－１)ｃｏｓα＝－ｓｉｎα＋１ｃｏｓα＝－３.在第一种解法中ꎬ学生是直接运用题设条件及５５同角三角函数关系列方程求解的.因此教师可引导学生发散性地思考能不能结合题设条件与问题的倒数乘积为－１的关系转化求解ꎬ这能提升他们的思维能力.在上述的过程中ꎬ学生改变原先的 就题论题 的方式ꎬ而是在教师的引导下ꎬ从不同的角度去联想㊁横向沟通㊁多方探究问题.学生通过这样的方式ꎬ不但巩固对应的知识ꎬ还进一步锻炼发散思维能力.２在有序猜想中培养发散性思维能力传统的数学教学中ꎬ教师在设置题目时ꎬ往往直接地给出结论ꎬ再让学生展开具体的证明.其实教师可给学生更多锻炼思维的机会ꎬ让他们对着题面的情境进行多元化的猜想.毫无疑问ꎬ猜想是一种创造性思维模式ꎬ也是发散思维的具体表现形式之一.这里所说的猜想ꎬ不是学生毫无目的㊁不着边际的乱想ꎬ而是在教师的引导下ꎬ结合具体的条件㊁相关的认知等ꎬ展开的有序猜想.学生可边猜想边进行有效的验证ꎬ以此提升发散性思维能力与学科素养.以下面这题为例ꎬ如图１所示ꎬ教师设置这样的情境:在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ底面ＡＢＣＤ是平行四边形ꎬøＡＢＣ＝１２０ʎꎬＡＢ＝１ꎬＢＣ＝４ꎬＰＡ＝１５ꎬＭꎬＮ分别为ＢＣꎬＰＣ的中点ꎬＰＤʅＤＣꎬＰＭʅＭＤ.教师设置的问题为对着这题能有什么样的猜想ꎬ这其实是在锻炼学生由题目发散出不同猜想的能力.图１㊀四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ学生对着情境中所提到的条件ꎬ他们猜想能不能实现线面垂直的相互转化.基于此ꎬ学生猜想到这样的问题能不能证明ＡＢʅＰＭ.对于这样的证明ꎬ学生展开一系列的猜想:要证ＡＢʅＰＭꎬ是不是要证明ＤＣʅＰＭꎻ要证明ＤＣʅＰＭ是不是要证明ＤＣʅ平面ＰＤＭꎻ由题意是不是可得:ＰＤʅＤＣꎬ进而推得:ＤＭʅＤＣꎬ从而得出:ＤＣʅ平面ＰＤＭ.在一步步的猜想中ꎬ学生不断地发散思维.教师可引导学生进一步猜想出不同的问题ꎬ有学生猜想到这样的问题:能不能求直线ＡＮ与平面ＰＤＭ所成角的正弦值.对于这样的猜想ꎬ学生发现由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系.图２㊀直棱锥ＡＢＣ－ＭＰＤ学生由ＰＭʅＭＤꎬＡＢʅＰＭꎬＡＢ与ＤＭ相交ꎬ得出:ＰＭʅ平面ＡＢＣＤ.因为ＡＭ＝７ꎬ学生得出:ＰＭ＝２２.接着ꎬ学生取ＡＤ中点Ｅꎬ连接ＭＥꎬ他们得出:ＭＥꎬＤＭꎬＰＭ两两垂直.学生再以点Ｍ为坐标原点ꎬ如图２所示ꎬ建立空间直角坐标系.最后ꎬ根据线面角的向量公式ꎬ学生计算出相应的数值.显然地ꎬ在猜想中ꎬ学生成为学习的主人ꎬ他们的思维得以自由漫溯.因此在教学中ꎬ教师要多给学生猜想的机会ꎬ提升他们思维的发散性与广阔性[２].高中学生在面临具有抽象性和复杂性的问题时ꎬ往往因为无法解读其中的隐含条件而找不到解题的突破口.要培养学生解读条件的能力ꎬ教师可不设置具体的结论ꎬ而是引导学生结合具体的情境在分析中猜想和交流ꎬ这能提升学生挖掘题目信息的能力.同时ꎬ学生也在猜想中通过合理的整合和思考ꎬ形成完整的解题思路.３在数形结合中培养发散性思维能力教师在教学中会发现ꎬ当学生需要深入挖掘已知条件并找出其与结论之间的关联时ꎬ往往会由 数 发散到 形 .显然ꎬ这是学生将数形状结合应用于具体的解题ꎬ即通过合理的发散思维ꎬ建立起数学与形状之间的关系.这种数形结合可以帮助学生拓宽解题思路㊁挖掘问题的多个解决路径.具体来说ꎬ学生需要观察和分析形状ꎬ找到数学问题中的形状特征ꎬ然后将其与数学知识相结合ꎬ以图形化的方式呈现数学概念和问题ꎬ并以此提高解题的效率与准确性.这种思维方式能够培养学生的创造性思维６５和探索精神ꎬ促进他们发散性思维的发展.以下面这题为例ꎬ已知函数ｆｘ()＝ｅｘ＋ｘꎬｇｘ()＝ｌｏｇ０.３ｘ－ｘꎬｈｘ()＝ｘ３＋ｘꎬ它们的零点ａꎬｂꎬｃ的大小顺序能比较出来吗?图３㊀函数ｙ＝ｅｘꎬｙ＝ｌｏｇ１０/２ｘꎬｙ＝ｘ２ꎬ直线ｙ＝－ｘ的图象对于这样的题目ꎬ学生很容易想到对函数进行分段的讨论ꎬ进而比较出大小.显然ꎬ这样的做法比较繁杂ꎬ也很容易出错.因此教师就可引导学生开启发散性思维ꎬ能不能将题目的表述以相关的图象呈现出来ꎬ再借助图象获得问题的解决ꎬ这其实是要引导学生由文字发散到图形ꎬ再开展数形结合.学生先是将题目中的文字变成具体的式子ꎬ即ｆ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘ＝０⇒ｅｘ＝－ｘꎬｅａ＝－ａꎻｇ(ｘ)＝ｌｏｇ０.３ｘ－ｘ＝－ｌｏｇ１０３ｘ－ｘ＝０⇒ｌｏｇ１０３ｘ＝－ｘꎬｌｏｇ１０３ｂ＝－ｂꎻｈ(ｘ)＝ｘ３＋ｘ＝０⇒ｘ３＝－ｘꎬｃ３＝－ｃ.接着ꎬ在教师的引导下ꎬ学生画出图３所示的图象.对着图象ꎬ学生能直观地发现:ａ<０ꎬｂ>０ꎬｃ＝０ꎬ进而他们推得:ａ<ｃ<ｂ.为进一步提升学生数形结合的能力ꎬ也进一步锻炼他们的发散性思维.教师再设一题:已知函数ｆ(ｘ)＝３ｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ｜φ｜<π)ꎬｆ(４)＝ｆ(２)－６ꎬ且ｆ(ｘ)在２ꎬ４[]上单调.设函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１ꎬ且ｇ(ｘ)的定义域为[－５ꎬ８]ꎬ则函数ｇ(ｘ)的所有零点之和等于多少?学生先是由ｆ(ｘ)＝３ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ得出:－３ɤｆｘ()ɤ３ꎻ由ｆ(４)＝ｆ(２)－６ꎬ得出:ｆ２()＝３ꎬｆ４()＝－３ꎬｆ(ｘ)在２ꎬ４[]上单调递减ꎻ由Ｔ２＝２ꎬＴ＝４＝２πωꎬ得出:ω＝π２.将上面的推断结果代入ｆ２()＝３ｓｉｎ(π２ˑ２＋φ)＝３ꎬ学生可得:φ＝－π２＋２ｋπｋɪＺ().又因为｜φ｜<πꎬ学生得出:φ＝－π２ꎬ即ｆ(ｘ)＝３ｓｉｎ(π２ｘ－π２).结合题意ꎬ学生发散思维ꎬ把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题ꎬ再利用几何直观求解.学生令ｔ＝π２ｘ－π２ꎬ画出ｙ＝３ｓｉｎｔ的图象ꎬ如图４所示.图４㊀ｙ＝３ｓｉｎｔ的图象对着图象学生发现:当ｘɪ－５ꎬ８[]时ꎬｔɪ－３πꎬ７π２[]ꎬｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１＝０ꎻ即ｆ(ｘ)＝１ꎬ在－３πꎬ７π２[]上共有六个根ꎬｔ１＋ｔ２＋ ＋ｔ６＝－３π＋π＋５π＝３πꎻ即π２ｘ１－π２æèçöø÷＋π２ｘ２－π２æèçöø÷＋π２ｘ６－π２æèçöø÷＝３π.最终ꎬ学生得出:ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘ６＝１２.因此ꎬ数形结合作为一种发散性思维的方法ꎬ扩展了学生的思维空间ꎬ帮助他们从多个角度思考和解决问题.这种思维方式培养了学生在思维上的创造性和灵活性ꎬ发展了他们的发散性思维.４结束语学生的发散性思维能力和解题能力的发展不是一个可以一蹴而就的过程.教师需要选择适当的教学方法ꎬ通过引导和激发学生的主动性和创造性ꎬ帮助他们逐步培养和发展发散性思维能力.参考文献:[１]梁永年.高中数学发散性思维教学的思考与实践:读«中国的孩子玩不起数学»一文有感[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２１(１１):１２－１５.[２]卢碧如.例谈思维的广阔性在数学课堂教学中的运用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０９):８－１０.㊀[责任编辑:李㊀璟]７５。
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。
一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。
本文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。
关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。
教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的数学能力至关重要。
一、数学课程中的一题多解数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活逻辑思维能力。
在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维的广阔性和慎密性。
在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。
二、圆的一题多解问题探析在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。
本文将课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。
一题多变一问多解 培养学生的思维能力
木 』水 ｇ ＝ 石 ｐ石 ｇ ＋ 木 Ｉ木 ｇ Ｄ ｌ Ｄ
又 △Ｆ ＝ ｌ ｌｖ 浮 Ｄ △ ｓ 水ｇ
所以 △ ＾＝ ａｖ＊ ｓ ＝ ＊／ 容
５ Ｘ １ －ｍ 。 ０３
：
由上 面 两 式 联 立 解 得 ：
１
ｌ ＝ ｌ 一－ ￣ ＝ ０ ５Ｘ １ ｋ ／ ３ Ｄ 木 Ｄ 水 ａ？ － ． ０ ｇ ｍ ３
变 化 三
石 块 沉
入水 底 后 ， 器底 部对 容 变 化 一 若 木 块 的底 面 积 为 ５ ０厘 米 剪 ， 石块 的 支 持 力 为 多 少 ？ 断细线 ， ： 求 水对木块下底 面的压强。 石 解 法一 紧 紧抓住 静 止液体 内部 的压 强 （ 块 与 容 器 底 部 没 有
剪 断 细 线 以后 ： ２．＝ Ｇ ＋Ｆｚ ． Ｆｆ 木 ｉ ｆ
毖 酋
幽 １
析 与 解 把 木 块 和石 块 看 成 整 体 。 由题 意
知石块置于木块上 、 ， 下 浮力 的大小 没有发生 变
剪断细线 以后 石块下沉 。 Ｆ 浮 ＜ Ｇ 由 石 石知 化 （ 浮 ＝Ｇ Ｆ 木＋Ｇ 。 石） 由此根据阿基米德原理推 木块和石块总的浮力减小 ， 面下降。 液 出排开水 的体 积没 有发 生 变化 。 则露 出水 面的 因 △Ｆ ＝ Ｆｌ． Ｆｆ 浮 ｆ 一 ２．＝ Ｇ 一ｌ 石 Ｄ 水ｇ ， 石 体积也 没有发生变化 。 么 ： ＝ 木／ 。 由 那 石 ４而
对 木块 下底 面 的 压强 ：
Ｆ浮 ＝ Ｇ木 ＝ Ｆｌ ＝一 Ｆ向下 ｅａ
ｍ ￣ ｇ ｒ ． ｐ 一 世 一 Ｓ木 一 Ｓ木
一 —
—
作过程 ， 供大家探讨 。 例 题 如 图所 示 ， １０克 的石 块 Ａ放 在 把 ０ 木块 Ｂ上 ， 木块刚好没入水 中 ， 若把石块 Ａ挂在 木 块 Ｂ 下 ， 木 块 露 出 水 面 １４ 已 知 石 块 的 密 则 ／， 度为 ２ ０Ｘ １３ ． ０ 千克 ／ ， ＝ １ 米 ｇ ０牛 ／ 千克 ；
三重积分计算授课课件
解
y2 由
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
三重积分计算授课课件
化三重积分为累次积分 柱面和球面坐标下三重积分的计算
一、利用柱面坐标计算三重 设 M ( x, y, z) 为空积间分内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三
个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
d
a
rdr
a r2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
重修三重积分PPT课件
04
三重积分的性质与定理
三重积分的性质
可加性
若积分区域可分割为有限个子区域，则 三重积分等于各子区域上的三重积分之
和。
积分区域的可变性
在保持被积函数不变的情况下，积分 区域可以经过平移、旋转等变换，三
重积分的值不变。
线性性
被积函数是线性组合时，三重积分等 于各被积函数三重积分的线性组合。
被积函数的可微性
02
三重积分的计算方法
直角坐标系下的三重积分
投影法
01
通过投影将三重积分转化为二重积分，再进一步转化为一重积
分进行计算。
截面法
02
通过截面将三重积分转化为二重积分，再进一步转化为一重积
分进行计算。
先一后二法
03
先对某一变量进行积分，再将剩余的二重积分转化为极坐标形
式进行计算。
柱面坐标系下的三重积分
01
02
03
计算质心
通过三重积分可以计算物 体的质心坐标，这在研究 物体的平衡和稳定性时非 常有用。
计算转动惯量
三重积分可用于计算物体 绕某轴的转动惯量，进而 分析物体的旋转运动特性。
计算引力
在天体物理学中，三重积 分可用于计算两个物体之 间的引力，如计算地球对 月球的引力。
在工程学中的应用
流体动力学
柱面坐标系的定义及性质
介绍柱面坐标系的定义、性质以及与直角坐标 系的关系。
三重积分的柱面坐标表示
将三重积分在柱面坐标系下表示为三个定积分 的乘积形式。
柱面坐标系下的计算步骤
详细阐述在柱面坐标系下计算三重积分的步骤，包括被积函数、积分区域等的 转换。
球面坐标系下的三重积分
球面坐标系的定义及性质
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从三重积分一题多解与变式教学谈发散性思维培养 利用一题多解和变式教学“玩转”三重积分的计算？摘要：通过采用一题多解和变式练习的方式开展三重积分计算法的教学，有助于学生掌握四种方法，有利于他们发现各种方法之间的联系，开拓视野，使他们在比较中体会到如何根据积分区域和函数类型选择选择最优的方法，进而培养他们的发散性思维。
关键词：三重积分 截面法 投影法 柱面坐标法 球面坐标法大多数《高等数学》教材中[1-3]，都介绍了三重积分的四种计算法：直角坐标系下的截面法与投影法，柱面坐标法和球面坐标法。
笔者在实际的教学中发现，采取一题多解和变式教学有利于学生掌握这些方法，并从中发现它们之间的联系，使学生在比较中体会到如何根据区域和函数的类型选择最合适的方法。
下面通过例子加以说明。
例. 计算22()d d d ,I x y x y z Ω=+⎰⎰⎰其中Ω由柱面221x y +=与平面1z =所围。
解：方法一（柱面坐标法）2rd drd I r z θΩ=⋅⎰⎰⎰2113d d d r r z πθ=⎰⎰⎰.2π=方法二（投影法）122220()d d d (:1)xyxy D I x y x y z D x y =++≤⎰⎰⎰，由二重积分的极坐标法， 22()d d xyD x y x y +⎰⎰21300d d r r πθ=⎰⎰，故2113000d dd I r r z πθ=⎰⎰⎰（与（1）式的第二个等式相同！） 注：从上面的解答过程可以看出：三重积分的投影法结合二重积分的极坐标法就“导出”三重积分柱面坐标法。
因此，在使用柱面坐标法计算三重积分时，只需要先将区域投影到某个坐标面得平面投影区域，再将投影区域改写成极坐标形式，这样就得到柱面坐标系下先对z 、再对r 、最后对θ的三次积分！ 方法三（截面法）122220d ()d d (:1)zz D I z x y x y D x y =++≤⎰⎰⎰1213000d d d z r r πθ=⎰⎰⎰点评：在一般的教材中，对柱面坐标法，多数只给出了先对z 、再对r 、最后对θ的三次积分。
上式表明，截面法结合二重积分的极坐标法就“导出”柱面坐标系下另外一种次序的三次积分：先对r 、再对θ、最后对z 的三次积分。
有的作者认为截面法（或先重后单法）需要满足这两个条件使用才简便：①(,,)f x y z 只含有一个变量；② 截面的面积z D 容易求[1]。
这种限制是片面的。
本例及下面的变式说明，条件①②不满足时，使用截面法(结合二重积分的极坐标法)也很简单（当然被积函数具备22(),()yf x y f x+等形式）。
方法四（球面坐标法）在球面坐标下，曲面1z =、221x y +=的方程分别为1cos r ϕ=、1sin r ϕ=，故122224co s 000d d s in s i n d I r r rππϕθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰222222si n 04d d sin sin d r r r ππϕπθϕϕϕ+⋅⎰⎰⎰点评：这种算法也可算出结果，但上式积分比较复杂。
原因是：平面和柱面方程在球面坐标系下较复杂！如果将平面改为球面，将柱面改为锥面，则计算会简单很多（见变式4）。
如果被积函数改为222x y z ++，则上面的积分就容易计算些。
虽然此法不是首选方法，但在课堂教学中，鼓励学生写出球面坐标下的三次积分，仍有助于他们理解这种方法，且可以使他们在比较中弄明白在什么情况下用球面坐标法最合适。
变式1：被积函数不变，积分区域改为：Ω由柱面z =与平面1z =所围。
解：方法一（柱面坐标法）21120d d d .10rI r r r z ππθ=⋅=⎰⎰⎰方法二（投影法）122()d d xyD I x y x y z =+⎰⎰22()(1d xyD x y x y =+⎰⎰2120d (1)d .10r r r r ππθ=-⋅=⎰⎰ 22(:1)xy D x y +≤【注】如果例题不要，而把此变式当做例题，前面的两处点评该如何写？ 方法三（截面法）122d ()d d zD I z x y x y =+⎰⎰⎰1230d d d .10zz r r ππθ==⎰⎰⎰222(:)z D x y z +≤方法四（球面坐标法）122224cos 0d d sin sin d .10I r r r πππθϕϕϕ=⋅=⎰⎰⎰注：前三种方法均比较简单。
如果将被积函数改为222x y z ++标法也比较简单。
变式2被积函数不变，积分区域改为：Ω由旋转抛物面22z x y =+与平面1z =所围。
解：方法一（柱面坐标法）221120d d d .6rI r r r z ππθ=⋅=⎰⎰⎰方法二（投影法）22122()d d d xyx yD I x y x y z +=+⎰⎰⎰2222()(1)d d xyD x y x y x y =+--⎰⎰21220d (1)d .6r r r r ππθ=-⋅=⎰⎰ 22(:1)xy D x y +≤【注】如果例题不要，而把此变式当做例题，前面的两处点评该如何写？方法三（截面法）1220d ()d d zD I z x y x y =+⎰⎰⎰1230d d d .6z r ππθ==⎰⎰22(:)z D x y z +≤方法四（球面坐标法）122224cos 0d d sin sin d I r r r ππϕθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰cos 22222sin 04d d sin sin d r r r πϕπϕπθϕϕϕ+⋅⎰⎰⎰（计算复杂!）注：比较变式1和变式2的方法四，区域为锥面与平面所围较旋转抛物面与平面所围，对应的积分用球面坐标法更简单些。
（其他的变式说完后集中总结是否更好？以结语的方式进行总结，缩短篇幅，总结更全面）变式3被积函数不变，积分区域改为：Ω由上半球面z =0z =所围。
解：方法一（柱面坐标法）211220d d d I r r r z r r ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰ （计算复杂）方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最后一个式子，积分同样复杂！方法三（截面法）122d ()d d zD I z x y x y =+⎰⎰⎰12304d d d .15z r ππθ==⎰⎰ 222(:1)z D x y z +≤- （后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！） 注：若被积函数为改为222()n x y z ++（n 为正奇数），则截面法比较复杂。
方法四（球面坐标法）2122220d d sin sin d I r r r ππθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰（计算简单!）变式4 被积函数不变，区域改为：Ω由上半球面z =z =所围。
解：方法一（柱面坐标法）2230d d )d 2rI r r z r r ππθ=⋅=⎰（计算复杂）方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最后一个式子，积分同样复杂！方法三（截面法）12222()d d ()d d zzD D I z x y x y z x y x y =+++⎰⎰⎰⎰21233d d ?d d .zz r r z r ππθθ=+=⎰⎰⎰22222212(:(0:1(1))22z z D x y z z D x y z z +≤≤≤+≤-≤≤ （后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！）注：虽然写成两个积分，但计算比较简单！ 方法四（球面坐标法）2122240d d sin sin d I r r r ππθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰（计算简单!）变式5 被积函数不变，区域为：Ω由半球面z =22z x y =+所围。
解：此时两个曲面的交线在平面01)/2z z ==，设00arccos z ϕ=，方法一（柱面坐标法）211220d d d I r r r z r r ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰ （计算复杂）方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法）012122220d ()d d d ()d d zzz z D D I z x y x y z x y x y =+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰212330d d d d d d z z z r z r ππθθ=+⎰⎰⎰⎰22222212(:(0:1(1))22z z D x y z z D x y z z +≤≤≤+≤-≤≤ （后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！）注：若被积函数为改为222()n x y z ++（n 为正奇数），则截面法比较复杂。
方法四（球面坐标法）20212cos /sin 2222222d d d d d sin sin sin sin d I r r r r r r ππϕπϕϕϕϕϕθϕϕθϕϕ⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰（计算简单!）注：虽然积分形式比较复杂，但积分比较容易。
变式6 被积函数不变，区域为：Ω由球面2222x y z z ++=与锥面z =所围。
解：方法一（柱面坐标法）21121230d d d (1)d rI r r r z r r r ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰（计算复杂）方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法）1212222201d ()d d d ()d d zzD D I z x y x y z x y x y =+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰12223301d d d d d d zz r r z r ππθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰（积分比较简单）22222212(:(01),:2(12))z z D x y z z D x y z z z +≤≤≤+≤-≤≤ （后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！）注：若被积函数为改为222()nx y z ++（n 为正奇数），则截面法比较复杂。
方法四（球面坐标法）2/42cos 2220d d sin sin d I r r r ππϕθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰（计算简单!）变式7 被积函数不变，区域为：Ω由球面2222x y z z ++=与抛物面22z x y =+所围。
解：方法一（柱面坐标法）22111230d d 2(1)d rI r r r z r r r πθπ=⋅=⎰⎰⎰⎰（计算复杂）方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法）1212222201d ()d d d ()d d zzD D I z xy x y z x y x y =+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰12223301d d d d d d z r z r ππθθ=+⎰⎰⎰⎰（积分比较简单）2222212(:(01),:2(12))z z D x y z z D x y z z z +≤≤≤+≤-≤≤ （后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！）注：若被积函数为改为222()n x y z ++（n 为正奇数），则截面法比较复杂。