高三一轮复习函数与方程

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高三数学一轮复习知识点

高三数学一轮复习知识点高三是每个学生都经历的一段关键时期，无论是对于学习压力还是备考任务，都是非常巨大的挑战。

而在高三中，数学作为一门重要科目，更是需要学生们下大功夫去复习和巩固。

在这篇文章中，我们将探讨一些高三数学一轮复习的重点知识点，帮助学生们更好地备考。

一、函数与方程在高中数学中，函数与方程是一个非常基础且重要的概念。

学生们需要掌握函数的定义、性质以及各种常见的函数关系。

此外，还要熟练掌握一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式的解法。

这些内容是后续学习的基础，因此需要学生们牢固掌握。

二、三角函数与向量三角函数是数学中一个非常重要的分支，学生们需要理解三角函数的定义、性质以及应用。

此外，学生们还需了解三角函数与直角三角形、单位圆、平面向量等的关系。

而在向量部分，学生们需要熟悉向量的基本运算、向量的模、方向以及与点、直线、平面的关系等。

三、数列与数学归纳法数列作为数学中的一个重要概念，对于高考复习来说也是不能忽略的一部分。

学生们需要了解数列的定义、性质以及数列的收敛性等。

此外，数学归纳法也是数学中的一个重要证明方法，学生们需要能够熟练运用数学归纳法解决各种题目。

四、平面几何与立体几何几何在高中数学中占有重要地位，学生们需要掌握平面几何和立体几何的相关知识。

在平面几何中，学生们需要熟悉各种图形的性质、相似与全等的判定以及平行线与垂直线的性质。

而在立体几何中，学生们需要了解各种立体图形的性质、平行线与垂直线的判定等。

五、导数与微分导数与微分是高中数学中一个比较难的知识点，但同样也是需要学生们掌握的重要内容。

学生们需要理解导数的定义、性质以及各种基本导数的计算方法。

此外，学生们还需懂得利用导数解决各种相关的问题，如最值、极值等。

六、概率与统计概率与统计在数学复习中也扮演着重要的角色。

学生们需要了解概率的定义、性质以及常见概率事件的计算方法。

此外，对于统计部分，学生们需要熟悉统计数据的整理和分析，掌握常见统计量的计算方法，同时能够灵活运用统计知识解决实际问题。

第一轮复习11----函数与方程

k , k 1k N , 求k的值。在的区间为
3
零点位置若a b c, 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分
别位于区间（ C.b, c 和c, 内 A.a, b 和b, c 内 B.- , a 和a, b 内 ) D.- , a 和c, 内
x
个数为（） A.1 B.2
C.3
D.4
B
若定义在R上的偶函数f x 满足 f x 2 f x , 且当x 0,1时，） D.2个 f x x, 则函数y f x log3 | x | 的零点个数是（ A.多于4个 B.4个 C.3个
零点个数
3
若函数g x f x loga | x | 至少有5个零点，则a的取值范围是（ A.1,5 1 C. 0, 5, 5 ） 1 B. 0, 5, 5 1 D. ,1 1,5 5
f x 2 f x , 当 - 1 x 1时，f x x ,
5 1 a 4
零点问题的取值范围
1 若存在负实数使得方程 2 a x 1 成立，则实数a的取值范围是（） A.2, B.0, C.0,2 D.0,1
x
C
零点问题的取值范围
若函数f x a x aa 0且a 1
x
有2个零点，则实数 a的取值范围是__
第一轮复习-函数与方程
上饶中学数学组俞振
函数的零点：函数 y f x 的图像与x轴的交点的横坐标。
方程f x 0有实数根函数y f x 的图像
函数的零点存在性定理若函数y f x 在区间a, b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反即 f a f b 0, 则在区间a, b 内，函数y f x 至少有一个零点，即相应方程f x 0在区间a, b 内至少有一个实数解。

高考数学一轮复习函数与方程

3.二分法的定义
对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不
断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零
⁠
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
目录
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
目录
⁠
（多选）有如下说法，其中正确的有
（
）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定
变号
B.连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0
在区间[a，b]上一定有实根
c）（x－a）的两个零点分别位于区间（
）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：A 函数y＝f（x）是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b
＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f
知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜
1
1
1
1
kOB，因为kOA＝－，kOB＝1，所以－＜2m＜1，解得－＜m＜ .
3
3
6
2
答案（2）A
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
考向2 探究函数多个零点（方程根）问题
− 2 −2, ≤ 0,

人教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第三章函数与基本初等函数-第八节函数与方程

2.用二分法求方程 + lg − 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是() B
A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]
[解析]设 = + − ，显然函数图象是连续的，且 = − < ，
= − < ， = > ， = + > ， = + > ，
[解析]因为函数 =

−

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− 在区间 , 上单调递增，又函数
= − − 的一个零点在区间 , 内，则有 ⋅ < ，所以
− − − < ，即 − < ，所以 < < .故选C.
4.已知函数 = e − e− + 4，若方程 = + 4 > 0 有三个不同的实根1 ，

= 或 = ，作出的图象，如图所示：

观察图象可知, = − 无解, = 有3个解, = 有1个解.综上所述,函数
的零点个数为4.故答案为4.
［对点训练3］（1）已知函数 =
实根个数为() A
A.3
2 +1
൞ 2
−1

B.4
定理得函数的零点位于区间 , 内.故选C.
法二（数形结合）：
函数 = + − 的零点所在区间转化为 = ，
= − + 的图象的交点横坐标所在范围.如图所示，可知
的零点在 , 内.故选C.
［对点训练1］（多选题）下列函数中，在区间[−1,3]上存在唯一零点的有() BCD

高考数学一轮总复习函数与方程的巧妙技巧

高考数学一轮总复习函数与方程的巧妙技巧函数和方程是高中数学重要的内容之一，在高考数学中占有很大的比重。

掌握函数和方程的巧妙技巧，将对我们的考试成绩起到明显的提升作用。

本文将介绍一些高考数学函数与方程的巧妙技巧，帮助同学们更好地备考。

一、函数的巧妙技巧1. 利用平移变换简化函数图像当函数图像进行平移操作时，可以通过学习特定的平移规律，快速推导出平移后函数的性质。

例如，对于$f(x)$的图像进行横向平移$h$个单位，得到$f(x-h)$。

同样，对于纵向平移$k$个单位，可得到$f(x)+k$。

利用这样的平移规律，可以简化函数图像的分析和计算。

2. 利用对称性简化函数的运算对称性是函数图像常见的性质之一。

利用函数的对称性，可以简化函数的运算过程。

例如，假设函数$f(x)$满足奇函数的性质，即$f(-x)=-f(x)$，如果我们需要计算$f(-3)$，可以直接利用奇函数性质得出结论，即$f(-3)=-f(3)$，从而省去了对函数图像的具体计算过程。

3. 复合函数的分解求解对于复合函数的求解，有时会比较复杂，需要进行多次代入和运算。

这时，我们可以灵活运用分解的技巧，将复合函数拆解成多个简单的函数。

通过简化复合函数的形式，可以更加快速地求解和计算。

二、方程的巧妙技巧1. 倍角公式的巧妙应用倍角公式是高中数学中常用的公式之一，可以用来求解一些特定的方程。

例如，对于$sin2x=0$的方程，我们可以运用倍角公式将其转化为$sinx\cdot cosx = 0$，从而得到$x=0$或$x=\frac{\pi}{2}$。

这样，在方程的求解过程中，我们可以通过巧妙地应用倍角公式，将方程转化为更简单的形式，减少计算难度。

2. 参数法的灵活运用参数法是解二元一次方程组的一种常用方法，也可以用于求解高中数学中的一元方程。

通过引入一个新的参数，将方程转化为参数方程，则可以通过参数的取值范围，最终求解得出方程的解。

3. 方程的化简与转化有时，方程较为复杂，难以直接进行求解。

第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)

范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2

当 ∈ 0, − ，′ > 0，在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
，存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析

高考一轮复习第二章第九节函数与方程

f(1.375)＝－
0.260
f(1.437 5)＝
0.162
f(1.406 25)＝－
0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为
________．返回
[自主解答]
通过参考数据可以得到：
f(1.375)＝－0.260<0，f(1.437 5)＝0.162>0，且1.437 5－ 1.375＝0.062 5<0.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. [答案] 1.4
返回
[巧妙运用] 当x<2时，f ′ (x)＝3(x－1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域
是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调
递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图所示，当0<k<1时直线y＝k与函数f(x)图像有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．答案：(0,1)
1＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
解析：方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0⇒m＝cos2x－cos x－2. 12 9 2 令y＝cos x－cos x－2得，y＝(cos x－ ) － . 2 4 9 因此，ymin＝－，ymax＝0. 4 因此，方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0有实数解时，实数m的 9 取值范围是[－，0]． 4 9 答案：[－，0] 4
不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可． f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，故极值为f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2，所以应有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．答案： A

高三一轮复习教案-函数与方程

课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。

函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。

本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。

它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。

学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。

通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。

所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。

设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

教学方法：讲练结合，师生互动。

教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。

过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。

难点：零点个数问题，含参数的零点问题。

教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。

高三数学一轮复习工作计划安排_数学复习工作计划

高三数学一轮复习工作计划安排_数学复习工作计划第一阶段：概率与统计、函数与方程概率与统计1. 复习概率的基本概念和性质，包括样本空间、事件、概率公理等。

2. 复习概率的加法定理和乘法定理，包括互斥事件、相互独立事件等。

3. 复习排列组合、排列、组合等相关知识点，包括排列的定义、性质，组合的定义、性质等。

4. 复习概率分布函数和概率密度函数的概念和性质，包括离散型随机变量、连续型随机变量等。

5. 复习统计量的概念和性质，包括均值、方差、标准差等。

6. 复习正态分布、二项分布、泊松分布等常见的概率分布，包括其概念和性质等。

函数与方程1. 复习函数的基本概念，包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

2. 复习函数的图像和性质，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

3. 复习函数的运算，包括复合函数、反函数等。

4. 复习一元二次方程和一元一次方程的解法，包括因式分解法、配方法、二次公式等。

5. 复习高次方程的解法，包括整式方程、有理方程、无理方程等。

6. 复习一元函数方程的解法，包括函数方程的基本性质、函数方程的解的性质等。

第二阶段：数列与数列极限、导数与微分数列与数列极限1. 复习数列的概念和性质，包括数列的定义、数列的通项公式、数列的递推公式等。

3. 复习数列极限与数列的关系，包括极限存在的判断、数列极限的性质等。

导数与微分2. 复习函数的凹凸性和极值点，包括函数的增减性、凹凸性、极值点等。

3. 复习函数的图像、函数的变化率和函数近似计算，包括函数图像的绘制、函数的变化率的计算、函数的近似计算等。

4. 复习微分的定义和性质，包括微分的定义、微分的性质、微分的近似计算等。

第三阶段：积分与不定积分、三角函数与三角方程积分与不定积分2. 复习定积分和不定积分的计算，包括定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。

3. 复习面积与曲线长度的计算，包括曲线的弧长、曲线下的面积等。

3. 复习三角函数的基本关系式和恒等式，包括三角函数的基本关系式、三角函数的和差化积等。

2022届高考数学一轮专题复习_函数与方程思想(含解析)

3.已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且 · ＝48，则点P的横坐标的最大值为( )
A．18 B．15 C．10D.
答案：C 当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k＞0，设OA：y＝kx，k＞0，与椭圆＋＝1联立解得xA＝ .又 · ＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝，令9＋25k2＝t＞9，即k2＝，则xP＝＝ ×25 ＝80 ≤80× ＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10，故选C.
10.已知函数f(x)＝ ,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1,函数g(x)＝x3－3a2x－2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)＝f(x1)成立,求a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝＝－ .
令f′(x)＝0,解得x＝或x＝ (舍去).
从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2,g(0)＝－2a,
即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1－2a－3a2,－2a].对于任意x1∈[0,1],f(x1)∈[－4,－3],
存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立,则[1－2a－3a2,－2a]⊇[－4,－3].即
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
不存在
－
0
＋
不存在
f(x)
－
－4
－3
∴函数f(x)的单调增区间是 ,单调减区间是 .
当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[－4,－3].
(2)g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1－a2)≤0,因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,

高三数学一轮复习专题：函数与方程

函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。

函数基础知识梳理高三数学一轮复习

函数基础知识梳理一、函数的概念与表示【知识清单】1．函数的概念：设A ，B 是两个，如果对于集合A 中的一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，使，在集合B 中都有的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y ＝f (x )，x ∈A .在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的 .特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有、图象法和 . 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【必备知识】 1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0. (5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为 .(6)y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的定义域为． (7)y ＝tan x 的定义域为 . 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为；当a ＜0时，值域为 . (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 . 补充(1)一次分式函数()()0ax b f x c cx d+=≠+的值域；(2)函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的值域为；(3)函数()()0,0b f x ax a b x=->>的值域为； (4)函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣；函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦.二、函数的基本性质【知识清单】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是的自左向右看图象是的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。

2025届高考数学一轮复习教案：函数-函数的零点与方程的解、二分法

第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解、二分法【课程标准】1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.【考情分析】考点考法:高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y =f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f (a )f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的解.【微点拨】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.函数f(x)=2x的零点为0B.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点C.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点D.图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0【解析】选BD.B函数y=f(x)的零点,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.×D f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件.×2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)=0在(0,+∞)上只有一个根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).的零点个数为()3.(2022·北京高考)函数f(x)=2+-2,≤0,-1+ln,>0A.3B.2C.7D.0【解析】选B.由≤0,2+-2=0或>0,-1+ln=0,解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点.4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是[-1,-12].【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-12.【巧记结论·速算】1.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.【即时练】1.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.2.函数f(x)=e x+3x的零点有1个.【解析】f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.【核心考点·分类突破】考点一函数零点所在区间的判定[例1](1)(2023·唐山模拟)函数f(x)=1-x log2x的零点所在的区间是() A.(14,12)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为y=1与y=log2x的图象只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.又因为f(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=1-x log2x的零点所在的区间是(1,2).(2)(一题多法)设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间(1e,1),(1,e)内均有零点B.在区间(1e,1),(1,e)内均无零点C.在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【解析】选D.方法一(图象法):令f(x)=0,得13x=ln x.作出函数y=13x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在(1e,1)内无零点,在(1,e)内有零点.方法二(函数零点存在定理法):当x∈(1e,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=13-1=-33<0,所以函数f(x)在(1e,e)上单调递减.又f(1e)=13e+1>0,f(1)=13>0,f(e)=13e-1<0,所以函数在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.【解题技法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【对点训练】1.(2023·荆州模拟)若x0是方程(12)x=13的根,则x0属于区间()A.(23,1)B.(12,23)C.(13,12)D.(0,13)【解析】选C.构造函数f(x)=(12)x-13,易知函数f(x)在R上单调递减,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,易知f(0)=(12)0-0=1>0,f(13)=(12)13-(13)13f(12)=(12)12-(12)13<0,f(23)=(12)23-(23)13<0,f(1)=12-1=-12<0,结合选项,因为f(13)·f(12)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(13,12),即方程(12)x=13的根x0属于区间(13,12).2.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为()x12345ln x00.6931.0991.3861.609x-2-10123A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解析】选C.设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由题中表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4).3.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设f(x)=ln x+3x-15,显然f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=0只有一个根,又f(4)=ln4-3=2ln2-3<2(ln2-1)<0,f(5)=ln5>0,所以x0∈(4,5),故[x0]=4.考点二函数零点个数的判定[例2](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=2-2,≤0,1+1,>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则≤0,2-2+3=0或>0,1+1+3=0,解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2024x+log2024x,则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.作出函数y=2024x和y=-log2024x的图象如图所示,可知函数f(x)=2024x+log2024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3.【解题技法】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.【对点训练】1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由2x|log0.5x|-1=0得|log0.5x|=(12)x,作出y=|log0.5x|和y=(12)x的图象,如图所示,则两个函数图象有2个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.2.(一题多法)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=|ln|,>0,-2(+2),≤0,则函数y=f(x)-3的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.方法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,得ln x=3或ln x=-3,解得x=e3或x=e-3;当x≤0时,得-2x(x+2)=3,无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2.方法二(图象法):作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2.3.函数f(x)=36-2·cos x的零点个数为6.【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cos x=0,由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=π2+kπ,k∈Z,又x∈[-6,6],所以x为-3π2,-π2,π2,3π2.故f(x)共有6个零点.考点三函数零点的应用【考情提示】函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查,属于中档题.角度1根据函数零点个数求参数[例3](1)(多选题)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是()A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0)B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5)C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞)【解析】选AC.当x=0时,f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零点;当x≠0时,由f(x)=0,整理得a=|x+1+3|,令g(x)=|x+1+3|,则函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|x+1+3|的图象与直线y=a的交点个数,作出函数g(x)=|x+1+3|的大致图象(如图).由图可知,若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A正确;若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B不正确;若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确;若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正确.(2)已知函数f(x)=e,≤0,ln,>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示,由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.角度2根据函数零点范围求参数[例4](1)若函数f(x)=2x-2-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【解析】选C.因为函数f(x)=2x-2-a在区间(1,2)上单调递增,且函数f(x)=2x-2-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(2)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-1+B.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,43)B.(0,43)C.(-∞,0)D.(43,+∞)【解析】选B.由f(x)=3x-1+B=0,可得a=3x-1,令g(x)=3x-1,其中x∈(-∞,-1),由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数y=3x,y=-1在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-1<g(-1)=3-1+1=43,又g(x)=3x-1>0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,43).因此实数a的取值范围是(0,43).【解题技法】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【对点训练】1.已知函数f(x)=log2(x+1)-1+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为()A.(-53,0)B.(-∞,-53)∪(0,+∞)C.(-∞,-53]∪(0,+∞)D.[-53,0)【解析】选D.因为函数y=log2(x+1),y=m-1在区间(1,3]上单调递增,所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,由于函数f(x)=log2(x+1)-1+m在区间(1,3]上有零点,则(1)<0,(3)≥0,即<0,+53≥0,解得-53≤m<0.因此,实数m的取值范围是[-53,0).2.已知关于x的方程ax+6=2x在区间(1,2)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-4,-1)B.[-4,-1]C.(-2,-12)D.[-2,-12]【解析】选A.根据题意可得ax=2x-6,故转化为函数y=ax和y=2x-6的图象的交点.易知y=2x-6的图象上的两个点为(1,-4)和(2,-2),如图所示,当直线y=ax过(1,-4)时,a=-4,当直线y=ax过(2,-2)时,a=-1.所以a的取值范围是(-4,-1).3.(2023·济南模拟)已知函数f(x)=,≤0,|2-3|,>0,g(x)=f(x)-12x+a,若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为[0,34).【解析】函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与y=12x-a的图象有3个交点.画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如图所示.根据图象易知,要使函数f(x)和y=12x-a的图象有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<34.【重难突破】复合函数的零点、方程的根的综合【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.类型一判断复合函数零点的个数[例1]已知函数f(x)=ln-1,>0,2+2,≤0,则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是() A.2 B.3 C.4D.5【解析】选D.令t=f(x)+1=ln-1+1,>0,(+1)2,≤0.当t>0时,f(t)=ln t-1,则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12>0,所以由函数零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.作出函数t=f(x)+1的图象,直线t=t1,t=-2,t=0如图所示,由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.综上,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.【解题技法】求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的根的个数,即“从外到内”.【对点训练】已知f(x)=|lg|,>0,2||,≤0,则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是5.【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.类型二由复合函数零点情况求参数[例2]已知函数f(x)=B+3,≥0,(12),<0,若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0,+∞)B.[1,3]C.(-1,-13]D.[-1,-13]【解析】选C.因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-1(k≠0).(ⅰ)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;(ⅱ)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-1无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;(ⅲ)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实根,因为f(f(x))-2=0有3个实根,所以f(x)=-1有2个实根,所以1<-1≤3,解得-1<k≤-13.综上,k的取值范围是(-1,-13].【解题技法】已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).【对点训练】已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=+14,>0,+1,≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是[1,54).【解析】令f(x)=t(t<1),则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,54).。

高中数学高考高三理科一轮复习资料第1章 1.10 函数与方程

解析：∵函数 f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，∴函数 f(x)的唯一零点必在区间(0,2)内，故应选 C. 答案：C
2 3．函数 f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( x A．(1,2) B．(2,3) C．(e,3) D．(e，＋∞)
)
解析：∵f(1)＝ln1－2＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，故排除 2 A，又∵f(3)＝ln3－3，∵3＞e，∴ln3＞1， ∴f(3)＞0，故选 B. 答案：B
3．函数零点的存在性定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④________的一条曲线，并且⑤________，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得⑥________，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 4．二分法的定义对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间⑦________，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧________的方法叫做二分法．
)
解析：∵x2＋2x－3＝0，∴(x＋3)(x－1)＝0， ∴x＝1，－3. ∵f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴顶点为(－1，－4)．故应选 C. 答案：C
2．若函数 f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，那么下列命题正确的是( ) A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间[2,16)上无零点 D．函数 f(x)在区间(1,16)内无零点
高中数学
1．10 函数与方程

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数与方程

必刷小题4函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝e x＋2x－5的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析函数f(x)＝e x＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是()答案DAB走时，与O点的直线距离保持不变，解析小明沿沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．3．函数y＝lg|x－1|的图象大致是()x－1答案D 解析因为y ＝lg|－x |－x＝－lg|x |x ，x ≠0，故y ＝lg|x |x 为奇函数，图象关于原点成中心对称，将函数图象向右平移1个单位长度可得y ＝lg|x －1|x －1的图象，所以y ＝lg|x －1|x －1的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A ，B ；又当y ＝lg|x －1|x －1＝0时，x ＝0或x ＝2，故y ＝lg|x －1|x －1的图象与x 轴有2个交点，排除C.4．在使用二分法计算函数f (x )＝lg x ＋x －2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C 解析因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的12，3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝18>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝116<0.1，满足题意．5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P (s )＝P 0e －Ks 描述声压P (s )(单位：帕斯卡)随传播距离s (单位：米)的变化规律，其中P 0为声压的初始值，常数K 为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K 的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．0.162B ．0.164C ．0.166D ．0.168答案B 解析由题意知，400＝900e －5K ，两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K ，所以K ＝ln 9－ln 45＝2(ln 3－ln 2)5≈2×0.415＝0.164.6．已知f (x )(－x )，x <0，－x ，x ≥0，则函数y ＝3f 2(x )－2f (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C 解析由题设，当x <0时，f (x )∈R 且单调递减，当x ≥0时，f (x )∈(0,1)且单调递减，令t ＝f (x )，则y ＝3t 2－2t ＝0，可得t ＝0或t ＝23，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图知，当t ＝0时有一个零点，当t ＝23时有两个零点，故共有3个零点．7．已知函数f (x )＝2x ＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c 答案D 解析由函数的单调性可得，函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，由f (a )f (b )f (c )<0,则f (a )，f (b )，f (c )为负数的个数为奇数，选项A ，B ，C 可能成立；对于选项D ，当x 0<c 时，由函数的单调性可得f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，即不满足f (a )f (b )f (c )<0，故选项D 不可能成立．8．(2022·西安模拟)已知函数f (x )x －2)，x >1，|－1，－1≤x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A.15，D.16，答案B解析令g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)＝0，可得f (x )＝log a (x ＋1)，所以曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，当a >1时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)只有一个交点，不符合题意；当0<a <1时，若使得曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，a 3>－1，a 5<－1，a <1，解得15<a <13.二、多项选择题9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数不可能为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A ．5B ．6C ．7D ．8答案ABC解析由题意得，经n 层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为＝50，n ∈N +，则50≤2.5得，20≤1，所以lg 20＋≤0，lg 10＋lg 2＋n (lg 2－lg 3)≤0，所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n ≤0,1.3≤0.18n ，得n ≥659，因为n 为正整数，所以n 的最小值为8.10．设函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，则g (x )＝f (x )－m 的零点个数可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，得f (－1)＝f (1)＝－1，则函数g (x )＝f (x )－m 的零点个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝m 的交点个数，画出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，如图所示，由图可知，当m >0时，两个函数的图象有1个交点，当m ≤0时，两个函数的图象有2个交点，所以函数g (x )＝f (x )－m 的零点可能有1个或2个．11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案AD解析由函数图象可知y 0≤t <1，－a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即－a ＝4，解得a ＝3，∴y 0≤t <1，3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 错误．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，并且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，则下列说法中正确的是()A ．实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ＋1C ．x 1x 2x 3x 4＝1D ．x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4的取值范围是[23，＋∞)答案BC 解析因为f (x )为偶函数且有4个零点，则当x >0时f (x )有2个零点，＝a 2－4>0，－－a 2>0，解得a >2，A 不正确；当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋ax ＋1，B 正确；偶函数f (x )的4个零点满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3，x 4是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，则有x 3>0，x 3x 4＝1且x 1＝－x 4，x 2＝－x 3，于是得x 1x 2x 3x 4＝(x 3x 4)2＝1，C 正确；由C 选项知，x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝x 3＋3x 4＝x 3＋3x 3，且0<x 3<1，而函数y ＝x ＋3x在(0,1)上单调递减，从而得x 3＋3x 3∈(4，＋∞)，D 不正确．三、填空题13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是________．答案12解析由题可知，加密密钥为y ＝kx 3，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ×43，解得k ＝243＝132，故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，即1256＝132x 3，解得x 3＝18，即x ＝12.14．若函数f (x )＝e －x －ln(x ＋a )在(0，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，e)解析由题意可得，函数y ＝e －x 与g (x )＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g (0)＝ln a <1，即0<a <e ；当a ≤0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a <e.15．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )，x ≤0，2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案3解析∵f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，∴f (f (x ))＝0⇒f (x )＝0或f (x )＝1，由f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，由f (x )＝1⇒x ＝2，∴0,1,2为函数y ＝f (f (x ))的零点，∴函数y ＝f (f (x ))的零点之和为3.16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t (分钟)满足的函数关系式为h ＝m ·a t .若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg 2≈0.3，结果取整数)答案43解析·a10＝0.1，·a20＝0.2，m＝120，＝110，所以h＝120×102t，令h＝120×102t＝1，可得102t＝20，所以t＝10log220＝10lg20lg2＝10(lg10＋lg2)lg2＝10(1＋lg2)lg2≈10×1.30.3≈43(分钟)．因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度．。