上海_解析几何综合测试题附答案

1．12F F 、是椭圆2

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x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．

2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2

=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；

以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3

2

y =1的公共点有_______个.

3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3)2+y 2

=1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 .

4．若圆0122

2

2

=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2

1

2

=

有两个公共点。则实数a 的围为 .

5．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值围

是 .

6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.

7．经过两圆（x+3）2

+y 2

=13和x+2

（y+3）2

=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________

8.双曲线x 2

－y 2

＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化围是___________.

9．已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________.

10．设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y =

x

1

上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2

+y 2

=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y =

－x +b 的距离等于

2

2

|MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 11．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹

12．若点（x ，y ）在椭圆4x 2

+y 2

=4上，则2-x y

的最小值为（ ） A.1

B.－1

C.－

3

23

D.以上都不对

13已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n y 2＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝

3

π

2时，△F 1PF 2的面积最大，则有（ ）

A.m =12，n =3

B.m =24，n =6

C.m =6，n =

2

3

D.m =12，n =6 14.P 为双曲线C 上一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( ) 12.

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线 三、解答题

15．（满分10分）如下图，过抛物线y 2

=2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0）

（y 0＞0），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.

（1）求该抛物线上纵坐标为2

p

的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求0

2

1y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.

16．（满分10分）如下图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛物线y 2

=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点.

（1）证明：11y +21y =b

1

；（2）当a =2p 时，求∠MON 的大小.

（15题图） （16题图）

17．（满分10分） 已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22

a x －22b

y =1的两条渐近线为

l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（如下图）

（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；

（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值.

（17题图） （18题图）

18．（满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如上图）．

（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

19．（满分12分）抛物线y 2

=4px （p >0）的准线与x 轴交于M 点，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点.

（1）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于N （x 0，0），求证：x 0>3p ；

（2）若直线l 的斜率依次为p ，p 2

，p 3

，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为N 1，N 2，

N 3，…，当0

1110N N 的值.

20．（满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+2

2

3y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.

（Ⅰ）确定λ的取值围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.