高考解析几何试题的特点
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题北京高考解析几何试题分析射影几何是解析几何的重要分支，它通过引入射影无穷远点，将平面或空间中的直线或平面上无穷远处的点都看作一个整体，这就使得处理无穷远处的情况更为方便。
下面我们就可以从射影几何的角度出发，来看一看如何分析北京高考解析几何试题。
1. 题目一已知直线 l 与平面α 垂直，平面α 平行于直线 m。
过点A（不在平面α上）引直线n垂直于平面α，与直线m交于点B。
证明线段AB垂直于l。
这道题中，我们需要应用射影几何中直线与平面的相关知识。
我们假设平面α的法向量为n，它与直线l垂直，那么α在射影几何中的无穷远点就是与l垂直方向上的点P∞。
又因为平面α与直线m平行，所以m在α上的射影为m∞。
那么点A的射影点就是射影线AP∞与α的交点A'。
同理，点B的射影点就是射影线BP∞与α的交点B'。
我们知道，在射影几何中，垂直的两条直线(或是线段)在平面上的射影点互为对称，根据此性质即可证得线段AB垂直于l。
2. 题目二已知一个椭圆和两个相切的直线与该椭圆的交点，求切点到点对称的轴的距离。
这道题中，我们需要应用到椭圆的性质以及射影几何中点对称的知识。
通过观察题目中所给的条件，我们不难发现，椭圆是图形的主角。
我们可以通过椭圆的对称性，将切点移动到椭圆的另一侧，从而更方便地进行计算。
同时，我们知道根据射影几何的点-对称性质，可以通过将所求点的射影点找出，再通过求解射影点的坐标来获取该点在平面上的准确位置。
最终根据定义式计算距离即可。
3. 题目三已知四元组 D(a,b,c,d) 为 2x2 的矩阵 D 的特征根与特征向量问题，其中矩阵D=[ 3-a bc 2-d ]且其特征根为 1，2，特征向量分别为 (1,2)T，(-1,1)T。
试求矩阵D的行列式|D|。
这道题需要我们应用到矩阵的特征值与特征向量的性质。
同时，我们可以从射影几何的角度出发，将矩阵D视为二维实数平面上的线性变换。
2009年高考解析几何试题的新特点
２ ・ ６
中学 数学月 刊
２１ ０ ０年第 ２期
在 导 数 的示 例 题 的 解 析 中 指 出 ， 题 主 要 考 本
了三 次 函数 ，０ ０年可 能会 更加 关 注指 、 函数 ， ２１ 对
查 导数 的几何 意义 、 数 的 运算 以及直 线 方 程 等 导 基 础 知识 ， 考查 运 算 求解 的能 力 、 理论 证 能力 ， 推 本题 属 中等题． 考试 说明看 ， 从 文理科 考 的导数 内
Ｑ Ｑ 分 别交 Ｙ轴 于 Ｍ ， Ｂ， Ｄ Ｎ
！
７ ｏ
图 １
』 １唯 ３ ｙ ＇ 一 ７ ｘ２ 有解 。 ２— Ｔ ，
即 磊ｚ与 有唯 直 椭圆 一交点Ｐ ．
两 点． 证 ： ＭＮ 为直 径 的 求 以
圆过两定 点．
ｌ ＋ — ｌ
Ｉ ’
三角 函数 的导数 ， 科 还 应该 关 注 复合 函数求 导 理
以及 定积分 ．
在 数列示 例题 的解 析 中指 出 ， 题 以等 差 数 本
容 大体相 同 ， 理科 多 了复合 函数 求导 以及定 积分．
导数 作为新 增 内容 应是 考 试 的 重点 内容 ， 如利 用
列 、 比数列 为平 台 ， 等 主要 考查 学生 的探 索与 推理
芸 一是 ．
又 直线 Ａ Ｆ的斜 率 与ＡＥ的斜率 互 为相反 数 ，
在 上 式 中 以 一 是代 是 可 得 ，
２ 。则 不 妨 设 Ｂ（ ２ ， ） Ｄ（ ｂ， 一√ ６ ０ ，
＋、 ｂ ／ ２
二 （ ＋ｖ ） 直 线 Ｑ 二ｚ ／ ． － Ｄ的
解 析 （ Ｉ） 易得 Ｐ点 的轨迹 Ｅ 的方程 为
2010年高考解析几何试题评析及2011年备考建议
，
参 数 方 程 ， 参 数 方 程 为 普 化
通 方 程
抛 物 线 性 质 ， 线 与 抛 物 线 直 辽 宁 ７ 的位 置 关 系 ； 曲 线 离 心 率 ； 双 ９ ２ ， ３ 椭 圆 离 心 率 与 标 准 方 程 ，Ｏ ２ 卷 ＊ ２（ ） ３选 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 ； 坐 极 标与参数方程；
，
解析几何是高中数学 的主干知识之一 ， 其特点
安 徽 卷 ＊
是用代数 的方法研究 、 解决几何 问题 ， 重点是用 “ 数 形结合”的思想把几何 问题 转化为代数 问题． 其命
题一 般 紧 扣 课 本 ， 面 考 查 、 出 重 点 主 干 知 识 、 全 突 注 重“ 识 交 汇 处 ” 强 化 思 想 方 法 、 出 创 新 意 识 ． 知 、 突
２１ ０ ０年 第 ６期
中学数 学教 学
４ １
ｉ 习 １ 年高考解析几何试题评析及 ２１ 年备考建议 复 ｉ００ ２ ０ １
｛ 试 ÷ 考
１ 考 情 分 析
安 省 璧 一 学 良 （编：４ ０ 徽 灵 第 中 郑 邮 ２ ２ ） ３ ０
双 曲线 的 性 质 ； 的 参 数 方 圆 程 、 线 与 圆 的位 置 关 系 ； 直 线 ２ 性 规 划 ８ ； 圆 的 方 程 、 何 性 椭 几 质 直 线 的 方 程 ， 关 于 直 线 点 的 对 称
四 川 卷
７ ９ ，， １ ．Ｏ ４ ２
线性规划 ； 圆的离心率 ； 椭 直 ２ 线 与 圆 的 位 置 关 系 ； 曲 线 ６ 双 的方 程 ， 线 与 双 曲 线 的 位 直 置 关 系 ， 的性 质 圆
线 性 规 划 ； 的参 数 方 程 ， 圆 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ； 物 线 抛 ２ 的 定 义 、 质 ； 曲线 的 标 准 ７ 性 双 方程与 性 质 直 线 与 双 曲 线 的 位 置关 系
高考数学大纲卷解析几何试题特点分析及备考复习建议
法， 考 查运 动变化 的思想 。题 中参数 ０使得 点 Ｐ动
了起 来 ， Ｐ、 Ｑ两 点既静 又动 ， 动静结 合 ， 突 出了解析
几何 学科所 包含 的辩证 法思想 。 （ 二） 题 型稳定 ， 试题 平和 解析 几何 试题 一 般 以 ３小 题 （ 或 ４小 ） １大 题
出现 。小题一 般是 中档 偏易题 ， 重 点考 查本 学科 的 重要 基础 知识 和基本方 法 ； 大题 一 般具 有较 强 的综 合性 ， 主要考查 对本学 科知识 的应用 能力 。
高考 中 的 “ 三 大题 型 ” 都 可 以有 这 一 内容 ， 考 查 要
求包 含 了从 “ 了解 ” 到“ 灵 活运用 ” 的各 个层 次 。纵 观近几 年 高考数 学大纲 卷 中的解析 几 何试题 ， 基 本 上继 承 和 发扬 了“ 题型、 内容 、 难 度 相对 稳定 ， 突 出 考查 主干 知识 ， 注 重通 性 通 法 的 同时适 度 创 新 ” 的
厶
（ 一） 强调 基础 ， 着意创 新
例 １ 对 于抛物 线 Ｙ ＝４ ｘ上任 意 一 点 ９， 点Ｐ
交点 Ｅ， 过椭 圆右 焦点 Ｆ的直 线与椭 圆相 交 于 ４、
（ ０ ， ０ ） 都 满足 ｌ Ｐ ＱＩ ≥１ ０ ｌ ， 则 Ⅱ取值 范 围是 （ Ａ． （ 一 ∞， ０ ） Ｂ ． （ 一 ∞， ２ ］
识在解 析几何 中的渗透和 整合 ， 注重培 养 学生 的数 学应 用 意识 ， 让 学 生进 一 步体验 数 学发 现 和探 索历程 ，
发 展创 新意识 。
［ 关键词 ］ 试题 特 点 ； 分析 ； 备 考 复 习； 建议 ［ 中图分 类号 ］ Ｇ ６ ２ ４ ［ 文 献标识码 ］ Ａ ［ 文章编 号 ］ ２ ０ ９ ５ — ３ ７ １ ２ （ ２ ０ １ ３ ） １ ４ — ０ ０ ５ ８ — ０ ３
高考解析几何的题型及思路
高考解析几何的题型及思路解析几何是必考的，常作为压轴题，特点是计算量大。
不过解几题其实很有规律性，解题思路并不难掌握，就是要用代数方法（方程、函数、不等式的思想和方法）研究几何问题，而数形结合思想（主要是利用定义或平面几何知识分析问题）是减少解几综合题计算量的主要手段。
常见的类型题有：（1）、求曲线（动点）的方程：若曲线类型已知，用待定系数法列方程组求解即可。
若给出了单个动点满足的条件，可先判断其是否符合某种曲线的定义，符合即可用待定系数求解，否则用直接法求解。
若条件有两个动点，一般用代入法求解；若条件有三个以上的动点，一般用参数法求解。
（2）求参数或曲线的特征量（如a、b、c、p、离心率、斜率、倾角、面积等）的值。
这类题要用到方程思想求解，即想办法把题目的条件（等量关系）转化为所求变量的方程（组）解之。
（3）求参数或几何量（如角、面积、斜率）的取值范围的问题。
主要是利不等式法或函数法求解。
其中判别式是列不等式的一个重要途径。
通常用韦达定理或题目给出的其它条件来列出变量间的等量关系，再把等量关系代入判别式消元化简解出相关参数的范围。
或利用韦达定理或其它等量关系建立变量间的关系式，把所求变量表示为其它变量的函数，利用求函数值域的方法确定变量的取值范围。
这个函数的定义域通常由判别式或其它条件确定。
（4）直（曲）线过定点问题：关键是求出直（曲）线的方程，当然这个方程必定含有一个参数。
求出方程后观察什么定点的坐标满足。
若观察不出，只要令参数取两个特殊值，然后把得到的两条具体的直（曲）线求交点即得所求定点。
（5）证明定值：证某个式子为定值，即是要求出这个式子的值是什么。
把条件转化为相关的方程（组），消去其中的参数即得。
（6）探索性（存在性）问题：通常转化为对方程根的存在性的讨论。
▲注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的解析几何问题都是以向量作为背景编拟的；▲判别式和韦达定理是解决以直线和圆锥曲线的位置关系为背景的综合问题的必用工具。
高考专题：解析几何常规题型及方法
高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。
选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有 时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很 大。
有容易题，有中难题。
因此在复习中基调为狠抓根底。
不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
专题精品课件4--解析几何解答题的解法
解析几何解答题的解法
应试策略
2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识
(1)直线和圆 ①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：(ⅰ)倾斜角α的范围是： 0≤α<π；(ⅱ)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率. ②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条 件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其 是要注意斜率不存在的情况. ③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个 数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何 特征较为简捷、实用.
解析几何解答题的解法
试题特点
2007年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有
2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中
点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.
在2008年高考的解析几何试题中，像有关面积的问题是高考的热点问题，但在2007年 及以前主要是讨论三角形的面积，而近两年有多处出现了讨论四边形面积的问题，如2007年 全国卷一理科第21题；2008年北京卷理科第19题等等．以后还会讨论多边形的问题.
解析几何解答题的解法
应试策略
②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点
是F（±c,0）时，标准方程为 x2
y
2
=1(a＞b＞0)；焦点是F（0，±c）
时，标准方程为y 2
x2
a2 b2
解析几何解答题特点
解析几何解答题特点
解析几何解答题的特点主要包括以下几点：
1. 题型稳定：在高考中，解析几何的题型和难度通常保持稳定。
常见的题型包括选择题、填空题和解答题，且占总分值的比例也相对稳定。
2. 整体平衡，重点突出：在解析几何的考查中，对直线、圆、圆锥曲线等知识点的考查较为全面，没有明显的遗漏。
同时，试题的设计也注重突出重点，如圆锥曲线的特征量计算、曲线方程的求法、直线与圆锥曲线的交点问题等。
这些重点内容既支撑了数学科知识体系的主干知识，也对数形结合、“设而不求”等重要的解题思想进行了深入的考查。
3. 综合性不断增强：随着时间的推移，解析几何解答题的综合性在不断增强。
这主要体现在试题中开始出现多知识点、多思想的综合运用，如直线与圆锥曲线的综合问题、代数与几何的综合问题等。
这要求考生具备更加全面的知识和更加灵活的思维。
总之，解析几何解答题以其题型稳定、整体平衡、重点突出和综合性不断增强等特点，成为高考数学中不可或缺的一部分。
稳中有变 亮点纷呈——2011年数学高考解析几何试题评析
ｌ ＝
，
（ ８ ）
式（ ）× ７ ２一式 （ ） 得 点 Ｐ 的轨 迹 Байду номын сангаас程 为 ８，
２ —Ｙ 一 １ ＝０ ｘ ．
喜 点 ３ 结 论 即 证 即 用 ． 杏 照维 的 灵 活 件 考
・
４ ０・
中学教研 （ 学） 数
Ｎ５ 知 直 与 圆ｃ 等＝交 已 动 线ｆ 椭 ： 等＋ １ 于
、 － ， ＼ － ，
点 中选 取 ３个 不 同点 ， 任 ３点 的两 两连 线 中必 有 但
Ｙ ｋ＋ ，入 每＝ 整 得 ＝ｘ ｍ代 等＋ １ 理
（ ３｝ ＋ ｋ ｘ＋ （ ）＝ ． ２＋ ｜） ｊ ６ ｍ ３ ｍ 一２ ０
１ 过 点， Ａ ＝ 。 ． 。 ｙ矛 所 条 原 与Ｓ ｓ。 ＝ ＝ － 盾， 伽 。 ｓ 加
一
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设 点 Ａ 的极 角 为 ０ 则 点 Ｃ 的 极 角 为 １ ， Ｔ＋０ ．因为
Ｐ ｃ所以 ＝ ， ！
一
整理 得
一
５ 一ａ）＋ｎ（ ０ ｏ ６（ ａ 一 ２ ）＝ ．
ｄｃｓ Ｙｏ Ｏ
一 Ｚｏ ｄ ｃｓ Ｏ
因为 。 ± ， 以 ５ ： ２ ０， 得 ： ≠ 口所 ｂ ＿ａ ： 解
． ．
设 Ａ（ ， ， （ Ｙ ） 则直 线 Ａ Ｙ ） ｃ ｘ ， ， Ｃ的方 程 为
ｘ＝ ｍｙ 一 ，
２
＝
１ ０＞， ＞ ） （ ｂ ０ 上一 点 ， Ｎ分别 是双 曲线 Ｅ的 Ｍ，
代入冬＋ １ ｙ＝ 得
（ ３Ｙ 一 ｍ 一 ＝ ． ｍ ＋ ） ２ Ｙ ｙ １ Ｏ ４
高考解析几何题型归纳总结
高考解析几何题型归纳总结随着高考的逼近，几何题成为了考生备考中不可忽视的一部分。
几何题在高考中占据了相当大的比重，解析几何题更是考生普遍认为难度较高的题型之一。
为了帮助考生更好地备考解析几何题，本文将对高考解析几何题型进行归纳总结，从而帮助考生更好地应对高考几何题。
1. 二维几何题目二维几何题目主要涉及平面图形的性质、面积、周长以及平行线、垂直线的性质等。
在解答二维几何题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 论证步骤的完整性：解答二维几何题目时，应充分体现论证的完整性，即从已知条件出发，一步一步进行推导，最终得出结论。
(2) 图形的准确画法：在画图时应确保图形的准确性，边长、角度等应与给定条件一致，以避免答案误差。
(3) 重点关注特殊性质：几何题中常涉及到平行线、垂直线以及等边等特殊性质，考生应注意识别和运用这些特殊性质来解答题目。
2. 三角形相关题目三角形相关的题目主要涉及三角形的面积、周长、角度等性质。
在解答三角形题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 利用相似三角形性质：在解答三角形的题目时，经常会用到相似三角形的性质。
考生应注意观察题目中是否存在相似三角形，以便能够灵活地运用相似三角形性质来解题。
(2) 角度关系的应用：三角形中的角度关系常常是解题的关键，考生应深入理解角的概念，并能够巧妙利用角度关系解答题目。
(3) 三角形的分类：根据不同的三角形分类，可以利用其特定性质解答题目。
例如，等边三角形具有所有边相等的性质，而等腰三角形具有两边相等的性质。
考生应注意灵活运用不同种类三角形的性质。
3. 圆相关题目圆相关的题目主要涉及圆的性质、弧长、面积等。
在解答圆相关题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 圆的性质的应用：圆的性质是解答圆相关题目的基础，考生应深刻理解圆的定义、圆心角、弧长等基本概念，并能够合理运用这些性质。
(2) 弧长和扇形面积的计算：在解答涉及弧长和扇形面积的题目时，考生应熟记相应的计算公式，并注意计算过程中的单位换算。
高考数学几何题的命题趋势解析
高考数学几何题的命题趋势解析(4)题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。
加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。
加大探索性题型的分量。
直线与圆内容的主要考查两部分：(1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类：①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等)有关的问题;②对称问题(包括关于点对称，关于直线对称)要熟记解法;③与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离。
以及其他“标准件”类型的基础题。
(2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。
预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。
相比较而言，圆锥曲线内容是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等。
近十年高考试题看大致有以下三类：(1)考查圆锥曲线的概念与性质;(2)求曲线方程和求轨迹;(3)关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题。
选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现.解析几何的解答题一般为难题，近两年都考查了解析几何的基本方法——坐标法以及二次曲线性质的运用的命题趋向要引起我们的重视。
2005年高考解析几何试题的几个新特点
Ｃ Ｏ ３ ０ ．直 线 ￡ （ ，０ ） 的方 程 为 Ｙ 一 （ 一 ２ ０） ｚ ０
ｔｎ ， ａ ａ 即 一 —－ ００ ｘ ２
—
．
设 ） ｚ＞ （
点 Ｐ 的 坐 标 （ ， ） 则 Ｐ（ ， ｚ ， ｚ ！
２ ０ ． 经 过 两 点 的 直 线 的斜 率 公 式 ， ０） 由
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６ ・ ０
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ４期
２０ ０ ５年高考解析几何试 题的几个新特点
陈久贵 （ 苏 江 高 学 ２１０ 江 省 浦 级中 １０ ８）
解 析 几 何 是历 年 高 考 的重 点 与 热点 内容 ， 每年 都会 有使 人 为之 一振 的考 题 出现・ ０ ５年 ， ０ ２ 也不 例外 ．纵 观 ２ ０ 年 解 析几何 试题 ， 现 以 ０５ 呈 下新 的特 点 ． 特 点 １ 与线性 规划 有机 结合 例 １ （ ０ ５年 高 ２０ 考 ・ 京 卷 ） 图 ， 线 北 如 直 ｌ ｙ ｘ ｋ Ｏ 与直 线 ： ＝ｋ （ ＞ ） Ｚ： 一 一ｋ Ｙ ｘ之 间 的 阴影 区 域 （ 含 边 界 ） 为 不 记 Ｗ ， 左 半 部 分 记 为 其 ｗ 右半 部分 记 为 Ｗ。 ， ． （ Ｉ）分 别用 不等 式组表 示 ｗ 和 Ｗ。 ； （ Ⅱ）若 区域 ｗ 中 的动 点 Ｐ（ ） ｚ，。 ， 到 ｌ 的距 离之 积等 于 ｄ ， 。 求点 Ｐ 的轨迹 ｃ 的方 程 ． 思路 ： 用线 性规 划 中 的平 面 区域 知识 写 利 出点 集 ｗ 与 Ｗ 通过 直接 法列 出点 Ｐ 的轨迹 ； 方程 ， 结合 点 （ ） 足的 条件进 行 化简 ． 再 ｚ， 满 解 ：（ 工）Ｗｌ ｛ ， Ｉｘ 一 （ ） ｋ ＜ ～ｋ ｚ ＜ ｘ， ＜ ０ ， 一｛ｚ， Ｉ ｋ ＜ ｙ ｘ， ＞ ０ ． ｝Ｗ２ （ ） － ｘ ＜ｋ ｘ ｝ （Ｉ Ｉ）直 线 ｚ：ｚ—Ｙ＝０ 直线 Ｚ： ＋Ｙ Ｉ志 ， ２忌 一
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。
数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。
为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。
1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。
1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。
2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。
其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。
2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。
掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。
3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。
3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。
4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。
通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。
4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。
对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
浅谈2006年高考解析几何的命题特点
何 试 题 是 考 查 学 生 分 析 问题 、 决 问 题 能 力 的 重 要 载 解
３８ 磊 教 ０ 止 ２６ ０７
体 ， 过与函数、 通 方程 、 不等 式 、 向量 、 数 等 知 识 的 结 导 合 ， 识 网 络 的 交 汇 处 设 计 试 题 ， 学 地 检 测 考 生 的 知 科 数 学 能 力及 继 续 学 习 的潜 能 。 （ ５） 考 查 数 学 思 想 方
（ ） 求 过 点 ０、 Ｆ， 并 且 与 椭 圆 的 左 准 线 Ｚ 切 的 １ 相
圆的方 程 ；
（ ２） 理 科 ： 设 过 点 腿
不 与 坐 标 轴 垂 直 交 椭 圆 于
学理 科２ 题 、文科 ２ 题是 对平 面 向量 的基本 知识 、直 线 ｌ ２ 与 曲线 的位 置 关系 、韦达定 理 、点到 直线 的距离 、三 角 形面积 、解 方程 等知识 的综 合应 用能 力 的考查 ，考查 分
，
几 基本 知识 考查 ＋ 几 知识 方 法和 函 数知 识 方法 综合 能 解 力 的考 查 。前 两年 福 建解 几试 题 基本 上 以此 方 法构 造 ， 区别仅 仅 是 所 选 取知 识 和 方 法 的 不 同 。其 中２ ０ 年 福 ０４ 建 高考 数 学 理科 ２ 题 是 对平 几 的相 似 比 、直 线 与 曲线 ２
运 算 能 力 有 较 高 的 要 求 ， 解题 过 程 中， 据题 目的 要 在 根
求 ， 某 一 个 “ 式 ”作 为 一个 整体 处理 ， 样 就 可 大 将 因 这 大 简 化 计 算 ， 其 中体 现 的 是 “ 块 ”的 思 想 ， 就 是 这 模 也
换 元法 。 （ ） 查 解 几 知 识 与 其 他 知 识 综合 ： 析 几 ４ 考 解
2023年高考全国甲卷理科数学解析几何大题的解法赏析
数学·高考研究2023年高考全国甲卷理科数学解析几何大题的解法赏析贵州兴义市第八中学（562400） 陈胜光［摘 要］解析几何题备受命题者青睐， 是全国以及各省市的必考题型，也一直是考生比较头疼的题型，究其原因主要是考生对解析几何问题的主要思维方法把握不准。
文章着重对2023年全国甲卷理科数学解析几何大题的四种解法进行分析，并阐明解析几何问题的解题思想和方法。
［关键词］2023年高考；全国甲卷；解析几何；一题多解［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）02-0005-03【名师简介】陈胜光，中学高级教师，贵州省黔西南州高中数学名师工作室主持人，黔西南州高考先进个人，黔西南州“教育立州·质量提升”先进个人。
解析几何作为高中数学的重点、难点及高考数学的必考点之一，一直是学生冲刺高分的必由之路。
考生不要走进“一看到解析几何就开始联立方程，然后用韦达定理”的误区，这绝对不是高考解析几何大题命题的初衷。
考生需要从坐标转换的角度、利用圆锥曲线中点与线的关系对求解的问题进行转化，变成基本点的坐标关系，然后求解。
如何分析好解析几何大题？如何快速从多个角度有效解答解析几何大题？本文主要探讨2023年高考全国甲卷理科数学的解析几何大题的一些较为独特的解法。
一、真题呈现（2023年高考全国甲卷理科数学第20题）已知直线x -2y +1=0与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于A 、B 两点，且||AB =415。
（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M 、N 为C 上的两点，且MF·NF =0，求△MNF 面积的最小值。
二、试题剖析与一题多解该试题的第（1）问不难，代入直线方程后利用韦达定理及弦长公式表示出||AB ，得到关于p 的方程后解方程即可（注意舍去非正根），通过求解可得p =2，解答过程在此不详述。
第（2）问有一定的难度，但若能认真分析，亦能找到不少突破口。
高考数学命题特点及解题方法研究
普洱学院毕业论文（设计）开题报告（初稿）
论文（设计）主要内容（提纲）：
引言
一、解析几何的概念及重要性
（一）解析几何的概念
（二）解析几何在高考中的重要性
二、高考解析几何考察的目的
（一）数学思维方式
（二）问题化繁为简
（三）学生分析问题能力
（四）学生解决问题能力
三、高考解析几何常用的解题思路
（一）数形结合
（二）化归与转化
（三）函数与方程
四、全国Ⅲ卷解析几何考察类型及解题方法（一）坐标系伸缩变换的应用
（二）抛物线的相关题目和证明
（三）圆锥曲线中点问题的证明和拓展（四）坐标系与参数方程
（五）圆锥曲线的定理及其应用
五、结论
备注：题目类别栏应填：应用研究、理论研究、艺术设计、程序软件开发、案例、调研报告、试验报告等。
本表可打印及续页。
2023年新高考2卷数学解析几何试题评析
2023年新高考2卷数学解析几何试题评析2023年的新高考2卷数学试题中，解析几何部分的内容占据了一定的比重。
这部分试题主要考查学生对解析几何基本概念、性质、定理以及解题方法的掌握情况，同时也检验了学生的逻辑思维、推理能力和数学应用能力。
总体来说，2023年新高考2卷数学解析几何试题的难度适中，知识点覆盖面较广，要求学生对相关知识有较深刻的理解和掌握。
下面将对这部分试题进行具体的评析。
一、对基础知识的考查在解析几何试题中，对基础知识的考查是必不可少的。
这部分试题通常会涉及到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本几何图形的性质、定义和定理。
通过这些知识点，可以检验学生对解析几何基本概念的理解程度和掌握情况。
在2023年的新高考2卷中，解析几何部分的基础知识考查占据了一定的比例。
这部分试题主要考查了学生对直线与圆的位置关系、直线的斜率、圆的方程、椭圆的定义与性质等知识点的掌握情况。
这些题目难度适中，要求学生对基础知识有较好的理解和应用能力。
二、对解题能力的考查除了对基础知识的考查，解析几何试题还注重对学生解题能力的检验。
这部分试题通常会涉及到一些较为复杂的几何图形和问题，要求学生具备较好的逻辑思维能力、推导能力和解题技巧。
在2023年的新高考2卷中，解析几何部分的解题能力考查题目主要涉及到了以下方面：通过已知条件求曲线的方程、求曲线的交点或切线方程、判断曲线的形状或性质等。
这些题目难度较大，要求学生具备较好的解题能力和思维拓展能力。
三、对数学应用能力的考查解析几何作为数学的一个重要分支，不仅在理论上有着重要的意义，在实际应用中也具有广泛的价值。
因此，解析几何试题还会涉及到一些与实际应用相关的问题，以检验学生的数学应用能力。
在2023年的新高考2卷中，解析几何部分的应用题主要涉及到了以下方面：利用几何知识解决实际问题、求最优解等。
这些题目要求学生在掌握相关知识的基础上，能够灵活运用所学知识解决实际问题，具备一定的数学建模和问题解决能力。
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2008解析几何试题(求定值) 2009解析几何试题(求最值) 2010解析几何试题(求范围) ◆2011解析几何试题(求方程) 2012解析几何(求?) ——不可能是一匹黑马
高考解析几何试题的特点：
圆锥曲线的离心率问题独占鳌头、傲视群雄； 中点弦、焦点弦、切点弦等老字号依然闪烁、星光依旧； 定点、定值、定线等核心问题频频亮相、独领风骚； 求范围、三点共线、最值等经典问题风采依旧、势不可挡； 圆锥曲线的第二定义等旧面孔淡出江湖、风光犹在.
解题
● 解法
解题反思
对于（1）的破解主要 是利用方程求公差，从而 实现求和的目的 。
解题反思 ● 解法
对于（2）的破解一方面要利用裂项法，另一方面 要利用等比数列求和公式，运用作差法比较二者的 大小，注意对于参数进行分类讨论。
解题反思 ● 解法
数列问题的考查主要是等差数列和等比数列的通 项公式、求和公式的运用等方面内容，重点的求和 方法如裂项法等需要熟练运用，对于渗及到含参问 题比较大小，则需要结合分类讨论思想进行处理， 避免忽视讨论而丢分。
AB的方程为x my 2 p
2
代入y 2 px得：
2
y 2 pmy 4 p 0
2
y1 y2 2 pm, y1 y2 4 p2
x1 x2 y1 y2 0 OA OB
结论2 :以AB为直径的圆经过原点
结论3 : 当AB x轴时, SAOB 最小值为4 p2
(5)过抛物线的焦点作两条 垂直的弦AB, CD, 则
（二）与数列有关问题
(1)若AB为抛物线y 2 2 px( p 0)的 焦点弦, T为其准线上任意一点 ,则 TA、TF、TB的斜率成等差数列 .
( 2)若AB为抛物线y 2 px( p 0)的 B 1 焦点弦, 过点A, B的切线交于点M , l 则 | MA | 、 | MF | 、 | MB成等比数列.
（六）有关平分问题
y
A E
O
F B
EF平 分AEB k AE k BE 0
l
x
案例 : 抛物线y 2 px( p 0), 过(2 p,0)作直线
2
交抛物线于A, B两点, 请写出你能得出的结论
结论1 : OA OB
证明: 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
(1) A 、 O、B1 三点共线; （2）B，O，A1 三点共线
(五) 有关面积的问题 y
(1) S OAB
p2 ; 2 sin
A1
A
O
S 2 OAB p3 (2) (为定值); AB 8 2 S A1 FB1 ( 3) 4 S FBB1 S FAA1
F
x
B
B1
l
站在系统的高度探究问题的本原
（一）有关定值问题
y
p2 (1) x1 x2 , y1 y2 p 2 ; 4 (2)kOA kOB 4
3 2 ( 3)OA OB p ; 4 1 1 2 ( 4) FA FB p
A1
A
O
B1
F
B
x
l
1 1 1 . | AB | | CD | 2 p
理科数学数列题重现解答题，取代近几年 的概率解答题，这是今年浙江高考数学试 卷的大变化，教师与学生的反映良好。
(1)关注《考试说明》
参考试卷的第19题预示数列作为解答题考 查，但要求略有提高，更体现灵活与综合 (2)考题难度适中 以基本量计算为出发点，结合常规的数列 求和方法。渗透分类讨论思想。
数列解答题出现的原因分析： 1.从整卷结构角度： 概率化大为小，为数列题回归解答题提供可能 2.从中学教学角度： 概率考查多年，概率教学中学难把握， 而数列属于传统内容，中学教学易把握 3.从命题者角度： 概率题难构建，概率应用题背景往往不公平 数列题易编制，数列应用题的背景比较熟
结论4 : 当AB x时,以AB为直径的圆的面积最小
结 论5 : 过O点 作OM AB, 垂 足 为 M , 则M点 必 在 某一个圆周上
( x p) y p
2 2
2
(除(0,0)外)
p 如果再把y 2 px( p 0)的焦点F ( ,0)改为点M ( p,0), 2 又可以得到许多趣味横 生的问题.
2
(1)OA OB p2
1 ( 2) 2 2 2 p MA MB
( 3) S
2 A1 FB1
y
1
1
A1
A
O
M x B
S FBB1 S FAA1
4
B1
l
题型五：数列和不等式
1、数列多与函数、不等式、方程、三角函数、 解析几何等知识相交汇，可能出现的题型是： (１)数列内部的综合：等差与等比；数列与极限； 数列与数学归纳法； (２)数列与相关知识的综合：数列与函数、数列 与不等式、方程；数列与点列； 数列题能力要求较高：运算能力、归纳猜想能 力、转化能力、逻辑推理能力；
2、解法要领： （1）研究数列，关键是要抓住数列的通项，探求一个数 列的通项常用：观察法、公式法、归纳猜想法； （2）关于数列的求和，常用方法有 公式法、 错位相减法、 倒序相加法、 裂项法。 （3）关于等差（比）数列，要抓住首项和公差（比）这两个 基本元素。 （4）数列是特殊的函数，所以数列问题与函数、方程、不等 式有着密切的联系，函数思想、方程观点、化归转化、归纳猜 想、分类讨论在解题中多有体现。
2011年浙江省高考数学(理科)试题讲解
题目
●
函数的概念、分段函数.
知识点
等差数列、等比数列的通项、性质、求和，裂项法求和和公式法求和等知识。
2011年浙江省高考数学(理科)试题讲解
题目
●
函数的概念、分段函数.
切入点
对于（1）的破解主要是利用方程求公差，从而实现求和的目的；对于（2 ）的破解一方面要利用裂项法，另一方面要利用等比数列求和公式，运用作差 法比较二者的大小，注意对于参数进行分类讨论。
2
y
A1
A
O
F
B
x
（三）有关圆的问题
1.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 . 2. 以A1B1为直径的圆与抛物线的弦AB相切. 3 .以AF为直径的圆与y轴相切. 4. 以BF为直径的圆与y轴相切.
性质1抛物线的准线x轴的 交点在以AB为直径的圆外.
B1 A1
y
A F
O
B
x
l
（四）有关共线问题