解析几何高考题及答案

合集下载

高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1.已知直线l 过点A (a ,0)且斜率为1,若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1,则a 的值为( )A .B .±C .2±D .2.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>,过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ,B ,且AB BF =uu u r uu u r,则直线AB 的斜率为( ) A .13-或13B .16-或16C .2D .163.已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点,则点P 到直线1x y +=距离的最大值为( )AB .C 1D 2+4.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( )A .⎡⎣B .(C .33⎡-⎢⎣⎦D .33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5.已知抛物线C :22x py =的焦点为F ,定点()M ,若直线FM 与抛物线C 相交于A ,B 两点(点B 在F ,M 中间),且与抛物线C 的准线交于点N ,若7BN BF =,则AF 的长为( )A .78B .1C .76D6.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点,且四边形PQMN 为正方形,则双曲线C 的离心率为( )A .2-BC .2D7.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点F ,点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点,以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方),若5sin 7MFA ∠=,则抛物线C 的方程为( )A .24y x =B .28y x =C .212y x =D .216y x =8.已知离心率为2的椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ,则2F 到直线1F A ,y 轴的距离之比为( )A .5B .35C .2D二、多选题9.已知点A 是直线:0l x y +=上一定点,点P 、Q 是圆221x y +=上的动点,若PAQ ∠的最大值为90o ,则点A 的坐标可以是( )A .(B .()1C .)D .)1,110.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ,F ,直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若8AF =,则以下结论正确的是( ) A .4p = B .DF FA =uuu r uu rC .2BD BF = D .4BF =三、填空题11.已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点,圆心在x 轴上,则C 的方程为__________.12.已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点,过A 、B 分别作x 轴的垂线,且与x轴分别交于C 、D 两点,若CD =m =_____.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4,()2,3A 为C 上一点,则C 的渐近线方程为__________.14.已知抛物线()220y px p =>,F 为其焦点,l 为其准线,过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点,1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影,M 为11A B 的中点,给出下列命题: (1)11A F B F ⊥;(2)AM BM ⊥;(3)1//A F BM ;(4)1A F 与AM 的交点的y 轴上;(5)1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15.已知圆22:(2)1M x y ++=,圆22:(2)49N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2,证明:直线l 过定点.16.已知椭圆方程为22163x y +=.(1)设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上运动,求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值;(2)设直线l 和圆222x y +=相切,和椭圆交于A 、B 两点,O 为原点,线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点,设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ,求12S S 的取值范围.参考答案1.D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1,所以与直线l 平行且距离为1的两条直线,一条与圆相交,一条与圆相切,即圆心到直线l 的距离为1,根据点到直线的距离公式即可求出a 的值. 【详解】直线l 的方程为:y x a =-即0x y a --=.因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1,所以与直线l 平行且距离为1的两条直线,一条与圆相交,一条与圆相切,而圆的半径为2,即圆心到直线l 的距离为1.1=,解得a =故选:D . 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用,以及点到直线的距离公式的应用,解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系,意在考查学生的转化能力与数学运算能力,属于中档题. 2.B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程,根据AB BF =u u u r u u u r,得到B 为AF 中点,得到B 与A 的坐标关系,代入到渐近线方程中,求出A 点坐标,从而得到AB 的斜率,得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>,又222c e a =22514b a =+=,所以12b a =,所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上,点B 在直线12y x =上时, 设(),A A Ax y (),B B B x y ,由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,分别代入直线方程,得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩,解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-,由双曲线的对称性得,16k =也成立. 故选:B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程,坐标转化法求点的坐标,属于中档题. 3.D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值,再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+,半径为1,点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此,点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选:D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题,当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +,最小值为d r -,解题时要熟悉这个结论的应用,属于中等题. 4.D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+,得222141,3k k k ≤+≤,选择C 另外,数形结合画出图形也可以判断C 正确. 5.C 【解析】 【分析】由题意画出图形,求出AB 的斜率,得到AB 的方程,求得p ,可得抛物线方程,联立直线方程与抛物线方程,求解A 的坐标,再由抛物线定义求解AF 的长. 【详解】解:如图,过B 作'BB 垂直于准线,垂足为'B ,则'BF BB =,由7BN BF =,得7'BN BB =,可得1sin 7BNB '∠=, 3cos 7BNB '∴∠=-,tan 43BNB '∠=又()23,0M ,AB ∴的方程为2343y x =-, 取0x =,得12y =,即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1p =,∴抛物线方程为22x y =. 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得23A y =.12172326A AF y ∴=+=+=. 故选:C . 【点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查计算能力,是中档题. 6.D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点,根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,将点P 的坐标代入双曲线C 的方程,即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >,设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点, 由双曲线的对称性可知,点P 、Q 关于y 轴对称,P 、M 关于原点对称,P 、N 关于x 轴对称,由于四边形PQMN 为正方形,则直线PM 的倾斜角为4π,可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=,即()22222122c c a c a -=-, 设该双曲线的离心率为()1e e >,则()2221221e e e -=-,整理得42420e e -+=,解得22e =,因此,双曲线C 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标,考查计算能力,属于中等题. 7.C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义,表示出MF ,再表示出MD ,利用5sin 7MFA ∠=,得到0x 和p 之间的关系,将M 点坐标,代入到抛物线中,从而解出p 的值,得到答案.【详解】抛物线C :22(0)y px p =>, 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程2p x =-,因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点, 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =, 设MD AB ⊥于D ,则02p MD x =-, 因为5sin 7MFA ∠=,所以57 MD MF=,即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程,得()26623p p=⨯,0p>解得6p=,所以抛物线方程为212y x=故选:C.【点睛】本题考查抛物线的定义,直线与圆的位置关系,求抛物线的标准方程,属于中档题.8.A【解析】【分析】结合椭圆性质,得到a,b,c的关系,设2AF x=,用x表示112,AF F F,结合余弦定理,用c表示x,结合三角形面积公式,即可。

解析几何练习题及答案

解析几何练习题及答案

解析几何一、选择题1.已知两点A (-3,3),B (3,-1),则直线AB 的斜率是()A.3B.-3C.33D.-33解析:斜率k =-1-33--3=-33,故选D.答案:D2.已知直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是()A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1解析:①当a =0时,y =2不合题意.②a ≠0,x =0时,y =2+a .y =0时,x =a +2a,则a +2a=a +2,得a =1或a =-2.故选D.答案:D3.两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行,则它们之间的距离为()A.4B.21313C.51326D.71020解析:把3x +y -3=0转化为6x +2y -6=0,由两直线平行知m =2,则d =|1--6|62+22=71020.故选D.4.(2014皖南八校联考)直线2x -y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是()A.x +2y -1=0B.2x +y -1=0C.2x +y -5=0D.x +2y -5=0解析:由题意可知,直线2x -y +1=0与直线x =1的交点为(1,3),直线2x -y +1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数,直线2x -y +1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y -3=-2(x -1),即2x +y -5=0.故选C.答案:C5.若直线l :y =kx -3与直线2x +3y -6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6,D.π3,π2解析:由题意,可作直线2x +3y -6=0的图象,如图所示,则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0),B (0,2),又直线l 过定点(0,-3),由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点),从图中可以看出,直线l B.答案:B6.(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x +y -5=0的直线方程为()A.x -2y +4=0B.2x +y -7=0C.x -2y +3=0D.x -2y +5=0解析:直线2x +y -5=0的斜率为k =-2,∴所求直线的斜率为k ′=12,∴方程为y -3=12(x -2),即x -2y +4=0.答案:A7.过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________.解析:由题意知截距均不为零.设直线方程为x a +yb =1,b =6,+1b=1,=3=3=4=2.故所求直线方程为x +y -3=0或x +2y -4=0.答案:x +y -3=0或x +2y -4=08.(2014质检)若过点A (-2,m ),B (m,4)的直线与直线2x +y +2=0平行,则m 的值为________.解析:∵过点A ,B 的直线平行于直线2x +y +2=0,∴k AB =4-m m +2=-2,解得m =-8.答案:-89.若过点P (1-a,1+a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值围是________.解析:由直线PQ 的倾斜角为钝角,可知其斜率k <0,即2a -1+a 3-1-a <0,化简得a -1a +2<0,∴-2<a <1.答案:(-2,1)10.已知k ∈R ,则直线kx +(1-k )y +3=0经过的定点坐标是________.解析:令k =0,得y +3=0,令k =1,得x +3=0.+3=0,+3=0,=-3,=-3,所以定点坐标为(-3,-3).答案:(-3,-3)三、解答题11.已知两直线l 1:x +y sin α-1=0和l 2:2x sin α+y +1=0,试求α的值,使(1)l 1∥l 2;(2)l 1⊥l 2.解:(1)法一当sin α=0时,直线l 1的斜率不存在,l 2的斜率为0,显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时,k 1=-1sin α,k 2=-2sin α.要使l 1∥l 2,需-1sin α=-2sin α,即sin α=±22,∴α=k π±π4,k ∈Z .故当α=k π±π4,k ∈Z 时,l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α-1=0,α≠0,∴sin α=±22,∴α=k π±π4,k ∈Z .故当α=k π±π4,k ∈Z 时,l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2,∴2sin α+sin α=0,即sin α=0.∴α=k π,k ∈Z .故当α=k π,k ∈Z 时,l 1⊥l 2.12.设直线l 1:y =k 1x +1,l 2:y =k 2x -1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0.(1)证明l 1与l 2相交;(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.证明:(1)假设l 1与l 2不相交,则l 1∥l 2即k 1=k 2,代入k 1k 2+2=0,得k 21+2=0,这与k 1为实数的事实相矛盾,从而k 1≠k 2,即l 1与l 2相交.(2)法一=k 1x +1,=k 2x -1解得交点P而2x 2+y 2=8+k 22+k 21+2k 1k 2k 22+k 21-2k 1k 2=k 21+k 22+4k 21+k 22+4=1.即P (x ,y )在椭圆2x 2+y 2=1上.即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.法二交点P 的坐标(x ,y-1=k 1x ,+1=k 2x ,故知x ≠0.1=y -1x,2=y +1x.代入k 1k 2+2=0,得y -1x ·y +1x+2=0,整理后,得2x 2+y 2=1.所以交点P 在椭圆2x 2+y 2=1上.第八篇第2节一、选择题1.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.x 2+(y -2)2=1B.x 2+(y +2)2=1C.(x -1)2+(y -3)2=1D.x 2+(y -3)2=1解析:由题意,设圆心(0,t ),则12+t -22=1,得t =2,所以圆的方程为x 2+(y -2)2=1,故选A.答案:A2.(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍,则动点P 的轨迹方程为()A.x 2+y 2=32B.x 2+y 2=16C.(x -1)2+y 2=16D.x 2+(y -1)2=16解析:设P (x ,y ),则由题意可得2x -22+y 2=x -82+y 2,化简整理得x 2+y 2=16,故选B.答案:B3.(2012年高考卷)已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 是过点P (3,0)的直线,则()A.l 与C 相交B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能解析:x 2+y 2-4x =0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P (3,0)到圆心的距离为d =3-22+0-02=1<2,点P (3,0)恒在圆,过点P (3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.答案:A4.(2012年高考卷)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是()A.x +y -1=0B.x +y +3=0C.x -y +1=0D.x -y +3=0解析:由题知圆心在直线上,因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合,故选C.答案:C5.(2013年高考卷)垂直于直线y =x +1且与圆x 2+y 2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x +y -2=0B.x +y +1=0C.x +y -1=0D.x +y +2=0解析:与直线y =x +1垂直的直线方程可设为x +y +b =0,由x +y +b =0与圆x 2+y 2=1相切,可得|b |12+12=1,故b =± 2.因为直线与圆相切于第一象限,故结合图形分析知b =-2,则直线方程为x +y -2=0.故选A.答案:A6.(2012年高考卷)直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,则弦AB 的长度等于()A.25B.23C.3D.1解析:因为圆心到直线x +3y -2=0的距离d =|0+3×0-2|12+32=1,半径r =2,所以弦长|AB |=222-12=2 3.故选B.答案:B 二、填空题7.(2013年高考卷)直线y =2x +3被圆x 2+y 2-6x -8y =0所截得的弦长等于________.解析:圆的方程可化为(x -3)2+(y -4)2=25,故圆心为(3,4),半径r =5.又直线方程为2x -y +3=0,∴圆心到直线的距离为d =|2×3-4+3|4+1=5,∴弦长为2×25-5=220=4 5.答案:458.已知直线l :x -y +4=0与圆C :(x -1)2+(y -1)2=2,则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________.解析:因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d =|1-1+4|12+-12=22,又圆半径r = 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d -r = 2.答案:29.已知圆C 的圆心在直线3x -y =0上,半径为1且与直线4x -3y =0相切,则圆C 的标准方程是________.解析:∵圆C 的圆心在直线3x -y =0上,∴设圆心C (m,3m ).又圆C 的半径为1,且与4x -3y =0相切,∴|4m -9m |5=1,∴m =±1,∴圆C 的标准方程为(x -1)2+(y -3)2=1或(x +1)2+(y +3)2=1.答案:(x -1)2+(y -3)2=1或(x +1)2+(y +3)2=110.圆(x -2)2+(y -3)2=1关于直线l :x +y -3=0对称的圆的方程为________.解析:已知圆的圆心为(2,3),半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称,由数形结合得,对称圆的圆心为(0,1),半径为1,故方程为x 2+(y -1)2=1.答案:x 2+(y -1)2=1三、解答题11.已知圆C :x 2+(y -2)2=5,直线l :mx -y +1=0.(1)求证:对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ,求弦AB 的中点M 的轨迹方程.(1)证明:法一直线方程与圆的方程联立,消去y 得(m 2+1)x 2-2mx -4=0,∵Δ=4m 2+16(m 2+1)=20m 2+16>0,∴对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点.法二直线l :mx -y +1恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆C :x 2+(y -2)2=5部,∴对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点.(2)解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ),由方程(m 2+1)x 2-2mx -4=0,得x 1+x 2=2mm 2+1,∴x =mm 2+1.当x =0时m =0,点M (0,1),当x ≠0时,由mx -y +1=0,得m =y -1x,代入x =m m 2+1,得+1=y -1x,化简得x 2=14.经验证(0,1)也符合,∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2=14.12.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0.(1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.解:将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |a 2+1=2.解得a =-34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,|=|4+2a |a 2+1,|2+|DA |2=22,|=12|AB |=2,解得a =-7,或a =-1.故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0.第八篇第3节一、选择题1.设P 是椭圆x225+y216=1上的点.若F 1、F 2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF 2|等于()A.4B.5C.8D.10解析:由方程知a =5,根据椭圆定义,|PF 1|+|PF 2|=2a =10.故选D.答案:D2.(2014二模)P 为椭圆x24+y23=1上一点,F 1,F 2为该椭圆的两个焦点,若∠F 1PF 2=60°,则PF 1→·PF 2→等于()A.3B.3C.23D.2解析:由椭圆方程知a =2,b =3,c =1,1|+|PF 2|=4,1|2+|PF 2|2-4=2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|=4.∴PF 1→·PF 2→=|PF 1→||PF 2→|cos 60°=4×12=2.答案:D3.(2012年高考卷)椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|AF 1|=a -c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B |=a +c ,又|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,故(a -c )(a +c )=(2c )2,可得e =c a =55.故应选B.答案:B4.(2013年高考卷)已知椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若|AB |=10,|BF |=8,cos∠ABF =45,则C 的离心率为()A.35B.57C.45D.67解析:|AF |2=|AB |2+|BF |2-2|AB ||BF |cos∠ABF =100+64-2×10×8×45=36,则|AF |=6,∠AFB =90°,半焦距c =|FO |=12|AB |=5,设椭圆右焦点F 2,连结AF 2,由对称性知|AF 2|=|FB |=8,2a =|AF 2|+|AF |=6+8=14,即a =7,则e =c a =57.故选B.答案:B5.已知椭圆E :x2m +y24=1,对于任意实数k ,下列直线被椭圆E 截得的弦长与l :y =kx+1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A.kx +y +k =0B.kx -y -1=0C.kx +y -k =0D.kx +y -2=0解析:取k =1时,l :y =x +1.选项A 中直线:y =-x -1与l 关于x 轴对称,截得弦长相等.选项B 中直线:y =x -1与l 关于原点对称,所截弦长相等.选项C 中直线:y =-x +1与l 关于y 轴对称,截得弦长相等.排除选项A、B、C,故选D.答案:D6.(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0),若椭圆上存在点P ,使asin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1,则该椭圆的离心率的取值围为()A.(0,2-1)D.(2-1,1)解析:由题意知点P 不在x 轴上,在△PF 1F 2中,由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1,所以由a sin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|=c |PF 1|,即|PF 1||PF 2|=c a =e ,所以|PF 1|=e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以e |PF 2|+|PF 2|=2a ,解得|PF 2|=2a e +1.由于a -c <|PF 2|<a +c ,所以有a -c <2ae +1<a +c ,即1-e <2e +1<1+e ,1-e 1+e<2,1+e2,解得2-1<e .又0<e <1,∴2-1<e <1.故选D.答案:D 二、填空题7.设F 1、F 2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |=3,则P 点到椭圆左焦点距离为________.解析:∵|OM |=3,∴|PF 2|=6,又|PF 1|+|PF 2|=10,∴|PF 1|=4.答案:48.椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ,若MF 1垂直于x 轴,则椭圆的离心率为________.解析:不妨设|F 1F 2|=1,∵直线MF 2的倾斜角为120°,∴∠MF 2F 1=60°.∴|MF 2|=2,|MF 1|=3,2a =|MF 1|+|MF 2|=2+3,2c =|F 1F 2|=1.∴e =ca=2- 3.答案:2-39.(2014模拟)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.解析:由题意可设椭圆方程为y225-m+x29-m=1(m <9),代入点(3,-5),得525-m +39-m=1,解得m =5或m =21(舍去),∴椭圆的标准方程为y220+x24=1.答案:y220+x24=110.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.解析:1|+|PF 2|=2a ,1|2+|PF 2|2=4c 2,∴(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|=4c 2,即4a 2-2|PF 1||PF 2|=4c 2,∴|PF 1||PF 2|=2b 2,∴S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|=b 2=9,∴b =3.答案:3三、解答题11.(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-1,0),且点P (0,1)在C 1上.(1)求椭圆C 1的方程;(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2:y 2=4x 相切,求直线l 的方程.解:(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(-1,0),且点P (0,1)在C 12-b 2=1,=1,2=2,2=1.故椭圆C 1的方程为x22+y 2=1.(2)由题意分析,直线l 斜率存在且不为0,设其方程为y =kx +b ,由直线l 与抛物线C 2=kx +b ,2=4x ,消y 得k 2x 2+(2bk -4)x +b 2=0,Δ1=(2bk -4)2-4k 2b 2=0,化简得kb =1.①由直线l 与椭圆C 1kx +b ,y 2=1,消y 得(2k 2+1)x 2+4bkx +2b 2-2=0,Δ2=(4bk )2-4(2k 2+1)(2b 2-2)=0,化简得2k 2=b 2-1.②=1,k 2=b 2-1,解得b 4-b 2-2=0,∴b 2=2或b 2=-1(舍去),∴b =2时,k =22,b =-2时,k =-22.即直线l 的方程为y =22x +2或y =-22x - 2.12.(2014海淀三模)已知椭圆C :x2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2,一角为60°的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y =kx 交椭圆C 于A ,B 两点,在直线l :x +y -3=0上存在点P ,使得△PAB 为等边三角形,求k 的值.解:(1)因为椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2,一角为60°的菱形的四个顶点.所以a =3,b =1,椭圆C 的方程为x23+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),则B (-x 1,-y 1),当直线AB 的斜率为0时,AB 的垂直平分线就是y 轴,y 轴与直线l :x +y -3=0的交点为P (0,3),又因为|AB |=23,|PO |=3,所以∠PAO =60°,所以△PAB 是等边三角形,所以直线AB 的方程为y =0,当直线AB 的斜率存在且不为0时,则直线AB 的方程为y =kx ,y 2=1,kx ,化简得(3k 2+1)x 2=3,所以|x 1|=33k 2+1,则|AO |=1+k233k 2+1=3k 2+33k 2+1.设AB 的垂直平分线为y =-1kx ,它与直线l :x +y -3=0的交点记为P (x 0,y 0),=-x +3,=-1k x ,0=3k k -1,0=-3k -1.则|PO |=9k 2+9k -12,因为△PAB 为等边三角形,所以应有|PO |=3|AO |,代入得9k 2+9k -12=33k 2+33k 2+1,解得k =0(舍去),k =-1.综上,k =0或k =-1.第八篇第4节一、选择题1.设P 是双曲线x216-y220=1上一点,F 1,F 2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF 1|=9,则|PF 2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对解析:由双曲线定义||PF 1|-|PF 2||=8,又|PF 1|=9,∴|PF 2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c -a =6-4=2>1,∴|PF 2|=17.故选B.答案:B2.(2013年高考卷)已知0<θ<π4,则双曲线C 1:x 2sin 2θ-y 2cos 2θ=1与C 2:y 2cos 2θ-x2sin 2θ=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:双曲线C 1的半焦距c 1=sin 2θ+cos 2θ=1,双曲线C 2的半焦距c 2=cos 2θ+sin 2θ=1,故选D.答案:D3.(2012年高考卷)已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x280-y220=1D.x220-y280=1解析:由焦距为10,知2c =10,c =5.将P (2,1)代入y =bax 得a =2b .a 2+b 2=c 2,5b 2=25,b 2=5,a 2=4b 2=20,所以方程为x220-y25=1.故选A.答案:A4.已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B.35C.34D.45解析:∵c 2=2+2=4,∴c =2,2c =|F 1F 2|=4,由题可知|PF 1|-|PF 2|=2a =22,|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 2|=22,|PF 1|=42,由余弦定理可知cos∠F 1PF 2=422+222-422×42×22=34.故选C.答案:C5.设椭圆C 1的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为()A.x242-y232=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1解析:在椭圆C 1中,因为e =513,2a =26,即a =13,所以椭圆的焦距2c =10,则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),根据题意,可知曲线C 2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C 2中的2a 2=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c 2=10,可知b 2=3,所以双曲线的标准方程为x242-y232=1.故选A.答案:A6.(2014八中模拟)若双曲线x29-y216=1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x -m )2+y 2≥16,则实数m 的取值围是()A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,+∞)C.[-5,5]D.(-∞,-5]∪[5,+∞)解析:因为双曲线x 29-y 216=1渐近线4x ±3y =0上的一个动点P 总在平面区域(x -m )2+y 2≥16,即直线与圆相离或相切,所以d =|4m |5≥4,解得m ≥5或m ≤-5,故实数m 的取值围是(-∞,-5]∪[5,+∞).选D.答案:D 二、填空题7.(2013年高考卷)已知F 为双曲线C :x29-y216=1的左焦点,P ,Q 为C 上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A (5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为________.解析:由题知,双曲线中a =3,b =4,c =5,则|PQ |=16,又因为|PF |-|PA |=6,|QF |-|QA |=6,所以|PF |+|QF |-|PQ |=12,|PF |+|QF |=28,则△PQF 的周长为44.答案:448.已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的离心率e =2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为________.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c -a =1,又e =ca=2,两式联立得a =1,c =2,∴b 2=c 2-a 2=4-1=3,∴方程为x 2-y23=1.答案:x 2-y23=19.(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)和圆x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2,则该双曲线的离心率为________.解析:依题意得,线段F 1F 2是圆x 2+y 2=a 2+b 2的一条直径,故∠F 1PF 2=90°,∠PF 1F 2=30°,设|PF 2|=m ,则有|F 1F 2|=2m ,|PF 1|=3m ,该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|-|PF 2||=2m3m -m =3+1.答案:3+110.(2013年高考卷)设F 1,F 2是双曲线C :x2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点.若在C 上存在一点P ,使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为________.解析:设点P 在双曲线右支上,由题意,在Rt△F 1PF 2中,|F 1F 2|=2c ,∠PF 1F 2=30°,得|PF 2|=c ,|PF 1|=3c ,根据双曲线的定义:|PF 1|-|PF 2|=2a ,(3-1)c =2a ,e =ca =23-1=3+1.答案:3+1三、解答题11.已知双曲线x 2-y22=1,过点P (1,1)能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点?解:法一设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在双曲线上,且线段AB 的中点为(x 0,y 0),若直线l 的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P 的直线l 的方程为y -1=k (x -1),即y =kx +1-k .=kx+1-k,2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①∴x=x1+x22=k1-k2-k2.由题意,得k1-k2-k2=1,解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得x21-y212=1,x22-y222=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-y1+y2y1-y22=0,即2-y1-y2x1-x2=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,=2x-1,2-y22=1得2x2-4x+3=0,Δ=16-24=-8<0,即直线y=2x-1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.12.(2014质检)中心在原点,焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且|F 1F 2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P 为这两曲线的一个交点,求cos∠F 1PF 2的值.解:(1)由已知c =13,设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ,-m =4,·13a=3·13m,解得a =7,m =3.∴b =6,n =2.∴椭圆方程为x249+y236=1,双曲线方程为x29-y24=1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则|PF 1|+|PF 2|=14,|PF 1|-|PF 2|=6,∴|PF 1|=10,|PF 2|=4.又|F 1F 2|=213,∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=102+42-21322×10×4=45.第八篇第5节一、选择题1.(2014模拟)抛物线y =2x 2的焦点坐标为()B.(1,0)解析:抛物线y =2x 2,即其标准方程为x 2=12y C.答案:C2.抛物线的焦点为椭圆x24+y29=1的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为()A.x 2=-45y B.y 2=-45x C.x 2=-413yD.y 2=-413x解析:由椭圆方程知,a 2=9,b 2=4,焦点在y 轴上,下焦点坐标为(0,-c ),其中c =a 2-b 2=5,∴抛物线焦点坐标为(0,-5),∴抛物线方程为x 2=-45y .故选A.答案:A3.已知抛物线y 2=2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.不确定解析:如图所示,设抛物线焦点弦为AB ,中点为M ,准线为l ,A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影,则|AA 1|=|AF |,|BB 1|=|BF |,于是M 到l 的距离d =12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF |+|BF |)=12|AB |,故圆与抛物线准线相切.故选C.答案:C4.(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且|AF |=3|BF |,则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B.83C.103D.10解析:设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),其中x 1>0,x 2>0,过A ,B 两点的直线方程为x =my +1,将x =my +1与y 2=4x 联立得y 2-4my -4=0,y 1y 2=-4,1+1=3x 2+1,1x 2=y 214·y 224=y 1y 2216=1,解得x 1=3,x 2=13,故线段AB 的中点到该抛物线的准线x =-1的距离等于x 1+x 22+1=83.故选B.答案:B5.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B.1C.54D.74解析:∵|AF |+|BF |=x A +x B +12=3,∴x A +x B =52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A +x B 2=54.故选C.答案:C6.设M (x 0,y 0)为抛物线C :x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析:∵x 2=8y ,∴焦点F 的坐标为(0,2),准线方程为y =-2.由抛物线的定义知|MF |=y 0+2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2+(y -2)2=(y 0+2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交,又圆心F 到准线的距离为4,故4<y 0+2,∴y 0>2.故选C.答案:C 二、填空题7.动直线l 的倾斜角为60°,且与抛物线x 2=2py (p >0)交于A ,B 两点,若A ,B 两点的横坐标之和为3,则抛物线的方程为________.解析:设直线l 的方程为y =3x +b ,=3x +b ,2=2py消去y ,得x 2=2p (3x +b ),即x 2-23px -2pb =0,∴x 1+x 2=23p =3,∴p =32,则抛物线的方程为x 2=3y .答案:x 2=3y8.以抛物线x 2=16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________.解析:抛物线的焦点为F (0,4),准线为y =-4,则圆心为(0,4),半径r =8.所以,圆的方程为x 2+(y -4)2=64.答案:x 2+(y -4)2=649.(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________.解析:∵抛物线y 2=4x ,∴焦点F 的坐标为(1,0).又∵直线l 倾斜角为60°,∴直线斜率为3,∴直线方程为y =3(x -1).联立方程y =3x -1,y 2=4x ,解得x 1=13,y 1=-233,或x 2=3,y 2=23,由已知得A 的坐标为(3,23),∴S △OAF =12|OF |·|y A |=12×1×23= 3.答案:310.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 72,4,则|PA |+|PM |的最小值是________.解析:设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x =-12,焦点F 坐标为12,0.求|PA |+|PM |的最小值,可先求|PA |+|PM ′|的最小值.由抛物线的定义可知,|PM ′|=|PF |,所以|PA |+|PF |=|PA |+|PM ′|,当点A 、P 、F 在一条直线上时,|PA |+|PF |有最小值|AF |=5,所以|PA |+|PM ′|≥5,又因为|PM ′|=|PM |+12,所以|PA |+|PM |≥5-12=92.答案:92三、解答题11.若抛物线y =2x 2上的两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)关于直线l :y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,数m 的值.解:法一如图所示,连接AB ,∵A 、B 两点关于直线l 对称,∴AB ⊥l ,且AB 中点M (x 0,y 0)在直线l 上.可设l AB :y =-x +n ,=-x +n ,=2x 2,得2x 2+x -n =0,∴x 1+x 2=-12,x 1x 2=-n2由x 1x 2=-12,得n =1.又x 0=x 1+x 22=-14,y 0=-x 0+n =14+1=54,即点M -14,由点M 在直线l 上,得54=-14+m ,∴m =32.法二∵A 、B 两点在抛物线y =2x 2上.1=2x 21,2=2x 22,∴y 1-y 2=2(x 1+x 2)(x 1-x 2).设AB 中点M (x 0,y 0),则x 1+x 2=2x 0,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=4x 0.又AB ⊥l ,∴k AB =-1,从而x 0=-14.又点M 在l 上,∴y 0=x 0+m =m -14,即-14,m∴AB 的方程是y 即y =-x +m -12,代入y =2x 2,得2x 2+x x 1x 2=-m -122=-12,∴m =3212.已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB |=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值.解:(1)直线AB 的方程是y y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px +p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线定义得|AB |=x 1+x 2+p =9,所以p =4,从而抛物线方程是y 2=8x .(2)由p =4知4x 2-5px +p 2=0可化为x 2-5x +4=0,从而x 1=1,x 2=4,y 1=-22,y 2=42,从而A (1,-22),B (4,42).设OC →=(x 3,y 3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22),即C (4λ+1,42λ-22),所以[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.。

高考解析几何压轴题精选(含答案)

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

(3分)2 .已知m >1,直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m+=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围.(6分)3已知以原点O 为中心,)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。

(I )求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;(II )如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ∆的面积。

(8分)4.如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)是否存在常数λ,使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.(7分)5.在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F 。

设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。

2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)

2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)

2024年高考真题分类专项(解析几何)一、单选题1.(2024年北京高考数学真题)圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为( )A B .2C .3D .2.(2024年天津高考数学真题)双曲线22221()00a x y a b b >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A .22182y x -=B .22184x y -=C .22128x y -=D .22148x y -=3.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知曲线C :2216x y +=(0y >),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ',P '为垂足,则线段PP '的中点M 的轨迹方程为( ) A .221164x y +=(0y >)B .221168x y +=(0y >)C .221164y x +=(0y >)D .221168y x +=(0y >)4.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-:交于,A B 两点,则AB 的最小值为( )A .2B .3C .4D .65.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A.4 B .3C .2D6.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知b 是,a c 的等差中项,直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( ) A .1B .2C .4D.二、多选题7.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)抛物线C :24y x =的准线为l ,P 为C 上的动点,过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线,Q 为切点,过P 作l 的垂线,垂足为B ,则( ) A .l 与A 相切B .当P ,A ,B三点共线时,||PQ = C .当||2PB =时,PA AB ⊥D .满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则( )A .2a =- B.点在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题9.(2024年上海夏季高考数学真题)已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为 .10.(2024年北京高考数学真题)抛物线216y x =的焦点坐标为 .11.(2024年北京高考数学真题)若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点,则k 的一个取值为 .12.(2024年天津高考数学真题)圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为 .13.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为 .四、解答题14.(2024年上海夏季高考数学真题(网络回忆版))已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ,过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时,求b 的值.(2)若2b MA P =△为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标. (3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若121A R A P ⋅=,求b 的取值范围.15.(2024年北京高考数学真题)已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>,以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ,过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D . (1)求椭圆E 的方程及离心率; (2)若直线BD 的斜率为0,求t 的值.16.(2024年天津高考数学真题)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB 的中点,其中ABC S △. (1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.17.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP 的面积为9,求l 的方程.18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.。

解析几何历年高考真题试卷--带详细答案

解析几何历年高考真题试卷--带详细答案

解析几何高考真题一、单选题(共11题;共22分)1.(2020·新课标Ⅲ·理)设双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 , 离心率为 √5 .P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.(2020·新课标Ⅲ·理)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px(p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A. ( 14 ,0)B. ( 12 ,0) C. (1,0) D. (2,0) 3.(2020·新课标Ⅱ·理)设O 为坐标原点,直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点,若 △ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.(2020·天津)设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ,过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l .若C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.(2019·天津)已知抛物线 的焦点为F ,准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B , 且 |AB|=4|OF| (O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.(2020·北京)设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作 PQ ⊥l 于Q ,则线段 FQ 的垂直平分线( ).A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.(2019·天津)已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ,准线为 l ,若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ,且 |AB|=4|OF| ( O 为原点),则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5 8.(2019·全国Ⅲ卷理)双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( )A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点.若|AF+BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于45 , 则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线c 2 , 则( )A. 对任意的a,b , e 1>e 2B. 当a >b 时,e 1>e 2;当a <b 时,e 1<e 2C. 对任意的a,b , e 1<e 2D. 当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线c 2 , 则( )A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时,e 1>e 2;当a <b 时,e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 2二、填空题(共5题;共6分)12.(2020·新课标Ⅰ·理)已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为________.13.(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.(2019·浙江)已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ,点P 在椭圆且在x 轴上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF 的斜率是________ 15.(2018·北京)已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为________;双曲线N 的离心率为________16.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1 , F 2 , 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________.三、解答题(共9题;共85分)17.(2020·新课标Ⅲ·理)已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154,A ,B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线 x =6 上,且 |BP|=|BQ| , BP ⊥BQ ,求 △APQ 的面积.18.(2020·新课标Ⅱ·文)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|= 43 |AB|. (1)求C 1的离心率;(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12,求C 1与C 2的标准方程.19.(2020·新课标Ⅰ·理)已知A 、B 分别为椭圆E :x 2a 2+y 2=1 (a>1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ,P 为直线x=6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程; (2)证明:直线CD 过定点.20.(2020·新高考Ⅱ)已知椭圆C : x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M (2,3),点A 为其左顶点,且AM 的斜率为 12 , (1)求C 的方程;(2)点N 为椭圆上任意一点,求△AMN 的面积的最大值.21.(2019·天津)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p,圆C同时与x轴和直线l 相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP,求椭圆的方程.22.(2019·全国Ⅲ卷文)已知曲线C:y= x22,D为直线y= −12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.23.(2019·全国Ⅲ卷理)已知曲线C: y=x22,D为直线y=- 12的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.24.(2019·全国Ⅱ卷文)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点。

高中解析几何试题及答案

高中解析几何试题及答案

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\),求该圆的圆心坐标和半径。

答案:圆心坐标为 \((2, 3)\),半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案:对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)(其中\(a > b > 0\))经过点 \((2, 3)\),且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\),求椭圆的长轴和短轴长度。

答案:根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\),我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\),代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\),代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\),解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程,解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此,椭圆的长轴长度为\(2a = 32\),短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)(\(p > 0\))的焦点坐标。

答案:焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\),求双曲线的离心率。

答案:双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

江苏高考 解析几何 定值定点问题 含答案解析

江苏高考  解析几何   定值定点问题  含答案解析

第2课时 定点、定值问题题型一 定点问题例1 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3⎝⎛⎭⎫-1,32,P 4⎝⎛⎭⎫1,32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.(1)解 由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过P 3,P 4两点. 又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,椭圆C 不经过点P 1,所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎨⎧1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知t ≠0,且|t |<2,可得A ,B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ,4-t 22,⎝⎛⎭⎪⎫t ,-4-t 22,则k 1+k 2=4-t 2-22t -4-t 2+22t =-1,得t =2,不符合题设. 从而可设l :y =kx +m (m ≠1). 将y =kx +m 代入x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0. 由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,2=-8km ±16(4k 2-m 2+1)2(4k 2+1), 所以x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2.由题设知k 1+k 2=-1,故(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0. 即(2k +1)· 4m 2-44k 2+1+(m -1)· -8km4k 2+1=0,解得k =-m +12.当且仅当m >-1时,Δ>0,于是l :y =-m +12x +m ,即y +1=-m +12(x -2),所以l 过定点(2,-1).思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ,直线y =43与椭圆C交于P ,Q 两点(P 在Q 的左边),Q 在x 轴上的射影为B ,且四边形ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ,N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合,E 是直线3x +3y -2=0上一点,且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形,求k 的值;②若M 是椭圆的左顶点,D 是直线MN 上一点,且DA ⊥AM ,点G 是x 轴上异于点M 的点,且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点,求证:点G 是定点. (1)解 由题意可得2c =22,即c =2, 设Q ⎝⎛⎭⎫n ,43,因为四边形ABPQ 为平行四边形, PQ =2n ,AB =a -n ,所以2n =a -n ,n =a 3,则⎝⎛⎭⎫a 32a 2+169b2=1,解得b 2=2,a 2=b 2+c 2=4, 可得椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)①解 将直线y =kx (k ≠0)代入椭圆方程, 可得(1+2k 2)x 2=4, 解得x =±21+2k2,可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21+2k 2,2k 1+2k 2, 由E 是3x +3y -2=0上一点, 可设E ⎝⎛⎭⎫m ,23-m ⎝⎛⎭⎫m ≠0,且m ≠23, E 到直线kx -y =0的距离为d =⎪⎪⎪⎪km +m -231+k2,因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形, 所以OE ⊥MN ,OM =d , 即有23-m m =-1k,①4+4k21+2k 2=⎪⎪⎪⎪km +m -231+k2,②由①得m =2k3(k -1)(k ≠1),代入②式,化简整理可得7k 2-18k +8=0,解得k =2或47.②证明 由M (-2,0),可得直线MN 的方程为y =k (x +2)(k ≠0),代入椭圆方程可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2-4=0, 解得x N =2-4k 21+2k 2,y N =k (x N +2)=4k1+2k 2,即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-4k 21+2k 2,4k 1+2k 2, 设G (t,0)(t ≠-2),由题意可得D (2,4k ),A (2,0), 以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点, 可得AN ⊥DG ,即有AN →·DG →=0,即为⎝ ⎛⎭⎪⎫-8k 21+2k 2,4k 1+2k 2·(t -2,-4k )=0,解得t =0. 故点G 是定点,即为原点(0,0).题型二 定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2,离心率为22,椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程;(2)如图,过点D (2,-2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ,Q ,求证:直线AP ,AQ 的斜率之和为定值.(1)解 由题意可知,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),焦点在x 轴上,2c =2,c =1,椭圆的离心率e =c a =22,则a =2,b 2=a 2-c 2=1,则椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),A (2,0), 由题意知直线PQ 斜率存在, 设其方程为y =k (x -2)-2,则⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2)-2,x 22+y 2=1,整理得(2k 2+1)x 2-(42k 2+42k )x +4k 2+8k +2=0.所以x 1,2=(42k 2+42k )±[-(42k 2+42k )]2-4(2k 2+1)(4k 2+8k +2)2(2k 2+1),所以x 1+x 2=42k 2+42k 2k 2+1,x 1x 2=4k 2+8k +22k 2+1, 则y 1+y 2=k (x 1+x 2)-22k -22=-22-22k2k 2+1,则k AP +k AQ =y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1x 2+y 2x 1-2(y 1+y 2)x 1x 2-2(x 1+x 2)+2.由y 1x 2+y 2x 1=[k (x 1-2)-2]x 2+[k (x 2-2)-2]x 1 =2kx 1x 2-(2k +2)(x 1+x 2)=-4k2k 2+1, k AP +k AQ =y 1x 2+y 2x 1-2(y 1+y 2)x 1x 2-2(x 1+x 2)+2=-4k2k 2+1-2×-22-22k 2k 2+14k 2+8k +22k 2+1-2×42k 2+42k2k 2+1+2=1,∴直线AP ,AQ 的斜率之和为定值1.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.跟踪训练2 (2018·南通考试)如图,已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ,B ,与x 轴交于点Q ,设QA →=λP A →,QB →=uPB →,求证:λ+u 为定值.证明 当AB 与x 轴垂直时,此时点Q 与点O 重合, 从而λ=2,u =23,λ+u =83.当点Q 与点O 不重合时,直线AB 的斜率存在. 设直线AB 的方程为y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则Q ⎝⎛⎭⎫-1k ,0. 由题设,得x 1+1k =λx 1,x 2+1k=ux 2,即λ=1+1x 1k ,u =1+1x 2k.所以λ+u =1+1x 1k +1+1kx 2=2+x 1+x 2kx 1x 2,将y =kx +1代入x 2+y 2=4,得(1+k 2)x 2+2kx -3=0, 则Δ>0,x 1,2=-2k ±4k 2+12(1+k 2)2(1+k 2), x 1+x 2=-2k1+k 2,x 1x 2=-31+k2, 所以λ+u =2+-2k1+k 2k · ⎝ ⎛⎭⎪⎫-31+k 2=83. 综上,λ+u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.例 椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为32,过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连结PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k 2≠0,证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值. 解 (1)由于c 2=a 2-b 2,将x =-c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1,得y =±b 2a .由题意知2b 2a =1,即a =2b 2.又e =c a =32,所以a =2,b =1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P (x 0,y 0)(y 0≠0), 又F 1(-3,0),F 2(3,0), 所以直线PF 1,PF 2的方程分别为1PF l :y 0x -(x 0+3)y +3y 0=0,2PF l :y 0x -(x 0-3)y -3y 0=0.由题意知|my 0+3y 0|y 20+(x 0+3)2=|my 0-3y 0|y 20+(x 0-3)2.由于点P 在椭圆上,所以x 204+y 20=1. 所以|m +3|⎝⎛⎭⎫32x 0+22=|m -3|⎝⎛⎭⎫32x 0-22.因为-3<m <3,-2<x 0<2, 可得m +332x 0+2=3-m 2-32x 0,所以m =34x 0,因此-32<m <32.(3)设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0). 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y -y 0=k (x -x 0),整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x +4(y 20-2kx 0y 0+k 2x 20-1)=0. 由题意Δ=0,即(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0. 又x 24+y 20=1,所以16y 02k 2+8x 0y 0k +x 20=0,故k =-x 04y 0. 由(2)知1k 1+1k 2=x 0+3y 0+x 0-3y 0=2x 0y 0,所以1kk 1+1kk 2=1k ⎝⎛⎭⎫1k 1+1k 2=⎝⎛⎭⎫-4y 0x 0· 2x 0y 0=-8,因此1kk 1+1kk 2为定值,这个定值为-8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养,其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求,从而简化了运算过程.1.(2019·江苏省明德实验学校调研)如图,已知A ,B 是圆x 2+y 2=4与x 轴的交点,P 为直线l :x =4上的动点,P A ,PB 与圆的另一个交点分别为M ,N .(1)若P 点坐标为(4,6),求直线MN 的方程; (2)求证:直线MN 过定点.(1)解 由题意可知直线P A 的方程为y =x +2,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +2,x 2+y 2=4,解得M (0,2),直线PB 的方程为y =3x -6,由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x -6,x 2+y 2=4,解得N ⎝⎛⎭⎫85,-65,所以MN 的方程为y =-2x +2, 即2x +y -2=0.(2)证明 设P (4,t ),则直线P A 的方程为y =t6(x +2),直线PB 的方程为y =t2(x -2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4,y =t 6(x +2),得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72-2t 236+t 2,24t 36+t 2, 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2-84+t 2,-8t 4+t 2, 直线MN 的斜率k =24t36+t 2--8t4+t 272-2t 236+t 2-2t 2-84+t 2=8t 12-t2, 直线MN 的方程为y =8t 12-t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2t 2-84+t 2-8t4+t 2, 化简得y =8t 12-t 2x -8t12-t 2, 所以直线MN 过定点(1,0).2.设F 1,F 2为椭圆C :x 24+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点,M 为椭圆上一点,满足MF 1⊥MF 2,已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程;(2)设C 的上顶点为H ,过点(2,-1)的直线与椭圆交于R ,S 两点(异于H ),求证:直线HR 和HS 的斜率之和为定值,并求出这个定值. 解 (1)由椭圆定义得MF 1+MF 2=4,①由垂直得MF 21+MF 22=F 1F 22=4(4-b 2),②由题意得12MF F S=12MF 1· MF 2=1,③ 由①②③,可得b 2=1,C 的方程为x 24+y 2=1.(2)依题意,H (0,1),显然直线的斜率存在且不为0,设直线RS 的方程为y =kx +m (k ≠0),因为直线RS 过点(2,-1),所以-1=2k +m ,即2k =-m -1,代入椭圆方程化简得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0.由题意知,Δ=16(4k 2-m 2+1)>0,设R (x 1,y 1),S (x 2,y 2),x 1x 2≠0,故x 1,2=-8km ±16(4k 2-m 2+1)2(4k 2+1), 所以x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1. k HR +k HS =y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2k +(m -1)x 1+x 2x 1x 2=2k +(m -1)-8km 4m 2-4=2k -2kmm +1=2k m +1=-1. 故k HR +k HS 为定值-1.3.(2018·苏北四市期末)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-3,4),B (9,0),C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点,且满足AC =BD .(1)若AC =4,求直线CD 的方程;(2)求证:△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O ).(1)解 由题意可知OA =5,因为AC =4,所以OC =1,所以C ⎝⎛⎭⎫-35,45, 由题意可知D (5,0),显然,直线CD 的斜率存在,设直线CD 的方程为y =kx +b ,将C ,D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x +7y -5=0.(2)证明 设C (-3m,4m )(0<m ≤1),则OC =5m .则AC =OA -OC =5-5m ,所以OD =OB -BD =5m +4,所以D 点坐标为(5m +4,0).设△OCD 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则有⎩⎪⎨⎪⎧ F =0,9m 2+16m 2-3mD +4mE +F =0,(5m +4)2+(5m +4)D +F =0,所以△OCD 的外接圆的方程为x 2+y 2-4x -3y -5m (x +2y )=0,令⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-4x -3y =0,x +2y =0, 解得x =0,y =0(舍)或x =2,y =-1.△OCD 的外接圆恒过定点(2,-1).4.已知动圆E 经过定点D (1,0),且与直线x =-1相切,设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)设过点P (1,2)的直线l 1,l 2分别与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 1,l 2的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线AB 的斜率为定值.(1)解 由已知,动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x =-1的距离,由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点,以x =-1为准线的抛物线,故曲线C 的方程为y 2=4x .(2)证明 由题意直线l 1,l 2的斜率存在,倾斜角互补,得斜率互为相反数,且不等于零. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 1的方程为y =k (x -1)+2,k ≠0.直线l 2的方程为y =-k (x -1)+2,由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1)+2,y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2-4k +4)x +(k -2)2=0,Δ=16(k -1)2>0,∴x 1=k 2-4k +4k 2, 同理x 2=k 2+4k +4k 2, ∴x 1+x 2=2k 2+8k 2,x 1-x 2=-8k k 2=-8k, ∴y 1-y 2=[k (x 1-1)+2]-[-k (x 2-1)+2]=k (x 1+x 2)-2k=k · 2k 2+8k 2-2k =8k, ∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=8k -8k=-1, ∴直线AB 的斜率为定值-1.5.设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =32,左顶点M 到直线x a +y b =1的距离d =455,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点O 到直线AB 的距离为定值.(1)解 由e =32,得c =32a ,又b 2=a 2-c 2, 所以b =12a ,即a =2b . 由左顶点M (-a,0)到直线x a +y b=1, 即到直线bx +ay -ab =0的距离d =455, 得|b (-a )-ab |a 2+b 2=455,即2aba 2+b 2=455, 把a =2b 代入上式,得4b 25b=455,解得b =1. 所以a =2b =2,c = 3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),①当直线AB 的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知x 1=x 2,y 1=-y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点,故OA →· OB →=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,也就是x 21-y 21=0,又点A 在椭圆C 上,所以x 214+y 21=1, 解得|x 1|=|y 1|=255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1=|x 1|=255. ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 2=1,消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0,所以x 1,2=-8km ±64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-4)2(1+4k 2), 所以x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ,所以OA ⊥OB ,所以OA →· OB →=x 1x 2+y 1y 2=0,所以(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,所以(1+k 2)· 4m 2-41+4k 2-8k 2m 21+4k 2+m 2=0, 整理得5m 2=4(k 2+1),所以点O 到直线AB 的距离d 1=|m |k 2+1=255. 综上所述,点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1,32与⎝⎛⎭⎫62,304两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,椭圆C 上一点M 满足MA =MB .求证:1OA 2+1OB2+2OM 2为定值. (1)解 将⎝⎛⎭⎫1,32与⎝⎛⎭⎫62,304两点代入椭圆C 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2+94b 2=1,32a 2+3016b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=3. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)证明 由MA =MB ,知M 在线段AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知点A ,B 关于原点对称.①若点A ,B 是椭圆的短轴顶点,则点M 是椭圆的一个长轴顶点,此时1OA 2+1OB 2+2OM 2=1b 2+1b 2+2a 2=2⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2=76. 同理,若点A ,B 是椭圆的长轴顶点,则点M 是椭圆的一个短轴顶点,此时1OA 2+1OB 2+2OM 2=1a 2+1a 2+2b 2=2⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2=76. ②若点A ,B ,M 不是椭圆的顶点,设直线l 的方程为y =kx (k ≠0),则直线OM 的方程为y =-1kx , 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx ,x 24+y 23=1,解得x 12=123+4k 2,y 12=12k 23+4k 2,所以OA 2=OB 2=x 12+y 12=12(1+k 2)3+4k 2, 同理,OM 2=12(1+k 2)4+3k 2. 所以1OA 2+1OB 2+2OM 2=2×3+4k 212(1+k 2)+2(4+3k 2)12(1+k 2)=76.1 OA2+1OB2+2OM2为定值76.综上,。

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃上两点,0FM FN ⋅=,求2102y px −+==可得,,因为0FM FN ⋅=,所以)()(★方法2:焦半径表示面积设直线()11:,,MN x my n M x y =+,()22,N x y ,则1||2MFN S FM FN ∆=‖ ()()121112x x =++()()121112my n my n =++++()2212121(1)(1)2m y y m n y y n ⎡⎤=+++++⎣⎦2(1).n =− ,因为0FM FN ⋅=,所以)()(★方法2.斜率转化与齐次化.如图,设线段AB 垂直于x 轴,D 为AB 中点,P 为线外任意一点,则有:PD PB PA k k k 2=+.设直线PQ 的方程为(2)1m x ny ++=.因为直线PQ 过点(2,3)−.,代入得13n =.因为点,P Q 在椭圆22:9436C x y +=上,变形得229[(2)2]436x y +−+=,整理可得:229(2)36(2)40x x y +−++=.齐次化得229(2)36(2)[(2)]40, x x m x ny y +−++++=化简得22436(2)(936)(2)0.y ny x m x −++−+=等式两边同除以2(2)x +,构造斜率式得 24369360,22y y n m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭把13n =代入得 24129360,22y y m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭由根与系数的关系得32AQ AP AE k k k +==,其中E 为椭圆上顶点,故所以线段MN 的中点是定点()0,3. ★方法3.同构双割线设直线AP 方程为(2)y k x =+,联立22194(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得:()2222491616360k x k x k +++−=,当0∆>时,由22163649A P k x x k −⋅=+及2A x =−得2281849P k x k −+=+ 所以22281836,4949k k P k k ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭,设直线PQ 为:(2)3y m x =++,代入点P 化简 得:2123636270k k m −++=同理,设直线AQ 的斜率为k ',同理得到2123636270k k m −'++=k 和k '是二次方程2123636270x x m −++=的两个根,所以3k k +'=.直线,AP AQ 的方程分别为(2),(2)y k x y k x =+='+,当0x =时,2,2M N y k y k ==',即有32M Ny y k k +=+'=,综上,MN 的中点为定点(0,3).则1,0AB BC k k a b ⋅=−+<<同理令0BC k b c n =+=>,且设矩形周长为C ,由对称性不妨设1依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线的斜率分别为k 和1k −,由对称性,不妨设则联立2214()y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩直线1MA 的方程为(112y y x x =+与直线2NA 的方程可得:22x x +−★方法4.消y 留x 之后的非对称处理记过点(4,0)−的直线为l .当l 与x 轴垂直时,易知点(4,(4,M N −−−,(1,P −−.当直线l 与x 轴不垂直时,设点(1M x ,)()()12200,,,,y N x y P x y ,直线:(4)l y k x =+.将(4)y k x =+代人221416x y −=,得)()2222(4816160k x k x k −−−+=.依题意,得()221212221618,. 44k k x x x x k k −++==−−设1212()x x x x λμ=++,即()22221618. 44k k k kλμ−++=−−即12x x =()12542x x −+−①. 直线1MA 的方程为()1122y y x x =++,直线2NA 的方程为()2222yy x x =−−,联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得:()()()()()()12120021212422,2242y x x x x x y x x x −+−−==++++即01212012122248. 2428x x x x x x x x x x −−+−=++++将①代入式得0022x x −=+()1212338338x x x x −−+=−−+,即1x =−,据此可得点P 在定直线=1x −上运动.已知B A ,分别为椭圆1:222=+y ax E )1(>a 的左右顶点,G 为E 的上顶点,8=⋅→→GB AG ,点P 为直线6=x 上的动点,PA 与E 的另一个交点为C ,PB 与E 的另一个交点为D . (1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.解析:(1)E 的方程为1922=+y x . (2)假设),(),,(),,6(2211y x D y x C t P .则由P C A ,,及P D B ,,三点共线可得:33;392211−=+=x y t x y t 将上面两式相除,再平方可得:91)3()3(21222221=+−⋅x x y y ....① 由于),(),,(2211y x D y x C 均在椭圆E 上,故满足:91;9122222121x y x y −=−=...② 将②代入①可得:91)3)(3()3)(3(2121=++−−x x x x ,整理可得:0364)(152121=−−+x x x x ...③假设直线CD 的方程为m kx y +=代入椭圆方程1922=+y x 可得: 09918)19(222=−+++m kmx x k将1999,19182221221+−=+−=+k m x x k km x x 代入③中,可得:023=+m k ,于是,直线CD 的方程为k kx y 23−=,故其过定点)0,23(.解法2.设()06,P y ,则直线AP 的方程为:()()00363y y x −=+−−,即:()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得:()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,整理得:()2222000969810y x y x y +++−=,解得:3x =−或20203279y x y −+=+,将20203279y x y −+=+代入直线()039y y x =+可得:02069y y y =+,所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭. 同理可得:点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为:0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎛⎫⎛⎫−−⎝⎭−=−⎪ ⎪−+−++⎝⎭⎝⎭−++, 整理可得:()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫−−+=−=− ⎪ ⎪+++−−⎝⎭⎝⎭整理得:()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=− ⎪−−−⎝⎭,故直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3.不禁思考,为何此题使用三点共线就可成功地实现了设而不求,整体代入的思想呢?关键在于对椭圆方程的理解,即所谓的第三定义:))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=这样的话,在遇到与椭圆左右顶点有关的三点共线结构时,我们就可以通过斜率关系再利用点在椭圆上将))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=代入斜率式,从而构造出含21x x +与21x x 的方程,整体代入完成求解.而上面这个问题有着明显的极点极线背景:从直线t x =上任意一点P 向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点引两条割线21,PA PA 与椭圆交于N M ,两点,则直线MN 恒过定点)0,(2ta .2024届九省联考解析几何的深度探究的交点,求GMN面积的最小值.,由直线AB与直线1、x m=S=GMNS=MNG例2.过椭圆22221x y a b+=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a −<<作两条互相垂直的弦,AB CD ,若弦,AB CD 的中点分别为,M N ,那么直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫⎪+⎝⎭.证明:如图,设AB 的直线方程为x my s =+,则CD 的直线方程为1x y s m=−+ 联立方程组22221x my s x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()()2222222220m b a y b msy b s a +++−=则()()22222222221212222222240,,b s a msb a b m b a s y y y y m b a m b a−−∆=+−>+=⋅=++ 由中点坐标公式得22222222,a s msb M m b a m b a ⎛⎫− ⎪++⎝⎭ 将m 用1m −代换得到222222222,a sm msb N m a b m a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以MN 的直线方程为()()2222222222221a b m b sm a s y x b m a b m a a m +⎛⎫+=− ⎪++−⎝⎭令0y =,得222a sx a b =+.所以直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 二.对点训练的斜率均存在,求FMN面积的最大值解析:(1)由题意得1c =,2c a =(2)证明:①当直线AB ,CD 有一条斜率不存在时,直线2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭. 12FMNFPMFPNSSS=+=⨯S=FMN[2,∞+S取得最大值FMN。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

yxO3(,0)7E 73(,1)7F 619(0,)74F 519(,0)73F 42(1,)74F 323(0,)74F 25(,1)73F 13(1,)7F 解析几何初步2013年高考题精编一、直线及其方程(一)平面直角坐标系中的基本公式1 .(2013年辽宁(理))已知点30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a若为直角三角形则必有()A .3baB .31baaC .3310b ab aaD .3310b ab aa(2012年高考(大纲理))正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC上,37AE BF,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为()A .16B .14C .12D .10答案B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可.【解析】如图,易知3(,0)7E .记点F 为1F ,则13(1,)7F 由反射角等于入射角知,44173,得25(,1)73F 又由531734得323(0,)74F ,依此类推, 42(1,)74F 、519(,0)73F 、619(0,)74F 、73(,1)7F .由对称性知,P 点与正方形的边碰撞14次, 可第一次回到E 点.法二:结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可.(二)直线的方程1.(2013年新课标Ⅱ卷(理))已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C ,直线(0)yax b a 将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是()A .(0,1)B .21(1,)22( C) 21(1,]23D .11[,)32(2012年高考(浙江理))设a R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0显然平行;若直线l 1与直线l 2平行,则有:211a a ,解之得:a =1 or a =﹣2.所以为充分不必要条件.二、圆的方程及其应用(一)圆的方程:(二)点与圆、直线与圆、圆与圆之间的那些事儿1.(2013年山东(理))过点(3,1)作圆22(1)1x y的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为()A .230xy B .230x y C43x yD .43xy 2.(2012年高考(天津理))设m ,n R ,若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y1)=1x 相切,则+m n 的取值范围是()A .[13,1+3]B .(,13][1+3,+)U C .[222,2+22]D .(,222][2+22,+)U 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x相切,∴圆心(1,1)到直线的距离为22|(1)+(1)2|==1(1)+(1)m n d m n ,所以21()2m n mn m n ,设=t m n ,则21+14tt ,解得(,222][2+22,+)tU .3.(2012年高考(重庆理))对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222yx的位置关系一定是()A .相离B .相切C .相交但直线不过圆心D .相交且直线过圆心【答案】C 【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y 的距离为211211dr k,且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二:直线10kx y 恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,故选 C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r 时,直线与圆相交,当d r 时,直线与圆相切,当dr 时,直线与圆相离.4.(2012年高考(陕西理))已知圆22:40C xyx,l 过点(3,0)P 的直线,则()A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能解析: 2234330,所以点(3,0)P 在圆C 内部,故选 A.(2012年高考(天津理))如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,=3AF ,=1FB ,3=2EF ,则线段CD 的长为______________. 【答案】43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵=3AF ,=1FB ,3=2EF ,由相交弦定理得=AF FB EF FC ,所以=2FC ,又∵BD ∥CE,∴=AF FC AB BD ,4==23AB BD FC AF =83,设=CD x ,则=4AD x ,再由切割线定理得2=BD CD AD ,即284=()3x x ,解得4=3x ,故4=3CD .5.(2012年高考(浙江理))定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于C 2:x 2+(y +4) 2=2到直线l :y =x 的距离,则实数a =______________. 【答案】94【解析】C 2:x 2+(y +4) 2=2,圆心(0,—4),圆心到直线l :y =x 的距离为:0(4)222d ,故曲线C 2到直线l :y =x 的距离为22d d r d .另一方面:曲线C 1:y =x 2+a ,令20yx ,得:12x ,曲线C 1:y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离的点为(12,14a ),111()92442422a a da6.(2012年高考(江苏))在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150xyx ,若直线2y kx 上F ECDBA至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.【答案】43.【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离【解析】∵圆C 的方程可化为:2241x y,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为 1.∵由题意,直线2y kx 上至少存在一点00(,2)A x kx ,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点; ∴存在0x R ,使得11AC成立,即min2AC .∵min AC 即为点C 到直线2y kx的距离2421k k,∴24221k k,解得403k.∴k 的最大值是43.7.(2013年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:xy l ,设圆C的半径为,圆心在上. (1)若圆心C 也在直线1x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.xy AlO。

相关文档
最新文档