2015-2017解析几何全国卷高考真题版

2015-2017解析几何全国卷高考真题

1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值围是（ ）

（A ）（-

3，3） （B ）（-6，6）

（C ）（3-

，3） （D ）（） 【答案】A

【解析】由题知12(F F ，2

2

0012

x y -=，所以12MF MF •=

0000(,),)x y x y -•- =2220

003310x y y +-=-<，解得033

y -<<，故选 A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24

x y -+=

【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2

2

2

(4)2a a -=+，解得3

2

a =，故圆的方程为22325()24

x y -+=

. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2

4

x 与直线y kx a =+（a ＞0）

交与M,N 两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.

【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在

【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而

不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.

试题解析：

（Ⅰ）由题设可得)M a

，()N a -

，或()M a -

，)N a .

∵1

2y x '=，故24x y =在x

=

C

在,)a 处的切线方程为

y a x -=-

0y a --=.

故2

4x y =在x

=-处的到数值为

C

在(,)a -处的切线方程为

y a x -=+

0y a ++=.

0y a --=

0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=

+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()

k a b a

+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）

A ．26

B ．8

C ．46

D ．10 【解析】由已知得321143AB k -=

=--，27

341

CB k +==--，

所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为

22(1)(2)25x y -++=，令0x =

，得2y =±

，所以MN =C ．

考点：圆的方程．

5、（2015年2卷11题）．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）

A．5 B．2 C．3 D．2

【解析】设双曲线方程为

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>，如图所示，AB BM

=，0

120

ABM

∠=，过点M作MN x

⊥轴，垂足为N，在Rt BMN

∆中，BN a

=，3

MN a

=，故点M的坐标为(2,3)

M a a，代入双曲线方程得2222

a b a c

==-，即22

2

c a

=，所以2

e=，故选D．

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．

6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆222

:9(0)

C x y m m

+=>,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点(,)

3

m

m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b

=+(0,0)

k b

≠≠，

11

(,)

A x y，

22

(,)

B x y，(,)

M M

M x y．将y kx b

=+代入222

9x y m

+=得2222

(9)20

k x kbx b m

+++-=，故

12

2

29

M

x x kb

x

k

+

==-

+

，

2

9

9

M M

b

y kx b

k

=+=

+

．于是直线OM的斜率

9

M

OM

M

y

k

x k

==-，即9

OM

k k⋅=-．所以直