C03--中山市2004

中山市高一级2004—2005学年度第二学期期末统一考试数学科试卷
一、选择题（每小题4分，共40分） 1. sin 120︒= ( )
A.
12
B. 12
-
C.
2
D. 2
-
2. 在算法中，下列语句正确的是 ( )
A. 5x y +=
B. A=A+1
C. 8=x
D. 23x y +=-
3. 把89化为五进制数，则此数为 ( )
A. 322(5)
B. 323(5)
C. 324(5)
D. 325(5)
4. 下列命题正确的是 ( )
A.||||a b a b =⇒=
B. ||||a b a b >⇒>
C. //a b a b ⇒=
D. →→→=⇒=0
0||a a
5.
1tan 151tan 15+︒=
-︒
( )
3
2
6
6. 一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中
抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为 ( ) A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7. 函数2sin(2)2
y x π
=+是 ( )
A. 周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数 8. 如果事件A 与事件B 为互斥事件，记A 的对立事件为A ，B 的对立事件为B ，则 ( )
A.A 与B 为对立事件
B.A 与B 一定互斥
C.A 与B 一定不互斥
D.A 与B 不一定互斥 9. 以下有四种说法:
①正切函数在其定义域内是增函数 ②sin 1sin 2sin 3<<
③生产过程中的质量控制图的主要依据是小概率事件在一次实验中几乎不可能发生原理 ④由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程 :l y bx a =+，则l 一定经过点(,)P x y .
以上四种说法，正确的有 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 在区间[1,1]-上任取三点，则它们到原点O 的距离平方和小于1的概率为 ( )
A.
9
π
B.
8
π
C.
6
π
D.
4
π
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 已知(1,2),(2,)a b k ==-
，若a b ⊥ ，则实数k 的值为 12. 若1sin cos 5
αα-=
，则sin 2α=
13. 计算：cos15°+sin15°= .
14. 若数据123,,,,n x x x x 的平均数x =5，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++ 的方差为
三、解答题（共5小题. 15题8分，16、17、18、19题各9分，合计44分）
15.（1）化简
)
2
cos(
)cos()
2
sin(
)sin(απαπαπαπ++--（4分）（2）若tan 2α=，求
2
sin cos cos sin cos ααα
αα
++-之值（4分）
16.设(5,7),(6,4)a b =-=--
，求a b ⋅ 及a 、b 间的夹角θ（精确到1°）
17.已知函数1sin(),2
3
y x x R
π
=+
∈。

（1）求函数y 的最大值及y 取最大值时x 的集合； （2）求函数y 的单调递减区间； （3）将函数1
sin()
23
y x π
=+
的图象作怎样的变换可得到sin y x =的图象？
18. （1）有4个人，每个人都等可能地被分配到8个房间中的任意一间去住（每个房间可住任意个人），求下列两个事件的概率（结果用分数表示）。

① 编号为1，2，3，4的4个房间各有一个人住；② 恰好有4个房间，其中各住一个人； （2）某班级有50人，则至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？（一年以365天计，只需列出式子，无需计算出结果）。

19. 已知向量33
(cos ,sin ),(cos
,sin
)
22
22x
x a x x b ==- ，且[0,
]2x π
∈，求：
（1）a b ⋅ 及||a b +
； （2）若()2||f x a b a b λ=
⋅-+ 的最小值为32-
，求实数λ的值。

参考答案
一、CBCDA BBDBC 二、11. 1
12.
2425
13.
2
6
14. 18
三、15．（1）解：原式=
sin cos 1cos (sin )
αααα=-⋅-
（2）解：原式2
2
sin 1
1tan 11cos sin 1tan tan 1
1tan 1
cos α
αα
α
α
αα
α
++=+=
+
+-+-……（3分）
2
2111621
12
5
+=
+=
-+……（4分）
16．解：5(6)(7)(4)2a b ⋅=⨯-+-⨯-=-
……（3分）
又||a ==
4分）
||b ==
5分）
cos ||||a b a b θ⋅===-⋅ ……（7分） 由计算器，得cos 0.03θ≈-……（8分）
92θ≈︒……（9分）
17．解：（1）当1
sin()12
3
x π
+
=时，y
取最大值m ax 1y =，此时……（1分）
12,23
2
x k k Z
π
π
π+
=+
∈即4,3x k k Z
π
π=+∈……（2分）
y
∴取最大值1时，x 的集合为{|4,}3
x x k k Z π
π=+
∈……（3
分）
（2）令123
z x π
=
+
，则sin y z =……（4分）
sin y z =的单调递减区间为)](2
32,22[Z k k k ∈+
+πππ
π
由1322,()2
2
3
2
k x k k Z π
π
πππ+
≤
+
≤+∈得……（5分）
Z k k x k ∈+
≤≤+
,3
7434πππ
π……（6分）
又12
3
z x π
=
+
在(,)-∞+∞上为增函数，故原函数的单调递减区间为：
)](3
74,3
4[Z k k k ∈+
+
πππ
π……（7分）
（3）法一：将1
sin()
2
3
y x π
=+
的图象的横坐标变为原来的12
，再将所得图象向右平移
3
π
个单
位。

……（9分）
法二：将1s i n ()2
3
y x π
=+
的图象向右平移
23
π个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的
12。

……（9分）
18．解：（1）①设A={编号为1，2，3，4的4个房间各有一个人住}，则
则4
44()8
A P A =
……（2分）
432138888
512
⨯⨯⨯=
=
⨯⨯⨯……（3分）
②设B={恰好有4个房间，其中各住1人} 则4
4
844()8
C A P B =
(或
)8
4
4
8A ……（5分）
87651058888
256
⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯……（6分）
（2）设C={至少有两个人的生日在同一天}
则P(C)=1—P{每个人的生日均不相同}……（7分）
50
50
36550501365
C A =-
（或)365
150
50
365A -
……（9分）
19．解：（1）33cos cos sin sin cos 22222
x x x x a b x
⋅=-= ……（1分）
||a b +=
2|cos |x =
==……（2分）
又0cos ]2
,
0[≥∴∈x x π
从而||2cos a b x +=
……（3
分）
（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--
12)(cos 22
2
---=λλx ……（4
分）
由于[0,
]2
x π
∈ 故0cos 1x ≤≤……（5分）
①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾…（6分） ②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由2
3122-
=--λ及01
λ≤≤得12
λ=
……（7分）
③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142
λ-=-，得58
λ=
与1
λ>矛盾……（8分） 综上所述，12
λ=
即为所求。

……（9分）。