南京市2016届第一次高中三年级学情调研考试(数学)

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江苏省南京市2016届高三第三次学情调研适应性测试数学试题

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合M ＝{0，2，4}，N ＝{x |x ＝2a，a ∈M }，则集合M ∩N ＝ ▲ ．【答案】{0,2}.考点：集合运算2.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得(1 考点：复数的模3.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ．【答案】2.3【解析】试题分析：由题意得：232.1243m m m --=≠⇒=- 考点：两直线位置关系4.某学校有A ，B 错误！未找到引用源。

两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．【答案】3.4【解析】试题分析：甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种基本事件，其中三人在同一个食堂用餐包含两种基本事件，因此所求概率为231.84-= 考点：古典概型概率5.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．（第5题）【答案】20.考点：循环结构流程图6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出▲ 人.【答案】25 【解析】试题分析：由题意得：0.000550010025⨯⨯= 考点：频率分布直方图7.已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号)①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β ③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④ 若l ⊥α，l //β，则 α⊥β 【答案】④ 【解析】试题分析：①若l ∥α，l ∥β，则l 可平行两平面的交线，所以为假命题；②若α⊥β，l ∥α，则l 可平行两平面的交线，所以为假命题；③若l ∥α，α∥β，则l 可在平面β内，所以为假命题；④若l ⊥α，l //β，则l 必平行平面β内一直线m ，所以m ⊥α，因而α⊥β为真命题考点：线面关系判定8.如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．【答案】80.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距（第6题）（第8题）考点：抛物线方程9.已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0错误！未找到引用源。

南京市2015-2016学年度第一学期期末高一数学调研(word文档良心出品).doc

南京市2015－2016 学年度第一学期期末学情调研高一数学2016.01 注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第14 题）、解答题（第15 题~第20 题）两部分．本试卷满分为100 分，考试时间为100 分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案．．．写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 3 分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数 f ( x)＝1x –3的定义域是▲．2．集合{0 ，1} 的子集的个数为▲．3．求值：log 345－log35＝▲．4．已知角的终边经过点P(2，－1)，则sin 的值为▲．2．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为▲cm6．函数 f ( x)＝cos (x－3)，x [0，2]的值域是▲．2，b＝log20.3，c＝20.3 之间的大小关系是▲（用a，b，c 表示，并用“＜”7．三个数a＝0.3连结）．8 y sin2x．将函数＝的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是▲．6FDC9．如图，在矩形ABCD 中，已知AB＝3，AD＝2，→且BE→＝EC→，DF ＝1→2 FC→，则AE→·BF ＝▲．EA B（第9 题）3－log2x 的零点为x0，若x0 (k，k＋1)，其中k 为整数，则k＝▲．10．已知函数 f (x)＝x高一数学期末调研第 1 页共9 页11．已知函数 f (x)＝x，x≤0，eln x，x＞0，12其中 e 为自然对数的底数，则 f [f()]＝▲．12．已知定义在实数集R 上的偶函数 f (x)在区间[0，＋)上是单调增函数，且 f (lg x)＜f (1)，则x 的取值范围是▲．x－3×2x＋1－2 的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是▲．13．若函数 f (x)＝m·414．若函数 f (x)＝sin(ωx＋3) (ω＞0) 在区间[0，2 ]上取得最大值 1 和最小值－ 1 的x 的值均唯一，则ω的取值范围是▲．．．．．．．．．二、解答题：本大题共 6 小题，共58 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8 分）4已知sin x＝，其中0≤x≤．5 2（1）求cos x 的值；cos(－x)（2）求的值．sin( 2－x) －sin(2 －x)16．（本小题满分10 分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4) ．（1）求a·(b＋c)；（2）若(a＋b)∥c，求实数的值．高一数学期末调研第 2 页共9 页17．（本小题满分10 分）经市场调查，某商品在过去20 天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足： f (t )＝－t＋30(1≤t≤20，t N*) ，日销售价格(单位：元)近似地满足：g( t)＝2t + 40，1≤t≤10，t N* ，15，11≤t≤20，t N* ．（1）写出该商品的日销售额S 关于时间t 的函数关系；（2）当t 等于多少时，日销售额S 最大？并求出最大值．18．（本小题满分10 分）已知函数 f (x)＝A sin( x＋) （A＞0，＞0，0＜＜2 ）的部分图象如图所示，5且f (0)＝f (6 )．y（1）求函数 f ( x)的最小正周期；（2）求f (x)的解析式，并写出它的单调增区间．●●xO566–2（第18 题）高一数学期末调研第 3 页共9 页19．（本小题满分10 分）已知|a |＝10，| b |＝5，a·b＝－5，c＝x a＋(1－x) b．（1）当b c 时，求实数x 的值；（2）当| c |取最小值时，求向量 a 与c 的夹角的余弦值．20．（本小题满分10 分）对于定义在[0，＋)上的函数 f ( x)，若函数y=f ( x)－( a x＋b)满足：①在区间[0，＋)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g (x)＝ax＋b 为f (x)的“渐近函数”．2＋2x＋3x（1）证明：函数g(x)＝x＋1 是函数 f ( x)＝，x [0，＋)的渐近函数，并求此时实x＋1数p 的值；（2）若函数 f ( x)＝x2＋1，x [0，＋)的渐近函数是g (x)＝ax，求实数 a 的值，并说明理由．高一数学期末调研第 4 页共9 页南京市2015－2016 学年度第一学期期末学情调研高一数学参考答案2016.01 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 3 分，共42 分．1．(3，＋) 2．4 3．2 4．－5 512，1] 7．b＜a＜c 8．y＝sin(2x－5．9 6． [3)12 9．－4 10．2 11．1，10) 12．(107 13．(0，＋) 14．[，12 13) 12二、解答题：本大题共 6 小题，共58 分．15．解（1）因为sin 2 2x ＋cos x＝1，所以cos 2 2x＝1－sin x＝1－( 45)2＝9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分25又因为0≤x≤2 ，故cos x≥≤0，所以cos x＝35．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）原式＝cosx cosx―(―sinx)cosx＝cosx＋sinx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分35 ＝35＋3＝．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分4 75高一数学期末调研第 5 页共9 页16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）因为a＋b＝(2，－1)＋(3 ，－2 )＝(2＋3 ，－1－2 )，又(a＋b)//c，所以4(2＋3 ＝3(－1－2 )，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分解得＝－1118．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分17．解（1）由题意知，S＝f (t)·g( t)＝(2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，t N* ，15(－t＋30)，11≤t≤20，t N*．⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）当1≤t≤10，t N*时，2＋20 t＋1200＝－2 (t－5)2＋1250．S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2 t因此，当t＝5 时，S 最大值为1250；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分当11≤t≤20，t N* 时，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450 为减函数，因此，当t＝11 时，S 最大值为285．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分综上，S 的最大值为1250．答：当t＝5 时，日销售额S 最大，最大值为1250 元．⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝0＋256＝5，⋯⋯⋯⋯ 2 分12则T4＝5－12 6＝，即T＝．4所以函数的最小正周期是π．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）由图可知，A＝2，因为T＝，所以＝2T＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分5 5 又f( )＝－2，所以 2 sin(12 65＋)＝－2，即sin(6＋)＝－1，因此56＋＝2k －，即＝2k －243，k∈Z．因为0＜＜2 ，所以＝23．高一数学期末调研第 6 页共9 页所以函数的解析式为 f (x)＝2sin(2x ＋所以函数的解析式为 f (x)＝2sin(2x ＋2 3 )． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分由 2k － 2 ≤2x ＋2 3≤2k ＋，k ∈Z ， 27解得 k － ≤x ≤k －，k ∈Z ，12 12所以函数的单调增区间为 [k －7 ， k －]，k ∈Z ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分121219．解（1）b ·c ＝b ·[x a ＋(1－x) b ]2＝x b ·a ＋(1－x) b＝x ×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得 x ＝1 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）|c |2＝[x a ＋(1－x) b ] 2＝x 2a 2＋2x(1－x) a ·b ＋(1－x)2 b 22－10 x (1－x)＋5(x －1)2＝10x2－20 x ＋5＝25x22＋1．＝25( x －5)所以，当 x ＝2 5时， | c | 2有最小值 1，即| c |有最小值 1． ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2有最小值 1，即| c |有最小值 1． ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2 此时， c ＝ 5a ＋3 5b ．2 5又 a ·c ＝a ·（a ＋3 b ） 5 ＝2×10＋32＋3 2 a a ·b ＝×(－5)＝1．5 5 5 5设向量 a ，c 的夹角为，则cos ＝a·c 1＝＝| a ||c |1×1010．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1020．解（1）由题意知， f (x)－x－1＝2＋2x＋3 2＋2x＋3－(x＋1)2x x－x－1＝x＋1 x＋1＝2．x＋12易知，函数y＝在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．x＋ 1所以，函数g(x)＝x＋1 是函数 f ( x)＝2＋2x＋3x，x [0，＋)的渐近函数，x＋ 1此时p＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分高一数学期末调研第7 页共9 页（2）①当a＞1 时，考察函数y＝x2＋1－ax，令y＝0，得x2＋1＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝ 12－1，a因为x≥0，所以x＝1，即x＝2－1a1时，函数y＝x2＋1－ax 的值为0．2＋1－ax 的值为0．2－1a因此，函数y＝x2＋1－ax 的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax 不是函数 f ( x)＝x2＋1的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分②当a＝1 时，考察函数y＝x2＋1－x，由于x ，下面考察t＝x2＋1－x＝ 12＋1＋x．2＋1＋x x任取x1，x2 [0，＋)，且x1＜x2，2 2则t1－t2＝x1＋1＋x1－x2＋1－x22 2＝x1＋1－x2＋1＋x1－x2＝2 21－xx22 21＋1 + x2＋1x＋x1－x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋1)＜0，2 21＋1＋x2＋1x所以函数t＝x2＋1＋x 在[0，＋)上单调递增，又当x 无限增大时，t 的值也无限增大，所以t 的取值范围是[1，＋)．因为函数y＝1t在(0，＋）单调递减，从而函数y＝x2＋1－x 在[0，＋）单调递减，且值域为(0，1] ．所以g(x)＝x 是f (x)＝x2＋1的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分③当0＜a＜1 时，方法（一）y＝x2＋1－ax＝( x2＋1－x)＋(1－a) x因为x2＋1－x (0，1]，所以y＞(1－a)x．假设y＝ax 是f (x)＝x2＋1的渐近函数，则y＝x2＋1－ax 的值域为(0，p]，故y的最大值为p．设(1－a)x＝p，则x＝p ，当x＞p1－a 1－a时，必有y＞p，矛盾．所以，此时g(x)＝ax 不是函数 f ( x)的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分高一数学期末调研第8 页共9 页方法（二）记F (x)＝x2＋1－ax，则 F (0)＝1，2＋1－ax＝1，即x2＋1＝ax＋1，解得x＝2a2a由x 2＞0，即F (0)＝F(2)，1－a 1－a所以函数y＝x2＋1－ax 在[0，＋)上不单调，所以g(x)＝ax 不是函数 f ( x)的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分④若a≤0，则函数y＝x2＋1－ax 在[0，＋)上单调递增，不合题意．综上可知，当且仅当a＝1 时，g(x)＝x 是函数 f (x)＝x2＋1的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分高一数学期末调研第9 页共9 页。

高中数学 2023-2024学年江苏省南京市高三(上)学情调研数学试卷(零模)(9月份)

2023-2024学年江苏省南京市高三（上）学情调研数学试卷（零模）（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．A ．{x |3≤x <4}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |1≤x <4}1．（5分）已知集合A ={x |x 2-4x +3≤0}，B ={x |2<x <4}，则A ∩B =（）A ．2B ．-2C ．2iD ．-2i2．（5分）复数z =3−i 1+i的虚部为（）A ．6B ．-6C ．24D ．-243．（5分）（x -2x）4展开式中的常数项为（）A ．m -2nB ．m +2nC ．2m +nD ．-m +2n4．（5分）在△ABC 中，D 为AB 边的中点，记CA =m ，CD =n ，则CB =（）→→→→→→→→→→→→→A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．（5分）设O 为坐标原点，A 为圆C ：x 2+y 2-4x +2=0上一个动点，则∠AOC 的最大值为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．（5分）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过点B 的平面α与直线A 1C 垂直，则α截该正方体所得截面的形状为（）7．（5分）新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v0，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m .已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v （v >1），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t 的函数关系为ρ（t ）=（1-λ）m v 0+λm v 0e -vt ，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为45，且t =1时室内空气中颗粒物的浓度是t =2时的32倍，则v 的值约为（参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986）（）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．A ．1.3862B ．1.7917C ．2.1972D ．3.5834A ．（0，π2）B ．（π2，3π2）C ．（π2，5π2）D ．（π2，+∞）8．（5分）若函数f （x ）=sin （ωcosx ）-1（ω>0）在区间（0，2π）恰有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．a b>-1B ．|a |<|b |C ．1a+1b >0D ．（a -1）（b -1）<19．（5分）若a <0<b ,且a +b >0，则（）A ．平均数为2B ．中位数为2C ．方差为2D ．标准差为210．（5分）有一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，已知5i =1x i =10，5i =1x 2i=30，则该组数据的（）A ．CD ⊥A ′BB ．当A ′D ⊥BD 时，三棱锥A ′-BCD 的体积为83C ．当A ′B =23时，二面角A ′-CD -B 的大小为2π3D ．当∠A ′DB =2π3时，三棱锥A ′-BCD 的外接球的表面积为20π11．（5分）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =22，D 是AB 的中点．将△ACD 沿CD 翻折，得到三棱锥A ′-BCD ，则（）√√A ．y =f （x ）+x 为偶函数B ．f （x ）的图象关于直线x =1对称C ．f '（0）=1D ．f '（x +2）=f '（x ）+212．（5分）函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，且f （x ）-f （-x ）=2x ,f '（1+x ）+f '（1-x ）=0，则（）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （3，4），则sin （π+α）= ．14．（5分）某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为．15．（5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n =V Y Y W Y Y X 2n (n +2)，n 为奇数，a n −1，n 为偶数，则S 8=．16．（5分）已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 右支上一点，线段PF 1与C 的左支交于点M ．若∠F 1PF 2=π3，且|PM |=|PF 2|，则C 的离心率为．17．（10分）已知公比大于1的等比数列{a n }满足：a 1+a 4=18，a 2a 3=32．（1）求{a n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =2b n -a n ，n ∈N *，证明：{b n a n}是等差数列．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知asinB +3bcosA =0．（1）求A ；（2）若a =3，sinBsinC =14，求△ABC 的面积．√19．（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A ，B 两门学科成绩作为样本．将他们的A 学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B 学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A 学科良好与B 学科良好有关；B 学科良好B 学科不够良好合计A 学科良好A 学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A ，B 学科均良好的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．附：K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .P （K 2≥k 0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82820．（12分）如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA =BF =3，AD =3，点G 是线段BF 的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ；（2）求直线EF 与平面DAF 所成角的正弦值．√21．（12分）已知O 为坐标原点，F （1，0）是椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．当A 为短轴顶点时，△AOF 的周长为3+3．（1）求C 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ，M 为线段AB 的中点，求|PM |⋅|PQ |的取值范围．√22．（12分）已知函数f （x ）=ae x -x -a ,其中a >0．（1）若a =1，证明：f （x ）≥0；（2）设函数g （x ）=xf （x ），若x =0为g （x ）的极大值点，求a 的取值范围．。

高三第一次学情调研数学试题(A)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）连云港外国语学校2016届高三第一次学情调研数学试卷 2015、8、25一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A ⋃中元素的个数为_______ 2．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）． 3．不等式224x x-<的解集为________4．已知角α的终边上有一点(3,4)P -，则sin 2cos αα+=5．设函数()221, 12, 1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 6．已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()12120x x f x f x -⎡-⎤>⎣⎦，则()()12, 1, 2f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______________________．8．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为__________9．已知A 、B 、C是直线l上的三点，向量,,OA OB OC 满足()[2'(1)]ln OA f x f x OB x OC =+-⋅，则函数()y f x =的表达式为_______10．已知命题12-2x x p y R -=:函数在上为增函数，2:2+2x x p y R -=函数在上为减函数，则在命题①12p p ∨ ②12p p ∧ ③()12p p ⌝∨ ④()12p p ∧⌝中真命题是_______11．已知点P 是曲线3103y x x =-+上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为_____________________12. 已知函数x m x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8π=x ，则f(x)的单调递增区间为_________________ 13. 已知函数21(),()241f x xg x x ax x =-=-++，对于任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=)0(22)0(45)(2x x x x x x f ，若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a的取值范围是______________二、简答题（共6小题，90分） 15、（本题满分14分）化简与求值：（1）)3tan()2sin()sin()2cos(απαπαπαπ-++-．（2）170cos 110cos 10cos 10sin 212---16、（本题满分14分）已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.17、（本题满分14分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．18、（本题满分16分）已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()ln(2)f x x =+. (1)当0x <时，求()f x 的解析式；(2)当m R ∈时，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小；(3)求最小的整数(2)m m ≥-，使得存在实数，对任意的[,10]x m ∈，都有()2ln |3|f x t x +≤+.19、（本题满分16分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE .（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；（2）若2cos sin =+θθ，求此时管道的长度L ；（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度. 20、（本题满分16分）设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （1）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求)(x f 的极小值；（2）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数；（3）若对任意1)()(,0<-->>ab a f b f a b 恒成立，求m 的取值范围.ABC D EFHθ连云港外国语学校2016届高三第一次学情调研数学答案1、5；2、充分不必要 6、-3 8、3/2 9、y=lnx-2x/3+1 10、（1），（4） 11、y=2x+19 13、a>=9/4,14、 (1,2)16、解:(1)∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴10sin()10αβ-=-(2)由(1)可得,310cos()10αβ-=. ∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-=4310310()510510⨯+⨯-=9105017、（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f 所以，函数)(x f 的最小正周期为π．由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ），得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ），所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）．（2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ．又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ，所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ．18、解: (Ⅰ)当0x <时， ()()ln(2)f x f x x =-=-+(Ⅱ)当0x ≥时,()ln(2)f x x =+单调递增,而()f x 是偶函数,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减, 所以(1)f m -＞22(3)|1||3|(1)(3)f m m m m m -⇔->-⇔->-2m ⇔> 所以当2m >时, (1)(3)f m f m ->-；当2m =时, (1)(3)f m f m -=-；当2m <时, (1)(3)f m f m -<-(Ⅲ)当x R ∈时,()ln(||2)f x x =+,则由()2ln |3|f x t x +≤+, 得2ln(||2)ln(3)x t x ++≤+,即2||2(3)x t x ++≤+对[,10]x m ∈恒成立…从而有225777t x x t x x ⎧≤++⎨≥---⎩对[,10]x m ∈恒成立,因为2m ≥-，所以22min 22max (57)57(77)77t x x m m t x x m m ⎧≤++=++⎨≥---=---⎩因为存在这样的t ,所以227757m m m m ---≤++,即2670m m ++≥…………………又2m ≥-,所以适合题意的最小整数1m =-………19、解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ= …………2分 θθcos sin 10=EF ……………………………………………………4分由于10tan 103BE θ=⋅≤，10103tan AF θ=≤ 3tan 33θ≤≤， [,]63ππθ∈……………………………………………5分 101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππθ∈.………………………6分 (2) 2cos sin =+θθ时，21cos sin ==θθ,…………………………………8分 )12(20+=L ;……………………………………………………………9分（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅ 设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2t θθ-⋅=………………………………11分由于[,]63ππθ∈，所以31sin cos 2sin()[,2]42t πθθθ+=+=+∈ …13分 201L t =-在31[,2]2+内单调递减，于是当312t +=时,63ππθθ==时L 的最大值20(31)+米. ………………………………………………………15分答：当6πθ=或3πθ=时所铺设的管道最短，为20(31)+米.…………16分20.解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，则2)(xe x xf -='， ∴ 当)(,0)(),,0(x f x f e x <'∈在),0(e 上单调递减，当)(,0)(),,(x f x f e x >'+∞∈在),(+∞e 上单调递增，∴ e x =时，)(x f 取得极小值e ee ef +=ln )(=2，∴ )(x f 的极小值为2.（2）由题设),0(313)()(2>--=-'=x xx m x x x f x g 令0)(=x g ，得).0(313>+-=x x x m 设),0(31)(3≥+-=x x x x ϕ则)1)(1(1)(2-+-=+-='x x x x ϕ，当)1,0(∈x 时，,0)(>'x ϕ)(x ϕ在)1,0(上单调递增；当),1(+∞∈x 时，,0)(<'x ϕ)(x ϕ在),1(+∞上单调递减.∴ 1=x 是)(x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1=x 也是)(x ϕ的最大值点， ∴ )(x ϕ的最大值为32)1(=ϕ. 又0)0(=ϕ，结合)(x y ϕ=的图像，可知①当32>m 时，函数)(x g 无零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且只有一个零点；③当320<<m 时，函数)(x g 有两个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有一个零点.综上所述，当32>m 时，函数)(x g 无零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且只有一个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有两个零点.（3）对于任意的1)()(,0<-->>ab a f b f a b 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立)(* 设),0(ln )()(>-+=-=x x xmx x x f x h ∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. 由011)(2≤--='x m x x h 在),0(+∞恒成立，得)0(41)21(22>+--=+-≥x x x x m 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立），∴m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41.。

江苏省南京市2016届高三上学期学情调研考试_数学

南京市2016届高三学情调研考试--数学参考公式1 n__1 n样本数据X 1, X 2,...,x n 的方差s 2=-刀(X i-X )2，其中X =-刀X i .n i = 1n i = 1锥体的体积公式： V = gsh ,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.3一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1. 已知集合 A = { — 1, 0, 1 , 2} , B = {X |X 2- 1 > 0}，贝V A H B =▲.2. 已知复数z 满足：z(1 - i) = 2+ 4i ，其中i 为虚数单位，则复数 z 的模为 ▲.3. 某射击选手连续射击 5枪命中的环数分别为：9.7, 9.9, 10.1 , 10.2, 10.1，则这组数据的方差为▲ .4. __________________________________________________________________________ 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ______________________ ▲5. 已知向量 a = (1, 2), b = (m , 4)，且 a // (2a + b)，则实数 m 的值为 ▲ 6•如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ▲(第6题图)7.如图，它是函数 f(x) = Asin( x + )(A >0, >0,[0,2 ))图象的一部分，则f(0)的值为=1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线的方程为2X - y = 0，则该双曲线的离心率为8.已知双曲线尹9. 直三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均为2, E为棱CC1的中点，则三棱锥A1- B1C1E的体积10. 对于直线I, m，平面a, m a,则"I丄m”是"I丄a成立的▲条件.（在"充分不必要”“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）11.已知函数f(x)= 3x3+ X2—2ax+ 1,若函数f(x)在(1, 2)上有极值, 则实数a的取值范围为12. 已知平行四边形ABCD中，AD = 2,Z BAD = 60。

高三数学-南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学试题

2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅰ说明:本试卷共20题，总分160分，考试时间120分钟．请将答案填写在答卷纸上．一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在答卷纸相应位置上． 1．已知集合M ＝{0，2，4}，N ＝{x |x ＝a2，a ∈M }，则集合M ∩N ＝ ▲ ．2．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 ▲ ．3．若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ． 4．某学校有A ，B 错误！未找到引用源。

两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 5．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出 ▲ 人.7．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号)①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ②若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β ③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④若l ⊥α，l //β，则 α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．（第5题）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距（第6题）9．已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0，则acb错误！未找到引用源。

的最大值为 ▲ ． 10．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，b ＝3，sin C ＝2sin A ，则ΔABC的面积为 ▲ ．11．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项的和，若S 2≥4，S 4≤16，则a 5的最大值是 ▲ ． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为 ▲ ． 13．在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP→的最小值是 ▲ ．14．用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x ，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，若h (x )有3个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二､解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．（1）当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；（2）当θ∈[0，π2]时，求|AB →|的最大值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点. （1）求证：DE //平面ACF ；（2）若AB ＝2CE ，在线段EO 上是否存在点G ，使得CG ⊥平面BDE ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.（第16题）17．(本小题满分14分)如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB ＝x 公里，AC ＝y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．(本小题满分16分)已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180º．（i ）当A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（ii ）是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)（第18题）(第17题)A D l 1 l 2B Cx y 1120o（第21—A 题）已知函数g (x )＝2a ln x ＋x 2－2x ，a ∈R ．（1）若函数g (x )在定义域上为单调增函数，求a 的取值范围；（2）设A ，B 是函数g (x )图象上的不同的两点，P (x 0，y 0)为线段AB 的中点．（i ）当a ＝0时，g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线AB 是否平行？说明理由；（ii ）当a ≠0时，是否存在这样的A ，B ，使得g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线AB 平行？说明理由．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *）．（1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2．（i ）记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；（ii ）若数列{an n}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条件．2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅱ 附加题部分说明：本试卷共4小题，满分40分，考试时间30分钟．请将答案填写在答卷纸上． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 (本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)（第22题）变换T 1是逆时针旋转π2角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎡⎦⎤1 10 1．（1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程.C ．选修4—4：坐标系与参数方程 (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求AB 的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲 (本小题满分10分)已知：a ≥2，x ∈R ．求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线与抛物线交于A ，B 两点．设A （x 1，y 1）到准线l 的距离为d ，且 d ＝λp （λ＞0）．（1）若y 1＝d ＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM →＋λAB →＝0，求证：直线AB 的斜率为定值．23．（本小题满分10分）设f (n )＝(a ＋b )n （n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ．（1）求证：f (7)具有性质P ；（2）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅰ参考答案与评分建议一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {0，2} 2．(1，5) 3．23 4．34 5．20 6．257． ④ 8． 8 9．61210．3 11．9 12． 5π613．－116 14．(－54，－34)二､解答题:本大题共6小题，共计90分．15、解：（1）由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， ……………… 2分当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32， …… 4分－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝(1＋32，－62). ……………… 6分（2）因为 AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，所以 |AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ……………… 8分＝1－sin2θ＋2sin 2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ＝2－2sin(2θ＋π4). …………10分因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4. …… 12分所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值2－2×(－22)＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值3. ……………… 14分16、（1）证明：连接OF 由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点又F 为BE 的中点，所以OF //DE ……………… 2分又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF所以DE //平面ACF ……………… 6分(2) 解：在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE ，证明如下：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E －ABCD 中AB ＝2CE ，CO ＝22AB ＝CE ，所以CG ⊥EO ………… 8分又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC ⊥BD ……………… 10分由四边形ABCD 是正方形可知，AC ⊥BD 又AC ∩EC ＝C所以BD ⊥平面ACE ，而BD ⊂平面BDE ……………… 12分所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ∩平面BDE ＝EO因为CG ⊥EO ，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE … 14分17解：(1)由S ΔABD ＋S ΔACD ＝S ΔABC得12x sin60º＋12y sin60º＝12xy sin120º …………… 2分所以x +y =xy ，所以y ＝xx －1 …………… 4分又0＜y ≤5，0＜x ≤5，所以54≤x ≤5所以定义域为{x |54≤x ≤5} ……………… 6分(2)设△ABC 的面积为S ，则结合（1）易得方法一：S ＝12xy sin A ＝12x ·x x －1·sin120º＝3x 24(x －1)，(54≤x ≤5)x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，…………10分当仅当x －1＝1x －1，x ＝2时取等号.故当x =y =2时，面积S 取最小值3（平方公里） ……… 12分方法二：S ＝S ΔABD ＋S ΔACD ＝12x sin60º＋12y sin60º＝34(x ＋xx －1)＝34(x ＋x －1＋1x －1)＝34(x ＋1x －1＋1) ＝34[(x －1)＋1x －1＋2]≥ 3 …………10分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号．故当x =y =2时，面积S 取最小值3（平方公里） ………12分答：该渔民总共至少可以围出3平方公里的养殖区． …………14分18、解：（1）设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝(x ＋1)2＋y 2， …………2分d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22化简得：x 22＋y 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1…………4分（2）（i ）由（1）知A (0，1)，又F (－1，0)，∴k AF ＝1－00－(－1)＝1，∵∠OF A ＋∠OFB ＝180º，∴k BF ＝－1，∴直线BF 方程为：y ＝－1(x ＋1)＝－x －1 …………6分代入x 22＋y 2＝1得：3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，代入y ＝－x －1得⎩⎨⎧x ＝0y ＝－1（舍）或⎩⎨⎧x ＝－43y ＝13，∴B (－43，13).，k AB ＝1－130－(－43)＝12 ∴直线AB 的方程为：y ＝12x ＋1 …………9分（ii ）解法一：由于∠OF A ＋∠OFB ＝180º，所以k AF ＋k BF ＝0 ……11分设直线AB 方程为：y ＝kx ＋b ，代入x 22＋y 2＝1得：(k 2＋12)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2kbk 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋12…………13分所以，k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝0所以，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2＋12＋2b ＝0∴b －2k ＝0，所以直线AB 方程为：y ＝k (x ＋2)所以直线l 总经过定点M (－2，0) ……16分解法二：由于∠OF A ＋∠OFB ＝180º，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上 …………11分设直线AF 方程：y ＝k (x ＋1)，代入x 22＋y 2＝1得：(k 2＋12)x 2＋2k 2x ＋k 2－1＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B 1(x 2，－y 2)且x 1＋x 2＝－2k 2k 2＋12，x 1x 2＝k 2－1k 2＋12…………13分∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，AB ：y －y 1＝y 1－y2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得： x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1－y 2＝x 2y 1－x 1y2y 1－y 2∵y 1＝k (x 1＋1)，－y 2＝k (x 2＋1)∴x ＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2＝x 2×k (x 1＋1)＋x 1×k (x 2＋1)k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝2×k 2－1k 2＋12－2k 2k 2＋122－2k 2k 2＋12＝－2．直线l 总经过定点M (－2，0) …………16分19、解：（1）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∵g ′(x )＝2ax ＋2x －2＝2(x 2－x ＋a )x，若函数g (x )在定义域上单调增，则由g ′(x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即x 2－x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a ≥－x 2＋x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋x ，x ∈(0，＋∞)，易得h (x )max ＝14，∴a ≥14． …………4分（2）（i ）a ＝0时，g (x )＝x 2－2x ，g ′(x )＝2x －2，g ′(x 0)＝2x 0－2， ∴k AB ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝(x 1＋x 2－2)(x 1－x 2)x 1－x 2＝x 1＋x 2－2＝2x 0－2∴函数在Q(x 0，g(x 0))点处的切线与直线AB 平行． …………8分（ii ）当a ≠0时，若存在A (x 1，g (x 1))，B (x 2，g (x 2))(0＜x 1＜x 2) ，使得g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线AB 平行，则有g ′(x 0)＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，即2ax 0＋2x 0－2＝(2a ln x 1＋x 21－2x 1)－(2a ln x 2＋x 22－2x 2)x 1－x 2 又因为x 0＝x 1＋x 22，∴2ax 1＋x 22＋x 1＋x 2－2＝2a ln x 1x 2x 1－x 2＋x 1＋x 2－2 ∴即ln x 1x 2＝2(x 1－x 2)x 1＋x 2(* )设x1x 2＝t ，则(* )式整理得ln t ＝2(t －1)t ＋1，问题转化成该方程在(0，1)上是否有解． …………12分设函数h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，则g ′(x )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2≥0，所以函数h (t )在(0，＋∞)单调递增，所以当t ∈(0，1)时，h (t )＜h (1)＝0，所以方程ln t ＝2(t －1)t ＋1在(0，1)上无解，所以，不存在这样的A 、B ，使得g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线 AB 平行. …………16分20、解：（1）当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n 22－n2＋1． ……2分又a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n 22－n2＋1．……4分（2）（i ）因为对任意的n ∈N *，有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2＝b n ，所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋12＝7所以，数列{c n }为等差数列． …………8分（ii ）设c n ＝a 6(n －1)＋i (n ∈N *)（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}，所以c n ＋1－c n ＝a 6(n －1)＋6＋i －a 6(n －1)＋i＝b 6(n －1)＋i ＋b 6(n －1)＋i ＋1＋b 6(n －1)＋i ＋2＋b 6(n －1)＋i ＋3＋b 6(n －1)＋i ＋4＋b 6(n －1)＋i ＋5＝7，即数列{a 6(n －1)＋i }均为以7为公差的等差数列． …………10分设f k ＝a 6k ＋i 6k ＋i ＝a i ＋7k i ＋6k ＝76(i ＋6k )＋a i －76i i ＋6k ＝76＋a i －76ii ＋6k （其中n ＝6k ＋i ，k ≥0，i 为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）当a i ＝76i 时，对任意的n ＝6k ＋i ，有a n n ＝76； ……12分当a i ≠76i 时，f k ＋1－f k ＝a i －76i i ＋6(k ＋1)－a i －76ii ＋6k＝(a i －76i )－6[i ＋6(k ＋1)](i ＋6k )①若a i ＞76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＜f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递减数列；②若a i ＜76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＞f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i}为递增数列．综上所述，集合B ＝{76}∪{43}∪{12}∪{－13}∪{－16}＝{76，43，12，－13，－16}．当a 1∈B 时，数列{a n n }中必有某数重复出现无数次；当a 1∉B 时，数列{a 6k ＋i 6k ＋i}(i ＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{a n n}任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．16分2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅱ参考答案与评分建议A ．选修4—1:几何证明选讲【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． …………………… 10分B ．选修4—2:矩阵与变换解：(1)M 1＝⎣⎡⎦⎤0 －11 0， ……………………2分M 1⎣⎡⎦⎤21＝⎣⎡⎦⎤－12．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). ……5分(2)M ＝M 2·M 1＝⎣⎡⎦⎤1 －11 0， ……………………7分设⎣⎡⎦⎤x y 是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是⎣⎡⎦⎤x 0y 0, 则M ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ,也就是⎩⎨⎧ x 0－y 0＝x ， x 0＝y 即⎩⎨⎧ x 0＝y ， y 0＝y －x ．错误！未找到引用源。

数学-2016届高三第一次学情调研数学试卷

2016届高三第一次学情调研数学试卷 2015、8、25一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A ⋃中元素的个数为_______ 2．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）． 3．不等式224x x-<的解集为________4．已知角α的终边上有一点(3,4)P -，则sin 2cos αα+=5．设函数()221, 12, 1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 6．已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______ 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()12120x x f x f x -⎡-⎤>⎣⎦，则()()12, 1, 2f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______________________．8．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为__________9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC满足()[2'(1)]l n O A f x f x O B x O C=+-⋅，则函数()y f x =的表达式为_______ 10．已知命题12-2x x p y R -=:函数在上为增函数，2:2+2x x p y R -=函数在上为减函数，则在命题①12p p ∨ ②12p p ∧ ③()12p p ⌝∨ ④()12p p ∧⌝中真命题是_______ 11．已知点P 是曲线3103y x x =-+上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为_____________________ 12. 已知函数x m x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8π=x ，则f(x)的单调递增区间为_________________ 13. 已知函数21(),()241f x xg x x a x x =-=-++，对于任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=)0(22)0(45)(2x x x x x x f ，若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围是______________二、简答题（共6小题，90分） 15、（本题满分14分）化简与求值：（1）)3tan()2sin()sin()2cos(απαπαπαπ-++-．（2）170cos 110cos 10cos 10sin 212---16、（本题满分14分）已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.17、（本题满分14分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．18、（本题满分16分）已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()ln(2)f x x =+. (1)当0x <时，求()f x 的解析式；(2)当m R ∈时，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小；(3)求最小的整数(2)m m ≥-，使得存在实数t ，对任意的[,10]x m ∈，都有()2l n |3|f x t x +≤+.19、（本题满分16分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE .（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；（2）若2cos sin =+θθ，求此时管道的长度L ；（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出E此时管道的长度. 20、（本题满分16分）设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （1）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求)(x f 的极小值；（2）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数；（3）若对任意1)()(,0<-->>ab a f b f a b 恒成立，求m 的取值范围.2016届高三第一次学情调研数学答案1、5；2、充分不必要 6、-3 8、3/2 9、y=lnx-2x/3+1 10、（1），（4） 11、y=2x+19 13、a>=9/4,14、 (1,2)16、解:(1)∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴sin()αβ-=(2)由(1)可得,cos()αβ-=∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α= ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-=43(55⨯17、（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f 所以，函数)(x f 的最小正周期为π．由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ），得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ），所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）．（2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ．又2cos ||||=⋅⋅=⋅A ，，所以，2||||=⋅，所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A S ．18、解: (Ⅰ)当0x <时， ()()ln(2)f x f x x =-=-+(Ⅱ)当0x ≥时,()ln(2)f x x =+单调递增,而()f x 是偶函数,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减, 所以(1)f m -＞22(3)|1||3|(1)(3)f m m m m m -⇔->-⇔->-2m ⇔> 所以当2m >时, (1)(3)f m f m ->-；当2m =时, (1)(3)f m f m -=-；当2m <时, (1)(3)f m f m -<-(Ⅲ)当x R ∈时,()ln(||2)f x x =+,则由()2ln |3|f x t x +≤+, 得2ln(||2)ln(3)x t x ++≤+,即2||2(3)x t x ++≤+对[,10]x m ∈恒成立…从而有225777t x x t x x ⎧≤++⎨≥---⎩对[,10]x m ∈恒成立,因为2m ≥-，所以22min 22max (57)57(77)77t x x m m t x x m m ⎧≤++=++⎨≥---=---⎩因为存在这样的t ,所以227757m m m m ---≤++,即2670m m ++≥………………… 又2m ≥-,所以适合题意的最小整数1m =-………19、解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ= …………2分 θθcos sin 10=EF ……………………………………………………4分由于10tan BE θ=⋅≤，10tan AF θ=≤tan 3θ≤≤ [,]63ππθ∈……………………………………………5分101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππθ∈.………………………6分(2) 2cos sin =+θθ时，21cos sin ==θθ,…………………………………8分 )12(20+=L ;……………………………………………………………9分（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅ 设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2t θθ-⋅=………………………………11分由于[,]63ππθ∈，所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈ …13分201L t =-在内单调递减，于是当t =,63ππθθ==时L 的最大值1)米. ………………………………………………………15分答：当6πθ=或3πθ=时所铺设的管道最短，为1)米.…………16分20.解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，则2)(xex x f -='， ∴ 当)(,0)(),,0(x f x f e x <'∈在),0(e 上单调递减，当)(,0)(),,(x f x f e x >'+∞∈在),(+∞e 上单调递增，∴ e x =时，)(x f 取得极小值eee ef +=ln )(=2，∴ )(x f 的极小值为2.（2）由题设),0(313)()(2>--=-'=x xx m x x x f x g 令0)(=x g ，得).0(313>+-=x x x m 设),0(31)(3≥+-=x x x x ϕ则)1)(1(1)(2-+-=+-='x x x x ϕ，当)1,0(∈x 时，,0)(>'x ϕ)(x ϕ在)1,0(上单调递增；当),1(+∞∈x 时，,0)(<'x ϕ)(x ϕ在),1(+∞上单调递减.∴ 1=x 是)(x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1=x 也是)(x ϕ的最大值点， ∴ )(x ϕ的最大值为32)1(=ϕ. 又0)0(=ϕ，结合)(x y ϕ=的图像，可知①当32>m 时，函数)(x g 无零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且只有一个零点；③当320<<m 时，函数)(x g 有两个零点；④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有一个零点.综上所述，当32>m 时，函数)(x g 无零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且只有一个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有两个零点.（3）对于任意的1)()(,0<-->>a b a f b f a b 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立)(*设),0(ln )()(>-+=-=x x xmx x x f x h ∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减.由011)(2≤--='x m x x h 在),0(+∞恒成立，得)0(41)21(22>+--=+-≥x x x x m 恒成立， ∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立），∴m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41.。

2024-2025学年江苏省南京市高三上学期第一次学情调研数学试题及答案

南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4x a =，log 3a y =，则x y a +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A. B.4.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =T 在C上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎛ ⎝，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN =，33,2BD ⎛=-- ⎝.设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则sin cos ,BD n BD n BD nθ⋅=====，所以BD 与平面MNB.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2n n n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n n n n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0y =，所以A点坐标为7,⎛ ⎝，所以12121122F F A A S y F F =⨯=⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即t=，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x aax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。

三年级数学上册期末学情调研检测卷一(苏教版)

三年级数学上册期末学情调研检测卷一注意事项：1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。

2．选择题、判断题必须使用2B 铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。

3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。

4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共16分）A ．B ．C ．2．64减去24的差除以4，商是多少？列式为（）。

A ． B ．C ．6．一个长方形长7分米，周长是20分米，它的宽是多少分米？列式为（）A ．30B ．50C ．100()13．1枚2分硬币约重1克，现在有3000枚2分硬币，一共约重( )千克。

( )16．一根铁丝，第一次用去它的一半，第二次又用去剩下的一半，还剩下10米，这根铁丝原来长( )米。

三、判断题（共8分）17．长方形和正方形都有2条对称轴。

( )18．一座桥的承载能力是7000千克，一辆卡车载着7000千克的货物，能安全通过此桥。

( ) 19．24是甲数的6倍，是乙数的3倍，甲数比乙数大。

( )20．小明比小东高1厘米，小强比小东矮1厘米，三人中小明最高。

( ) 四、计算题（共12分）21．（6分）列式求下列图形的周长。

22．（6分）列竖式计算，带※的要验算。

240×8＝ 7×308＝ ※ 632÷4＝6×122＝ 154÷3＝ ※257÷5＝五、连线题（共6分）23．（6分）估一估，如图物品各有多重，再连一连。

六、解答题（共42分）假设桃树、梨树和苹果树同样多，三种树一共（）棵。

三种树各有多少棵？（1）画一个长8厘米，宽4厘米的长方形。

（2）请你根据上图自己提出一个问题并解答。

参考答案1．C【分析】根据周长的意义：周长是围成平面图形线段的长度和，分别数出各个图形的周长等于几个小正方形的边长和，就等于几厘米。

2024届江苏南京市高三年级学情调研数学试题及答案

南京市2-024届高三年级学情调研数学2023.09 注意事项，1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位登．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位登，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．L已知集合A＝位1工s＿七十3�0},B={xl2<x＜心，则AnB=A．位13<工<4} B.{工|1竺3} C.位I z<工�3} D.(工\l�x<4}2．若z=－3l一+—i ，则％的虚部为A.2B.-2C.2iD.-2i3.（工－一工2 ）｀的展开式中常数项为A.-24B.一4C.4D. Z44在!::.ABC中，点D为边AB的中点．记忒＝m，击＝n，则啼＝A.Zm+nB.m+2nC. 2m-nD.-m+2n5．设0为坐标原点，A为圆C：夕十J－七十2=0上一个动点，则乙AOC的最大值为A工穴·12 B．工6 C.一D．王4 36．在正方体ABC D-A1B1C心中，过点B的平面G与直线A1C垂宜汛la截该正方体所得截面的形状为A．三角形B．四边形c．五边形D．六边形高三数学试卷第1页（共6页）7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外假设某房间的体积为力。

，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质惫为m.巳知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v (v>l)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函4数关系为p(t)=(I－入）竺丑实一，其中常数入为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为t·v 。

南京市2016届高三学年级第三次模拟考试数学(含答案)

南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学 2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________． 2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)．7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．（第5题图）8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________． 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为▲________．14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ．（1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．OyxAB（第9题图）ACD M（第11题图）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．（第16题图）ABCDA 1B 1C1（第17题图）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)．（1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q 的值．（第18题图）CB AD南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线；（2）求PC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），点M 的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X 是奇数的概率；（2）求X 的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A (0，－1)，P n (x n 0，y n0)，n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标；（2）若 k 1为偶数，求证：k n 为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5 2．3－i 3．0.02 4．35 5．8 6．①④7．4 8． 5 9．4 10．[－1，3] 11．32 12．313．(－1－1e 2，2) 14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，···························································3分所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13． (7)分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B＝sin A ·sin C ． ···············································································9分因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223． (11)分又1tan A＋1tan C＝cos Asin A＋cos Csin C＝cos A·sin C＋sin A·cos Csin A·sin C＝sin(A＋C)sin A·sin C＝sin Bsin A·sin C＝sin Bsin2B＝1sin B＝32 4．·································································14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC． (2)分因为ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD． (4)分因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1．因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． (6)分(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点． (8)分因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD．··················································12分因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以BDDC＝1．··································································14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得ca＝22，4a2＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝3．所以椭圆的方程为x26＋y23＝1．··································································2分（2）①解法一椭圆C的右焦点F(3，0)．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)． (4)分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎨⎧x ＝43－325，y ＝－6－65．所以点P ，Q 的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ ＝665． (6)分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△O PQ 的面积也为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分②解法二椭圆C 的右焦点F (3，0)．设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)． (4)分把切线方程 y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665． (6)分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，所以△O PQ 的面积为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分②解法一：(i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． (10)分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2． (12)分因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×(－4km1＋2k 2)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分解法二：设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2．(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． (10)分(ii) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20． ······························12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(2－x 0x 1)( 2－x 0x 2)y 02＝－8(x 02＋y 20)＋16y 02(2x 20＋y 20)．因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分 18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14， ··············································2分解得649≤v ≤647． ··············································4分(2) 解法一：经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． (6)分①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝(v 2－485v ＋36) t 2．因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f (t )取最大值，所以(v 2－485v ＋36)×(5v )2≤25，解得v ≥154． ·········································9分②当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v 时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6) 2 (t －1v －6)2＋9．因为v ＞8，所以1v －6＜5v，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 (13v －1v －6)2＋9≤25，解得398≤v ≤394． ········································13分③当13≤vt ≤16， 13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f (t )在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，(12－6×13v )2＋(16－v ×13v )2≤25，解得398≤v ≤394．因为v ＞8，所以 8＜v ≤394． ·············································16分解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． ·················································6分以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝(45vt －6t )2＋(35vt )2．由于(45vt －6t )2＋(35vt )2≤25，所以(45v －6)2＋(35v )2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以(45v －6)2＋(35v )2≤v 2，解得v ≥154． ···············································9分②当5＜vt ＜13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32．由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v 13≤v －6，解得398≤v ≤394． ···············································13分③当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2．由①及②知：8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394． ·············································16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)．由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23．所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)． ······································2分（2）依题意m ＞0．因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )．由f ′(x )＝0，得x ＝2m3或x ＝0．当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；上为减函数；所以，f (·················································4分．···············································6分··8分y －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分将(2，t )代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)．因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m 3．列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m3，h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ． ·······························14分因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－127m 3＋23m 2－m ≤0．（**）解（*），得m **·································16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d 3，解得，a d ＝34． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，········································6分解得－1＋1＋8a d2＜n ≤1＋1＋8a d2， ········································8分由于1＋1＋8a d 2－－1＋1＋8a d 2＝1且－1＋1＋8ad 2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2． ·········································10分（2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．··································12分所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13． ···································14分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856． ···········································16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB ．因为P A 是半圆O 的切线，所以∠P AC ＝∠ABC ．因为BC 是圆O 的直径，所以AB ⊥AC ．又因为AH ⊥BC ，所以∠CAH ＝∠ABC ，所以∠P AC ＝∠CAH ，所以AC 是∠P AH 的平分线． ···········································5分 (2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠P AH ＝2∠CAH ＝60°，所以P A ＝23．由P A 是半圆O 的切线，所以P A 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2． ···········································10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′，即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2． ················································5分代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． ···········································10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：M 的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M (0，1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]． ·················5分当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223．所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是(±423，－13)．·······························10分D ．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2)]≥(5·x ＋2·4－x )2，······················5分即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤63．当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为63． ··································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ·································2分 X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝2848＝712．答：X 是奇数的概率为712． ·································4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18；······························8分所以X 的概率分布列为：E (X )＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254． ························10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1，1)． ····································2分（2）设k 1＝2p (p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p ，所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p ±p 2－1． ··································4分因为y 0＝x 02，所以k n ＝y n 0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(1p ＋p 2－1)n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n ．····························6分同理，当 x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n ． ①当n ＝2m (m ∈N *)时，k n ＝2k =0∑mC 2k n p n－2k(p 2－1)k ，所以 k n 为偶数． ②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2k =0∑m C 2k n p n－2k(p 2－1)k ，所以 k n 为偶数．综上， k n 为偶数． ································10分古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。