概率论与数理统计8-2
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 方差分析与回归分析)【圣才出品】
第8章 方差分析与回归分析一、方差分析1．在一个单因子试验中，因子A有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下：表8-1试计算误差平方和s e、因子A的平方和S A与总平方和S T，并指出它们各自的自由度．解：此处因子水平数r＝3，每个水平下的重复次数m＝4，总试验次数为n＝mr＝12．首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：T1＝8＋5＋7＋4＝24．T2＝6＋10＋12＋9＝37．T3＝0＋1＋5＋2＝8．T＝T l＋T2＋T3＝24＋37＋8＝69．误差平方和S e由三个平方和组成：于是而2．在一个单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下重复次数分别为5，7，6，8．那么误差平方和、A的平方和及总平方和的自由度各是多少？解：此处因子水平数r＝4，总试验的次数n＝5＋7＋6＋8＝26，因而有误差平方和的自由度因子A的平方和的自由度总平方和的自由度3．在单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差σ2的估计值是多少？解：此处因子水平数r＝4，每个水平下的试验次数m＝3，误差平方和S e由四个平方组成，它们分别为于是其自由度为，误差方差σ2的估计值为4．在单因子方差分析中，因子A有三个水平，每个水平各做4次重复试验．请完成下列方差分析表，并在显著性水平α＝0.05下对因子A是否显著作出检验．表8-2 方差分析表解：补充的方差分析表如下所示：表8-3 方差分析表对于给定的显著性水平，查表知，故拒绝域为，由于，因而认为因子A是显著的．此处检验的p值为5．用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示．表8-4 安眠药试验数据在显著性水平下对其进行方差分析，可以得到什么结果？解：这是一个单因子方差分析的问题，根据样本数据计算，列表如下：表8-5于是根据以上结果进行方差分析，并继续计算得到各均方以及F 比，列于下表：表8-6在显著性水平下，查表得，拒绝域为，由于故认为因子A （安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显的差别．此处检验的p 值为6．为研究咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大致相同的健康男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：每个水平下冲泡l0杯水，外观无差别，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯服下，2h后，请每人做手指叩击，统计员记录其每分钟叩击次数，试验结果统计如下表：表8-7请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？解：我们知道，对数据作线性变换不会影响方差分析的结果，这里将原始数据同时减去240，并作相应的计算，计算结果列入下表：表8-8于是可计算得到三个平方和把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表，并继续计算得到各均方以及F比：表8-9若取查表知，从而拒绝域为，由于．故认为因子A（咖啡因剂量）是显著的，即三种不同剂量对人的作用有明显的差别．此处检验的p值为7．某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响．现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表：表8-10（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在下检验这三种方法对含水率有无显著影响；（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间．解：（1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表：表8-11三个平方和分别为。
概率论与数理统计 8-2
H 0 : µ ≤ µ 0 = 225, H 1 : µ > 225,
取 α = 0.05, n = 16, x = 241.5, s = 98.725 0.6685 t0.05 (15) = 1.7531 > t = s/ n
故接受 H 0 , 认为元件的平均寿命不 大于 225小时.
n = 15,
x = 10.48, α = 0.05, s = 0.237,
x − µ 0 10.48 − 10.5 t = = t分布表 = 0.327, s/ n 0.237 / 15 查表得 tα / 2 ( n − 1) = t 0.025 (14) = 2.1448 > t = 0.327, 故接受 H 0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化 .
n2 = 10,
y = 79.43, s2 = 2.225,
2
且s
2 w
(10 −1)s + (10 −1)s = = 2.775, 10 + 10 − 2
2 1 2 2
查表可知 t0.05 (18) = 1.7341,
查表8.1知其拒绝域为 查表 知其拒绝域为 t ≤ − tα ( n1 + n2 − 2). x− y = −4.295, 因为 t = 1 1 sw + 10 10
某切割机在正常工作时, 例1 某切割机在正常工作时 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是 标准差是0.15cm, 今从一批产 平均长度为 品中随机的抽取15段进行测量 其结果如下: 段进行测量, 品中随机的抽取 段进行测量 其结果如下 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
根据第六章 第六章§ 定理四 定理四知 当H 0为真时, 根据第六章§2定理四知,
概率论与数理统计(8)假设检验
概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。
由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
2022年自考概率论与数理统计10月真题及详解答案
C． D．
2．某人每次射击命中目旳旳概率为p(0<p<1)，她向目旳持续射击，则第一次未中第二次命中旳概率为（D）
A．p2B．(1-p)2
C．1-2pD．p(1-p)
3．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A B，则P(A|B)=（C）
A．0B．0.4
C．0.8D．1
解：（P14）∵A B，∴ ， 。
26．设二维随机变量(X，Y)只能取下列数组中旳值：
(0，0)，（-1，1），（-1， ），（2，0），
且取这些值旳概率依次为 ， ， ， .
（1）写出(X，Y)旳分布律；
（2）分别求(X，Y)有关X，Y旳边沿分布律.
解：(P？)由已知条件可得： ， ，
， ，即X取-1，0，2；Y取0， ，1；
∴（1）(X，Y)旳分布律如下表：
且E(X)= .求：(1)常数a,b；(2)D(X).
解：(P39)（1）由概率密度旳性质 ，得
，简化为 ……………①
又 ，
简化得 ……………………………………………………………………………②
联立①、②解之得， ， ；代入得
（2）另 ，
∴ ，
答：略。
29．设测量距离时产生旳随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值不小于19.6旳次数，已知Φ(1.96)=0.975.
(1)求每次测量中误差绝对值不小于19.6旳概率p;
(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；
(3)求E(Y).
解：(P？)(1)∵随机误差X～N(0,102)∴ ,
p= ；
(2)(P32)∵三次测量均独立∴Y服从参数为3，0.025旳二项式分布，即 ,
《概率论与数理统计》习题及答案第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1．设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域.解00:H λλ≥ 选统计量200122nii XnX χλλ===∑记212ni i X χλ==∑则22~(2)n χχ，对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ，使22((2))P n αχχα≥=因22χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥，从而2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。
设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（0.05α=）. 解问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ=0H 的否定域为/2||u u α≥其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。
解问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中15801600 5.1 1.02100X u -==⨯=-.0.05 1.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格？（0.05α=）解设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ，问题是检验假设0:1000H μ≥.0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u =因为0.052.5 1.64u u =-<-=所以否定0H ，即元件不合格.5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？ 解问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5问该日打包机工作是否正常（0.05α=；已知包重服从正态分布）？解99.98X =，92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =，问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥.其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t = 因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<=所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
概率论和数理统计(第三学期)第8章参数估计
由契比雪夫不等式，有
P( S 2 ES2
n
n
)
DS
2
n
＝
2 4
2 n 1 2
即 lim P( S 2 ES2 ) 0
n
n
n
(n 1)S 2
E
2
n n 1
ES2 2 n
故 lim P( S 2 2 ) 0
n
n
§8.3 参数的区间估计
定义
设是总体的未知参数，若 （1 1
6
S~2 1 1.20 0.162 0.85 0.162 0.30 0.162 6 0.45 0.162 0.82 0.162 0.12 0.162 1 1.042 0.692 0.142 0.612 0.982 0.282 6 1 2.99 6 0.498 2
n
p xi
1
p
1 xi
xi p i1
1
p
n
n xi
i1
i 1
n
令y xi，得： i 1 ln Lxi , p y ln p n yln1 p
由对数似然方程
d ln L y n y 0 dp p 1 p
解得
p
y n
1 n
n i 1
xi
x
因为这是惟一的解，所 以p的极大似然估计值为
二、顺序统计量法
定义
1
, 2
,
,
为总体
n
的一个样本，将它
们按大小次序排列，取 居中的一个数 (若n为偶
数时，则取居中两数的 平均值)记为~，称~为
样本中位数。
即
~
k
1
,
1 2
k
概率论与数理统计 第8章
现在的问题就是要判别新产品的寿命是服从 μ >1500 的
正态分布，还是服从 μ ≤1500的正态分布? 若是前者，我们 就说新产品的寿命有显著性提高；若是后者，就说新产品的 寿命没有显著性提高。
定义 1 将对总体提出的某种假设称为原假设，记为 H 0 ； 将与原假设矛盾的假设称为备择假设，记为 H 1 。
在例 8－1 中，我们把涉及的两种情况用假设的形式表示
出来，第一个假设 μ ≤1500 表示采用新工艺后产品平均寿命没 有显著性提高，第二个假设 μ >1500 表示采用新工艺后产品平
均寿命有显著性提高。第一个假设为原假设，即“ H 0 ：μ
定义 8 给定犯第一类错误的概率不大于 α 所作的假设 检验称为显著性检验，称 α 为显著性水平。 例 8－2 某车间用一台包装机包装食盐，每袋食盐的净 重是一个随机变量，它服从正态分布。当包装机正常时，其 均值为 0.5kg ，标准差为 0.015kg 。某日开工后为检查包装 机工作是否正常，随机地抽取它所包装的食盐 9 袋，称得样 本均值 ������ X =0. 511kg ，问在显著性水平 α =0.05 下，这 天包装机工作是否正常。
由于无论是第一类错误还是第二类错误都是作假设检验 时的随机事件，因此在假设检验中它们都有可能发生。我们 当然希望尽可能使犯两类错误的概率都很小，但一般来说， 当样本的容量固定时，若刻意地减少犯一类错误的概率，则 犯另一类错误的概率往往会增大。若要使两类错误的概率都 减小，就需增大样本的容量。在给定样本容量的情况下，我 们总是对犯第一类错误的概率加以控制，使它不大于 α ， 而不关心犯第二类错误的概率 β是增大了还是减小了，这样 的假设检验就是显著性检验。
概率论与数理统计课后习题答案 第八章
有无显著差异(
).
解:检验假设
经计算
查表知
由于
故接受
即甲,乙两台车床加工的产品直径无显著差异.
8. 从甲地发送一个信号到乙地.设乙地接受到的信号值是一个服从正态分布
的随机变量,其
中 为甲地发送的真实信号值.现甲地重复发送同一信号 5 次,乙地接受到的信号值为
8.05
8.15
8.2
8.1
8.25
设接收方有理由猜测甲地发送的信号值为 8.问能否接受这一猜测? (
∵
该机正常工作与否的标志是检验 是否成立.一日
试问:在检验水平
下,该日自动机工作是否正
查表知
,由于
故拒绝 ,即该日自动机工作不正常.
2. 假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了 36 位考生的成绩,算的平均成绩为 分,标准差 S=15 分,问在显著性水平 0.05 下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为
问这两台机床的加工精度是否一致?
解:该题无 值,故省略.(用 F 检验)
4. 对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽 6 件,测得结果如下(单位:Ω )
A 批 0.140 0.138 0.143 0.141 0.144 0.137
B 批 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.141
态分布
(单位:公斤).现抽测了 9 包,其重量为:
99.3
98.7
100.5 101.2 98.3
99.7
99.5
102.0 100.5
问这天包装机工作是否正常?
将这一问题化为一个假设检验问题,写出假设检验的步骤,设
解: (1)作假设
概率论与数理统计教案第八章
例8为比较新老品种的肥料对作物的效用有无显著差别，选用了各方面条件差不多的10个地块种上此作物.随机选用其中5块施上新肥料，而剩下的5块施上老肥料．等到收获时观察到施新肥的地块，平均年产333(单位：千斤)，样本方差为32，施老肥的地块平均年产330，样本方差为40．假设作物产量服从正态分布，检验新肥是否比老肥效用上有显著提高（显著性水平 ）．
点面朝上
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
在 水平下，请问，这颗骰子是否是均匀的
例2在某细纱机上进行断点率测定，测验锭子总数为440，测得断头次数记录如下表：
每锭断头数
0
1
2
34Βιβλιοθήκη 5678
锭数（实测）
269
112
38
19
3
1
0
0
3
试问在显著性水平 下能否认为锭子的断头数服从泊松分布
例3某高校研究在校学生的体重，现随机抽取了100位学生，测得他们的体重（单位：kg）为
检验参数
原假设与备择假设
检验统计量
拒绝域
方差
已知
;
当 时，
或
;
;
未知
;
当 时，
或
;
;
3、两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总如下表
检验参数
抽样分布
检验统计量
拒绝域
均值差
已知
;
当 时，
;
;
未知
;
当 时，
;
;
4、两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总如下表
概率论与数理统计第八章假设检验
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
最新全国历年自学考试概率论与数理统计(二)02197试题与答案
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197选择题和填空题详解试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A.A BC A A ABC CB AC B A C B A C B A ABC C B A A A A 故本题选；不发生，记作④仅；不全发生，记作，，不多于两个发生，即，，③；都不发生，记作，，②；都发生，记作，，①；的对立事件，记作不发生”为事件解：事件“2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=51, P (B )=53, 则P (A ∪B )= ( )A ．253B ．2517C ．54D ．2523故本题选B.3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)³=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4)3(2e2π21)(+-=x x f , 则E (X ), D (X )分别为( ) A ．2,3-B ．-3, 2.251753515351)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P B A 相互独立，与事件解：事件C ．2,3D ．3, 2()()，，度为解：正态分布的概率密+∞<<∞=--x ex f x -21222σμσπ与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0,20,20,),(其他y x c y x f 则常数c =( )A ．41B ．21C ．2D ．4解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，由0≤x ≤2，0≤y ≤2，知S=4，所以c=1/4，故选A.7．设二维随机变量 (X , Y )~N (-1, -2；22, 32；0), 则X -Y ~ ( ) A ．N (-3, -5) B ．N (-3,13) C ．N (1, 13) D ．N (1,13)解：由题设知，X~N(-1,2²)，Y~N(-2，3²)，且X 与Y 相互独立， 所以E(X-Y)=E(X)-E(Y)=-1-(-2)=1，D(X-Y)=D(X)+D(Y)=13，故选D. 8．设X , Y 为随机变量, D (X )=4, D (Y )=16, Cov (X ,Y )=2, 则XY ρ=( )A ．321 B ．161C ．81D ．41..41422)()()(D Y D X D Y X Cov xy 故选，解：直接代入公式=⨯==ρ 9．设随机变量X ~2χ(2), Y ~2χ(3), 且X 与Y 相互独立, 则3/2/Y X ~ ( ) A ．2χ (5) B ．t (5) C ．F (2,3)D ．F (3,2).)(~)(~)(~21212221C n m F F F n m nX mX F X X n x X m x X ，据此定义易知选，记为分布，的与的分布是自由度为独立，则称与，，解：设=10．在假设检验中, H 0为原假设, 则显著性水平α的意义是 ( ) A ．P {拒绝H 0|H 0为真} B ．P {接受H 0|H 0为真} C ．P {接受H 0|H 0不真} D ．P {拒绝H 0|H 0不真}解：在0H 成立的情况下，样本值落入了拒绝域W 因而0H 被拒绝，称这种错误为第一类错误；()⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他，，），，（0,1D y x S x f.}|{..,""}|{0002002A H H P H W u u u H H u u P ，故本题选为真拒绝即即为显著水平，而概率即为误的由此可见，犯第一类错，从而拒绝了即样本值落入了拒绝域满足本值算得的成立的条件下，根据样，在成立因为αααααα=>=>二、填空题 (本大题共15小题, 每小题2分, 共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
概率论与数理统计课件8
8 (续)
(3)
P
arc
tgX
3
P
X
tg
3
P X 3
1 F 3
1 2 3
1 3
9、设随机变量 X 旳分布函数
0,
F
x
A
cos
x 2
,
1 ,
x0
0 x x
(1) 拟定 A ; (2) 求 X 旳密度函数 f ( x ) ;
(3) 计算
P
cos
X 2
1 2
解:
(1)
3
3
故 所以
Y
~
B
3,
1 3
P Y 1 1
P Y
0
1
1
1 3
3
19 27
3、假如在时间 t（分钟）内, 某纺织工人看守
旳织布机断纱次数服从参数与 t 成正比旳泊松
分布. 已知在一分钟内不出现断纱旳概率为
0.2，求在 2 分钟内至少出现一次断纱旳概率
解: 设 X 表达某纺织工人看守旳织布机断纱
32
解得
a1 , b5
6
6
7 (续) 故
0,
1
,
F
x
6 1 2
,
1,
(2) X 旳分布列为
x 1 1 x 1
1 x2 x2
X 1 1 2
P
111
632
8、设随机变量 X 具有概率密度
ax,
f
x
b 1 x2
,
0 ,
0 x1 x1
其它
又
P
X
1 2
7 8
求: (1) 常数 a , b ;
《概率论与数理统计》(第3版) 习题详解-(第8章)习题详解
习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25?【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.0052）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05)【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1.9~12. 略。
概率论与数理统计习题及答案第八章
习题8-11.填空题(1) 假设检验易犯的两类错误分别是____________和__________.解第一类错误(弃真错误); 第二类错误(取伪错误).(2) 犯第一类错误的概率越大, 则右侧检验的临界值(点)越_____, 同时犯第二类错误的概率越_____.解小, 小.2. 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布(,1)Nμ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm. 求:(1) 取显著性水平α=0.05时, 均值μ的双侧假设检验的拒绝域;(2) μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的结果有什么关系.解(1) 计算得到拒绝域为(-∞, 39.51)∪(40.49, +∞).(2) 已知x=40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.02521.96,z zα==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x zαα+=-(39.51,40.49).=(3) 对于显著性水平α=0.05, μ的双侧假设检验的接受域恰为μ的置信水平为0.95的置信区间.习题8-21.填空题(1) 设总体2~(,)X Nμσ,12,,,nX X X是来自总体X的样本. 对于检验假设H:μμ=(μμ≥或μμ≤), 当2σ未知时的检验统计量是,H为真时该检验统计量服从分布; 给定显著性水平为α, 关于μ的双侧检验的拒绝域为, 左侧检验的拒绝域为, 右侧检验的拒绝域为__________.解Xt=; 自由度为n-1的t分布;2t tα…;t tα-…;t tα….2. 统计资料表明某市人均年收入服从2150μ=元的正态分布. 对该市从事某种职业的职工调查30人, 算得人均年收入为2280x=元, 样本标准差476s=元. 取显著性水平0.1, 试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收入?解由于总体方差未知, 故提出假设H0:μ≤μ0=2150; H1:μ>μ0.对于α=0.1,选取检验统计量X t =拒绝域为t >)1(-n t α=t 0.1(29)=1.3114.代入数据n =30, x =2280, s =476, 得到4959.130476215022800=-=-=n s x t μ>1.3114.所以拒绝原假设, 可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差316s =．设发热量服从正态分布. 取显著性水平α=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?解 提出假设 H 0: μ=μ0=12100; H 1:μ≠μ0 .对于α=0.05,选取检验统计量X t =, 拒绝域为|t |>)1(2-n t α=t 0.025(23)=2.0687代入数据n =24, x =11958, s =316, 得到|| 2.20144x t ===>2.0687.所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100.4．从某锌矿的东西两支矿脉中, 各抽取容量分别为9和8的样品, 计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别为:东支: 0.230,x =2110.1337,9;n s ==西支: 0.269,y =2220.1736,8s n ==.假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布. 取显著性水平0.05α=, 问能否认为两支矿脉的含锌量相同?解 提出假设 H 0:μ1-μ2=0 ; H 1: μ1-μ2≠0.已知α=0.05, 210.230,0.1337x s ==, 220.269,0.1736y s ==,129,8,n n ==选取检验统计量X Y t =, 22112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-,拒绝域为|t |>120.0252(2)(15) 2.1315.t n n t α+-==因为2222112212(1)(1)(91)0.1337(81)0.17360.392982wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-,||0.2058x y t ===<2.1315,所以不能拒绝原假设, 可以认为两支矿脉的含锌量相同.习题8-3一、 填空题1. 设总体2~(,)X N μσ, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本, 则检验假设0H :220σσ=(220σσ≥或220σσ≤), 当μ未知时的检验统计量是 , 0H 为真时该检验统计量服从 分布; 给定显著性水平α, 关于σ2的双侧检验的拒绝域为 , 左侧检验的拒绝域为 , 右侧检验的拒绝域为__________.解 2220(1)n S χσ-=; 2(1)n χ-; 2212(1)n αχχ--≤或222(1)n αχχ-≥;221(1)n αχχ--≤;22(1)n αχχ-≥. 2. 为测定某种溶液中的水分, 由它的10个测定值算出样本标准差的观察值0.037s =％. 设测定值总体服从正态分布, 2σ为总体方差, 2σ未知. 试在0.05α=下检验假设0:0.04H σ≥%; 1:0.04H σ<%.解 只需考虑假设 022:0.04)%H ≥(σ; 122:(0.04)%H <σ . 对于α=0.05, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22210.95(1)(9) 3.325n αχχχ--==≤.代入数据10=n ,220(0.04%)=σ, s 2=(0.037%)2, 计算得到222220(1)(101)(0.037%)(0.04%)n S --⨯==χσ=7.701>3.325,不落在拒绝域内,所以在水平α=0.05下接受H 0, 即认为σ≥0.04%.3. 有容量为100的样本, 其样本均值观察值 2.7x =, 而10021225（）i i x -x ==∑.试以0.01α=检验假设H 0: σ2=2.5．解 提出假设 2201: 2.5;: 2.5.H H σσ=≠对于α=0.01, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22220.9950.995121(1)(99)(2n z αχχχ--=≈+≤=65.67,或22220.0050.00521(1)(99)(2n z αχχχ-=≈≥=137.96.代入数据n =100, 2(1)225,n s -=得到2220(1)2252.5n s χσ-===90.因为65.67<90<137.96, 即χ2的观察值不落在拒绝域内, 所以在水平α=0.01下接受H 0, 即认为σ2=2.5.习题8-41..试在显著性水平α=0.025下检验H 0: X 的概率密度2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它解 因为22/4(1)/41(1){}2,4416i i i i i i i p P X x x ----=<==⎰≤d i =1, 2, 3, 4.待检假设 02,01,:()0,.x x H X f x <<⎧=⎨⎩ 其它列计算表如表8-1所示, 算得2421() 1.83.i i i if np npχ=-==∑表8-1 第1题数据处理查表知20.025(3)9.348,χ= 经比较知220.0251.83(3)9.348,χχ=<=故接受H 0, 认为X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它2. 在显著性水平α=0.05下, 检验这枚骰子是否均匀.解 用X 表示骰子掷出的点数, P {X =i }=p i , i =1, 2, …, 6. 如果骰子是均匀的, 则p i =16, i =1, 2, …, 6. 因此待检假设01:6i H p =, i =1, 2, …, 6. 计算检验统计量221()ni i i if np np χ=-=∑的值, 得2222222100100100[(13)(14)(20)666100100100100(17)(15)(21)]66663.2.χ=-+-+-+-+-+-÷=查表知20.05(61)11.071,χ-= 经比较知220.053.2(5)11.071,χχ=<= 故接受H 0, 认为骰子是均匀的.。
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差σ已知为150h ，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h ．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h ？解：总体X ～)150,(2μN ，检验假设为0H ：1600=μ，1H ：1600≠μ．采用U 检验法，选取统计量nX U /00σμ-=，当0H 成立时，U ～)1,0(N ，由已知，有1637=x ，26=n ，05.0=α，查正态分布表得96.1025.0=u ，该检验法的拒绝域为}96.1{>u ．将观测值代入检验统计量得2577.142.293726/150********==-=u ，显然96.12577.1<=u ，故接受0H ，即可认为这批产品的指标为1600h ．2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？解：本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值72=μ．取检验统计量为nS X T /0μ-=，检验假设为0H ：720==μμ，1H ：72≠μ．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，由已知，有4.67=x ，93.5=s ，05.0=α，查t 分布表得262.2)9(025.0=t ，将观测值代入检验统计量得45.288.16.410/93.5724.67/0-=-=-=-=n s x t μ，显然)9(262.2447.2025.0t t =>=，故拒绝0H ，即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异．3．测定某溶液中的水分，得到10个测定值，经统计%452.0=x ，22037.0=s ，该溶液中的水分含量X ～),(2σμN ，μ与2σ未知，试问在显著性水平05.0=α下该溶液水分含量均值μ是否超过5%？解：这是在总体方差2σ未知的情况下，关于均值μ的单侧检验．检验假设为0H ：%5.0≤μ，1H ：%5.0>μ．此假设等价于检验假设0H ：%5.0=μ，1H ：%5.0>μ．由于2σ未知，取检验统计量为nS X T /0μ-=．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，拒绝域为)}1(/{0-≤-n t n s x αμ，将观测值代入检验统计量得709.1)5.052.0(10/0=-=-=ns x t μ，由05.0=α，查t 分布表得833.1)9(05.0=t ，显然)9(833.1709.105.0t t =<=，所以接受0H ，即该溶液水分含量均值μ是否超过5%．4．甲、乙两个品种作物，分别用10块地试种，产量结果97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．设甲、乙品种产量分别服从正态分布),(21σμN 和),(22σμN ，试问在01.0=α下，这两种品种的产量是否有显著性差异？解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题．检验假设为0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠．由题可知，22221σσσ==未知，因此取检验统计量nm n m mn S n S m YX T +-+-+--=)2()1()1(2221，当0H 为真时，T ～)2(-+n m t ，该检验法的拒绝域为)}2({2/-+>n m t t α．由题设，10==n m ，97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．将其代入检验统计量得n m n m mn S n S m yx t +-+-+--=)2()1()1(222166.4201810101.1297.26979.2197.30=⨯⨯⨯+⨯-=，由01.0=α，查t 分布表得878.2)18()2(005.02/==-+t n m t α．显然)18(878.266.4005.0t t t =>=，因此，拒绝0H ，即这两种品种的产量有显著性差异．5．某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X ～)4.0,18(2N ，现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位：L)如下：0.18，6.17，3.17，2.18，1.18，5.18，9.17，1.18，3.18在显著性水平05.0=α下，试问：(1)该天罐装是否合格？(2)罐装量精度是否在标准范围内？解：(1)检验罐装是否合格，即检验均值是否为18，故提出假设0H ：18=μ，1H ：18≠μ，由于方差224.0=σ已知，取检验统计量为nX U /00σμ-=，当0H 为真时，U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≥．由题可知，9=n ，18=x ，将其代入检验统计量得09/4.01818/00=-=-=n x u σμ，由05.0=α，查标准正态分布表得96.1025.0=u ，显然，025.096.10u u =<=，故接受0H ，即该天罐装合格．(2)检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设0H ：224.0≤σ，1H ：224.0>σ，此假设等价于0H ：224.0=σ，1H ：224.0>σ．由于18=μ已知，选取检验统计量为∑=-=n i i X12202)18(1σχ，当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}({22n αχχ≥．由已知计算得625.6)18(112202=-=∑=n i i x σχ，查2χ分布表得307.18)10(205.0=χ，由此知)10(307.18625.6205.02χχ=<=，故接受0H ，即罐装量精度在标准范围内．6．某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差221600h =σ的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得222500h s =，问在显著性水平05.0=α下，这批电池的波动性较以往有无显著变化？解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题．检验假设为0H ：202σσ=，1H ：202σσ≠，其中160020=σ，取检验统计量为222)1(σχS n -=．当0H 为真时，2χ～)(2n χ，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为)}1({22/12-≤-n αχχ或)}1({22/2-≥n αχχ．将观测值25002=s 代入检验统计量得5.371600250024)1(222=⨯=-=σχs n ．对于05.0=α，查2χ分布表得401.12)24()1(2975.022/1==--χχαn ，364.39)24()1(2025.022/==-χχαn ，由于)24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0χχχ=<=<=，故接受0H ，即这批电池的波动性较以往无显著变化．7．某工厂生产一批保险丝，从中任取10根试验熔化时间，得60=x ，8.1202=s ，设熔化时间服从正态分布),(2σμN ，在01.0=α下，试问熔化时间的方差是否大于100？解：本题是在均值未知的条件下，检验2σ是否大于100，是关于2σ的单侧检验问题．检验假设为0H ：1002≥σ，1H ：1002<σ，此假设等价于0H ：1002=σ，1H ：1002<σ，这是左侧检验问题，取检验统计量为2022)1(σχS n -=，当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}1({212-≤-n αχχ．将10=n ，10020=σ，8.1202=s ，代入上述统计量得87.101008.1209)1(2022=⨯=-=σχs n ．对于01.0=α，查2χ分布表得0879.2)9(299.0=χ，显然)9(0879.287.10299.02χχ=>=，接受0H ，即熔化时间的方差大于100．本题如果将检验假设设为0H ：1002≤σ，1H ：1002>σ，即进行右侧检验，统计量得选取如上，则该检验法的拒绝域为)}1({22-≥n αχχ．对于01.0=α，查2χ分布表得666.21)9(201.0=χ，显然)9(666.2187.10201.02χχ=<=，接受0H ，即熔化时间的方差不大于100．注：若选取的显著性水平为3.0=α，用MATLAB 计算得6564.10)9(23.0=χ，从而有)9(6564.1087.1023.02χχ=<=，则应拒绝原假设，即熔化时间的方差大于100．上述结果说明了在观测值接近临界值时，原假设不同的取法会导致检验结果的不一样，如果用-p 值检验法则可避免上述矛盾．8．设有两个来自不同正态总体的样本，4=m ，5=n ，60.0=x ，25.2=y ，07.1521=s ，81.1022=s ．在显著性水平05.0=α下，试检验两个样本是否来自相同方差的总体？解：记两正态总体为),(211σμN 和),(222σμN ，其中1μ和2μ未知．检验假设为0H ：2221σσ=，1H ：2221σσ≠．取检验统计量为2221S S F =，当0H 为真时，F ～)1,1(--n m F ，该检验法的拒绝域为)}1,1({2/1--≤-n m F F α或)}1,1({2/--≥n m F F α．由题可知，05.0=α，4=m ，5=n ，将观测值代入检验统计量得39.181.1007.152221===s s F ，查F 分布表得98.9)4,3()1,1(025.02/1==---F n m F α，066.010.151)3,4(1)4,3()1,1(025.0975.02/====--F F n m F α．由此知)4,3(98.939.1066.0)4,3(025.0975.0F F =<<=，观测值没有落入拒绝域内，接受0H ，即两个样本来自相同方差的总体．9．某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min ．现对100件产品的随机抽样结果的平均等待时间为96min ，样本标准差为30min ．问抽样的结果是否支持该管理员的看法？(05.0=α)．解：这是非正态总体均值的检验问题，用X 表示第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的等待时间，设其均值为μ，依题意，检验假设为0H ：90≤μ，1H ：90>μ．由于100=n 为大样本，故用U 检验法．总体标准差σ未知，用样本标准差S 代替．取检验统计量为100/90S X U -=，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{αu u >．由题可知，96=x ，30=s ，100=n ．对于05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α．将观测值代入检验统计量得2100/309096100/90=-=-=s x u ，显然，05.0645.12u u =>=，故拒绝0H ，即平均等待时间超过90分钟，也即支持该管理员的看法．10．一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8h 电视．”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字．为此，她向学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为2=s h ，问是否可以认为校长的看法是对的？(05.0=α)解：初中生每周看电视的时间不服从正态分布，这是非正态总体均值的假设检验问题．检验假设为0H ：8=μ，1H ：8<μ．由于100=n 为大样本，故用U 检验法，取检验统计量为nS X U /μ-=，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{αu u -<．由题可知，5.6=x ，2=s ，100=n ．对于05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α．将观测值代入检验算统计量得5.7100/285.6-=-=u ，显然，05.0645.15.7u u -=-<-=，故拒绝0H ，即初中生平均每周看电视的时间少于8小时，这位校长的看法是对的．11．已知某种电子元件的使用寿命X (单位：h)服从指数分布)(λE ．抽查100个元件，得样本均值950=x h ．能否认为参数001.0=λ？(05.0=α)解：X ～)(λE ，λ1)(=X E ，21)(λ=X D ，由中心极限定理知，当n 充分大时，近似地有n X n X U )1(/1/1-=-=λλλ～)1,0(N ．由题可知001.00=λ，检验假设可设为0H ：0λλ=，1H ：0λλ≠．取检验统计量为n X n X U )1(/1/1000-=-=λλλ，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≤．由题知，100=n ，950=x ，05.0=α，查标准正态分布表知96.1025.02/==u u α．将观测值代入检验统计量得5.0-=u ，显然，025.096.15.0u u =<=，故接受0H ，即可以认为参数001.0=λ．12．某地区主管工业的负责人收到一份报告，该报告中说他主管的工厂中执行环境保护条例的厂家不足60%，这位负责人认为应不低于60%，于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家，结果发现有33家执行了环境保护条例，那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题？(05.0=α)解：设执行环境保护条例的厂家所占的比率为p ，则检验假设为0H ：6.0≥p ，1H ：6.0<p ，上述假设等价于0H ：6.0=p ，1H ：6.0<p ．引入随机变量⎩⎨⎧=.,0,,1条例抽到的厂家为执行环保例抽到的厂家执行环保条X 则X ～),1(p B ，p X E =)(，)1()(p p X D -=，由中心极限定理，当0H 为真时，统计量60/)6.01(6.06.0/)1(000--=--=X n p p p X U 近似地服从)1,0(N ．对于显著性水平05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α，由此可知05.0}645.160/)6.01(6.06.0{≈-<--X P ．以U 作为检验统计量，该检验法的拒绝域为}645.1{05.0-=-<u u ．将55.06033==x 代入上述检验统计量，得791.060/)6.01(6.06.055.0/)1(000-=--=--=n p p p x u ，显然，05.0645.1791.0u u -=->-=，故接受0H ，即执行环保条例的厂家不低于60%，也即由他本人的调查结果证明那份报告中的说法有问题．13．从选取A 中抽取300名选民的选票，从选取B 中抽取200名选民的选票，在这两组选票中，分别有168票和96票支持所选候选人，试在显著性水平05.0=α下，检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异．解：这是检验两个比率是否相等的问题，检验假设为0H ：21p p =，1H ：21p p ≠．取检验统计量为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m n p p p pU 11)ˆ1(ˆˆˆ21，其中)(1ˆ2121m n Y Y Y X X X mn p ++++++++= 是21p p p ==的点估计．当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ．由题可知300=n ，168=n μ，200=m ，96=m μ，又56.0300168ˆ1==p ，48.020096ˆ2==p ，528.0500264ˆ==++=m n p m n μμ．由此得统计量的观测值为755.11201472.0528.048.056.0=⨯⨯-=u ，由05.0)96.1(==>αU P ，得拒绝域为}96.1{>u ，因为96.1755.1<=u ，故接受0H ，即两个选区之间对候选人的支持无显著性差异．。
《概率论与数理统计》习题及答案 第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1.设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑则22~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=因 22χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥，从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32．５6, 29.6６, 31.64, 30.00, 2１.87, 3１．0３。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是3２.50毫米(0.05α=）．解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是3２．５毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本,计算平均值15８0，问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于160０。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于１600.４．一种元件,要求其使用寿命不低于1０00小时，现在从这批元件中任取２５件,测得其寿命平均值为９5０小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格?（0.05α=)解 设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥． 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的５个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．２5.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为１00公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=；已知包重服从正态分布)?解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定,每10０克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于2１毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取1７个,测得维生素C 的含量（单位：毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
概率论与数理统计教程 第8章
MSe= Se/fe
总和
ST
fT=n1
对给定的，可作如下判断：
若F F1 (fA ,fe) ，则说明因子A不显著。 该检验的p值也可利用统计软件求出，若 以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量，则检验的 p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F1 (fA ,fe)，则认为因子A显著；
由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W={FF1 (fA ,fe)}，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。
表8.1.3 单因子方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
因子
SA
fA=r1
MSA= SA/fA
F＝ MSA/ MSe
误差
Se
第八章 方差分析与回归分析
§8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：
模型（8.1.3）可以改写为 (8.1.8) 假设（8.1.1）可改写为 H0 ：a1 =a2 =…=ar =0 （8.1.9）
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时，我们可进一步求出总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。
《概率论与数理统计》第八章2均值与方差的检验
2 = i1
。
2 0
当σ2=σ02 为真时， 2 ~ 2 （n）。
例 1 一细纱车间纺出的某种细纱支书标准差为 1.2.从某 日纺出的一批细纱中随机取 16 屡进行支数测量，算得样 本的标准差为 2.1，问纱的均匀度有无显著变化？取
0.05, 并假设总体是正态分布.
解 要检验的假设为
H0
假如这时一个人主张选显著性水平 α=0.05，而另 一个人主张选显著性水平 α=0.01，则第一个人的结论 是拒绝 H0 ，而第二个人的结论是接受 H0 ，如何处理这 一问题呢？
例 1 一支香烟中的尼古丁含量 X N(,1) ，质量标准规定 不 能超过 1.5mg，现从某厂生产的香烟中随机地抽取 20 支，测 得平均每支香烟尼古丁含量为 x 1.97 mg，试问该厂生产的 香烟尼古丁含量是否符合标准的规定？
由此得
k1
2 1
/
2
(n
1)
n 1
k2
2
/
2
(n
1)
n 1
拒绝域为：
2
(n 1)S 2
2 0
2 1
/
2
(n
1)
或
2
2
/
2
(n
1)
以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在 实际问题中较多。而当均值已知的时候，对方差的假设检验，其方法类似， 只是所选的统计量为
n
(Xi )2ຫໍສະໝຸດ 这里1,2 1
,
2
,
2 2
未知，能否判定工作时
机器 B 比机器 A 更稳定. 取 0.01.
解 由题意检验假设
H0
:
2 2
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r
s
t
j 1
r
s
（2.12） S S 其中 ST 称为总偏差平方和，E 称为误差平方和，A , SB分别称为因 S 素A，因素B的（主效应）偏差平方和， AB 称为交互作用 A B 的（交互效应）偏差平方和。
定理二
在有交互作用的双因素方差分析模型中，有
S B / ( s 1) FB ~ F ( s 1,(r 1)( s 1)); S E / (r 1)(t 1)
定理八 在无交互作用的双因素方差分析模型中，有 （1） X 是 的无偏估计量； ˆ
（2）i X i 是 i 的无偏估计量； ˆ
X 有样本的定义可知， ijk ~ N (ij , ), k 1,2,, t 从而 X ijk与 ij 之差可以看成一个随机变量。令 X ijk ij ijk ， 易知， ijk , i 1,2,r; j 1,2,, s; k 1,2, t 相互独立，并 ijk ~ N (0, 2 ) 。 且 于是，我们可以把 X ijk表示为
S A ( X i X ) s ( X i X ) 2
2 i 1 j 1 r s i 1 s
S B ( X j X ) 2 r ( X j X ) 2
i 1 j 1 j 1
（2.20）
定理六
(1)
在无交互作用的双因素方差分析模型中，有
在无交互作用的双因素方差分析模型中，有 S （1）当假设 H 01 成立时， A ~ 2 (r 1) ,而且 S A与 SE 相互独 2 立，从而
FA S A / (r 1) ~ F (r 1,(r 1)( s 1)); S E / (r 1)(t 1)
S
（2）当假设 H 02 成立时， B2 ~ 2 ( s 1) ,而且 SB与SE 相互独 立，从而
2
SE
~ 2 ((r 1)(t 1)), E ( S E ) ( r 1)(t 1) 2 ;
r
(2) E ( S A ) (r 1) 2 s i 2 ;
i 1
(3) E (S B ) ( s 1) 2 r j 2 .
j 1
s
定理七
S A ( X i X ) st ( X i X )2
2 i 1 j 1 k 1
r s t
(2.11)
r
s
t
r
i 1
s
SB ( X j X ) rt ( X j X )2
2 i 1 j 1 k 1
S AB ( X ijk X i X j X ) t ( X ijk X i X j X )2
a
i 1
i
0, j 0,
j 1
记
ij (ij ) (i ) ( j ),
即
（2.4） ij称为交互效应，式中ij 是水平组合 ( Ai , Bj ) 对试验结果的总效应或 联合效应。在多因素试验中，通常把因素A与因素B对实验结果的交互效应设 想为某一个新因素的效应。这个新因素记为 A B ，称它为A与B对试验结果 的交互作用。（2.4）式可以改写为 对于交互效应，易验证满足 ij ij 0 。 i 1 j 1 我们得到（等重复试验）有交互作用的双因素方差分析模型为
SBΒιβλιοθήκη （2）当假设 H 02 成立时， 2 ~ 2 ( s 1) ,而且 SB与 SE相互独立， 从而
S B / ( s 1) FB ~ F ( s 1, rs(t 1)); S E / rs(t 1)
S
（3）当假设 H 03 成立时，A2B ~ 2 ((r 1)( s 1)),而且S AB与 SE 相互 独立，从而 S AB / (r 1)( s 1) FAB ~ F ((r 1)( s 1), rs(t 1)) S E / rs(t 1)
定理一（平方和分解定理） 在有交互作用的双因素方差
分析模型中，平方和有如下的恒等式 ST SE S A SB S AB . 其中，记 r s t r s t 2 ST ( X ijk X ) , SE ( X ijk X ij )2 i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k 1
概率论与数理统计
昆明理工大学数学系 2010.08
2
§2
双因素方差分析
有交互作用的双因素方差分析
无交互作用的双因素方差分析
一.有交互作用的双因素方差分析
在两个因素的实验中，不但每一个因素单独对试验 起作用，往往两个因素会联合起来起作用。这种作用称 为两个因素的交互作用。
1.数学模型
设在某试验中，有两个因素在变化，因素A有 r 个不 同的水平 A1 , A2 ,, Ar ，因素B有 s 个不同的水平B1 , B2 ,, BS ，在水平组合 ( Ai , Bj )下的试验结果用 X ij 表示。我们假 定 X ij , i 1, 2,, r; j 1, 2,, s 相互独立且 X ij ~ N (ij , 2 ) ， 也就是说，我们共有 rs 个独立正态总体 X ij 。此外，还 假定在每个水平组合( Ai , Bj ) 下进行了 t 次重复独立试 验，实验结果用 X ijk , k 1, 2,t 表示，我们把它看作从 总体 X ij中抽取的容量为 t 的样本。
（6）ˆ j X j X 是 j 的无偏估计量； （7）ˆij X ij X i X j X是 ij 的无偏估计量；
（8） 其中，以上 i 1, 2,, r; j 1, 2,, s.
ˆ 2 SE
SE 2 是 的无偏估计量。 rs(t 1)
2 其中， ;1,2 ,r ; 1, 2 ,s ; 11, 11, rs ; 都是未知参数。
此时，我们要检验的假设为
注：这三个假设一起组成的假设等价与假设
H01 : 1 2 r 0 H02 : 1 2 s 0 H03 : ij 0, i 1,2,, r; j 1,2,, s.
(2.7) (2.8) (2.9)
H0 : ij , i 1, 2,, r; j 1, 2,, s 全相等。
2.统计分析
记
1 r s t 1 t X X ijk , X ij X ijk , rst i 1 j 1 k 1 t k 1 1 r t 1 s t X i X ijk , X j X ijk （2.10） rt i 1 k 1 st j 1 k 1
1 r s 1 s ij , i ij , ai i , i 1, 2,, r rs i 1 j 1 s j 1 1 r j ij , j j , j 1, 2,, s （2.3） r i 1
称 为理论总均值，它表示所考虑的 rs个总体的数学期 望的总平均中称 ai 为因素A的第 i 个水平 Ai 对试验结果 的效应；称 j 为因素B的第 j 个水平 B j 对试验结果的效应。 易验证有 r s
无交互作用的双因素无重复试验的方差分析模型（它是有交
互作用的双因素等重复试验方差分析模型的特殊情形）为
X ij ai j ij ijk , i 1, 2, r; j 1, 2, , s, r s （2.15） ai 0, j 0, i 1 j 1 ij ~ N (0, 2 ), i 1, 2, r; j 1, 2, , s 相互独立。
ij (ij ) ai j ,
ij ai j ij
r s
（2.5）
X ijk ai j ij ijk , i 1, 2, r; j 1, 2, , s; k 1, 2, t r s r s （2.6） ai 0, j 0, ij ij 0 i 1 j 1 i 1 j 1 ijk ~ N (0, 2 ), i 1, 2, r; j 1, 2, , s; k 1, 2, t 相互独立
(1)
2
SE
~ 2 (rs(t 1)), E ( S E ) rs(t 1) 2 ;
r
(2) E ( S A ) (r 1) 2 st i 2 ;
(3) E ( S B ) ( s 1) 2 rt j 2 ;
(4) E ( S AB ) (r 1)( s 1) 2 t ij 2 .
其中 ;1 , 2 ,r ; 1 , 2 ,s ; 都是未知参数。 此时，我们要检验的假设为
2
H01 : 1 2 r 0
H02 : 1 2 s 0
(2.16)
(2.17)
2.统计分析 记
1 r s 1 s 1 r X X ij , X i X ij , X j X ij rs i 1 j 1 s j 1 r i 1
（2.18）
定理五（平方和分解定理） 在无交互作用的双因 素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式 ST SE S A SB , (2.19) 其中，记
ST ( X ij X ) , S E ( X ij X i X j X ) 2
2 i 1 j 1 r s i 1 j 1 r s r s r
例1
一火箭是用来4种燃料（A），3种推进器（B）， 作射程试验，每种燃料与每种推进器的组合做两次射程 试验，得火箭射程（单位：海里）如表8-8所示。试给定 显著性水平 0.05 ，检验燃料、推进器以及它们之间的 交互作用对火箭射程有无显著影响。