风险理论第五讲

= ∑ P( N = n)∑ P( X 1 + X 2 + L + X n = k | N = n)z k
n =0 ∞ n =0
∞
= ∑ f N (n)PX ( z ) n
n =0
= PN ( PX ( z ))
利用母函数或矩母函数的唯一性，找到相应的分布，这 种方法适用范围较窄。
M s ( z ) = E (e zs ) = PN ( PX (e z )) = PN ( M X ( z ))
集体风险模型
S的分布
假定单位时间内保单组合理赔的次数是 X 一个随机变量，我们记为N， 1 , X 2 ,L , X N表 示按次序到来的的理赔，设S表示单位时 间内的总理赔额，N表示单位时间内的理 赔次数，集体风险模型可以描述为
S = X1 + X 2 + L + X N
假定 X （1）1 , X 2 ,L , X N是独立同分布的随机变量 （2）N与Xi独立
练习：计算表中问号所代表的值。
例3：已知总理赔额S的分布密度函数为
f S ( x) = ∑
n =0 ∞
n + 2 f ( x) (0.6)3 (0.4) n n
*n X
其中理赔额X的分布为
f X (1) = 0.5，f X (2) = 0.3，f X (3) = 0.2
求E(S)的值。 解：由总理赔额的密度函数知
m
( )je n −1
x
−
x
θ
（二）矩母函数法和母函数法
设PS(z)表示S的母函数，MS(t)表示S的矩母函数，则经 简单推导可得
PS ( z ) = ∑ P( S = k ) z = ∑∑ P( N = n)P( S = k | N = n) z k
k k =0 ∞ k =0 n=0 ∞ ∞ ∞
(x /θ ) j = 1 − e− x /θ ∑ p j j! j =0
∞
x≥0
其中， p
j
=
n = j +1
∑
∞
pn , j = 0,1, 2 L
由于N服从二项分布B(m,p), 因此
P ( N ≥ m) = 0
从而，
m n FS ( x) = 1 − ∑ q (1 − q )rp − n ∑ θ j! n =1 n j =0
f S (0) = PN ( f X (0))
假设N服从= 0 + pk −1 k! k x∧r
f S ( x) = ∑
y =1
λ
x
yf X ( y ) f s ( x − y )
f S (0) = PN ( f X (0)) = eλ ( f X (0) −1)
x>0
（三）递推法
设个体保单理赔额X取值0,1,2,…，这r个 值表示货币单位的整数倍，表示最大的 赔付额，r可以取值无穷。假设理赔次数 N属于（a,b,0）分布族, 即分布列满足 下面关系式
b pk = P( N = k ) = (a + ) pk −1 k k = 1, 2,3, 4L
定理1 定理 如果N的分布属于（a,b,0）分布族，理赔额X取 有限个整数值0,1,2,…，则总理赔额的分布为 x∧r by (a + ) f X ( y) f s ( x − y ) ∑ x y =1 f S ( x) = 1 − af X (0)
f ( x) = ∫
*k X
x
−∞
*( f X k −1) ( x − y ) f X ( y )dy
若X是非负离散型随机变量，则
F ( x) = ∑ FX *( n −1) ( x − y ) f X ( y )
*n y =0 x
例2：假设有一组保单组合，在单位时间内可能发生的理 赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1,0.3,0.4 和0.2， 可能产生的理赔额为1，2，3，相应的概率为0.5,0.4和 0.1，试计算理赔总量的概率分布 解： 设N表示理赔次数，C表示理赔额，则
2 3 2 3 0 1 1 N ∼ ，C ∼ 0.1 0.3 0.4 0.2 0.5 0.4 0.1
因此，由公式
f S ( x ) = ∑ P ( N = n) f *n ( x )
n =0
3
= 0.1× f *0 ( x) + 0.3 × f *1 ( x) + 0.4 × f *2 ( x) + 0.2 × f *3 ( x)
例5: 设理赔额服从指数分布，均值为θ。设理赔次数服从 几何分布，参数为β。求S的分布。 解：Xi的矩母函数为
M X ( z ) = ∫ e zx
0
∞
1
θ
e θ dx =
−1
−
x
θ∫
1
∞
0
e zx e
1 (z− )x
θ
dx
= (1 − θ z )
N的母函数为
PN ( z ) = (1 − β ( z − 1)) −1
例4：设个别理赔额X分布服从指数分布，均值为θ， 理赔次数N服从二项式分布，求S的分布。 解：固定n，由gamma分布的可加性知，X1＋X2＋…+Xn 的分布为gamma分布。因此，X的n重卷积为
F
*n X
= Γ ( n, )
x
由于任何gamma函数Γ(n,x)都可以写成
x j e− x Γ(n, x) = 1 − ∑ j! j =0
故有方程组
λ f X (1) = 0.2 2λ f X ( 2 ) = k 3λ f X ( 3) = 0.6
例6 设某险种的总理赔额服从复合泊松分布，平均理赔次 数为0.2次，在任何一次理赔中，有80％的概率会损失 5000元，有20％的概率会损失10000元。试计算保险人所 面临的总理赔额的分布。 解:设X为个别理赔额，则X取值为1，2两个数，货币 单位为5000元，λ＝0.2，由公式
f S (0) = e − λ = e −0.2 = 0.8187 f S (1) = λ f X (1) f S (0) = 0.2 × 0.8 × exp(-0.2)=0.1309 f S (2) = f S (3) =
n + 2 3 n 0.6 ) ( 0.4 ) P ( N = n) = ( n
服从p＝0.6,r=3的负二项分布
q E(N) = r = 2 p q 10 Var ( N ) = r 2 = p 3 E ( X ) = 1× 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 = 1.7 E ( S ) = E ( N ) E ( X ) = 2 ×1.7 = 3.4
λ λ
2
[ f X (1) f S (1) + 2 f X (2) f S (0)] = 0.043229 [ f X (1) f S (2) + 2 f X (2) f S (1)] = 0.005796
3
如此递推下去，结果列入下表：
例7：设总理赔额S的分布列为
1 f S ( x) = [0.2 f S ( x − 1) + kf S ( x − 2) + 0.6 f S ( x − 3))], x = 1, 2,3... x
*0 X *( F ( x) = ∫ FX k −1) ( x − y )dFX ( y ), k = 1, 2,... *k X −∞ x
若X是非负连续随机变量，则
*( F ( x) = ∫ FX k −1) ( x − y ) f X ( y )dy, k = 2,3,.... *k X 0 x
S的函数
M S ( z ) = PN ( M X ( z )) = {1 − β [(1 − θ z ) −1 − 1]}−1 1 = (1 − (1 + β )θ z ) + 1+ β 1+ β
−1
β
这是一个由指数分布和贝努利（0－1）分布组成的混 合分布。它的分布密度和分布函数为
1 x=0 1 + β f s ( x) = β x exp(− ) 2 θ (1 + β ) θ (1 + β )
rq rq Var ( N ) = 2 ，E ( N ) = p p 所以 E(N ) E(N ) Var ( N ) = = = 24 p 2/3 2 E ( N ) = 24 × = 16 3 E ( X ) = 2 × 0.3 + 3 × 0.5 + 4 × 0.2 = 2.9
Var ( X ) = 22 × 0.3 + 32 × 0.5 + 42 × 0.2 − 2.9 2 = 0.49 E ( S ) + Var ( S ) = E ( X ) E ( N ) + Var ( X ) E ( N ) + E ( X ) 2 Var ( N ) = 2.9 × 16 + 0.49 × 16 + 2.92 × 24 = 256.08
已知E(S)=1.5,求理赔额变量X的期望E(X)。 解：从S的分布知，S服从由复合泊松分布的递归公式
f S ( x ) = ∑ yf X ( y ) f S ( x − y ) y =1 x
知X只取1、2、3，
x∧r
λ
1 f S ( x ) = [λ f X (1) f S ( x − 1) + 2λ f X ( 2 ) f S ( x − 2 ) x + 3λ f X ( 3) f S ( x − 3)]
FS ( x) = P( S ≤ x) = ∑ P( S ≤ x | N = n)P( N = n)
n=0 ∞
= ∑ P( X 1 + X 2 + L + X n ≤ x | N = n)P( N = n)