2014-2015年天津市滨海新区汉沽五中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年天津市滨海新区汉沽五中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共12小题48分）1．（4分）如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题2．（4分）经过点A（1，2）且与直线2x﹣3y+5=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣3y+4=0 B．3x+2y﹣7=0 C．2x﹣3y﹣7=0 D．3x+2y+4=03．（4分）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行且不重合的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件4．（4分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．25．（4分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含6．（4分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．7．（4分）把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（）A．2倍 B．2倍C．倍D．38．（4分）边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成90°的二面角，则AC的长为（）A．B．C．D．a9．（4分）若a、b是异面直线，α、β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则（）A．l与a、b分别相交B．l与a、b都不相交C．l至多与a、b中一条相交D．l至少与a、b中的一条相交10．（4分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（4分）已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是（）A．②B．④C．②④D．①②12．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定二．填空题（每小题4分，共6小题24分）13．（4分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．14．（4分）直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为．15．（4分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是．16．（4分）命题∀x∈R，x2+1≥1的否定是．17．（4分）正方体的全面积是24cm2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是cm2．18．（4分）若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值是．三、解答题（每小题12分，共4小题48分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA1和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：AC⊥平面ADA1．20．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．21．（12分）如图，已知一四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．22．（12分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．2014-2015学年天津市滨海新区汉沽五中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共12小题48分）1．（4分）如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题【解答】解：∵当p，q中都为假命题时，“p∨q”为假命题故选：A．2．（4分）经过点A（1，2）且与直线2x﹣3y+5=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣3y+4=0 B．3x+2y﹣7=0 C．2x﹣3y﹣7=0 D．3x+2y+4=0【解答】解：设经过点A（1，2）且与直线2x﹣3y+5=0垂直的直线方程为﹣3x ﹣2y+c=0，把A（1，2）代入，得：﹣3﹣4+c=0，解得c=7．∴经过点A（1，2）且与直线2x﹣3y+5=0垂直的直线方程为3x+2y﹣7=0．故选：B．3．（4分）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行且不重合的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0，3x+2y+4=0，∴两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则∴a=3综上所述，a=3是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C．4．（4分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．5．（4分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含【解答】解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选：A．6．（4分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=，故选：D．7．（4分）把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（）A．2倍 B．2倍C．倍D．3【解答】解：解：设原球的半径R，∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍，则半径扩大为原来的倍，∴体积扩大为原来的2倍．故选：B．8．（4分）边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成90°的二面角，则AC的长为（）A．B．C．D．a【解答】解：由已知得AB=AD=CB=CD=a，∠BAD=∠BCD=∠AOC=90°，∴AO=CO==，∴AC==a．故选：D．9．（4分）若a、b是异面直线，α、β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则（）A．l与a、b分别相交B．l与a、b都不相交C．l至多与a、b中一条相交D．l至少与a、b中的一条相交【解答】解：对于A，a∥l，b∩l=A，满足题意，故A不正确；对于B，l与a、b都不相交，则l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故B不正确；对于C，l可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故C不正确；对于D，由A，B，C的分析，可知正确故选：D．10．（4分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选：A．11．（4分）已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是（）A．②B．④C．②④D．①②【解答】解：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β是假命题，因为m⊂β时题设条件也是成立的；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β是真命题，垂直于同一直线的两个平面是平行的；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α是假命题，这是因为当m∥α时，面α内也存在与m垂直的直线，故n⊂α也是可能的，所以是假命题；④若m∥α，m⊂β，则α∥β是假命题，因为一个平面中的一条线平行于另一个平面，那么这两个平面可能平行也可能相交，故假命题．综上，仅有②是真命题．故选：A．12．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定【解答】解：∵正方体棱长为a，A1M=AN=，∴=，=，∴=++=++=（+）++（+）=+．又∵是平面B1BCC1的法向量，且•=（+）•=0，∴⊥，∴MN∥平面B1BCC1．故选：B．二．填空题（每小题4分，共6小题24分）13．（4分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．14．（4分）直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为2x﹣3y=0或x+y+5=0．【解答】解：当直线过原点时，斜率k==，故直线的方程为y=x即2x ﹣3y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y+m=0，把（﹣3，﹣2）代入直线的方程得m=5，故求得的直线方程为x+y+5=0，综上，满足条件的直线方程为2x﹣3y=0或x+y+5=0．故答案为：2x﹣3y=0或x+y+5=0．15．（4分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是28+12．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱．底面三角形为等腰三角形，底边长为2，腰长为2；棱柱长为6．S底面==4S侧面=cl=6×（4+2）=24+12所以表面积是28+12．故答案为：28+12．16．（4分）命题∀x∈R，x2+1≥1的否定是∃x0∈R，．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题∀x∈R，x2+1≥1的否定是：∃x0∈R，．故答案为：∃x0∈R，．17．（4分）正方体的全面积是24cm2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是12πcm2．【解答】解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知4R2=3a2=12即R2=3，=4πR2=4π•3=12π （cm2）．∴S球故答案为：12π．18．（4分）若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值是．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=，将最小值转化为过定点P（1，2）的直线PQ的斜率最小，当直线PQ是圆的切线时，z最小，设直线PQ的方程为：y﹣2=k（x﹣1）即kx﹣y+2﹣k=0．则：，∴k=．∴最小值为：故答案为：．三、解答题（每小题12分，共4小题48分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA1和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：AC⊥平面ADA1．【解答】（本小题共13分）证明：（Ⅰ）连结B1C，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中A1B1∥AB且A1B1=AB，由ABCD为平行四边形得CD∥AB且CD=AB∴A1B1∥CD且A1B1=CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴四边形A1B1CD为平行四边形，A1D∥B1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵B1C⊂平面BCC1B1，A1D⊄平面BCC1B1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴A1D∥平面BCC1B1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）∵平行四边形ABCD中，AC⊥BC，∴AC⊥AD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC∴AA1⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又∵AD∩AA1=A，AA1⊂平面ADA1，AD⊂平面ADA1，∴AC⊥平面ADA1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）20．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k AB=1，AB中点坐标为（1，2），…（3分）由题意可知直线AB与CD垂直，故k AD•k AB=﹣1．所以k CD=﹣1．∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（6分）（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…（8分）又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4，∵以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）∴|PA|=2．∵P（a，b），A（﹣1，0）∴|PA|2=（a+1）2+b2=（2）2②…（10分）由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）21．（12分）如图，已知一四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：BD⊥AE．（3）求二面角P﹣BD﹣C的正切值．【解答】（1）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，PC=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积：V===．（2）证明：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴BD⊥AE．（3）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0），∴，，设平面PBD的法向量，则，取x=2，得，由题意知，设二面角P﹣BD﹣C的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞==，∴tanθ=2．∴二面角P﹣BD﹣C的正切值为2．22．（12分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．【解答】解：（Ⅰ）证明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且AD是平面ABCD和平面PAD的交线，PA在平面PAD内，∠PAD=90°，根据两个平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α．直角三角形EAF中，tanα===．（Ⅲ）设正方形的边长为2，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立空间坐标系，可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0）、F（1，2，0）、E（0，0，1），∴=（1，2，﹣1）、=（﹣2，2，0），∴cosβ===，故异面直线EF与BD所成的角的余弦为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。