(MBA课程)管理运筹学：第二章 线性规划的图解法

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目标函数： max Z=50x1+100x2， 满足约束条件：x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400， x2≤250, x1≥0, x2≥0. 由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数， 约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称 之为线性规划。 把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行 解。把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称 为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标 函数值，简称最优值。

这表明了生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消 耗完所有可使用的设备台时数和原料B，但对原料A来 说只消耗了350千克，还有(400—350)=50千克没有 使用。在线性规划中，对一个≤约束条件中没使用的资 源或能力的大小称之为松弛量。 12
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松弛变量和线性规划标准化


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§2.2 图 解 法

对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可 以用图解法来求解。大于两个决策变量不能用图解 法来解了。 图解法.首先把每个约束条件（代表一个平面） 画在二维坐标轴上。
300 x2
X1+X2=300
100
100
300
x1
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3．投资问题。从许多不同的投资项目中选 出一个投资方案，使得投资的回报为最大。 4．产品生产计划。合理充分地利用厂里 现有的人力、物力、财力，作出最优的产品 生产计划，使得工厂获利最大。 5．劳动力安排。某单位由于工作需要， 在不同时间段需要不同数量的劳动力，在每 个劳动力工作日连续工作八小时的规则下， 如何安排劳动力，才能用最少的劳动力来满 足工作的需要。
Z=0=X1+X2
Z=1=X1+X2
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4．线性规划存在无可行解的情况。若在 例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，显然可见新的线性规划的可行 域为空域，出现这种情况是由于约束条件自相 矛盾导致的建模错误。
400
x2 X2=250
100 100 300
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§2.1 问题的提出
生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B两 种原材料的消耗，以及资源的限制，如下表所示。 设备 原料A 原料B Ⅰ 1 2 0 Ⅱ 1 1 1 资源限制 300台时 400千克 250千克
例1．某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的
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x2 500
用图解法来解：
2x1+ห้องสมุดไป่ตู้x2=1200
300
Q点坐标为 x1=250, x2=100
2x1+3x2=800
100
Q
100
300
500
600 X1+X2=350
x1
X1=125
2X1+X2=600
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目标函数在可行域内Q点处取得最小 值。Q点
x1 X1+X2=300
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4x1+3x2=1200
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目标函数最小化的线性规划问题
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨(A，B两种材料有一定替代性)，其中A原料 至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需 要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共 有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B 两种原料，使得购进成本最低? 解：设x1为购进原料A的吨数，x2为购进原料B的 吨数。得到了此线性规划的数学模型如下： 目标函数： min f=2x1+3x2， 约束条件： x1+x2≥350， x1≥125，2x1+x2≤600, x1,x2≥0.
400
x2
2X1+X2=400
100 100 300 x2
x1
X2=250
100
100
300
x1
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2x1+x2=400
400 x2 B Z=27500=50x1+100x2 X2=250
阴影部分的每 一点(包括边界 线)都是这个线 性规划的可行 解，
此公共部分也 称为可行域。
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6．运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单
位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何制 定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最小。 以上的这些问题都有一个共同的特点。 首先，每个例子中都要求达到某些数量上的最大化 或最小化的目标。 如问题1，是要求使用原料钢管最少；问题2是要求 利润最大；问题3是要求投资回报最大等等。在所有线 性规划的问题中某些数量上的最大化或最小化就是线性 规划问题的目标。 其次，所有线性规划问题都是在一定的约束条件下 来追求其目标的。 例如问题1，是在满足生产需要的一定数量、不同 规格的钢管的约束下来追求原材料钢管的最小使用量。 而在问题2中是在原料供应量的限制和保证产品成分的 含量约束下来追求最大利润的。

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对于一般线性规划问题的建模过程。应注意 如下几个问题：
1．要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件
下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量(X1， X2, …, Xn)表示任何一个方案；这组决策变量的值就代 表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 3．用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标， 称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最 大化或最小化。 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问 题过程上所必须遵循的约束条件。 满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规 划的数学模型，其一般形式为: 7
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第二章 线性规划的图解法
线性规划（Linear Programming,简称LP)是运筹 学的一个重要分支。它是现代科学管理的重要手段之 一，是帮助管理者作出最优决策的一个有效的方法。 下面看看一些在管理上经常应用的典型线性规划问题： 1．合理利用线材问题。现有一批长度一定的钢管， 由于生产的需要，要求截出不同规格的钢管若干。试 问应如何下料，既满足了生产的需要，又使得使用的 原材料钢管的数量最少。 2．配料问题。用若干种不同价格不同成分含量的 原料，用不同的配比混合调配出一些不同价格不同规 格的产品，在原料供应量的限制和保证产品成分的含 量的前提下，如何获取最大的利润。
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2x1+x2=400
400 x2 B Z=15000=50x1+50x2 X2=250
100 100 300
x1 X1+X2=300
Z=0=50x1+50x2
Z=10000=50x1+50x2
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线性规划存在无界解，即无 最优解的情况。对下述线性规划问 题： 目标函数： max z =x1+x2 约束条件： x1-x2≤1 - 3x1+2x2≤6 x1≥0，x2≥0．
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线性规划的数学模型的一般形式为:
目标函数： max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm, x1, x2, …, xn≥0.
为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的
资源或能力的变量，称之为松弛变量，记为Si。显 然这些松弛变量对目标函数不会产生影响，可以在 目标函数中把这些松弛变量的系数看成零，加了松 弛变量后我们得到如下的例1的数学模型： 目标函数： max Z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3， 约束条件： x1+x2+s1=300, 2x1+x2+s2=400, x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
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其中max为最大化的符号(最小化为min)；50和100分别为单位产
品 Ⅰ、 Ⅱ的利润。同样也可以用x1和x2的线性不等式来表示问 题的约束条件。对于台时数的限制可以表示为： X1+X2≤300．
同样，两种原材料的限量可分别表示为：
2X1+X2≤400, X2≤250. 显然还应该有x1≥0，x2≥0，因为Ⅰ产品, Ⅱ产品的 产量是不 能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型如下：
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像这样把所有的约束条件都写成等式，称为线性 规划模型的标准化，所得结果称为线性规划的标准形 式。在标准型中 bj(右边常量)都要大于等于零， 对某 个bj小于零时，只要方程两边都乘以(-1)即可。 实际上以后可看到应同时具备如下三个条件的模型 才是标准型： 一是约束条件必须化为等式；二是所有变量必须化 为大于或者等于零；三是约束条件中的右端常数项必 须是大于或者等于零。 对例1 的最优解 x1=50,x2=250来说，松弛变量的值 如下所示： 约束条件 松弛变量的值 设备台时数 s1=0 原料A s2=50 原料B s3=0 14