2018版高中数学人教B版必修四学案：2-1-1 向量的概念 精品

2．1 向量的线性运算 2．1.1 向量的概念
[学习目标] 1.能结合物理中的位移认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
[知识链接]
1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．
2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？
答 联系是：向量与数量都是有大小的量；区别是：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小． [预习导引] 1．向量的概念
既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的几何表示
以A 为始点，以B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念
(1)零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(3)平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a 平行于b ，记作a ∥b .
要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ； ③向量就是有向线段；
④两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；
⑦若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →
. 其中正确命题的序号是________． 答案 ④⑤
解析 ①该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；
②该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； ③该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；
④该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； ⑤该命题正确，由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； ⑥该命题不正确，因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a \[KG －2.5mm ]∥c ；
⑦该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.
规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量AB →与CD →
是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________． 答案 ③
解析 ①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误.0的模|0|＝0.
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →
必须在同一直线上． 要点二 向量的表示
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)OA →，使|OA →
|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →
|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →
|＝6，点C 在点B 北偏东30°.
解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →
|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →
如图所示．
(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →
|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →
如图所示．
(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →
|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．
规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．
解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．
要点三 相等向量与共线向量
例3 如图所示，
O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形． (1)写出与AO →
相等的向量； (2)写出与AO →
共线的向量； (3)向量AO →与CO →
是否相等？
解 (1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →
.
(2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →
的方向相反，所以它们不相等．
规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．
跟踪演练3
如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？
解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中： (1)模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →
＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.
(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →
，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →
反向的也有6对．
(3)模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →
.
1．下列说法正确的是( ) A ．零向量没有大小，没有方向 B ．零向量是唯一没有方向的向量 C ．零向量的长度为0
D ．由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行 答案 C
解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故A ，B 错误，C 正确．零向量与任一向量平行，故D 错误．
2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →
，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC → 答案 D
解析 ∵AB →＝DC →
，∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →
.
3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________________． 答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →
解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．
4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →
|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形
解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →
|，
∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．。