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第四章 解析几何的产生与数形结合思想
具体说来，所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对 应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。 实现数形结合，常与以下内容有关： （1）实数与数轴上的点的对应关系； （2）函数与图象的对应关系； （3）曲线与方程的对应关系； （4 ）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复 数、三角函数等； （5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
第四章 解析几何的产生与数 形结合思想
在17世纪以前，代数和几何基本是分离的。代数主要研 究“数”，而几何主要研究“形”。第一个在代数和几何上架 起一座桥梁的人是法国的笛卡尔。
第一节 笛卡尔与解析几何的产生
一、笛卡尔生平
笛卡尔（1596-1605）生活在资产阶级与封建领主、 科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说 教有强烈的怀疑批判精神，坚定不移地寻找真理。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代 数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念 密切联系了起来。
三、中学数学中的数形结合思想
数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解 决问题的思想，是最基本的数学思想之一。 它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽 象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。 正如我国著名数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论 述:“数以形而直观，形以数而入微”。
如果能巧妙运用数形结合的思想方法，很多问题特 别是一些抽象的数学问题，往往能迎刃而解，且解法简 捷，起到事半功倍的效果。数形结合的重点是研究“以 形助数”。
在中学数学中, 数形结合的思想方法应用范围较为广泛， 常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最 值问题中，在求复数和三角函数解题中等等。运用数形结思 想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推 理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其 优越。
高中数学人教A版2021年课标版必修2阅读与思考 笛卡儿与解析几何
高中数学人教A版2021年课标版必修2阅读与思考笛卡儿与解析几何笛卡尔与解析几何设计者：00 设计时间：____年9月一、教材分析“笛卡尔与解析几何”是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修二第三章第3.3节的内容，是阅读与思考的内容。
在本节内容之前依次是空间几何体、点线面的位置关系、直线与方程，它的后面是圆与方程，本节之前是几何，本节之后也是几何，同时在必修一中学生已经学过了函数问题，初中已经学过在坐标系中研究代数问题；因此，本节课的意图是要学生明确解析几何的来龙去脉，同时要让学生意识到几何与代数之间是有深刻联系的；同时还要让学生意识到解析几何中的思想方法，始终贯穿在整个高中阶段，在我们的解题或者是生活中都是必不可少的，另外，本节课的内容也为学生学习后面的圆、圆锥曲线和极坐标以及大学所学的空间解析几何提供最基本的学习策略和解决问题的方向。
本节阅读材料“笛卡尔与解析几何”先分析了笛卡尔创建解析几何的背景和原因，然后简单叙述了笛卡尔创建解析几何的过程，最后说明了解析几何的意义和它的结构特征。
同时指出费马也是解析几何创建人之一，因此本节课的设计安排是要让学生明确解析几何的来龙去脉，理解解析几何中数形结合的基本思想，体会解析几何创建的意义，知道学习解析几何的基本方法。
另外这种设计还要让学生从系统、全面的角度去了解解析几何，感受笛卡尔在创建解析几何中所体现出来的精神品质。
本节阅读材料是对解析几何进行了宏观、全面的描述，并没有突出解析几何基本的方法—坐标法。
另外学生学习了本节阅读材料，知道笛卡尔创建解析几何，但是学生不知道笛卡尔具体是怎么创建解析几何的。
因此，笔者把笛卡尔创建解析几何过程中的帕波斯问题设计了出来，并进行了重点突出。
二、学情分析本节课的授课对象是高二（6）班，根据重庆地区的教学顺序安排，学生已经已经先后学习了必修一，必修四，必修五，必修三，必修二，选修2-2的圆锥曲线，对解析几何有了一个宏观的认识，但是对解析几何的认识还不够深刻，学生仅仅停留在单纯做题的角度，尤其缺乏对解析几何文化和建立解析几何过程的了解，更谈不上对数形结合的思想在解析几何中深刻的认识。
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2、笛卡儿创立解析几何
聆听故事：笛卡儿与坐标系
解析几何就这样诞生了
笛卡儿的理论以两个观念为基础：坐标观念和利用 坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面 上的一条曲线。
笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形” 与 “数” 统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了 数学史上一项划时代的变革 。
问题3、在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
z
D
4
3
O
y
1
D`
x
四、小结
1、学习认识科学巨人笛卡儿 2、感知解析几何的创立和发展过程 3、解析几何应用举例
五、课后实践
1、从科学巨人笛卡儿身上你学到了什么？ 2、将解析几何的发展史整理成学习报告 3、解析几何的应用
数 学文 化 之
笛卡儿与解析几何
宿州学院附属实验中学数学组 窦本旺
凄美的爱情故事
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一、走进科学巨匠笛卡儿
笛卡儿的生平
出生：1596年3月31日（法国安德尔-卢瓦尔） 逝世：1650年2月11日（瑞典斯德哥尔摩）
笛卡儿的伟大贡献
哲学方面（我思故我在 ）
5、解析几何的意义
解析几何的创立，在数学史上具有划时代的意义。 恩格斯给出极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿 的变量，有了变量，运动进入了数学；有了变量，辩 证法进入数学；有了变量，微分和积分也就立刻成为 必要的了。”解析几何作为有效的数学工具，沟通了 数学中的数与形、代数与几何等基本对象之间的联系， 使得几何问题可转化成代数运算来解决，也使得代数 问题拥有几何背景而变得直观易懂。
笛卡尔与解析几何
笛卡尔与解析几何解析几何，又叫坐标几何，或笛卡尔几何，是运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题的一门数学。
通常，使用二维或三维的直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系。
1637年，笛卡尔在其著作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。
这种方法对几何学来说是革命性的。
首先，使用代数技巧来解决几何问题，这意味着数与形统一起来了，代数方法与几何方法第一次真正结合了。
其次，数学家们有了一种选择，可以将几何学视为代数学的一个分支了。
而这个革命性的新进路据说是由一只苍蝇引发的灵感，这则轶事在齐斯·德福林的《数学的语言》一书中有记载。
众所周知，笛卡尔身体虚弱，容易生病，非常喜欢躺在床上。
1619那个寒冷的冬季，对数学兴趣正浓的笛卡尔，躺在床上翻来覆去地思考问题时，一只在天花板上爬行的苍蝇引起了他的注意。
注视着这只苍蝇爬来爬去，笛卡尔领悟到它在任一时刻的位置，都可以用它那一时刻与两面垂直墙面的距离来确定。
就这样笛卡尔找到了用代数方程描述苍蝇的爬行路径的方法，同时也找到了一种表现直线和曲线的新方法。
这种代数方法，虽然完全不同于古希腊人所提出的几何论证，但却不会将几何研究变成代数课题，也就是说结果依然是几何，只不过是利用代数技巧来研究形状的模式而已。
我们知道，科学主要是通过替代来发展，而数学主要通过沉淀而成长，但解析几何的建立虽然也是站在巨人的肩膀上，不过这些巨人距离笛卡尔的时代有些远，正如博耶教授所说：“乃是由一次试图回归过去的努力所激发的。
”要记得，《几何学》只是笛卡尔的《方法论》中的一篇附录。
而笛卡尔最重要的影响，除了建立了解析几何，就是对方法论的反思了。
在17世纪那个新旧知识交替的时代，为了在一片混乱中求得确定性，笛卡尔开启了“普遍怀疑”的模式，并把目光转向了他所擅长的数学。
笛卡尔想要建立一种普遍数学，把代数、几何、算术统一起来。
笛卡儿和它的《几何学》.
笛卡儿和它的《几何学》让我们先从笛卡儿生活的时代特征谈起吧！那时，科学家关于自然规律的研究开始向宗教教条挑战，教会本身也有清教徒与天主教徒的激烈争论．笛卡儿怀疑他在学校里所得到的一切知识，反对经院哲学，主张科学的革新．这正是这个时代精神的体现．笛卡儿和培根一样，很重视方法论和认识论的问题．他认为：传统的经院哲学的方法不能给人以真正的知识．培根用经验的归纳法来代替经院哲学的方法，而笛卡儿则用理性的演绎法来代替它．笛卡儿认为：理性演绎的标本就是传统的几何学．这个方法就是：从几个一望而知的、清楚明白的、“不证自明”的公理出发，一步一步地推演出其他许多命题，以构成一个知识的系统．——我们应该认识到：笛卡儿的这种思想方法，不仅影响其哲学观点，而且影响其数学的生成和发展．接着，再来谈谈他的数学．笛卡儿《方法论》的第三个附录《几何学》有100页，它又分为三卷．《几何学》第一卷中，阐明用代数方法解几何题的原则，但内容是超过古代希腊人的．对希腊人来说，一个数相当于某个线段的长度．两个数的乘积相当于某个矩形的面积，三个数的乘积相当于某个长方体的体积，如此而已．笛卡儿则不把x2看做面积，而看做1∶x＝x∶x2的比例第四项，对于已知的x，则x2是可作出的．因此，选定一个单位长度后，一个数的任意次乘幂，或几个数的乘积，都可以用尺规作图方法作出来．例如，假定某几何问题，归结到寻求一个未知长度x，经过代数运算，知道x满足方程x2＝ax＋b2．其中a与b是已知的长度．由代数学知道：这种问题求的是一个确定的唯一的长度，可以称为确定的作图问题，实际上它不是解析几何．笛卡儿进一步考虑的是“不确定的”问题，就是说，它的结果有许多长度均可以作为答案．这些长度的端点构成一条线．他说：“也要求发现并且指出这条包括所有端点的曲线．”笛卡儿用任意长度x表示未知的长度y，最后得到一个不定方程．他说，对于每一个(x，y)，满足一个确定的方程，因而其曲线是可以画出来的．笛卡儿在一根轴上记下x的长度，再在与这轴有一个固定角的线上标出y(图2)．于是画出所有的点，它的x，y是满足已知方程的．例如，我们有关系式y＝x2，可以按比例求第四项的方法，对于一个固定的x i，求得它的对应的y i．这些(x i，y i)就是关系式y＝x2所表示的曲线上的点．笛卡儿对于从运动学所得到的代数关系式的曲线特别感兴趣．《几何学》中有这样的例题(如图3)：已知五条线L1、L2、L3、L4、L5．设p i表示点P到L i(i＝1，2，…5)的距离．取L5、L4为x轴、y轴，使p1p2p3＝ap4p5，求P点的轨迹(这轨迹是个三次曲线，牛顿称之为笛卡儿的抛物线，有时又称为三叉戟．)一般地，在平面上有m＋n条直线，求所有这样的点P的轨迹：从点P作直线与m＋n条直线分别交于已知的角(这m＋n个交角不一定相等)，设P到它与直线L i的交点的长度是p i，a为常数，使p1p2…p m＝ap m＋1p m＋2…p m＋n这个问题是古代希腊的帕普斯问题(公元三世纪)的推广．用上述记号，帕普斯问题可以表示为p1p2＝ap3p4此轨迹是一条圆锥曲线．笛卡儿说，帕普斯问题的推广，导致高于二次的曲线．据说，笛卡儿就是由于想解决这个一般性问题，而促使他发明解析几何的．他的方法可归结为：(1)选定一条直线作为基线(如图3中的L5)．(2)在基线上取一点为原点(如L5上的O)．(3)x的值是基线上的从原点量起的长度(如OA)．(4)y值是从基线出发的线段的长度(如线段AP)．图3中的L4与L5垂直，就构成直角坐标系．如果L4与L5的交角不是直角，那么，就构成斜角坐标系．笛卡儿有了曲线方程的思想以后，进一步断言：(1)坐标系的选择与曲线的次数无关．(2)坐标系的选择应使所得的曲线方程愈简单愈好．(3)同一个坐标系，写出两个不同的曲线方程；联立地解这两个方程，可以求出这两条曲线的交点．在《几何学》第二卷中，除谈论一种曲线分类法外，还讲了作曲线的切线的有趣方法(如图4)．设给定曲线的方程为f(x，y)＝0，而(x1，y1)为我们想要在其上作切线的P点的坐标．设坐标为(x2，O)的Q点为x轴上一点，则以Q为圆心过P点的圆的方程为(x－x2)2＋y2＝(x1－x2)2＋y2如果我们将此方程与f(x，y)＝0联立消去y，就得到关于x的一个变量的方程，由此方程可推出该圆与给定曲线交点的横坐标．然后，我们确定x2，使得这个只包含x一个变量的方程有一对等于x1的根．曲线在P 点上的法线与x轴的交点即Q点，因为这时该圆切给定曲线于P点．一旦作出此圆，我们可以容易地作所求切线．作为这方法的一个例子，考虑抛物线y2＝4x在点(1，2)上的切线．在这里，我们有(x－x2)2＋y2＝(1－x2)2＋4消去y，给出 (x－x2)2＋4x＝(1－x2)2＋4或 x2＋2x(2－x2)＋(2x2－5)＝0此二次方程有两个相等的根的条件是其判别式为零．即(2－x2)2－(2x2－5)＝0或x2＝3现在能作以(3，0)为圆心、过曲线上的(1，2)点的圆了，并且最后可以作出所求的切线．这个作切线的方法被笛卡儿应用于许多不同的曲线，包括以他的名字命名的四次卵形线．在这里，有一个一般程序，它确切地告诉我们解这类问题该做些什么．但是必须承认：在比较复杂的情况下，要进行的代数运算是极其麻烦的．《几何学》的第三卷涉及高于二次的方程的解法．它用到现在所谓的笛卡儿符号规则，即确定一个多项式具有正根和负根的个数的最大限额的规则．在《几何学》中，笛卡儿确立了用字母表中前几个字母代表已知数，用后几个字母代表未知数的习惯用法．他还引进了我们现在的指数系统(例如，a3，a4，等等)，比起韦达表示幂的方法有很大改进．他还认识到：字母可以表示任何量，正的或负的．在这里，我们还见到待定系数法的最初使用．——通观三卷《几何学》，就能看到：笛卡儿的思路确实是步步深入的．从尺规作图到确定的作图问题，再到曲线方程和曲线与坐标的关系，最后，脱开坐标探讨解析方程．——虽然从原书中的32个图形中找不到一个明确地摆出了坐标轴的图；但是，《几何学》给我们的启示又岂止是解析几何．笛卡儿把自己比做建筑师，即：立下计划，指明什么是应该做的，而把具体的操作留给木工和瓦工．笛卡儿1596年出生于法国图朗．他八岁进拉弗莱什的耶稣会学校．在那里，他养成了早上睡懒觉的习惯．后来，笛卡儿说，他的大部分成果出自早上休息的那段适宜沉思的时间．1612年．笛卡儿离开了学校，不久就到了巴黎．他曾在那里和梅森、迈多治一起专门研究数学．从1617年起，他在奥朗日的莫里斯亲王的军队里当了几年兵．在离开军队之后，他花了四五年工夫外出旅行，到过德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利．在巴黎住了两年，在那里他继续进行数学研究和哲学探索，还一度从事光学仪器的制造．然后，在荷兰势力最大的时候，他迁到了荷兰，在那里生活的20年中，他从事哲学、数学和自然科学的研究．1649年，他勉强地接受克利斯蒂娜女王的邀请到了瑞典．几个月后．在1650年初，他因患肺炎死于斯德哥尔摩(参看图5)．。
费马和笛卡尔创立解析几何的方法
费马和笛卡尔创立解析几何的方法费马和笛卡尔是两位伟大的数学家，他们利用融合几何学技术和数学知识来创建几何学的解析学派，也就是现在所谓的解析几何学。
费马是一位著名的数学家，他曾使用狭义的代数和几何学知识来为真正系统地探索几何学提供基础，在17世纪，他发表了著名的《费马小定理》，而笛卡尔则以他在几何方面的贡献而闻名。
笛卡尔创立了代数几何学，他创建的数学理论成为现代解析几何的基础，并为数学家们提供了一种有效的方法来研究几何形状。
本文将详细阐述费马和笛卡尔创立解析几何的方法。
第一部分:费马的几何概念费马的几何学思想可以追溯到古希腊，他开创了几何学的数学领域。
他将数学与几何学紧密结合，他把几何学变成一门精确的数学科学，而不再只是解决几何问题的方法。
他认为，几何学的根本假设是不可矛盾的，因此可以使用数学和逻辑去推理求解几何学问题。
他的理论基础就是我们现在所熟悉的小费马定理，它被认为是历史上最重要的数学定理之一。
第二部分:笛卡尔的解析几何学笛卡尔也是一位著名的数学家，他使用费马的几何概念来创立了解析几何学。
笛卡尔创建的数学理论成为解析几何学的基础，它使用代数来描述几何形状，并为数学家们提供了一种精确的方法来研究几何形状。
笛卡尔最著名的数学成果是他的几何原理，他的几何原理表明，任何一个几何图形的性质都可以用一系列逻辑推理来表达出来，这些推理看似简单，但实际上却极具深度。
第三部分:费马和笛卡尔创立解析几何的方法费马和笛卡尔共同创立了解析几何学，它是一种将几何学和数学紧密结合的学科，它使用数学方法来描述几何形状，从而解决几何问题。
费马首先提出将数学与几何学结合起来解决数学问题的概念，他把几何学变成一门精确的数学科学，这一思想为笛卡尔创建解析几何学把手。
笛卡尔利用费马的理论基础，结合几何学和数学的知识，提出了一套有效的方法，用来研究几何形状，并用它来解决几何学问题。
笛卡尔还创立几何原理，该原理表明，任何一个几何图形的性质都可以用一系列逻辑推理来表达出来，这一原理也是解析几何学的核心概念之一。
阅读与思考笛卡儿与解析几何
课堂小结
点到直线的距离公式
数
情境引入
若只有8号窗口可办理身份证业 务，你会以怎么的路径过去？
为提高效率，进门后的1-8号每个 窗口均可办理，你会选择哪个窗口？
这个最短路程是多少呢？
点到直线的距离
点 直线
奉化中学 裘嘉静 2019. 5.
形
直线 点到点的距离 点到直线的距离
概念梳理
数
方程
？
如何用坐标法求点到直线的距离呢？
问题探究
方法1（定义法找垂足）
问题探究
问题探究
方法2（几何法算面积）
问题探究
问题探究
方法3（向量法寻投影）
问题探究
方法迁移
拓展阅读
拓展作业：课后搜索点到直线的距离公式的 不同证明方法，并教材解读
方法迁移
点到直线的距离
形
以数解形 以形简数
特殊到一般 数形结合 化归思想
笛卡尔与解析几何的创立
笛卡尔与解析几何的创立摘要：笛卡尔引入了坐标的观念，将几何坐标公式化，为解析几何的创立做出了奠基性的贡献。
解析几何的创立使代数、几何实现了完美的统一，不仅促进了几何的研究和代数的独立发展，而且推进了科学的进步。
关键词：笛卡尔解析几何坐标勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596年至1650年）法国哲学家、科学家和数学家。
笛卡尔是西方现代哲学思想的奠基者，其哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人。
但是，可能许多人不太了解他对现代数学做出的重要贡献，笛卡尔因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何的创立者。
笛卡尔，1596年3月31日生于法国土伦的拉哈耶。
父亲是一位律师，笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师。
在巴黎，他认识了米道奇(Mydarge)和梅森(Merrsnne)，花了一年时间与他们一起研究数学。
笛卡尔为了追赶当时的时髦(有志之士不是献身宗教，就是献身军事)而去从军，遍历欧洲。
1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，由于看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给了那位中年人，引起了中年人的极大惊讶，原来这个中年人是荷兰著名的数学教授别克曼(Isaac Beeckeman,1588年至1673年，荷兰)，这次偶然的机会使笛卡尔对自己的数学才华加深了信心，从此在别克曼教授的指导下学习数学，1628年他移居荷兰，在较为安静自由的学术环境中生活了二十年，写成了许多世界名著。
其主要著作有《思想的指导法则》《世界体系》等。
1637年，笛卡尔出版了他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书，书后三个附录之一的《几何学》，阐述了坐标几何即今解析几何的内容，它体现出一种“数”“形”结合的新思想，引起了数学的变革，成为变量数学的起点。
笛卡尔的中心思想是要建立一种普遍的数，使算术、代数、几何统一起来，其思想方法主要表现在:1 引入了坐标概念笛卡尔从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系、从而建立了坐标的观念。
笛卡尔对解析几何的贡献
笛卡尔对解析几何的贡献在数学的历史长河中，笛卡尔的名字因他的解析几何学而熠熠生辉。
他的这一伟大贡献，不仅改变了数学的面貌，而且为后来的科学研究提供了重要的工具。
在解析几何学的创立过程中，笛卡尔展现了他无比的智慧和独到的眼光，为这一领域的发展奠定了坚实的基础。
笛卡尔的解析几何在形式上将代数和几何相结合，创建了一种前所未有的数学方法。
在他之前，代数和几何是两个相对独立的研究领域，而笛卡尔以其卓越的智慧和独到的眼光，成功地将这两个领域紧密结合，用代数的方法解决几何问题，同时又能利用几何的直观性解释代数方程的含义。
这一创举犹如一道曙光，照亮了数学发展的道路，不仅极大地拓宽了代数的应用范围，也使得几何学的研究更加深入和精确。
通过解析几何，代数和几何不再是相互独立的领域，而是相互渗透、相互支持。
这种新的数学方法使得数学家们能够用更全面、更深入的视角看待和理解问题，同时也为其他领域的科学家提供了强有力的工具。
这种方法的出现，不仅推动了数学的发展，也为科学进步带来了巨大的推动力。
笛卡尔的解析几何建立了一个极具创新性和系统化的理论体系。
他将几何学中的点和线与代数中的方程式和变量进行了精确的对应，这种对应关系犹如一把钥匙，打开了将几何问题转化为代数问题的通道。
通过这个转化，几何问题不再是一个单纯的直观感知，而是可以通过数学计算进行定量分析的科学。
这种解析几何的方法，使得数学家们能够以全新的视角来研究几何问题，并且能够以更精确、更有效的方式来解决这些问题。
笛卡尔的解析几何理论体系的建立，不仅为数学领域带来了巨大的贡献，而且对物理学、工程学以及天文学等领域也产生了深远的影响。
这一理论体系的出现，使得科学家们能够更加精确地描述和研究物体的形状、大小、位置以及运动等特性。
此外，解析几何还为微积分等其他数学分支的发展提供了重要的基础。
笛卡尔的解析几何对于认识论也有重要的贡献。
他通过解析几何的方式，使得人们对于空间和形状的理解更加深入。
数学史笛卡儿解析几何
余论：笛卡儿解析几何思想的若干启示
从数学哲学的视角审思，笛卡儿解析几何折射出数学的内 在本质和外在特征：
(1)设若主观的数与客观的形统一为”量”，则量是数学的对象(解析几何 是代数与几何的统一)； (2)统一是数学的美学要求，追求数学内在的统一是数学活动的本质(数学 是宇宙的语言)； (3)对数学对象和本质的价值评价是数学发展的动力(数学方法是获得知识 和解决问题的普遍工具)； (4)数学是一种理性精神(数学地探索宇宙的信念、理性主义的哲学立场)； (5)数学是一种文化的累积、传承和发展(受惠于历史并创造历史)； (6)数学的发展与社会的发展息息相关(思想解放、生产发展、科学进步)。
笛卡儿创立解析几何的思维构想 笛卡儿的具体构想是： 1．几何量算术化 2．构造代数方程 3．求解轨迹方程 4．形成核心概念 5．笛卡儿与费马思维路径对比
几何量算术化与构造代数方程
几何量算术化 ： (1)从解决几何作图问题人手， 只要知道线段长度的有关知 识 ，就可以完成它的作图； (2)引入“单位线段”概念； (3)定义线段加 、减、乘、除、 乘方、开方的运算； (4)以特殊记号(a，b，c„ ．) 表示不同的线段； (5)用数可以表示所有的几何量， 而且几何量之间也可以进行 算术运算。 构造代数方程 ： (1)假设提出的几何作图问题 已经解决； (2)由于图形中已知线段与未 知线段之间必存在依赖关 系，而线段又可以用数和 字母表示，这样就可以构 造代数方程； (3)通过解方程，使之用已知 线段表示未知线段，最终 解决几何作图问题。
笛卡儿解析几何思想的文化内涵
解析几何思想产生的历史文化背景
1637年，笛卡儿发表了《更好地指 导推理和寻求科学真理的方法论》 (简称《方法论》)一书，这是一部 重要的哲学和方法论著作。在书中 三个附录之一的《几何学》中，笛 卡儿阐述了解析几何原理。与笛卡 儿几乎同时代的另一位法国数学家 费马在《平面与立体轨迹引论》 (1679年发表，但完成于 1636年以 前)这篇论文中，从研究不定方程解 的作图问题出发，也阐述了解析几 何原理。数学史上，笛卡儿与费马 被普遍认为是解析几何的共同创始 人。这种不约而同，蕴含着解析几 何思想的产生有其深刻的历史文化 背景。
阅读材料由尺规作图产生的三大难题
华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。
下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。
一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。
它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。
所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。
在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。
二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。
学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。
但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。
因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。
三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。
根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。
四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。
教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。
阅读材料笛卡尔与解析几何
笛卡尔与解析几何的创立一、认识解析几何之父（一）生平简介笛卡尔是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家。
1596年5月31日他出生在法国都兰的贵族家庭，自幼丧母，体弱多病，8岁入拉弗来什公学读书。
教师考虑到他的特殊情况，允许他每天早上晚起多睡。
但笛卡尔利用这段时间进行晨读，并养成善于思考的习惯。
传说笛卡尔是躺在床上观察虫子在天花板上爬行的位置，激发了灵感，使他产生了坐标的概念。
笛卡尔博览群书，曾自述：“别人学的，我都学了。
我并不以此为满足，那些认为最奇怪，最不寻常的有关各种科学的书，凡是我能搞到的，我都要把它们读完。
”他有好的思考习惯，每当读书时，总是把书拿来先弄清作者的主要意图，随之读完开头的部分就细细品味，并力求得出下面的结论。
1612年他入普瓦界大学攻读法学，四年后获博士学位，后去巴黎当律师。
1618年参军，部队到荷兰南部的小城布勒达时，一次巧遇街头小报上在征解数学难题，笛卡尔成功的应解，这使他对数学发生兴趣，并坚定他终身研究数学的决心。
1619年11月部队到达多瑙河上的一个小镇时，他不断思考——怎样把代数应用到几何中去。
他曾说：“我想去寻求一种新的，包含两门学科的好处，而又没有它们缺点的方法。
”他在致力研究数学中一门完全崭新的领域，这个领域后来被牛顿称之为解析几何。
1621年他退伍去荷兰、瑞士、意大利旅行。
1625年返回巴黎.1628年定居荷兰进行研究与写作，这时他研究哥白尼学说，1634年写成《论世界》一书。
1637年出版了《新光学》、《气象学》和《几何学》。
1644年笛卡尔出版了《哲学原理》，1646年出版了《论心灵的各种感情》等重要著作。
同年冬，笛卡尔应瑞典女王克利斯提娜的邀请移居斯德哥尔摩为女王讲授哲学，后因感染肺炎，于1650年2月11日去世，享年54岁。
（二）主要贡献法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。
他的著作在他生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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阅读材料笛卡尔与解析几何
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 Fra bibliotek面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯