数的整除

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数的整除知识点总结

数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。

它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。

下面将对数的整除进行详细总结。

一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。

可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。

二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。

2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。

3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。

4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。

5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。

6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。

三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。

如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。

2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。

四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。

2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。

3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。

4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。

例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。

2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。

数的整除特征

数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。

9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

数的整除知识点总结数的整除知识整理

数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。

2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。

3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。

4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。

a的因数包括1和a本身。

5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。

a的倍数包括0和任意正负整数。

6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。

7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。

8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。

9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。

质数只有两个因数，即1和该数本身。

10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。

合数有多个因数。

11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。

12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。

13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。

这些是数的整除的基本知识点。

数的整除知识点

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

数的整除

数的整除知识要点：1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3．数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。

数的整除

数论板块数的整除一、内容概述一）常见数字的整除判定方法：（1）一个数的末位能被2（或5）整除，这个数就能被2（或5）整除。

一个数的末两位能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

一个数的末三位能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

（2）一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。

（3）一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。

（4）一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，这个数能被7、11或13整除。

二）整除性质：性质1 如果c a 且c b ，那么()c a b ±。

性质2 如果b a 且c b ，那么c a 。

性质3 如果bc a ，那么b a 或c a 。

性质4 如果b a ，那么bm am （m 为正整数）。

性质5 如果b a 且d c ，那么bd ac 。

二、例题讲解例1．若4232b c d ++=，试问abcd 能否被8整除？例2．试说明，一个四位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数，原序数与反序数的差一定是9的倍数。

例3．如果abcde 能被6整除，试证明()2a b c d e +++-也能被6整除。

例4．已知六位数20279A 是13的倍数，求A 的值。

例5．三位数的百位、十位、个位的数字分别是5、a 、b ，将它连续重复写2011次得到201155555ab ab abab ab 个，如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？例6．已知四十一位数205209555999个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？例7．已知九位数2007122A B既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个九位数是多少？例8．一个能被11整除的四位数，去掉它的千位和个位后，剩下一个能被2、3、5整除的最大两位数，问：符合要求的数中最小的是多少？例9．各位数字是0，1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？例10．已知六位数2008是99的倍数，求这个六位数。

数的整除

1、若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

2、若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

3、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

4、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

5、能被9整除的数各位数和为9的倍数。

6、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！7、一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．8、末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除。

奥数辅导－－数的整除(题304-题530)【题304】求360的全部约数的和。

【思路或解法】因为360=23×32×5，所以有360的全部约数的和为：【题305】一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个．这篮子里至少有多少个鸡蛋？【思路或解法】如果加上一个鸡蛋，题目就变成了求能被3、5和7同时整除的数了，能被3、5和7同时整除的数就是3、5和7的公倍数．因为3、5和7的公倍数有105、210、……，而题中所问的是“至少”有多少个，所以应取最小公倍数105，但鸡蛋数被3、5、7除都差一个才为整数商，故而鸡蛋数应为105-1=104（个）。

【题306】15×28×33、9×35×88、12×77×15、22×30×21这四个积中，哪个积与其它积不相等？【思路或解法】根据积不相等，这个积的各个因数所含有的质因数也就不相同的原理，先分解各个积的质因数：15×28×33=32×22×5×7×119×35×88=32×23×5×7×1112×77×15=32×22×5×7×1122×30×21=32×22×5×7×11再比较这些积所分解成的质因数及其个数，我们不难发现：9×35×88的质因数比其它的多一个2，故而，9×35×88的积与其它积不相等。

数的整除关系

数的整除关系在数学中，整除是一种基本的数学关系，用于描述两个数之间的除法关系。

当一个数能够整除另一个数时，我们称前者为后者的因数，后者为前者的倍数。

本文将探讨数的整除关系，包括定义、性质和常见应用。

1. 定义在数学中，如果a与b是两个整数，且b不等于0，如果a能被b整除，则称a为b的倍数，b为a的因数。

记作b|a (读作“b整除a”)。

这意味着存在另一个整数k，使得a = b * k。

举例来说，假设a = 12，b = 3，则b整除a，因为12可以被3整除，而且12 = 3 * 4。

2. 性质整除关系具有以下性质：2.1 反身性：对于任何整数a，a都能整除自身。

即a|a。

2.2 传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。

即若a|b且b|c，则a|c。

2.3 除法算法：对于任何整数a和不为0的整数b，存在唯一的两个整数q和r，使得a = bq + r，其中0 <= r < |b|。

其中，q为商，r为余数。

3. 应用整除关系在数学中具有广泛的应用，下面列举几个常见的应用。

3.1 约数和倍数：整除关系在求解约数和倍数问题中起到重要作用。

对于一个整数a，它的所有约数就是能够整除a的整数。

而a的倍数则是a的整数倍。

3.2 整数判定：整除关系可以用来判断一个数是否为整数的倍数。

例如，如果一个数能被2整除，则它是偶数；如果一个数能被3整除，则它是3的倍数。

3.3 最大公约数和最小公倍数：整除关系在求解最大公约数和最小公倍数问题中起到重要作用。

最大公约数是两个数的最大公因数，而最小公倍数则是两个数的最小公倍数。

3.4 整除与质数：整除关系与质数之间有着密切的联系。

质数是只能被1和自身整除的数，而合数则是至少有一个大于1且小于自身的因数的数。

综上所述，数的整除关系是数学中重要的概念，它描述了两个数之间的除法关系。

通过理解和应用整除关系，我们可以解决各种与数的约数、倍数、最大公约数和最小公倍数相关的问题，提高数学问题的求解能力。

数的整除知识点

数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

数的整除概念

数的整除概念1、（ab=c a、b、c都是整数没有余数）如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

2、整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a、（一般在非零的自然数考虑）。

3、因为任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。

4、一个数最小的因数是（1）,最大的因数是它（本身）,一个数的因数的个数是（无限）的。

5、一个数最小的倍数是它（本身），没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是（无限）的。

6、个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除，能被2整除的的数叫做偶数，如2，4，6，8，10，12…、、不能被2整除的数叫做奇数，例1，3，5，7，9，11，13…、7、个位上是0或者5的数，都能被5整除；一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

8、如果一个数的各位上的数的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除。

10、如果一个数的末两位数能被25整除，那么这个数就能被25整除；11、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做质数（也叫做素数）。

12、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。

13、、等底等高的长方形和平行四边形的面积一定相等14、沿着平行四边形的任意一条高剪开，然后通过移动拼成（转化成）一个长方形。

长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

长方形的面积和拼成的平行四边形的面积相等（等积变形），因为长方形的面积=长宽，所以平行四边形的面积=底高，用字母表示S=ah。

15、将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

因为平行四边形的面积等于底高，所以三角形的面积等于底高2。

数的整除(简单)

数的整除（一）月日姓名知识要点1.整除定义(概念):整数a除以整数b（a÷b，b≠0）,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。

注意点:一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数, b 相当于除数。

2.整除的条件:1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零3.数的整除的特征1.末位系: 2、5; 4、25; 8、125能否被2和5整除是看末一位能否被4和25整除是看末两位能否被8和125整除是看末三位2.和系:3、9能否被3, 9整除是看数字之和是否3, 9的倍数典型例题【例1★】判断下面除法算式是否是整除，是整除的在算式后面括号里面打“√”，不是的打“×”。

412÷6= （） 213÷5= （）212÷3= （） 4.8÷2= （）818÷4= （） 384÷7= （）课后作业(A)成绩 1.★★)能同时被2、3和5整除的最小三位数是。

最大两位数是最小两位数是 ,最大的三位数是。

2、★★)（1）能被2整除(2的倍数)的数的特点:个位是的数，都能被2整除。

（2）能被3整除(3的倍数)的数的特点: 各个数位数字之和是的数都能被3整除。

（3）被5整除(5的倍数)的数的特点:个位是的数都能被5整除。

（4）能被同时被2和3整除(2和3的公倍数)的数的特点: 个位是的数能同时被2和3整除。

（5）能被同时被2和5整除(2和5的公倍数)的数的特点: 个位是的数能同时被2和5整除。

3.★★)按要求分类12,18,25,100,396,6,250,1110,999,3150能被2整除的数有：能被3整除的数有：能被5整除的数有：能被9整除的数有：能同时被2,5整除的数有：能同时被2,3,5整除的数有：能同时被3,5整除的数有： 4.★★★★)四位数292□能被2和3整除，这样的整数有多少个？5.★★★★)4位数能被6整除，求这个四位数。

数的整除特征

数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。

（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。

（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

数的整除

1. 整除与除尽整除:整数a除以整数b(b≠0),除得的
商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除数a.
除尽:数a除以数b(b≠0),除得的商是整
数或是有限小数,这就叫做除尽.
区别:整除是除尽的一种
特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.
除尽整除
在1.5 ÷ 5=0.3
4 ÷ 3=1……1中,
38 ÷ 2=19
除尽的有( 1.5 ÷ 5=0.3 38 ÷2=19 )
除不尽的有 ( 4 ÷3=1……1 ) 整除的有( 38 ÷2=19 )
不能整除的有 ( 1.5 ÷ 5=0.3
) 4 ÷ 3=1……1
倍数和因数 38 ÷ 2=19中,38是2的( 倍数 ),2是 38的(因数 ),19是38的( 因数 ). 判断: 1. 38是倍数,2是因数. ( X ) 2. 10是6的倍数. ( X)
分解质因数的方法:短除法把30分解质因数把30分解质因数正确的做法是( A、30=1×2 ×3 ×5 B、2 ×3 ×5=30 C、30=2×3×5 D、30=2 × 15
c
)
思考：怎样检查分解质因数是否正确？
把下面的数分解质因数 90、144、910、338、1001
210
同时被2、5、3整除（
）
按要求填□ 中的数：（1）4□ （2）7□0
（有因数3的奇数）
（是3、5的倍数）
（3）3□6□ （同时能被2、5、3整除的尽可能小的数）
质数和合数按因数的个数来分,38 2 19可以分几类? 只有两个因数至少三个因38
1是质数还是合数?为什么?
1既不是质数也不是合数
自自然数的然第二种分法数

数的整除规律

数的整除规律1.任何数都能被1整除。

2.个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

3.每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

4.最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

5.个位上是0或5的数都能被5整除。

6.一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

7.把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

8.最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

9.每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

10.若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除11. a.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

B. 把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的，差是11的倍数，则原数能被11整除。

12.若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

14. a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

15. a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

16.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除17.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除。

什么是整除

什么是整除在生活中，有一个常见的数学现象，就是把两个数加、减或乘、除后，得出来的结果还是原来的两个数，这种现象叫做整除。

那么，什么叫整除呢？它又有哪些规律呢？怎样才能快速而准确地判断一个数是否能被2、 3、 5整除呢？8。

整除的概念所谓“整除”，就是能被2、 3、 5整除。

例如：2、 3、 5能被2整除； 3、 6、 9能被3整除； 4、 5、 7能被4整除……所以8也能被8整除。

要想正确理解整除的概念，我们先从两个小问题说起。

比如：我们来看看8是不是可以分解成2和3呢？假如分解，是因为8里面有1和2吗？显然不是。

根据分解的结果可知， 8可以分解成1和8， 2和3， 3和6， 6和2， 2和3。

因此8也是无法被分解的，是可以被整除的。

另外，当出现数字分解后没有其他数能整除的时候，往往要考虑到能否被其他自然数整除，因为8是可以被3整除的，而8整除的余数是1。

12。

连续整除的条件8。

连续整除的条件在进行整除运算之前，必须满足一定的条件，这个条件就是连续整除的条件。

具体包括以下几点：①两个相除式子的商是一个整数；②两个数都不是0；③两个数都没有0的倍数；④两个数的差能被2整除，即商是一个整数；⑤两个数都不是0的倍数；⑥商和余数能被2整除。

12。

连续整除的公式12。

连续整除的公式因为满足连续整除的条件，所以只要满足上述三个条件中任何一个，就一定能够被2、 3、 5整除。

根据前面的三个条件，又因为4除以2等于0，所以一共需要满足四个条件。

所以连续整除的公式就是：满足上述四个条件的式子中，有两个数能被2、 3、 5整除。

18。

连续整除和不能被2、 3、 5整除的关系连续整除是不能被2、 3、 5整除的基础，如果不能被2、 3、 5整除，就不可能实现连续整除，从而也不可能实现真正意义上的不能被2、 3、 5整除。

比如12、 19这两个数的最小公倍数是144，但它们不能被2、 3、 5整除，所以不能被2、 3、 5整除。