河北省承德联校2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文(扫描版,含答案)

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河北省承德市联校2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

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2017-2018学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.∃x∈R,x2﹣x﹣1<0的否定是()A.∃x∈R,x2﹣x﹣1≥0 B.∀x∈R,x2﹣x﹣1<0C.∀x∈R,x2﹣x﹣1>0 D.∀x∈R,x2﹣x﹣1≥02.已知直线ax+y+2=0的倾斜角为,则a等于()A.1 B.﹣1 C.D.﹣23.函数的导函数f′(x),则f′(1)等于()A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.24.若双曲线的实轴长为4,则此双曲线的渐近线的方程为()A.y=±4x B.y=±2x C.D.5.“﹣1<x<3”是“x2﹣2x<8”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下列正确的是()A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥βC.若l∥β,则m⊥αD.若α∥β,则l⊥m 7.已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称,则直线l的方程是()A.2x+y﹣8=0 B.3x﹣2y+1=0 C.x+2y﹣5=0 D.3x+2y﹣7=0 8.如图所示的长方体中,分别为AA1,A1B1的中点,则异面直线DE,BF所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°9.曲线在点(﹣1,﹣a)处的切线方程为2x﹣y+b=0,则()A.a=1,b=﹣1 B.a=1,b=1 C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=﹣1,b=﹣2 10.在直线2x﹣y﹣4=0有一点P,使它与两点A(4,﹣1),B(3,4)的距离之差最大,则距离之差的最大值为()A.3 B.C.5 D.11.某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度的集合,则()A.B.C.D.4∈A12.如图,直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A,B,C,若,则|AB|等于()A.5 B.6 C.D.8二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.点P(2,﹣1,4)关于y轴对称的点的坐标为.14.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是.15.设F1,F2为椭圆的两个焦点,以F1为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为.16.在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AB⊥CB1,AB=BC=2,AA1=4,则该三棱柱外接球的表面积为.三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图,三棱锥A﹣BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E、F分别是棱AB、CD的中点,连接CE,G为CE上一点.(1)求证:平面CBD⊥平面ABD;(2)若GF∥平面ABD,求的值.18.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.19.设函数f(x)=x2+e x﹣xe x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E∥平面ADF;(2)若点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?21.已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合,且椭圆过点(,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB 的面积.22.设函数,g(x)=2x2+4x+c.(1)试问函数f(x)能否在x=﹣1时取得极值?说明理由;(2)若a=﹣1,当x∈[﹣3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求c的取值范围.2015-2016学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.∃x∈R,x2﹣x﹣1<0的否定是()A.∃x∈R,x2﹣x﹣1≥0 B.∀x∈R,x2﹣x﹣1<0C.∀x∈R,x2﹣x﹣1>0 D.∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0【分析】利用特称的否定是全称进行否定即可.【解答】解:根据全称的否定是特称得∃x∈R,x2﹣x﹣1<0的否定是:∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0故选:D.【点评】本题主要考查含有量词的的否定,要求熟练掌握特称的否定是全称,全称的否定是特称,比较基础.2.已知直线ax+y+2=0的倾斜角为,则a等于()A.1 B.﹣1 C.D.﹣2【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出.【解答】解:∵直线ax+y+2=0的倾斜角为,∴﹣a=,∴a=1.【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.3.函数的导函数f′(x),则f′(1)等于()A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2【分析】先化简,再求导,最后代值计算即可.【解答】解:=x3﹣2x的导函数f′(x)=3x2﹣2,∴f′(1)=3﹣2=1,故选:B.【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.4.若双曲线的实轴长为4,则此双曲线的渐近线的方程为()A.y=±4x B.y=±2x C.D.【分析】由题意可得m=4,求得双曲线的方程,可得渐近线方程为y=±x.【解答】解:双曲线的实轴长为4,可得2=4,可得m=4,即有双曲线的方程为﹣y2=1,可得双曲线的渐近线方程为y=±x.故选:C.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系,考查运算能力,属于基础题.5.“﹣1<x<3”是“x2﹣2x<8”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的性质即可得到结论.【解答】解:由“x2﹣2x<8”解得﹣2<x<4,则“﹣1<x<3”能推出“x2﹣2x<8”,但x2﹣2x<8”不能推出“﹣1<x<3”,故“﹣1<x<3”是“x2﹣2x<8”的充分不必要条件,故选:A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下列正确的是()A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥βC.若l∥β,则m⊥αD.若α∥β,则l⊥m 【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案.【解答】解:对于A、B,∵如图,由图可知A,B不正确;∵直线l⊥平面α,l∥β,∴α⊥β,对于C,∵m⊂平面β,∴m与α不一定垂直,C不正确.对于D,∵l⊥平面α,直线m⊂平面β.若α∥β,则l⊥平面β,有l⊥m,D正确;故选:D.【点评】本题考查了的真假判断与应用,考查了空间中的点线面的位置关系,是中档题.7.已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称,则直线l的方程是()A.2x+y﹣8=0 B.3x﹣2y+1=0 C.x+2y﹣5=0 D.3x+2y﹣7=0【分析】求出直线2x﹣y+4=0和直线x=1的交点A的坐标,根据所求直线的斜率和直线2x ﹣y+4=0的斜率互为相反数,求得所求直线的斜率,再用点斜式求得所求直线的方程.【解答】解:直线2x﹣y+4=0和直线x=1的交点A(1,6),由于所求直线的斜率和直线2x﹣y+4=0的斜率互为相反数,故所求直线的斜率为﹣2,故所求直线的方程为y﹣6=﹣2(x﹣1),即2x+y﹣8=0,故选:A.【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程,直线关于一条直线对称的性质,属于基础题.8.如图所示的长方体中,分别为AA1,A1B1的中点,则异面直线DE,BF所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DE,BF所成角的大小.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,D(0,0,0),E(,0,),B(,2,0),F(,,2),=(,0,),=(0,﹣,2),设异面直线DE,BF所成角为θ,cosθ===,∴θ=60°.∴异面直线DE,BF所成角的大小为60°.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.9.曲线在点(﹣1,﹣a)处的切线方程为2x﹣y+b=0,则()A.a=1,b=﹣1 B.a=1,b=1 C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=﹣1,b=﹣2【分析】由题意求出导数:,进而根据切点坐标求出切线的斜率,求出切线的方程,再与已知条件比较,即可得出答案.【解答】解:由题意可得:,所以在点(﹣1,﹣a)处的切线斜率为2a,所以在点(﹣1,﹣a)处的切线方程为:y+a=2a(x+1),即2ax﹣y+a=0.又切线方程为2x﹣y+b=0,∴a=1,b=1,故选B.【点评】此题考查学生熟练利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,能够根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道基础题.10.在直线2x﹣y﹣4=0有一点P,使它与两点A(4,﹣1),B(3,4)的距离之差最大,则距离之差的最大值为()A.3 B.C.5 D.【分析】判断A,B与直线的位置关系,求出A关于直线的对称点A1的坐标,求出直线A1B的方程,与直线2x﹣y﹣4=0联立,求出P的坐标,从而求出距离之差的最大值.【解答】解:如图示:易知A(4,﹣1)、B(3,4)在直线l:2x﹣y﹣4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1(0,1),当A1、B、P共线时距离之差最大,A1B的方程为:y﹣x﹣1=0…①直线2x﹣y﹣4=0…②解①②得P点的坐标是(5,6),∴PA﹣PB=5﹣2=3,故选:D.【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,两点间距离公式的应用,考查转化思想,计算能力,是中档题.11.某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度的集合,则()A.B.C.D.4∈A【分析】首先由几何体的三视图求出几何体,然后计算各棱长即可.【解答】解:由题意,几何体为底面为直角梯形的四棱锥,底面梯形的底为2,3,高为,棱锥的高为2,所以底面各棱长分别为2,3,,2;侧棱长度分别为2,2,,2,;A为此几何体所有棱的长度的集合,A={2,,3,2,},故选B.【点评】本题考查了几何体的三视图,所求的关键是明确几何体的形状,求出个棱长.12.如图,直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A,B,C,若,则|AB|等于()A.5 B.6 C.D.8【分析】作AM、BN垂直准线于点M、N,根据,和抛物线的定义,可得tan∠NCB=2,从而可得直线方程,与抛物线方程联立,利用抛物线的定义,即可得出结论.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),作AM、BN垂直准线于点M、N,则|BN|=|BF|,∵,∴sin∠NCB=,∴tan∠NCB=2∴AF的方程为y=2(x﹣1),代入y2=4x,可得x2﹣3x+1=0∴x1+x2=3,∴|AB|=x1+x2+2=5.故选:A.【点评】本题考查考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.点P(2,﹣1,4)关于y轴对称的点的坐标为(﹣2,﹣1,﹣4).【分析】根据空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为(﹣x,y,﹣z),直接写出对称点的坐标即可.【解答】解:空间直角坐标系O﹣xyz中,点P(2,﹣1,4)关于y轴的对称点的坐标为(﹣2,﹣1,﹣4).故答案为:(﹣2,﹣1,﹣4).【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标轴对称点的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是基础题目.14.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是.【分析】由直观图和原图的面积之间的关系=,直接求解即可.【解答】解:因为=,且若△A′B′C′的面积为×2××=,那么△ABC的面积为,故答案为:.【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本概念、基本运算的考查.15.设F1,F2为椭圆的两个焦点,以F1为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为﹣1.【分析】由题意圆F2的半径为c,∠F1MF2是直角,在直角三角形F1MF2中有(2a﹣c)2+c2=4c2,由此能求出该椭圆的离心率.【解答】解:∵F1,F2为椭圆的两个焦点,以F1为圆心作圆F2,圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,∴圆F2的半径为c,又直线MF1恰与圆F2相切,∴∠F1MF2是直角,∵|F1F2|=2c,|MF2|=c,|F1M|=2a﹣c,∴在直角三角形F1MF2中有(2a﹣c)2+c2=4c2,整理,得e2+2e﹣2=0,∴e=﹣1或e=﹣1﹣(舍),∴该椭圆的离心率e为.故答案为:.【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.16.在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AB⊥CB1,AB=BC=2,AA1=4,则该三棱柱外接球的表面积为24π.【分析】根据题意判断直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,我们可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,求出外接球的直径后,代入外接球的表面积公式,即可求出该三棱柱的外接球的表面积【解答】解:∵在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AB⊥CB1,AB=BC=2,AA1=4,∴AB⊥面BCC1B1,即AB⊥BC∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,所以外接球半径为R==,表面积为24π.故答案为:24π.【点评】在求一个几何体的外接球表面积(或体积)时,关键是求出外接球的半径,我们通常有如下办法:①构造三角形,解三角形求出R;②找出几何体上到各顶点距离相等的点,即球心,进而求出R;③将几何体补成一个长方体,其对角线即为球的直径,进而求出R三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图,三棱锥A﹣BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E、F分别是棱AB、CD的中点,连接CE,G为CE上一点.(1)求证:平面CBD⊥平面ABD;(2)若GF∥平面ABD,求的值.【分析】(1)在△BCD中,BC=3,BD=4,CD=5,可得BC⊥BD,从而可证BC⊥平面ABD,即可证得平面CBD⊥平面ABD …7′(2)利用GF∥平面ABD,可证GF∥ED,利用F是棱CD的中点,可得G为线段CE的中点,即可求的值.【解答】(1)证明:在△BCD中,BC=3,BD=4,CD=5,∴BC⊥BD又∵BC⊥AD,BD∩AD=D,∴BC⊥平面ABD …4′又∵BC⊂平面BCD,∴平面CBD⊥平面ABD …7′(2)解:∵GF∥平面ABD,FG⊂平面CED,平面CED∩平面ABD=DE∴GF∥ED …10′∵F是棱CD的中点,∴G为线段CE的中点∴=1 …14′【点评】本题考查面面垂直,考查线面平行,解题的关键是掌握面面垂直的判定、线面垂直的性质,属于中档题.18.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.【分析】(Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐标,因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称,得到圆心在直线上代入得到①,把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②,①②联立求出D和E,即可写出圆的方程;(Ⅱ)设l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可.【解答】解:(Ⅰ)由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为(﹣,﹣)∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点(﹣,﹣)在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2,①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D>0,E<0由①②解得D=2,E=﹣4∴所求圆C的方程为:x2+y2+2x﹣4y+3=0(Ⅱ)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设l:x+y=a∵圆C:(x+1)2+(y﹣2)2=2∴圆心C(﹣1,2)到切线的距离等于半径,即||=,∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3【点评】考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力,理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径.19.设函数f(x)=x2+e x﹣xe x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.【分析】(1)求出导数,讨论x>0,x<0,导数的符号,注意运用指数函数的单调性,求出单调区间;(2)当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,即为当x∈[﹣2,2]时,f(x)min>m,由(1)即可求出最小值.【解答】解:(1)∵函数f(x)=x2+e x﹣xe x.∴f(x)的定义域为R,f'(x)=x+e x﹣(e x+xe x)=x(1﹣e x),当x<0时,1﹣e x>0,f'(x)<0;当x>0时,1﹣e x<0,f'(x)<0∴f(x)在R上为减函数,即f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞).(2)当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,即为当x∈[﹣2,2]时,f(x)min>m.由(1)可知,f(x)在[﹣2,2]上单调递减,∴,∴m<2﹣e2时,不等式f(x)>m恒成立.【点评】本题考查导数的综合应用:求单调区间、求最值,考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,属于中档题.20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E∥平面ADF;(2)若点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?【分析】(1)连接CE交AD于O,连接OF.因为CE,AD为△ABC中线,所以O为△ABC的重心,.由此能够证明C1E∥平面ADF.(2)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,先证出AD⊥平面B1BCC1.再证明当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.【解答】解:(1)连接CE交AD于O,连接OF.因为CE,AD为△ABC中线,所以O为△ABC的重心,.从而OF∥C1E.…(3分)OF⊂面ADF,C1E⊄平面ADF,所以C1E∥平面ADF.…(6分)(2)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,由于B1B⊥平面ABC,BB1⊂平面B1BCC1,所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB=AC,D是BC中点,所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,所以AD⊥平面B1BCC1.而CM⊂平面B1BCC1,于是AD⊥CM.…(9分)因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以Rt△CBM≌Rt△FCD,所以CM⊥DF.…(11分)DF与AD相交,所以CM⊥平面ADF.CM⊂平面CAM,所以平面CAM⊥平面ADF.…(13分)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.…(14分)【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.21.已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合,且椭圆过点(,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB 的面积.【分析】(1)设椭圆方程为=1(a>b>0),先求出c=,由椭圆过点(,1),得=1,由此能求出椭圆的标准方程.(2)由,得,设直线方程为y=kx+1,代入椭圆,得(2k2+1)x2+4kx﹣2=0,由此利用韦达定理,结合已知条件能求出△AOB的面积.【解答】解:(1)∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合,且椭圆过点(,1),∴设椭圆方程为=1(a>b>0),c为半焦距,c=,∴a 2﹣b 2=2,①由椭圆过点(,1),得=1,②由①②,得a 2=4,b 2=2,∴所求椭圆的标准方程为.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由,得,设直线方程为y=kx+1,代入椭圆,得(2k 2+1)x 2+4kx ﹣2=0,解得x=,设,,则﹣=2,解得,∴△AOB 的面积S=|OP||x 1﹣x 2|===.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用.22.设函数,g (x )=2x 2+4x+c .(1)试问函数f (x )能否在x=﹣1时取得极值?说明理由;(2)若a=﹣1,当x ∈[﹣3,4]时,函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点,求c 的取值范围.【分析】(1)利用反证法:根据f (x )的解析式求出f (x )的导函数,假设x=﹣1时f (x )取得极值,则把x=﹣1代入导函数,导函数值为0得到a 的值,把a 的值代入导函数中得到导函数在R 上为增函数,没有极值与在x=﹣1时f (x )取得极值矛盾,所以得到f (x )在x=﹣1时无极值;(2)把a=﹣1代入f (x )确定出f (x ),然后令f (x )与g (x )相等,移项并合并得到c 等于一个函数,设F (x )等于这个函数,G (x )等于c ,求出F (x )的导函数,令导函数等于0求出x的值,利用x的值讨论导函数的正负得到F(x)的单调区间,进而得到F(x)的极大值和极小值,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与G(x)有两个公共点,根据F(x)的极大值和极小值写出c的取值范围即可.【解答】解:(1)由题意f′(x)=x2﹣2ax﹣a,假设在x=﹣1时f(x)取得极值,则有f′(﹣1)=1+2a﹣a=0,∴a=﹣1,而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,函数f(x)在R上为增函数,无极值.这与f(x)在x=﹣1有极值矛盾,所以f(x)在x=﹣1处无极值;(2)令f(x)=g(x),则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0,∴c=x3﹣x2﹣3x,设F(x)=x3﹣x2﹣3x,G(x)=c,令F′(x)=x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1或x=3.列表如下:x ﹣3 (﹣3,﹣1)﹣1 (﹣1,3) 3 (3,4)4f′(x)+ 0 ﹣0 +f(x)﹣9 ↑↓﹣9 ↑﹣由此可知:F(x)在(﹣3,﹣1)、(3,4)上是增函数,在(﹣1,3)上是减函数.当x=﹣1时,F(x)取得极大值;当x=3时,F(x)取得极小值F(﹣3)=F(3)=﹣9,而.如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与G(x)有两个公共点,所以或c=﹣9.【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,会根据函数的增减性得到函数的极值,掌握函数的零点与方程根的关系,是一道中档题.。

承德市联校2018-2019年高二上期末数学试卷(文)含答案解析

承德市联校2018-2019年高二上期末数学试卷(文)含答案解析

2018-2019学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题∃x∈R,x2﹣x﹣1<0的否定是()A.∃x∈R,x2﹣x﹣1≥0 B.∀x∈R,x2﹣x﹣1<0C.∀x∈R,x2﹣x﹣1>0 D.∀x∈R,x2﹣x﹣1≥02.已知直线ax+y+2=0的倾斜角为,则a等于()A.1 B.﹣1 C.D.﹣23.函数的导函数f′(x),则f′(1)等于()A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.24.若双曲线的实轴长为4,则此双曲线的渐近线的方程为()A.y=±4x B.y=±2x C.D.5.“﹣1<x<3”是“x2﹣2x<8”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下列命题正确的是()A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥βC.若l∥β,则m⊥αD.若α∥β,则l⊥m 7.已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称,则直线l的方程是()A.2x+y﹣8=0 B.3x﹣2y+1=0 C.x+2y﹣5=0 D.3x+2y﹣7=0 8.如图所示的长方体中,分别为AA1,A1B1的中点,则异面直线DE,BF所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°9.曲线在点(﹣1,﹣a)处的切线方程为2x﹣y+b=0,则()A.a=1,b=﹣1 B.a=1,b=1 C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=﹣1,b=﹣2 10.在直线2x﹣y﹣4=0有一点P,使它与两点A(4,﹣1),B(3,4)的距离之差最大,则距离之差的最大值为()A.3 B.C.5 D.11.某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度的集合,则()A.B.C.D.4∈A12.如图,直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A,B,C,若,则|AB|等于()A.5 B.6 C.D.8二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.点P(2,﹣1,4)关于y轴对称的点的坐标为.14.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是.15.设F1,F2为椭圆的两个焦点,以F1为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为.16.在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AB⊥CB1,AB=BC=2,AA1=4,则该三棱柱外接球的表面积为.三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图,三棱锥A﹣BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E、F分别是棱AB、CD的中点,连接CE,G为CE上一点.(1)求证:平面CBD⊥平面ABD;(2)若GF∥平面ABD,求的值.18.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.19.设函数f(x)=x2+e x﹣xe x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E∥平面ADF;(2)若点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?21.已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合,且椭圆过点(,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB 的面积.22.设函数,g(x)=2x2+4x+c.(1)试问函数f(x)能否在x=﹣1时取得极值?说明理由;(2)若a=﹣1,当x∈[﹣3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求c的取值范围.2018-2019学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题∃x∈R,x2﹣x﹣1<0的否定是()A.∃x∈R,x2﹣x﹣1≥0 B.∀x∈R,x2﹣x﹣1<0C.∀x∈R,x2﹣x﹣1>0 D.∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0【分析】利用特称命题的否定是全称命题进行否定即可.【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题得命题∃x∈R,x2﹣x﹣1<0的否定是:∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0故选:D.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题,比较基础.2.已知直线ax+y+2=0的倾斜角为,则a等于()A.1 B.﹣1 C.D.﹣2【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出.【解答】解:∵直线ax+y+2=0的倾斜角为,∴﹣a=,∴a=1.【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.3.函数的导函数f′(x),则f′(1)等于()A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2【分析】先化简,再求导,最后代值计算即可.【解答】解:=x3﹣2x的导函数f′(x)=3x2﹣2,∴f′(1)=3﹣2=1,故选:B.【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.4.若双曲线的实轴长为4,则此双曲线的渐近线的方程为()A.y=±4x B.y=±2x C.D.【分析】由题意可得m=4,求得双曲线的方程,可得渐近线方程为y=±x.【解答】解:双曲线的实轴长为4,可得2=4,可得m=4,即有双曲线的方程为﹣y2=1,可得双曲线的渐近线方程为y=±x.故选:C.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系,考查运算能力,属于基础题.5.“﹣1<x<3”是“x2﹣2x<8”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的性质即可得到结论.【解答】解:由“x2﹣2x<8”解得﹣2<x<4,则“﹣1<x<3”能推出“x2﹣2x<8”,但x2﹣2x<8”不能推出“﹣1<x<3”,故“﹣1<x<3”是“x2﹣2x<8”的充分不必要条件,故选:A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下列命题正确的是()A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥βC.若l∥β,则m⊥αD.若α∥β,则l⊥m 【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案.【解答】解:对于A、B,∵如图,由图可知A,B不正确;∵直线l⊥平面α,l∥β,∴α⊥β,对于C,∵m⊂平面β,∴m与α不一定垂直,C不正确.对于D,∵l⊥平面α,直线m⊂平面β.若α∥β,则l⊥平面β,有l⊥m,D正确;故选:D.【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间中的点线面的位置关系,是中档题.7.已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称,则直线l的方程是()A.2x+y﹣8=0 B.3x﹣2y+1=0 C.x+2y﹣5=0 D.3x+2y﹣7=0【分析】求出直线2x﹣y+4=0和直线x=1的交点A的坐标,根据所求直线的斜率和直线2x ﹣y+4=0的斜率互为相反数,求得所求直线的斜率,再用点斜式求得所求直线的方程.【解答】解:直线2x﹣y+4=0和直线x=1的交点A(1,6),由于所求直线的斜率和直线2x﹣y+4=0的斜率互为相反数,故所求直线的斜率为﹣2,故所求直线的方程为y﹣6=﹣2(x﹣1),即2x+y﹣8=0,故选:A.【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程,直线关于一条直线对称的性质,属于基础题.8.如图所示的长方体中,分别为AA1,A1B1的中点,则异面直线DE,BF所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DE,BF所成角的大小.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,D(0,0,0),E(,0,),B(,2,0),F(,,2),=(,0,),=(0,﹣,2),设异面直线DE,BF所成角为θ,cosθ===,∴θ=60°.∴异面直线DE,BF所成角的大小为60°.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.9.曲线在点(﹣1,﹣a)处的切线方程为2x﹣y+b=0,则()A.a=1,b=﹣1 B.a=1,b=1 C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=﹣1,b=﹣2【分析】由题意求出导数:,进而根据切点坐标求出切线的斜率,求出切线的方程,再与已知条件比较,即可得出答案.【解答】解:由题意可得:,所以在点(﹣1,﹣a)处的切线斜率为2a,所以在点(﹣1,﹣a)处的切线方程为:y+a=2a(x+1),即2ax﹣y+a=0.又切线方程为2x﹣y+b=0,∴a=1,b=1,故选B.【点评】此题考查学生熟练利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,能够根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道基础题.10.在直线2x﹣y﹣4=0有一点P,使它与两点A(4,﹣1),B(3,4)的距离之差最大,则距离之差的最大值为()A.3 B.C.5 D.【分析】判断A,B与直线的位置关系,求出A关于直线的对称点A1的坐标,求出直线A1B的方程,与直线2x﹣y﹣4=0联立,求出P的坐标,从而求出距离之差的最大值.【解答】解:如图示:易知A(4,﹣1)、B(3,4)在直线l:2x﹣y﹣4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1(0,1),当A1、B、P共线时距离之差最大,A1B的方程为:y﹣x﹣1=0…①直线2x﹣y﹣4=0…②解①②得P点的坐标是(5,6),∴PA﹣PB=5﹣2=3,故选:D.【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,两点间距离公式的应用,考查转化思想,计算能力,是中档题.11.某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度的集合,则()A.B.C.D.4∈A【分析】首先由几何体的三视图求出几何体,然后计算各棱长即可.【解答】解:由题意,几何体为底面为直角梯形的四棱锥,底面梯形的底为2,3,高为,棱锥的高为2,所以底面各棱长分别为2,3,,2;侧棱长度分别为2,2,,2,;A为此几何体所有棱的长度的集合,A={2,,3,2,},故选B.【点评】本题考查了几何体的三视图,所求的关键是明确几何体的形状,求出个棱长.12.如图,直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A,B,C,若,则|AB|等于()A.5 B.6 C.D.8【分析】作AM、BN垂直准线于点M、N,根据,和抛物线的定义,可得tan∠NCB=2,从而可得直线方程,与抛物线方程联立,利用抛物线的定义,即可得出结论.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),作AM、BN垂直准线于点M、N,则|BN|=|BF|,∵,∴sin∠NCB=,∴tan∠NCB=2∴AF的方程为y=2(x﹣1),代入y2=4x,可得x2﹣3x+1=0∴x1+x2=3,∴|AB|=x1+x2+2=5.故选:A.【点评】本题考查考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.点P(2,﹣1,4)关于y轴对称的点的坐标为(﹣2,﹣1,﹣4).【分析】根据空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为(﹣x,y,﹣z),直接写出对称点的坐标即可.【解答】解:空间直角坐标系O﹣xyz中,点P(2,﹣1,4)关于y轴的对称点的坐标为(﹣2,﹣1,﹣4).故答案为:(﹣2,﹣1,﹣4).【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标轴对称点的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是基础题目.14.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是.【分析】由直观图和原图的面积之间的关系=,直接求解即可.【解答】解:因为=,且若△A′B′C′的面积为×2××=,那么△ABC的面积为,故答案为:.【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本概念、基本运算的考查.15.设F1,F2为椭圆的两个焦点,以F1为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为﹣1.【分析】由题意圆F2的半径为c,∠F1MF2是直角,在直角三角形F1MF2中有(2a﹣c)2+c2=4c2,由此能求出该椭圆的离心率.【解答】解:∵F1,F2为椭圆的两个焦点,以F1为圆心作圆F2,圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,∴圆F2的半径为c,又直线MF1恰与圆F2相切,∴∠F1MF2是直角,∵|F1F2|=2c,|MF2|=c,|F1M|=2a﹣c,∴在直角三角形F1MF2中有(2a﹣c)2+c2=4c2,整理,得e2+2e﹣2=0,∴e=﹣1或e=﹣1﹣(舍),∴该椭圆的离心率e为.故答案为:.【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.16.在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AB⊥CB1,AB=BC=2,AA1=4,则该三棱柱外接球的表面积为24π.【分析】根据题意判断直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,我们可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,求出外接球的直径后,代入外接球的表面积公式,即可求出该三棱柱的外接球的表面积【解答】解:∵在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AB⊥CB1,AB=BC=2,AA1=4,∴AB⊥面BCC1B1,即AB⊥BC∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,所以外接球半径为R==,表面积为24π.故答案为:24π.【点评】在求一个几何体的外接球表面积(或体积)时,关键是求出外接球的半径,我们通常有如下办法:①构造三角形,解三角形求出R;②找出几何体上到各顶点距离相等的点,即球心,进而求出R;③将几何体补成一个长方体,其对角线即为球的直径,进而求出R三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图,三棱锥A﹣BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E、F分别是棱AB、CD的中点,连接CE,G为CE上一点.(1)求证:平面CBD⊥平面ABD;(2)若GF∥平面ABD,求的值.【分析】(1)在△BCD中,BC=3,BD=4,CD=5,可得BC⊥BD,从而可证BC⊥平面ABD,即可证得平面CBD⊥平面ABD …7′(2)利用GF∥平面ABD,可证GF∥ED,利用F是棱CD的中点,可得G为线段CE的中点,即可求的值.【解答】(1)证明:在△BCD中,BC=3,BD=4,CD=5,∴BC⊥BD又∵BC⊥AD,BD∩AD=D,∴BC⊥平面ABD …4′又∵BC⊂平面BCD,∴平面CBD⊥平面ABD …7′(2)解:∵GF∥平面ABD,FG⊂平面CED,平面CED∩平面ABD=DE∴GF∥ED …10′∵F是棱CD的中点,∴G为线段CE的中点∴=1 …14′【点评】本题考查面面垂直,考查线面平行,解题的关键是掌握面面垂直的判定、线面垂直的性质,属于中档题.18.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.【分析】(Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐标,因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称,得到圆心在直线上代入得到①,把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②,①②联立求出D和E,即可写出圆的方程;(Ⅱ)设l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可.【解答】解:(Ⅰ)由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为(﹣,﹣)∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点(﹣,﹣)在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2,①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D>0,E<0由①②解得D=2,E=﹣4∴所求圆C的方程为:x2+y2+2x﹣4y+3=0(Ⅱ)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设l:x+y=a∵圆C:(x+1)2+(y﹣2)2=2∴圆心C(﹣1,2)到切线的距离等于半径,即||=,∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3【点评】考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力,理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径.19.设函数f(x)=x2+e x﹣xe x.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.【分析】(1)求出导数,讨论x>0,x<0,导数的符号,注意运用指数函数的单调性,求出单调区间;(2)当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,即为当x∈[﹣2,2]时,f(x)min>m,由(1)即可求出最小值.【解答】解:(1)∵函数f(x)=x2+e x﹣xe x.∴f(x)的定义域为R,f'(x)=x+e x﹣(e x+xe x)=x(1﹣e x),当x<0时,1﹣e x>0,f'(x)<0;当x>0时,1﹣e x<0,f'(x)<0∴f(x)在R上为减函数,即f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞).(2)当x∈[﹣2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,即为当x∈[﹣2,2]时,f(x)min>m.由(1)可知,f(x)在[﹣2,2]上单调递减,∴,∴m<2﹣e2时,不等式f(x)>m恒成立.【点评】本题考查导数的综合应用:求单调区间、求最值,考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,属于中档题.20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E∥平面ADF;(2)若点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?【分析】(1)连接CE交AD于O,连接OF.因为CE,AD为△ABC中线,所以O为△ABC的重心,.由此能够证明C1E∥平面ADF.(2)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,先证出AD⊥平面B1BCC1.再证明当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.【解答】解:(1)连接CE交AD于O,连接OF.因为CE,AD为△ABC中线,所以O为△ABC的重心,.从而OF∥C1E.…(3分)OF⊂面ADF,C1E⊄平面ADF,所以C1E∥平面ADF.…(6分)(2)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,由于B1B⊥平面ABC,BB1⊂平面B1BCC1,所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB=AC,D是BC中点,所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,所以AD⊥平面B1BCC1.而CM⊂平面B1BCC1,于是AD⊥CM.…(9分)因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以Rt△CBM≌Rt△FCD,所以CM⊥DF.…(11分)DF与AD相交,所以CM⊥平面ADF.CM⊂平面CAM,所以平面CAM⊥平面ADF.…(13分)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.…(14分)【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.21.已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合,且椭圆过点(,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB 的面积.【分析】(1)设椭圆方程为=1(a>b>0),先求出c=,由椭圆过点(,1),得=1,由此能求出椭圆的标准方程.(2)由,得,设直线方程为y=kx+1,代入椭圆,得(2k2+1)x2+4kx﹣2=0,由此利用韦达定理,结合已知条件能求出△AOB的面积.【解答】解:(1)∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合,且椭圆过点(,1),∴设椭圆方程为=1(a>b>0),c为半焦距,c=,∴a 2﹣b 2=2,①由椭圆过点(,1),得=1,②由①②,得a 2=4,b 2=2,∴所求椭圆的标准方程为.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由,得,设直线方程为y=kx+1,代入椭圆,得(2k 2+1)x 2+4kx ﹣2=0,解得x=,设,,则﹣=2,解得,∴△AOB 的面积S=|OP||x 1﹣x 2|===.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用.22.设函数,g (x )=2x 2+4x+c .(1)试问函数f (x )能否在x=﹣1时取得极值?说明理由;(2)若a=﹣1,当x ∈[﹣3,4]时,函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点,求c 的取值范围.【分析】(1)利用反证法:根据f (x )的解析式求出f (x )的导函数,假设x=﹣1时f (x )取得极值,则把x=﹣1代入导函数,导函数值为0得到a 的值,把a 的值代入导函数中得到导函数在R 上为增函数,没有极值与在x=﹣1时f (x )取得极值矛盾,所以得到f (x )在x=﹣1时无极值;(2)把a=﹣1代入f (x )确定出f (x ),然后令f (x )与g (x )相等,移项并合并得到c 等于一个函数,设F (x )等于这个函数,G (x )等于c ,求出F (x )的导函数,令导函数等于0求出x的值,利用x的值讨论导函数的正负得到F(x)的单调区间,进而得到F(x)的极大值和极小值,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与G(x)有两个公共点,根据F(x)的极大值和极小值写出c的取值范围即可.【解答】解:(1)由题意f′(x)=x2﹣2ax﹣a,假设在x=﹣1时f(x)取得极值,则有f′(﹣1)=1+2a﹣a=0,∴a=﹣1,而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,函数f(x)在R上为增函数,无极值.这与f(x)在x=﹣1有极值矛盾,所以f(x)在x=﹣1处无极值;(2)令f(x)=g(x),则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0,∴c=x3﹣x2﹣3x,设F(x)=x3﹣x2﹣3x,G(x)=c,令F′(x)=x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1或x=3.列表如下:x ﹣3 (﹣3,﹣1)﹣1 (﹣1,3) 3 (3,4)4f′(x)+ 0 ﹣0 +f(x)﹣9 ↑↓﹣9 ↑﹣由此可知:F(x)在(﹣3,﹣1)、(3,4)上是增函数,在(﹣1,3)上是减函数.当x=﹣1时,F(x)取得极大值;当x=3时,F(x)取得极小值F(﹣3)=F(3)=﹣9,而.如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与G(x)有两个公共点,所以或c=﹣9.【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,会根据函数的增减性得到函数的极值,掌握函数的零点与方程根的关系,是一道中档题.。

2017-2018学年河北省高二上学期期末考试数学文试题(Word版)7

2017-2018学年河北省高二上学期期末考试数学文试题(Word版)7

2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若0a b <<,则( )A .11a b <B .01a b << C. 2ab b > D .b a a b> 2.抛物线214y x =的准线方程是( )A .1x =B .1y = C. 1x =- D .1y =- 3.已知直线l 的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),则直线l 的普通方程为( )A .20x y --=B .20x y -+= C. 0x y += D .20x y +-= 4.观察下列各图,其中两个分类变量,x y 之间关系最强的是( )A .B . C. D5.椭圆3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的离心率是( )A .35B .45 C.925 D .16256.若,x y 是正数,且141x y+=,则xy 有( )A .最大值16B .最小值116 C. 最小值16 D .最大值1167.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯? ”其译文为:“远远望见7层高的古塔,每层塔点着的灯数,下层比 上层成倍地增加,一共有381盏,请问塔尖几盏灯?”则按此塔各层灯盏的设置规律,从上往下数第4 层的灯盏数应为( )A .3B .12 C. 24 D .368.对任意的实数x ,不等式210mx mx --<恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .()4,0- B .(]4,0- C.[]4,0- D .[)4,0-9.设变量,x y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则1y x +的最大值是( )A .1B .14 C. 12D .210.已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.那么p 是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C. 充要条件 D .既不充分也不必要条件11.已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧,给出以下结论:①3450a b -+>;②当0a >时,a b +有最小值,无最大值;③221a b +>;④当0a >且1a ≠时,11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,正确的个数是( )A .1B .2 C. 3 D .412.在函数()()2ln 1f x a x x =--的图象上,横坐标在()1,2内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a 的取值范围是( )A .[)1,+∞B .()1,+∞ C. [)6,+∞ D .()6,+∞第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81,则9a = .14.过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ,恰被Q 所平分,则弦AB 所在直线方程为 .15.已知函数()32113f x x ax x =+++有两个极值点,则实数a 的取值范围是 .16.已知命题1:12p x ≤≤,命题()():10q x a x a ---≤,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,()3sin cos 1a C c A =+. (1)求角A ;(2)若2316bc a =-,ABC ∆的面积3S =,求,b c 的值.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ,()2*13122n n S a n n n N +=--+∈. (1)设n n b a n =+,证明:数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n nb 的前n 项和n T .19.已知函数()22x f x e x ax =-+.(1)若1a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2) 若()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,离心率为22,椭圆与x 轴左交点与点F 的距离为21-. (1)求椭圆方程;(2) 过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ,当OAB ∆面积为22时,求AB .21.已知抛物线的方程为()220x py p =>,过点()0,P p 的直线l 与抛物线相交于A B 、两点,分别过点A B 、作抛物线的两条切线1l 和2l ,记1l 和2l 相交于点M .(1)证明:直线1l 和2l 的斜率之积为定值; (2) 求证:点M 在一条定直线上.22.已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++-∈. (1)当0a >时,求函数()f x 的单调递减区间;(2)当0a =时,设函数()()()22g x xf x k x =-++,若函数()g x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点,求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10: CCBBA 11、12:BC 二、填空题13. 17 14. 4150x y --= 15. ()(),11,-∞-⋃+∞ 16.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 解:(1)由已知得()3sin cos 1a C c A =+, ∴由正弦定理得()3sin sin sin cos 1A C C A =+, ∴3sin cos 1A A -=, 故1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由0A π<<,得3A π=.(2)在ABC ∆中,22163bc b c bc -=+-, ∴()216b c +=,故4b c +=.① 又334ABC S bc ∆==, ∴4bc =.②联立①②式解得2b c ==.18.解:(1)∵213122n n a S n n +=--+, ①∴当1n =时,121a =-,则112a =-,当2n ≥时,()()2111311122n n a S n n --+=----+,②则由①—②得121n n a a n --=--,即()121n n a n a n -+=+-, ∴()1122n n b b n -=≥, 又11112b a =+=,∴数列{}n b 是首项为12,公比为12的等比数列,∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)由(1)得2n nn nb =. ∴234112*********n n n n nT --=++++++ ,③232123412122222n n n n nT ---=++++++ ,④.由④-③得2111112222n n n n T -=++++- 1122212212nn n n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--.19.解:(1)∵()22x f x e x '=-+,∵()1f e '=,即(),11k e f e ==+ ∴所求切线方程为()()11y e e x -+=-,即10ex y -+=(2)()22x f x e x a '=-+,∵()f x 在R 上单调递增,∴()0f x '≥在R 上恒成立,∴2x e a x ≥-在R 上恒成立,令()2x e g x x =-,()112xe g '=-,令()0g x '=,则ln 2x =,∵在(),ln 2-∞上()0g x '>;在()ln 2,+∞上,()0g x '<, ∴()g x 在(),ln 2-∞单调递增,在()ln 2,+∞上单调递减, ∴()()max ln 2ln 21g x g ==-, ∴ln 21a ≥-,∴实数a 的取值范围为[)ln 21,-+∞. 20.解:(1)由题意可得22c a=,21a c -=-,又222a b c -=,解得221,2b a ==, 所以椭圆方程为2212x y +=(2)根据题意可知,直线l 的斜率存在,故设直线l 的方程为2y kx =+,设()()1122,,,A x y B x y 由方程组22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的方程()2212860k xkx +++=,由直线l 与椭圆相交于,A B 两点,则有0∆>,即222(1)6424216240k k k -+=->,得:232k >,由根与系数的关系得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩,故22212216241112k AB x x k k k-=⋅⋅+=++ 又因为原点O 到直线l 的距离221d k =+,故OAB ∆的面积222211624222321212k k S AB d k k -⨯-=⋅==++ 由2222232122k k ⨯-=+,得142k =±,此时32AB =. 21.解:(1)依题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y kx p =+, 将其代入22x py =,消去y 整理得22220x pkx p --=. 设,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y , 则2122x x p =-.将抛物线的方程改写为212y x p =,求导得1y x p'=. 所以过点A 的切线1l 的斜率是11x k p =,过点B 的切线2l 的斜率是22xk p=, 故121222x x k k p ==-, 所以直线1l 和2l 的斜率之积为定值2-.(2)设(),M x y .因为直线1l 的方程为()111y y k x x -=-,即()21112x x y x x p p -=-, 同理,直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-, 联立这两个方程,消去y 得()()2212212122x x x xx x x x p p p p-=---, 整理得()121202x x x x x +⎛⎫--= ⎪⎝⎭,注意到12x x ≠,所以122x x x +=.此时()2211111212112222x x x x x x x x y x x x p p p p p p p⎛⎫+=+-=+-==- ⎪⎝⎭.由(1)知,122x x pk +=,所以122x x x p +==k R ∈, 所以点M 在定直线y p =-上.22.解:(1)()f x 的定义域为()0,+∞,()f x 的导数为()()()()11110ax x f x ax a a x x--'=-++-=->, ①当()0,1a ∈时,11a>.由()0f x '<,得1x a>或 1x <. 当()10,1,,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;②当1a =时,恒有()0f x '≤,∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为()0,+∞; ③当()1,a ∈+∞时,11a<.由()0f x '<,得1x >或1x a<.∴当()10,,1,x x a⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上,当()0,1a ∈时,()f x 的单调递减区间为()10,1,,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;当1a =时,()f x 的单调递减区间为()0,+∞;当()1,a ∈+∞时,()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)()()2ln 22g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有零点,即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令函数()2ln 22x x x h x x -+=+,1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()2232ln 42x x x h x x +--'=+.令函数()232ln 4p x x x x =+--,1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()()212x x p x x-+'=在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥.故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.∵()10p =,∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,有() 0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减; 当()1,x ∈+∞时,有() 0p x > 即()0h x '>, ∴()h x 单调递增.∵19ln 22105h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()11h =,()10210ln 21021023110121232h h --⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭, ∴k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦.。

河北省承德市高二上学期期末数学试卷(理科)

河北省承德市高二上学期期末数学试卷(理科)

河北省承德市高二上学期期末数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共12题;共24分)2. (2分) (2017高二下·莆田期末) 已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是()A . “p∨q”为真命题B . “p∧q”为真命题C . “¬p”为真命题D . “¬q”为真命题3. (2分)已知F1 , F2分别是双曲线C:(a>0,b>0)的左右两个焦点,若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°,且满足2∠PF1F2=∠PF2F1 ,那么双曲线C的离心率为()A . +1B . 2C .D .4. (2分)在一次投掷链球比赛中,甲、乙两位运动员各投掷一次,设命题p是“甲投掷在80米之外”,q 是“乙投掷在80米之外”,则命题“至少有一位运动员没有投掷在80米之外”可表示为()A . 非p或非qB . p或非qC . 非p且非qD . p或q5. (2分) (2019高二上·上杭月考) 如图,长方体中,,,点分别是,,的中点,则异面直线与所成的角是()A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°6. (2分) (2019高二上·铜陵月考) 直线l经过点,且圆上到直线l距离为1的点恰好有3个,满足条件的直线有()A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条7. (2分)某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为()A .B .C .D .8. (2分)“”是“且”的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. (2分) (2020高二下·诸暨期中) 若平面向量,的夹角为,且,则()A .B .C . )D .10. (2分)如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,F为其右焦点,直线与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为()A .B .C .D .11. (2分)将圆平分的直线是()A .B .C .D . x-y+3=012. (2分)已知椭圆+y2=1(m>1)和双曲线﹣y2=1(n>0)有相同的焦点F1 , F2 , P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是()A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 随m,n的变化而变化二、填空题: (共4题;共4分)13. (1分) (2020高二上·新丰期末) 已知“ ”是“ ”的充分不必要条件,且,则的最小值是________.14. (1分) (2019高二上·砀山月考) 过点的直线被曲线截得的弦长为2,则直线的方程为________.15. (1分)(2020·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中,A , B是圆O:x2+y2=2上两个动点,且⊥,若A , B两点到直线l:3x+4y﹣10=0的距离分别为d1 , d2 ,则d1+d2的最大值为________.16. (1分)(2018高二上·江苏月考) 已知椭圆左右焦点分别是,点是直线上的动点,若点在椭圆上,则椭圆的离心率的最大值为________.三、解答题: (共6题;共50分)17. (5分) (2017高二下·集宁期末) 设方程有两个不等的负根,方程无实根,若“ ”为真,“ ”为假,求实数的取值范围.18. (5分) (2017高二下·长春期末) 已知命题若非是的充分不必要条件,求的取值范围.19. (5分)(2017·河西模拟) 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E 为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(Ⅰ)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.20. (15分) (2015高二上·昌平期末) 抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1 , y1),B(x2 ,y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8.(1)求p的值;(2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点,若是,求出交点坐标,若不是,说明理由;(3)求直线l的斜率的取值范围.21. (10分) (2017高一上·福州期末) 如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD .(1)求证:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.22. (10分)(2018·广东模拟) 已知为椭圆的右焦点,点在上,且轴.(1)求的方程;(2)过的直线交于两点,交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.参考答案一、选择题: (共12题;共24分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题: (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题: (共6题;共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年河北省承德市联校高二上学期期末数学文试题word版含解析

2017-2018学年河北省承德市联校高二上学期期末数学文试题word版含解析

点为 G ,且直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点,证明: MG
3
a2
.
a
1. C【解析】特称命题的否定是全称命题,所以是“
2. A【解析】 4 1 1 ,故选 A。 41 3
x 0 , lg x 1 1”,故选 C。
5. A【解析】 y ' 2x 4 ,得 x 2,所以代入曲线得 A 2,3 ,故选 A。
1,若在
该菱形中任意选取一点,该点落在阴影部分的概率为
p0 ,则圆周率 的近似值为(

A. 7.74 p0 B. 7.76 p0 C. 7.79 p0 D. 7.81p0
12.过双曲线
x2 C : a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的右焦点 F 作 x 轴的垂线,交双曲线 C 于 M 、 N 两点, A 为左顶
点,设 MAN
,双曲线 C 的离心率为 f
2 ,则 f
3
f
()
3
A. 2 3 B. 3
3 C. 3
3 D.
6
3
二、填空题
13.若 m 是集合 1,3,5,7,9,11 中任意选取的一个元素,则椭圆
x2 y 2 1 的焦距为整数的概率为 ________.
m2
14.某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据,绘制了下面的折线图
2 ,则 PF1 5 PF2
为真命题,
故 p q 为真命题,故选 C。
8.D【解析】 直线
的过定点
,代入圆
,得
,即点
在圆 的内部,故必与圆 相交,而点
到圆
的圆心
的距离等于圆 的半径 3 ,故点
在圆 上,即不可能与圆 相离 .

2017-2018学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)命题“∃x>0,lg(x+1)>1”的否定是()A.∃x>0,lg(x+1)≤1B.∃x>0,lg(x+1)>1C.∀x>0,lg(x+1)≤1D.∀x>0,lg(x+1)>12.(5分)双曲线的焦点坐标为()A.(0,±1)B.(±1,0)C.(0,±3)D.(±3,0)3.(5分)某单位有员工147人,其中女员工有63人.为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本,则男员工应选取的人数是()A.8B.9C.10D.124.(5分)已知空间向量=(1,3,x),=(x2,﹣1,2),则“x=1”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)抛物线x2=2py(p>0)上一点(4,1)到其焦点的距离d=()A.4B.5C.7D.86.(5分)设命题p:若方程x2+my2=m2表示双曲线,则m<0.命题q:若P为双曲线x2﹣y2=8右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且|PF1|+|PF2|=6,则|PF1|=5|PF2|.那么,下列命题为真命题的是()A.(¬p)∧q B.(¬p)∨(¬q)C.p∧q D.p∧(¬q)7.(5分)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x﹣1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则()A.l必与圆M相切,l不可能与圆N相交B.l必与圆M相交,l不可能与圆N相切C.l必与圆M相切,l不可能与圆N相切D.l必与圆M相交,l不可能与圆N相离8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出S的值为﹣18,则输入的S值为()A.﹣4B.﹣7C.﹣22D.﹣329.(5分)已知直线l交椭圆+=1于A、B两点,且线段AB的中点为(﹣1,﹣1),则l的斜率为()A.﹣2B.﹣C.2D.10.(5分)如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠BAD=60°,以4个顶点为圆心的扇形的半径均为1,若在该菱形中任意选取一点,该点落在阴影部分的概率为p0,则圆周率π的近似值为()A.7.74p0B.7.76p0C.7.79p0D.7.81p011.(5分)若实数x,y满足,则的最大值为()A.B.C.D.112.(5分)若P为双曲线C:(a>0,b>0)右支上不在x轴上的任意一点,F1,F2分别为左、右焦点,△PF1F2的内切圆与x轴的切点为M(m,0)(),则该双曲线离心率的最大值为()A.B.C.2D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的横线上. 13.(5分)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素,则椭圆的焦距为整数的概率为.14.(5分)某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据,绘制了下面的折线图.根据图表对比,可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差(填甲或乙)更大.15.(5分)若抛物线C:y2=4x上一点M(a,b)到焦点F的距离为5,以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A,B两点,则|AB|=.16.(5分)已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形,∠BAD=60°,PD⊥平面ABCD,且PD =AB,点E是棱AD的中点,F在棱PC上,若PF:FC=1:2,则直线EF与平面ABCD 所成角的正弦值为.三、解答题:本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:(1)求出表中M,p及图中a的值;(2)若该校高一学生有800人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[20,30)内的人数.18.(12分)已知直线l:y=x+b经过抛物线C:x2=4y的焦点F,且与C交于A,B两点.(1)设P为C上一动点,P到直线y=﹣1的距离为d,点M(3,0),求d+|PM|的最小值;(2)求|AB|.19.(12分)已知圆N的圆心在直线x﹣2y+5=0上,且圆N经过点A(3,1)与点B(6,4).(1)求圆N的方程;(2)过点D(6,9)作圆N的切线,求切线所在直线的方程.20.(12分)某小型企业甲产品生产的投入成本x(单位:万元)与产品销售收入y(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次产品的相关数据.(1)求y关于x的线性回归方程;(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大()?相关公式:=,.21.(12分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,F,G分别是棱CC1,AD的中点,E为棱AB上一点,且异面直线B1E与BG所成角的余弦值为.(1)证明:E为AB的中点;(2)求平面B1EF与平面ABC1D1所成锐二面角的余弦值.22.(12分)已知椭圆的短轴长为2,且椭圆C过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l过定点,且斜率为,若椭圆C上存在A,B两点关于直线l对称,O为坐标原点,求k的取值范围及△AOB面积的最大值.2017-2018学年河北省承德市联校高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“∃x>0,lg(x+1)>1”的否定是∀x>0,lg(x+1)≤1.故选:C.2.【解答】解:双曲线,可得a=2,b=,c=,所以双曲线的焦点坐标为(0,±3).故选:C.3.【解答】解:男员工应抽取的人数为(147﹣63)×=12.故选:D.4.【解答】解:空间向量=(1,3,x),=(x2,﹣1,2),当时,有1×x2+3×(﹣1)+2x=0,解得x=﹣3或x=1,又“x=1”是“x=﹣3或x=1”的充分不必要条件,所以“x=1”是“”的充分不必要条件,故选:A.5.【解答】解:根据题意,抛物线x2=2py(p>0)经过点(4,1),则有16=2p,解可得p=8,则抛物线的标准方程为:x2=16y,其焦点坐标为(0,4),点(4,1)到其焦点的距离d==5;故选:B.6.【解答】解:若方程x2+my2=m2表示双曲线,则m≠0,此时方程等价为+=1,若表示双曲线,则m<0,即命题p是真命题,若P为双曲线x2﹣y2=8右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且|PF1|+|PF2|=6,则双曲线的标准方程为﹣=1,则a==2,则|PF1|﹣|PF2|=2a=4,∵|PF1|+|PF2|=6,∴|PF1|=5,|PF2|=,则|PF1|=5|PF2|.则|PF1|=5|PF2|成立,故命题q是真命题,则p∧q为真命题,其他为假命题,故选:C.7.【解答】解:∵直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x﹣1)2+y2=6内,∴直线l必与圆M相交,∵(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,∴l不可能与圆N相离.故选:D.8.【解答】解:由题意,模拟执行程序,可得i=2,满足条件i<6,满足条件i是偶数,S=S+4,i=3满足条件i<6,不满足条件i是偶数,S=S+4﹣9,i=4满足条件i<6,满足条件i是偶数,S=S+4﹣9+16,i=5满足条件i<6,不满足条件i是偶数,S=S+4﹣9+16﹣25,i=6不满足条件i<6,退出循环,输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18,故解得:S=﹣4.故选:A.9.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由线段AB的中点为M(﹣1,﹣1),则x1+x2=﹣2,y1+y2=﹣2则,两式相减得:=0,∴=﹣∴直线l的斜率k=﹣,故选:B.10.【解答】解:由题意该点落在阴影部分的概率为p0=,所以π=p0≈7.79p0;故选:C.11.【解答】解:∵y=1+,∴(x﹣2)2+(y﹣1)2=1(y≥1),它表示圆心为(2,1)半径为1的圆的上半圆.因为z=,所以y=zx+z,即zx﹣y+z=0所以直线zx﹣y+z与半圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=1(y≥1),相切时,直线y=zx+z的斜率最大,所以=1,解得:z=.故选:B.12.【解答】解:F1(﹣c,0)、F2(c,0),内切圆与x轴的切点是点M ∵|PF1|﹣|PF2|=2a,及圆的切线长定理知,|MF1|﹣|MF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x,则|(x+c)﹣(c﹣x)|=2a,∴x=a,即|OM|=a,又,∴,⇒,,,.∴则该双曲线离心率的最大值为:2.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的横线上. 13.【解答】解:m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素,∴基本事件总数为6,椭圆的焦距为整数包含的基本事件m的可能取值有1,3,11,共有3个,∴椭圆的焦距为整数的概率p==.故答案为:.14.【解答】解:某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据,绘制了下面的折线图.根据图表对比,可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差乙更大.故答案为:乙.15.【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0),准线方程为x=﹣1,由抛物线的定义可得a+1=5,解得a=4,b=±4,以M(4,±4)为圆心且过点F的圆的半径为,由圆心到y轴的距离为4,可得|AB|=2=6,故答案为:6.16.【解答】解:根据题意得,PD⊥平面ABCD,PF:FC=1:2∴点E到平面ABCD的距离等于PD设FG⊥面ABCD∵PD=AB,四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形,∠BAD=60°∴设PD=AB=6则EG=∴EF=,∴直线EF与平面ABCD所成角的正弦值=故答案为.三、解答题:本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解答】解:(1)由[10,15)内的频数是10,频率是0.25知,,所以M=40.因为频数之和为40,所以10+25+m+2=40,m=3..因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以.(2)因为该校高一学生有800人,分组[20,30)内的频率是0.075+0.05=0.125,所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为800×0.125=100人.18.【解答】解:(1)∵F的坐标为(0,1),直线y=﹣1是C的准线.∴d=|PF|,∴.(2)易知b=1,由,得x2﹣4x﹣4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=4,x1x2=﹣4,△=32>0,∴.19.【解答】解:(1)设线段AB的中点为,∵k AB=1,∴线段AB的垂直平分线为x+y﹣7=0,与x﹣2y+5=0联立得交点N(3,4),∴|AN|=3=r.∴圆N的方程为(x﹣3)2+(y﹣4)2=9.(2)当切线斜率不存在时,切线方程为x=6.当切线斜率存在时,设切线方程为y﹣9=k(x﹣6),即kx﹣y+9﹣6k=0,则N到此直线的距离为,解得,∴切线方程为8x﹣15y+87=0.故满足条件的切线方程为x=6或8x﹣15y+87=0.20.【解答】解:(1)∵=12,=26,∴=,=26﹣12×1.5=8,故y关于x的线性回归方程为:=1.5x+8(2)当x=20时,=38,对应的毛利率为,当x=24时,=44,对应的毛利率为,故投入成本20万元的毛利率更大.21.【解答】(1)证明:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.不妨令正方体的棱长为2,则D(0,0,0),G(1,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),F(0,2,1),设E(2,a,0),则,,∴|cos<>==,∴a2﹣4a+3=0,解得a=1(a=3舍去),即E为AB的中点;(2)解:由(1)可得,,设是平面B1EF的法向量,则.令z=2,得.由图可得平面ABC1D1的一个法向量为,∴.故所求锐二面角的余弦值为.22.【解答】解:(1)∵椭圆C的短轴长为2,∴2b=2,即b=1.又点在C上,∴,∴a2=2.∴椭圆C的方程为.(2)由题意设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),由,消去y得,(k2+2)x2+2kmx+m2﹣2=0,∴△>0,即m2﹣k2<2,①且,,∴线段AB中点的横坐标,纵坐标,即线段AB的中点为.将代入直线可得,,②由①,②可得,,∴.又=,且原点O到直线AB的距离,∴=,∵,∴,∴当时,S△AOB取得最大值.。

河北省承德市联校2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

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2017-2018学年河北省承德市联校高三(上)期末数学试卷(文科)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={﹣1,2,3,4,5},B={x|x<m},若A∩B={﹣1},则实数m的值可以是()A.﹣1 B.2 C.3 D.42.已知复数z=(i为虚数单位),则的虚部为()A.﹣2 B.﹣3 C.3 D.43.已知向量,.若|,则实数x等于()A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.14.已知α∈(﹣π,﹣),且sinα=﹣,则cosα等于()A.﹣B. C.D.5.已知双曲线的实轴长为4,则双曲线的渐近线方程为()A.y=B.y=±x C.y=±2x D.y=±6.已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.(﹣∞,3]∪[6,+∞)D.[3,6] 7.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中.面积最小的面的面积为()A.4 B.4C.4D.88.如图是一个程序框图,则输出的S的值是()A.﹣1 B.0 C.8 D.99.已知函数f(x)=2x+1+,给出如下二个:p1:∃a∈R,使得函数y=f(x)是偶函数;p2:若a=﹣3,则y=f(x)在上有零点.则下列正确的是()A.¬p1B.¬p1∨p2C.p1∧p2D.p1∧(¬p2)10.将函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)图象向左平移个单位后,得到函数的图象关于点(,0)对称,则函数g(x)=cos(x+φ)在[﹣,]上的最小值是()A.﹣B.﹣C.D.11.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,则椭圆的离心率为()A.B.C. D.12.已知函数f(x)=(x+1)2e x,设k∈[﹣3,﹣1],对任意x1,x2∈[k,k+2],则|f(x1)﹣f(x2)|的最大值为()A.4e﹣3B.4e C.4e+e﹣3D.4e+1二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.某单位有员工90人,其中女员工有36人,为做某项调查,拟采用分层抽样抽取容量为15的样本,则男员工应选取的人数是.14.在△ABC中,A=60°,2asinB=3,则b=.15.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=log a(ax2﹣2x+3)在[,2]上是增函数,则a的取值范围是.16.在三棱锥A1﹣ABC中,AA1⊥底面ABC,BC⊥A1B,AA1=AC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为.三.解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知公比小于1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=,且13a2=3S3(n∈N*).(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=log3(1﹣S n+1),若++…+=,求n.18.为了了解某天甲乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品.已知甲厂该天生产的产品共有98件,5(Ⅱ)从乙厂抽出取上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率.19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是正三角形,点D是BC的中点,BC=BB1.(Ⅰ)求证:A1C∥平面AB1D;(Ⅱ)试在棱CC1上找一点M,使得MB⊥AB1,并说明理由.20.平面直角坐标系xoy中,直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.21.已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,t∈R.(1)当x为常数,t在区间变化时,求y的最小值为φ(x);(2)证明:对任意的t∈(0,+∞),总存在x0∈(0,1),使得y=0.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,AB是圆O的直径,C为圆周上一点,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E.(1)求证:AB•DE=BC•CE;(2)若AB=8,BC=4,求线段AE的长.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标方程是ρ=asinθ,直线l的参数方程是(t为参数)(1)若a=2,直线l与x轴的交点是M,N是圆C上一动点,求|MN|的最大值;(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,求a的值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知实数a、b满足:a>0,b>0.(1)若x∈R,求证:|x+a|+|x﹣b|≥2.(2)若a+b=1,求证:++≥12.2015-2016学年河北省承德市联校高三(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={﹣1,2,3,4,5},B={x|x<m},若A∩B={﹣1},则实数m的值可以是()A.﹣1 B.2 C.3 D.4【考点】交集及其运算.【分析】根据集合的交集的运算求出m的范围,即可得到答案.【解答】解:集合A={﹣1,2,3,4,5},B={x|x<m},A∩B={﹣1},∴﹣1<m≤2,∴实数m的值可以是0,1,2,故选:B.2.已知复数z=(i为虚数单位),则的虚部为()A.﹣2 B.﹣3 C.3 D.4【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】化简复数z,写出它的共轭复数,即可得出的虚部.【解答】解:∵复数z===﹣2+3i,∴=﹣2﹣3i,∴的虚部为﹣3.故选:B.3.已知向量,.若|,则实数x等于()A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1【考点】平面向量数量积的运算.【分析】求出||和,根据条件列出方程解出x.【解答】解:==5,=6+4x,∴6+4x=10,解得x=1.故选:D.4.已知α∈(﹣π,﹣),且sinα=﹣,则cosα等于()A.﹣B. C.D.【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】由角α的范围,利用同角三角函数基本关系式即可直接求值得解.【解答】解:∵α∈(﹣π,﹣),且sinα=﹣>﹣=sin(﹣),∴α为第三象限角,∴可得cosα=﹣=﹣=﹣.故选:A.5.已知双曲线的实轴长为4,则双曲线的渐近线方程为()A.y=B.y=±x C.y=±2x D.y=±【考点】双曲线的简单性质.【分析】将双曲线的方程化为标准方程,可得a=,b=,由题意可得2=4,解得k,即有双曲线的方程和渐近线方程.【解答】解:双曲线(k<0)即为﹣=1,可得a=,b=,由题意可得2=4,解得k=﹣2,即有双曲线的方程为﹣=1,即有渐近线方程为y=±x.故选:D.6.已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.(﹣∞,3]∪[6,+∞)D.[3,6]【考点】简单线性规划的应用.【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件,画出满足约束条件的可行域,分析表示的几何意义,结合图象即可给出的取值范围.【解答】解:约束条件对应的平面区域如下图示:三角形顶点坐标分别为(1,3)、(1,6)和(),表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)时取最大值6,当(x,y)=()时取最小值,故的取值范围是故选A.7.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中.面积最小的面的面积为()A.4 B.4C.4D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】作出直观图,根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出.【解答】解:根据三视图作出物体的直观图如图所示:显然S△PCD>S△ABC.由三视图特征可知PA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=AC=4,DB=2,∴BC=4,∴S△ABC==8,S△PAC==8,S△BCD==4.S==12.梯形PABD∴△BCD的面积最小.故选B.8.如图是一个程序框图,则输出的S的值是()A.﹣1 B.0 C.8 D.9【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的i,S的值,当S=0,i=6时满足条件S<i,退出循环,输出S的值为0,即可得解.【解答】解:模拟执行程序,可得S=27,i=1满足条件S是奇数,S=26,i=2不满足条件S是奇数,S=15,i=3满足条件S是奇数,S=10,i=4不满足条件S是奇数,S=9,i=5满足条件S是奇数,S=0,i=6满足条件S<i,退出循环,输出S的值为0.故选:B .9.已知函数f (x )=2x+1+,给出如下二个:p 1:∃a ∈R ,使得函数y=f (x )是偶函数;p 2:若a=﹣3,则y=f (x )在上有零点.则下列正确的是( )A .¬p 1B .¬p 1∨p 2C .p 1∧p 2D .p 1∧(¬p 2) 【考点】复合的真假.【分析】利用函数的性质先判定p 1,p 2的真假,再利用复合真假的判定方法即可得出.【解答】解:对于p 1:假设函数f (x )是偶函数,则f (﹣x )=f (x ),∴2﹣x+1+=2x+1+,化为:a=2,解得a=2.因此:∃a=2,使得函数y=f (x )是偶函数,因此是真.对于p 2:函数f (x )=2x+1﹣,令f (x )=0,可得:,可得2x =,∴x=<=.因此a=﹣3,则y=f (x )在上没有零点,是假.∴p 1∧(¬p 2)是真.故选:D .10.将函数f (x )=sin (2x+φ)+cos (2x+φ)(0<φ<π)图象向左平移个单位后,得到函数的图象关于点(,0)对称,则函数g (x )=cos (x+φ)在[﹣,]上的最小值是( )A .﹣B .﹣C .D .【考点】函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换.【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f (x )=2sin (2x+φ+),根据函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律及余弦函数的性质可解得φ的值,求得函数g (x )的解析式为g (x )=cos (x+),利用余弦函数值域求得函数g (x )的最值.【解答】解:∵f (x )=sin (2x+φ)+cos (2x+φ)=2sin (2x+φ+),∴将函数f (x )图象向左平移个单位后,得到函数解析式为:y=2sin[2(x+)+φ+]=2cos(2x+φ+),∵函数的图象关于点(,0)对称,∴对称中心在函数图象上,可得:2cos(2×+φ+)=2cos(π+φ+)=0,解得:π+φ+=kπ+,k∈Z,解得:φ=kπ﹣,k∈Z,∵0<φ<π,∴解得:φ=,∴g(x)=cos(x+),∵x∈[﹣,],x+∈[﹣,],∴cos(x+)∈[,1],则函数g(x)=cos(x+φ)在[﹣,]上的最小值是.故选:D.11.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,则椭圆的离心率为()A.B.C. D.【考点】椭圆的简单性质.【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),设x=﹣c,代入椭圆方程,求得A的坐标,设出C(x,y),由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,可得=2,运用向量的坐标运算可得x,y,代入椭圆方程,运用离心率公式,解方程即可得到所求值.【解答】解:设椭圆的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),由x=﹣c,代入椭圆方程可得y=±,可设A(﹣c,),C(x,y),由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,可得=2,即有(2c,﹣)=2(x﹣c,y),即2c=2x﹣2c,﹣=2y,可得x=2c,y=﹣,代入椭圆方程可得,+=1,由e=,b2=a2﹣c2,即有4e2+﹣e2=1,解得e=.故选:A.12.已知函数f(x)=(x+1)2e x,设k∈[﹣3,﹣1],对任意x1,x2∈[k,k+2],则|f(x1)﹣f(x2)|的最大值为()A.4e﹣3B.4e C.4e+e﹣3D.4e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求导函数,求得函数的单调区间,进而可求函数的最值,即可求得结论.【解答】解:求导函数,可得f′(x)=(x+1)2e x=(x2+4x+3)e x,令f′(x)>0,可得x<﹣3或x>﹣1;令f′(x)<0,可得﹣3<x<﹣1∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣3),(﹣1,+∞),单调减区间为(﹣3,﹣1)∵k∈[﹣3,﹣1],x1,x2∈[k,k+2],f(﹣3)=4e﹣3,f(﹣1)=0,f(1)=4e∴f(x)max=f(1)=4e,f(x)min=f(﹣1)=0∴|f(x1)﹣f(x2)|的最大值为4e,故选B.二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.某单位有员工90人,其中女员工有36人,为做某项调查,拟采用分层抽样抽取容量为15的样本,则男员工应选取的人数是9.【考点】分层抽样方法.【分析】总体的个数是90人,要抽一个15人的样本,则每个个体被抽到的概率是,用概率去乘以男员工的人数,得到结果【解答】解:总体的个数是90人,要抽一个15人的样本,则每个个体被抽到的概率是=,男员工应选取的人数(90﹣36)×=9人,故答案为:9.14.在△ABC中,A=60°,2asinB=3,则b=.【考点】正弦定理.【分析】由正弦定理可得b=,整体代入计算可得.【解答】解:由正弦定理可得=,∴b===故答案为:15.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=log a(ax2﹣2x+3)在[,2]上是增函数,则a的取值范围是(,]∪[2,+∞).【考点】对数函数的图象与性质.【分析】对a是否大于1进行分情况讨论,利用复合函数的单调性得出二次函数在[,2]的单调性,列出不等式组解出a的范围.【解答】解:设g(x)=ax2﹣2x+3,则g(x)的图象开口向上,对称轴为x=.(1)若0<a<1,则g(x)在[,2]上是减函数,且g min(x)>0,∴,解得;(2)若a>1,则g(x)在[,2]上是增函数,且g min(x)>0,∴,解得a≥2.综上,a的取值范围是(,]∪[2,+∞).16.在三棱锥A1﹣ABC中,AA1⊥底面ABC,BC⊥A1B,AA1=AC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为8π.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【分析】将三棱锥补成长方体,它的对角线是其外接球的直径,从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积.【解答】解:由三棱锥A1﹣ABC中,AA1⊥底面ABC,BC⊥A1B,将三棱锥补成长方体,它的对角线是其外接球的直径,则三棱锥外接球的直径为2,半径为,∴外接球的表面积S=4πR2=8π.故答案为:8π.三.解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知公比小于1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=,且13a2=3S3(n∈N*).(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=log3(1﹣S n+1),若++…+=,求n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(I)通过将a1=,a2=q,a3=q2代入13a2=3S3计算可知q=或q=3(舍),进而可得通项公式;(Ⅱ)通过(I)可知S n+1=1﹣,进而可知b n=﹣(n+1),裂项可知=﹣,并项相加即得结论.【解答】解:(I)依题意,a2=q,a3=q2,∵13a2=3S3,∴13×q=3×(1+q+q2),整理得:3q2﹣10q+3=0,解得:q=或q=3(舍),∴a n=•=2•;(Ⅱ)由(I)可知S n+1==1﹣,则b n=log3(1﹣S n+1)=log3(1﹣1+)=﹣(n+1),∵==﹣,∴++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=,∴=,解得:n=100.18.为了了解某天甲乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品.已知甲厂该天生产的产品共有98件,()求乙厂该天生产的产品数量;(Ⅱ)从乙厂抽出取上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(Ⅰ)有分层抽样可知各层抽取的比例相等,先计算出甲厂抽取的比例,按此比例计算乙厂生产的产品总数即可.(Ⅱ)先列举出所有的基本事件有10种等可能的结果,找到满足条件的基本事件的事件有7种,根据古典概型的概率公式计算即可.【解答】解:(Ⅰ)甲厂抽取的比例,因为乙厂抽出5件,故乙厂生产的产品总数35件.(Ⅱ)从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任取2件共有10种等可能的结果.分别是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)设只有2号和5号产品是优等品,被抽中有以下7种:(1,2),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5).∴抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率P=.19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是正三角形,点D是BC的中点,BC=BB1.(Ⅰ)求证:A1C∥平面AB1D;(Ⅱ)试在棱CC1上找一点M,使得MB⊥AB1,并说明理由.【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)连结A1B,交AB1于点O,连结OD,由O为A1B中点,又D为BC中点,可得A1C∥OD,即可证明A1C∥平面AB1D.(Ⅱ)当M为棱CC1中点时,易证△B1BD≌△BCM,可证∠BB1D=∠CBM,又∠BB1D+∠BDB1=,可得BM⊥B1D,易证明AD⊥BC,由平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C,AD⊂平面ABC,可证AD⊥平面BB1C1C,可证AD⊥BM,即可证明BM⊥平面AB1D,从而可证MB⊥AB1.【解答】(本题满分为12分)证明:(Ⅰ)连结A1B,交AB1于点O,连结OD,…1分在ABB1A1中,O为A1B中点.又因为D为BC中点,所以A1C∥OD,…2分因为A1C⊄平面AB1D,OD⊂平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D,…4分解:(Ⅱ)当M为棱CC1中点时,MB⊥AB1,理由如下:…5分因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC=BB1,所以四边形BCC1B1为正方形.因为M为棱CC1中点,D是BC的中点,易证△B1BD≌△BCM,…6分所以∠BB1D=∠CBM,又因为∠BB1D+∠BDB1=,所以∠CBM+∠BDB1=,故BM⊥B1D,…7分因为△ABC是正三角形,D是BC的中点,所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C,AD⊂平面ABC,所以AD⊥平面BB1C1C,…9分因为BM⊂平面BB1C1C,所以AD⊥BM.因为AD∩B1D=D,AD,B1D⊂平面AB1D,所以BM⊥平面AB1D,…11分因为AB1⊂平面AB1D,所以MB⊥AB1,…12分.20.平面直角坐标系xoy中,直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质.【分析】(1)求出O点到直线x﹣y+1=0的距离,进而可求圆O的半径,即可得到圆O的方程;(2)设直线l的方程,利用直线l与圆O相切,及基本不等式,可求DE长最小时,直线l 的方程;(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1),,,求出直线MP、NP分别与x轴的交点,进而可求mn的值.【解答】解:(1)因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为,所以圆O的半径为,故圆O的方程为x2+y2=2.(2)设直线l的方程为,即bx+ay﹣ab=0,由直线l与圆O相切,得,即,,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y﹣2=0.(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1),,,直线MP与x轴交点,,直线NP与x轴交点,,===2,故mn为定值2.21.已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,t∈R.(1)当x为常数,t在区间变化时,求y的最小值为φ(x);(2)证明:对任意的t∈(0,+∞),总存在x0∈(0,1),使得y=0.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)当x为常数时,设f(t)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+(3x2+1)t+4x3﹣1,是关于y的二次函数.利用二次函数图象与性质求解(2)设g(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,按照零点存在性定理去判断.可利用导数计算函数的极值,有关端点值,作出证明.【解答】解:(1)当x为常数时,设f(t)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+(3x2+1)t+4x3﹣1,f'(t)=﹣12xt+(3x2+1)①当x≤0时,由知f'(t)>0,f(t)在上递增,其最小值φ(x)=f (0)=4x3﹣1;…②当x>0时,f(t)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线;,若,即,则f(t)在上的最小值为.…若,即或x>1,则f(t)在上的最小值为φ(x)=f(0)=4x3﹣1.…综合①②,得…(2)证明:设g(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1则…由t∈(0,+∞),当x在区间(0,+∞)内变化时,g'(x),g(x)取值的变化情况如下表:…①当,即t≥2时,g(x)在区间(0,1)内单调递减,g(0)=t﹣1>0,g(1)=﹣6t2+4t+3=﹣2t(3t﹣2)+3≤﹣4(6﹣2)+3<0.所以对任意t∈[2,+∞),g(x)在区间(0,1)内均存在零点,即存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0.…②当,即0<t<2时,g(x)在内单调递减,在内单调递增,若t∈(0,1),则,g(1)=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=﹣2t+3≥1>0,所以g(x)在内存在零点;…若t∈(1,2),则g(0)=t﹣1>0,,所以g(x)在内存在零点.所以,对任意t∈(0,2),g(x)在区间(0,1)内均存在零点,即存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0.…综合①②,对任意的t∈(0,+∞),总存在x0∈(0,1),使得y=0.…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,AB是圆O的直径,C为圆周上一点,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E.(1)求证:AB•DE=BC•CE;(2)若AB=8,BC=4,求线段AE的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)连接BE,OC,OC∩BE=F,证明△EDC∽△BCA,即可证明AB•DE=BC•CE;(2)证明四边形EFCD是矩形,△OBC是等边三角形,即可得出结论.【解答】(1)证明:连接BE,OC,AC,OC∩BE=F,则∵CD是圆O的切线,∴OC⊥l,∵AD⊥l,∴AD∥OC,∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BE,∵AD⊥l,∴l∥BE,∴∠DCE=∠CBE=∠CAB,∵∠EDC=∠BCA=90°,∴△EDC∽△BCA,∴=,∴AB•DE=BC•CE;(2)解:由(1)可知四边形EFCD是矩形,∴DE=CF,∵圆O的直径AB=8,BC=4,∴∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形,∴∠EBA=30°,AE=4.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标方程是ρ=asinθ,直线l的参数方程是(t为参数)(1)若a=2,直线l与x轴的交点是M,N是圆C上一动点,求|MN|的最大值;(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,求a的值.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)求出圆C的圆心和半径,M点坐标,则|MN|的最大值为|MC|+r;(2)由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的,列出方程解出.【解答】解:(1)当a=2时,圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y﹣1)2=1.∴圆C的圆心坐标为C(0,1),半径r=1.令y==0得t=0,把t=0代入x=﹣得x=2.∴M(2,0).∴|MC|==.∴|MN|的最大值为|MC|+r=.(2)由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ,∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay,即x2+(y﹣)2=.∴圆C的圆心为C(0,),半径为||,直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0.∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半.∴=||,解得a=32或a=.[选修4-5:不等式选讲]24.已知实数a、b满足:a>0,b>0.(1)若x∈R,求证:|x+a|+|x﹣b|≥2.(2)若a+b=1,求证:++≥12.【考点】不等式的证明;绝对值三角不等式.【分析】(1)运用绝对值不等式的性质和均值不等式,即可得证;(2)由均值不等式可得ab≤,即≥4,原不等式左边化简即为,即可得证.【解答】证明:(1)由a>0,b>0,可得|x+a|+|x﹣b|≥|(x+a)﹣(x﹣b)|=a+b≥2,当且仅当a=b取得等号;(2)由a,b>0,1=a+b≥2,可得ab≤,即≥4,则++=+=≥12,当且仅当a=b=,取得等号.2016年6月16日。

承德市2017-2018学年高二数学上学期第二次月考试题 文

承德市2017-2018学年高二数学上学期第二次月考试题 文

2017—2018学年度第一学期第二次月考高二数学试题(文科)时间:120分钟总分:150分出题人:审核人:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题60分)和第Ⅱ卷(非选择题90分)两部分,满分150分;2.本次考试内容:必修2第四章圆与方程和选修1—1第二章圆锥曲线与方程。

第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题:(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.错误!B.错误!C.|a|D.-错误!2。

椭圆+=1的焦距是2,则m=()A。

5 B.3或8 C。

3或5 D.203。

直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心4。

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦为AB,则|AB|的最小值为()A.错误!B.pC.2p D.无法确定5.椭圆+=1与+=1(0<k〈9)的关系为()A.有相等的长、短轴B。

有相等的焦距C.有相同的焦点D。

有相等的离心率6.在方程mx2—my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是()A。

焦点在x轴上的椭圆B。

焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D。

焦点在y轴上的双曲线7.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m=()A。

错误!B。

错误!C.2 D.48。

双曲线的渐近线为y=±错误!x,则双曲线的离心率是()A。

错误!B.2C.错误!或错误!D。

错误!或错误!9。

如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0 B。

x+2y—4=0C.2x+3y—12=0 D.x+2y-8=010。

抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线错误!-错误!=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=() A.4B.5 C.6D.711.已知抛物线y2=2px(p〉0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-212。

河北省承德市数学高二上学期理数期末考试试卷

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河北省承德市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)特称命题“存在一个被7整除的整数不是奇数”的否定是()A . 所有被7整除的整数都不是奇数B . 所有奇数都不能被7整除C . 所有被7整除的整数都是奇数D . 存在一个奇数,不能被7整除2. (2分)已知复数在复平面内对应的点分别为,则等于()A . 3+iB . 3-iC . -1+3iD . -3-i3. (2分)已知两个正数a , b的等差中项为4,则a , b的等比中项的最大值为()A . 2B . 4C . 8D . 164. (2分)在抛物线上,横坐标为的点到焦点的距离为,则的值为()A . 0.5B . 1C . 2D . 45. (2分)(2017·济宁模拟) 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣()A . 104人B . 108人C . 112人D . 120人6. (2分)已知相交直线l1、l2的夹角为θ,则方程x2+y2sinθ=1表示的图形是()A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 圆或椭圆7. (2分)已知是定义在上的可导函数的导数,对任意,且,且,都有 , ,,则下列结论错误的是()A . 的增区间为B . 在 =3处取极小值,在 =-1处取极大值C . 有3个零点D . 无最大值也无最小值8. (2分)如图,BC=4,原点O是BC的中点,点,点D在平面上,且,则AD的长度为()A .B .C .D .9. (2分)数列{an}中,an+1=, a1=2,则a4为()A .B .C .D .10. (2分)已知x0函数的零点,若,则的值为()A . 恒为负值B . 等于0C . 恒为正值D . 不大于011. (2分) (2017高二下·芮城期末) 已知,,均为正数,且,则的最小值为()A .B .C . 4D . 812. (2分)若F1、F2是双曲线8x2-y2=8两焦点,点P在该双曲线上,且是等腰三角形,则的周长为()A . 17B . 16C . 20D . 16或20二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2016高二上·嘉兴期末) 已知,,,则t=________.14. (1分) (2018高二下·保山期末) 设,则二项式的展开式的常数项是________.15. (1分) (2016高二上·葫芦岛期中) P是以F1 , F2为焦点的椭圆上的任意一点,若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,且cosα= ,sin(α+β)= ,则此椭圆的离心率为________.16. (1分)(2017·大庆模拟) 已知实数x、y满足约束条件,则z=2x+4y的最大值为________.三、解答题 (共6题;共65分)17. (5分)(2017·海淀模拟) 已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an ﹣bn}是等比数列.(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)若∀n∈N* ,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.18. (10分) (2015高二上·天水期末) 已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(3,m)在抛物线E上,且|AF|=4.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(﹣1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.19. (10分)(2017·重庆模拟) 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PB上的点,且2BE=EP.(1)证明:AC⊥DE;(2)若PC= BC,求二面角E﹣AC﹣P的余弦值.20. (15分) (2019高二下·上海月考) 已知椭圆的左、右两个顶点分别为、,曲线是以、两点为顶点,焦距为的双曲线,设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点 .(1)求曲线的方程;(2)设、两点的横坐标分别为、,求证为一定值;(3)设△ 与△ (其中为坐标原点)的面积分别为与,且,求的取值范围.21. (10分)(2020·汨罗模拟) 已知四棱锥,,,,,,平面 .(1)求证:平面平面;(2)当时,求直线和平面所成角的正弦值.22. (15分) (2016高三上·常州期中) 设函数f(x)=x(x﹣1)2 , x>0.(1)求f(x)的极值;(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数的最小值;(3)设函数g(x)=lnx﹣2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m 有且只有一个,求实数m和t的值.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

河北省承德市数学高二上学期理数期末考试试卷

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河北省承德市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)“”是“”()A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. (2分) (2016高二上·玉溪期中) 若向量 =(1,1), =(1,﹣1), =(﹣1,2),则等于()A .B .C .D .3. (2分) (2019高二上·武威期末) 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3,则到另一焦点的距离为()A . 2B . 3C . 5D . 7.4. (2分) (2017高二下·原平期末) 命题使得的否定形式是()A . 使得B . 使得C . 使得D . 使得5. (2分)如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为()A . (1,0)B . (2,0)C . (3,0)D . (-1,0)6. (2分)已知双曲线方程为,过点P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则L的条数共有()A . 4条B . 3条C . 2条D . 1条7. (2分) (2018高二上·长寿月考) 若三点共线则的值为()A .B .C .D .8. (2分)(2018·六安模拟) 已知为双曲线上不同三点,且满足(为坐标原点),直线的斜率记为,则的最小值为()A . 8B . 4C . 2D . 19. (2分) (2018高二上·黑龙江期末) 已知空间向量,,若与垂直,则等于()A .B .C .D .10. (2分) (2018高三上·定州期末) 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为,左、右焦点分别是,在线段上有且只有一个点满足,则椭圆的离心率的平方为()A .B .C .D .11. (2分)已知是椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若的周长为8,则椭圆方程为()A .B .C .D .12. (2分)(2018·茂名模拟) 已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A, B 两点,点F为抛物线的焦点,若△ADF为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是()A .B .C .D .二、填空题 (共6题;共6分)13. (1分) (2018高二下·辽宁期末) 写出命题“若,则或”的否命题为________.14. (1分)(2018·北京) 若双曲线 =1(a﹥0)的离心率为,则a=________.15. (1分) (2018高二上·成都月考) 由动点引圆的两条切线,切点分别为,若,则点的轨迹方程是________.16. (1分)(2018·中山模拟) 已知椭圆方程为,、为椭圆上的两个焦点,点在上且。

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