第七章 卫星变轨问题和双星问题—人教版(2019)高中物理必修第二册检测

卫星变轨问题和双星问题
课后练习题
一、选择题
1. 1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )
图1
A.v 1＞v 2，v 1＝GM
r B.v 1＞v 2，v 1＞
GM
r C.v 1＜v 2，v 1＝GM
r
D.v 1＜v 2，v 1＞
GM
r
答案 B
解析 根据开普勒第二定律知，v 1>v 2，在近地点画出近地圆轨道，由GMm r 2＝m v 2
r 可知，过近地点做
匀速圆周运动的速度为v ＝GM
r
，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v 1>GM
r
，故B 正确.
2.(2019·北京市石景山区一模)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A.质量大的天体线速度较大
B.质量小的天体角速度较大
C.两个天体的向心力大小一定相等
D.两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C
解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律有： G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1，Gm 1m 2L 2
＝m 2ω2r 2，其中r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1
故质量大的天体线速度较小，故A 错误.
3.(2019·定州中学期末)如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道 Ⅰ 到达P 点后经过调整速度进入圆轨道 Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上.下列说法正确的是( )
图2
A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2 km/s
B.“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过P 点进入轨道Ⅱ时要加速
C.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P 点的速度
D.“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过P 点的加速度与在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度相等 答案 D
4. 如图3所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中不正确的是( )
图3
A.卫星在轨道3上的周期小于在轨道1上的周期
B.卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率
C.卫星在轨道2上运行时，经过Q 点时的速率大于经过P 点时的速率
D.卫星在轨道2上运行时，经过Q 点时加速度大于经过P 点的加速度 答案 A
解析 根据开普勒第三定律r 3
T 2＝k 知，卫星的轨道半径越大，则周期也越大，故卫星在轨道3上的周
期大于在轨道1上的周期，故A 不正确；由卫星运行时所受万有引力提供向心力，即GMm
r 2＝m v 2r ，
可知v ＝
GM
r
，因此卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故B 正确；根据开普勒第二定律知，卫星在轨道2上运行时，从Q 点向P 点运动，速度逐渐减小，经过Q 点时的速率大于经过P 点时的速率，故C 正确；卫星离地面越远，万有引力越小，根据牛顿第二定律，加速度也越小，故卫星在轨道2上运行时经过Q 点时加速度大于经过P 点的加速度，故D 正确.
5.(2019·杨村一中期末)如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕其连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
图4
A.m 1、m 2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2
B.m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C.m 1做圆周运动的半径为2
5L
D.m 2做圆周运动的半径为2
5L
答案 C
解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L 2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2，解得r 1＝2
5L ，
r 2＝3
5
L
m 1、m 2运动的线速度大小分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω 故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3.综上所述，选项C 正确.
6 如图5所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2，加速度大小分别为a 1和a 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，加速度大小为a 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率和加速度大小，下列结论正确的是( )
图5
A.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2
B.v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3
C.v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3
D.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D
解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma n 得：a n ＝GM
r 2，由题图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2
＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，假设飞船在半径为r 1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M 点时的速率为v 1′，根据GMm r 2＝m v 2
r
得：v ＝
GM
r
，又因为r 1＜r 3，所以v 1′＞v 3，飞船在圆轨道M 点时需加速才能进入椭圆轨道，则v 1>v 1′，故v 1＞v 3＞v 2，故选D.
7.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图6所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B 处与空间站对接.已知空间站C 绕月轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，月球的半径为R ，忽略月球自转.那么以下选项正确的是( )
图6
A.月球的质量为4π2r 3GT
2
B.航天飞机到达B 处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速
C.航天飞机从A 处到B 处做减速运动
D.月球表面的重力加速度为4π2R
T 2
答案 A
解析 设空间站质量为m ，在圆轨道上，由G mM r 2＝m 4π2r T 2，得M ＝4π2r 3
GT 2，A 正确；要使航天飞机在
椭圆轨道的近月点B 处与空间站C 对接，必须在B 点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B 错误；航天飞机飞向B 处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C 错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg 月＝G Mm R 2，可得g 月＝GM R 2＝4π2r 3
R 2T
2，D 错误.
8.(多选)如图7所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0.飞船在半径为4R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，忽略月球的自转，则( )
图7
A.飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于g 0R
B.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B 处的运行速率
C.飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度
D.飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝4∶1 答案 BC
解析 由m v 2
R
＝mg 0知，v ＝g 0R ，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于g 0R ，A 错误；由v ＝
GM
r
知，v Ⅰ<v Ⅲ，而飞船在轨道Ⅱ上的B 点做离心运动，有v ⅡB >v Ⅲ，则有v ⅡB >v Ⅰ，B 正确；由a n ＝GM
r 2知，
飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度，C 正确；由T ＝2πr 3
GM
知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比T Ⅰ∶T Ⅲ＝8∶1，D 错误.
9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时匀速圆周运动的周期为( )
A.n 3
k 2T B.
n 3k T C.n 2
k
T D.
n k
T 答案 B
解析 设两恒星的质量分别为m 1、m 2，距离为L ， 双星靠彼此的引力提供向心力，则有
G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L
解得T ＝2π
L 3
G (m 1＋m 2)
当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时
T ′＝2π
n 3L 3
Gk (m 1＋m 2)
＝
n 3k
T 故选项B 正确.
10.(多选)(2019·雅安中学高一下学期期中)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图8所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量.假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
图8
A.它们做圆周运动的万有引力保持不变
B.它们做圆周运动的角速度不断变大
C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大
D.体积较大星体圆周运动的线速度变大 答案 CD
解析 由F ＝Gm 1m 2
L 2知F 增大，A 错误；设体积较小者质量为m 1，轨迹半径为r 1，体积较大者质量
为m 2，轨迹半径为r 2，则有
Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1
，Gm 1m 2
L 2
＝m 2ω2r 2得：ω＝G (m 1＋m 2)
L 3
，因m 1＋m 2及
L 不变，故ω不变，B 错误；半径r 2＝Gm 1
ω2L 2
，因m 1增大，故r 2变大，C 正确；线速度大小v 2＝ωr 2，变大，D 正确.
11.(2019·扬州中学模拟)进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的( ) A.1倍 B.2倍 C.1
2倍 D.22倍
答案 D
解析 设正方形边长为L ，每颗星的轨道半径为r ＝2
2
L ，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：
2×Gm 2L 2cos 45°＋Gm 2
2L
2＝mω2r
得：ω＝(2＋
2
2
)Gm L L
，所以当边长变为原来的一半，星体的角速度变为原来的22倍，故D 项正
确.
二、非选择题
12.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图9所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，忽略地球的自转，求：
图9
(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速； (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小； (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2. 答案 (1)加速 (2)gR 2
(R ＋h 1)2 (3)
3
gR 2t 2
4n 2π2
－R 解析 (2)在地球表面有mg ＝
GMm
R 2
① 根据牛顿第二定律有：G Mm
(R ＋h 1)2
＝ma A ②
由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2
(R ＋h 1)2
(3)飞船在预定圆轨道上，由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2
T 2(R ＋h 2)③
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝t
n
④
由①③④式联立解得h 2＝
3
gR 2t 2
4n 2π2
－R . 13 如图10所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L .已知星球A 、B 的中心和O 三点始终共线，星球A 和B 分别在O 的两侧.引力常量为G .
图10
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg 和7.35×1022 kg.求T 2与T 1两者平方之比.(计算结果保留四位有效数字)
答案 (1)2π
L 3
G (M ＋m )
(2)1.012
解析 (1)两星球围绕同一点O 做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A 、B 的轨道半径分别为r 1、r 2，由牛顿第二定律知： 对B 有：G Mm L 2＝M 4π2
T 2r 2
对A 有：G Mm L 2＝m 4π2
T 2r 1
又r 1＋r 2＝L
联立解得T ＝2π
L 3
G (M ＋m )
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O 做匀速圆周运动，根据题意可知M 地＝5.98×1024 kg ，m 月＝7.35×1022 kg ，地月距离设为L ′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T 1＝2π
L ′3
G (M 地＋m 月)
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得 GM 地m 月L ′2＝m 月4π2
T 22
L ′
解得T 2＝2π
L ′3
GM 地
则T 2T 1＝M 地＋m 月
M 地
故T 22T 21
＝M 地＋m 月M 地≈1.012.。