高等数学09-10学年第二学期期中试题答案

09-10学年第二学期高等数学期中考试参考答案

一．填空 1. y x d 21d 41+； 2. ()()u

y x u f cos 2-+'ϕ； 3. 2112f f x ''+'ϕ； 4. z ； 5.

35； 6. 0543=-+z y x ； 7. ⎰⎰⎰⎰+y y

x f y x f y 12

24221d d d d ；8. ⎰⎰⎰-xy x z f y x 01010d d d 或⎰⎰⎰-xy y z f x y 01010d d d ；

9.

π； 10. 21； 11. π12； 12. j i +。

二．选择

1. C ；

2. B ；

3. D ；

4. A ；

5. D ；

6. D 。

三． 解：问题为求⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=4315y x z 在条件122=+y x 的约束下的最小距离点。 设()1431522-+λ+⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=y x y x F ………………………………2分 则⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=-λ='=-λ='1

0452035222y x y F x F x x ……………………………………………… 5分 可解得：54±=x ，5

3±=y ，……………………………………… 7分 而123553,54=⎪⎭⎫

⎝⎛z ，12

8553,54=⎪⎭⎫ ⎝⎛--z 故，所求点为⎪⎭⎫ ⎝⎛1235,53,54…………………………………………… 9分

四．

解：由题意，有 ()2222244y x y x y P +-=∂∂；()

2222244y x y x x Q +-=∂∂， 故，当042

2≠+y x 时，有x Q y P ∂∂=∂∂ ……………………………………2分 而L 所围的区域包含()0,0点，故不能直接用格林公式，

做⎩⎨⎧ε=ε=t

y t x L sin 2cos 1，取顺时针方向，0>ε充分小。……………… 4分 则由L 和1L 围成的区域*D 不包含原点，则由格林公式有

0d d 4d d 1*

22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰+L L D y x y P x Q y x y x x y …………………………… 7分 故()⎰⎰⎰ππ-=εε⋅ε-ε-ε-=-=0

22d 4cos 2cos sin sin 21t t t t t L L

…10分

五． 解：所求即为⎰⎰∑--=y

x z x x z yz x z y z x I d d d d d d 2223，其中∑为

222y x z --=，()21≤≤z 的上侧。……………………………………2分 补平面1:1=∑z

，方向向下，则1∑+∑成封闭曲面，此积分满足高斯公式条件，则：()0d 232221=--=⎰⎰⎰

⎰⎰Ω∑+∑v z x z x z x …………………………4分 而()⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+π∑π=ρρ⋅θθ=⋅--=1103220222

214d cos d d d 1y x y x x …………8分 故41

π-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑ …………………………………………………………9分