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2019-2020学年度最新高二数学上学期期末考试试题 理(普通班,含解析)

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，命题q：，，则A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：当时，成立，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，故A错误；命题是假命题，故B错误；命题￢是真命题，故C正确；命题￢是真命题，故D错误；故选：C．举出正例可知命题p为真命题；举出反例可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．2.在中，，，，则边c等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，则，即得，故选：D．根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础．3.若实数x，y满足，则的最小值为A. 2B. 1C. 0D.【答案】D【解析】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得．故选：B．设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：，，a，b的等差中项是，又当且仅当时，等号成立，取得最小值5故选：C．先由等差中项求得，又，再构造基本不等式求解．本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．6.已知四棱锥的底面是正方形，且底面ABCD，，则异面直线PB与AC所成的角为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，所以，即异面直线PB与AC所成的角为，故选：B．由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，即，即异面直线PB与AC所成的角为，得解．本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．7.若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为A. 或B. 或C.D.【答案】C【解析】解：不等式对一切实数x都成立，则，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C．根据题意得出，由此列出不等式组求出a的取值范围．本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则A. B. 1 C. 3 D. 4【答案】C【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，与抛物线方程联立，得，消去y可得：，，，解得：．故选：C．写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得p的值．本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．9.如图，已知顶角A为的三角形ABC满足，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足，当的面积取得最大值时，DE的最小值为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：的面积．当且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，当时，取得最小值，故DE的最小值为，故选：B．易得且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，，故DE的最小值为，本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.已知不等式的解集为，则______．【答案】3【解析】解：不等式的解集为，和b为的解，将代入方程得：，即，方程化为，将代入方程得：，解得：不合题意，舍去或，则．故答案为：3由不等式的解集，得到方程的解为1和b，将与代入求出a 与b的值，即可求出的值．此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程的解为1和b 是解本题的关键．11.设等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】45【解析】解：，，所以，则．故答案为：45由减得到的值，然后利用等差数列的性质找出的和与的和即与的关系，由的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列的性质找出与d和的关系，把d和的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．12.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．【答案】5【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知海里，海里，，由正弦定理可得：，即，解得，，海里．故答案为：5．利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算AM即可．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．13.如图，双曲线C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足，，则双曲线的离心率e的值为______．【答案】【解析】解：，可得，在中，，，在直角三角形ABF中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．故答案为：运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）14.已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．Ⅰ当且为真命题时，求实数x的取值范围；Ⅱ若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由得得，由得，若为真命题时，则p，q同时为真命题即，得，即实数x的取值范围是Ⅱ由，得，若p是q的必要不充分条件，则，则，即，即实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求出p，q为真命题的等价条件，结合为真命题时，则p，q同时为真命题进行求解即可Ⅱ利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ若的面积为，求a，b的值；Ⅱ若，求的面积．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ，，由余弦定理，可得：，的面积为，解得：，由可得：，分Ⅱ，，又由余弦定理，可得：，解得：，，，分【解析】Ⅰ由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，联立即可得解a，b的值．Ⅱ利用正弦定理可求，又由余弦定理可得，解得a，b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设是公比为正数的等比数列，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求证：数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设是公比为q的等比数列，，，，可得，解得，则，；Ⅱ证明：，则，可得前n项和，由，可得．【解析】Ⅰ设是公比为q的等比数列，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．17.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．【答案】解：Ⅰ：依题意可得，解得，Ⅱ设投入B商品的资金为x万元，则投入A商品的资金为万元，设收入为万元，当时，，，则，当且仅当，解得时，取等号．当时，则，此时．，最大收益为17万元，答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．18.如图，平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，、，，．Ⅰ求证：平面ABF；Ⅱ求二面角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，，平面ADEF，，四边形ADEF为梯形，、，，平面ABF．解：Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．平面ABF的法向量1，，，，0，，0，，，0，，，设平面BDF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值．【解析】Ⅰ推导出，平面ADEF，从而，由此能证明．Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．Ⅰ求的方程；Ⅱ过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，O为原点，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，又，，，故椭圆的方程为；易知直线l的斜率k存在，设其方程为．设，则由消去y得：，由，得．则，．则又原点到直线l的距离为，且，所以设，则，当且仅当，即，即时等号成立，所以面积取得最大值．【解析】Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程Ⅱ易知直线l的斜率k存在，设其方程为，设，根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l的距离可求d从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。

2019-2020年高二上学期期末考试数学理试题 含答案

2019-2020年高二上学期期末考试数学理试题 含答案

2019-2020年高二上学期期末考试数学理试题含答案一、选择题：共8题，每小题3分，共24分。

1.命题“若则”的逆命题是（A）若则（B）若则（C）若则（D）若则【答案】：A2. 已知向量，，则等于（A）（B）（C）（D）【答案】：D3.已知命题，使得：命题，下列命题为真的是（A）（B）（C）（D）【答案】：A4. 已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】：B5. 在长方体中，（A）（B）（C）（D）【答案】：D6. 已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为，则的渐近线方程为（）。

A、 B、 C、 D、【答案】：C7. 给定两个命题、，若是的必要而不充分条件，则是的（）。

A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】：A8. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）。

A、 B、 C、 D、【答案】：C二、填空题：共6小题，每题4分，共24分。

9. 命题“”的否定是10. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是【答案】：11已知)1,4,1(),4,2,2(),1,5,2(---C B A ,则向量与的夹角为_________.【答案】：12直三棱柱中，，M,N 分别是的中点，，则BM 与AN 所成角的余弦值为_________.【答案】：13已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则p 的值为_________.【答案】：214已知3221:,0)1)(1(:<<<--+-x q m x m x p ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】：三、解答题：本大题共6小题，共52分。

15.（本小题满分8分）已知（1）若，求实数k 的值（2）若，求实数k 的值【答案】：（1）（2）【解析】：（1）)16,4,7(3),5,35,2(--=--+-=+k k k k（2）16.（本小题满分8分）求经过点，焦点为的双曲线的标准方程，并求出该双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程【答案】：x y e 55,530252±==，， 【解析】：焦点在轴上，且，，带入点即可解得方程为17. （本小题满分8分）已知：函数在内单调递增，函数大于零恒成立，若或为真，且为假，求的取值范围【答案】：【解析】：为真，则，为真则，和一真一假，真假，假真，算出来之后取并集可得答案18.（本小题满分8分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1．【解析】解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AC∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB又C 1C ∩CB=C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ，∴AC ⊥BC 1（2）设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形，∴E 为C 1B 的中点又D 为AB 中点，∴AC 1∥DEDE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC1∥平面CDB 119.（本小题满分10分）设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2）两点在抛物线y=2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．（1）当且仅当x 1+x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．【答案】：（1）x 1+x 2=0 （2）（，+∞）【解析】（Ⅰ）∵抛物线y=2x 2，即，∴，∴焦点为F（1）直线l 的斜率不存在时，显然有x 1+x 2=0（2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b ，即直线l ：y=kx+b 由已知得：即l 的斜率存在时，不可能经过焦点F （0，）所以当且仅当x 1+x 2=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（II ）解：设直线l 的方程为：y=2x+b ′，故有过AB 的直线的方程为，代入抛物线方程有，得由A 、B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式，也就是：，由直线AB 的中点为=则，于是：329321165165=->+='m b 即得l 在y 轴上的截距的取值范围是（，+∞）．20.（本小题满分10分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】：（Ⅰ）椭圆E 的方程为；（Ⅱ）△OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：．【解答】解：（Ⅰ）设F （c ，0），∵直线AF 的斜率为，∴，解得c=．又，b 2=a 2﹣c 2，解得a=2，b=1．∴椭圆E 的方程为；（Ⅱ）设P （x1，y1），Q （x2，y2）．由题意可设直线l 的方程为：y=kx ﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时， ，．∴|PQ|= ==，点O 到直线l 的距离d=．∴S △OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3， ∴142444442=≤+=+=tt t t S OPQ △，当且仅当t=2，即，解得时取等号． 满足△＞0，∴△OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.已知a，，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：a，，若，对A，，若，则；，则；，则，故A错误；对B，若，则；若，则；若，则，故B错误；对C，a，，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，在R上递增，可得，故D正确．故选：D．讨论b的符号，即可判断A，B，C；运用在R上递增，即可判断D．本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．3.设等比数列的公比是q，则”是“数列是为递增数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若，时，递减，数列单调递增不成立．若数列单调递增，当，时，满足递增，但不成立．“公比”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4.不等式的解集是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：不等式等价于如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为，故选：A．原不等式等价于把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．5.在等差数列中，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】解：在等差数列中，由，且，得，即，．故选：B．由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求．本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程的正跟，即有，可得，又，所以．即b是a，c的等比中项．故选：B．通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项．本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力．7.已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为A. eB.C.D.【答案】C【解析】解：设切点坐标为，，，切线的斜率是，切线的方程为，将代入可得，，切线的斜率是；故选：C．设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．8.若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，；又函数有极大值和极小值，；故或；故选：B．由题意求导；从而化函数有极大值和极小值为；从而求解．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．9.已知平面内有一个点，的一个法向量为1，，则下列点P中，在平面内的是A. B. C. D.【解析】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，0，，，故不在平面内；同理可得：选项B，，，故在平面内；选项C，2，，，故不在平面内；选项D，，，故不在平面内；故选：B．由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可．本题考查平面法向量的定义，属基础题．10.设数列的前n项和为，且，为常数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：数列的前n项和为，且，，为常数列，由题意知，，当时，，从而，，当时上式成立，．故选：B．由题意知，，当时，，由此能求出．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．11.下列命题正确的是若，则与、共面；若，则M、P、A、B共面；若，则A、B、C、D共面；若，则P、A、B、C共面．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于，若，则由平面向量基本定理知与、共面，正确；对于，若，则、、共面，所以M、P、A、B四点共面，对于，若，则，这里系数，A、B、C、D不共面，错误；对于，若，则，所以P、A、B、C共面，正确．综上所述，正确的命题序号是，共3个．故选：C．在中，由平面向量基本定理知与、共面；在中，由平面向量基本定理判断、、共面，M、P、A、B四点共面；在中，由题意得，不能判断A、B、C、D四点共面；在中，由，能判断P、A、B、C四点共面．本题考查了平面向量基本定理的应用问题，是基础题．12.已知函数，，对任意存在使，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则，令，可得，则，．显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．故当时，取得最小值为，故选：D．令，则，令，可得，利用导数求得取得最小值．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则取得最大值时的最优解为______【答案】【解析】解：画出约束条件的可行域，如图：由得：，显然直线过时，z最大，所以最优解为：故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，则点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，，．因此的最小值为．故答案为：2．平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，可得点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，即可得出答案．本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10米到位置D，测得，则塔AB的高是______米【答案】【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．16.记为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：设正项等比数列的公比为，，，，可得：解得．则，当且仅当时取等号．的最小值为8．故答案为：8．设正项等比数列的公比为，由，可得，可得：解得可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列为单调递增数列，，其前n项和为，且满足求数列的通项公式；若数列其前n项和为，若成立，求n的最小值．【答案】解：，可得时，，相减可得，即为，数列为单调递增数列，即，可得，为首项为1，公差为2的等差数列，可得；，可得前n项和为，即，解得，即n的最小值为10．【解析】由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C；若，求面积的最大值．【答案】解：，由正弦定理可得：．，．．由余弦定理可得：，可得，当且仅当时取等号．面积的最大值．【解析】利用正弦定理与和差公式即可得出．利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料点A，B在直径上，点C，D在半圆周上，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗．若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【答案】解：连接OC，设，则，其中，，当且仅当，即时，S取最大值900；取时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．设圆柱底面半径为r，高为x，则，解得，，其中；，令，得；因此在上是增函数，在上是减函数；当时，取得最大值，取时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为．【解析】设，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S 的最大值；用x表示出圆柱的底面半径，得出体积关于x的函数，判断的单调性，得出的最大值．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题．20.在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．求E的方程；设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．【答案】解：由题意得，，，则M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，．的方程为；证明：设直线PQ的方程为，代入，得．设，，则，．．不可能为直角．【解析】由题意得，，则，可得M 的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明不可能为直角．本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题．21.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【答案】证明： 连接MD ，FD ． 四边形BDEF 为菱形，且 ， 为等边三角形． 为BF 的中点， ． ， ，又D 是AC 的中点， ．平面 平面 ，平面 平面BDEF ， 平面ABC ， 平面BDEF ．又 平面BDEF ， ． 由 ， ， ， 平面AMC ；解： 设线段EF 的中点为N ，连接 易证 平面 以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 ，，，0， ， 1， ．， ，， ．设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为 ， ． 由．解得．取 ， ．又由解得．取，．．平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．【解析】连接MD，FD，可得为等边三角形又M为BF的中点，得，进一步求得，再由面面垂直的性质可证平面AMC；设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF，平面BCF的法向量，即可求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键，是中档题．22.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ0)'/>，当，即时，时，，时，0'/>，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．Ⅱ令，原问题等价于在区间上恒成立，可见，要想在区间上恒成立，首先必须要，而，另一方面当时，，由于，可见0'/>，所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，成立，故原不等式成立．综上，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为【解析】Ⅰ当时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数的单调性；Ⅱ利用函数恒成立，转化为函数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2019-2020年高二上学期期末统考数学(理)试题解析

2019-2020年高二上学期期末统考数学(理)试题解析

2019-2020年高二上学期期末统考数学（理）试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数121iz i+=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是（ ） A.23 B.21 C.12- D.12i -2.已知命题:,sin p x R x x ∃∈>，则p 的否定形式为（ ） A.x x R x p sin ,:<∈∃⌝ B.x x R x p sin ,:≤∈∀⌝ C.x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D.x x R x p sin ,:<∈∀⌝3.“双曲线C 的一条渐近线方程为430x y -= ”是“双曲线C 的方程为221916x y -=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．不充分不必要条件【答案】B4.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低13，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（ ） A. 3000元B.2400元C. 1600元D. 1000元5.在复平面上，点1Z 对应的复数是4i +，线段12Z Z 的中点对应的复数是12i +，则点2Z 对应的复数是（ ） A. 23i -+B. 23i --C. 23i -D. 23i +考点：1.复数的几何意义；2.中点坐标公式.6.不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.)2,(-∞B.(2,2)-C.)2,(--∞D. ]2,2(-7.等差数列{}n a 中，已知11312,0a S =-=，使得0n a <的最大正整数n 为（ ） A.6B.7C.8D.98.已知ABC ∆中，若sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+，则ABC ∆是（ ）A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形9.已知点(,)P x y 满足条件0290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则y x z 3-=的最小值为（ ）A.9B.6-C. -9D. 610.已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是（ ） A.9 B.12 C. 15 D. 1811.已知等比数列123,,a a a 的和为定值3(0)m m >，且公比为(0)q q >，令123t a a a =，则t 的取值范围为（ ） A.3(0,]mB.3[,)m +∞C.30,()3m ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.3(),3m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30︒，则C 的离心率为（ ） A.2B.26 C.23D.3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.不等式211xx-≥+的解集为 .14.如图，从高为200米的气球()A上测量铁桥(BC)的长，如果测得桥头B的俯角是60︒，桥头C的俯角是30︒，则桥BC长为米.15.已知数列{}n a 中，12a =，点1(,)(1n n a a n ->且)n N ∈满足21y x =-，则1210a a a +++= .16.过点(0,2)A 且和抛物线2:6C y x =相切的直线l 方程为 .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos ,a b C c B -=⋅7,c =8a =.（1）求角C ； （2）求ABC ∆的面积.18.（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）已知点(6,0)B 和(6,0)C -，过点B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A ，设直线l 的斜率为1k ，直线m 的斜率为2k ，如果1249k k ⋅=-，求点A 的轨迹； （2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在ABC ∆中，A ∠的外角平分线AD 与边BC 的延长线相交于点D ，则BD ABDC AC=.19.（本小题满分12分）已知命题P ：复数133z i =-，复数222410(212),()2m m z m m i m R m --=+--∈+，12z z +是虚数；命题Q ：关于x 的方程2224(1)70x m x m --++=的两根之差的绝对值小于2；若P Q∧为真命题，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项14a =，公差0d >，且1521,,a a a 分别是正数等比数列}{n b 的357,,b b b 项.（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对任意n *均有12112n n nc c c a b b b ++++=成立，设{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .21.（本小题满分12分）设a 为正实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. （1）若(0)1f ≤-，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值；（3）若(,)x a ∈+∞，求不等式()1f x ≥的解集.当2(0,]2a ∈时，解集为232[,)a a +-+∞………11分22.（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)1(1222>=+a a y x 的离心率为 e ，点F 为其下焦点，点O 为坐标原点，过F 的直线 l ：c mx y -=（其中12-=a c ）与椭圆C 相交于,P Q 两点，且满足：2222()12a c m OP OQ c --⋅=-. （1）试用 a 表示 2m ；（2）求 e 的最大值；（3）若 )21,31(∈e ，求 m 的取值范围.。

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)带答案

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)带答案

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），=（a，a，﹣a），又=（0，，），=0+=0，∴PB⊥DE．由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，∴PB⊥平面EFD，∴PB与平面EFD所成角为90°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．【分析】⊥（﹣λ）⇔•（﹣λ）=0，解出即可得出．【解答】解：﹣λ=（﹣3+λ，2，1﹣4λ），∵⊥（﹣λ），∴•（﹣λ）=﹣3（﹣3+λ）+4+1﹣4λ=0，解得λ=2．∴向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷(理科)附解答

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷(理科)附解答

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ）A. 21n a n =-B. (1)(12)nn a n =-- C. (1)(21)n n a n =-- D. (1)(21)nn a n =-+2.“ 0,2sin x x x ∀>>”的否定是（ ） A. 0,2sin x x x ∀>< B. 0,2sin x x x ∀>≤ C. 0000,2sin x x x ∃≤≤ D. 0000,2sin x x x ∃>≤3.在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点，且DF AC AB αβ=+，则（ ）A. 1,12αβ==-B. 1,12αβ=-=C. 11,2αβ==-D. 11,2αβ=-=4.在ABC ∆中，A B ∠∠∠、、C 所对的边分别为a b c 、、，若3A π∠=，3a =，2b =，则 B ∠=（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 86.已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为53，其左焦点为1(5,0)F =-，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22143x y -=B. 22134x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -= 7.下列命题正确的是（ ）A. 命题“p q ∧ ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C. “ 22am bm <”是“ a b <”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在0x R ∈，使得 20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(1,2)P ，法向量为(2,3)n =-的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,1)P -，且法向量为(2,3,1)n =-的直线的点法式方程应为（ ）A. 2330x y z --+=B. 2350x y z -++=C. 2370x y z ++-=D. 2390x y z +--=9.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知0,0,1a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 711.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，12PF F ∆为等腰三角形，1223F F P π∠=,则C 的离心率为（ ）A.14 B. 12 C. 13 D. 23 12.如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --， Q OR P --， R OP Q--的平面角为,,αβγ，则（ ）A. γαβ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.αβγ<< 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）客观题部分一、选择题1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域化简集合的表示，根据对数的真数大于零化简集合的表示，最后利用集合交集的定义，结合数轴求出.【详解】..因此.故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了指数函数的单调性，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力.2.是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于的方程组解出即可.【详解】复数为纯虚数，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正态分布的特征得＝，选A.4. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A. 140种B. 80种C. 100种D. 70种【答案】D【解析】分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种．故选D点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．5.已知向量，，若，则实数的值是（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】因为，故，展开得到，故，，选D.6.已知函数．命题，函数是偶函数；命题，函数在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数型函数的定义域判断函数是否能成为偶函数，进而判断命题的真假，根据对数型函数的单调性以及单调性的性质可以判断命题的真假，最后根据否命题、且命题的真假判断方法进行判断即可.【详解】当时，函数的定义域为：，当时，函数的定义域为：，因此当时，函数的定义域不关于原点对称，因此不可能是偶函数，所以命题是假命题，是真命题；根据函数的单调性的性质可知：，函数在定义域内是增函数，因此命题是真命题，是假命题，因此有：是假命题；是真命题；是假命题.故选：C【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了偶函数的定义和单调性的性质，考查了否命题、且命题的真假判断，属于基础题.7.下列命题中不正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面内，则；②和两条异面直线都相交的两条直线异面；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】A：根据线面位置关系进行判断即可；B：通过长方体举特例进行判断即可；C：根据线面平行的性质进行判断即可；D：根据确定平面定理，结合异面直线的定义进行判断即可.【详解】A：当直线与平面相交时，直线上也存在有无数个点不在平面内，故本说法不正确；B：如下图，在长方体中，都与异面直线都相交，而是相交直线，故本说法不正确；C：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条有可能在该平面内，故本说法不正确；D：两个相交线可以确定一个平面，因此一条直线和两条异面直线都相交，一共能确定两个平面，如果这两个平面重合，这与异面直线的定义相矛盾，故本说法是正确的.【点睛】本题考查了线面关系、线面平行的性质，考查了异面直线的定义人，考查了确定平面问题，属于中档题.8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】试题分析：循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B．考点：程序框图的功能9.某锥体的三视图下图所示，该锥体的体积为（）A. 16B. 8C. 48D. 24【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何是一个四棱锥切去一个三棱锥，利用柱体、锥体的体积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何是一个四棱锥截去一个三棱锥，所以体积为：.故选：B【点睛】本题考查了通过三视图求几何的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力.10.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把点的坐标代入双曲线一条渐近线方程中，得到的关系，结合三者的关系，求出之间的关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以该渐近线方程为：，因此有.故选：C【点睛】本题考查了已知双曲线渐近线上一点求双曲线的离心率，考查了数学运算能力.11.将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是( )A. y=2cos2(x+)B. y=2sin2(x+)C. y=2-sin(2x-)D. y=cos2x【答案】C【解析】因为将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是y=2-sin(2x-)，选C 12. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )A. (－3,0)∪(3，＋∞)B. (－3,0)∪ (0,3)C. (－∞，－3)∪(3，＋∞)D. (－∞，－3)∪(0,3)【答案】D【解析】试题分析：设F（x）="f" （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g（x）=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，∞）上亦为增函数．已知f(－3)·g(－3)＝0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．考点：本试题主要考查了复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．点评：导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．解决该试题的关键是先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x ＜0时递增．二、填空题：13.在的展开式中x5的系数是____________．【答案】644【解析】【分析】写出二项式的通项公式，根据乘法的运算规律，求出相应项的系数，最后求和即可.【详解】二项式通项公式为：，的系数是，的系数是，因此在的展开式中x5的系数是.故答案为：644【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了两个二项式乘积后展开式中某项的系数，考查了数学运算能力.14.在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为；【答案】【解析】解：满足条件的区域为三角形，与单位圆的公共部分如图所示则所求的概率即为圆面积的1/4，比上三角形ABC的面积即可，可得为15.下面四个命题：其中所有正确命题的序号是_________．①函数的最小正周期为；②在中，若，则一定是钝角三角形；③函数且的图象必经过点（3，2）；④若命题“”是假命题，则实数的取值范围为；⑤的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称．【答案】②③④【解析】【分析】①：根据周期的定义，结合正弦的诱导公式进行判断即可；②：根据平面向量数量积的定义，结合三角形内角的取值范围进行判断即可；③：根据对数的运算性质进行判断即可；④：根据命题的否定与原命题的真假关系进行判断即可；⑤：先利用辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式的形式，根据平移规律求出平行后的解析式，再判断是否是偶函数进行判断即可.【详解】①：当时，，，所以函数最小正周期为是错误的，故本命题是假命题；②：，因此一定是钝角三角形，故本命题是真命题；③：因为当时，，所以函数且的图象必经过点（3，2），故本命题是真命题；④：命题“”是假命题，因此它的否定是真命题，即是真命题，因此要想该命题是真命题，只需，故本命题是真命题；⑤：，该函数的图象向左平移个单位后，得到函数，而是奇函数关于原点对称，不关于关于轴对称，故本命题是假命题.故答案为：②③④【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了函数周期的定义、函数的对称性、图象的平移、对数的运算，考查了已知存在命题的真追假求参数的取值范围，属于中档题.16.已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，,若四面体P - ABC的体积为，则该球的表面积为_________．【答案】【解析】【分析】由已知条件先求出，然后表示出体积计算出半径，继而得到球的表面积【详解】设该球的半径为，则，，由于是球的直径在大圆所在平面内且有在中，由勾股定理可得的面积平面，且，四面体的体积为,即，球表面积故答案为【点睛】本题主要考查了计算球的表面积，在解答此类题目时一定要结合题意先求出球的半径，然后再计算出结果．主观题部分三、简答题：17.已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由已知，得当≥2时，所以由已知，，设等比数列的公比为，由得，所以，所以（2）设数列的前项和为，则，，两式相减得……11分所以考点：本小题主要考查由求、等比数列的通项公式和错位相减法求数列的前n项的和，考查学生对问题的分析和转化能力以及运算求解能力.点评：由求时，一定不要忘记验证时的情形，另外，错位相减法求数列的前n项的和是高考常考的内容，要灵活应用，仔细运算以防出错.18.如图，四棱锥中，，，，，PA=PD=CD=BC=1（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【详解】（1）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD，∠ABC，，∴，∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），（﹣1，0，0），（，），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取z，得（0，，），∵（，），∴cos，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.今年十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关注：临界值表：P()0.053.841【答案】解：（1）样本中满意的女游客为3名，样本中不满意的女游客为2名．（2）．（3）有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关．【解析】试题分析：（I）每个个体被抽取的概率为，根据分层抽样，即可得样本中满意的女游客，样本中不满意的女游客的人数；（II）确定从这5名游客中随机选取两名的等可能事件的个数，其中事件A“选到满意与不满意的女游客各一名”包含6个基本事件，即可求得概率；（III）由列联表，计算K2的值，根据P（K2＞6.635）=0.010，即可得到结论．解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为名，样本中不满意的女游客为名．（2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为，对景区的服务不满意的2名女游客分别为．从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本事件，分别为：，，，，；其中事件A：选到满意与不满意的女游客各一名包含了6个基本事件，分别为：，，所以所求概率．（3）假设：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则应该很小．根据题目中列联表得：由可知：有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关．考点：本试题主要考查了分层抽样，考查等可能事件概率的求法，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．点评：根据已知条件理解古典概型的概率中总的基本事件数从而求解概率的值，对于分层抽样的等概率抽样即为样本容量与总体的比值．20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.【答案】（1）（2）见解析.【解析】（1）设椭圆方程为则∴椭圆方程∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m 又∴l的方程为：由∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴m的取值范围是（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可设可得而∴k1＋k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含方程组，通过解方程组求出基本量，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助交点的个数建立不等式求出参数的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证明直线的斜率之和为0的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助坐标之间的关系进行推证而获解．21.已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）实数a的值组成的集合；（2）存在实数，使得不等式对任意及恒成立．【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用将用参数进行表示，进而得到不等式对任意及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.试题解析：（1）因为在区间上是增函数，所以，在区间上恒成立，，所以，实数的值组成的集合；（2）由得，即，因为方程，即的两个非零实根为、，、是方程两个非零实根，于是，，，，，设，，则，若对任意及恒成立，则，解得或，因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.考点：1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换22.一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以表示取出的球的最小号码，求的分布列，均值，方差．【答案】分布列见解析；；【解析】【分析】由题意可知：取值分别为3,4,5，结合古典概型的概率计算公式，求出的每一个取值的概率，列出分布列，根据均值、方差公式计算即可.【详解】解：的取值分别为3,4,5，，，，的分布列如下：3.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列、均值、方差的计算，考查了古典概型的计算公式，考查了数学运算能力.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）客观题部分一、选择题1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域化简集合的表示，根据对数的真数大于零化简集合的表示，最后利用集合交集的定义，结合数轴求出.【详解】..因此.故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了指数函数的单调性，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力.2.是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于的方程组解出即可.【详解】复数为纯虚数，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正态分布的特征得＝，选A.4. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A. 140种B. 80种C. 100种D. 70种【答案】D【解析】分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种．故选D点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．5.已知向量，，若，则实数的值是（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】因为，故，展开得到，故，，选D. 6.已知函数．命题，函数是偶函数；命题，函数在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数型函数的定义域判断函数是否能成为偶函数，进而判断命题的真假，根据对数型函数的单调性以及单调性的性质可以判断命题的真假，最后根据否命题、且命题的真假判断方法进行判断即可.【详解】当时，函数的定义域为：，当时，函数的定义域为：，因此当时，函数的定义域不关于原点对称，因此不可能是偶函数，所以命题是假命题，是真命题；根据函数的单调性的性质可知：，函数在定义域内是增函数，因此命题是真命题，是假命题，因此有：是假命题；是真命题；是假命题.故选：C【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了偶函数的定义和单调性的性质，考查了否命题、且命题的真假判断，属于基础题.7.下列命题中不正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面内，则；②和两条异面直线都相交的两条直线异面；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】A：根据线面位置关系进行判断即可；B：通过长方体举特例进行判断即可；C：根据线面平行的性质进行判断即可；D：根据确定平面定理，结合异面直线的定义进行判断即可.【详解】A：当直线与平面相交时，直线上也存在有无数个点不在平面内，故本说法不正确；B：如下图，在长方体中，都与异面直线都相交，而是相交直线，故本说法不正确；C：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条有可能在该平面内，故本说法不正确；D：两个相交线可以确定一个平面，因此一条直线和两条异面直线都相交，一共能确定两个平面，如果这两个平面重合，这与异面直线的定义相矛盾，故本说法是正确的.【点睛】本题考查了线面关系、线面平行的性质，考查了异面直线的定义人，考查了确定平面问题，属于中档题.8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】试题分析：循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B．考点：程序框图的功能9.某锥体的三视图下图所示，该锥体的体积为（）A. 16B. 8C. 48D. 24【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何是一个四棱锥切去一个三棱锥，利用柱体、锥体的体积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何是一个四棱锥截去一个三棱锥，所以体积为：.故选：B【点睛】本题考查了通过三视图求几何的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力.10.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把点的坐标代入双曲线一条渐近线方程中，得到的关系，结合三者的关系，求出之间的关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以该渐近线方程为：，因此有.故选：C【点睛】本题考查了已知双曲线渐近线上一点求双曲线的离心率，考查了数学运算能力.11.将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是( )A. y=2cos2(x+)B. y=2sin2(x+)C. y=2-sin(2x-)D. y=cos2x【答案】C【解析】因为将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是y=2-sin(2x-)，选C12. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )A. (－3,0)∪(3，＋∞)B. (－3,0)∪ (0,3)C. (－∞，－3)∪(3，＋∞)D. (－∞，－3)∪(0,3)【答案】D【解析】试题分析：设F（x）="f" （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g（x）=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，∞）上亦为增函数．已知f(－3)·g(－3)＝0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．考点：本试题主要考查了复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．点评：导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．解决该试题的关键是先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增．二、填空题：13.在的展开式中x5的系数是____________．【答案】644【解析】【分析】写出二项式的通项公式，根据乘法的运算规律，求出相应项的系数，最后求和即可.【详解】二项式通项公式为：，的系数是，的系数是，因此在的展开式中x5的系数是.故答案为：644【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了两个二项式乘积后展开式中某项的系数，考查了数学运算能力.14.在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为；【答案】【解析】解：满足条件的区域为三角形，与单位圆的公共部分如图所示则所求的概率即为圆面积的1/4，比上三角形ABC的面积即可，可得为15.下面四个命题：其中所有正确命题的序号是_________．①函数的最小正周期为；②在中，若，则一定是钝角三角形；③函数且的图象必经过点（3，2）；④若命题“”是假命题，则实数的取值范围为；⑤的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称．【答案】②③④【解析】【分析】①：根据周期的定义，结合正弦的诱导公式进行判断即可；②：根据平面向量数量积的定义，结合三角形内角的取值范围进行判断即可；③：根据对数的运算性质进行判断即可；④：根据命题的否定与原命题的真假关系进行判断即可；⑤：先利用辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式的形式，根据平移规律求出平行后的解析式，再判断是否是偶函数进行判断即可.【详解】①：当时，，，所以函数最小正周期为是错误的，故本命题是假命题；②：，因此一定是钝角三角形，故本命题是真命题；③：因为当时，，所以函数且的图象必经过点（3，2），故本命题是真命题；④：命题“”是假命题，因此它的否定是真命题，即是真命题，因此要想该命题是真命题，只需，故本命题是真命题；⑤：，该函数的图象向左平移个单位后，得到函数，而是奇函数关于原点对称，不关于关于轴对称，故本命题是假命题.故答案为：②③④【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了函数周期的定义、函数的对称性、图象的平移、。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一､选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】存在量词改为全称量词，再否定结论，即可得到本题答案.【详解】命题“，”的否定是，.故选：C【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题.2.准线方程为的抛物线的标准方程是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由准线方程为，可以得到参数以及确定抛物线的标准方程形式为，将代入即可求解.【详解】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y 轴负半轴上，且，得，故其标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，根据准线方程可以得到抛物线标准方程的形式，属于基础题.3.已知向量，，若分别是平面，的法向量，且，则( )A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，再利用空间向量数量积的坐标表示，使数量积等于零即可求解.【详解】由题可知，，则，即.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及向量垂直数量积等于零，属于基础题.4.已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据渐近线方程得出，再由离心率公式求解即可.【详解】由题可知，则.故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.5.若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（）A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】，解得.故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于基础题.6.已知下列命题:①到两定点，距离之和等于1点的轨迹为椭圆；②，；③已知，，则“为共线向量”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义可判断①；取特殊值，可判断②；利用向量共线定理以及充分不必要条件的定义可判断③【详解】对于①，由于两定点，的距离为2，故到两定点，的距离之和等于1的点是不存在的，故①错误.对于②，取，满足，故②正确.当为共线向量时，则存在实数，使得，即，解得，则.当时，不一定为共线向量，故“为共线向量”是“”的充分不必要条件，故③错误.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、特称命题真假判断以及充分不必要条件、向量共线定理，属于基础题.7.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.8.如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.【详解】，所以，，，所以.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的加法以及减法的几何意义，属于基础题.9.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据方程表示双曲线列出不等式，得出，再由充分不必要条件的定义得出答案.【详解】表示双曲线，则，所以故选：A【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题.10.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（）A. 8B. 11C. 13D. 16【答案】C【解析】【分析】设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得的值，即可得结果；【详解】抛物线中p＝3，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，又线段AB中点M的横坐标为5，∴＝10，∴|AF|+|BF|＝13；故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．11.在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，直径为正方体的对角线，即可求出四面体的外接球的体积.【详解】由题意计算可得，，，.，，，所以平面ABC，故四面体SABC是底面ABC为等腰直角三角形，侧棱SC垂直底面ABC的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线的长，半径为.所以该四面体外接球的表面积.故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积，考查了向量的数量积在几何中的应用，解决此题还需熟记球的表面积公式，属于中档题.12.已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C 内部，可得，解不等式即可.【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB 的中点为，则，，.又因为A，B在椭圆C上，所以，，两式相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.二､填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量，，若，则________.【答案】【解析】【分析】根据向量共线定理即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理，需熟记定理的内容，属于基础题.14.命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得当时，恒成立，分离参数只需，由函数在上单调递增即可求解.【详解】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立，只需.又函数在上单调递增，所以.故答案：【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.15.在正方体中，，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，算出和的坐标，然后即可算出【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，令则，，，故，所以故异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：【点睛】求空间中的线线角、线面角、面面角常采用向量方法.16.双曲线的左、右焦点分别为、，点在上且，为坐标原点，则_______．【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的焦点三角形公式，求出三角形面积，然后求，把代入，求得，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.【详解】设点，，则，，，又，，如下图，过点P作x轴垂线，垂足为M，则有，所以，即，，代入得，，.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.三､解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质得出方程即可；（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出，将点代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程.【详解】解：（1）由题意知，，所以，，所以又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为（2）双曲线E的标准方程为由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以又双曲线E过点，所以，解得，所以双曲线E的标准方程为【点睛】本题主要考查了由求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.18.已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.（1）若为假命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；（2）由必要不充分条件的定义得出，讨论的取值结合包含关系得出的范围.【详解】解：（1）因为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.当时，不符合题意；当时，则有，则.综上，k的取值范围为.（2）由，得.由（1）知，当为真命题时，则令令因为p是q的必要不充分条件，所以当时，，，解得当时，，符合题意；当时，，符合题意；所以取值范围是【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.19.如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且.(1)证明:平面PAC.(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）连接OP，可得，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PAC的一个法向量，利用向量的数量积结合图形即可求解.【详解】(1)证明:连接OP，因为O，P分别为BD和SD的中点，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.(2)解:如图，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设，则，，，，则，，.设平面PAC的一个法向量为，则，，所以，令，得，所以所以故直线BC与平面PAC的夹角为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及利用空间向量的数量积求线面角，是立体几何中的基本知识，属于基础题. 20.如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，，平面平面ABCD.(1)证明:平面平面MDC.(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据题意由面面垂直的性质可得平面MAD，即可证出，又，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y 轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面NAD的一个法向量以及平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1)证明:因为平面平面ABCD，且相交于AD，又，所以平面MAD所以.又，，所以平面MDC.因为平面MAB，所以平面平面MDC.(2)解:以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y 轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，，所以，.设平面NAD的一个法向量，则，令，得.又平面MAD的一个法向量所以.由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、判定定理以及利用空间向量的数量积求二面角，属于基础题.21.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解.【详解】(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为，因为准线过点，所以，即.所以抛物线C的方程为.(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.设该切线方程为，代入，可得.由，得.由，整理得，又，解得，即.因此，直线l方程为.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.22.已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据圆经过椭圆C的上、下顶点，可得，再根据离心率即可求得椭圆方程.（2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出的面积，即可得证.【详解】（1）解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以.又离心率，所以，则.故椭圆C的方程为.（2）证明：椭圆，当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为，联立，得，即，则.当直线l的斜率存在时，设，联立，得，由，可得.联立，得.设，所以，则.因为原点到直线l的距离，所以.综上所述，面积为定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以与椭圆中弦长的计算及三角形面积公式的应用，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一､选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】存在量词改为全称量词，再否定结论，即可得到本题答案.【详解】命题“，”的否定是，.故选：C【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题.2.准线方程为的抛物线的标准方程是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由准线方程为，可以得到参数以及确定抛物线的标准方程形式为，将代入即可求解.【详解】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y轴负半轴上，且，得，故其标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，根据准线方程可以得到抛物线标准方程的形式，属于基础题.3.已知向量，，若分别是平面，的法向量，且，则( )A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，再利用空间向量数量积的坐标表示，使数量积等于零即可求解.【详解】由题可知，，则，即.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及向量垂直数量积等于零，属于基础题.4.已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据渐近线方程得出，再由离心率公式求解即可.【详解】由题可知，则.故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.5.若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（）A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】，解得.故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于基础题.6.已知下列命题:①到两定点，距离之和等于1点的轨迹为椭圆；②，；③已知，，则“为共线向量”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义可判断①；取特殊值，可判断②；利用向量共线定理以及充分不必要条件的定义可判断③【详解】对于①，由于两定点，的距离为2，故到两定点，的距离之和等于1的点是不存在的，故①错误.对于②，取，满足，故②正确.当为共线向量时，则存在实数，使得，即，解得，则.当时，不一定为共线向量，故“为共线向量”是“”的充分不必要条件，故③错误.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、特称命题真假判断以及充分不必要条件、向量共线定理，属于基础题.7.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.8.如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.【详解】，所以，，，所以.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的加法以及减法的几何意义，属于基础题.9.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据方程表示双曲线列出不等式，得出，再由充分不必要条件的定义得出答案.【详解】表示双曲线，则，所以故选：A【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题.10.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（）A. 8B. 11C. 13D. 16【答案】C【解析】【分析】设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得的值，即可得结果；【详解】抛物线中p＝3，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，又线段AB中点M的横坐标为5，∴＝10，∴|AF|+|BF|＝13；故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．11.在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，直径为正方体的对角线，即可求出四面体的外接球的体积.【详解】由题意计算可得，，，.，，，所以平面ABC，故四面体SABC是底面ABC为等腰直角三角形，侧棱SC垂直底面ABC的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线的长，半径为.所以该四面体外接球的表面积.故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积，考查了向量的数量积在几何中的应用，解决此题还需熟记球的表面积公式，属于中档题.12.已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C 上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C内部，可得，解不等式即可.【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，则，，.又因为A，B在椭圆C上，所以，，两式相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.二､填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量，，若，则________.【答案】【解析】【分析】根据向量共线定理即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理，需熟记定理的内容，属于基础题.14.命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得当时，恒成立，分离参数只需，由函数在上单调递增即可求解.【详解】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立，只需.又函数在上单调递增，所以.故答案：【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.15.在正方体中，，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，算出和的坐标，然后即可算出【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，令则，，，故，所以故异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：【点睛】求空间中的线线角、线面角、面面角常采用向量方法.16.双曲线的左、右焦点分别为、，点在上且，为坐标原点，则_______．【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的焦点三角形公式，求出三角形面积，然后求，把代入，求得，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.【详解】设点，，则，，，又，，如下图，过点P作x轴垂线，垂足为M，则有，所以，即，，代入得，，.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.三､解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E 的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质得出方程即可；（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出，将点代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程.【详解】解：（1）由题意知，，所以，，所以又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为（2）双曲线E的标准方程为由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以又双曲线E过点，所以，解得，所以双曲线E的标准方程为【点睛】本题主要考查了由求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.18.已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.（1）若为假命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；（2）由必要不充分条件的定义得出，讨论的取值结合包含关系得出的范围.【详解】解：（1）因为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.当时，不符合题意；当时，则有，则.综上，k的取值范围为.（2）由，得.由（1）知，当为真命题时，则令令因为p是q的必要不充分条件，所以当时，，，解得当时，，符合题意；当时，，符合题意；所以取值范围是【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.19.如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且.(1)证明:平面PAC.(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）连接OP，可得，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PAC的一个法向量，利用向量的数量积结合图形即可求解.【详解】(1)证明:连接OP，因为O，P分别为BD和SD的中点，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.(2)解:如图，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设，则，，，，则，，.设平面PAC的一个法向量为，则，，所以，令，得，所以所以故直线BC与平面PAC的夹角为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及利用空间向量的数量积求线面角，是立体几何中的基本知识，属于基础题.20.如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，，平面平面ABCD.(1)证明:平面平面MDC.(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据题意由面面垂直的性质可得平面MAD，即可证出，又，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面NAD的一个法向量以及平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1)证明:因为平面平面ABCD，且相交于AD，又，所以平面MAD所以.又，，所以平面MDC.因为平面MAB，所以平面平面MDC.。

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

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学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.在中，若，则的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“”的否定为“”，故选D.3.已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,，故复数在复平面内对应点为，因为是第四象限的点，故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题.4.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空间向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可求解.【详解】,故选：C.【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.6.抛物线一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.【详解】设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.7.已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列的公比为3，且∴∴∴，当且仅当时取等号.故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知，，注意到倾斜角．故选B.9.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法一：如图，延长到，使得，连，设，则，所以就是异面直线所成的角，由于为等边三角形，故应选答案D．法二、如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，，所以，应选答案D．点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解．10.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解.【详解】把直线代入椭圆中，得,设的坐标为，则有，所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB 的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.12.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，又，故选D．考点：抛物线与双曲线的几何性质．第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量，所以，又由，解得．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.设，满足约束条件，记的最小值为，则函数的图象恒过定点__________．【答案】【解析】由题可得如下图形：可得目标函数经过（1，-1）时取得最小值-2，所以函数的图象恒过定点15.正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】.【解析】【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点、、、、、，设平面的一个法向量为，则，.由，即，得，令，则，.可知平面的一个法向量为，又.，因此，直线与平面所成角的正弦值为，故答案为.【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.16.下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)(2)(4)【解析】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2），，，正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或，不成立，方程表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4).三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题表示双曲线，命题．（1）若命题为真命题，求实数取值范围；（2）若命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据命题为真命题可知异号即可（2）根据“或”为真，“且”为假知命题、中一个为真，另一个为假，即可求解.【详解】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，∴（2）命题为真，则因为命题“或”为真，“且”为假，所以命题、中一个为真，另一个为假当真、假时，，所以当假、真时，，所以综上，或【点睛】本题主要考查了命题，复合命题及命题真假的判断，属于中档题.18.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.【详解】（1），所以，所以，即因为，所以，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理可得，因为，所以，解得.故的面积为.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.19.已知抛物线：，双曲线：若抛物线与双曲线在第一象限的交点是P，直线l过点P，斜率为2．求双曲线的渐近线方程及其离心率；求直线l被抛物线所截得的弦长．【答案】（1），离心率为2 （2）【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求出，先求出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出．【详解】解：双曲线：，则渐近线方程为，离心率，由，解得，点P在第一象限，，直线l的方程为，即，由，消y可得，从而，，直线l被抛物线所截得的弦长【点睛】本题考查了双曲线性质，和弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题20.已知等差数列的前项和为，且，.数列满足，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，并求的最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），最小值.【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列前项和为的公式和等差数列的性质，推得，，从而求出等差数列的公差，即可得出数列的通项公式为．利用累加法即可求得的通项公式．（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值．【详解】（Ⅰ）由，得，.故公差，.即数列的通项公式为.当时，，而，故，即数列的通项公式为.（Ⅱ），，上述两式相减，得得.设，显然当时，，，且单调递增. 而，，，故的最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用累加法求解数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前项和，错位相减法常用在数列的通项公式形式为等差数列乘等比数列．21.如图，平面，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值．【详解】（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，则，，，因为，所以．因为平面，且，所以平面．（2）设平面的法向量为，则因为，所以．令，则．所以是平面的一个法向量．因为平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，与的夹角的余弦值为．根据图形可知，二面角的余弦值为．【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系．22.焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在满足条件,详见解析【解析】【分析】（1）根据所给条件列出方程组，求解即可．（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出、、，则可求．【详解】解：（1）由已知可得，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）若直线的斜率不存在时，，，所以；当斜率存在时，设直线的方程为，，．联立直线与椭圆方程，消去y，得，所以．因为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，得，解得．，，同理，，因为，，故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆综合问题，属于中档题．学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.在中，若，则的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“”的否定为“”，故选D.3.已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,，故复数在复平面内对应点为，因为是第四象限的点，故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题.4.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空间向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可求解.【详解】,故选：C.【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.6.抛物线一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.【详解】设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.7.已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列的公比为3，且∴∴∴，当且仅当时取等号.故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知，，注意到倾斜角．故选B.9.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法一：如图，延长到，使得，连，设，则，所以就是异面直线所成的角，由于为等边三角形，故应选答案D．法二、如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，，所以，应选答案D．点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解．10.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解.【详解】把直线代入椭圆中，得,设的坐标为，则有，所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.12.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，又，故选D．考点：抛物线与双曲线的几何性质．第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量，所以，又由，解得．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.设，满足约束条件，记的最小值为，则函数的图象恒过定点__________．【答案】【解析】由题可得如下图形：可得目标函数经过（1，-1）时取得最小值-2，所以函数的图象恒过定点15.正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】.【解析】【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点、、、、、，设平面的一个法向量为，则，.由，即，得，令，则，.可知平面的一个法向量为，又.，因此，直线与平面所成角的正弦值为，故答案为.【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.16.下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)(2)(4)【解析】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2），，，正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或，不成立，方程表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4).三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题表示双曲线，命题．（1）若命题为真命题，求实数取值范围；（2）若命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据命题为真命题可知异号即可（2）根据“或”为真，“且”为假知命题、中一个为真，另一个为假，即可求解.【详解】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，∴（2）命题为真，则因为命题“或”为真，“且”为假，所以命题、中一个为真，另一个为假当真、假时，，所以当假、真时，，所以综上，或【点睛】本题主要考查了命题，复合命题及命题真假的判断，属于中档题.18.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.【详解】（1），所以，所以，即因为，所以，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理可得，因为，所以，解得.故的面积为.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.19.已知抛物线：，双曲线：若抛物线与双曲线在第一象限的交点是P，直线l过点P，斜率为2．求双曲线的渐近线方程及其离心率；求直线l被抛物线所截得的弦长．【答案】（1），离心率为2 （2）【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求出，先求出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出．【详解】解：双曲线：，则渐近线方程为，离心率，由，解得，点P在第一象限，，直线l的方程为，即，由，消y可得，从而，，直线l被抛物线所截得的弦长【点睛】本题考查了双曲线性质，和弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题20.已知等差数列的前项和为，且，.数列满足，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，并求的最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），最小值.【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列前项和为的公式和等差数列的性质，推得，，从而求出等差数列的公差，即可得出数列的通项公式为．利用累加法即可求得的通项公式．（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值．【详解】（Ⅰ）由，得，.故公差，.即数列的通项公式为.当时，，而，故，即数列的通项公式为.（Ⅱ），，上述两式相减，得得.设，显然当时，，，且单调递增.而，，，故的最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用累加法求解数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前项和，错位相减法常用在数列的通项公式形式为等差数列乘等比数列．21.如图，平面，，，，，是的中点.。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与命题“若，则”等价的命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】解：原命题与逆否命题属于等价命题，此命题的逆否命题是：若，则．故选：C．原命题与逆否命题属于等价命题，写出命题的逆否命题得答案．本题考查了四种命题间的逆否关系，是基础题．2.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为A. 6B.C.D. 1【答案】B【解析】解：在等比数列中，，是方程的两根，．的值为．故选：B．利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.设，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解，，，故选：B．直接利用不等式性质，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．4.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：，．故选：D．直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5.不等式的解集为A. B.C. D. 或【答案】C【解析】解：不等式等价为，得，即，即不等式的解集为，故选：C．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．6.命题甲：是命题乙：的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：，，推不出，是的充分不必要条件．故选：A．把转化为，由，推不出，得是的充分不必要条件．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.中，a，b，C分别是角A，B、C所对应的边，，，，则A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】解：由，，，可得；正弦定理：，可得解得：；，或；根据正弦定理和大边对大角，可得答案．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8.设实数，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：．，，，，即，故选：A．利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键．9.已知x，y满足约束条件，则的最小值为A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】解：x，y满足约束条件表示的区域如图：由，当直线经过图中时，直线在y轴上的截距最小，所以最小值为2；故选：B．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．10.在等差数列中，已知，且，则中最大的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：在等差数列中，，且，，，，中最大的是．由，且，得到，，由此能求出中最大的是．本题考查等差数列中前n项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足，，点G是线段MN的中点，用向量，，表示向量应为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足，，点G是线段MN的中点，．故选：A．利用空间向量加法法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．12.设抛物线C：的焦点为F，点M在抛物线C上，，线段MF中点的横坐标为，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的焦点到准线的距离为A. 4或8B. 2或8C. 2或4D. 4或16【答案】B【解析】解：抛物线C方程为，焦点，准线方程为，设，由抛物线性质，可得，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即，代入抛物线方程得，所以或，则则C的焦点到准线距离为2或8．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和准线和圆相切的条件，求出，代入抛物线方程得，求出p．本题考查抛物线的定义和方程、性质，注意运用第一发和中位线定理和直线和圆相切，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，2，，且，则______．【答案】解：，．故答案为：【解析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路．14.若一元二次不等式的解集是，则a的值是______．【答案】【解析】解：一元二次不等式的解集是，则和是一元二次方程的实数根，，解得．故答案为：．根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．15.已知两个正实数x，y满足，且恒有，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：，，，，当且仅当，时，取等号，恒成立等价于，故答案为：．先用基本不等式求出的最小值8，然后解一元二次不等式得到结果．本题考查了基本不等式及其应，属基础题．16.当双线M：的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．【答案】【解析】解：双曲线M：，显然，双曲线的离心率，当且仅当时取等号，此时双曲线M：的双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．求出双曲线的离心率的表达式，然后求解最小值，求出m，即可情况双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知为等差数列，且，．求的通项公式；若等比数列满足，，求的前n项和公式．【答案】解：为等差数列，设公差为d，由已知可得，解得，．；由，，等比数列的公比，的前n项和公式．【解析】设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则的通项公式可求；求出 ，进一步得到公比，再由等比数列的前n 项和公式求解． 本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n 项和，是中档题． 18. 在 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．Ⅰ 求角A 的大小；Ⅱ 若 ， ，求a 的值． 【答案】解： Ⅰ 由正弦定理可得：， ，，，可得：，，，可得：， Ⅱ，可得： ， ，．【解析】 Ⅰ 由正弦定理化简已知等式可得：，结合 ，利用两角和的正弦函数公式可求，结合范围，可求A 的值．Ⅱ 利用三角形的面积公式可求 ，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19. 直三棱柱 中，底面ABC 为等腰直角三角形，， ， ，M 是侧棱 上一点，设 ，用空间向量知识解答下列问题． Ⅰ 若 ，证明： ；Ⅱ 若 ，求直线与平面ABM 所成的角的正弦值．【答案】证明： Ⅰ 直三棱柱 中，底面ABC 为等腰直角三角形，， ， ， M 是侧棱 上一点，设 ， ，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 为z 轴，建立空间直角坐标系，0， ， 2， ， 0， ， 2， ， 2， ， 2， ，， C.Ⅱ当时，2，，0，，0，，2，，设平面ABM的法向量y，，则，取，得1，，设直线与平面ABM所成的角为，则．直线与平面ABM所成的角的正弦值为．【解析】Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 C.Ⅱ当时，求出平面ABM的法向量，利用向量法能求出直线与平面ABM所成的角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆C：过点，，直线l：与椭圆C交于，两点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知点，且A、M、N三点不共线，证明：是锐角．【答案】解：Ⅰ将点、的坐标代入椭圆C的方程得，解得，所以，椭圆C的标准方程为；Ⅱ将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x并化简得，恒成立，由韦达定理得，．，同理可得所以，．由于A、M、N三点不共线，因此，是锐角．【解析】Ⅰ将题干中两点坐标代入椭圆C的方程，求出a和b的值，即可得出椭圆C 的标准方程；Ⅱ将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算，并结合A、M、N三点不共线，可证明出是锐角．本题考查直线与椭的综合问题，考查椭圆的方程，结合向量数量积的坐标运算进行考察，属于中等题．21.如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点．求证：平面BCE；求二面角的余弦值的大小．【答案】证明：设，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，0，，0，，0，，，．为CD的中点，．，，0，，，平面BCE，平面BCE．解：设平面BCE的一个法向量y，，则，令，得．设平面BDE的一个法向量y，，，则，令，得．．故二面角的余弦值为．【解析】设，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCE．求出平面BCE的一个法向量和设平面BDE的一个法向量，利用向量法能证明二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.已知抛物线E：的焦点为F，是抛物线E上一点，且．Ⅰ求抛物线E的标准方程；Ⅱ设点B是抛物线E上异于点A的任意一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，设直线BM的方程为，k，b均为实数，请用k的代数式表示b，并说明直线BM过定点．【答案】解：Ⅰ根据题意知，，因为，所以，联立解得，；所以抛物线E的标准方程为；Ⅱ设，；又直线BM的方程为，代入，得；由根与系数的关系，得，；由轴及点P在直线上，得，则由A，P，B三点共线，得，整理，得；将代入上式并整理，得，由点B的任意性，得，即，所以；即直线BM恒过定点．【解析】Ⅰ由题意，利用抛物线的定义与性质求得p的值，即可写出抛物线方程；Ⅱ设点，，由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点．本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，是中档题．。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_15

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_15

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题1.已知等差数列中，，，则的值是（）A. 35B. 37C. 39D. 41【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可求出公差，进而求出的值.【详解】解：由题意可知，解得.所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.2.命题“对任意，恒有”的否定是（）A. 对任意，恒有B. 存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得【答案】B【解析】【分析】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定.【详解】解：由全称命题的否定方法得：“对任意，恒有”的否定是“存在，使得”成立.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定方法，属于基础题.3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.【详解】双曲线的焦点为，离心率，故椭圆的焦点为，离心率，即.解得，故椭圆标准方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.4.已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.5.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】C【解析】【分析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以 ,故.所以 .故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据题意求出，结合余弦定理分情况讨论即可.【详解】解：因为，所以.由题意得，利用余弦定理得：.当，即时，，即，解得：.此时三角形为等边三角形；当，即时，,不成立.所以三角形的形状是等边三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.8.在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.9.已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.10.设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因点满足，所以，所以，即，所以 .故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.11.在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离 .当，即时，距离有最大值为 .故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.二、填空题13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】7【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移知，当目标函数经过点时，即时，有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足，，的三角形解的个数是______.【答案】2【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，.故满足条件的三角形共有个.故答案为：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.15.已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时，即时取等号.因为恒成立，所以，解得 .故实数的取值范围是.故答案填：.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．三、解答题17.在中，角，，的对边分别为，，，若.（1）求边的长；（2）若角，，成等差数列，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意运用两角和与差正弦公式整理即可得边的长度；(2)根据题意运用余弦定理和基本不等式求出的最大值，进而可求出三角形面积最大值.【详解】解：（1）∵，且，，是的内角∴∵，∴；（2）∵角，，成等差数列且，∴，又∵，由余弦定理：，得：.∴.又∵则有，∴.当且仅当时“=”成立，此时面积有最大值.【点睛】本题主要考查，两角和与差的正弦公式、利用余弦定理和基本不等式结合求三角形面积的最值，属于中档题.18.数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据题中公式写出当时，，将两式相减可得，即可求出时数列是等差数列，公比为2，再检验时的情况即可；(2)利用裂项相消法求数列的前项和，再判断是否小于.【详解】解：（1）由可得：当时，，上述两式相减可得，即.又∵，，，∴，数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴；（2）证明：由（1）可得，，，∴，故.∴.【点睛】本题考查如何求通项公式，和运用裂项相消法求数列的前项和并判断范围，属于中档题.19.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点.（1）证明：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)由线面垂直可得线线垂直，最终证出线线垂直;(2)建立空间直角坐标系，求出的空间坐标和平面的法向量，利用求线面角所成角的正弦公式求出即可.【详解】解：（1）连接，交于点，∵平面，平面，∴，又∵是菱形，∴.又∵，，都在平面内,∴平面，又∵平面,∴.（2）易知，为的中点，且是的中点，，∴平面以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如科所示的空间直角坐标系.又∵，∴，，，，.∴，，.设平面的法向量为，则即，取.∴.故所求直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线线垂直定理，考查建立空间坐标系求线面角的余弦值，属于中档题.20.已知抛物线（）的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，的面积为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，（3，2）是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用抛物线性质求出值，即可；(2)由，是抛物线上两点，代入方程两式相减，解得值，即可得出结论.【详解】解：（1）由抛物线性质知：的面积，∴,∴所求抛物线的标准方程为；（2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，设，，由，在抛物线上得：，相式相减化简得：又∵，，代入上式解得：.故所求直线的方程为：.即.【点睛】本题考查由抛物线性质求标准方程，与做差法求直线方程，属于中档题.21.如图，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)根据线面平行证明面面平行，得出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设线段的长为，根据二面角的余弦值，求出线段.【详解】解：（1）∵，，平面，平面平面，平面，又∵，∴平面平面又∵平面，∴平面.（2）∵平面，,，，∴以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第.易知，，，设，，则，，，，，设为平面的法向量，则：由得：，取；设为平面的法向量则由得得：，取.∴∵二面角的余弦值为.∴，解得：经验证：时，符合题意故所求.【点睛】本题考查线面平行定理和利用二面角的余弦值求参数问题，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系中，（），（），的周长为，设顶点的轨迹为，若直线与轴交于点，与曲线交于，两点.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（）；（2）【解析】【分析】(1) 根据题中周长结合椭圆定义即可求出轨迹方程；(2) 联立直线与椭圆方程，运用韦达定理，再由关系求出实数的值.【详解】解：（1）∵的周长为∴.由椭圆定义知：顶点的轨迹是焦点在轴上，长轴长为4的椭圆，其中，，即，，,故所求顶点的轨迹的方程为：（）；（2）设，，由联立化简得：∴，.又∵∴∴.与联立，解得：，代入，解得：，∴.验证：当时，成立，符合题意.故所求.【点睛】本题考查求椭圆的轨迹方程，及根与系数的关系求参数，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题1.已知等差数列中，，，则的值是（）A. 35B. 37C. 39D. 41【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可求出公差，进而求出的值.【详解】解：由题意可知，解得.所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.2.命题“对任意，恒有”的否定是（）A. 对任意，恒有B. 存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得【答案】B【解析】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定.【详解】解：由全称命题的否定方法得：“对任意，恒有”的否定是“存在，使得”成立.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定方法，属于基础题.3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.【详解】双曲线的焦点为，离心率，故椭圆的焦点为，离心率，即.解得，故椭圆标准方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.4.已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.5.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】C【解析】【分析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以 ,故.所以 .故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据题意求出，结合余弦定理分情况讨论即可.【详解】解：因为，所以.由题意得，利用余弦定理得：.当，即时，，即，解得：.此时三角形为等边三角形；当，即时，,不成立.所以三角形的形状是等边三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.8.在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.9.已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.10.设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因点满足，所以，所以，即，所以 .故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.11.在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离 .当，即时，距离有最大值为 .故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.二、填空题13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】7【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移知，当目标函数经过点时，即时，有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足，，的三角形解的个数是______.【答案】2【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，.故满足条件的三角形共有个.故答案为：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.15.已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时，即时取等号.因为恒成立，所以，解得 .故实数的取值范围是.故答案填：.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．三、解答题17.在中，角，，的对边分别为，，，若.（1）求边的长；（2）若角，，成等差数列，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意运用两角和与差正弦公式整理即可得边的长度；(2)根据题意运用余弦定理和基本不等式求出的最大值，进而可求出三角形面积最大值.【详解】解：（1）∵，且，，是的内角∴∵，∴；（2）∵角，，成等差数列且，∴，又∵，由余弦定理：，得：.∴.又∵则有，∴.当且仅当时“=”成立，此时面积有最大值.【点睛】本题主要考查，两角和与差的正弦公式、利用余弦定理和基本不等式结合求三角形面积的最值，属于中档题.18.数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据题中公式写出当时，，将两式相减可得，即可求出时数列是等差数列，公比为2，再检验时的情况即可；(2)利用裂项相消法求数列的前项和，再判断是否小于.【详解】解：（1）由可得：当时，，上述两式相减可得，即.又∵，，，∴，数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴；（2）证明：由（1）可得，，，∴，故.∴.【点睛】本题考查如何求通项公式，和运用裂项相消法求数列的前项和并判断范围，属于中档题.19.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点.（1）证明：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)由线面垂直可得线线垂直，最终证出线线垂直;(2)建立空间直角坐标系，求出的空间坐标和平面的法向量，利用求线面角所成角的正弦公式求出即可.【详解】解：（1）连接，交于点，∵平面，平面，∴，又∵是菱形，∴.又∵，，都在平面内,∴平面，又∵平面,∴.（2）易知，为的中点，且是的中点，，∴平面以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如科所示的空间直角坐标系.又∵，∴，，，，.∴，，.设平面的法向量为，则即，取.∴.故所求直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线线垂直定理，考查建立空间坐标系求线面角的余弦值，属于中档题.20.已知抛物线（）的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，的面积为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，（3，2）是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用抛物线性质求出值，即可；(2)由，是抛物线上两点，代入方程两式相减，解得值，即可得出结论.【详解】解：（1）由抛物线性质知：的面积，∴,∴所求抛物线的标准方程为；（2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，设，，由，在抛物线上得：，相式相减化简得：又∵，，代入上式解得：.故所求直线的方程为：.即.【点睛】本题考查由抛物线性质求标准方程，与做差法求直线方程，属于中档题.21.如图，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)根据线面平行证明面面平行，得出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设线段的长为，根据二面角的余弦值，求出线段.【详解】解：（1）∵，，平面，平面平面，平面，又∵，∴平面平面又∵平面，∴平面.（2）∵平面，,，，∴以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题及解答

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若，则”的逆命题为A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】解：根据逆命题的定义可知逆命题为“若，则”故选：C．根据逆命题的定义写出它的逆命题即可．本题考查了逆命题的定义与应用问题，是基础题．2.在等差数列中，，，则A. 8B. 9C. 11D. 12【答案】B【解析】解：在等差数列中，由，得，又，．故选：B．由已知结合等差数列的性质即可求解的值．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．3.在中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若，，，则A. B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】解：，，，，由余弦定理可得：．故选：C．由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得b的值．本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.已知双曲线的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：依题意可得，得，所以双曲线的方程为．故选：B．依题意可得，得，即可．本题考查了双曲线的方程，属于基础题．5.在三棱柱中，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图，；，；．故选：D．可画出三棱柱，结合图形即可求出，这样根据向量加法的平行四边形法则即可求出．考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合的解题方法．6.设，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，由题意可得，．的取值范围为．故选：C．设，，根据“”的充分不必要条件即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.设直线l的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是A. ，1，B. ，1，C. 1，，D. ，1，【答案】B【解析】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，，使成立，，在A中，，故A错误；在B中，，故B成立；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：B．由直线l的方向向量为，平面的法向量为，，使成立，得到，由此能求出结果．本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．8.设x，y满足约束条件，则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，此时，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9.已知点F是抛物线的焦点，点、分别是抛物线上位于第四象限的点，若，则的面积为A. 42B. 30C. 18D. 14【答案】A【解析】解：，，则抛物线的方程为，把代入方程，得舍去，即．，则AB：，即．设直线AB与x轴交于C点，已知，．故选：A．由已知求得p，得到抛物线方程，进一步求得B、A的坐标，得到AB方程，求出AB 与x轴交点C，再由面积公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知在长方体中，，，，E是侧棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：在长方体中，，，，E是侧棱的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，1，，0，，0，，，0，，1，，设平面的法向量为y，，则，取，得，设直线AE与平面所成角为，则．直线AE与平面所成角的正弦值为．故选：B．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：可令，由，可得，由题意可设，，可得BP的方程为：，时，，，，则AE的方程为：，则，M是线段QF的中点，可得，即，即，可得．故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.设是数列的前n项和，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：当时，，即．当时，，则，即，，从而，即，则．．故选：A．利用数列的递推关系式，求出数列的首项以及，求解数列的通项公式，然后求解．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设命题p：，，则￢为______ ．【答案】，【解析】解：命题p：，，￢为，，故答案为：，根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．14.已知，则的最小值为______．【答案】1【解析】解：，，，当且仅当，即时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______．【答案】【解析】解：，由余弦定理可得：，整理可得：，，，，解得：，，，可得：，．故答案为：．由已知利用余弦定理可求，又，可求b，c的值，根据余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交C的右支于A、B两点，，，则C的离心率为______．【答案】【解析】解：可设，，由可得，由双曲线的定义可得，，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，可得，即，在直角三角形中，可得，即为，即，可得．故答案为：．可设，，由可得，运用双曲线的定义和勾股定理求得，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知：表示焦点在x轴上的双曲线，q：方程表示一个圆．若p是真命题，求m的取值范围；若是真命题，求m的取值范围．【答案】解：若：表示焦点在x轴上的双曲线为真命题，则，得，得，由得，若方程表示圆，则得，即q：，若是真命题，则p，q都是真命题，则，得，即实数m的取值范围是．【解析】结合双曲线的定义进行求解即可根据复合命题真假关系，得到p，q都是真命题进行求解即可．本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.已知数列满足，．证明：数列是等比数列；设，求数列的前n项和．【答案】解：证明：数列满足，，可得，即有数列是首项为2，公比为3的等比数列；由可得，即有，数列的前n项和．【解析】对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；由对数的运算性质可得，再由裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．Ⅰ求A；Ⅱ若，，求的面积．【答案】解：Ⅰ【方法一】由已知得，，；又，，，由，得；------分【方法二】由已知得，化简得，，由，得；------分Ⅱ由，，得，在中，，由正弦定理，得，------分【解析】Ⅰ【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得A的值；Ⅱ同解法一Ⅱ由同角的三角函数关系求得，再利用三角恒等变换求得，利用正弦定理求得b，计算的面积．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．20.如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且．求CM的长；求二面角的大小．【答案】解：为直三棱柱，平面平面，，平面，，，，又，；设，连接BD，，即为二面角的平面角，在中求得，为等腰直角三角形，故．【解析】连接，利用三垂线逆定理可得，而后通过相似三角形或解三角形不难求得CM；连接BD，由三垂线定理可知，即为所求角，求解不难．此题考查了三垂线定理，解三角形，二面角的求法等，难度适中．21.已知动圆C过定点，且与直线相切，圆心C的轨迹为E，求E的轨迹方程；若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标，求．【答案】解：由题设知，点C到点F的距离等于它到直线的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为．由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，，，则有，两式作差得即得，因为线段PQ的中点的坐标为，所以，则直线l的方程为，即，与联立得，得，．【解析】利用动圆C过定点，且与直线：相切，所以点C的轨迹是以F为焦点为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求．本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题22.已知椭圆C：的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点．求椭圆C的方程；若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．【答案】解：由题意知，解得，所以椭圆C的方程为．证明：易知，，则直线MA的方程为，直线MB的方程为．联立，得，于是，，同理可得，，所以直线PN的斜率，直线QN的斜率，因为，所以直线PQ过定点【解析】由题意知，解出即可得出．点易知，，则直线MA的方程为，直线MB的方程为分别与椭圆联立方程组，解得，，可得，，Q坐标可得直线PN，QN的斜率程，即可证明．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_34

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_34

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷（选择题）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若，则且”的否命题为（）A. 若，则且B. 若，则且C. 若，则或D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】根据否命题要否定条件和结论得答案.【详解】命题“若，则且”的否命题为“若，则或”.故选：D.【点睛】本题考查否命题写法，注意且的否定为或，是基础题.2.函数在处导数的几何意义是（）A. 在点处的斜率B. 在点处的切线与x轴所夹的锐角正切值C. 点与点连线的斜率D. 曲线在点处的切线的斜率【答案】D【解析】【分析】利用导数几何意义即可得出.【详解】解：的几何意义是在切点处的切线斜率.故选：D.【点睛】考查导数的几何意义，属于基础题.3.若¬（p∧q）为假命题，则（）A. p为真命题，q为假命题B. p为假命题，q为假命题C. p为真命题，q为真命题D. p为假命题，q为真命题【答案】C【解析】【分析】根据否命题和复合命题真假关系急性判断即可.【详解】若¬（p∧q）为假命题，则为真命题，p为真命题，q为真命题.故选：.【点睛】本题主要考查的是否命题以及复合命题的真假判断，熟知复合命题的真值表是解题的关键，是基础题.4.若函数满足，，则的值为（）A. 1B. 2C. 0D.【答案】C【解析】【分析】求出即可【详解】因为所以令时有解得：故选：C【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.5.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件6.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】设切点，则，又，故答案选B．7.已如向量，且与互相垂直，则A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，因为，所以，则，即，故选8.已知向量，，分别是直线、的方向向量，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴．选D．9.如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】设棱长为的中点为，连接，由正三棱柱中，个棱长都相等，可得，所以二面角的平面角为，在中，，所以，即二面角平面角的正切值为，故选D.点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取的中点，得出二面角的平面角为，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.10.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】抛物线焦点为,故,双曲线焦点到渐近线的距离等于,故距离为,所以选.11.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.12.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．第II卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，计25分）13.方程表示的图形是___________．【答案】两条直线【解析】【分析】将变形为，即可得答案.【详解】解：由得，即或，方程表示的图形是两条直线.故答案为：两条直线.【点睛】本题考查方程对应的曲线图形，是基础题.14.下列函数求导运算正确的序号为______ .①；②；③；④【答案】②③【解析】【分析】依次求出每个函数的导数即可.【详解】因为，，，所以正确的序号为②③故答案为：②③【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.15.已知，为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，则C的离心率为______．【答案】．【解析】【分析】利用椭圆的定义及，得到，进而得解.【详解】为椭圆上一点，由椭圆的定义知，，因，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.16.若同方向的单位向量是________________【答案】【解析】试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；17.已知命题p：，是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】【解析】【分析】根据判别式大于或等于零，解不等式即可得结果．【详解】若命题，是真命题，二次函数的图象与轴有交点，方程有根，则判别式，即，故答案为．【点睛】本题主要考查特称命题的应用，以及一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，考查了转化与划归思想的应用，属于简单题.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（本大题共5道题，计65分）18.已知曲线及曲线上一点．求曲线过P点的切线方程．【答案】或.【解析】【分析】设切点坐标，写出切线方程，然后根据切线过点，求出切点横坐标，利用直线的点斜式方程即可求解出切线方程.【详解】由，得，设切点坐标为，则切线的斜率，所以，切线方程为,代入切线方程可得，即，解得或，当时，所求切线的斜率为0，切线方程为；当时，所求直线斜率，于是所求切线的方程为，即.综上所述，曲线过点的切线方程为或.【点睛】本题考查的是曲线过某点的切线方程的求解，属于基础题.求曲线过某点的切线方程，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标，求出切点坐标，然后利用直线的点斜式方程即可求出切线方程.19.如图，四棱锥底面为直角梯形，，，，，底面ABCD，E为AB的中点．求证：（1）∥平面PCB；（2）平面平面PAC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出，，进而得到，，利用面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：（1），∥，且平面，平面，∥平面；（2）以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，其中涉及到空间向量数量积的坐标运算，属于中档题.20.如图所示，已知是椭圆：上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.求点的坐标及椭圆的方程.【答案】，.【解析】【分析】利用平面几何即可求出点坐标；将及点坐标代入椭圆方程，求出，进而得到椭圆方程.【详解】，且经过，，又，，，∵，，将及点坐标代入，得，解得，椭圆的方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，属于基础题.21.已知函数．若函数在处有极值-4．（1）求的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间．由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数在上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．试题解析：（1）∵，∴，依题意有即，解得∴，由，得，∴函数的单调递减区间由知∴，令，解得．当变化时，的变化情况如下表：由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．故可得又．∴综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．22.已知椭圆的焦点为和，长轴长为，设直线交椭圆于，两点．求：（1）椭圆的标准方程；（2）弦的弦长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，求出，即可得出椭圆方程；（2）先设，，联立直线与椭圆方程，由根与系数关系，以及弦长公式，即可求出结果.【详解】（1）椭圆的焦点为和，长轴长为，椭圆的焦点在轴上，，，，椭圆的标准方程；（2）设，，由，消去，得，，，，．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及求椭圆中的弦长，熟记椭圆的标准方程以及弦长公式即可，属于常考题型.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）第I卷（选择题）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若，则且”的否命题为（）A. 若，则且B. 若，则且C. 若，则或D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】根据否命题要否定条件和结论得答案.【详解】命题“若，则且”的否命题为“若，则或”.故选：D.【点睛】本题考查否命题写法，注意且的否定为或，是基础题.2.函数在处导数的几何意义是（）A. 在点处的斜率B. 在点处的切线与x轴所夹的锐角正切值C. 点与点连线的斜率D. 曲线在点处的切线的斜率【答案】D【解析】【分析】利用导数几何意义即可得出.【详解】解：的几何意义是在切点处的切线斜率.故选：D.【点睛】考查导数的几何意义，属于基础题.3.若¬（p∧q）为假命题，则（）A. p为真命题，q为假命题B. p为假命题，q为假命题C. p为真命题，q为真命题D. p为假命题，q为真命题【答案】C【解析】【分析】根据否命题和复合命题真假关系急性判断即可.【详解】若¬（p∧q）为假命题，则为真命题，p为真命题，q为真命题.故选：.【点睛】本题主要考查的是否命题以及复合命题的真假判断，熟知复合命题的真值表是解题的关键，是基础题.4.若函数满足，，则的值为（）A. 1B. 2C. 0D.【答案】C【解析】【分析】求出即可【详解】因为所以令时有解得：故选：C【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.5.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件6.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】设切点，则，又，故答案选B．7.已如向量，且与互相垂直，则A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，因为，所以，则，即，故选8.已知向量，，分别是直线、的方向向量，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴．选D．9.如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】设棱长为的中点为，连接，由正三棱柱中，个棱长都相等，可得，所以二面角的平面角为，在中，，所以，即二面角平面角的正切值为，故选D.点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取的中点，得出二面角的平面角为，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.10.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】抛物线焦点为,故,双曲线焦点到渐近线的距离等于,故距离为,所以选.11.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.12.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．第II卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，计25分）13.方程表示的图形是___________．【答案】两条直线【解析】【分析】将变形为，即可得答案.【详解】解：由得，即或，方程表示的图形是两条直线.故答案为：两条直线.【点睛】本题考查方程对应的曲线图形，是基础题.14.下列函数求导运算正确的序号为______ .①；②；③；④【答案】②③【解析】【分析】依次求出每个函数的导数即可.【详解】因为，，，所以正确的序号为②③故答案为：②③【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.15.已知，为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，则C的离心率为______．【答案】．【解析】【分析】利用椭圆的定义及，得到，进而得解.【详解】为椭圆上一点，由椭圆的定义知，，因，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.16.若同方向的单位向量是________________【答案】【解析】试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；17.已知命题p：，是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】【解析】【分析】根据判别式大于或等于零，解不等式即可得结果．【详解】若命题，是真命题，二次函数的图象与轴有交点，方程有根，则判别式，即，故答案为．【点睛】本题主要考查特称命题的应用，以及一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，考查了转化与划归思想的应用，属于简单题.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（本大题共5道题，计65分）18.已知曲线及曲线上一点．求曲线过P点的切线方程．【答案】或.【解析】【分析】设切点坐标，写出切线方程，然后根据切线过点，求出切点横坐标，利用直线的点斜式方程即可求解出切线方程.【详解】由，得，设切点坐标为，则切线的斜率，所以，切线方程为,代入切线方程可得，即，解得或，当时，所求切线的斜率为0，切线方程为；当时，所求直线斜率，于是所求切线的方程为，即.综上所述，曲线过点的切线方程为或.【点睛】本题考查的是曲线过某点的切线方程的求解，属于基础题.求曲线过某点的切线方程，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标，求出切点坐标，然后利用直线的点斜式方程即可求出切线方程.19.如图，四棱锥底面为直角梯形，，，，，底面ABCD，E为AB的中点．求证：（1）∥平面PCB；（2）平面平面PAC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出，，进而得到，，利用面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：（1），∥，且平面，平面，∥平面；（2）以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，其中涉及到空间向量数量积的坐标运算，属于中档题.20.如图所示，已知是椭圆：上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.求点的坐标及椭圆的方程.【答案】，.【解析】【分析】利用平面几何即可求出点坐标；将及点坐标代入椭圆方程，求出，进而得到椭圆方程.【详解】，且经过，，又，，，∵，，将及点坐标代入，得，解得，椭圆的方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，属于基础题.21.已知函数．若函数在处有极值-4．（1）求的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间．由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数在上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．试题解析：（1）∵，∴，依题意有即，解得∴，由，得，∴函数的单调递减区间由知∴，令，解得．当变化时，的变化情况如下表：由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．故可得又．∴综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．22.已知椭圆的焦点为和，长轴长为，设直线交椭圆于，两点．求：（1）椭圆的标准方程；（2）弦的弦长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，求出，即可得出椭圆方程；（2）先设，，联立直线与椭圆方程，由根与系数关系，以及弦长公式，即可求出结果.【详解】（1）椭圆的焦点为和，长轴长为，椭圆的焦点在轴上，，，，椭圆的标准方程；（2）设，，由，消去，得，，，，．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及求椭圆中的弦长，熟记椭圆的标准方程以及弦长公式即可，属于常考题型.。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_10

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_10

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2.命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】试题分析：命题“若，则”的逆命题为：“若，则”，所以原命题为真命题，逆命题为假命题；所以否命题为假命题，逆否命题为真命题；所以选A.考点:命题间的关系．【详解】请在此输入详解！3.下列说法正确的是（）A. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C. 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点【答案】B【解析】【分析】根据棱锥和棱台的几何体的特征，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：故B正确；对于C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C错误；对于D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误．故选：B.【点睛】本题考查几何体结构特征相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握常见几何体的结构特征，属于基础题.4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.【详解】该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，其中：，该几何体的表面积为： .故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响..5.下列说法正确的是( )A. 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B. 若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C. 命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”D. 若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题【答案】B【解析】【分析】结合命题的否定与否命题对四个选项逐一进行分析即可得到结论【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以错误；若则可推出且，但推不出，故是充分不必要条件，故正确；命题“，”的否定为“，”，错误；若“且”为假命题，则至少有一个为假命题，错误．综上所述，故选.【点睛】本题主要考查了命题的否命题，充分必要条件的判断等应用，运用各知识点对四个命题进行逐一判断，较为基础．6.直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（）A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】设直线方程点斜式，根据在轴上的截距的取值范围是，求解不等式即可得解，即可求得答案.【详解】由题可设直线方程为，即在轴上的截距的取值范围是，即点在直线的异侧，根据二元一次不等式表示平面区域关系可得：，即，解得：或故选：D【点睛】本题考查了根据过某点的直线与坐标轴的截距范围求解斜率取值范围，解题关键是掌握数形结合分析斜率和等价转化为二元一次不等式表示平面区域的问题求解，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若垂直于同一平面，则与平行B. 若平行于同一平面，则与平行C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】试题分析：对于A中，若若垂直于同一平面，则与不一定是平行，例如墙角的三个平面；对于B中，若平行于同一平面，则与平行、相交或异面，所以是错误的；对于C 中，若不平行，则在内可存在无数条与平行的直线，所以是错误的；对于D中，若不平行，则与不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直一个平面，则这两条直线一定是平行的，所以是正确的．考点：空间中直线与平面的位置的判定．8.设变量、满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：作出可行域图形，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方的取值范围，从而可得,.故正确答案为C.考点：1.简单线性规划；2.点到直线、两点间的距离.9.已知点是直线上的一个动点，定点，点是线段延长线上的一点，且，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由知为中点，由中点坐标公式可表示出点坐标，代入直线方程即可求得点轨迹方程.【详解】为中点设，则，代入得：整理可得点轨迹方程为故选：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用所求点坐标表示出已知直线上的点的坐标，代入已知直线整理可得结果.10. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．11.在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作则，沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．可得：故由得故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.12.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 4C. 3D. 6【答案】B【解析】试题分析：即，由已知，直线过圆心，即，由平面几何知识知，为使由点向圆所作的切线长的最小，只需圆心与直线上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为，故选.考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是__________．【答案】x2＋y2＝2【解析】圆心是AB的中点坐标为(0，0)，直径是AB两点之间距离是2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.14.已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线为 x＋y＝0，则a ＝________.【答案】【解析】【详解】双曲线渐近线方程为，，,则考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.15.如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.【答案】【解析】【分析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形, ,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为C是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.16.椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是_____.【答案】【解析】【分析】根据点关于直线的对称点在椭圆上，找出几何关系，列方程组求解，即可求得答案.【详解】设椭圆另一焦点为，线段与直线交点为设，，分别为的中点，，又，整得，代入，整理得：，，故答案为：.【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率问题，解题关键是利用对称性找到几何关系，关键发现，抓住椭圆定义，斜率公式及直角三角形列出方程组，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：顶点C的坐标；直线MN的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=0，∵边BC的中点N在x轴上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．（2）点M的坐标是（0，﹣），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．18.已知,命题:对,不等式恒成立；命题，使得成立.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若假，为真，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），即，可解出实数的取值范围；（2）先求出命题为真命题时实数的取值范围，再分析出命题、中一个是真命题，一个是假命题，即可的得出实数的取值范围.【详解】（1）∵对任意，不等式恒成立，，即，即，解得，因此，若为真命题时，实数的取值范围是；（2），且存在，使得成立，，命题真时，.∵且为假，或为真，∴、中一个是真命题，一个是假命题．当真假时，则，解得；当假真时，，即.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查利用命题真假求参数，同时也考查了利用复合命题的真假求参数问题，解题的关键就是要确定简单命题的真假，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19.已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）当切线的斜率存在时，设为，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出求出切线方程，切线的斜率不存在时验证即可；（2）先求直线的方程，再求到的距离，再求的长度，然后求出三角形的面积.试题解析：(1)由圆：，配方，得，圆心，当斜率存在时，设过点的圆的切线方程为，即，由，得，又斜率不存在时直线也与圆相切，故所求切线方程为或.(2)直线的方程为，即，点到直线的距离为，又，所以.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.20. 如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1，DC=SD=2， E为棱SB上的一点，且SE=2EB．(I)证明：DE⊥平面SBC；(II)证明：求二面角A- DE -C的大小【答案】（Ⅰ）证明略；(Ⅱ)．【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；(Ⅱ)求出两平面的法向量，求出法向量的夹角，再结合图形确定二面角的大小.试题解析：分别以，，所在直线为x轴，轴，z建立空间直角坐标系（如图），则，（Ⅰ）∵SE=2EB，∴又∴∴又∴DE平面SBC(Ⅱ)由(Ⅰ)知，DE⊥平面SBC，∵平面SBC，∴当时，知，，取中点，则，故，由此得FA⊥DE∴向量与的夹角等于二面角的平面角又，∴二面角的大小为考点：1.空间几何体中的平行、垂直的相互转化；2.空间向量在立体几何中的应用．21.如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.（2）设点P在椭圆上，且，则求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如图由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此,,从而由,知，因此考点：考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．22.已知抛物线，焦点为，直线交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点.（1）求抛物线的焦点坐标；（2）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；（3）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，2.【解析】【分析】（1）抛物线，即，可求出焦点坐标，即可求得答案；（2）利用抛物线的定义把焦点的距离为转化为到准线的距离为，即可求得答案；（3）是以为直角顶点的直角三角形即是，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到两点的坐标进而求得以及的坐标，代入是，即可求得答案.【详解】（1）抛物线，即∴抛物线的焦点为（2）∵抛物线上有一点到焦点的距离为，（3）联立方程消去可得，设则①是线段的中点，,即得若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则是即结合①化简得即或 (舍去)，经检验满足判别式大于0存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形．【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2.命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】试题分析：命题“若，则”的逆命题为：“若，则”，所以原命题为真命题，逆命题为假命题；所以否命题为假命题，逆否命题为真命题；所以选A.考点:命题间的关系．【详解】请在此输入详解！3.下列说法正确的是（）A. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C. 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点【答案】B【解析】【分析】根据棱锥和棱台的几何体的特征，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：故B正确；对于C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C 错误；对于D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误．故选：B.【点睛】本题考查几何体结构特征相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握常见几何体的结构特征，属于基础题.4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.【详解】该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，其中：，该几何体的表面积为： .故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响..5.下列说法正确的是( )A. 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B. 若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C. 命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”D. 若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题【答案】B【解析】【分析】结合命题的否定与否命题对四个选项逐一进行分析即可得到结论【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以错误；若则可推出且，但推不出，故是充分不必要条件，故正确；命题“，”的否定为“，”，错误；若“且”为假命题，则至少有一个为假命题，错误．综上所述，故选.【点睛】本题主要考查了命题的否命题，充分必要条件的判断等应用，运用各知识点对四个命题进行逐一判断，较为基础．6.直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（）A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】设直线方程点斜式，根据在轴上的截距的取值范围是，求解不等式即可得解，即可求得答案.【详解】由题可设直线方程为，即在轴上的截距的取值范围是，即点在直线的异侧，根据二元一次不等式表示平面区域关系可得：，即，解得：或故选：D【点睛】本题考查了根据过某点的直线与坐标轴的截距范围求解斜率取值范围，解题关键是掌握数形结合分析斜率和等价转化为二元一次不等式表示平面区域的问题求解，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若垂直于同一平面，则与平行B. 若平行于同一平面，则与平行C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】试题分析：对于A中，若若垂直于同一平面，则与不一定是平行，例如墙角的三个平面；对于B中，若平行于同一平面，则与平行、相交或异面，所以是错误的；对于C中，若不平行，则在内可存在无数条与平行的直线，所以是错误的；对于D中，若不平行，则与不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直一个平面，则这两条直线一定是平行的，所以是正确的．考点：空间中直线与平面的位置的判定．8.设变量、满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：作出可行域图形，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方的取值范围，从而可得,.故正确答案为C.考点：1.简单线性规划；2.点到直线、两点间的距离.9.已知点是直线上的一个动点，定点，点是线段延长线上的一点，且，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由知为中点，由中点坐标公式可表示出点坐标，代入直线方程即可求得点轨迹方程.【详解】为中点设，则，代入得：整理可得点轨迹方程为故选：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用所求点坐标表示出已知直线上的点的坐标，代入已知直线整理可得结果.10. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．11.在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作则，沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．可得：故由得故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.12.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 4C. 3D. 6【答案】B【解析】试题分析：即，由已知，直线过圆心，即，由平面几何知识知，为使由点向圆所作的切线长的最小，只需圆心与直线上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为，故选.考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是__________．【答案】x2＋y2＝2【解析】圆心是AB的中点坐标为(0，0)，直径是AB两点之间距离是2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.14.已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线为 x＋y＝0，则a＝________.【答案】【解析】【详解】双曲线渐近线方程为，，,则考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.15.如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.【答案】【解析】【分析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形,,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为C是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.16.椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是_____.【答案】【解析】【分析】根据点关于直线的对称点在椭圆上，找出几何关系，列方程组求解，即可求得答案.【详解】设椭圆另一焦点为，线段与直线交点为设，，分别为的中点，，又，整得，代入，整理得：，，故答案为：.【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率问题，解题关键是利用对称性找到几何关系，关键发现，抓住椭圆定义，斜率公式及直角三角形列出方程组，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x 轴上，求：顶点C的坐标；直线MN的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=0，∵边BC的中点N在x轴上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．（2）点M的坐标是（0，﹣），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．18.已知,命题:对,不等式恒成立；命题，使得成立.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若假，为真，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_32

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_32

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．【详解】命题“，”的否定是“，”．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直．【详解】计算，A,C,D中都是=0，只有B中且，即，故选：B．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．3.已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．【详解】由题意，直线l过点(0,3)，∴其斜率为，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．4.刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）正视图侧视图俯视图A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．【详解】由三视图，棱台体积为．故选：C.【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．5.抛物线准线经过双曲线的左焦点，则抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．【详解】双曲线中，，∴双曲线的左焦点为，右焦点就是抛物线的焦点．故选：A．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】直线与直线平行，则，，时，两直线方程分别为，平行，时，两直线方程分别为，平行，∴直线与直线平行的充要条件是，则“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．7.设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．【详解】若，，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；若，，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可以平行，B错；若，， m与n可能异面，可能平行，C错；若，，，则，这是面面平行的性质定理，D正确．故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．8.正方体中，异面直线和所成角为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可．【详解】正方体中，，∴是异面直线和所成的角，而是正三角形，∴，∴异面直线和所成的角是．故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．9.若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．【详解】由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，所求距离为．故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥的四个面都是直角三角形，∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心．由得，又，则，，所以球表面积为．故选：C．【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11.已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】表示出各点坐标，由得出的等式，变形后可求离心率．【详解】由题意，则，∴，，，∴（舍去）．故选：D．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于的等量关系．本题中由已知可得．12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程．【详解】如图，渐近线方程是，即，由于且，所以，所以，，，又，即，∴，，∴，，双曲线方程为：．故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是__________.【答案】【解析】【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．【详解】设所求圆半径为，则由题意，，所以所求圆方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．14.倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程__________，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．【详解】由题意直线l的方程为：，即，圆标准方程为：，圆心为，半径为，圆心到直线l的距离为，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．15.正四棱锥中，，，则与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】【分析】作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，于是有PB⊥平面ACE，作交延长线于，可得平面PBC，从而是直线PA与平面PBC所成的角．在中计算出这个角的正弦值即可．【详解】在正四棱锥中，取BC中点M，连接PM，则PM⊥BC，，作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，，由得．∴，，由，得是钝角，作交延长线于，连接PH，由CE⊥PB，AE⊥PB，得PB⊥平面ACE，平面ACE，∴PB⊥AH，，∴平面PBC，∴是直线PA与平面PBC所成的角．△ACE中，取AC中点O，连接EO，则EO⊥AC，且，，在中，．故答案为：．【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．16.给出下列命题：（1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是；（2）点关于直线对称点为，则的坐标为；（3）圆上恰有个点到直线的距离为；（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）【答案】（2）（3）（4）【解析】【分析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断．【详解】（1）由于直线与线段AB有公共点，因此k范围是，（1）错；（2）的中点坐标为，，即中点在直线上，又，直线的斜率是2，相乘等于，与直线垂直，（2）正确；（3）圆心C到直线l的距离为1，圆半径为2，与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确；（4）直线过抛物线的焦点F(1,0)，直线是抛物线的准线，设，由抛物线定义得，的中点到直线的距离为，∴以为直径的圆恰好与直线相切.（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.命题：直线与圆相交，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得为真时m的范围．（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且为真得结论．【详解】解：（1）因为直线与圆相交，所以，解得，即的取值范围为.（2）椭圆焦点在轴上，所以为真，真假.或.所以的取值范围为.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．18.动点到的距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作斜率为的直线交曲线于，两点，求的面积.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）题意转化为动点到的距离等于其到直线的距离，根据抛物线的定义可得轨迹方程，注意点P也可能在x轴负半轴上.（2）写出直线l方程，设交点为，，直线方程与抛物线方程联立消元可得x的二次方程，由韦达定理得,从而的，再由求出O到直线l的距离，由底乘高除以2得三角形面积．【详解】解：（1）由题意可知动点到的距离等于其到直线的距离，由抛物线的定义可知动点的轨迹的方程为或.（2）设直线的方程为，设直线与曲线交于，，联立方程得，.点到直线的距离.所以.【点睛】本题考查用抛物线定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦的性质，在求轨迹方程时要注意点的轨迹不仅仅是抛物线，还含有一条射线，抛物线的焦点弦中，，，则.19.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由及得，，从而有平面，于是可得面面垂直．（2）取的中点，连接，证明平面，同时说明底面是正方形，即可求体积．【详解】（1）四边形是平行四边形，.又，即，，，平面，平面，从而平面.又平面，所以平面平面.（2）如图，取的中点，连接.，，，.又因为平面，平面，平面，，，四边形为正方形，又，平面，.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．20.已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.（1）求直线的一般式方程；（2）求四边形的外接圆的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式知识可得定点坐标，过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，可知一切点为A(3,0)，由可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程．不需求另一切点坐标．（2）由切线性质知PC是四边形的外接圆的直径，外接圆方程易求．【详解】（1）直线，直线恒过定点.由题意可知直线是其中一条切线，且切点为.，，所以直线的方程为，即.（2），所以四边形的外接圆时以为直径的圆，的中点坐标为，所以四边形的外接圆为【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21.如图，已知三棱锥，平面平面，点，分别为、的中点，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由中位线定理得，即可得线面平行；（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．【详解】（1）因为点，分别为，的中点，所以.平面，平面，平面.（2），，由勾股定理得..，故.又平面平面，且平面平面，故平面.以为坐标原点，垂直于，的直线为轴，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.故，.显然平面的法向量.设平面的法向量，则令有故..，平面与平面所成角为.【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角．证明线面平行根据线面平行的判定定理证明即可，而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解．22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）是定值,且为【解析】【分析】（1）由的周长为，得到，即.再由离心率求得，从而可得，得椭圆方程．（2）直线l斜率不存在时，，直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得，计算，并代入可得．这样就得出结论．【详解】（1）由的周长为，得到，即.又因为，所以，故，所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，把直线的方程代入，得，则，，因为，而.即．当直线与轴垂直时，，即，所以，即定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线的方程为，设交点，，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得，计算并代入求得结论．2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．【详解】命题“，”的否定是“，”．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直．【详解】计算，A,C,D中都是=0，只有B中且，即，故选：B．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．3.已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．【详解】由题意，直线l过点(0,3)，∴其斜率为，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．4.刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）正视图侧视图俯视图A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．【详解】由三视图，棱台体积为．故选：C.【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．5.抛物线准线经过双曲线的左焦点，则抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．【详解】双曲线中，，∴双曲线的左焦点为，右焦点就是抛物线的焦点．故选：A．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】直线与直线平行，则，，时，两直线方程分别为，平行，时，两直线方程分别为，平行，∴直线与直线平行的充要条件是，则“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．7.设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．【详解】若，，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；若，，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可以平行，B错；若，， m与n可能异面，可能平行，C错；若，，，则，这是面面平行的性质定理，D正确．故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．8.正方体中，异面直线和所成角为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可．【详解】正方体中，，∴是异面直线和所成的角，而是正三角形，∴，∴异面直线和所成的角是．故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．9.若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．【详解】由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，所求距离为．故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥的四个面都是直角三角形，∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心．由得，又，则，，所以球表面积为．故选：C．【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11.已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】表示出各点坐标，由得出的等式，变形后可求离心率．【详解】由题意，则，∴，，，∴（舍去）．故选：D．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于的等量关系．本题中由已知可得．12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程．【详解】如图，渐近线方程是，即，由于且，所以，所以，，，又，即，∴，，∴，，双曲线方程为：．故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是__________.【答案】【解析】【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．【详解】设所求圆半径为，则由题意，，所以所求圆方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．14.倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程__________，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．【详解】由题意直线l的方程为：，即，圆标准方程为：，圆心为，半径为，圆心到直线l的距离为，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．15.正四棱锥中，，，则与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】【分析】作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，于是有PB⊥平面ACE，作交延长线于，可得平面PBC，从而是直线PA与平面PBC所成的角．在中计算出这个角的正弦值即可．【详解】在正四棱锥中，取BC中点M，连接PM，则PM⊥BC，，作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，，由得．∴，，由，得是钝角，作交延长线于，连接PH，由CE⊥PB，AE⊥PB，得PB⊥平面ACE，平面ACE，∴PB⊥AH，，∴平面PBC，∴是直线PA与平面PBC所成的角．△ACE中，取AC中点O，连接EO，则EO⊥AC，且，，在中，．故答案为：．【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．16.给出下列命题：（1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是；（2）点关于直线对称点为，则的坐标为；（3）圆上恰有个点到直线的距离为；（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）【答案】（2）（3）（4）【解析】【分析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断．【详解】（1）由于直线与线段AB有公共点，因此k范围是，（1）。

2019-2020学年高二数学上学期期末检测试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末检测试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期期末检测试题理（含解析）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算，，再计算得到答案.【详解】，.故.故选：.【点睛】本题考查了集合的并集运算，意在考查学生的计算能力.2.在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于( )A. 64B. 88C. 128D. 256【答案】B【解析】分析】直接利用等差数列公式和性质得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了等差数列前项和，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用.3.命题“已知直线：和：，若，则”，该命题的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】判断原命题为假命题得到逆否命题为假，逆命题为真得到否命题为真，得到答案.【详解】取，，满足，两直线重合，故原命题为假，故逆否命题为假；若，则，故逆命题为真，故否命题为真.故选：.【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.4.已知命题和，若为真，为假，则下列一定为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假设为真，则为假，则为假，与题设矛盾，得到答案.【详解】假设为真，则为假，根据为假，则为假，故为假，与题设矛盾，故为假，为真.故选：.【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.5.已知函数，则以下说法正确的是( )A. 的周期是B. 的值域是C. 是奇函数D. 的递减区间是，【答案】D【解析】【分析】化简得到，再计算函数的周期，值域，奇偶性和单调区间得到答案.【详解】，故函数周期为，值域为，是非奇非偶函数，的递减区间即的单调增区间，为，.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，值域，奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.6.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.7.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出可行域，变换得到，根据的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，，表示到的斜率.当最小时，最大，根据图像知：当时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，变换利用几何意义求解是解题的关键.8.已知点为内一点，且满足，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】如图所示，为中点，为的三等分点，故，，得到答案.【详解】如图所示：为中点，为的三等分点，，故..故选：.【点睛】本题考查了向量运算的几何意义，画出图像是解题的关键.9.已知平面四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在内变化，那么直线与所成角的余弦值的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示，分别为中点，确定为二面角的平面角，为直线与所成角或，计算得到答案.【详解】如图所示：分别为中点，故，，故为二面角的平面角.，，故为直线与所成角或.，，，.，故，.故.，故.故.故选：.【点睛】本题考查了二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10.如图，在棱长为1的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正弦值是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，以分别为轴建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.则，，故，设平面的法向量为，则，取，得到.故.故选：.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11.过双曲线：的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若的右焦点到点，距离相等且长度为2，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】，故，不妨设渐近线方程为，则，根据勾股定理计算得到答案.【详解】，故，不妨设渐近线方程为，则.故，解得，故双曲线方程为.故选：.【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知是椭圆：右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示，为椭圆的左焦点，连接，根据相似得到，利用勾股定理得到，得到答案.【详解】如图所示：为椭圆的左焦点，连接，，，故.，则，故，，，故，化简得到，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题：（每题5分，共20分）13.已知，，若，则______.【答案】【解析】【分析】计算得到，根据计算得到答案.【详解】，，则，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.14.已知：条件：和：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据是的必要不充分条件，得到，计算得到答案.详解】，即；，即.是的必要不充分条件，故，得到，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的推断能力.15.在平面直角坐标系中，双曲线的上支和焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】设，联立方程得到，解得答案.【详解】设，，则，即.，则，故，即.故渐近线方程为：.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的综合应用问题，意在考查学生的综合应用能力.16.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下命题正确的是______（写序号）.（1）若，，，则；（2）若，，，则；（3）若，不平行，则，不可能垂直同一平面；（4）若，，，则.【答案】（3）（4）【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】（1）若，，，则或相交或异面，故（1）错误；（2）若，，，则或相交或异面，故（2）错误；（3）可以看逆否命题，若，垂直同一平面，则是真命题，故（3）正确；（4）若，，则，又，则，故（4）正确；故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了线面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.三、解答题：（17题10分，其它每题12分）17.写出命题“若，则方程有实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.【答案】见解析【解析】【分析】依次写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，再判断真假得到答案.【详解】逆命题：若有实数根，则.应为或，故为假命题；否命题：若，则方程没有实数根.取，方程有解为，故为假命题；逆否命题：若方程没有实数根，则.真命题；【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.18.给定两个命题，：存在实数，使得成立；：函数在上单调递减.（1）若命题为假命题，求的取值范围；（2）如果为假，为真，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）题目等价于对任意实数，恒成立，解得答案.（2）讨论真假，假真两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）：对任意实数，恒成立，所以，故.（2）真：，故或，真：；当真假时，；当假真时，；综上所述：或.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力.19.如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得到，得到答案.（2）以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系，平面的法向量，得到答案.【详解】（1）取中点，连接，.因为且，且，所以且，则四边形为平行四边形，所以，又平面所以平面.（2）以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系，，，故，，，设平面的法向量，则，取得到平面的法向量，则到平面的距离.【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知曲线上任意一点到定点的距离比到轴的距离大1，为坐标原点，，是曲线上异于的两点.（1）求出曲线的方程；（2）若直线，的斜率之积等于，判断直线是否过定点，如果过定点，请求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义得到答案.（2）设，，设直线：，得到，，解得答案.【详解】（1）由题意可知，曲线为以为焦点的抛物线，求得：.（2）设，，设直线：，则，则，，故.由联立得：，故.所以，即过定点.【点睛】本题考查了抛物线方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.21.在三棱柱中，侧面平面，为中点，，，.（1）在上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由；（2）在线段上有一点，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）存在，；（2）.【解析】分析】（1）根据与相似得到，证明得到为的中点，得到答案.（2）以，，为，，轴构建空间直角坐标系，计算平面的法向量为，得到答案.【详解】（1）令，则，∵，∴与相似，故，若，则面，故.又因为侧面平面，，所以平面，所以为的中点，即.（2）因为侧面平面，平面，以，，为，，轴构建空间直角坐标系，令，则，，.故，设平面的法向量为，∵且，又因为面法向量，所以.【点睛】本题考查了根据垂直关系求线段关系，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知圆的圆心为，圆内一条过点的动弦（与轴不重合），过点作的平行线交于点.（1）求出点的轨迹方程；（2）若过点的直线交的轨迹方程于不同两点，，为坐标原点，且，点为椭圆上一点，求点到直线的距离的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算得到，得到轨迹为椭圆，计算得到答案.（2）设直线：，联立方程根据得到，设与直线平行的直线：，解得答案.【详解】（1）由题意可知：，∵，所以轨迹以，为焦点的椭圆，除去与轴的两个交点，，所以点的轨迹方程为.（2）设直线：联立，得：，所以，（1）因为（2）由（1）（2）求得，由于椭圆对称性，不妨取，则直线：，数形结合可知，直线平行的直线与椭圆相切，切点之一为所求点，所以设与直线平行的直线：联立，，由，所以此时到直线的距离.【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆相关的距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2019-2020学年高二数学上学期期末检测试题理（含解析）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算，，再计算得到答案.【详解】，.故.故选：.【点睛】本题考查了集合的并集运算，意在考查学生的计算能力.2.在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于( )A. 64B. 88C. 128D. 256【答案】B【解析】分析】直接利用等差数列公式和性质得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了等差数列前项和，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用.3.命题“已知直线：和：，若，则”，该命题的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】判断原命题为假命题得到逆否命题为假，逆命题为真得到否命题为真，得到答案.【详解】取，，满足，两直线重合，故原命题为假，故逆否命题为假；若，则，故逆命题为真，故否命题为真.故选：.【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.4.已知命题和，若为真，为假，则下列一定为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假设为真，则为假，则为假，与题设矛盾，得到答案.【详解】假设为真，则为假，根据为假，则为假，故为假，与题设矛盾，故为假，为真.故选：.【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.5.已知函数，则以下说法正确的是( )A. 的周期是B. 的值域是C. 是奇函数D. 的递减区间是，【答案】D【解析】【分析】化简得到，再计算函数的周期，值域，奇偶性和单调区间得到答案.【详解】，故函数周期为，值域为，是非奇非偶函数，的递减区间即的单调增区间，为，.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，值域，奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.6.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.7.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出可行域，变换得到，根据的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，，表示到的斜率.当最小时，最大，根据图像知：当时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，变换利用几何意义求解是解题的关键.8.已知点为内一点，且满足，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】如图所示，为中点，为的三等分点，故，，得到答案.【详解】如图所示：为中点，为的三等分点，，故..故选：.【点睛】本题考查了向量运算的几何意义，画出图像是解题的关键.9.已知平面四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在内变化，那么直线与所成角的余弦值的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示，分别为中点，确定为二面角的平面角，为直线与所成角或，计算得到答案.【详解】如图所示：分别为中点，故，，故为二面角的平面角.，，故为直线与所成角或.，，，.，故，.故.，故.故.故选：.【点睛】本题考查了二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10.如图，在棱长为1的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正弦值是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，以分别为轴建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.则，，故，设平面的法向量为，则，取，得到.故.故选：.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11.过双曲线：的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若的右焦点到点，距离相等且长度为2，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】，故，不妨设渐近线方程为，则，根据勾股定理计算得到答案.【详解】，故，不妨设渐近线方程为，则.故，解得，故双曲线方程为.故选：.【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知是椭圆：右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示，为椭圆的左焦点，连接，根据相似得到，利用勾股定理得到，得到答案.【详解】如图所示：为椭圆的左焦点，连接，，，故.，则，故，，，故，化简得到，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题：（每题5分，共20分）13.已知，，若，则______.【答案】【解析】【分析】计算得到，根据计算得到答案.【详解】，，则，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.14.已知：条件：和：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据是的必要不充分条件，得到，计算得到答案.详解】，即；，即.是的必要不充分条件，故，得到，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的推断能力.15.在平面直角坐标系中，双曲线的上支和焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】设，联立方程得到，解得答案.【详解】设，，则，即.，则，故，即.故渐近线方程为：.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的综合应用问题，意在考查学生的综合应用能力.16.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下命题正确的是______（写序号）.（1）若，，，则；（2）若，，，则；（3）若，不平行，则，不可能垂直同一平面；（4）若，，，则.【答案】（3）（4）【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】（1）若，，，则或相交或异面，故（1）错误；（2）若，，，则或相交或异面，故（2）错误；（3）可以看逆否命题，若，垂直同一平面，则是真命题，故（3）正确；（4）若，，则，又，则，故（4）正确；故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了线面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.三、解答题：（17题10分，其它每题12分）17.写出命题“若，则方程有实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.【答案】见解析【解析】【分析】依次写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，再判断真假得到答案.【详解】逆命题：若有实数根，则.应为或，故为假命题；否命题：若，则方程没有实数根.取，方程有解为，故为假命题；逆否命题：若方程没有实数根，则.真命题；【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.18.给定两个命题，：存在实数，使得成立；：函数在上单调递减.（1）若命题为假命题，求的取值范围；（2）如果为假，为真，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）题目等价于对任意实数，恒成立，解得答案.（2）讨论真假，假真两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）：对任意实数，恒成立，所以，故.（2）真：，故或，真：；当真假时，；当假真时，；综上所述：或.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力.19.如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得到，得到答案.（2）以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系，平面的法向量，得到答案.【详解】（1）取中点，连接，.因为且，且，所以且，则四边形为平行四边形，所以，又平面所以平面.（2）以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系，，，故，，，设平面的法向量，则，取得到平面的法向量，则到平面的距离.【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知曲线上任意一点到定点的距离比到轴的距离大1，为坐标原点，，是曲线上异于的两点.（1）求出曲线的方程；（2）若直线，的斜率之积等于，判断直线是否过定点，如果过定点，请求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义得到答案.（2）设，，设直线：，得到，，解得答案.【详解】（1）由题意可知，曲线为以为焦点的抛物线，求得：.（2）设，，设直线：，则，则，，故.由联立得：，故.所以，即过定点.【点睛】本题考查了抛物线方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.21.在三棱柱中，侧面平面，为中点，，，.（1）在上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由；（2）在线段上有一点，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）存在，；（2）.【解析】分析】（1）根据与相似得到，证明得到为的中点，得到答案.（2）以，，为，，轴构建空间直角坐标系，计算平面的法向量为，得到答案.【详解】（1）令，则，∵，∴与相似，故，若，则面，故.又因为侧面平面，，所以平面，所以为的中点，即.（2）因为侧面平面，平面，以，，为，，轴构建空间直角坐标系，令，则，，.故，设平面的法向量为，∵且，又因为面法向量，所以.【点睛】本题考查了根据垂直关系求线段关系，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知圆的圆心为，圆内一条过点的动弦（与轴不重合），过点作的平行线交于点.（1）求出点的轨迹方程；（2）若过点的直线交的轨迹方程于不同两点，，为坐标原点，且，点为椭圆上一点，求点到直线的距离的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算得到，得到轨迹为椭圆，计算得到答案.（2）设直线：，联立方程根据得到，设与直线平行的直线：，解得答案.【详解】（1）由题意可知：，∵，所以轨迹以，为焦点的椭圆，除去与轴的两个交点，，所以点的轨迹方程为.（2）设直线：联立，得：，所以，（1）因为（2）由（1）（2）求得，由于椭圆对称性，不妨取，则直线：，数形结合可知，直线平行的直线与椭圆相切，切点之一为所求点，所以设与直线平行的直线：联立，，由，所以此时到直线的距离.【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆相关的距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_6

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_6

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“，”为全称命题故其否定为：，故选：【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．2.下列命题中正确的是（）A. 若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B. 垂直于同一平面的两个平面平行C. 存在两条异面直线同时平行于同一平面D. 三点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，如果一个平面内有无数条直线有另一个平面平行，则这两个平面也可能相交，故A错误；对于B，垂直于同一平面的两平面平行或相交，故B错误；对于C，当两条直线同时平行于同一平面时，这两条直线可以平行、异面、相交，故存在两条异面直线平行于同一个平面，故C正确；对于D，不共线的三点才能确定一个平面，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查逻辑思维能力和推理判断能力，属于基础题．3.“且”是“表示圆的方程”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．【详解】由方程表示圆时，满足且，所以“且”是“表示圆的方程”的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题．4.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，，的关系式，代入各选项的数据可得结果．【详解】解：设平面内一点，则：，是平面的法向量，，，由得把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．故选：．【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．5.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍【答案】A【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上，求得点的坐标，进而计算，，即可求得结果.【详解】∵椭圆左焦点是，右焦点是，∴为，为，设的坐标为，线段的中点为，因为段的中点在轴上，所以，∴，∴，任取一个为，∴，，∴，即是的7倍.故选：A.【点睛】本题重点考查椭圆的几何性质，考查距离公式的运用，椭圆定义的应用，属于中档题.6.如图，球内切于圆柱，记圆柱的侧面积为，球的表面积为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，高为，由此求出球的表面积与圆柱的侧面积得答案.【详解】设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积，圆柱的侧面积，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了圆柱及其内切球的表面积的运算，属于基础题.7.已知是双曲线：的左焦点，、为右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，且点在线段上，则的周长为（）A. 22B. 28C. 38D. 44【答案】D【解析】【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义到两定点的距离之差为定值解决．求出周长即可.【详解】∵双曲线的左焦点，∴点是双曲线的右焦点，则，即虚轴长为，双曲线图象如图：∵①，②，而，∴①+②得：，∴周长为，故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键，考查学生的转化能能力.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 6B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，把原几何体分割为一个长方体与一个三棱柱求，根据柱体的体积公式即可得结论.【详解】由三视图可得，该几何体分为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个长方体，根据柱体体积公式可得该几何体的体积为：，故选：A.【点睛】本题考查几何体的三视图的有关知识，考查计算能力，能够准确判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.9.若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（）A. B. C. 或 D. 2或【答案】B【解析】【分析】点在双曲线上，则有，即，根据点到直线的距离公式能够求出的值，由此能够得到的值.【详解】点在双曲线上，则有，即．，∴，又点在右支上，则有，∴，∴，，故选：B．【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题.10.在中，，是的中点，平面，如果、与平面成的角分别是30°和60°，那么与平面所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】【分析】设，由已知求出，，，，从而得到，由此能求出与平面所成角的大小.【详解】设，∵在中，，是的中点，平面，、与平面成的角分别是和，∴，，是与平面所成角，∴，，，，∴，∴，∴，∴与平面所成角的大小为，故选：B.【点睛】本题主要考查线面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.11.如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得.【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形中，∵，，∴，∴，从而得，∵，∴，求得，故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中档题.12.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先以，，三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，，，，从而可求出向量的坐标，由得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出的最大值．【详解】解：根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：，，；在线段上，设，；；；设，；函数是一次函数，且为减函数，；在恒成立，；在上单调递减；时，取到最大值．故选：．【点睛】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上題目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.抛物线x2=﹣8y的准线方程为．【答案】y=2【解析】试题分析：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为y=2．14.的两个顶点为，顶点C在曲线上运动，则的重心G的轨迹方程为______________.【答案】【解析】【分析】可设重心坐标为，顶点的坐标为，，根据已知条件将、用，表示，再代入曲线的方程，求轨迹方程．【详解】解：设点坐标为，，重心坐标为，依题意有，，解得，，因点，在上移动，，所以，整理得为所求重心轨迹方程．故答案为：【点睛】本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的灵活运用．15.如图，在正三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则直线与平面所成的角为______________.【答案】30°【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面所的一个法向量的夹角，求出则与平面所成的角．【详解】解：以为坐标原点，以与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，1，，，0，，，2，，，，，，2，，，0，．设平面所的一个法向量为，，则即，取，则得，0，，，，与平面所成的角的正弦值为，与平面所成的角为故答案为：（）．【点睛】本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．16.如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，P是双曲线右支上的一点，直线与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该双曲线的离心率为______________.【答案】2【解析】【分析】由，的内切圆在边上的切点为，根据切线长定理，可得，结合，即可得出结论．【详解】解：由题意，，的内切圆在边上的切点为，根据切线长定理可得，，，，，，，即，双曲线的离心率是．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.如图，正方体中，对角线和平面交于点，、交于点，求证：、、三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证、、三点共线，只须证它们都在平面与平面的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明、、三点是平面与平面的公共点即可.【详解】连接，∵，∴，，则面，面，又∵面，∴，则面，面，即、、均在面内，又在面内则、、必定在面与面的公共交线上，即、、三点共线.【点睛】本题主要考查三点共线的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题.18.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程.【答案】或.【解析】【详解】试题分析：本题考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线相交的弦长问题，考查基本的计算能力.先设出抛物线方程，由抛物线与直线相交列出方程组，消参得关于x的方程，得到两根之和、两根之积，将弦长进行转化，把两根之和、两根之积代入，解方程求出参数P，从而得抛物线方程.试题解析：设抛物线的方程为，则得，则或6，或.考点：1.抛物线的标准方程；2.弦长公式；3.两根之和、两根之积.19.已知点，圆（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或【解析】【分析】（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.【详解】（1）过点只能作一条圆的切线在圆上，解得：当时，，则切线方程为：，即当时，，则切线方程为：，即（2）设直线方程为：直线方程：圆圆心到直线距离，解得：或【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：1.过圆上一点的切线方程为：；2.直线被圆截得的弦长等于.20.如图，已知四棱锥，底面是菱形，平面，，是边的中点，是边上的中点，连接、.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过底面是菱形，，可以得到，由平面可得，由线面垂直判定可得平面，进而可得结果；（2）如图，取的中点为，连接，，通过，来证明平面平面，进而可得结论.【详解】（1）证明：∵是菱形，，∴为等边三角形，∴，∴.又∵平面，平面，∴，由，∴平面，而平面，∴.（2）如图，取的中点为，连接，，则分别，的中位线，∴，则，，由线面平行判定定理可得：，又∵，则平面平面，而平面，故平面.【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得到线线垂直，通过构造面面平行来得到线面平行，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）点不存在.【解析】分析：（1）根据椭圆的几何性质知，即，再由离心率得，从而可得，得椭圆方程；（2）假设点P存在，并设，写出PA的方程，求出M 点坐标，同理得N点坐标，求出MN的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点D得一关于的等式，把P点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得，注意的范围，即可知存在不存在．详解：（1）由已知，得知，又因为离心率为，所以.因为，所以,所以椭圆的标准方程为.（2）假设存在.设由已知可得，所以的直线方程为，的直线方程为，令，分别可得，，所以，线段的中点，若以为直径的圆经过点D（2,0），则,因为点在椭圆上，所以，代入化简得，所以，而，矛盾，所以这样的点不存在.点睛：解析几何中存在性命题常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则不存在．22.如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说明理由．【答案】（1）详见解析（2）（3）不存在【解析】【分析】（1）根据平行四边形求得，再利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，证明得出平面与平面不可能垂直，得出不存在点G.【详解】解：（1）因为，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以平面．（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面平面，，，所以，所以如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．所以，．设平面的法向量为则即令，则，，所以平面的一个法向量为则．所以二面角的余弦值．（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：解法一：设平面的法向量为，则即令，则，，所以．因为，所以平面与平面不可能垂直，从而线段上不存点，使得平面．解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：假设线段上存点，使得平面，设，其中．设，则有，所以，，，从而，所以．因为平面，所以．所以有，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段上不存在点，使得平面．【点睛】本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“，”为全称命题故其否定为：，故选：【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．2.下列命题中正确的是（）A. 若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B. 垂直于同一平面的两个平面平行C. 存在两条异面直线同时平行于同一平面D. 三点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，如果一个平面内有无数条直线有另一个平面平行，则这两个平面也可能相交，故A错误；对于B，垂直于同一平面的两平面平行或相交，故B错误；对于C，当两条直线同时平行于同一平面时，这两条直线可以平行、异面、相交，故存在两条异面直线平行于同一个平面，故C正确；对于D，不共线的三点才能确定一个平面，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查逻辑思维能力和推理判断能力，属于基础题．3.“且”是“表示圆的方程”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．【详解】由方程表示圆时，满足且，所以“且”是“表示圆的方程”的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题．4.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，，的关系式，代入各选项的数据可得结果．【详解】解：设平面内一点，则：，是平面的法向量，，，由得把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．故选：．【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．5.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍【答案】A【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上，求得点的坐标，进而计算，，即可求得结果.【详解】∵椭圆左焦点是，右焦点是，∴为，为，设的坐标为，线段的中点为，因为段的中点在轴上，所以，∴，∴，任取一个为，∴，，∴，即是的7倍.故选：A.【点睛】本题重点考查椭圆的几何性质，考查距离公式的运用，椭圆定义的应用，属于中档题.6.如图，球内切于圆柱，记圆柱的侧面积为，球的表面积为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，高为，由此求出球的表面积与圆柱的侧面积得答案.【详解】设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积，圆柱的侧面积，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了圆柱及其内切球的表面积的运算，属于基础题.7.已知是双曲线：的左焦点，、为右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，且点在线段上，则的周长为（）A. 22B. 28C. 38D. 44【答案】D【解析】【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义到两定点的距离之差为定值解决．求出周长即可.【详解】∵双曲线的左焦点，∴点是双曲线的右焦点，则，即虚轴长为，双曲线图象如图：∵①，②，而，∴①+②得：，∴周长为，故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键，考查学生的转化能能力.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 6B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，把原几何体分割为一个长方体与一个三棱柱求，根据柱体的体积公式即可得结论.【详解】由三视图可得，该几何体分为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个长方体，根据柱体体积公式可得该几何体的体积为：，故选：A.【点睛】本题考查几何体的三视图的有关知识，考查计算能力，能够准确判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.9.若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（）A. B. C. 或 D. 2或【答案】B【解析】【分析】点在双曲线上，则有，即，根据点到直线的距离公式能够求出的值，由此能够得到的值.【详解】点在双曲线上，则有，即．，∴，又点在右支上，则有，∴，∴，，故选：B．【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题.10.在中，，是的中点，平面，如果、与平面成的角分别是30°和60°，那么与平面所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】【分析】设，由已知求出，，，，从而得到，由此能求出与平面所成角的大小.【详解】设，∵在中，，是的中点，平面，、与平面成的角分别是和，∴，，是与平面所成角，∴，，，，∴，∴，∴，∴与平面所成角的大小为，故选：B.【点睛】本题主要考查线面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.11.如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得.【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形中，∵，，∴，∴，从而得，∵，∴，求得，故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中档题.12.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先以，，三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，，，，从而可求出向量的坐标，由得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出的最大值．【详解】解：根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：，，；在线段上，设，；；；设，；函数是一次函数，且为减函数，；在恒成立，；在上单调递减；时，取到最大值．故选：．【点睛】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上題目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.抛物线x2=﹣8y的准线方程为．【答案】y=2【解析】。

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试题解析：(1)设，由轴，知，，∴，
又由得，∴，∴，
又，，
∴，，∴椭圆方程为.
(2)设，，直线的方程为：，
联立，得，，
设线段的垂直平分线方程为：.
令，得，
由题意知，为线段的垂直平分线与轴的交点，所以，且，所以.
点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题；利用待定系数法求椭圆的方程，根据题意列出两个关于的方程组结合即可，直线与椭圆相交时正确运用一元二次方程的根与系数的关系是解题最常用的方法.
13. 双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为__________．
【答案】
【解析】由题一个焦点（3，0）到一条渐近线 的距离 .
14. 若抛物线与抛物线异于原点的交点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的方程为__________．
【答案】
【解析】根据题意画出图像，由抛物线的定义，曲线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，设A， 代入曲线，得到。故方程为
试题解析：命题为真时：解得，
命题为真时：，解得，
当真假时：故有，
当假真时：故有，
实数的取值范围为：或.
18. 的三个内角所对的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求的大小.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由及正弦定理，得，
又中，，可得.
（2）由结合（1）中的，及可得，所以，，由余弦定理可求得.
【答案】
【解析】因为等比数列的前项和为 ，所以
因为，所以
令
所以当时， 取最大值 ，
点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法
先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解..
16. 如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________．
【答案】
【解析】过点作于，连接，如图所示
（2）设出过点M的切线方程，由切线与曲线只有一个交点，确定点M的坐标；再利用AM⊥BM可得kAM·kBM=-1，将相应的值代入，再结合根与系数的关系进行计算，求出b即可得到答案.
试题解析：（1）设方程为，则由，得，
时，设，，则，
又，∴，即直线的斜率为.
（2）∵，∴可设方程为，∴，得，
∵是切线，∴，∴，∴，
则为直线与平面所成的角
∵直线与平面所成的角为
∴Hale Waihona Puke ∴∴∵≌∴
∴，故答案为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 命题：“方程有两个正根”，命题：“方程无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】试题分析：先根据二次方程实根分布得命题为真时实数的取值范围，再根据判别式小于零得命题为真时实数的取值范围，最后根据两个命题有且只有一个成立，分两种情况讨论，分别求解，再求并集
20. 已知是抛物线上两点，且与两点横坐标之和为3.
（1）求直线的斜率；
（2）若直线，直线与抛物线相切于点，且，求方程.
【答案】(1) 直线的斜率为 (2)
【解析】试题分析：（1）根据已知条件，设直线AB的解析式为y=kx+t，联立直线和抛物线的解析式，利用A与B的横坐标之和为3，结合一元二次方程的根与系数的关系求出k的值；
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度最新高二数学上学期期末考试试题 理（普通班，含解析）
______年______月______日
____________________部门
高二数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【答案】B
【解析】且.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
4. 已知变量满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -3 D. -4
【答案】D
【解析】根据题意画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数，
当目标函数过点 时有最小值，代入得到-4.
故答案为：D。
5. 在长方体中，，，，是中点，则（ ）
由上知时，函数单调递减，
故，
故有：，可得.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
试题解析：（1）当时，，
，
令，有，
当时，，
当时，
得，解得：，
故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，，可得，
函数在区间上单调递减，
，
，
故函数在区间上的值域为.
（2）由，有，
故可化为，
整理为：，
即函数在区间为增函数，
，
，故当时，，
即，
①当时，；
②当时，整理为：，
令，有 ，
当，，，有，
当时，由，有 ，可得，
因为 ，所以与平面所成的角的正弦值为，选A
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
1. 命题：“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为 的否定是
所以命题：“”的否定是,选C
2. 已知空间向量，，则等于（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】 ,选A
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：
由直三棱柱中，知两两互相垂直，
以为轴建立空间直角坐标系，
∵，，∴，，，，，，
中点.
(1)，，，
设平面的一个法向量，则，，，
取，则，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
(2)，设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，
结合图形知，二面角的余弦值为.
点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，二是建系求两个面的法向量。
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ,选C
6. 函数的导数为，则（ ）
A. B. C. -1 D. 0
【答案】A
【解析】由题 ，
.故选A.
7. 在等差数列中，已知，则该数列的前12项和等于（ ）
A. 36 B. 54 C. 63 D. 73
【答案】B
【解析】 ,选B
8. 设椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切，则该椭圆的离心率为（ ）
22. 已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的值域.
（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导数，得从而确定，再根据单调性得值域（2）先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，即得实数的取值范围.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c,
所以 ，即 ，解得.故选C.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
11. 函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 在上恒成立,所以
令
所以当时, ,即,选C
12. 已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
..................
设平面一个法向量为 ，则由
9. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,选B
10. 已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故选C.
故答案为：。
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。
15. 已知等比数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是__________．
∴，，∴，
∵，∴，
又，，，，
又，，∴，，∴或，
又，∴方程为.
21. 如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，与轴垂直，且.
（1）求椭圆方程；
（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.
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