高考复习-3.5 指数与指数函数

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第5节指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c 425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a 0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．01时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

2022版高考数学一轮复习第3章函数第5讲指数与指数函数课件

(2)指数函数的图象与性质：
a＞1
0＜a＜1
图象
第七页，编辑于星期六：四点六分。
定义域值域
性质
a＞1
0＜a＜1
①___R_____ ②_(_0_，__＋__∞_)
③过定点___(0_,_1_) __，即x＝0时，y＝1
④当x＞0时，__y_＞__1__；
⑤当x＜0时，___y＞__1__；
当x＜0时，_0_＜__y_＜_1_
×－25
×23
－32313
－1＝52－32－1＝0.
(2)原式＝
1
a3
1
a3
1
a3
3－2b31
3
2＋a31
1
·2b3
＋2b13
1
a3 ÷
2
1
－2b3 a
2 1
·a·a3
1
1
2
1
a2
·a3
5
5
1
＝a3
1
a3
1
－2b3
·1 a3
a
1
－2b3
·a61
1
＝a3
a6
2
·a·a3
＝a2.
第二十二页，编辑于星期六：四点六分。
当x＞0时，_0_＜__y＜__1_
⑥在(－∞，＋∞)内是 __增_____函数
⑦在(－∞，＋∞)内是 ___减____函数
第八页，编辑于星期六：四点六分。
【特别提醒】 1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.

高考数学——指数与指数函数考点复习

∴t≥1，
9
∴0＜y≤( 1 )1， 2
故所求函数的值域为 (0, 1 ]． 2
6．若关于 x 的不等式 2x+1 − 2−x − a > 0 的解集包含区间 (0,1) ，则 a 的取值范围为
A．
−∞,
7 2
C．
−∞,
7 2
B． (−∞,1] D． (−∞,1)
考点冲关
−1
1．计算： 2x 3
【答案】C 【解析】当 x=1 时，y=a1－a=0，所以 y=ax－a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选 C.
2．函数
（且）与函数
A．
在同一个坐标系内的图象可能是 B．
6
C．
D．
考向三指数函数单调性的应用
1．比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，
要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
形如 y = a f (x) 的函数的定义域就是 f (x) 的定义域．求形如 y = a f (x) 的函数的值域，应先求出 f (x) 的值域，再由单调性求出 y = a f (x) 的值域．若 a 的范

指数与指数函数高考知识点

指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。

本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。

一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。

指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。

二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。

在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。

三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。

在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。

指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。

专题3.5 指数与指数函数(精讲)(解析版)

专题3.5 指数与指数函数【考纲要求】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n 次方根2.根式(1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：①(n a )n ＝a .②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质【考点梳理】考点一根式、指数幂的化简与求值【典例1】（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（）A．347a a a⋅=B．()326a a-=C a=Dπ=-【答案】AD【解析】34347a a a a+==，故A正确；当1a=时，显然不成立，故B不正确；a=，故Cπ=-，D正确，故选AD.【典例2】计算：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．【答案】12.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12．【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.256 【答案】110 【解析】原式＝113133234422 2223210811033⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－.2.计算：1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________. 【答案】2 【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）n 0＝0(n ＞1，且n ∈N *)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式n a m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n 进行约分，否则，有时会改变a 的取值范围而导致出错，如8a 2，a ∈R ，化成分数指数幂应为a 28 ，a ∈R ，而a 14 ＝4a ，则有a ≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x +x −1=3 ，则x 32+x −32的值为__________．【答案】2√5【解析】题意(x 12+x −12)2=x +2+x −1=5，∴x 12+x −12=√5，∴x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)=√5(3−1)=2√5，故答案为2√5．【典例4】已知11223a a -+=，求下列各式的值. （1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.【解析】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2211471 6.171a a a a --+++==+++ 【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x 12+x −12)2=x +2+x −1，(x +x −1)2=x 2+2+x −2，x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形．【变式探究】设11223x x -+=，求1x x -+ 的值．【答案】7【解析】11223x x -+=,21112222327x x x x --⎛⎫∴+=+-=-= ⎪⎝⎭.考点三：指数函数的概念【典例5】若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有 ( )A ．a ＝1或2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 【答案】C【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0a ≠1，解得a ＝2，故选C.【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．【变式探究】若函数y ＝(m －2)a x ＋3－2n (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝，b ＝ .【答案】3，32. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝13－2n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝32.考点四：指数函数的图象【典例6】（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（）A ．1a b <>D ．1b a >>【答案】C【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>.故选:C.【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（） A ．(1,1) B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．1(,1)2【答案】D【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2．【典例8】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a<<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a >，所以排除C ，故选D. 【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2) x y a ＝与x y a -＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数x y a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，x y a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，x y a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)y ＝a x ；(2)y ＝b x ；(3)y ＝c x ；(4)y ＝d x .则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是 ( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c【答案】B【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c ，d 的大小，由(1)(2)比较a ，b 的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x 轴，故选B.【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】 (2017北京文理)已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （）（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【解析】【典例9】（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【典例10】（2015·山东高考真题（文））设a =0.60.6，b =0.61.5，c =1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】由y =0.6x 在区间(0,+∞)是单调减函数可知，0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，故选C .【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a 值；（2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；【答案】（1）12a =（2）0,4]（【解析】（1）函数()2x f x a -=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴= （2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭ 1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ 又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2018年新课标I 卷文）设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（） A. (−∞ ， −1] B. (0 ， +∞) C. (−1 ， 0) D. (−∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有{2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(−∞ ， 0)，故选D.2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是 A ．[18,2) B ．[18,2] C ．(−∞,18] D ．[2,+∞) 【答案】B【解析】将2x 2+1≤(14)x−2化为x 2+1≤−2(x −2)，即x 2+2x −3≤0，解得x ∈[−3,1]，所以2−3≤2x ≤21，所以函数y =2x 的值域是[18,2].故选C.3.(2019年高考北京理)设函数（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a 的取值范围.若函数为奇函数，则即，()e e x xf x a -=+(]1,0--∞a a ()0f x '≥()e e x x f x a -=+()(),f x f x -=-()e e e e x x x x a a --+=-+即对任意的恒成立，则，得.若函数是R 上的增函数，则在R 上恒成立，即在R 上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.4．（2015·山东省高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. ()()1e e 0x x a -++=x 10a +=1a =-()e e x xf x a -=+() e e 0x x f x a -'=-≥2e x a ≤2e 0x >0a ≤a (],0-∞。

2025年高考数学一轮复习-第三章-第四节-指数与指数函数【课件】

② = =______

没有意义
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂__________.
r+s
r
s
a
(3)有理数指数幂的运算性质:a ·a =____,(ar)s=
rb r
r
a
(ab) =_____(其中a>0,b>0,r∈Q).
rs(其中a>0,r,s∈Q)
a
__________________,
2
2
得到f(x)=
1 |x+1|
( ) 的图象.
2
(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成
立的是(
)
A.a=b=0
B.a<b<0
C.0<a<bΒιβλιοθήκη D.0<b<a
【解析】选ABD.如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,故选ABD.
考向
高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指
考法
数幂的大小比较为主,常以选择题或填空题的形式出现.
预计2025年高考中利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的
预测
识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点,题型为选择题
或填空题.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.指数与指数运算
4
1
-3
x
1
x
所以2 ≤2 ≤2 ,所以函数y=2 的值域是[ ,2].
8
4 , ≥ 0,
(2)已知实数a≠1,函数f(x)=ቊ −

高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数

高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数一样地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数，下面是高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数，期望对考生有关心。

指数函数的一样形式为，从上面我们关于幂函数的讨论就能够明白，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小阻碍函数图形的情形。

能够看到：(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，那个地点的前提是a大于0，关于a不大于0的情形，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形差不多上下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5) 能够看到一个明显的规律，确实是当a从0趋向于无穷大的过程中(因此不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

(7) 函数总是通过(0，1)这点。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

2023年新高考数学一轮复习3-5 指数与指数函数(真题测试)含详解

专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断；【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误；对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立；对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立；故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ；故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值【答案】BD 【解析】【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[1,2]【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围．【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意；若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ，综上可得a 的范围是[]1,2．故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，）【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，），所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<，所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析【解析】【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数，所以31k +=，30b -=，所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-，可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-，可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-；当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数，所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去．综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。

高三一轮复习：3.指数与指数函数

授课主题：指数与指数函数教学目标1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.教学内容1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn ＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论与微点提醒]1.在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.2.指数函数的单调性仅与底数a的取值有关.3.画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a.考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫235＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷⎝⎛⎭⎫4a23·b－312.解(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5.解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝⎛⎭⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1， ∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B ，C ，D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]. 答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )(2)(2018·长沙一中质检)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)由题意，得点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x 的图象不过点A (1，1). (2)将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解.在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点. ∴b 的取值范围是(0，2).C.a <c <bD.c 0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0，所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)，故b ＞a ＞c . (2)原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，知⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2.故原不等式恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案 (1)B (2)(－1，2)一、选择题1.(2017·兰州模拟)若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a 1时，0<a ＝⎝⎛⎭⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a 0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A.a 12 B.a 56C.a 76 D.a 32解析原式＝a 2a ⎝⎛⎭⎫1＋23×12＝a 2a 56＝a 76.答案 C3.(2018·南阳、信阳等六市一模)设x >0，且10时，11. ∵x >0时，b x<a x，∴x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1.∴ab >1，∴a >b ，∴11，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0 解析由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 D5.(2018·宝鸡调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________. 解析 ∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}7.(2018·鸡西模拟)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________. 解析若a >1，则f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，1＋b ＝0，则a －1＝0，无解. 当0<a <1时，则f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上是减函数，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，因为t ∈[1，2]，所以－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( )(4)函数y ＝ax2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴ax 2＋1≥a .11。

高考数学专题：指数与指数函数

高考数学专题:指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质R1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4.（·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)考点一指数幂的运算【例1】化简:(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知:如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)（·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1. 则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)（·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a 0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0，所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)，故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.（·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a 1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.（·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a 25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.（·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.（·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.（·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.（·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 D12.（·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确.答案 A13.（·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案－2x (x <0)14.（·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

3-5 指数与指数函数

与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A
数学（理）
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课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A
数学（理）
考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型.
－
－
将 a＋a－1＝7 两边平方有 a2＋a－2＋2＝49， a2＋a－2＝47，得 a2＋a－2＋1 47＋1 ∴ ＝＝6. －1 a＋a ＋1 7＋1
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数学（理）
根式运算一般化为分数指数幂后再按分数指数幂运算法则进行运算，其结果一般与原题目给出形式相符，且要求化到最简．
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数学（理）
2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
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＋ y＝3x(x<0)向左平移y＝3x 1(x<－1)． ――→ 1个单位
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如图所示：
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2023年高考数学一轮复习：指数与指数函数

第四节　
指数与指数函数
2023年高考数学总复习
内容索引
必备知识·自主学习
核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
2.指数函数的图象与性质
【易错点索引】
序号易错警示典题索引
1注意有理指数幂性质的条件考点一、T1
2忽略底数的取值范围考点二、T1
3忽略指数函数的值域考点二、T3
4忽略恒成立与存在使之成立的差异考点三、角度3
3.(必修1P59习题A组T6改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )
A.y=a(1+p%)x(0<x<m)
B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)
C.y=a(1+xp%)(0<x<m)
D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)。

高三总复习数学课件指数与指数函数

在 R 上为增函数
在 R 上为减函数
(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，－1，1a，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
[典例] (2022·临沂期末)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝2b，则下列不等
式可能成立的是
()
A．0<a1时，根据图象得0<a<b，故A选项正确；当3a＝2b<1时，根据图
象得b<a<0，故D选项正确．故选A、D.
2．有理数指数幂
m
正分数指数幂：a n
＝
Hale Waihona Puke nam(a＞0，m，n∈N
*，且
n＞1)
幂的有关概念
1
1
负分数指数幂：a
m n
＝
a
m n
＝
n am
(a＞0，m，n∈N *，且 n＞1)
0 的正分数指数幂等于_0__，0 的负分数指数幂_没__有__意__义___
有理数指数幂的性质
aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q ) (ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q ) (ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q )
基础点(二) 指数型函数图象的识辨 [题点全训]

新高考数学复习考点知识与题型专项训练10---指数与指数函数解析版

新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题3.5 指数与指数函数一、选择题1．（2020·上海高一课时练习）若指数函数x y a =是减函数，则下列不等式中一定成立的是( )A ．1a >B ．0.2a <C ．(1)0a a -<D ．(1)0a a ->【答案】C 【解析】由于指数函数x y a =是减函数，所以01a <<，所以10a -<，()10a a -<，所以ABD 选项错误，C 选项正确. 故选：C2．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数xy a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（）A ．1a b <>D ．1b a >>【答案】C 【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>. 故选:C.3.（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（） A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．132y y y >>D ．123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>. 故选：B4．（2020·上海高一课时练习）若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【答案】D 【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2x y m =+过点()0,1m +, 若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：D5．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【解析】函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．二、多选题6．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（） A ．347a a a ⋅= B ．()326aa -=Ca =Dπ=-【答案】AD 【解析】34347a a a a +==，故A 正确；当1a =时，显然不成立，故B 不正确；a =，故Cπ=-，D 正确，故选AD.7．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系满足t y a =，则下列说法正确的是（）A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t += 【答案】ACD 【解析】由图可知，函数t y a =图象经过()1,2，即12a =，则2a =，∴2t y =；∴1222t t t +-=不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100 %，A 对、B 错；当6t =时，626460y ==>，C 对；若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则122t =，22 3 t =，326t =，则122223t t ⋅=⨯，即1226t t +=，则123t t t +=，D 对；故选：ACD ．8．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()a a b a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12x f x -=⊕，则下列命题正确的有（）A ．()f x 的值域为 [)1,+∞B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC 【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x x x f x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞，若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <. 故选：AC. 三、填空题9．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题练习）函数2233x y -=的单调递减区间是_________.【答案】()0,∞+ 【解析】令223u x =-，则3u y =，u 在(),0x ∈-∞上递增，在()0,x ∈+∞上递减，而3u y =是增函数，∴原函数的递减区间为()0,∞+，故答案为()0,∞+.【方法点睛】判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.10．（2020·上海高一课时练习）已知函数22()2,[0,3]xxf x x -+=∈，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.【答案】2 18【解析】函数()()22211g x x x x =-+=--+在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且()()0=033g g =-，，()11g =()[3,1]g x ∴∈-，函数2x y =单调递增，()1228g x ∴≤≤，即函数()f x 的最大值为2，最小值为18.故答案为：2；181．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题练习）函数()12x f x -的定义域是（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞【答案】A 【解析】120x -≥，解得0x ≤， ∴函数的定义域(],0-∞，故选A.2．（2020·湖北省高三其他（文））已知()12|12|x x f x =+--，则()f x 的值域是（）A ．(],2-∞B ．(]0,2C ．(]03,D ．[]1,2【答案】B 【解析】当120x -≥，即0x ≤时，()()112122x x x f x +=+--=，则()02f x <≤，当120x -<，即0x >时，()()12122x xf x =++-=，∴()f x 的值域是(]0,2，故选：B ．3．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知01a b <<<，则下列结论正确的是（）A ．a b b b ，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.4．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题练习）函数f (x )=x a －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0 <a <1，b >0D ．0 <a <1，b <0【答案】C 【解析】从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f (0)=1－b 1<，所以b >0，故选：C.5．（2020·福建省高三其他（文））已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则（） A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A 【解析】1.1 1.1 1.110.5()22b --===，0.420.40.84(2)2c ===.因为2x y =在R 上为增函数，所以0.8 1.1 1.2222<<. 即c b a <<.6．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（A ．x ＜z ＜yB ．y ＜x ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x【答案】A【解析】因为01a b <<<，故()x f x b =单调递减；故a b y b z b =>=，幂函数()b g x x =单调递增；故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<；故选：A7．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题练习）已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是x 轴，即0y =；x y a b =+（1b <-）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点(0,1)向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A ，如下图所示：8．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题练习）若函数1()21x f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【答案】A【解析】设21x t =+，则当(),x ∈-∞+∞时为增函数，且1t >；于是()11121x y t t ==>+为减函数，其图象如图所示：则故121x y =+为减函数且1y <；图象在y 轴上方，0y >，所以原函数既无最小值，也无最大值.故正确答案为A.9．（安徽省江淮十校2019届5月）已知函数22,0()21,0x x f x x x x ⎧>=⎨--+≤⎩，若(())4f f a =，则a =________．【答案】1或1-【解析】令()m f a = ，则()4f m =,当0m >时，由24m =,解得2m =；当0m ≤时，由2213m m --+=,无解.故()2f a =，当0a >时，由22a =，解得1a =;当0a ≤时，由2212a a --=+,解得1a =-.综上：1a =或1a =-.故答案为1或1-10．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题练习）设函数，则满足31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩的()(())2f a f f a =的a 取值范围是__________. 【答案】2[,)3+∞ 【解析】令()f a t =，则()2t f t =当1t <时，312t t -=令1231,2t y t y =-=，1t <其图象如下图所示∴1t <时，312t t -=无解当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，得当1a <时，有311a -，解得213a < 当1a 时，有21a ，解得1a综上，a 取值范围是2[,)3+∞故答案为2[,)3+∞1.(2017课标1，理1)已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则（）A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.2．（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.3．（2015·山东高考真题（文））设则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.4.(2017北京文理)已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （）（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【解析】5.（2016年浙江文）已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R . A ．若()f a b ≤，则a b ≤B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】可设2(0)()2(0)x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x x ，则f （x ）满足题意. 易知(1)2|5|=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f =≥，但2＜3,排除C. (2)4|2|=22<1,f -=≥，但- 排除D.故选B.6. （2017·山东高考真题（文））已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.。

2023年新高考数学一轮复习3-5 指数与指数函数(知识点讲解)解析版

专题3.5 指数与指数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．【知识点展示】1．根式(1)根式的概念若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示x n＝a⇒n n1)n n1)x⎧>⎪=⎨>⎪⎩当为奇数且当为偶数且【特别说明】：(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．n为偶数，a为非负实数n为奇数，a为任意实数，且na符号与a的符号一致2．有理数指数幂3函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.【特别提醒】形如y＝ka x，y＝a x＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象和性质函数的定义域为R；值域为(0，＋∞)5．常用结论（1）指数函数图象的画法画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1 (1,)a -.（2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．【常考题型剖析】题型一根式的化简与求值例1.（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2a (a ≥0)；（3）5155a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）13(3)=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为55a b -；（4）符号错误【详解】49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；555aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，（3133，(4)错，正确个数为1个，故选：A例2．化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3. 【答案】见解析.【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(2)由a －1知a －1≥0，∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1.【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对n a n 的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤题型二：指数幂的化简与求值例3．（2022·河南·模拟预测）下列计算正确的是（） A ．()22239a b a b +=+ B ．336325a a a += C ．248a a a ⋅=D ．()362328a b a b =【答案】D 【解析】【分析】根据完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则解答即可. 【详解】A 、222(3)96a b a ab b +=++，故A 错误；B 、333325a a a +=，故B 错误；C 、246a a a ⋅=，故C 错误；D 、2363(2)8a b a b =，故D 正确. 故选：D例4.（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a .【解析】【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-. 【规律方法】1.指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x 12+x −12)2=x +2+x−1，(x +x−1)2=x 2+2+x−2，x 32+x−32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形．题型三：指数函数的概念例5．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设()xf x a =，且()12f =，则()()02f f +=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】【分析】根据题意求得函数()2xf x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x a =，因为()12f =，可得()112f a ==，解得2a =，即()2xf x =，所以()()0202225f f +=+=.故选：B.例6．（2022·浙江金华·模拟预测）已知a ∈R ，函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，(3)f =___________；若((2))2f f =，则=a ___________.【答案】 4 0 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得；【详解】解：因为()24,22,2x x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，所以3(3)244f =-=，2(2)240f =-=，(0)||2f a =+，即((2))(0)||22f f f a ==+=，所以0a =，故答案为：4；0.题型四：指数函数的图象及应用例7.（2020·山东高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上递增. 注意到01a =，所以B 选项符合. 故选：B例8．（2022·陕西咸阳·三模（文））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()22x x f x x-+=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】由奇偶性定义判断()f x 奇偶性，结合(1),(3)f f 大小判断(0,)+∞上是否递减，即可得答案. 【详解】由定义域为{|0}x x ≠，则()2222()()x x x xf x f x x x ----++-==-=--，所以()f x 为奇函数，排除A 、C ；而565(1)(3)224f f =<=，故()f x 在(0,)+∞上不递减，排除B. 故选：D例9．（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①x y a =，①x y b =，①x y c =，①x y d =的图像，则a ，b ，c ，d 与0和1的大小关系是（）A ．01a b c d <<<<，即c d >．11b a <，即b a <．a ∴，b ，c ，d 与1的大小关系是01b a d c <<<<<．故选：B ．例10.（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.例11.（2021·湖南高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象；（2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）{}|13m m ≤≤ 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出[]0,2x ∈的图象，再根据一次函数的特点作出(]2,4x ∈的图象即可；（2）当02m ≤≤时，解不等式22m ≥，当24m <≤，解不等式822x -≥即可求解. 【详解】（1）函数()f x 的图象如图所示：（2）()2,0282,24m m f m m m ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，当02m ≤≤时， ()22mf x =≥，可得：12m ≤≤，当24m <≤，()822f x x =-≥，可得：23m <≤，所以()2f m ≥的解集为：{}|13m m ≤≤，所以m 的取值范围为{}|13m m ≤≤. 【总结提升】 1. 常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 3.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．题型五：指数函数的性质及应用例12.（2016·全国·高考真题（理））已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <，故选：A.例13.（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.例14.（2017·全国·高考真题（理））设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,)4-+∞【解析】【详解】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.例15.（2014·全国·高考真题（文））设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______________. 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：当时，，∴，∴；当时，，∴，∴，综上，使得()2f x ≤成立的的取值范围是．故答案为．例16．（2015·福建·高考真题（文））若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．【答案】1 【解析】【详解】试题分析：根据(1)(1)f x f x +=-可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.【总结提升】1. 底数相同，指数不同：借助指数函数单调性进行比较；底数不同，指数相同：利用导数不同的指数函数的图象变化规律来判断；底数不同，指数不同：常找到一个中间值，通过比较函数值与中间值的大小进行判断．2. 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．②af (x )＞ag (x )，当a ＞1时，等价于f (x )＞g (x )；当0＜a ＜1时，等价于f (x )＜g (x )． (2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．与指数函数有关的复合函数的单调性3.形如函数y ＝af (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：(1)若a ＞1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间；(2)若0＜a ＜1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”． 4.与指数函数有关的复合函数的值域形如y ＝af (x )的函数的值域，可先求f (x )的值域再根据函数y ＝a t 的单调性确定y ＝af (x )的值域．。

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4.在R上是增函数
在R上是减函数
第一象限中,指数函数底数与图象的关系
y
y bx y cx
y ax
y dx
o x=1 x
0ba1d c
图象从下到上,底数逐渐变大.
三、范例导航
1例1.计算下列各式的值
167
(1)(
27
)
2 3
1
(0.002) 2
10(
5 2)1 (
9
2
3)0
8
1 (2) 1 ( 3 1)0 9 4 5 ; 52
为什么要规定 a>0，a≠1?
8.指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的性质：
当x>0时,
当x<0时, ya>>11.
0<y<1.
0< a <1
y
y
图
象 y=1
(0,1)
(0,1)
y=1
o
x
o
x
当x<10.时定,义域： (, )
性0<y2<. 1值.域： (0, ) 当x>0时,
质 3.过点 (0,1),即x= 0时,y=1y>1.
高考数学第一轮复习
第一章统计案例
3.5
指数与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义,了解实数
指数幂的意义,掌握幂的运算；
3.理解指数函数的概念,理解指数函数的
单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点；
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
二、知识梳理
1.n次方根的定义
如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根其中 n>1,且n∈N*.
C.a 0,b 0, c 0 D.2a 2c 2
3例3. (1)若函数f (x) a 2x4 (a 0且a 1)满足 f (1) 1 ,则f (x)的单调递减区间是( B) 9
A.(,2] B.[2,) C.[2,) D.(,2]
(2)设a 0.60.6,b 0.61.5, c 1.50.6,则a,b, c
即如果一个数的n次方等于a (n>1,且n∈N*) 那么这个数叫做 a 的n次方根.
2.n方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质：正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数.
(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，
零的任何次方根是零.
3.根式的概念
根指数
是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值； k 2
(2)若f (1) 3 ,且g(x) a2x a2x 2m f (x)在 2
[1,)上的最小值为 2,求m的值.
a 2, m 2
六、布置作业
(1)课本P124习题4.1 A 2,3,4
(2)丛书P.198--199
(1)正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0,m,n N, 且n 1)
(2)正数的负分数指数幂的意义：
m
an
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N ,且n 1)
(3)规定：0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义.
6.有理指数幂的运算性质
指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.
(3)
a3b2 3 ab2
(a
1 4
b
1 2
)
4
a
1
3b
1 3
(a
0, b
0).
a b
2例2.(1)函数y
xax x
(0
a
1)图象的大致形状是(D)
A
B
C
DБайду номын сангаас
(2)已知函数f (x) 2x 1, a b c,且f (a)
f (c) f (b),则下列结论中,一定成立的是(D )
A.a 0,b 0, c 0 B.2a 2c
na
被开方数
根式
4.n方根的运算性质
公式1.
na
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
5.分数指数幂的定义
的大小关系为(C ) A.a b c B.a c b C.b a c D.b c a
4例4.设 a 0且a 1,函数y a2x 2ax 1
在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
a 1 或a 3 3
5例5.设函数f (x) ax (k 1)ax (a 0且a 1)
(1) aras ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0,r Q).
7.指数函数的定义：
一般地，函数y=ax (a>0，a≠1) 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.