人教A版数学必修二 《圆的标准方程》教案

湖南省怀化市溆浦县第三中学人教版数学必修二411 圆的标准方程教
案
1课时
教学分析
在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中
起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一
节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,
教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
课题 4.1.1 圆的标准方程
教学目标
（一）知识与技能使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,
注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
（二）过程与方法会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成
代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.
（三）情感态度与价值观把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义
观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.
教学过程
一、导入新课
同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.
二、讲授新课
自主学习
①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?
②具有什么性质的点的轨迹称为圆？
③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
图1
④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?
⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?
⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？
学生展示
讨论结果：①根据两点之间的距离公式,得
|AB|=,
|CD|=.
②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).
③圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.
④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.
⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由
两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.
化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②
若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就
说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的
圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.
⑥这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
合作探究
探究1
①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?
②确定圆的方程的方法和步骤是什么?
③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?
学生展示：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：
1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；
2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；
3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
③点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：
当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:
1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;
2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;
3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.
探究2
例1 写出下列各圆的标准方程：
(1)圆心在原点,半径是3；
⑵圆心在点C(3,4),半径是;
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；
(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.
学生展示
这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.
(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以
r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=.
老师点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.
例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.
学生解答:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25,
把点M1(5,-7),M2(-,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.
老师点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.
教师精讲
例3 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.
解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,
它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是
解此方程组得所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6). ①
同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-
3.5). ②解由①②组成的
方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5,所以△ABC的外接圆
的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离
相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.
巩固提高
1、一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.
2、课本本节练习1、2.
3、求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.
活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题
方法.
三、课堂小结
①圆的标准方程.
②点与圆的位置关系的判断方法.
③根据已知条件求圆的标准方程的方法.
④利用圆的平面几何的知识构建方程.
⑤直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
四、布置作业
1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.
2.预习有关圆的切线方程的求法.
3.课本习题
4.1 A组第2、3题.。