山东省潍坊市2015届高考数学二模试卷(理科)含解析

2015年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则∁U A∩B等于（）A．（0，1]B．[﹣1，1]C．（1，2]D．（﹣∞，﹣1）∪[1，2]2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．已知命题p：∀x＞0，x+≥4：命题q：∃x0∈R+，2x0=，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β5．若，且，则tanα=（）A．B．C．D．6．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，，则函数y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6 B．12 C．24 D．369．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知函数，若函数f（x）的零点都在[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是．12．当输入的实数x ∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 ．13．已知G 为△ABC 的重心，令，，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q两点，且，，则= ．14．抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为 ．15．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：对∀x ∈（0，+∞），都有f （2x ）=2f （x ）；当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ，给出如下结论：①对∀m ∈Z ，有f （2m ）=0； ②函数f （x ）的值域为[0，+∞）； ③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④函数f （x ）在区间（a ，b ）单调递减的充分条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k ，2k+1）， 其中所有正确结论的序号是： ．（请将所有正确命题的序号填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量，把函数f （x ）=化简为f （x ）=Asin （tx+ϕ）+B 的形式后，利用“五点法”画y=f （x ）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：2（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间上的值域；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=2，a=，求．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．18．已知等比数列数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，T n为数列{c n}的前n项和，求T2n．19．某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B 、C 、D 测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由； （Ⅱ）假设小李选择测试点B 、C 进行测试，小王选择测试点B 、D 进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．20．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，其焦点与双曲线C ：的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q ．①设M （m ，0），当为定值时，求m 的值；②设点N 是椭圆E 上的一点，满足ON ∥PQ ，记△NAP 的面积为S 1，△OAQ 的面积为S 2，求S 1+S 2的取值范围．21．设f （x ）=alnx+bx ﹣b ，g （x ）=，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）求g （x ）的极大值；（Ⅱ）设b=1，a ＞0，若|f （x 2）﹣f （x 1）|＜||对任意的x 1，x 2∈[3，4]（x 1≠x 2）恒成立，求a 的最大值；（Ⅲ）设a=﹣2，若对任意给定的x 0∈（0，e ]，在区间（0，e ]上总存在s ，t （s ≠t ），使f （s ）=f （t ）=g （x 0）成立，求b 的取值范围．2015年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则∁U A∩B等于（）A．（0，1]B．[﹣1，1]C．（1，2]D．（﹣∞，﹣1）∪[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=[﹣1，1]，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴∁U A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则（∁U A）∩B=（1，2]，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．【解答】解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4：命题q：∃x0∈R+，2x0=，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用基本不等式求最值判断命题p的真假，由指数函数的值域判断命题q的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断．【解答】解：当x＞0，x+≥，当且仅当x=2时等号成立，∴命题p为真命题，￢P为假命题；当x＞0时，2x＞1，∴命题q：∃x0∈R+，2x0=为假命题，则￢q为真命题．∴p∧（￢q）是真命题，（￢p）∧q是假命题．故选：C．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直的性质，面面垂直的判定以及面面平行的判定定理分别分析选择．【解答】解：若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故A正确若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故B错误若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以C错误．若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，则α⊥β，故D错误；故选：A【点评】本题考查直线与直线的位置关系及直线与平面的位置关系的判断、性质．解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面、面面得位置关系，以及与其有关的判定定理与性质定理．5．若，且，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得3tan2α+20tanα﹣7=0，解方程求得tanα的值．【解答】解：若，且，则cos2α﹣sin2α=（cos2α+sin2α），∴cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα=0，即3tan2α+20tanα﹣7=0．求得tanα=，或tanα=﹣7（舍去），故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，，则函数y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意求出函数f（x）在[2，4]上的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=2f（x﹣2），设x∈[2，4]，则x﹣2∈[0，2]，∴f（x）=，当x∈[2，3），f（x）=2x﹣4，图象为过（2，0），（3，2）的直线的一部分，当x∈（3，4]，f（x）=﹣2x2+12x﹣16，图象过点（3，2），（4，0）的抛物线的一部分，故选：A【点评】本题考查了函数的解析式的求法和函数的图象的识别，属于基础题，7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，==．∴V三棱锥S﹣ABC故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．8．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6 B．12 C．24 D．36【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑编程人员和一个英语翻译人员；②甲部门要1个电脑编程人员和一个英语翻译人员，分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种，故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法9．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．10．已知函数，若函数f（x）的零点都在[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的单调性与导数的关系；函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】首先可判断f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；再判断f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，从而说明没有零点，从而解得．【解答】解：∵，∴f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；故在[﹣1，0]上有零点；f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+ (x2014)易知f′（1）=1，当x＞0且x≠1时，f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014==＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＞0；故f（x）在（0，+∞）上没有零点，当x＜﹣1时，f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014==＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，且f（﹣1）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上没有零点；综上所述，函数的零点都在区间[﹣1，0]上，故选A．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是760．【考点】分层抽样方法．【专题】应用题；概率与统计．【分析】先计算出样本中高三年级的女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校高三年级的女生的人数．【解答】解：根据题意，设样本中高三年级的女生人数为x，则（x+10）+x=200，解得x=95，所以该校高三年级的女生人数是1600×200×95=760．故答案为：760．【点评】本题考查分层抽样，先计算中样本中高三年级的男女学生的人数是解决本题的关键，属基础题．12．当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．【解答】解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为4x+3，令4x+3≥103得x≥25，由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==．故答案为：．【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．13．已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，，则=3．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案．【解答】解：如图，=；∴；G为△ABC的重心；∴，；∴；整理得，；∴；消去x得，；∴．故答案为：3．【点评】考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理．14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为y2=16x．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，结合三角形的面积求出半径，再由M的坐标相等求得p，则抛物线方程可求．【解答】解：如图，由题意可知，圆的圆心M在抛物线上，又圆的面积为36π，∴半径|OM|=6，则|MF|=，即，又，∴，解得：p=8．∴抛物线方程为：y2=16x．故答案为：y2=16x．【点评】本题考查了抛物线的几何性质，考查了数学结合的解题思想方法，训练了抛物线焦半径公式的应用，是中档题．15．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x，给出如下结论：①对∀m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④函数f（x）在区间（a，b）单调递减的充分条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1），其中所有正确结论的序号是：①②④．（请将所有正确命题的序号填上）【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】①先令x=2，得到f（2）=0，再根据f（2x）=2f（x）得出结论；②利用单调性证明定义域上的最小值是0即可；③利用反证法，判断满足条件的n不存在，得出命题错误；④根据题意得出f（x）在区间（a，b）上单调递减的充分条件是什么．【解答】解：对于①，令x=2，得f（2）=2﹣2=0，当m∈Z时，f（2m）=2f（2m﹣1）=22f（2m﹣2）=…=2m﹣1f（2）=0，∴①正确；对于②，∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x，∴∀x∈（1，2]，f（x）≥f（2）=0，又∵∀x∈（0，+∞），f（2x）=2f（x），∴∀x∈（0，+∞），f（x）≥f（2）=0，∴②正确；对于③，∵f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在满足条件的值，∴③错误；对于④，根据②知，当x⊆（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x为减函数，∴函数f（x）在区间（a，b）上单调递减的充分条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1），④正确．综上，正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了抽象函数及其应用问题，考查了利用赋值法证明等式的问题，此类题的特征是根据题中所给的相关性质灵活赋值以达到求值或者证明命题的目的，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量，把函数f（x）=化简为f（x）=Asin（tx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：2（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间上的值域；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=2，a=，求．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2），由T=2（）=π，可求ω，由x∈[﹣，]，可求2x﹣的范围，即可求得f（x）的值域．（Ⅱ）由f（）=sin（A+）=1，根据A+的范围，可解得A，由余弦定理解得b，cosB，利用平面向量数量积的运算即可得解．【解答】解：（Ⅰ）①处应填…1分f（x）=m•n+=sinωxcosωx﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣+=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）…3分因为T=2（）=π，所以由，ω=1．∴f（x）=sin（2x﹣）．因为x∈[﹣，]，所以﹣≤2x﹣≤，所以﹣1≤sin（2x﹣）≤，∴f（x）的值域为[﹣1，]…6分（Ⅱ）因为f（）=sin（A+）=1，因为0＜A＜π，所以＜A+＜，所以A+=，A=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（）2=b2+22﹣2×，即b2﹣2b﹣3=0，解得b=3或b=﹣1（舍去），∴cosB==．所以=||||cosB=2×=1…12分【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，平面向量数量积的运算，考查了余弦定理的应用，属于中档题．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）由已知三角形的半径关系得到AD⊥BD，再由面面垂直的性质得到ED⊥面ABCD，进一步得到BD⊥ED，利用线面垂直的判定得到BD⊥面ADEF，由BD⊂面BDM，利用面面垂直的判定得到平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，则可证得DN⊥CD，以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，结合E，M，C三点共线得到，把M的坐标用含有λ的代数式表示，求出平面BDM的法向量，再由平面ABF的法向量为，由平面BDM与平面ABF所成锐二面角为求得．则点M 的坐标可求，位置确定．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），设M（x0，y0，z0），由，得，∴x0=0，，则M（0，λ，），设平面BDM的法向量，则，∴，令x=1，得．∵平面ABF的法向量，∴，解得：．∴M（0，），∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处．【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．18．已知等比数列数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，T n为数列{c n}的前n项和，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．）+（c2+c4+…+c2n），（II）由（I）可得：c n=．可得T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1对奇数项与偶数项分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（I）∵S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．∴S3﹣S2=a4﹣2a2=a3，∴，a2≠0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0，解得q=2，又a1+a2=2a2﹣2，∴a2﹣a1﹣2=0，∴2a1﹣a1﹣2=0，解得a1=2，∴．（II）由（I）可得：c n=．∴T2n=（c1+c3+…+c2n）+（c2+c4+…+c2n），﹣1记M=（c2+c4+…+c2n）=+…+=+…+，则=+…+，∴=+…+﹣=﹣=，∴M=﹣．∴T2n=+M=+M=+﹣．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，已知．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）测试点测试参加面试的概率，由概率的大小得答案；（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，由题意得到，求出ξ的所有取值，然后利用相互独立事件和定理重复试验求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，由题意，．若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率，若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率，若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率．∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，则，且ξ的所有取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=．ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了相互独立事件和独立重复试验，是中档题．20．已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q．①设M（m，0），当为定值时，求m的值；②设点N是椭圆E上的一点，满足ON∥PQ，记△NAP的面积为S1，△OAQ的面积为S2，求S1+S2的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设方程为，确定c，利用椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，可得a=2b，利用a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）①分类讨论，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，可得结论；②确定S1+S2=S△OPQ，求出|PQ|，可得面积，换元确定面积的范围即可求S1+S2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为，其左右焦点为F1（﹣，0），F2（，0），∴c=，∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，∴a=2b，∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设直线l与椭圆E交点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2==（4m2﹣8m+1）+，当2m﹣=0，即m=时，•=．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±．不妨设P（1，），Q（1，﹣），由M（，0）可得=（，﹣），=（，），∴•=，综上所述，m=时，•为定值；②∵ON∥PQ，∴S△NAP=S△OAP，∴S1+S2=S△OPQ，∵|PQ|=4•，∵原点O到直线PQ的距离为d=（k≠0），∴S△OPQ==令t=4k2+1，则k2=（t＞1），∴S==，∵t＞1，∴0＜＜1，∴0＜﹣+4＜3，∴0＜S＜．当直线l的斜率不存在时，S△OPQ==，综上所述，S1+S2的取值范围是（0，]．【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，有难度．21．设f（x）=alnx+bx﹣b，g（x）=，其中a，b∈R．（Ⅰ）求g（x）的极大值；（Ⅱ）设b=1，a＞0，若|f（x2）﹣f（x1）|＜||对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2）恒成立，求a的最大值；（Ⅲ）设a=﹣2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在s，t（s≠t），使f （s）=f（t）=g（x0）成立，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出g（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得g（x）的极大值；（Ⅱ）当b=1，a＞0时，求出f（x）的导数，以及h（x）=的导数，判断单调性，去掉绝对值可得f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h （x1），F（x）=f（x）﹣h（x），F（x）在[3，4]递减，求得F（x）的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）求出g（x）的导数，通过单调区间可得函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t1，t2（t1≠t2）与该值对应．a=﹣2时，f（x）=b（x﹣1）﹣2lnx，求出f（x）的导数，由题意，f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜＜e，再由导数求得f（x）的最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）==，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递增；当x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，1）递减．则有g（x）的极大值为g（1）=1；（Ⅱ）当b=1，a＞0时，f（x）=alnx+x﹣1，x＞0，f′（x）=+1=＞0在[3，4]恒成立，f（x）在[3，4]递增；由h（x）==，h′（x）=＞0在[3，4]恒成立，h（x）在[3，4]递增．设x1＜x2，原不等式等价为f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），F（x）=f（x）﹣h（x），F（x）在[3，4]递减，又F（x）=alnx+x﹣1﹣，F′（x）=+1﹣≤0在[3，4]恒成立，故h（x）在[3，4]递增，a≤•﹣x，令G（x）=•﹣x，3≤x≤4，G′（x）=•﹣1=e x﹣1（﹣+1）﹣1=e x﹣1[（﹣）2+]﹣1＞e2﹣1＞0，G（x）在[3，4]递增，即有a≤e2﹣3，即a max=e2﹣3；（Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t1，t2（t1≠t2）与该值对应．a=﹣2时，f（x）=b（x﹣1）﹣2lnx，f′（x）=b﹣=，当b=0时，f′（x）=﹣＜0，f（x）单调递减，不合题意，当b≠0时，x=时，f′（x）=0，由题意，f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜＜e，当x∈（0，]时，f'（x）＜0，当（，+∞）时，f'（x）＞0所以，当x∈（0，e]时，f（x）min=f（）=2﹣a﹣2ln，由题意，只需满足以下三个条件：①f（x）min=f（）=2﹣b﹣2ln＜0，②f（e）=b（e﹣1）﹣2≥1，③∃x0∈（0，）使f（x0）＞1．∵f（）≤f（1）=0，所以①成立．由②f（x）=b（x﹣1）﹣2lnx→+∞，所以③满足，。