2016-2017学年浙江省温州市龙湾区永中中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2016-2017学年浙江省温州市龙湾区永中中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选.多选.错选，均不给分）1．（4分）抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是（）A．（0，8） B．（0，﹣8）C．（0，6） D．（﹣2，0）和（﹣4，0）2．（4分）下列选项中的事件，属于必然事件的是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．某运动员跳高的最好成绩是20.1米C．明天是晴天D．三角形的内角和是180°3．（4分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（4分）如果将抛物线y=x2向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）25．（4分）如图，已知点A，B在⊙O上，⊙O的半径为3，且△OAB为正三角形，则的长为（）A．B．πC．πD．3π6．（4分）已知点（1，y1），（2，y2）是抛物线y=x2﹣6x上的两点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定7．（4分）两个袋子里分别装着写有1，2，3，4的四张完全相同的卡片，从每一袋子中各随机抽取一张，则两张卡片上数字之和等于6的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OAB的度数为（）A．36°B．72°C．54°D．108°9．（4分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB=∠ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5 B．5 C．4 D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知抛物线y=（x﹣1）2+3，则该抛物线的顶点坐标是．12．（5分）如图，AB是⊙O的直径，且弦AC=3，圆周角∠D=30°，则弦BC的长为．13．（5分）如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=度．14．（5分）一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有个．15．（5分）已知，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，底边AB为4，⊙O的半径为4，则∠C度数为．16．（5分）如图，抛物线y=x2﹣x﹣6的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P从点A出发沿射线AB运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则t=秒．三.解答题（本题有8小题，共80分.解答题写出必要的文字说明.演算步骤或证明过程.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.）17．（6分）如图，已知点A在⊙O上．（不限画图工具，要保留作图痕迹）（1）作⊙O的内接正三角形ABC．=．（2）若⊙O的半径为6，则S扇形OAB18．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于点A，B．（1）求出抛物线的顶点D的坐标和对称轴．（2）将线段AB绕着A点顺时针旋转90度，得到AB′，请画出图形，并写出点B′的坐标．19．（8分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且PB=PD．求证：AB=CD．20．（10分）一个不透明的布袋里装有1个白球，3个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出1个球．求两次都摸出红球的概率（要求画树状图或列表）．（2）若加入若干个除颜色外完全相同的黑球后，从中任意摸出1个球，是红球的概率为，求加入的黑球有多少个？21．（11分）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB存在，请说明理由．22．（11分）如图1，在△ABC中，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，且=．（1）求证：AB=AC．（2）若∠C=70°，求的度数．（3）如图2，点F在⊙O 上，=，连结DF，DE．求证：∠ADF=∠CDE．23．（12分）某公司生产某种商品每件成本为20元，这种商品在未来40天内的日销售量y（件）与时间x（天）的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格m（元/件）与时间x（天）的函数关系式为m=x+25 （1≤x≤20），后20天每天的价格为30元/件（21≤x≤40）．（1）分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y（件）与x（天）之间的函数关系式．（2）当1≤x≤20时，设日销售利润为W元，求出W与x的函数关系式．（3）在未来40天中，哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？24．（14分）如图1，抛物线y=ax2+2（a﹣1）x，其中（a＞0），点A（﹣2，m）在该抛物线上，过点A作直线l∥x轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C （1）求m的值；（2）当a=2时，求点B的坐标；（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，若点P在直线上，顶点Q在x轴上①若PB=2AP，求a的值；②菱形OPBQ的面积的最小值是．2016-2017学年浙江省温州市龙湾区永中中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选.多选.错选，均不给分）1．（4分）抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是（）A．（0，8） B．（0，﹣8）C．（0，6） D．（﹣2，0）和（﹣4，0）【解答】解：把x=0代入得y=8，所以抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是（0，8）．故选：A．2．（4分）下列选项中的事件，属于必然事件的是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．某运动员跳高的最好成绩是20.1米C．明天是晴天D．三角形的内角和是180°【解答】解：A、随机掷一枚均匀的硬币，正面向上，是随机事件即不确定事件，故本选项不符合题意；B、某运动员跳高的最好成绩是20.1米，是随机事件即不确定事件，故本选项不符合题意；C、明天是晴天，是随机事件即不确定事件，故本选项不符合题意；D、三角形内角和是180°是必然事件，故本选项符合题意；故选：D．3．（4分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，∴OP＞5，故选：D．4．（4分）如果将抛物线y=x2向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2【解答】解：∵抛物线y=x2向上平移1个单位后的顶点坐标为（0，1），∴所得抛物线对应的函数关系式是y=x2+1．故选：A．5．（4分）如图，已知点A，B在⊙O上，⊙O的半径为3，且△OAB为正三角形，则的长为（）A．B．πC．πD．3π【解答】解：∵△OAB为正三角形，∴∠AOB=60°，∴的长为=π，故选：B．6．（4分）已知点（1，y1），（2，y2）是抛物线y=x2﹣6x上的两点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定【解答】解：当x=1，y1=x2﹣6x=12﹣6×1=﹣5；当x=2，y2=x2﹣6x=22﹣6×2=﹣8，所以y1＞y2．故选：A．7．（4分）两个袋子里分别装着写有1，2，3，4的四张完全相同的卡片，从每一袋子中各随机抽取一张，则两张卡片上数字之和等于6的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：共16种等可能的情况，两张卡片上数字之和等于6的情况数有3种，所以所求的概率为；故选：C．8．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OAB的度数为（）A．36°B．72°C．54°D．108°【解答】解：∵多边形ABCDE内接于⊙O，∴∠OAB==72°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=54°，故选：C．9．（4分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：从表中知道：当x=﹣2时，y=0，当x=0时，y=6，∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），从表中还知道：当x=﹣1和x=2时，y=4，∴抛物线的对称轴方程为x=×（﹣1+2）=0.5，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．所以①②④正确．故选：C．10．（4分）如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB=∠ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5 B．5 C．4 D．【解答】解：延长CD到E，使得DE=BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB=∠ABD=45°，∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=45°，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，∴∠DAE+∠CAD=90°，∴∠CAE=90°，∵ACD=45°，BC=DE=8，CD=4，∴∠ACE=45°，CE=12，∴AC=AE=6，故选：D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知抛物线y=（x﹣1）2+3，则该抛物线的顶点坐标是（1，3）．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣1）2+3，∴该抛物线的顶点坐标是（1，3），故答案为：（1，3）．12．（5分）如图，AB是⊙O的直径，且弦AC=3，圆周角∠D=30°，则弦BC的长为3．【解答】解：∵∠D=30°，∴∠B=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=3，∴AB=6，∴BC==3，故答案为：3．13．（5分）如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB= 110度．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠ACB=125°，∴∠ADB=180°﹣125°=55°，∴∠AOB=110°，故答案为：110．14．（5分）一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有15个．【解答】解：黄球的概率近似为=，设袋中有x个黄球，则=，解得x=15．故答案为：15．15．（5分）已知，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，底边AB为4，⊙O的半径为4，则∠C度数为60°或120°．【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理得AD=AB=×4=2，sin∠AOD===，所以，∠AOD=60°．∠AOB=2∠AOD=120°，①点O在三角形内部时，∠C=∠AOB=×120°=60°，②点O在三角形外部时，∠C=（360°﹣∠AOB）=×（360°﹣120°）=120°，综上所述，∠C的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．16．（5分）如图，抛物线y=x2﹣x﹣6的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P从点A出发沿射线AB运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则t=6秒．【解答】解：∵△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=﹣x上，由，解得或（舍弃），∴点M坐标为（4，﹣4），如图1中，作MN⊥AB于N，∵MP=MB，NM⊥PB，∴PN=NB=2，∴OP=2，AP=6，∴t=6时圆心在抛物线上．故答案为：6．三.解答题（本题有8小题，共80分.解答题写出必要的文字说明.演算步骤或证明过程.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.）17．（6分）如图，已知点A在⊙O上．（不限画图工具，要保留作图痕迹）（1）作⊙O的内接正三角形ABC．=12π．（2）若⊙O的半径为6，则S扇形OAB【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）连接OA、OB，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，==12π．∴S扇形OAB18．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于点A，B．（1）求出抛物线的顶点D的坐标和对称轴．（2）将线段AB绕着A点顺时针旋转90度，得到AB′，请画出图形，并写出点B′的坐标（﹣1，﹣4）．【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；对称轴为直线x=1；（2）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于点A，B，∴A（﹣1，0），B（3，0），将线段AB绕着A点顺时针旋转90度，得到AB′，如图所示，∴AB′=4，AB⊥AB，B’（﹣1，﹣4）．故答案为：（﹣1，﹣4）．19．（8分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且PB=PD．求证：AB=CD．【解答】证明：连结BD∵PB=PD∴∠B=∠D∴∴∴20．（10分）一个不透明的布袋里装有1个白球，3个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出1个球．求两次都摸出红球的概率（要求画树状图或列表）．（2）若加入若干个除颜色外完全相同的黑球后，从中任意摸出1个球，是红球的概率为，求加入的黑球有多少个？【解答】解：（1）列表得：∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的球恰好是红球有9种，∴P（两次摸出红球）=，（2）得出黑球2个，理由如下：设加入x个黑球，由题意得：=，解得：x=2．答：加入的黑球有2个．21．（11分）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使S=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不△PAB存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3经过B、C∴当x=0时y=3当y=0时x=3∴B（3，0）C（0，3）（2）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C∴．∴b=2，c=3．∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）当y=0时，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0）设P（x，y）=S△CAB∵S△PAB∴×4×|y|=×4×3∴y=3或y=﹣3①当y=3时，3=﹣x2+2x+3∴x1=0，x2=2P（0，3）或（2，3）②当y=﹣3时，﹣3=﹣x2+2x+3∴x1=1+，x2=1﹣∴P（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3），（1+，﹣3），（1﹣，﹣3）．22．（11分）如图1，在△ABC中，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，且=．（1）求证：AB=AC．（2）若∠C=70°，求的度数．（3）如图2，点F在⊙O上，=，连结DF，DE．求证：∠ADF=∠CDE．【解答】（1）证明：连结AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°=∠AEC，∵=，∴∠CAE=∠EAB，∴AC=AB；（2）解：连接OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°，∴∠DAB=40°，∵AO=0D，∴∠ADO=∠DAO=40°，∴∠AOD=180°﹣40°﹣40°=100°，∴的度数是100°；（3）连接AE、AF ，∵=，∴BF=EB AB为直径∴∴的度数=的度数=180°，∴AF=AE，∴∠ADF=∠B，又∵四边形ABED内接于圆O，∴∠CDE=∠B，∴∠ADF=∠CDE．23．（12分）某公司生产某种商品每件成本为20元，这种商品在未来40天内的日销售量y（件）与时间x（天）的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格m（元/件）与时间x（天）的函数关系式为m=x+25 （1≤x≤20），后20天每天的价格为30元/件（21≤x≤40）．（1）分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y（件）与x（天）之间的函数关系式．（2）当1≤x≤20时，设日销售利润为W元，求出W与x的函数关系式．（3）在未来40天中，哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【解答】解：（1）设一次函数为y=kx+b，将一次函数中，得：，解得：，∴y=﹣2x+96经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，∴所求函数解析式为y=﹣2x+96；（2）设前20天日销售利润为W元：W=（﹣2x+96）（x+25﹣20）=﹣x2+14x+480；（3）∵1≤x≤20，前20天日销售利润W，∴当x=14时，W=﹣x2+14x+480=﹣（x﹣14）2+578，即二次函数有最大值578（元），后20天日销售利润为S元，S=（30﹣20）（﹣2x+96）=﹣20x+960，当21≤x≤40时，S随x的增大而减小．则当x=21时，S有最大值为540元，∵578＞540，∴第14天时，销售利润最大，为578元．24．（14分）如图1，抛物线y=ax2+2（a﹣1）x，其中（a＞0），点A（﹣2，m）在该抛物线上，过点A作直线l∥x轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C （1）求m的值；（2）当a=2时，求点B的坐标；（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，若点P在直线上，顶点Q在x轴上①若PB=2AP，求a的值；②菱形OPBQ的面积的最小值是16．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在该抛物线y=ax2+2（a﹣1）x上，∴m=4a﹣4a+4，∴m=4．（2）a=2时，抛物线为y=2x2+2x，当y=4时，2x2+2x=4，解得x=﹣2或1，∵A（﹣2，4），∴B（1，4）．（3）①∵A（﹣2，4），当y=4时，ax2+2（a﹣1）x=4，∴（x+2）（ax﹣2）=0，∴x=﹣2或，∴B（，4），∴AB=+2，∵PB=2PA，∴OP=PB=（+2），PC=BC﹣BP=﹣（+2）=﹣，在Rt△POC中，∵OP2=PC2+CO2，∴（+2）2=16+（﹣）2，整理得3•（）2+4•（）﹣4=0，∴=﹣2或=，∵a＞0，∴a=．②如图连接PQ交OB于K．∵B（，4），∴OB=，∵四边形OPBQ是菱形，∴PQ⊥OB，OK=KB=，∵∠PKB=∠OCB=90°，∠PBK=∠CBO，∴△BPK∽△BOC，∴=，∴=，∴PB=4a+，∴S=PB•OC=16a+=（﹣）2+16，菱形OPBQ∴当=时，即a=时，菱形OPBQ的面积最小，最小值为16．故答案为16．。