高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像案

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高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质

k
2
(k
Z
)
例题分析
例３求函数 y tan 3x 的周期.
解：因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?

高中数学_正切函数的图象与性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《正切函数的图象与性质》——教学设计课标分析《课标》要求：1、掌握正切函数的图象与性质2、积极参与，师生交流讨论，加深学生对正切函数的图象与性质的理解与应用3、将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，不断加深对函数概念本质的认识和理解。

教学目标:知识和技能目标：1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，2、准确写出正切函数的性质，并应用．过程与方法目标：1、通过学生自己动手作图，培养学生数形结合思想方法；2、培养学生类比、归纳的数学思想；3、培养学生发现数学规律，增强学习数学的兴趣。

情感态度价值观:通过本节课的学习，培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学生学习数学的兴趣。

教学重点:正切函数的图象及其主要性质教学难点:正切函数性质的理解和应用教材分析1、教材的地位和作用《正切函数的性质与图像》选自人教A版高中数学必修四第一章第三节。

它是继正余弦函数之后的又一种三角函数，其研究方法与前面正余弦函数图象与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和应用，也是学生对学习函数规律的总结和探究。

正确理解和熟练掌握正切函数的图象和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键；这也为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备．2、教材处理正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用类比的方式，先让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

首先让学生探讨正切函数的周期性，让学生自己画图象，发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

然后使用几何画板作图，使正切曲线变的形象、直观。

在得到图象后，单调性是一个难点，为此设计了思考题，帮助学生理解性质，并用比较大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

然后让学生通过整体思想解决了正切型函数的性质。

本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。

高中数学必修4 4.正切函数的性质、图像

授课内容正切函数的图像、性质教学内容知识梳理一、周期性由诱导公式()tan tan ,,,2x x x R x k k Z πππ+=∈≠+∈知，正切函数是周期函数，周期是_________，最小正周期是_________。

【例1】已知函数)0(cos 2>⋅-=n x n m y 的最大值是23，最小值是21-，求函数[]x n m y )24(tan +=的最小正周期。

二、奇偶性与对称性由诱导公式()tan tan ,,,2x x x R x k k Z ππ-=-∈≠+∈知，正切函数是_________函数，正切函数的图像为中心对称图形，其对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πk ()Z k ∈.【例2】判断下列函数的奇偶性：（1）tan 44y x x ππ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭ （2）4tan 2y x x x =+【例3】求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan 3πx y 的对称中心的坐标。

三、单调性正切函数在区间_________内是增函数.【例4】求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的单调区间。

随堂巩固：1、求函数3tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调区间.2、（1）求函数()3tan 64x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期和单调递减区间；（2）试比较()f π与32f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小.专题精讲四、最值正切函数x y tan =的定义域是_________，值域是_________.【例5】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 的值。

随堂巩固：1、求函数21sin cos cos x x y x-=，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.2、求函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域.五、正切函数的图像正切曲线是被相互平行的直线_________所隔开的无穷多支曲线组成的.【例6】（1）作出函数2tan +=x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 的简图；（2）作出下列函数的图像，并判断它们的周期性：x y tan =，x y tan =作业布置1、关于正切函数x y tan =，下列判断不正确的是（）A. 是奇函数B.在定义域内无最大值和最小值C.在整个定义域上是增加的D.平行于x 轴的直线被正切曲线各支所截线段相等2、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan x y π的最小正周期是（）A.4B. π4C.π2D.23、已知()⎪⎭⎫⎝⎛+=2sin πx x f ，()⎪⎭⎫⎝⎛-=2cos πx x g ，则()x f 的图像（） A.与()x g 的图像相同B.与()x g 的图像关于y 轴对称C.是由()x g 的图像向左平移2π个单位得到的D.是由()x g 的图像向右平移2π个单位得到的 4、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的定义域是_________5、求函数x x x y 2cos cos sin 1⋅-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 的最大值和最小值。

高考数学必修4总复习《三角函数：三角函数的图像与性质》

∴y＝sin2x＋52π为偶函数．
答案：B
4. (教材改编题)函数 f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为(
)
A. kπ－2π，kπ＋π2(k∈Z)
B. (kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C. kπ－34π，kπ＋4π(k∈Z)
D. kπ－π4，kπ＋34π(k∈Z)
(2)求满足 f(x)＝0 的 x 的取值；
(3)求函数 f(x)的单调递减区间．
解 (1) 2sin2x－3π>0⇒
sin2x－π3>0⇒2kπ<2x－π3<2kπ＋π，
k
∈
Z
⇒
kπ
＋
π 6
<x<kπ
＋
2 3
π
，
k
∈
Z.
故
函
数
的
定
义
域
为
kπ＋π6，kπ＋23π，k∈Z.
(2)∵f(x)＝0，∴sin 2x－3π ＝
第五节三角函数的图像与性质
1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数的简图． 2. 了解周期函数与最小正周期的意义．
1. 周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值
时，都有 f(x＋T)＝f(x，) 那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数
2 2
⇒2x－
π 3
＝2kπ＋
π 4
或2kπ＋
3 4
π，k∈Z⇒x＝kπ＋
7 24
π或x＝kπ＋
13 24
π，k∈Z，故x的取值是
x|x＝kπ＋274π或x＝kπ＋1234π，k∈Z. (3)令2kπ＋π2≤2x－π3<2kπ＋π，k∈Z⇒2kπ＋56π≤2x<2kπ＋43π，

高中数学必修四人教版1.4.3正切函数的图像与性质12ppt课件

x

2
T
k , k Z
由f ( x) tan x tan(x ) f ( x ) 可知，正切函数是周期函数，周期是
函数y A tan( x ) b的周期T

单调性
在每个分支里是单调递增的增区间：
2
k ,
只是位置不同
用正切线作正切函数的图象
首先我们一起分析一下正切函数y=tanx
是否为周期函数？
因为
f ( x ) t an(x )
t an x f ( x)
所以 y=tanx 是周期函数，
是它的一个周期
类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象。下面我们利用正切线画出函数
x
由直线
x

2
k 隔开 ,k Z

(
k ,0), k Z 2
2
k , k Z
奇偶性
y tan x
为奇函数
x

2
k , k Z
由f ( x) t an( x) t an(x) f ( x) 可知，正切函数是奇函数
周期性
y tan x
•最小正周期：所有周期T中最小的正数。
3.如何利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图象？
Y
y sin x, x [0,2 ]

7 4 3 5 11 2 6 3 2 3 6
O
2 5
6 3 2 3 6
X
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
y sin x, x [2k ,2(k 1) ), k z且k 0 y sin x, x [0,2 ) 的图象与函数的图象形状完全相同，

数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象

17π －【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z

【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】求函数间．
【解题探究】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域，通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝＝2. π 2 π π π π 由－＋kπ＜ x＋＜＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．

高一下学期数学人教A版必修4第一章1.4.3 正切函数的性质与图象教学设计

《正切函数的性质与图象》教学设计一、教材内容分析：1、教学内容人教版A版，数学必修4，第一章，1.4.3“正切函数的性质与图象”《普通高中课程标准实验教科书·数学 4 （必修）》第一章第四节第三课时内容2、教材分析：本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数．正切函数的性质和图象是对前面已学函数以及三角函数知识的深化运用。

教材紧扣课题，先探究正切函数的性质，再作图，这与前面对正弦函数、余弦函数的研究恰好相反。

本节课提出先推导函数性质，再作图，又由图形发现新性质，再理性反思的处理方式，这样既能在性质的指导下，可以更加有效地作图，数形结合相得益彰，又能给学生提供更多研究数学问题的视角。

二、学习者特征分析：学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等，具备了学习本节课的知识基础．并且在学习基本初等函数时，已然形成了稳定的函数研究模式，即先画图、再性质．选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质，对学生来说也是一种考验。

三、教学策略选择与设计：我们知道研究函数常见两种方式，第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象．通过观察图象获得对函数性质的直观感性的认识，然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括，进一步加以推理证明。

这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”，研究方法是由“整体”到“局部”；第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的局部性质，再根据性质画出函数的整体图象，这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”，研究方法是由“局部”到“整体”；前面主要研究了正余弦函数的图象和性质，我们的研究方法是先画出函数的图象，观察图象得到函数的性质．这节课研究正切函数过程中要体会另一种思维模式，先研究函数的一些局部的抽象的性质，再通过性质画出函数的整体的直观的图象．使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局部到整体”，研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”，这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。

高一数学人必修四课件时正切函数的性质与图象

THANKS
感谢观看
在受迫振动中，可以利用正切函数表示驱动力与时间的关系，从而分析受迫振动的响应情况，如共振现象等。
06
总结回顾与拓展延伸
重点难点总结回顾
01
正切函数的定义域、值域及周期性
正切函数在每个开区间(kπ-π/2, kπ+π/2) (k∈Z)内有定义，值域为全
体实数，周期为π。
02
正切函，形状类似于正弦函数和余弦函数
学生有时会将正切函数与其他三角函数混淆，导致解题错误。纠正方法是加强对三角函数的理解和记忆，明确它们之间的区别和联系。
忽视周期性
正切函数具有周期性，但学生在解题时有时会忽视这一点，导致答案不完整或错误。纠正方法是始终牢记正切函数的周期性，并在解题时特别注意。
拓展延伸：反三角函数简介
反三角函数的定义
通过万能公式将正弦、余弦函数转换为正切函数，如 sinθ=(2tan(θ/2))/(1+tan^2(θ/2))，cosθ=(1-tan^2(θ/2))/(1+tan^2(θ/2))。
05
正切函数在实际问题中应用
角度计算问题
利用正切函数的性质，可以解决与角度相关的问题，如计算角度、判断角的大小关系等。
高一数学人必修四课件时正切函数的性质与图象
汇报人：XX 20XX-01-22
contents
目录
• 正切函数基本概念 • 正切函数图象特征 • 正切函数性质分析 • 正切函数与其他三角函数关系 • 正切函数在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
正切函数基本概念
正切函数定义
01
正切函数是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比值。

高中数学必修四第一章三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象

解:函数 y=tan x 在区间
-
π 2
,
π 2
内的图象如图.
作直线 y=1,则在
-
π 2
,
π 2
内,当 tan x>1
时,有
π 4
<
��
<
π2.
又函数 y=tan x 的周期为 π,
则 tan x>1 的解集是
��
π 4
+
��π
<
��
<
π 2
+
��π,��∈Z
.
题型一题型二题型三题型四题型五
反思当 ω>0 时,解不等式 tan(ωx+φ)>a(或 tan(ωx+φ)<a),先求出
满足 tan α=a 的角 α,且 α∈
-
π 2
,
π 2
,
再由α<ωx+φ<
π 2
或-
π 2
<
��
+
��
<
��
, 求出x 的范围,把端点值加上周期的整数倍即可.
π 4
(��∈Z),即
y=
1 1+tan��
的定义域为
��
�� ≠
��π-
π 4
,��∈Z
.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.
题型一题型二题型三题型四题型五
正解:要使函数
y=
1 1+tan��

高一数学必修四1.4.3正切函数的图象与性质

4
6
（2） (0, )
(3 , )
44
课堂练习
课本P45 练习6 比较下列各组是两个正切值的大小(1)tan138与tan143 思想：在同一个单调区间比较！
(2) tan 13 与 tan 17
4 5 (1)90 138 143 270 tan138 tan143
(2) tan 13 tan , tan 17 tan 2
2
0
3
2x
正切曲线是被互相平行的直线 x k , k Z
所隔开的无数多条曲线组成的。 2
探究（三）：正切函数的图象与性质
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： x
|
x
R且x
k
2
，k
Z
2、值域： R
3、单调性：在
k
2
,
k
2
,k
Z上是增函数；
探究（三）：正切函数的图象与性质
问题：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
24
22 4
2
2k - x 2k 3 , k Z
2
2
y 3tan(- x )的单调递减区间为:
24
（2k ，2k 3 ），k Z.
2
2
课堂练习
1、函数y tan( x )的定义域是
3
A
A.{ x R | x k , k Z } B.{ x R | x k - , k Z }
题
所以原函数的单调递增区间是
(
5 3
2k
,
1 3
2k
),
k
Z
变式题：求函数y 3tan(- x )的单调区间.

15.必修四数学正切函数的图像与性质

正切函数的图像与性质一、正切函数的定义及其应用例1、(1)已知点P(-2a,3a)(a≠0)是角x终边上的一点,求tan x；(2)已知点P-是角α终边上的一点，且tan α=-,求x的值。

变式练习1、若角α的终边上有一点P(2x,x+4)，且tan α=1，则sin α=.2、比较cos 1，sin 1，tan 1的大小关系。

二、正切函数的图像及其应用例2、求函数的定义域。

例3、设函数，且，求函数的值域。

例4、作出下列函数的图像，并说明各自的周期性：（1）y=tan|x|, （2）y=|tan x|变式练习1、求函数f(x)=的定义域。

2、求函数的定义域。

3、函数f(x)=2x-tan x在-上的图像大致为()4、若tan-≤1 则x的取值范围是.三、正切函数的诱导公式及应用(1)tan(2π+α)=; (2)tan(-α)= ;(3)tan(2π-α)= ; (4)tan(π-α)= ;(5)tan(π+α)=; (6)tan= ;(7)tan=.例5、计算:.(1)sin 1 590°·cos(-1 830°)+tan 1 395°·tan(-1 200°); (2)(- )-例6、(1)已知cos,且|φ|<,则tan φ=;(2)已知tan-,则tan=.变式练习1、(1)若tan--=-5,则tan等于()A.5B.-5C.25D.与α的值有关2、化简求值:（1）(- )-(- ). （2）(°-)(-°)(°)(-°)(°)(--°)（3）() (-) (-)(-) (-) (-); (4)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).3、比较大小:（1）tan 2,tan 3,tan 4；（2）tan 1 519°与tan 1 493°课后作业1.函数f(x)=tan-,x∈R的最小正周期为()A.B.πC.2πD.4π2.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈-内的大致图像,那么由a到d对应的函数关系式应是()A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③3.不等式tan x>a在x∈-上恒成立,则a的取值范围为()A.a>1B.a≤1C.a<-1D.a≤-14.若y=tan(2x+θ)图像的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是.5、已知tan(π+α)+()=2,则tan(π-α)=()A.2B.-2C.1D.-16.tan-=.7.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)=.8.log4+log9-=.9.设tan=a,求---的值.10、判断函数f(x)=lg-的奇偶性.。

【高中数学必修四】专题1.4.3 正切函数的性质与图象

第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 .学科-网 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数增函数由上表可知正切函数在(,)22-,(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点正切函数的性质与图象K —难点正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ； (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数，因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性，需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小：（1）13πtan4与17πtan 5；（2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理．【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24.由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用（1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间．【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )．【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象．【例6】求下列函数的定义域：（1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．【解析】（1）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥－1tan x <1， ∴⎩⎨⎧k π－π4≤x <k π＋π2，k ∈Z k π－π2<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴k π－π4≤x <k π＋π4，k ∈Z ，故函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为[k π－π4，k π＋π4)k ∈Z .（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义，故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________．【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )．【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π3.1．下列说法中，正确的是 A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限内是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数 2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R }3．下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)5．函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是________． 6．函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标是________．7．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．8．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围．（1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.9．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π810．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是11．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是A ．πB ．2πωC ．πωD ．π2ω12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1213．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A ．()f x 在定义域内是增函数B ．()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的对称轴是()ππ212k x k =+∈Z 14．函数y ＝tan(cos x )的值域是________． 15．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．学！科网16．若函数f(x)＝tan2x－a tan x(|x|≤π4)的最小值为－6，求实数a的值．17（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较()πf与1 2 3 4 9 10 11 12 13 CCDCCACAB1．【答案】C【解析】令x 1＝π3，x 2＝13π6，则tan x 1＝3，tan x 2＝33，即x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ；由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ． 2．【答案】C【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，故选D ．3．【答案】D【解析】函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．5．【答案】5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z 【解析】（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--，由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z ，即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z, 故函数tan(2)3y x π=-的单调减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z . 6．【答案】(k π4＋π8，0)，k ∈Z【解析】由2x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π8，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标为(k π4＋π8，0)，k ∈Z .8．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .9．【答案】C【解析】由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意的只有C 选项．10．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 11．【答案】C【解析】相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．13．【答案】B【解析】()f x 在定义域内不单调，且不具有奇偶性，没有对称轴，所以A 、C 、D 错误；由ππ232k x +=，得ππ,64k x k =-+∈Z ，即()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，所以B 正确，故选B.14．【答案】[－tan1，tan1]【解析】∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，且－π2<－1<1<π2， ∴tan(cos x )∈[－tan1，tan1]．15．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 16．【解析】设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]．则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. ①若－1<a 2<1，即－2<a <2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去，不合题意)．②若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，∴y min ＝1＋a ＝－6， ∴a ＝－7.③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 17．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =．由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<， ∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：学科！网（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解．（2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。

数学必修四1.4.3 正切函数的性质与图象

π xx∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z 2 _____________________________
π xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z的图象与性质见下表：
y＝tan x
定义域
值域周期奇偶性单调性
R ___ π ___ 奇 ___
π (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 x＝kπ± ，k∈Z.( 2 (4)正切函数是增函数．(
【解析】【答案】
)
由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理 2
正切函数的性质
阅读教材 P42～P43 倒数第三行以上内容，完成下列问题． 1．函数 y＝tan 解析式图象
等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
【自主解答】要使函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义，
tan x＋1≥0，则 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1. x
π π 的取值范围是－4，4.
π π 在－2，2上满足上述不等式的
π π 【解析】 (1)∵2x－ ≠kπ＋，k∈Z， 4 2 kπ 3 ∴x≠ 2 ＋8π，k∈Z. π π π (2)令 kπ－2<x＋4<kπ＋2，k∈Z， 3 π 得 kπ－ π<x<kπ＋， 4 4 即
π 3 π y＝tanx＋4的单调增区间为kπ－4π，kπ＋4，k∈Z.
【精彩点拨】求．
(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来
(2)可按定义法的步骤判断．
π π 【自主解答】 (1)由于 ω＝3，故函数的周期为 T＝|ω|＝3.

高中数学第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件新人教A版必修4

(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ，单调递增区间为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二正切函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π

高B数学必修四课件正切函数的图象与性质

对称性应用
正切函数的图象关于原点对称。利用这一性质，可以在解决一些对称性问题时简化计算过程。
单调性在判断增减性中运用
单调区间判断
正切函数在其定义域内的每一个周期内都是单调递增的。利用这一性质，可以判断正切函数在某个区间内的单调性。
增减性应用
通过判断正切函数的单调性，可以确定函数在某个区间内的增减性，从而解决一些与增减性相关的问题，如比较大小、求最值等。
正割函数和余割函数可以分别表示为$sec x = frac{1}{cos x}$和$csc x
= frac{1}{sin x}$，它们与正切函数有密切关系，如$tan^2 x + 1 =
sec^2 x$和$1 + cot^2 x = csc^2 x$。
02
正切函数图像特点分析
图像形状与变化趋势
正切函数图像呈现周期性变化，周期为π。
示例
将y=tan(x)的图像先沿x轴向右平移π/6个单位，再在x轴方向缩放2倍，最后在y轴方向缩放3倍，得到 y=3tan(2x-π/6)的图像。
05
正切函数在实际问题中应用举例
角度计算问题解决方法
利用正切函数的定义求解角度
通过已知的两边长度，利用正切函数的定义求解角度，例如在直角三角形中已知对边和邻边长度，可求解角度。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
正切函数的定义域和值域
正切函数的周期性
正切函数定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为R，即一切实数。
正切函数是周期函数，最小正周期为π。
正切函数的图象
正切函数的性质
正切函数的图象是中心对称图形，对称中心是(kπ/2,0)，k∈Z。在(kπ-π/2,kπ+π/2) 区间内，图象是连续不断的光滑曲线。