高三数学(文科)

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高三文科数学试卷电子版

第1页共4页 ◎ 第2页共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。

内蒙古赤峰新城红旗中学2023届高三下学期5月考试文科数学试题 - 副本

高三数学考试（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.()212i i -=（）A.24B.20C. D.2.设集合{}2|340A x N x x =∈--<，1|2193B x x ⎧⎫=-≤-≤⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.1|43x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B.{}|15x x -<≤C.{}1,2,3D.{}0,1,2,33.已知l m 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，l α⊂，m β⊂，则“//l m ”是“//αβ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3274a a a +=+，则11S =（）A.44B.48C.55D.725.已知函数()()22121,22,2x x m x m x f x x +⎧--+≤=⎨>⎩，当2x =时，()f x 取得最小值，则m 的取值范围为（）A.[]14， B.[]24， C.[]1,2- D.[]1,1-6.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，抛物线C 的准线与坐标轴相交于点P ，点()3,2M ，且MFP ∆的面积为2，若Q 是抛物线C 上一点，则FMQ ∆周长的最小值为（）A.4+B.4+C.4+D.4+7.为了得到函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数()cos 2g x x =的图像（）A.向左平移38π个单位长度 B.向右平移38π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度8.在[]2,3-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆()2229x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.359.执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为32，则判断框内可填入的条件是（）A.127?128s ≥B.63?64s ≥C.31?32s ≥D.15?16s ≥10.在ABC ∆中，P 是ABC ∆中线AD 的中点，过点P 的直线MN 交边AB 于点M ，交边AC 于点N ，且AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A.14B.2C.12D.411.在四面体ABCD 中，AB BC ⊥，AB AD ⊥，BC AD ⊥，若6AB =，3BC AD ==，则该四面体外接球的表面积为（）A.72πB.54πC.48πD.32π12.已知()f x '是奇函数()f x 的导函数，且当0,,22x πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则（）046f ππ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭043f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3046f ππ⎛⎫⎛⎫+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3043f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高三文科数学概率知识点

高三文科数学概率知识点概率是数学中一个重要的分支，也是高中数学中的一门重要课程，它研究的是不确定事件发生的可能性。

在高三文科数学中，概率作为其中的一部分内容，涵盖了很多重要的知识点。

本文将针对高三文科数学中的概率知识点进行详细论述。

一、基本概率规则在概率的计算中，我们首先要掌握的是基本概率规则。

基本概率规则包括等可能概型、互斥事件与对立事件等概念。

等可能概型指的是实验中每个基本结果发生的概率相等的情况。

例如，掷一个均匀的六面骰子，每个面出现的概率都是1/6。

互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况。

例如，投篮比赛中不同队员投进的概率是互斥事件。

对立事件指的是两个事件至少有一个发生的情况。

例如，掷一个均匀的六面骰子，出现奇数点数和出现偶数点数是对立事件。

二、概率计算方法在计算概率时，我们有多种方法可供选择，如频率法、古典概型法、几何概型法等。

频率法是通过重复实验的统计结果来估计概率。

例如，我们可以通过掷一枚硬币多次，统计正面朝上的次数来估计正反面朝上的概率。

古典概型法适用于每个基本结果发生的概率相等的情况。

例如，两个均匀的骰子同时掷出，计算两个骰子之和为7的概率。

几何概型法适用于几何空间问题。

例如，在一个圆盘内随机放置一个点，计算该点落在一个扇形区域内的概率。

三、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。

例如，某次抽奖中，已知甲中奖的概率为1/10，已知乙中奖的概率为1/5，求在乙中奖的条件下，甲中奖的概率。

条件概率的计算方法可以通过乘法定理来实现。

乘法定理指出，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生条件下发生的概率。

四、独立事件独立事件是指两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生。

例如，掷一颗骰子，第一次掷得6点，第二次掷得1点的概率。

独立事件的概率计算方法可以通过乘法定理来实现。

乘法定理指出，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

四川省雅安市2023-2024学年高三下学期4月月考试题数学(文)含答案

2024届高三数学试题（文科）（答案在最后）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2,1,4,8A =-，{},B xy x A y A =∈∈，则B 中元素的最小值为（）A.-16B.-8C.-2D.322.若向量()1,5a =- ，(),1b x x =+ ，a b ∥，则x =（）A.16-B.16C.14-D.143.若圆C ：221x y +=与圆D ：()()()222340x y r r -+-=>外切，则r =（）A.2B.3C.4D.54.设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若复数()()()i 4i ,z x y x y x y =+-∈R 的实部为4，则点(),x y 的轨迹是（）A.短轴长为4的椭圆B.实轴长为4的双曲线C.长轴长为4的椭圆D.虚轴长为4的双曲线6.函数()2sin sin 2f x x x =-是（）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数7.设()*2n n n+∈N 的整数部分为n a ，则数列{}n a 的前30项和为（）A.465B.466C.467D.4688.若函数()()()20.5log 20f x x ax a a =-+>的值域为R ，则()f a 的取值范围是（）A.(],3-∞- B.(],4-∞- C.[)4,-+∞ D.[)3,-+∞9.一质点的速度v （单位：m/s ）与时间t （单位：s ）满足函数关系式322v t at =+，其中a 为常数.当1t =时，该质点的瞬时加速度为8m/s 2，则当2t =时，该质点的瞬时加速度为（）A.28m/s 2B.26m/s 2C.32m/s 2D.24m/s 210.已知函数()21xf x a =--，()242g x x x a =-+-，则（）A.当()g x 有2个零点时，()f x 只有1个零点B.当()g x 有3个零点时，()f x 有2个零点C.当()f x 有2个零点时，()g x 只有2个零点D.当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点的最小值为（）A. B.5C. D.612.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，60ABD ∠=︒，PB ，PC 与底面ABCD 所成的角分别为α，β，且45αβ+=︒，则PAAB=（）A.22B.32-C.22- D.32第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.一组样本数据12，15，12，13，18，10，16，19，15，12的众数为_____________，中位数为____________.14.若x ，y 满足约束条件1,23,x y x y -≥⎧⎨-≤⎩则x y +的取值范围是____________.15.甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交换的概率为____________16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()226f x y f x f y f x f y +=--+，()14f =，则()1ni f i ==∑___________()*n ∈N .三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组西小组合计（2）判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关，说明你的理由.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.82818.（12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin c A B =，a =.（1）求A ；（2）若D 为AB 边上一点，且4CD b =，证明：BCD △外接圆的周长为π.19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11113A C B C ==，11A B =，D 为11A B 的中点.（1）证明：1B C ∥平面1AC D .（2）若以1AB 为直径的球的表面积为48π，求三棱锥11B AC D -的体积.20.(12分)已知函数()log 2a f x x x =+-.(1)当01a <<时，求()f x 的单调区间;(2)定义[]x 表示不超过x 的最大整数，当1e a -=时，证明:()f x 有两个零点1x ，2x ，并求[]12x x +的值.参考数据:ln 20.693≈，ln 3 1.099≈，ln 7 1.946≈.21.（12分）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上一点(D 到左、右焦点的距离之差为6.（1）求C 的方程.（2）已知()3,0A -，()3,0B ，过点（5，0）的直线l 与C 交于M ，N （异于A ，B ）两点，直线MA 与NB 交于点P ，试问点P 到直线2x =-的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O 为极点，曲线M 的方程为4tan cos θρθ=，曲线N 的方程为sin m ρθ=，其中m 为常数.（1）以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M 与N 的直角坐标方程；（2）设1m =，曲线M 与N 的两个交点为A ，B ，点C 的极坐标为(),0t ，若ABC △的重心G 的极角为4π，求t 的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知()30,0a b a b +=>>.（1）若13b a -<-，求b 的取值范围；（2()1a b +的最大值.2024届高三数学试题参考答案（文科）1.A 【解析】本题考查集合中的元素，考查逻辑推理的核心素养.()min 2816xy =-⨯=-.2.A 【解析】本题考查平面向量的共线问题，考查数学运算的核心素养.因为a b ∥ ，所以()150x x -+-=，解得16x =-.3.C 【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养.依题意可得1CD r ==+，解得4r =.4.D 【解析】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心素养.如图1，当m n ⊥时，α与β不一定垂直.如图2，当αβ⊥时，m 与n 不一定垂直.所以“m n ⊥”是“αβ⊥”的既不充分也不必要条件.5.C 【解析】本题考查复数的运算与实部以及曲线与方程，考查数学运算的核心素养.因为()()22i 4i 43i x y x y x y xy +-=+-，所以2244x y +=，即2214x y +=，所以点(),x y 的轨迹是长轴长为4的椭圆.6.B 【解析】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.因为()()()()2sin sin 22sin sin 2f x x x x x f x -=---=-+=-，所以该函数为奇函数.因为sin y x =，sin 2y x =的最小正周期分别为2π，π，所以()2sin sin 2f x x x =-的最小正周期为2π.7.D 【解析】本题考查数列的新定义与数列求和，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.当1n =时，123n a =+=；当2n =时，213n a =+=；当2n >时，201n<<，n a n =.故数列{}n a 的前30项和为()3302833343064682+⨯++++⋅⋅⋅+=+=.8.B 【解析】本题考查对数函数、二次函数、一元二次不等式，考查逻辑推理的核心素养.依题意可得22x ax a -+要取遍所有正数，则280a a =-≥△，因为0a >，所以8a ≥，所以()()0.50.52log 2log 16log 164f a a =≤=-=-.9.A 【解析】本题考查导数的概念，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.262v t at '=+，当1t =时，628v a =+=，解得1a =.当2t =时，24428v '=+=，所以该质点的瞬时加速度为28m/s 2.10.D 【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.作出21xy =-，242y x x =-+的大致图象，如图所示.由图可知，当()g x 有2个零点时，()f x 无零点或只有一个零点；当()g x 有3个零点时，()f x 只有1个零点；当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点.11.B 【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.设()4,2A -，()1,0F -，(P x ，易知点P 的轨迹是抛物线24y x =-的上半部分.PA PF +.因为F 为抛物线24y x =-的焦点，所以PF 等于P 到抛物线24y x =-的准线1x =的距离，所以PA PF +的最小值等于A 到准线1x =的距离，所以的最小值为5.12.B 【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.设AB a =，PA b =，因为60ABD ∠=︒，所以2AC BD a ==，所以tan tan bPBA aα=∠=，tan tan 2b PCA a β=∠=.因为45αβ+=︒，所以()tan tan 2tan 11tan tan 12b b a a b ba a αβαβαβ+++===--⨯，解得32b a =（负根已舍去）.13.12；14【解析】本题考查样本的数字特征，考查数据处理能力.将这组数据按照从小到大的顺序排列为10，12，12，12，13，15，15，16，18，19，则这组数据的众数为12，中位数为1315142+=.14.(],3-∞【解析】本题考查简单的线性规划，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.作出约束条件表示的可行域（图略），当直线z x y =+经过点()2,1A 时，z 取得最大值3，所以x y +的取值范围是(],3-∞.15.19【解析】本题考查古典概型，考查应用意识.四位同学的所有换位情况如下图所示：由图可知甲和乙的座位恰好交换的概率为.1916.1222n n ++-【解析】本题考查抽象函数与数列的交汇，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.令1y =，得()()()()()()11221622f x f x f f x f f x +=--+=-.设数列{}n a 满足122n n a a +=-，14a =，则()1222n n a a +-=-，122a -=，所以数列{}2n a -是首项为2，公比也为2的等比数列，则22nn a -=，则22nn a =+，所以11122222212n nn i i a n n ++=-=+=+--∑.17.解：（1）2×2列联表如下：去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组402060西小组253560合计6555120（2）因为()221204035252010807 6.63560606555143K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.18.（1）解：因为sin sin c A B =，所以ac =，即c =，又a =，所以222222cos 22b c a A bc +-==-.因为()0,A π∈，所以56A π=.（2）证明：在ACD △中，由正弦定理，得sin sin CD bA ADC=∠，则sin 1sin 8b A ADC CD ∠==，则()1sin sin sin 8BDC ADC ADC π∠=-∠=∠=.设BCD △外接圆的半径为R ，则28sin aR a BDC===∠，所以BCD △外接圆的周长为π.19.（1）证明：连接1A C 交1AC 于点E ，则E 为1A C 的中点，连接DE ，因为D 为11A B 的中点，所以1DE B C ∥，又DE ⊂平面1AC D ，1B C ⊂/在平面1AC D ，所以1B C ∥平面1AC D .（2）解：因为1111A C B C =，D 为11A B 的中点，所以111C D A B ⊥，且11C D ==.因为以1AB 为直径的球的表面积为48π，所以2448ππ⨯=⎢⎥⎣⎦，解得14AA =.因为11B CD △的面积112S =⨯=，所以11111433B ACD AB C D V V -==⨯=.20.（1）解：()f x 的定义域为()0,+∞，()ln 1ln x a f x x a+'=.令ln 10x a +=，得1ln x a=-.当10,ln x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当1,ln x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明：当1e a -=时，()ln 2f x x x =-+-，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.112ln 7204949f ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，13ln 2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()31ln 30f =-<，73ln 7ln 2022f ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知()f x 有两个零点1x ，2x ，且111,492x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，273,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1213,449x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以[]123x x +=.21.解：（1）依题意可得222226,61,a ab =⎧⎪⎨⎪-=⎩解得3a =，21b =，故C 的方程为2219x y -=.（2）由题意可得直线l 的斜率不为0，设l 的方程为5x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立225,1,9x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22910160m y my -++=，则290m -≠，122109m y y m -+=-，122169y y m =-.直线AM ：()1133y y x x =++，直线BN ：()2233yy x x =--，联立()1133y y x x =++与()2233yy x x =--，消去y 得()()()()()212112121122121212112138888333222y x y my my y y y y my y y x x y x y my my y y my y y ++++-++====--+++11222112216806488999416162299m m my y m m m m my y m m -------===-++--，解得95x =，所以点P 在定直线95x =上.因为直线95x =与直线2x =-之间的距离为195，所以点P 到直线2x =-的距离为定值，且定值为195.22.解：（1）由4tan cos θρθ=，得()24sin cos cos 0θρθθ=≠，则()224sin cos cos 0ρθρθθ=≠，所以()240y x x =≠，所以曲线M 的直角坐标方程为()240x y x =≠.曲线N 的直角坐标方程为y m =.（2）因为1m =，所以曲线N 的直角坐标方程为1y =，代入24x y =，得2x =±，不妨设()2,1A -，()2,1B ，依题意可得C 的直角坐标为(),0t ，则G 的坐标为22110,33t -++++⎛⎫⎪⎝⎭，即2,33t ⎛⎫⎪⎝⎭.因为重心G 的极角为4π，所以233t =，解得2t =.23.解：（1）因为()30,0a b a b +=>>，所以3a b =-且03b <<，所以1b b -<，则1b b b -<-<，解得12b >，又03b <<，所以b 的取值范围为1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.（24342138222a b a b ++++++≤+==，4≤，当且仅当1a =，2b =时，等号成立.()221311422a b a b +++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b +=，即1a =，2b =()1a b +++的最大值为4+4=8.。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

高三数学《概率统计(文科)》练习

文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁）频数频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。

高三文科数学试卷（含答案）经典题

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线，则ｍ的值为．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是． a b b a a b 2的值为．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号甲样式甲样式乙样式乙样式丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ，从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。

高三文科数学高考复习试题（附答案）

高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。

高三文科数学知识要点总结

高三文科数学知识要点总结无论你是理科生还是文科生，数学公式，你必须掌握。

接下来是小编为大家整理的高三文科数学知识要点总结，希望大家喜欢!高三文科数学知识要点总结一1、函数的单调性(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数;f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数;若f(x)0，则f(x)为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数; 对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

高三文科数学知识要点总结二【一、《集合与函数》】内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

【二、《三角函数》】三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割;中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。

高三文科数学试卷带答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。

2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。

3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。

点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。

4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。

5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。

6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。

7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。

2022-2023学年宁夏银川市回民中学高三下学期开学考试数学(文科)试卷(解析版)

2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( )A. {2,3,4}B. {3,4}C. {2,3}D. {2}2. 已知a,b∈R，i是虚数单位，若(a+i)(1+i)=bi，则a+bi=( )A. −1+2iB. 1+2iC. 1−2iD. 1+i3. 已知向量a⃗，b⃗均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a⃗−3b⃗|等于( )A. √7B. √10C. √13D. 44. 已知在△ABC中，cos(A−π6)=−13，那么sin(A+π6)+cosA等于( )A. −√33B. √33C. −2√33D. 2√335. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)( )A. 1033B. 1053C. 1073D. 10936. 函数f(x)=12x2−xsin x的大致图象可能是( )A. B. C. D.7. 已知为等比数列，，，则A. B. C. D. 8. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段D1B1上有两个动点E、F，且EF=√2，则下列结论中错误的是( )A. AA1//平面BEFB. 三棱锥E−FAB的体积为定值C. 二面角A−EF−C的余弦值为13D. 当EF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，点A到E的距离为√69. “湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长.某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2=a，已经测得两个角∠P1P2D=α，∠P2P1D=β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有组( )①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1A. 0B. 1C. 2D. 310. 定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)>1−f(x)，f(0)=6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x+5(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A. (0,+∞)B. (−∞,0)∪(3,+∞)C. (−∞,0)∪(1,+∞)D. (3,+∞)11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2，焦距为2c，若直线y=√3(x+c)与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则椭圆的离心率是( )A. √22B. √3−1C. √3−12D. √3212. 已知侧棱长为2√3的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为36π，则该正四棱锥的体积为 A.163B.8√23C. 83D.323二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列{a n }的前n 项为S n ，若a 3=8，S 4=26，则公差d =________． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −2≥02x +y −7≤0x −y −2≤0，则z =3x +4y 的最大值是______．15. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)= ．16. 已知点M(1,2)，点P 是双曲线C ：x 29−y216=1左支上的动点，F 2为其右焦点，N 是圆D ：(x +5)2+y 2=1的动点，则|PM|−|PN|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

河南省十市2023届高三下学期开学考试数学(文)试题及答案(含解析)

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2M x y x ==+，{}53N x x =-<<，则MN =（）A.{}23x x -<≤B.{}5x x >- C.{}3x x < D.{}52x x -<-≤ 2.复数312ii z -=在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知函数()2ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线3y x =-平行，则该切线的方程为（）A.210x y ++=B.330x y +-=C.320x y +-=D.210x y +-=4.我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追潮到西汉时期.下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（）A.31824π-B.31216π-C.3912π- D.368π-5.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km ，上底面的边长为40km ，若水库的最大蓄水量为932810m 3⨯，则水库深度（棱台的高）为（） A.10m B.20m C.30m D.40m6.已知抛物线C ：()220y px p =>，过焦点F 的直线4340x y +-=与C 在第四象限交于M 点，则MF =（） A.3B.4C.5D.67.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（）A.14B.15C.16D.178.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1 2 3 4 5 6 7 在线外卖规模y （百万元）111318★28★35其中4､6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23.若利用回归直线方程y bx a =+来拟合预测，且7月相应于点()7,35的残差为-0.6，则ˆˆab -=（） A.1.0B.2.0C.3.0D.4.09.已知等比数列{}n a 的前4项和为30，且54314a a a =-，则9a =（） A.14B.18C.116D.13210.记函数()()2cos 0,2f x x b πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若24T f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 的,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则当ω取得最小值时，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.2B.1C.-1D.-211.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与C 交于P ，Q 两点，若P ，F ，Q 四等分线段AB ，则C 的离心率为（）A.33D.12.已知球O 的半径为2，四棱锥的顶点均在球O 的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（） A.53B.2C.73D.83二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,2m a a =-+-，()3,4n a a =-+，若()m n m +∥，则实数a =___________.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1233a a a +-=，34511a a a +-=，则n S =___________.15.写出与圆()2211x y -+=和()()22134x y -+-=都相切的一条直线的方程___________. 16.已知函数()3ln22a f x x b x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭（a ，b ∈R 且0a ≠）是偶函数，则a =___________，b =___________.（本题第1问2分，第2问3分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin tan sin sin B C A B C -=. （1）若A B =，求2sin A 的值；（2）证明：222a b c +为定值.18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间[]50,100中，并将数据分组，制成如下频率分布表：（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在[)70,80，[)80,90，[]90,100内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.19.（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，4AB =，2AD =，23BC =，6CD =.（1）证明：平面PCD ⊥平面PBC ；（2）若4PD =，求三棱锥P -ABC 的体积. 20.（12分）已知函数()33xf x xe x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当13x ≥时，()26f x ax x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，对称轴分别为x 轴､y 轴，且过A （-1，0），212B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点. （1）求E 的方程；（2）设F 为椭圆E 的一个焦点，M ，N 为椭圆E 上的两动点，且满足0MN AF ⋅=，当M ，O ，N 三点不共线时，求△MON 的面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11323133t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos sin 10m ρθρθ+-=. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()112f x x x =-++. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）设函数()2g x x a x =-+-，若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高三文科数学参考答案､提示及评分细则1.B {}{}22,{53}M xy x x x N x x ==+=-=-<<∣∣∣，所以{5}M N x x ⋃=>-∣.故选B.2.A 312i 12i 2i i i z --===+-，所以复数312i iz -=在复平面内对应的点为()2,1.故选A. 3.C ()12f x ax x'=-，则()1213f a -'==-，解得1a =-，所以()11f =-，则该切线的方程为()131y x +=--，即320x y +-=.故选C.4.C 如图所示，设两圆的圆心分别为12,O O ，两圆相交于,A B 两点，则两圆互过圆心，连接111222,,,,,,O A O B O O O A O B AB AB 与12O O 交于C ，则12111,1,2O O AB O A O C ⊥==，所以160AO C ∠=，则21120AO B AO B ∠∠==，所以弓形2AO B 的面积为211131332234S ππ=⨯⨯-⨯⨯=-，在矩形内任取一点，该点取自两圆公共部分的概率为3234332912p ππ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⨯.故选C.5.A 设水库深度为km h ，由题意，(22221282040204033h ++⨯⋅=，解得0.01km h =，即10m h =.故选A.6.C 由题意可知，F 的坐标为()1,0，则12p=，所以2p =，则抛物线C 的方程为24y x =，设(00,2M x x -，由00243MF x k -==-，解得04x =，所以052p MF x =+=.故选C.7.B 由题知111111,152231S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，111111514122315161615S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，开始出现1415S >，故输出的k 的值为15.故选B. 8.B ()112345674,237x y =++++++==，所以ˆˆ423b a +=.因为相应于点()7,35的残差为0.6-，则点()7,35.6在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，即ˆˆ735.6b a +=，解得ˆˆ 6.2, 4.2ab ==，则ˆˆ 2.0ab -=.故选B. 9.C 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，由54314a a a =-，得214q q =-，解得12q =，由414112112a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-30，解得116a =，所以891116216a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选C. 10.D 由题意可知，2,3T b πω==-，由24T f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2cos 322πϕ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=-，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，又函数()f x 的图象关于点,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以,662k k ωππππ-=+∈Z ，所以64,k k =+∈Z ，因为0ω>，所以当0k =时，ω取得最小值4，则()2cos 436f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故2cos 32826f πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 11.A 不妨设交点的顺序自上而下为,,,A P Q B ，则AP PF FQ QB ===，由对称性可知，AB x ⊥轴，则AB 的方程为x c =-，代入b y x a =-，求得,bc A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x ya b -=，求得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22,bc b b AP PF a a-==，所以22bc b b a a -=，所以2c b =，则a =，所以C 的离心率为3c e a ===.故选A. 12.D 四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形ABCD 的外接圆半径为r ，AC 与BD 的夹角为α，则四边形ABCD 的面积2111sin 222222S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⨯⨯=，当且仅当四边形ABCD 是正方形时，四边形ABCD 的面积取到最大值22r ）.要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心O ，该四棱锥为正四棱锥，设底面的边长为a ，四棱锥的高为h ，底面外接圆的半径为2r a ==，由题意可知，22(2)4r h +-=，即221(2)42a h +-=，所以()2224a h h =-，则04h <<，四棱锥的体积为()22312433V a h h h =⨯=-，令()234(04)f x x x x =-<<，则()283f x x x -'=，由()0f x '=，得83x =，由80,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0f x '>，由8,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0f x '<，所以()f x 在80,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则当83x =时，()f x 取得极大值，也就是最大值，此时83h =.故选D. 13.54()2,6m n +=，由()m n m +∥，得()()61220a a -+--=，解得54a =. 14.225n n +设等差数列{}n a 的公差为d ，由1233453,11a a a a a a +-=+-=两式相减得28d =，解得4d =，由(()111)23a a d a d ++-+=，得17a =，故()2174252n n n S n n n -=+⨯=+.15.3y =--或3y =--+或1y =（答案不唯一，3个中任填一个即可）易知圆22(1)1x y -+=和22(1)(3)4x y -+-=外切，显然1y =与这两圆都相切.设直线y kx b=+与圆22(1)1x y -+=和22(1)(3)4x y -+-=1=2=，所以23k b k b +=+-，令k b t +=，则2230t t +-=，解得1t =或3t =-，当1t =时，解得0k =，此时1b =，直线方程即为1y =；当3t =-3=，解得k =±，当k =3b =--；当k =-3b =-+，所以直线方程为3y =--或3y =--+.16.8ln2易知3y x =是奇函数，因为函数()3ln22af x x b x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭是偶函数，所以()ln22ag x b x=---是奇函数，又知2x ≠，根据奇函数的定义域关于原点对称，则2x ≠-，当2x =-时，204a-=，所以8a =，所以()824ln 2ln 22x g x b b x x +=--=---，则()040ln020g b +=-=-，解得ln2b =.经检验，8,ln2a b ==时符合题意. 17.（1）解：由A B =及已知，得()sin sin sin sin cos AA C A C A-=，又sin 0A ≠，所以()sin cos sin A C A C -=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C -=，所以sin cos 2cos sin A C A C =，又2C A π=-，则()()sin cos 22cos sin 2A A A A ππ-=-，所以-sin cos22cos sin2A A A A =，则()22sin 2cos 14cos sin A A A A --=，所以-222cos 14cos A A +=，解得21cos 6A =，故225sin 1cos 6A A =-=. （2）证明：由题意知，（sin sin cos cos sin )sin sin cos AB C B C B C A-=，所以()sin sin cos sin sin cos cos sin A B C C B A B A =+，则()2sin sin cos sin sin sin A B C C A B C =+=，由正弦定理，得2cos ab C c =，由余弦定理，得22222a b c ab c ab+-⨯=，整理，得2222223,3a b c a b c +=+=，故222a b c+为定值，得证. 18.解：（1）由频率分布表可知，10.150.250.300.100.20m =----=.这200份问卷得分的平均值估计为550.15650.25750.20850.30950.1074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由分层抽样的方法可知，抽取的6人中，成绩在[)70,80内的有2人，分别记为12,A A ；成绩在[)80,90内的有3人，分别记为123,,B B B ；成绩在[]90,100内的有1人，记为1C ，则从这6人中随机抽取3人的所有基本事件为{}{}{}{}{}121122123121112,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A C A B B ，{}{}{}{}{}{}{}{}113111123121131212213211,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B C A B B A B C A B C A B B A B B A B C ，{}{}{}{}{}{}{}223221231123121131231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B C A B C B B B B B C B B C B B C ，共20个，记这3人来自不同组为事件A ，其基本事件有{}{}{}{}{}111121*********,,,,,,,,,,,,,,A B C A B C A B C A B C A B C ，{}231,,A B C ，共6个，故这3人来自不同组的概率为()632010P A ==. 19.（1）证明：连结BD ，因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为,4,AB AD AB AD ⊥==22218BD AD AB =+=.又BC CD ==222,BD CD BC BC CD =+⊥.又,PD CD D PD ⋂=⊂平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，故平面PCD ⊥平面PBC .（2）解：法一：由（1），得BD =所以()sin sin sin cos cos sin ABC ABD DBC ABD DBC ABD DBC ∠∠∠∠∠∠∠=+=+3==，则ABC 的面积为11sin 422ABCSAB BC ABC ∠=⨯=⨯⨯=故三棱锥P ABC -的体积为11433ABCP ABC V S PD -=⨯⨯=⨯=三校倠法二：因为,AB AD BC CD ⊥⊥，所以ABC ADC ∠∠π+=，所以cos cos ABC ADC ∠∠=-.在ABC 与ADC 中，由余弦定理得222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABC AD CD AD CD ADC ∠∠=+-⋅⋅=+-⋅⋅，因此22224242ABC ABC ∠∠+-⨯⨯=++，解得cos ABC ∠=，所以sin ABC ∠=则ABC 的面积为11sin 422ABC S AB BC ABC ∠=⨯⋅=⨯⨯=，故三棱锥P ABC -的体积为114333ABC P ABC V S PD -=⨯⨯=⨯=三校倠. 20.解：（1）()()()()21e 331e 33x x f x x x x x =+-+=+-+'，设()e 33x h x x =-+，则()e 3xh x '=-，当(),ln3x ∞∈-时，()0h x '<，当()ln3,x ∞∈+时，()0h x '>，所以()h x 在(),ln3∞-上单调递减，在()ln3,∞+上单调递增，所以()()ln363ln30h x h =->，则e 330x x -+>，所以当(),1x ∞∈--时，()0f x '<，当()1,x ∞∈-+时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1∞--，单调递增区间为()1,∞-+.（2）当13x 时，()26f x ax x +恒成立，等价于e 3x a x x x --在1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立. 设()e 313x g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()22221e 1e 331x x x x x g x x x x---+=-+'=，设()()211e 33x x x x x ϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则()()e 2x x x ϕ'=-，当1,ln23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()ln2,x ∞∈+时，()0h x '>，所以()x ϕ在1,ln23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()ln2,∞+上单调递增，则()()()()()22ln22ln21(ln2)32ln21(ln2)2ln22ln20x ϕϕ=--+>--+=->，所以()0g x '>，则()g x 在1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递增，故()g x 的最小值为12833g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3283e 3a-，所以实数a 的取值范围为283∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 21.解：（1）设E 的方程为221(0,0,)sx ty s t s t +=>>≠，由题意，1,1,2s s t =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,2s t ==，故E 的方程为2212y x +=. （2）由椭圆的对称性，不妨设F 为下焦点，则()0,1F -，所以()1,1AF =-，因为0MN AF ⋅=，所以直线MN 的斜率为1，设直线MN 的方程为()()()11220,,,,y x m m M x y N x y =+≠，由221,2,y x y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得223220x mx m ++-=，则()()222Δ4432830m m m =-⨯⨯-=->，所以23m <且0m ≠.2121222,33m m x x x x -+=-=所以12MN x =-=== 原点O 到直线MN的距离为d =，则MON的面积为)()223112223322MON m mS MN d +-=⨯⨯=⨯=⨯=，当且仅当232m =，即2m =±时，MON 的面积最大，显然2m =±满足23m <且0m ≠，所以MON22.解：（1）因为113123t t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且22222211132,32433t t t t x y ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以2244x y -=，则曲线C 的普通方程为()22114y x x -=. （2）由cos sin 10m ρθρθ+-=，化为直角坐标方程为10mx y +-=. 由2210,1,4mx y y x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()224250m x mx -+-=. 则()2222240,Δ42040,20,450,4m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪-⎪>-⎩解得2m <<，故m的取值范围为(. 23.解：（1）()12,1,231,1,22112,,22x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+>⎪⎩当1x <-时，由1232x --，得714x -<-；当112x -时，()3f x 恒成立；当12x >时，由1232x +，得1524x <. 综上，()3f x 的解集为7544xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）因为对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =，所以(){}(){}yy f x y y g x =⊆=∣∣. 又()()()11311,22222f x x x x x g x x a x a =-++--+==-+--，等号都能取到，所以322a -，解得1722a ，所以实数a 的取值范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

高三文科数学基础题(导数、切线方程)

文科导数、切线方程练习一、选择题1．函数()22)(x x f π=的导数是（） A.x x f π4)(=' B.x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(=' 2.曲线2313-=x y 在点)37,1(--处的切线的倾斜角为（） A . 30o B . 45o C . 135o D . -45o3. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（）A.1B.2C.－1D. 0 4．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--5．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为（）A ．31y x =-B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =6.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（）A .1B .2C .eD .1e 7.曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（）A .1y x =-B .1y x =-+C .22y x =-D .22y x =-+8．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则A .1,1a b ==B . 1,1a b =-=C .1,1a b ==-D . 1,1a b =-=-9．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 二、填空题 11.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.12.曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________13.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于_______________14.若23ln 4x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为三、解答题：13．已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6a x 若a =1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;14．已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x-=-+-∈）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；15．已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a >0. 若a =1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；16．已知函数f （x ）=3213x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2. 求实数a , b 的值；17. 已知函数32()23 3.f x x x =-+求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；18．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

高三文科数学公式大全

高三文科数学公式大全数学公式是人类长期生产劳动的经验总结,包含着历代数学家辛勤汗水和智慧,它揭示了数学知识的基本规律,是学生数学认知发展的重要载体。

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欢迎参考阅读!高三文科数学公式大全如下：一、对数函数log.a(MN)=logaM+logNloga(M/N)=logaM-logaNlogaM^n=nlogaM(n=R)logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1)二、简单几何体的面积与体积S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高)S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半)设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*hS圆柱侧=c*lS圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*lS圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*lS球=4*兀*R^3V柱体=S*hV锥体=(1/3)*S*hV球=(4/3)*兀*R^3三、两直线的位置关系及距离公式(1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1|(2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式|AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2](3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|/sqr(A^2+B^2)(4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-C2|/sqr(A^2+B^2)同角三角函数的基本关系及诱导公式sin(2*k*兀+a)=sin(a)cos(2*k*兀+a)=cosatan(2*兀+a)=tanasin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tanasin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tanasin(兀+a)=-sinasin(兀-a)=sinacos(兀+a)=-cosacos(兀-a)=-cosatan(兀+a)=tana四、二倍角公式及其变形使用1、二倍角公式sin2a=2*sina*cosacos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2]2、二倍角公式的变形(cosa)^2=(1+cos2a)/2(sina)^2=(1-cos2a)/2tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina五、正弦定理和余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bccosAb^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosCcosA=(b^2+c^2-a^2)/2bccosB=(a^2+c^2-b^2)/2accosC=(a^2+b^2-c^2)/2abtan(兀-a)=-tanasin(兀/2+a)=cosasin(兀/2-a)=cosacos(兀/2+a)=-sinacos(兀/2-a)=sinatan(兀/2+a)=-cotatan(兀/2-a)=cota(sina)^2+(cosa)^2=1sina/cosa=tana两角和与差的余弦公式cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinbcos(a-b)=cosa*cosb-sina*sinb两角和与差的正弦公式sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinbsin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb两角和与差的正切公式tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)。

四川省成都市石室中学2024届高三上学期开学考试数学文科试题含答案

侧视图0.5俯视图1正视图10.5成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}14A x x =∈-≤<N ，{}2230B x x x =--<，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32.若复数z 满足(13i)24i z ⋅+=-，则z =()A ．22B ．1C D ．23.函数23()e xx xf x -=的图象大致是()AB C D 4.已知实数,x y 满足()01x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y>D ．33x y>5.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A.8B.6C.4D.26.已知命题:p 若22,ac bc >则a b >；命题:q 在ABC ∆中，sin sin A B =是A B =的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ⌝∨ B.()p q ⌝∨ C.p q ∧ D.p q ∧⌝7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A ．14B.12C.1D.28.已知函数()sin(4)(0)f x A x ϕϕ=+<<π的图象与y 轴交点的坐标为，且图象关于直线24x π=-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()A ．12B ．1C D ．29.已知ABC ∆中，若23A π=，2c =，ABC ∆的面积为32，D 为边BC 的中点，则AD 的长度是（）A.5714B.32C.1D.210.已知0.90.930.7,log 2a c ==，b=0.8，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<11.已知圆2212316:()33C x y +-=过双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点12,F F ,曲线1C 与曲线2C 在第一象限交点为M ，1212,MF MF ⋅=则双曲线2C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．312.已知函数()114x xf x e e --=-+，若方程()4(0)f x kx k k =+->有三个不同的根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=（）A.4B.3C.2D.k第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知倾斜角为α的直线l 与直线:230m x y -+=垂直，则cos 2α=.14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤--+0202222y x y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是_________.15.直线01=--y x 与抛物线x y 42=交于,A B 两点，过线段AB 的中点作直线1-=x 的垂线，垂足为M ，则=⋅MB MA .16.已知三棱锥BCD A -中,2====AD BC CD AB ,t BD AC ==,当三棱锥BCD A -体积最大时,t 的值为.三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-.（1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，平面ADP ⊥底面ABCD ，AP =DP ，且AP ⊥DP ，设E ，F 分别为CP ，BD 的中点，2FP =．（1）求证：AP ⊥CP ；（2）求三棱锥P -ADE 的体积．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中24y =,71()(70i i i x x y y =--=∑，721()=176i i y y =-∑．（1）运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？（2）若求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数()()nii xx y y r --=∑y bx a =+$$$，其中121()(()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$8.77≈．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点分别为1F ,2F ，且2F 为抛物线22:8C y x=的焦点，P 为椭圆1C 上一点.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知A ，B 为椭圆1C 上不同两点，且都在x 轴上方，满足12F A F B λ=.（ⅰ）若3λ=，求直线1F A 的斜率；（ⅱ）若直线1F A 与抛物线2y x =无交点，求四边形12F F BA 面积的取值范围.设()ln f x x =．（1）证明：()y f x =的图象与直线xy e=-有且只有一个横坐标为α的公共点，且1(,1)e α∈；（2）求所有的实数k ，使得直线y kx =与函数2()y f x =的图象相切；（3）设2,,((,)a b c eα∈+∞（其中α由（1）给出），且3a b c ++=，()ln 2g x x =+，求g 2(a )+g 2(b )+g 2(c )的最大值．22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为.(1)求的值；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCADCDACBACB二、填空题13.35-;14.3+15.0;16.433.三、解答题17．解：（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列.．．．．．．．．．．．．．5分（2）()11122n nn a n a --=-⋅=1n n n b b a n +=+-12nn n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥ 12b =满足上式.2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）∵ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ．（1分）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，（3分）∴CD ⊥AP ．又AP ⊥DP ，CD ∩DP =D ，∴AP ⊥平面PCD ，（5分）∴PA PC ⊥．（6分）（2）∵四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则AC ∩BD =F ，F 为AC 中点．∵E 为PC 中点，∴在△ACP 中，EF PA ∥．∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF 平面ADP ．∴E 到面ADP 的距离等于F 到面ADP 的距离．（8分）由（1）知，PA PC ⊥，∴12PF AC ==AC=，∴2AB AD ==,PA PD ==（9分）（法一）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则MF ∥CD ，又CD ⊥平面ADP ，∴MF ⊥平面ADP ．∴111113323P ADE E PAD F PAD PAD V V V MF ---∆===⋅=⨯=．（12分）（法二）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则PM ⊥AD ．∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，PM ⊂平面PAD ，∴PM ⊥底面ABCD ，112PM AD ==．∴11111213323P ADE E PAD F PAD P ADF ADF V V V V S PM ----∆====⋅=⨯⨯⨯⨯=．（12分）19．解：（1）根据题意，得()1891011121314117x =++++++=．（1分）()()()()()()()()2222227122811+911+1011+1111+1211+1311+1411=28i i x x =-------=-∑（2分）70.16．（3分）因而相关系数()()7700.99870.16iix x y y r --==≈∑．（5分）由于0.998r ≈很接近1，∴可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．（6分）（2）()()()7172178ˆ0522i ii ii x x yy bx x ==--===-∑∑，（8分）5724112ˆ2a=-⨯=-，（9分）∴ y 关于 x的回归方程为5722ˆy x =-．（11分）若19x =，则5719442ˆ2y=⨯-=颗．∴在19℃的温度下，种子的发芽颗数为44．（12分）20．解：（1）依题意得2c =，则1(2,0)F -，2(2,0)F .于是12a PF =2PF +=，从而a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.．．．．．．．．．．．．．3分（2）如图，设1F A 直线交椭圆于另一点'B ，2F B 直线交椭圆于另一点A'，由12F A F B λ=，故12//F A F B ，由椭圆对称性，2112',A'BF B F AF F ==，且四边形''ABA B 为平行四边形.．．．．．．．．．．．．．5分○1由题意直线'AB 的斜率不为0，设直线'AB ：2x ty =-，由22228x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()222440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22',B x y ，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+，由12111233'3F A F B F A F B y y =⇒=-⇒=-（*）带入上式，解得：122262,22t ty y t t -==++故2222124,0(),1(2)2t t t t t -=->∴=++由图Q ，故1F A 的斜率为1.．．．．．．．．．．．．．8分○2由22x ty y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得220y ty -+=，由()280t ∆=--<得28t <.所以12'AB y =-=)2212t t +=+，'AB 与'BA 间的距离d =2F 到'AB 的距离），故1212AF F BAB A B S S ''==)221122t t +⋅+28212t =+，[)1,3s =∈，则1222AF F BS t=+211s s s==++5⎛∈ ⎝，所以四边形12AFF B的面积的取值范围为5⎛⎝⎦.．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）考虑函数()ln xu x x e =+，易知()u x 在(0,1)上单调递增，且(1)0u >，1()0u e<．因此有且只有1(,1)e α∈使得()0u α=，即()y f x =的图象与直线x y e=-有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为α．…………3分（2）22ln [()]xf x x'=．设200(,ln )P x x 是2()y f x =的图象上一点，则该点处的切线为200002ln ln ()x y x x x x -=-，整理得200002ln 2ln ln x y x x x x =-+．令2002ln ln 0x x -+=，解得01x =或20x e =．因此0y =与24y x e=与函数2()y f x =的图象相切．因此所求实数k 的值为0或24e ．…………7分（3）设224()ln h x x x e =-，则22ln 4()x h x x e '=-．设ln ()x x x ϕ=，则21ln ()xx xϕ-'=．当2x e α<<时，()0x ϕ'>；当x e >时，()0x ϕ'<．因此()x ϕ在2(,)e α上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．从而()h x '在2(,)e α上单调递增，(,)e +∞上单调递减．注意到2()0h e '=，故当2e x e <<时()0h x '>，当2x e >时()0h x '<，因此()h x 在2(,)e e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增．所以当[,)x e ∈+∞时，2()()0h x h e ≤=．另一方面，注意到24(1)0h e '=-<，故必然存在0(1,)x e ∈，使得0()0h x '=，且当20x x α<<时()0h x '<，当0x x e <<时()0h x '>．因此()h x 在20(,)x α上单调递减，在0(,)x e 上单调递增．显然2()()0h e h e <=，而22222422()ln (2ln )(2ln )0h e e eααααα=-=+-=．因此当2(,)x e α∈时，()0h x <．综上可知当2x α>时()0h x ≤，即224ln x x e≤，当且仅当2x e =时等号成立．由于222()ln ()g x e x =，故当22e x α>，即2()x e α>时，2224()()4g x e x x e<⋅=，当且仅当22e x e =，即1x =时等号成立．因此222()()()44412g a g b g c a b c ++≤++=，当且仅当1a b c ===时等号成立．因此222322……5分（2）曲线:2cos C ρθ=，直线:(cos sin )4l ρθθ+=，分别代入θα=，得2cos A ρα=，4sin cos B ραα=+，由||||OA AB =知2B A ρρ=，即44cos sin cos ααα=+，2sin cos cos 1ααα∴+=即π2sin(2)42α+=，故π3π244α+=即π4α=.……10分。

高三数学复习(文科)立体几何知识点、方法总结

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

llαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。