2010-数值计算方法
数值计算方法
数值计算方法在数学中，数值计算是解决实际问题常用的重要方法。
解决这类问题时，只要按照由简单到复杂、由特殊到一般的思维顺序进行逐步分析和研究，总能得到正确的结果。
下面，就有关数值计算方法和运算的规则及要求，进行分析讨论，并举例说明。
当数列或函数的各项中，如果出现加减乘除以外的运算，一定要首先考虑通过“分解”、“凑整”等数值运算的办法来解决，而不能直接运算。
具体来说，可采用以下方法：在运算过程中，为了省略乘方或开方运算，需将原式写成分子、分母都是较大数字的形式；为了使相乘的积尽量不变号，也可以把分母化成整数，再相乘；为了使被除数尽可能多地乘上除数所以位数较多的数，应把除数扩大成被除数的许多倍，然后用乘法分配律进行简便运算；为了把小数化成整数，需将小数点向右移动若干位，使小数的小数部分全部转换成整数的形式；为了保证每一位乘得的结果不变号，还可以对乘法和除法同时进行一次因式分解，使分子、分母同时除以较大的数字，从而在计算时，把小数化成整数，最后按照前面说的分配律，用简便方法进行简便运算。
对于分数值的计算，要先根据分数的意义计算出结果，再将得到的整数写成分数的形式，最后按照分数的运算法则进行运算。
计算方法不但要考虑数字本身的特征，而且还要注意分数与整数之间的互化问题。
一般地，分数的分子和分母都乘以同一个整数后，分数值发生了变化，所以必须进行同分母分数的加减运算；一般地，分数的分子和分母同时乘以较大的整数时，其值仍然不变，故不需要进行同分子分数的加减运算。
例如： 12*10=12(10)=2×3= 6(后一步不需要进行运算)； 2*4=8(后一步不需要进行运算)； 15*5=45(后一步不需要进行运算)。
关于约分，不仅要看被分数的整数部分和分数部分是否互质，而且要考虑两部分的大小是否适合分子、分母互质，是否有公因数等情况。
例如： 6*2/3=2/3(大小合适)； 14/18=4/9(大小不合适)。
数值计算方法
数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。
在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。
本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。
2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。
它可以用于求解方程的根或函数的零点。
二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。
2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。
它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。
2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。
在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。
数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。
3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。
以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。
3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。
数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数字和计算机来解决数学问题的方法。
它使用数值近似和算法来处理复杂的数学运算，从而帮助人们在实际应用中获得准确和可靠的结果。
在本文中，我将介绍数值计算方法的基本原理、常见的数值计算方法以及其在不同领域的应用。
一、基本原理数值计算方法的基本原理是将复杂的数学问题转化为简单的数值近似。
当我们遇到无法直接求解的数学问题时，我们可以通过逼近、插值、数值积分等方法来找到问题的近似解。
这些方法依赖于数值计算的基本运算，如加法、减法、乘法和除法，以及根据需要进行的其他运算，如开方、求幂、对数等。
二、常见的数值计算方法1. 逼近法：逼近法是一种通过构造一系列逼近值来找到待求解问题的近似解的方法。
常见的逼近法包括线性逼近、多项式逼近和三角函数逼近等。
2. 插值法：插值法是通过已知数据点来推断未知数据点的数值的方法。
最常见的插值法是拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 数值积分：数值积分是通过将定积分转化为求和的形式来计算复杂的积分问题的方法。
常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法等。
4. 方程求解：方程求解是通过数值计算方法来找到方程的根的方法。
常见的方程求解方法包括二分法、牛顿迭代法和割线法等。
5. 数值微分：数值微分是通过数值计算方法来近似计算函数的导数的方法。
最常见的数值微分方法是中心差分法和前向差分法。
三、数值计算方法的应用数值计算方法在多个领域都有广泛的应用。
以下是数值计算方法在一些领域的应用示例：1. 物理学：数值计算方法在物理学中常用于解决运动、电磁场、量子力学等问题。
通过数值模拟和计算，可以得到粒子的轨迹、电场分布和能级结构等重要信息。
2. 工程学：数值计算方法在工程学中广泛应用于结构分析、流体力学、电路设计等领域。
通过数值模拟和计算，可以预测材料的强度、流体的流动特性和电路的性能等。
3. 经济学：数值计算方法在经济学中用于解决成本、收益、市场供需等问题。
通过数值模拟和计算，可以预测经济指标的变化趋势和决策的效果。
数值计算方法
数值计算方法
首先，数值计算方法涉及到数值逼近和插值。
在实际问题中，我们经常会遇到
一些函数的图像，但是这些函数并不一定能够通过解析表达式来描述，这时候我们就需要利用数值逼近和插值的方法来近似表示这些函数。
数值逼近和插值的方法有很多种，比如最小二乘法、拉格朗日插值法、牛顿插值法等，它们可以帮助我们用简单的函数来近似表示复杂的函数，从而方便我们进行计算和分析。
其次，数值计算方法还涉及到数值积分和微分方程的数值解法。
在实际问题中，我们经常需要计算一些函数的积分或者求解一些微分方程，但是这些问题并不一定能够通过解析的方法来得到精确的解，这时候我们就需要利用数值积分和微分方程的数值解法来进行近似计算。
数值积分和微分方程的数值解法有很多种，比如复化梯形公式、龙格-库塔法、有限元法等，它们可以帮助我们用离散的方法来近似表
示连续的函数，从而方便我们进行计算和分析。
另外，数值计算方法还涉及到线性代数和矩阵计算。
在实际问题中，我们经常
会遇到一些线性方程组的求解问题，或者矩阵的特征值和特征向量的计算问题，这时候我们就需要利用线性代数和矩阵计算的方法来进行求解。
线性代数和矩阵计算的方法有很多种，比如高斯消元法、雅可比迭代法、幂法等，它们可以帮助我们高效地求解线性方程组，计算矩阵的特征值和特征向量，从而方便我们进行计算和分析。
总的来说，数值计算方法是一门非常重要的学科，它不仅为科学家和工程师提
供了强大的工具，也为数学家提供了新的研究方向。
通过数值计算方法，我们可以更好地理解和解决实际问题，促进科学技术的发展。
希望通过不断地学习和研究，我们能够更好地利用数值计算方法来解决更多的实际问题，为人类的发展做出更大的贡献。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是指通过数值运算来解决数学问题的一种方法。
数值计算方法在现代科学与工程领域中广泛应用，例如在数值模拟、数据分析、优化问题等方面都扮演着重要的角色。
本文将介绍数值计算方法的一些基本概念与常见算法。
数值计算方法的基本概念包括数值逼近、插值与数值积分。
数值逼近是指通过数值运算得到对某个数值的逼近值。
例如，我们可以用泰勒级数展开来逼近某个函数的值。
插值是指通过已知点的数值来求解未知点的数值。
常见的插值方法有线性插值、拉格朗日插值等。
数值积分是指通过数值运算来求解某个函数的积分值。
蒙特卡洛积分和数值求积公式是常用的数值积分方法。
数值计算方法中常用的算法有迭代法、分治法和优化方法等。
迭代法是一种通过不断逼近的方法来求解某个问题的算法。
例如，牛顿迭代法可以用来求解非线性方程的根。
分治法是指将一个大问题分割成多个小问题来求解的方法。
例如，快速排序算法就是一种基于分治思想的排序算法。
优化方法是一种通过寻找最优解的方法来求解某个问题的算法。
例如，梯度下降法可以用来求解无约束优化问题。
数值计算方法在实际应用中需要考虑到数值稳定性与计算效率。
数值稳定性是指算法在数值计算过程中的误差控制能力。
例如，矩阵求逆过程中的舍入误差会对结果造成较大影响，需要通过数值稳定的算法来减小误差。
计算效率是指算法在计算过程中所需的时间与空间。
例如，矩阵乘法的传统算法的时间复杂度为O(n^3)，而通过Strassen算法可以将时间复杂度减小为O(n^log2^7)。
因此，在实际应用中需要选择合适的算法来平衡数值稳定性与计算效率的要求。
在数值计算方法中，误差分析是一项重要的工作。
误差分析是指通过数学分析来分析与评估数值计算的误差。
例如，可以通过泰勒级数的余项来估计数值逼近的误差。
误差分析有助于理解数值计算算法的准确性与可靠性，并帮助我们选择合适的算法以及确定适当的计算精度。
总之，数值计算方法是一种通过数值运算来解决数学问题的方法。
数学的数值计算方法
数学的数值计算方法数值计算法是数学中一个重要的分支，它研究如何利用计算机进行数学问题的求解与模拟。
在现代科学与工程领域，数值计算法被广泛应用于解决各种实际问题，如物理模拟、数据分析、优化问题等。
本文将介绍几种常用的数值计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、插值与拟合方法插值与拟合是数值计算中常见的问题。
它们的目标是通过已知的数据点构建出一个函数，以便对未知点进行估计或者进行数据拟合。
在插值方法中，我们希望通过已知数据点构建出一个通过这些点的函数；而在拟合方法中，我们希望通过已知数据点找到一个函数，使得该函数与实际数据的误差最小。
在插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值基于插值多项式的思想，通过利用数据点的函数值和相应的系数进行插值；牛顿插值则是通过差商的概念构建出插值多项式。
而在拟合方法中，最常用的是最小二乘拟合。
最小二乘拟合通过最小化实际数据与拟合函数之间的误差，找到最优的拟合函数。
二、数值微积分方法数值微积分方法是研究如何通过数值计算的方式求解微积分问题。
微积分问题涉及到函数的极限、导数、积分等。
在实际计算中，我们无法通过传统的解析方法求解这些问题，而需要借助数值计算的手段。
在数值计算微积分中，最常用的是数值积分方法和微分方程的数值解法。
数值积分方法通过数值逼近的方式求解积分问题，如梯形法则和辛普森法则；微分方程的数值解法则是通过数值逼近的方式求解微分方程的解，如欧拉法和龙格-库塔法。
三、线性代数方法线性代数是数值计算中的一个重要分支，它研究线性方程组与矩阵运算的数值计算方法。
在实际科学与工程问题中，线性方程组的求解与矩阵运算是非常常见的。
线性方程组的数值解法包括直接法和迭代法。
直接法适用于方程组规模较小、系数矩阵呈稠密型的情况，如高斯消元法和LU分解法；而迭代法适用于方程组规模较大、系数矩阵呈稀疏型的情况，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
矩阵运算的数值方法包括矩阵乘法、矩阵分解与特征值求解等，如QR分解和幂法。
数值计算方法（精品）
《数值计算方法》科学出版社黄明游第一章绪论1.1数值计算方法研究的对象、任务与特点一、关于本课程的名称本课程及其相近课程的名称有：《计算方法》、《数值计算》、《数值计算方法》、《数值分析》、《计算数学》、《科学计算》、《科学与工程计算》，等等。
二、数值计算方法概述（一）数值计算方法属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。
由于近几十年来计算机的迅速发展，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值计算方法不断出现。
现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。
所以数值计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其它学科的联系十分紧密。
由于大量的问题要在计算机上求解，所以要对各种数值计算方法进行分析，其内容包括：误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。
当代实际的科学与工程计算中，计算问题往往是复杂的和综合的。
但是有一些最基础、最常用的数值计算方法，它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。
本书主要讨论这些方法及其分析，它们包括逼近问题（函数的插值和逼近，数值积分和微分），线性代数问题（方程组和特征值问题）和非线性方程及方程组的数值解法问题，以及常微分方程的数值解法等。
这些是数值计算方法最基础的内容，不仅可以直接应用于实际计算，同时也是其它数值计算问题所用到的方法及其分析的基础。
（二）数值计算方法（或称计算方法）是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科，它的理论与方法随计算工具的发展而发展。
在古代，人类研究的数学问题几乎总与计算有关，而计算工具的简陋，使求解问题受到很大限制。
现代科学技术日新月异，尤其是计算机技术飞速发展，人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理（包括图形，图像，声音，文字），计算机不仅是现代计算工具，而且已成了我们工作环境的一部分。
数值计算方法与算法
数值计算方法与算法
数值逼近方法主要用于近似计算函数的值或者函数的导数值。
例如，
泰勒级数展开法是一种常见的数值逼近方法，可以通过多项式逼近函数的值。
而有限差分法则是一种离散化的数值逼近方法，可以通过计算差商来
逼近函数的导数值。
数值求解方法主要用于求解方程和方程组的数值解。
例如，二分法是
一种常见的数值求解方法，通过不断二分区间来逼近方程的根。
而牛顿法
是一种迭代的数值求解方法，通过迭代逼近方程的根。
数值优化方法主要用于求解最大化或者最小化问题。
例如，梯度下降
法是一种常见的数值优化方法，通过沿着函数梯度的反方向迭代逼近最小
值点。
而线性规划方法则是一种用于求解线性最优化问题的数值优化方法。
在实际应用中，数值计算方法与算法可以通过计算机程序来实现。
例如，利用计算机的浮点数运算功能，可以通过编写程序来实现数值计算方
法与算法，从而求解各种复杂问题。
数值计算方法与算法在科学研究和工程实践中具有很大的应用价值。
它可以用于求解物理学中的微分方程、计算机图形学中的渲染算法、金融
工程中的衍生品估值等各个领域。
通过数值计算方法与算法，可以更加准
确和高效地进行科学计算和工程计算，提高问题求解的精度和速度。
总之，数值计算方法与算法是一门重要的数学分支，它为科学计算和
工程计算提供了有效的数值近似求解方法。
通过数值计算方法与算法，可
以更好地解决无法通过解析方法精确求解的问题，以及提高问题求解的效
率和准确性。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法，是指通过数值代数和解析几何的思想和方法，利用计算机技术进行数学计算和问题求解的方法。
它在科学计算、工程技术、金融统计等领域都有广泛应用。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，以及其在实际问题中的应用。
一、基本原理数值计算方法的基本原理是将连续问题离散化，然后通过数值逼近来求解。
离散化是将整个问题分割成一系列的小问题，求解这些小问题，最后再将结果组合起来得到整体的解。
数值逼近是指我们通过一系列数值计算来逼近问题的精确解，以达到预期的计算精度。
二、常用技术1. 插值法插值法是指根据已知数据点的函数值，通过构造一个插值函数来估计中间点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过构造一个多项式，使其经过已知数据点，然后利用该多项式来求解中间点的函数值。
牛顿插值法是通过构造一个差商表，然后利用差商表来计算中间点的函数值。
2. 数值积分数值积分是指通过数值方法来计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
梯形法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的梯形面积来逼近函数的积分。
辛普森法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的曲线面积来逼近函数的积分。
龙贝格法则是通过不断加密求解区间，然后通过龙贝格加法将不同精度的近似值进行组合，从而得到更高精度的积分结果。
3. 数值微分数值微分是指通过数值方法来计算函数的导数。
常用的数值微分方法有有限差分法和牛顿差商法。
有限差分法是通过计算函数在一些离散点上的差分值，然后用差分值逼近函数的导数。
牛顿差商法是通过构造差商表，然后利用差商从而计算函数的导数。
4. 方程求解方程求解是指通过数值方法来求解非线性方程或线性方程组的根。
常用的方程求解方法有二分法、牛顿迭代法和高斯消元法。
二分法是通过不断将区间分成两部分，然后根据函数值的符号变化来确定方程的根。
牛顿迭代法是通过在初值附近进行迭代，根据切线与横坐标轴的交点来逼近根。
2010--12-第十二章 其他类型厂房--2节课
第十二章其他类型厂房地面厂房包括：引水式、坝后式和河床式。
后又衍生出：厂顶溢流式、坝内式、厂顶挑流式。
地下厂房：主厂房、主要副厂房、主变等布置于地下。
（1）坝后式厂房布置在非溢流坝后、与坝体衔接的厂房。
当坝址河谷较宽，河谷中布置溢流坝外，还可以布置非溢流坝时，通常采用这种厂房。
特点：厂房设置在坝后，本身不起挡水作用。
适用：水头较高的电站。
通常在厂坝连接处设纵向缝将厂坝结构分开，各自承受荷载和保持稳定——设伸縮节。
（1）坝后式厂房在厂坝连接处也可以不设纵向缝，这时将厂坝下部结构连成整体，共同承受荷载和保持整体稳定。
优点：可以减小坝体和厂房体积，节省工程量。
缺点：受坝体变形影响，荷载传给厂房，使厂房应力状态更复杂化，甚至造成机组主轴歪斜。
（2）溢流式当河谷较窄而水电站机组台数较多、布置厂房有困难时，可将厂房布置在溢流坝下游，洪水通过厂房顶泄入下游河道，这种布置称为溢流式水电站。
如浙江的新安江水电站和云南的漫湾水电站都采用了这种布置形式。
压力水管进水口的布置方式有两种：✓在溢流坝闸墩下，进水口闸门与溢流坝顶闸门操作互不干扰；✓在溢流堰下，用蝶阀。
溢流式厂房与坝的连接方式： 厂坝上下均分开，图12-2；厂坝上下连成整体；厂坝下分上连，图12-3（a）；溢流式厂房的顶板在泄洪时受到高速水流的冲击作用，振动比较大。
为此有些电站将厂房布置在挑流鼻坎高程以下。
比如乌江渡水电站，称挑流式。
（3）坝内式厂房当河面狭窄无法布置厂房，且坝高足够时，可将厂房设置在混凝土重力坝或重力拱坝的坝体空腹内。
坝内厂房空腔的大小和形状对坝体的应力影响非常大。
其布置设计应该与大坝剖面形状的拟定密切配合进行。
需要用到有限元法或模型试验方法。
主厂房与进水口连接成一整体建筑物，在河床中起壅水作用，这样的厂房称为河床式厂房。
一、立轴轴流式水轮机一般采用钢筋混凝土蜗壳，包角有180和135度。
厂房机组段长度由蜗壳前室宽度加上边墙的厚度确定。
——低水头蜗壳断面形状分为：✓下伸不对称梯形断面✓上伸不对称梯形断面✓上下伸结合深溪沟水电站◆进水口段垂直水流方向的长度即为厂房机组段的长度。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过数学模型和计算机算法来解决实际问题的方法。
它包括了数值分析、数值逼近、数值代数、数值微分方程等多个领域。
数值计算方法在科学工程领域有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学、经济学和工程学等领域都有着重要的地位。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，并探讨其在实际问题中的应用。
一、数值计算方法的基本原理。
数值计算方法的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后通过计算机算法来求解这个数学模型。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的方程或者函数，无法通过解析方法求解。
这时就需要借助数值计算方法来进行近似求解。
数值计算方法主要包括了离散化、逼近和求解三个步骤。
1. 离散化。
离散化是将连续的问题转化为离散的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些连续的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要将连续的问题转化为离散的问题，然后通过计算机算法来求解。
离散化的方法有很多种，比如有限差分法、有限元法、谱方法等。
2. 逼近。
逼近是指通过一些简单的函数或者多项式来近似表示复杂的函数或者方程。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要通过逼近的方法来近似表示这个函数或者方程，然后通过计算机算法来求解。
逼近的方法有很多种，比如插值法、拟合法、最小二乘法等。
3. 求解。
求解是指通过计算机算法来求解离散化的问题或者逼近的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的离散化问题或者逼近问题，无法直接求解。
这时就需要通过计算机算法来求解这个离散化问题或者逼近问题。
求解的方法有很多种，比如迭代法、直接法、迭代法等。
二、数值计算方法的常用技术。
数值计算方法有很多种常用技术，下面将介绍一些常用的技术。
1. 有限差分法。
有限差分法是一种常用的离散化方法，它将微分方程转化为差分方程，然后通过计算机算法来求解。
有限差分法的基本思想是将函数在一些离散点上进行逼近，然后通过差分近似来求解微分方程。
数值计算方法课后习题答案吕同富
数值计算方法课后习题答案吕同富【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数一、本课程的地位和作用数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。
主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法。
通过本课程的学习，学生将初步具备用计算机去有效地解决实际问题的能力。
二、本课程的教学目标通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。
本课程坚持理论与实践教学并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。
与此同时，通过上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。
三、课程内容和基本要求(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既是重点又是难点的内容)第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求（1）理解：几类常用的正交多项式。
（2）掌握：最佳一致逼近和最佳平方逼近。
（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。
2．教学内容（1）*正交多项式。
（2）▽*最佳一致逼近。
（3）▽最佳平方逼近。
（4）正交多项式的逼近性质。
（5）▽曲线拟合的最小二乘法。
第七章数值积分 1．教学基本要求（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。
（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。
（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。
2．教学内容（1）*机械求积公式。
（2）▽newton-cotes求积公式。
（3）▽复合求积公式。
（4）变步长求积公式。
（5）▽romberg求积公式。
（6）▽*gauss求积公式第八章数值微分 1．教学基本要求（1）了解：数值微分的中点法。
EXCEL2010计算数据
3.选中的单元格 中显示求和函数
4.按Enter键后 显示计算结果
使用常用统计函数
1.增加统计内容
4.输入“=AVERAGE（O3： O22）”后按Enter键
2.输入“=MAX（O3:O22)” 后按Enter键
3.输入“=MIN （O3:O22)”后
按Enter键
函数的使用
函数的计算
感谢观看
使用函数操作步骤
2.单击“公式”—— “函数库”——“插
入函数”按钮
1.选取H3单元格
5.单击“确 定”按钮
4.单击“转到”按钮
3.在“插入函 数”对话框中 输入函数名
6.在“函数参数”对 话框输入计算参数
7.单击“确定” 按钮后单元格显
示计算结果
相关知识
1.最大值、最小值和平均值3个函数，即MAX（ ）、MIN（ ）和AVERAGE（ ）。在求平均值时，如果计算结果的小 数位过多，可以在“单元格格式”对话框的“数字”选项卡中设定小数位。 2.在该单元格输入函数计算出结果后，也可通过拖曳“填充柄”方式计算其他产品的日销售额。 3.公式总是以“=”开头，后面是表达式，在表达式中可以包含各种运算符、常量、函数和单元格地址等。 4.加法、减法、乘法、除法、乘方运算符的意义和使用方法与数学中的对应运算符相同，而百分号运算符表示一个数 除以100的值。 5.算术运算符的优先等级依次为：百分号、乘方、乘法和除法、加法和减法。同级运算按从左到右的顺序进行。如果 有括号，则先进行括号内运算，后进行括号外运算。 6.引用运算符指可以将单元格区域引用进行合并计算的运算符号。引用运算符包括下面三种： （1）：（冒号）——区域运算符。对两个引用之间的所有单元格的引用，如“=SUM（B3:F12）”。 （2），（逗号）——联合运算符。将多个引用合并为一个引用，如“=SUM（B3:F12，H5:J10）”。 （3） （空格）——交叉运算符。对两个引用共有的单元格拉引用，如“=SUM（B7:D8 C6:H6)”，又如求三个区域的交 叉的和，可以写为“=SUM（C4:E10 C7:F8 B7：J9）”。
数值计算方法实验报告
#include<math.h>
double f(double x)
{
double s;
s=x*x*x/3-x;
return fabs(s);
}
void main()
{double x=-0.99,y;
int k=0;
printf("%d ,%lf\n",k,x);
{if(r>=x[i]&&r<=x[i+1])
{s=m[i]*pow(x[i+1]-r,3)/6*h[i]+m[i+1]*pow(r-x[i],3)/6*h[i]+(y[i]-m[i]*pow(h[i],2)/6)*(x[i+1]-r)/h[i]+(y[i+1]-m[i+1]*pow(h[i],2)/6)*(r-x[i])/h[i];
28.65
39.62
50.65
5.28794
9.4
13.84
20.2
24.9
28.44
31.1
k
7
8
9
10
11
12
78
104.6
156.6
208.6
260.7
312.5
35
36.5
36.6
34.6
31.6
31.0
k
13
14
15
16
17
18
364.4
416.3
468
494
507
520
20.9
14.8
7.8
do
{y=x;
数值计算方法简介
数值计算方法简介数值计算方法是一种用计算机处理数学问题的方法，它已经成为现代科学和工程中不可或缺的一部分。
目前，数值计算方法已经应用到了各个领域，比如工程学、物理学、经济学等等。
下面我们来简单介绍一些数值计算方法的基本概念和方法。
一.数值方法的分类数值计算方法可以分为以下两类：直接方法和迭代方法。
直接方法就是通过一定的公式或计算过程，直接求得问题的解。
而迭代方法则是通过不断地逼近解来求解问题。
迭代方法的精度一般会随着迭代次数的增加而增加，但同时也会增加计算的时间和计算的次数。
二.方程求解方法方程求解是数值计算方法中重要的一部分，它可以通过一定的计算方法来求解各种类型的方程，比如线性方程、非线性方程、微分方程等等。
其中，最常用的方程求解方法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等等。
以求解非线性方程为例，牛顿迭代法是一种常用的方法。
假设要求解方程$f(x)=0$，我们可以首先给出一些初值$x_0$，然后通过不断使用牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，来逼近方程的解。
三.插值和拟合插值和拟合是数值计算中另一个重要的内容，其主要任务是通过已知的数据点来确定一个函数，从而使其在其他点上的值也可以被预测或计算。
其中，插值一般用于在已知数据点之间构建函数，而拟合则是用于对数据点进行近似。
最常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值，其中拉格朗日插值函数为$L_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \frac{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x_i-x_j)}$，其中$y_i$为已知数据点$(x_i,y_i)$的纵坐标值。
拟合方法中，最常用的是最小二乘法。
最小二乘法即是通过已知数据点，找到一条尽可能接近这些点的函数，也就是使这些点到函数的距离最小。
具体的做法是通过求解一个最小二乘问题，找到一个函数$f(x)$，使得$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i))^2$最小。
数值计算方法期末总结
数值计算方法期末总结导言数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。
在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。
本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。
通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。
一、数值逼近数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。
数值逼近可以分为插值和外推。
插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。
而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。
在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。
数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
二、插值与外推插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。
插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。
外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。
常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。
它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。
三、数值微积分数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。
数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。
在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。
数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。
而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。
四、线性方程组解法线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。
线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。
数值计算方法 ding
数值计算方法 ding
数值计算方法，也称为数值分析方法，是指使用数学和计算机技术
解决实际问题的一组概念、方法和技术，包括数值解析和数值积分、
有限元分析、位移插值、最优化法、随机力学方法、Monte-Carlo方法等。
数值计算方法也称为计算机仿真方法，被广泛用于各种计算仿真中，以帮助人们更准确、深入地理解物理客观世界的结构、运动规律
和变化规律，从而在许多学科中发挥了重要作用。
一般来说，数值计算方法都以构造某些数学模型来反映客观世界的运
动规律为基础。
使用数值计算的方法，包括：求解各种数学模型，如
微分方程模型、积分模型、拟合和估计；计算过程中容易发生数值误差，要采取数值正确性检查的措施；要严格控制计算时间；避免由于
参数中的不精确设定和变换造成的计算失误；要熟悉由不可知的的不
确定因素影响的复杂模型。
数值计算方法在当今社会各行各业发挥着重要作用，其中包括：各类
测绘与地理信息系统，运用数值计算方法构建地形地貌、测绘高程变
化等；机械工程、电子工程，使用数值计算法建立三维形位模拟技术、进行精确分析；化学工程，求解各种反应动力学、把握分离蒸馏的参
数等；分布式系统平台，使用数值模拟来分析响应时间，以解决产品
的安全及可靠性；核电与航空装备，使用数值推演法能够对密集的任
务进行仿真，优化装备结构，提高安全性。
数值计算方法的出现，使科学的计算和分析获得了前所未有的持久而可靠的发展，并为许多科学和工程问题的研究带来了极大的便利。
数值计算方法1
数值计算方法1数值计算方法1解线性方程组的数值方法是数学计算中的重要内容之一，而数值解算法的选择对于解方程组的准确性和效率有着决定性的影响。
本章将介绍一些常用的数值解线性方程组的方法，包括高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和迭代法加速技术。
1.高斯消元法是最常用的求解线性方程组的数值方法之一、它通过一系列的行变换将方程组转化为三角形形式的方程组，再逐步回代求解出未知量。
高斯消元法的关键步骤包括选择主元、行变换、回代等。
该方法适用于系数矩阵为非奇异矩阵的方程组。
2.LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的方法。
通过先对系数矩阵进行LU分解，再进行前代和回代，可以求解出线性方程组的解。
与高斯消元法相比，LU分解法可以在求解多个右端向量相同的线性方程组时节省计算量。
3.雅可比迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过不断迭代计算来逼近方程组的解。
雅可比迭代法的基本思想是将线性方程组的系数矩阵分解为主对角线矩阵和剩余部分，再通过迭代计算来逼近解。
雅可比迭代法收敛速度较慢，适用于系数矩阵的特征值分布良好的方程组。
4.高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，通过利用更新的未知量来加速收敛。
高斯-赛德尔迭代法在每次迭代时都使用最新计算出的未知量值，相较于雅可比迭代法，它的收敛速度更快。
5.迭代法加速技术是一种进一步加速迭代求解的方法。
其中常用的包括超松弛法和共轭梯度法。
超松弛法在每次迭代中引入一个参数来加速收敛，而共轭梯度法则通过利用方程组的特性来通过有限次数的迭代达到精确解。
总结来说，解线性方程组的数值方法包括高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和迭代法加速技术等。
选择合适的方法来求解线性方程组可以提高计算的准确性和效率，这是数值计算中必不可少的内容。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种利用计算机进行数学计算的方法。
它主要是通过离散化连续问题，将其转化为离散的数值问题，然后利用计算机进行求解。
数值计算方法在科学计算、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用，因此对于掌握数值计算方法具有重要意义。
首先，数值计算方法包括了数值逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等内容。
其中，数值逼近是利用有限的计算资源来逼近实际的数学问题，而数值积分和数值微分则是对于连续函数的积分和微分进行数值计算。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解则是对于微分方程进行数值求解，这些方法在实际问题中有着广泛的应用。
其次，数值计算方法的基本思想是离散化。
离散化是将连续的数学问题转化为离散的数值问题，通过离散化，我们可以利用计算机进行高效的数值计算。
在离散化的过程中，我们需要考虑如何选择合适的离散化方法和步长，以及如何控制离散化误差，这些都是数值计算方法中需要重点关注的问题。
另外，数值计算方法需要注意数值稳定性和数值精度。
数值稳定性是指数值计算方法对于输入数据的微小扰动具有较好的稳定性，而数值精度则是指数值计算方法得到的数值解与真实解之间的误差大小。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的数值计算方法，并且要注意数值稳定性和数值精度的问题。
最后，数值计算方法是一门综合性较强的学科，它涉及到数学、计算机科学、物理学、工程技术等多个领域。
掌握数值计算方法需要具备扎实的数学基础和良好的计算机编程能力，同时也需要对于实际问题有较强的应用能力。
因此，学习数值计算方法需要全面提高自己的综合素质，这对于提高科学技术水平和解决实际问题有着重要的意义。
总之，数值计算方法是一门重要的学科，它在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。
通过学习数值计算方法，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学建模和科学计算的能力，为推动科学技术的发展做出积极的贡献。
希望大家能够重视数值计算方法的学习，不断提高自己的数值计算能力，为社会发展做出更大的贡献。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 如何知道精度是否够用？ • 步长逐步减小的思想 • 如何避免重复计算
• 梯形递归公式
T (J ) T ( J 1) 2 h f ( x 2 k 1 )
k 1 M
• 总步数2J
• 抛物（辛普森）积分递归
S (J ) 4 T ( J ) T ( J 1) 3
• 四次（布尔）积分递归
B(J ) 1 6 S ( J ) S ( J 1) 15
• 上述过程具有如下特点：
精 度 越 来 越 高
T (J )
S (J )
T ( J 1) 2
h f ( x 2 k 1 )
k 1
M
4 T ( J ) T ( J 1) 3 1 6 S ( J ) S ( J 1)
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
注意 • 没有一种方法是万能的！ • 没有最好的方法，只有最合适的方法 • 要根据问题的特点选择合适的方法
• 线性方程组求解
• 雅克比迭代法
4x y z 7 4 x 8 y z 21 2 x y 5 z 15 7 yz x 4 21 4 x z y 8 15 2 x y z 5
3h 8
( f 0 3 f1 3 f 2 f 3 )
• 四次曲线逼近
– 布尔积分公式
x4 x0
f ( x)dx
2h 45
(7 f 0 3 2 f 1 1 2 f 2 3 2 f 3 7 f 4 )
• 作业
– 积分精度如何控制？ – 是否有多种组合积分方法？ – 二维积分如何开展？ – 二维定积分的界如何控制精度？
B(J )
15
高精度积分可由低精度积分表出
• 龙贝格积分
R（0，0） R（1，1）
R（1，0）
R（2，0） R（3，0）
R（1，2）
R（2，2）
R（2，1）
R（3，1）
R（3，3）
R（J，K），步长为2J，多项式次数为2K
• 积分公式的原理——多项式逼近积分
• 线性逼近
– 梯形积分公式
x1 x0
f ( x)dx
h 2
( f 0 f1 )
• 抛物线逼近
– 辛普森积分公式
x2 x0
f ( x)dx
h 3
( f 0 4 f1 f 2 )
• 三次曲线逼近
– 辛普森3/8积分公式
x3 x0
f ( x)dx
h
k
k 0
k!
f ( x 0 h ) f ( x 0 ) f '( x 0 ) h O ( h ) f ( x 0 h ) f ( x 0 ) f '( x 0 ) h 1 2 f ''( x 0 ) h O ( h )
2 2
• 泰勒一阶展开
f ( x 0 h ) f ( x 0 ) f '( x 0 ) h O ( h ) f ( x 0 h ) f ( x 0 ) f '( x 0 )( h ) f '( x 0 ) lim f ( x0 h ) f ( x0 ) h
• 牛顿法
f1 ( x , y ) 0 f2 ( x, y ) 0
f1 ( x k , y k ) x x k 1 x k y k 1 y k f 2 ( x k , y k ) x f1 ( x k , y k ) y f 2 ( xk , yk ) y
注意 • 迭代方法不一定能够保证迭代过程收敛 • 如果不收敛，怎么办？
• 非线性方程组求解
• 一般非线性方程组的求解方法
f1 ( X ) 0 f2 ( X ) 0 m in f (X ) 0 n
i 1
n
i
fi ( X )
• 赛德尔迭代
x k 1 f1 ( y k , z k ) y k 1 f 2 ( x k 1 , y k , z k ) z k 1 f 3 ( x k 1 , y k 1 , z k )
h 0
• 中心差分公式
• 端点处的差分公式如何表出？
• 单侧可微差分公式
3 f 0 4 f1 f 2 2h f '( x ) 3 f 0 4 f 1 f 2 2h
f '( x )
• 数值积分
复杂函数积分问题 • 注意如下事实：
– 复杂函数往往无法给出解析的积分公式 – 多项式积分公式非常简单 – 多项式插值可以逼近任意函数
数值计算方法
Numerical Methods
数值计算方法
• • • • • • • • 主要内容 非线性方程组的解法 线性方程组的解法 插值与拟合 数值微分 数值积分 数值优化 微分方程组求解 特征根与特征向量
• 非线性方程求解
非线性方程求解
• 半径为r=10cm，密度为0.638g/mm3的长叶松 木质球浸入水中 • 求浸入水中的质量。
3!
f '''( x 0 )
3!
f '''( x 0 )
2
f '( x 0 ) O ( h )
• 中心差分公式
f '( x ) lim f (x h) f (x h) 2h
h 0
f '( x ) lim
f (x 2h) 8 f (x h) 8 f (x h) f (x 2h) 12h
f1 ( x k , y k ) x f 2 ( xk , yk ) x f1 ( x k , y k ) y f 2 ( xk , yk ) y
• 泰勒展开公式
f ( x 0 h ) lim
n
n
f
(k )
( x0 )
2
2! h
f ''( x 0 ) f ''( x 0 ) 2h
2 3
h
3
3! h
3
f '''( x 0 ) f '''( x 0 )
2!
3!
f ( x 0 h ) f ( x 0 h ) 2 h f '( x 0 ) f ( x0 h ) f ( x0 h ) 2h f '( x 0 ) h
1
f1 ( x k , y k ) f 2 ( xk , yk )
f1 ( x , y ) 0 f2 ( x, y ) 0
x 2 x y 0 .5 0 2 2 x 4y 4 0
2
• 数值微分
• 对于复杂函数如何求雅克比矩阵？
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
18
20
• 波尔查诺二分法
a
c
b
a
c
b
二分法求解练习
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
f1 ( x k , y k ) f 2 ( xk , yk )
课堂练习
f1 ( x k , y k ) x x k 1 x k y k 1 y k f 2 ( x k , y k ) x f1 ( x k , y k ) y f 2 ( xk , yk ) y
x x0 0
• 差商的极限
f '( x ) lim f (x h) f (x) h
h 0
x h
• 我想进一步提高精度，如何做？
f ( x 0 h ) f ( x 0 ) h f '( x 0 ) f ( x 0 h ) f ( x 0 ) h f '( x 0 ) h
7 yk zk x k 1 4 21 4 xk zk y k 1 8 15 2 xk yk z k 1 5
• 高斯-赛德尔迭代
7 yk zk x k 1 4 2 1 4 x k 1 z k y k 1 8 1 5 2 x k 1 y k 1 z k 1 5
• 试值法
a
c
b
试值法练习
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
• 牛顿-拉夫森法
x i 1 x i f ( xi ) f '( x i )
x 1 x2 x0
牛顿-拉夫森法练习
d
• 排开水的质量是：
d
d 0
(r ( x r ) )dx
2 2
d (3 r d )
2
3
• 排开水的质量等于球的质量
d (3 r d )
2
4 r
3
3
3
d (3 r d )
2
4 r