职高数学一轮复习参数方程
参数方程知识点整理
参数方程知识点整理参数方程是数学中一种常用的表示曲线形状的方法。
参数方程的形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是曲线上的点的横纵坐标，t为参数。
参数方程通常用于描述一些复杂的曲线，如圆、椭圆、双曲线等，它可以方便地描述出曲线上每一个点的位置。
下面结合一些具体的例子来整理参数方程的相关知识点。
1.直线的参数方程：当直线的斜率为k，截距为b时，可以通过参数方程表示为：x=ty=kt+b其中t为参数，t可以取任意实数。
2.圆的参数方程：一个圆可以通过参数方程表示为：x=R*cos(t)y=R*sin(t)其中R为圆的半径，t为参数，t的取值范围可以是[0,2π]。
3.椭圆的参数方程：一个椭圆可以通过参数方程表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴长度和短轴长度，t为参数，t的取值范围可以是[0,2π]。
4.双曲线的参数方程：一个双曲线可以通过参数方程表示为：x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别是双曲线的参数，cosh(t)和sinh(t)分别表示双曲函数的余弦和正弦函数。
5.抛物线的参数方程：一个抛物线可以通过参数方程表示为：x=ty=at^2+bt+c其中a、b和c为抛物线的参数，t为参数，t可以取任意实数。
6.参数方程与命题方程的转化：有时候我们已经知道了一条曲线的命题方程，想要求出其参数方程。
这时可以通过代入一些特定的参数值，利用参数方程的定义解出x和y的值，从而得到参数方程。
例如，已知一条直线的命题方程为y=2x+3，我们可以任选一个参数值t，假设t=1，那么根据直线的参数方程可以得到：x=1y=2*1+3=5所以参数方程可以表示为：x=ty=2t+3参数方程在几何图形的研究中有着广泛的应用。
通过参数方程，我们可以方便地描述出复杂曲线的形状和特性，比如曲线的弧长、曲率、切线等。
参数方程能够将复杂的问题转化为简单的曲线方程的解析表达式，进而进行更深入的研究和分析。
2023年高考数学一轮复习：参数方程
段 M0M 的模. ( ) ((34))方 已程 知椭xy圆＝＝1的2＋co参2ssi数，n方(程θ为参xy＝＝数42sc)ion表stt，(示t为以参点数(0),,1点)为M在圆椭心圆,以上2,为对半应径参的数圆t=.( 3 , 点) O为原点,则直线OM的斜率为 3 . ( )
提示:(1)√.在参数方程中,t是自变量, x,y都是参数t的函数.
2023年高考数学总复习
第二节 参 数 方 程
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程关键是_消__去__参__数__.
(2)普通方程化参数方程的关键是找一个_参__数__,使得
x＝f (t)， y＝g(t).
x＝acos，
(3)ห้องสมุดไป่ตู้圆 x2 ＋y2 =1(a>b>0)的参数方程为__y_＝__b_s_in____(φ为参数)
a2 b2
注意:在利用参数方程时,一定要注意参数是什么.
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
x＝f (t)，
((12))参 过M数0(方x0程,y0)y,＝倾g斜(t)角为中α的的x,直y都线是l的参参数数t的方函程数为.( xy＝＝ yx0)0＋＋ttscions，(t为参数).参 数|t|的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线
(2)√.在直线的参数方程中,参数t表示距离 | MM0 | .
(3)√.圆的参数方程的标准形式.
(4)×.当t=
时,对应的点M为
3
3 ,则kOM=2
3.
2(.1直 )直线线、过圆点、M椭(x圆0,y的0)参,倾数斜方角程为α,参数方程为___xy＝＝__yx_00_＋＋_tt_sc_ion_s__，(_t_为参数).
高考数学一轮单元复习：第73讲 参数方程
│要点探究
► 探究点3 探究点
例3
直线的参数方程
[2009·无锡模拟 过点 P(－3,0)且倾斜角为 30° 无锡模拟] 无锡模拟 － 且倾斜角为 1 ＝＋ x＝t＋ t ， (t 为参数 相交于 A、B 两点．求 为参数)相交于 、 两点． 的直线和曲线 1 y＝t－ ＝ －t 的长． 线段 AB 的长．
│要点探究
点评】 【点评】曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的 不同形式．一般地， 不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到 普通方程，有利于识别曲线的类型． 普通方程，有利于识别曲线的类型．在参数方程与普通 方程的互化中， 方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致． ， 的取值范围保持一致．
│要点探究
福建卷] 变式题 [2009·福建卷 已知直线 L：3x＋4y－12＝0 福建卷 ： ＋ － ＝ 与圆
x＝－ ＋2cosθ， ＝－1＋ ， ＝－ C： ： y＝2＋2sinθ ＝ ＋
(θ 为参数 ．试判断他们的公 为参数)．
共点个数． 共点个数．
│要点探究
解答】 圆的方程可化为(x＋ 【解答】 圆的方程可化为 ＋1)2＋(y－2)2＝4.其圆 － 其圆 心为 C(－1,2)，半径为 2. － ， |3×(－1)＋4×2－12| 7 － ＋ － 由于圆心到直线的距离 d＝ ＝ ＝5 2 2 3 ＋4 <2，故直线 L 与圆 C 的交点个数为 2. ，
π 3π (φ 为参数 ，φ∈[0,2π)且 φ≠ ，φ≠ ； 为参数)， ∈ 且 2 2 (t 为参数 ． 为参数)．
x＝2pt2 ＝ 2 抛物线 y ＝2px(p>0)的一个参数方程为 的一个参数方程为 y＝2pt ＝
职高高三数学知识点复习
职高高三数学知识点复习数学是一门重要的学科，对于职高高三学生来说，数学知识的掌握至关重要。
下面将对职高高三数学知识点进行复习。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，通常用y = f(x)表示。
函数的定义域、值域以及图像等都是需要重点掌握的内容。
2. 二次函数与一次函数二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
一次函数的标准形式为f(x) = kx + b，其中k、b为常数。
熟练掌握二次函数与一次函数的图像、性质及相关计算方法。
3. 方程的解与解法方程是数学中常见的问题形式，包括一元一次方程、二次方程、三角方程等。
通过代数的方法求解方程，并要能灵活运用代入法、化简法、配方法等解题方法。
二、数列与数列的操作1. 等差数列与等差数列求和等差数列通常用an = a1 + (n-1)d表示，其中a1为首项，d为公差。
掌握等差数列的公式与求和公式，并能运用其进行计算。
2. 等比数列与等比数列求和等比数列通常用an = a1 * q^(n-1)表示，其中a1为首项，q为公比。
掌握等比数列的公式与求和公式，并能运用其进行计算。
三、概率与统计1. 概率基本概念与事件的计算掌握概率的基本概念，包括随机事件、样本空间、事件的概率等。
能够通过计算概率解决实际问题。
2. 统计与统计量了解统计学的基本概念，包括样本、总体、频数、频率等。
能够计算平均数、中位数、众数等统计量，对数据进行分析与解读。
四、几何与三角学1. 平面几何基本概念与性质熟悉平面几何中的基本概念，如点、直线、线段、射线等。
了解几何图形的性质，能够进行相关的证明与计算。
2. 三角函数与三角恒等式掌握正弦、余弦、正切等三角函数的概念与性质，熟练运用三角函数解决几何问题。
同时，了解并掌握一些常见的三角恒等式，如和差化积、倍角公式等。
五、导数与微分1. 导数的概念与运算法则理解导数的定义与性质，熟练运用导数的基本运算法则，包括加法法则、乘法法则、链式法则等。
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结1.参数的定义：在参数方程中，通常使用一个或多个参数来表示变量。
参数的取值范围可以是实数集，也可以是一个有限的区间。
2.参数方程表示的几何对象：参数方程可以描述各种几何对象，包括曲线、曲面、体积等。
常见的参数方程表示几何对象的经典例子有圆的参数方程、直线的参数方程以及曲面的参数方程等。
3.曲线的参数方程：曲线的参数方程通常写为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y是曲线上的点的坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，我们可以得到曲线上的不同点。
参数方程可以用来描述各种曲线，例如直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
4.曲面的参数方程：曲面的参数方程通常写为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中x、y和z是曲面上的点的坐标，而u和v是参数。
通过改变参数u和v的取值，我们可以得到曲面上的不同点。
参数方程可以用来描述各种曲面，例如球面、柱面、锥面等。
5.参数方程的优点：相比于直角坐标方程，参数方程具有一些独特的优势。
它可以更好地描述曲线和曲面的特征，如曲率、切线以及曲面上的法向量等。
此外，参数方程可以更好地描述复杂的几何变换，例如旋转、平移和缩放等。
6.参数方程的应用：参数方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在数学中，它可以用来研究曲线和曲面的性质，解析几何和微积分等。
在物理中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹、电磁场的分布等。
在工程中，参数方程可以用来设计曲线和曲面，生成图形模型等。
7.曲线的特征：通过参数方程，我们可以轻松地计算曲线的长度、曲率、切线方程等。
对于二次曲线，可以通过参数方程推导出焦点、直径、抛物线的方程等。
这些特征可以帮助我们更好地理解曲线的性质和几何意义。
8.曲面的特征：通过参数方程，我们可以计算曲面的方程、法向量、切平面等特征。
这些特征可以帮助我们更好地理解曲面的性质，如曲面的形状、曲率等。
9.曲线和曲面的相交：通过参数方程，我们可以确定曲线和曲面的交点。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结参数方程是解决数学问题的一种有效方法，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
参数方程的基本概念和相关知识点对于学习者来说是非常重要的，下面将对参数方程的相关知识点进行总结和介绍。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是用参数表示的一组方程，通常用来描述曲线、曲面等几何图形。
在平面直角坐标系中，参数方程通常表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y分别是t的函数。
参数方程的引入可以将曲线或曲面的方程化简为一组关于参数的函数，从而更方便地进行分析和计算。
二、参数方程与常规方程的关系。
参数方程与常规方程之间存在着一定的对应关系。
对于平面曲线来说，常规方程通常是y=f(x)的形式，而参数方程则是x=g(t)，y=h(t)的形式。
通过参数方程可以将常规方程中的x和y表示为参数t的函数，从而更方便地进行曲线的研究和分析。
三、参数方程的应用。
参数方程在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性；在物理学中，参数方程常用来描述粒子在空间中的运动轨迹；在工程学中，参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性，以及工程问题的求解等。
四、参数方程的性质。
参数方程具有一些特殊的性质，例如参数方程可以描述一些常规方程无法描述的曲线或曲面，参数方程可以简化一些复杂的数学问题，参数方程可以更直观地描述一些几何图形的特性等。
参数方程的这些性质使其在实际问题中具有重要的应用价值。
五、参数方程的求解方法。
对于给定的曲线或曲面，可以通过参数方程来描述其形状和特性。
参数方程的求解方法通常包括参数的选取、参数方程的建立、参数方程的化简等步骤。
通过适当选择参数，并建立相应的参数方程，可以更方便地对曲线或曲面进行分析和计算。
六、参数方程的实际应用举例。
参数方程在实际问题中有着丰富的应用，例如在物理学中，可以利用参数方程描述粒子在空间中的运动轨迹；在工程学中，可以利用参数方程描述曲线、曲面的形状和特性，以及工程问题的求解等。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解71---参数方程
高考数学一轮复习考点知识专题讲解参数方程考点要求1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α·(x －x 0)⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2错误!(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 错误!(θ为参数)椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 错误!(φ为参数)抛物线y 2＝2px (p >0)错误!(t 为参数)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．(√)(2)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(√)(3)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为3.(×) (4)参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2)表示的曲线为椭圆．(×)教材改编题1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为()A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 答案C解析代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 2．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心()A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案B解析由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心坐标为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________． 答案±1515解析由⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.题型一 参数方程与普通方程的互化例1(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2,1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4,1)作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．解(1)因为⊙C 的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝4，此时圆心到直线距离为2>r ，舍去； 当直线斜率存在时，设切线为y ＝k (x －4)＋1，即kx －y －4k ＋1＝0， 故|2k －1－4k ＋1|1＋k 2＝1，即|2k |＝1＋k 2，4k 2＝1＋k 2，解得k ＝±33. 故直线方程为y ＝33(x －4)＋1或y ＝－33(x －4)＋1.故两条切线的极坐标方程为ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1或 ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1. 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6＝2－32或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2＋32.教师备选在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值． 解(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4， 即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2，其中φ满足sin φ＝－55，cos φ＝255， 由三角函数知，当sin(θ＋φ)＝1时，d 取最小值102，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数． 跟踪训练1已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． 题型二 参数方程的应用例2在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x2，sin θ＝y4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝1，即x 24＋y 216＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2. 教师备选(2022·安阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 过点M (1,0)且倾斜角为α. (1)求出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |||MA |－|MB ||＝33，求cos α的值．解(1)曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转换为普通方程为x 22＋y 2＝1；直线l 过点M (1,0)且倾斜角为α，则参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入x 22＋y 2＝1.得到(1＋sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos α1＋sin 2α，t 1t 2＝－11＋sin 2α(t 1和t 2分别为A 和B 对应的参数)，t 1t 2<0，则t 1，t 2异号，||MA |－|MB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|，由|MA |·|MB |||MA |－|MB ||＝33，整理得|t 1＋t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2cos α1＋sin 2α＝3|t 1t 2|＝31＋sin 2α， 解得cos α＝±32. 思维升华 (1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决． (2)对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练2在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，求|PA |·|PB |的值．解(1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0. ∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1. (2)方法一P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22t ′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t ′1，t ′2，则 |PA |·|PB |＝|t ′1|·|t ′2|＝|t ′1t ′2|＝56.方法二由⎩⎨⎧y ＝1－x ，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.不妨设A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则|PA |＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝22，|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－122＝526，|PA |·|PB |＝22×526＝56. 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ. (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP →＝2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点． 解(1)由ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ， 即x 2＋y 2＝22x ， 整理得(x －2)2＋y 2＝2. (2)设P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －1，y )，因为AP →＝2AM →， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －22，22y ，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －22＋1，22y ，因为M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －22＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 2＝2，化简得(x ＋2－3)2＋y 2＝4，即P 点的轨迹C 1的方程为(x ＋2－3)2＋y 2＝4， 化成参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3＋2cos t －2，y ＝2sin t(t 为参数)，圆心C 1(3－2，0)，r 1＝2，C (2，0)，r ＝2，因为|3－2－2|<2－2，所以C 与C 1没有公共点． 教师备选(2022·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，曲线C 的极坐标方程为ρ2()1＋3sin 2θ＝4.(1)写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点A (1,0)，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，求|AP |＋|AQ ||AM |的值．解(1)因为直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，故ρcos θ－ρsin θ－1＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0， 因为曲线C ：ρ2()1＋3sin 2θ＝4，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝4， 即x 24＋y 2＝1. (2)点A (1,0)在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得 5t 2＋22t －6＝0.设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－65，t 1＋t 2＝－225，所以M 对应的参数t 0＝t 1＋t 22＝－25， 故|AP |＋|AQ ||AM |＝|t 1|＋|t 2||t 0|＝|t 1－t 2||t 0|＝⎝⎛⎭⎪⎫－2252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－6525＝8.思维升华 参数方程和极坐标的综合应用涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．跟踪训练3(2022·石嘴山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足|OA |·|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，求△ABM 面积的最小值．解(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，消去参数，可得普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0， 又由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点B 的极坐标为(ρ，θ)，点A 点的极坐标为(ρ0，θ0)， 则|OB |＝ρ，|OA |＝ρ0，ρ0＝2cos θ0，θ＝θ0， 因为|OA |·|OB |＝8， 所以ρ·ρ0＝8， 即8ρ＝2cos θ，即ρcos θ＝4，所以曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝4. (2)由题意，可得|OM |＝2，则S △ABM ＝S △OBM －S △OAM ＝12|OM |·|x B －x A |＝12×2×|4－2cos 2θ|＝|4－2cos 2θ|，即S △ABM ＝4－2cos 2θ，当cos 2θ＝1时，可得S △ABM 的最小值为2.课时精练1．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 解(1)令x ＝0，则t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－2或t ＝1(舍去)， 则y ＝2＋6＋4＝12，即A (0,12)． 令y ＝0，则t 2－3t ＋2＝0， 解得t ＝2或t ＝1(舍去)，则x ＝2－2－4＝－4， 即B (－4,0)．∴|AB |＝(0＋4)2＋(12－0)2＝410. (2)由(1)可知k AB ＝12－00－(－4)＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)， 即3x －y ＋12＝0.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0.2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ |＝15，求直线l 的斜率． 解(1)∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， 得x 2＋y 2＝4y .∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)把⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＋y 2＝4y ，整理得t 2－2t sin α－3＝0，设P ，Q 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－3，∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋12＝15， 得sin α＝32，α＝π3或α＝2π3， ∴直线l 的斜率为± 3.3．(2022·曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)已知过点P (0,1)且倾斜角为α的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且|PA |＋|PB |＝11，求角α.解(1)圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为C (1,1)，圆C 的半径r ＝3，则圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝3. 将公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋(y －1)2＝3中，整理得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0. (2)过点P (0,1)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 是参数)，代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝3中整理得t 2－2t cos α－2＝0.设交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－2<0， 则|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝11， 平方得(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝11， 则4cos 2α＋8＝11，所以cos α＝±32(0≤α<π)，α＝π6或α＝5π6. 4．(2022·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋cos α，y ＝3sin θ＋sin α(θ∈R ，α为参数)．(1)求曲线C 1的普通方程并说明曲线C 1的形状；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，求曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离的最大值． 解(1)由曲线C 1的方程⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋cos α，y ＝3sin θ＋sin α(θ∈R ，α为参数)可知，⎩⎨⎧x －4cos θ＝cos α，y －3sin θ＝sin α(θ∈R ，α为参数)，消去参数α得曲线C 1的普通方程为(x －4cos θ)2＋(y －3sin θ)2＝1， ∴曲线C 1是以C 1()4cos θ，3sin θ为圆心，1为半径的圆． (2)将曲线C 2的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0， 化为直角坐标方程为x －y ＝0.曲线C 1的对称中心即为圆心C 1(4cos θ，3sin θ)， ∴曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离d ＝|4cos θ－3sin θ|2＝|5sin (θ－φ)|2，其中φ满足sin φ＝－45，cos φ＝－35，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离的最大值为522.5．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝sin α(α为参数)上的动点，将P 点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得Q 点，记Q 点的轨迹为C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)A ，B 是曲线C 2上异于极点的两点，且∠AOB ＝π6，求|OA |－3|OB |的取值范围．解(1)曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝sin α化为普通方程为(x －2)24＋y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，Q 点坐标为(x ′，y ′)， 则有(x －2)24＋y 2＝1，x ′＝x 2，y ′＝y ，消去x ，y 有(x ′－1)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝2x ′，此式即为C 2的普通方程． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π3，∴|OA |－3|OB |＝ρ1－3ρ2 ＝2cos θ－23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，∵θ－π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－2π3，π6， ∴|OA |－3|OB |的取值范围是[－2,1)．。
2019-2020年高考数学一轮复习参数方程教学案
2019-2020年高考数学一轮复习参数方程教学案1. 了解参数方程的概念；2. 能够进行参数方程与普通方程的互化；3. 掌握常用曲线的参数方程方程，并能应用.三、 重点难点参数方程与普通方程的互化，常用曲线的参数方程及应用。
四、 知识导学1. 参数方程的含义：.2. 直线的参数方程及参数的几何意义:3. 圆的参数方程及参数的意义:4. 椭圆的参数方程及参数的意义:五、课前自学1．参数方程2x y ⎧⎪⎨⎪=⎩1=t+t （为参数），表示的曲线是 . 2．曲线（为参数）的长为 .3．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为 . 4．经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 .5．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为 .六、合作、探究、展示例1．已知直线()11cos :sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，圆()2cos :sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 。
（1） 当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点O作的垂线，垂足为A，P为OA的中点。
当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（xx全国）例2．在椭圆上有动点和定点不同于，以为边作正三角形，求面积的最大值及此时点的坐标.例3．已知曲线22()2x ptt py pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点对应的参数分别为，，求例4．圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1) 求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径；（2）当R 固定，变化时，求圆心M 的轨迹.并证明此时不论取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆.七、当堂练习1．直线（t 为参数）的倾斜角是 .2．参数方程（为参数）所表示的曲线是 .3．直线（为参数）截抛物线所得的弦长为 .4．已知P 为半圆()cos :0sin x C y θθθπθ=⎧≤≤⎨=⎩为参数，上的点，点A 的坐标为，0为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为.（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（2）求直线AM 的参数方程．（xx 辽宁）八、总结反思。
最新届高考数学一轮复习讲义第讲参数方程
变式训练 2 已知直线 l 的参数方程为xy＝＝t4－－22t (t 为参数)，P 是椭圆x42＋
y2＝1 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值．
解 将直线 l 的参数方程xy＝＝t4－－22t (t 为参数)转化为普通方
程为 x＋2y＝0， 因为 P 为椭圆x42＋y2＝1 上任意一点， 故可设 P(2cos θ，sin θ)，其中 θ∈R.
因此点 P 到直线 l 的距离
d＝|2cos
θ＋2sin 12＋22
θ|＝2
2sinθ＋π4， 5
所以当
θ＝kπ＋π4，k∈Z
时，d
取得最大值2
10 5.
极坐标、参数方程综合应用
例 3 (2011·福建)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y ＋4＝0，曲线 C 的参数方程为xy＝＝sin3cαos α， (α 为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单 位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，点 P 的极坐标为4，π2，判断点 P 与直线 l 的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离 的最小值．
(2)求直线 AM 的参数方程．
解 (1)由已知，点 M 的极角为π3，且点 M 的极径等于π3，故 点 M 的极坐标为(π3，π3)．
(2)点 M 的直角坐标为(π6， 63π)，A(1,0)，故直线 AM 的参数
x＝1＋π6－1t，
方程为
y＝
3π 6t
(t 为参数)．
思想与方法
转化思想在解题中的应用
届高考数学一轮复习讲义 第讲参数方程
要点梳理
忆一忆知识要点
1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变量 t 的函数xy＝＝gftt，. 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x，y)都在 这条曲线上，则称上式为该曲线的 参数方程，其中变量 t 称为参数 ．
高考数学一轮复习讲义选修4-4 第2讲 参数方程
第2讲 参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知 识 梳 理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．诊 断 自 测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 ④2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．(2012·北京卷)直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3.∴直线与圆相交有两个交点． 答案 24．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋2t (t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为________．解析 设点Q (x ，y )为直线上的点， 则|QA |＝(1－1＋2t )2＋(2－2－2t )2＝(2t )2＋(－2t )2＝42，解之得，t ＝±22，所以Q (－3,6)或Q (5，－2)． 答案 (－3,6)和(5，－2)5．(2013·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析 由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线． (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．【训练1】 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二 直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255， 所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用【例3】 已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练3】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用【典例】 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°， 设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin (120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．【自主体验】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.一、填空题1．(2014·芜湖模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2014·海淀模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k2＝1⇒k ＝±33. 答案 ±333．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析 当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3. 答案 2 34．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 解析 ∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)， 依题意0＝3－a ， ∴a ＝3. 答案 35．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 856．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1. 答案 4 －17．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析 曲线C 1的普通方程为y 2＝x (y ≥0)， 曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (y ≥0)，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)．答案 (1,1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1. 答案 19．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝______.解析 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.答案 22 二、解答题10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2， 则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，而联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。
参数方程的一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x、y是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
一些常见的参数方程包括：
圆的参数方程：x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数。
椭圆的参数方程：x=a cosθ，y=b
sinθ，其中a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。
双曲线的参数方程：x=a secθ，y=b tanθ，其中a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。
抛物线的参数方程：x=2pt^2，y=2pt，其中p表示焦点到准线的距离，t为参数。
直线的参数方程：x=x'+tcosa，y=y'+tsina，其中x',y'表示直线经过的点，a表示直线的倾斜角，t为参数。
参数方程的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。
此外，在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
总结来说，参数方程是数学中的一个重要工具，它可以用来表示各种复杂的曲线和曲面，并且在解决实际问题中具有广泛的应用。
学习和掌握参数方程的概念和应用，对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要的意义。
第二讲 参数方程复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线直线的标准参数方程即过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． (4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． (5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e－t)2(t 为参数，a ，b >0)．解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴(x ＋4y 9)2＋(y －2x 9)2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t )2，解得⎩⎨⎧2xa ＝e t ＋e －t ， ①2yb ＝e t－e－t ， ②∴①2－②2，得4x 2a 2－4y 2b 2＝4， ∴x 2a 2－y 2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝(sin θ＋1sin θ)2－(sin θ－1sin θ)2＝4，即x 2－y 2＝4，∴x 24－y 24＝1. 又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2，当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin 2θ－1sin θ≤0，∴曲线为等轴双曲线x 24－y 24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得 t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.① ∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12＋b ＋12＝4，(b －1a ＋1)×(－1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1，|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1. 方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝144cos 2α－44＝10，所以cos 2α＝38，所以tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎨⎧x4＝cos t ，y 23＝sin t ，所以(x 4)2＋(y 23)2＝(cos t )2＋(sin t )2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y 212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2102＋x 282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3·sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．课时作业一、选择题1．直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)到直线l 的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2<r ＝2，所以l 与C 相交但不过圆心．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2) D(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C. 5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x 216， ∴y ＝4t 2＝x 24， 即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(2－2，1) B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)式，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1 解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0，∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝|－3－0|12＋(－22)2＝1.8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________． 答案 2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1.10．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝________.答案 4p |t 1|(或4p |t 2|)解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，则|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|(或2p |2t 2|)，∴|MN |＝4p |t 1|(或4p |t 2|)．三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 15．设飞机以v ＝150 m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s. 将t 0＝230代入x ＝150t 0中，得x 0＝30030 m.。
【精品】高考数学一轮复习通用版第二节 参数方程
得 t2＋( 3m－ 3)t＋m2－2m＝0. 由 Δ>0，得－1<m<3. 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1·t2＝m2－2m. 因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2，所以 m2－2m＝±2， 解得 m＝1± 3. 因为－1<m<3，所以 m＝1± 3.
[解题技法] 1．应用直线参数方程的注意点 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、 余弦值，否则参数不具备该几何含义． 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它 们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规 律是解此类题的关键．
则∠PCx＝2θ，
故 xP＝12＋12cos 2θ＝cos2θ，
yP＝12sin 2θ＝sin θcos θ.
所以圆的参数方程为x＝cos2θ， y＝sin θcos θ
(θ 为参数)．
考点二 参数方程的应用
[ 典 例 ] (2019·广 州 高 中 综 合 测 试 ) 已 知 过 点 P(m,0) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 是
(2)圆心在点
M0(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数)．
(3)椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascions
φ， φ
(φ 为参数)．
二、基础小题强化——功底牢一点
(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)
(3)已知椭圆的参数方程xy＝＝42scions
t， t
(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝π3，点 O
中职参数方程题型归纳总结
中职参数方程题型归纳总结参数方程是解析几何中常见的一种表示方法，用来描述曲线或曲面上的点的坐标。
在中职数学课程中，参数方程题型属于数学分析的范畴，也是学生们经常遇到的一个重点知识点。
本文通过对中职参数方程题型的归纳总结，旨在帮助学生更好地理解和掌握该知识点。
一、直线的参数方程题型直线的参数方程常用于描述直线上的点。
设直线L上的一个点为P，L的方向向量为d，则某一点P在直线L上的参数方程可以表示为：x = x1 + tdy = y1 + tdz = z1 + td其中，(x1, y1, z1)是直线L上的已知点坐标，d是L的方向向量，t为参数。
二、曲线的参数方程题型曲线的参数方程常用于描述曲线上的点。
设曲线C上的一点为P，C的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别代表点P在X轴、Y轴和Z轴上的坐标，f(t)、g(t)和h(t)是曲线C在参数t下的坐标方程。
常见的曲线参数方程包括直线、抛物线、圆、椭圆等，通过求解这些曲线的参数方程题目，可以更好地理解参数方程的应用。
三、曲面的参数方程题型曲面的参数方程常用于描述曲面上的点。
设曲面S上的一个点为P，S的参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别代表点P在X轴、Y轴和Z轴上的坐标，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是曲面S在参数u, v下的坐标方程。
常见的曲面参数方程包括平面、球面、柱面、锥面等，通过求解这些曲面的参数方程题目，可以更好地理解参数方程在解析几何中的应用。
四、参数方程的应用题型参数方程的应用广泛存在于数学、物理等领域。
在中职数学课程中，常见的参数方程应用题型包括运动学问题、力学问题、电路问题等。
例如，求解运动学问题时，通过给定物体在不同时刻的位置信息，可以利用参数方程推导出物体的运动轨迹；求解力学问题时，通过给定力的大小和方向信息，可以利用参数方程计算物体的受力情况；求解电路问题时，通过给定电流和电压的关系，可以利用参数方程分析电路的特性。
高中数学一轮复习13.2 参数方程
第二节 参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程2．参数方程和普通方程的互化 3．直线、圆、椭圆的参数方程考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．[题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)． (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．考点二 参数方程的应用[典例] 已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值．[题组训练]1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标．2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．4．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．6．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值．8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值；(2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围．。
职中高一数学上学期知识点
职中高一数学上学期知识点一、函数与方程1. 函数的概念及表示法函数是一种特殊的关系，其将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
函数可以用各种表示法表示，如显式函数、隐式函数、参数方程等。
2. 一次函数与二次函数一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b分别表示斜率和截距。
二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示二次、一次及常数项的系数。
3. 指数函数与对数函数指数函数的定义为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数的定义为y = loga(x)，其中a为底数，x为对数的真数。
4. 线性方程与二次方程线性方程是含有未知数的一次方程，一般形式为ax + b = 0。
二次方程是含有未知数的二次方程，一般形式为ax² + bx + c = 0。
二、平面几何1. 平行线与垂直线两条直线平行的条件是它们的斜率相等，而垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
2. 三角形三角形是由三条边和三个内角组成的闭合图形。
常见的三角形类型有等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
3. 圆与圆的切线切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
4. 平面镜像与旋转平面镜像是指物体相对于镜面的镜像图形。
旋转是指围绕一个点旋转物体，并保持物体上的每个点到旋转中心的距离不变。
三、空间几何1. 线段与角线段是由两个点确定的直线部分。
角是由两条线段共享一个端点组成的图形。
2. 圆柱、圆锥与圆球圆柱是一个平面图形，其两个底面为圆且平行。
圆锥是由一个圆和一个顶点连线得到的图形。
圆球是由所有与球心距离相等的点组成的图形。
3. 空间镜像与旋转空间镜像是指物体相对于平面的镜像图形。
旋转是指围绕一个轴旋转物体，并保持物体上的每个点到旋转轴的距离不变。
四、数列与级数1. 等差数列与等比数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差相等的数列。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比相等的数列。
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参数方程
1．(2011年北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫1，π2
B.⎝
⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t
(t 为参数)与坐标轴的交点是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，25，⎝⎛⎭⎫12，0 B.⎝⎛⎭⎫0，15，⎝⎛⎭
⎫12，0 C ．(0，－4)，(8,0) D.⎝⎛⎭
⎫0，59，(8,0) 3．(2010年北京)极坐标方程(p －1)(θ－π)＝0(p ≥0)表示的图形是( )
A ．两个圆
B ．两条直线
C ．一个圆和一条射线
D ．一条直线和一条射线
4．(2010年广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤2π)中，曲线ρ(cos θ＋sinθ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
5．(2010年陕西)已知圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α，y ＝1＋sin α(a 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为________________．
6．(2010年广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为____________．
7．(2011年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点且与直线⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为______________． 8．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l 1的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为______________．
9．(2011年陕西)直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ
(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________________．
10．(2011年天津)已知抛物线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝__________.
11．(2011年湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在
极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．
12．(2011年广东广州测试)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3
，则直线l 的极坐标方程为________________．。