职高数学一轮复习集合
中职数学知识点总结及公式大全
中职数学知识点总结及公式大全一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由确定的元素组成的总体。
例如，一个班级的所有学生可以组成一个集合。
- 元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）。
如果a是集合A中的元素，就说a∈ A；如果a不是集合A中的元素，就说a∉ A。
2. 集合的表示方法。
- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如A = {1,2,3}。
- 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
例如B={xx >0,x∈ R}，表示所有大于0的实数组成的集合。
3. 集合间的基本关系。
- 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。
- 真子集：如果A⊆ B，且B中至少有一个元素不属于A，那么A是B的真子集，记作A⊂neqq B。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B。
4. 集合的运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
例如A = {1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩ B = {2,3}。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
对于上面的A和B，A∪ B={1,2,3,4}。
- 补集：设U是全集，A⊆ U，则∁_UA={xx∈ U且x∉ A}。
二、不等式。
1. 不等式的基本性质。
- 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。
- 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
- 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。
- 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
2. 一元一次不等式。
- 一般形式为ax + b>0（a≠0）或ax + b < 0（a≠0）。
- 求解步骤：移项、合并同类项、系数化为1。
中职数学(人教版)： 集合复习题及答案
《第一轮复习》第1讲 集合一、集合的概念与集合间的关系： （一）知识归纳：1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
①集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉。
②集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性。
③表示一个集合可用列举法、描述法或图示法。
2．集合的包含关系：①集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B ；若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A=B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B.②简单性质：1）A ⊆A ；2） ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）。
3．全集与补集：①包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； ②若S 是一个集合，A ⊆S ，则， S =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集。
③简单性质：1）S (S A)=A ；2）S S=，S=S 。
4．交集与并集：①交集}|{},|{B x A x x B A B x A x x B A ∈∈=⋃∈∈=⋂或并集且. ②简单性质：1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂=⋂=⋂2）;,A B B A A A ⋃=⋃=⋃3）);()(B A B A ⋃⊆⋂4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆; 5）U （A ∩B ）=（U A ）∪（U B ），U （A ∪B ）=（U A ）∩（U B ）。
（二）学习要点：1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如如∈、∉、⊆、 、=、S A 、∪，∩等等；2．解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“文氏图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
中职数学对口升学一轮复习第1章《集合》知识小结及单元检测课件
元素之间用“，”隔开.(注意无素的互异性)
不方便或不可能列出集合中所有元素时，在不产生 歧义的情况下可以列出该集合的一部分元素，其余元 素可以省略号代替。如{1,2,3,......,99，100}
知识清单
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(2)
(3)
(2)运算性质：
① AI B BI A
② (AI B) I C AI (B I C)
③ AI A A ④ AI I A
⑤ 若A B,则A I B A,反之也成立.
知识清单
——————————————————————————
2.并集(“取全部”)
(1)定义：给定两个集合A,B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合叫作A 与B的并集，记作 AUB ,读作“A并B”，即 AUB {x x A或xB}
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性质描述法举例：
① 奇数集： {x | x 2k 1, k Z}
② 偶数集： {x | x 2k, k Z}
③ x轴上所有点组成的集合:
{(x, y) | y 0, x R}
④ y轴上所有点组成的集合:
{(x, y) | x 0, y R}
A.3个
B.6个
C.7个
D.8个
【答案】D
12.直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为( ) A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0} B.{(x,y)|x=0且y=0} C.{(x,y)|xy=0} D.{(x,y)|x,y不同时为0}
【答案】C
13.x∈R,“x<3”是“|x|<3”的 （ ） A.充分必要条件 C.既不必要也不充分条件
中职单招数学知识点
中职单招数学知识点一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，全体正整数组成一个集合，{1,2,3,…}。
- 元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a∈ A；如果a不是集合A中的元素，就说a∉ A。
2. 集合的表示方法。
- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如A = {1,2,3}。
- 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
如B={xx > 0,x∈ R}，表示所有大于0的实数组成的集合。
3. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。
如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂neqq B。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B。
4. 集合的运算。
- 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B 的交集，记作A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B 的并集，记作A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设U是一个集合，A是U的一个子集（即A⊆ U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作∁_UA={xx∈U且x∉ A}。
二、不等式。
1. 不等式的基本性质。
- 对称性：若a > b，则b < a；若a < b，则b > a。
- 传递性：若a > b，b > c，则a > c。
- 加法性质：若a > b，则a + c>b + c。
- 乘法性质：若a > b，c>0，则ac > bc；若a > b，c < 0，则ac < bc。
2. 一元一次不等式。
- 定义：形如ax + b>0（a≠0）或ax + b < 0（a≠0）的不等式称为一元一次不等式。
集合课件-2024届高二中职数学一轮复习
集合的表示方法
1. 列举法
把集合中的元素一一列举出来, 写在大括号内, 这种
表示集合的方法 叫作列举法.
【注意】
用列举法表示集合时,列出的元素要求不遗
漏、不增加、不重复,但与元素的排列顺序无关.
01
知识要点
2.描述法
把集合中所有元素的共同特征描述出来, 这种表示集合的方法
叫作描述法.
{×
×
×
代表元素
0
{0,1};
{x||x|=2};
{x|-1<x<4}.
典型例题
01
2、用符号“∈”“∉”“=”“⫋”“⫌”填空.
(1)4
{1, 2, 3, 4, 5};
（2）{a, b,c}
(3){a}
(4){x|x<5}
{c, b, a};
{b,c, d, a};
{x|x<3};
(5){x|x 是正方形}
{x|x 是矩形}.
一般地, 设A, B 是两个集合, 由属于A 且属于B 的
所有元素组成的集 合C 叫作集合A 与集合B 的交集, 记
作A∩B, 读作“A 交B”, 即 C=A∩B={x|x∈A, 且x∈B}.
如图涂色部分表示集合A 与集合B 的交集.
01
知识要点
对于任意两个集合A, B, 有下述性质.
(1)A∩B=B∩A;
有不属于A的元素组成的集合叫作子集A 在全集U中
的补集 (或余集), 记作∁ A, 读作“A 在全集U中
的补集”.即
∁ A={x|x∈U 且x∉A}.
01
知识要点
根据全集和补集的含义可以知道, 对于
全集U 和它的一个子集A, 有下述性质:
中专 技校 职高单招 对口升学数学总复习 第一章 集合与逻辑用语
充要条件的含义
✔
考试层次要求
理解
掌握
✔
✔
✔
✔
✔
第一节 集合
知识清单
考点一 集合的概念与表示法 考点二 集合间的关系 考点三 集合的运算
考点一 集合的概念与表示法
1
集合
把具有某种属性的一些确定的对象看成一个整体， 便形成一个集合， 常
用大写的拉丁字母A , B , C 等表示。
2
元素 集合中的每一个确定的对象叫作这个集合的元素, 常用小写字母a,b,c 等
本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断,运用不等式之间 的关系是解题的关键.
技巧点播
考点二 集合间的关系
3.集合相等
一般地,对于两个集合A 与B,如果集合A 中的任何一个元素都是 集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们 就说集合A 等于集合B,记作A=B(A,B 的所有元素相等)。
注意
（1）若两个集合相等,则两个集合所ห้องสมุดไป่ตู้元素完全相同, 反之亦然.
（2）要判断两个集合是否相等,对于元素较少的有限 集,主要看它们的元素是否完全相同;若是无限集,则从 “互为子集”入手进行判断.
知识清单
考点一 集合的概念与表示法 考点二 集合间的关系 考点三 集合的运算
考点三 集合的运算
1.交集
一般地,由既属于集合A又属于 集合B的所有元素组成的集合,
称为集合A与集合B的交集,
作A∩B
即A∩B={x|x∈A 且x∈B}.
性质
考点三 集合的运算
2.并集
一般地,由所有属于集合A 或属于 集合B 的元素组成的集合,称为集 合A 与集合B 的并集。
中职数学-集合的运算-一轮复习
设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x>0},求A∩B,A∪B.
设集合A={2,3},B={2,3,4,5},U={0,1,2,3,4,5},求CU A , CU B , CU A∩CU B.
已知全集U=R,集合A={x|x+5<0},B={x|x-3>0},求CU A, CU B, CU A∩CU B.
集合的运算
交集 并集 补集
名称
交集
并集
由所有属于集合A且属于集合B 由所有属于集合A或属于集合B
定义 的元素所组成的集合,叫做A与B 的元素所组成的集合,叫做A与B
Байду номын сангаас的交集
的并集
记号
A∩B(读作“A交B”)
描述
A与B公共元素组成的集合, 即A∩B={x|x∈A且x∈B}
A∪B(读作“A并B”) A与B所有元素组成的集合, 即A∪B={x|x∈A或x∈B}
(1)已知集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5,6},求A∩B,A∪B. (2)已知集合A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7},C={6,7,8},求： A∩B,A∪B,C∩B,A∪C,(A∩C)∪B.
已知集合A={x|x2-9=0},B={x|x-3=0},求A∩B,A∪B
2.补集:如果A是全集U的一个子集,由U中的所有不属于A的元素构成的集合,叫 做A在U中的补集,记作∁UA,读作“A在U中的补集”,简读作“A的补集”.
注:(1)∁UA={x|x∈U且x∉A};(2)用韦恩图表示如下:
3.补集的性质:(1)A∪∁UA=U;(2)A∩∁UA=Ø;(3)∁U(∁UA)=A.
谢谢
图示 理解
①A∩A=A;②A∩Ø=Ø;
职高数学复习教案第一轮
集合的概念一、高考要求：1.理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系；2.掌握集合的表示方法.二、知识要点：1.集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“∉”表示.常用到的数集有自然数集N（在自然数集内排除0的集合记作N+ 或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R.2.集合中元素的特征:①确定性:a∈A和a∉A,二者必居其一;②互异性:若a∈A,b∈A,则a≠b;③无序性: {a，b}和{b，a}表示同一个集合.3.集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法.4.集合的分类:含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ.5.集合间的关系:用符号“⊆”或“⊇”、“⊂（）”或“⊃（）”、“=”表示.子集:一般地,如果集合A的任一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B 的子集,记作A ⊆B 或B ⊇A,读作A 包含于B,或B 包含 A.即:A ⊆B ⇔x ∈A ⇒x ∈B.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A B 或B A.等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A 等于集合B,记作A=B.即:A=B ⇔x ∈A ⇔x ∈B.三、典型例题：例1:数集A 满足条件:若a ∈A,则有)1(11≠∈-+a A aa . (1) 已知2∈A,求证:在A 中必定还有另外三个数,并求出这三个数;(2) 若a ∈R,求证:A 不可能时单元素集合.例2:已知集合A={a ，a+d ，a+2d},B={a ，aq ，aq 2},若a,d,q ∈R 且A=B,求q 的值. 例3:设A={x| x 2+4x=0},B={x| x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}.(1) 若B ⊆A,求实数a 的值;(2) 若A ⊇B,求实数a 的值.四、归纳小结：1.任何一个集合A 都是它本身的子集,即A ⊆A;集合A 不是集合B 的子集,记作A B 或B A.2.空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集.3.对于集合A 、B 、C,如果A ⊆B, B ⊆C,则A ⊆C; 如果A B, B C,则A C;如果A⊆B, B⊆A,则A=B; 如果A=B, 则A⊆B, B⊆A.4.注意区别一些容易混淆的符号:①∈与⊆的区别:∈是表示元素与集合之间的关系,⊆是表示集合与集合之间的关系;②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合;③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列条件不能确定一个集合的是( )A.小于100的质数的全体B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体C.充分接近3的所有实数的全体D.身高不高于1.7m的人的全体2.下列命题中正确的是( )A. {4，5}和{5，4}是两个不同的集合B.{x∈R| x2+x+1=0}是空集C.若a∈N,b∈N*,则a+b的最小值为2D.小于10的偶数集合是有限集3.集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是( )A.32B.31C.16D.154.已知集合M={(0,1)},则( )A.0∈MB.1∈MC.(0,1) ∈MD.(1,0) ∈M5.集合{0}与Φ的关系是( )A.{0}=ΦB.Φ∈{0}C.{0}ΦD.Φ{0}6.设I为全集,集合A、B⊆I,A∪B=B,则( )A.A⊇BB.A⊆BC.A⊆BD. A⊇B7.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则A中实系数k的值为( )A.1B.0C.0或1D.以上答案都不对8.设P={x| x=n2+1,n∈N},M={x| x=m2-4m+5,m∈N},则集合P与M的关系是( )A.P=MB.P MC.P MD.不同以上答案9.设I为全集,且Φ⊂A⊆B⊂I,下列集合中,一定为空集的是( )A.A∩BB.A∪BC.A∩BD.A∩B10.设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( )A.x∈M或x∈NB.x∈M且x∈NC.x∈M但x∉ND.x∉M但x∈N （二）填空题：11.已知A={x | 1≤x＜4},B={x | x＜a},若A B,则实数a的取值集合为.12.已知A={1，a，b},B={a，a2，ab},且A=B,则实数a=,b=.13.若集合A有n个元素,则其子集个数为.14.已知非空集合M满足:M⊆{1，2，3，4，5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条件的集合M的个数是.（三）解答题：15.已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.集合的运算一、高考要求：理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算.二、知识要点：1.交集:一般地,对于两个给定的集合A、B,由既属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A、B的交集,记作A∩B,读作A交B.即:A∩B⇔{x|x∈A且x∈B}.2.并集:一般地,对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A、B的并集,记作A∪B,读作A并B.即:A∪B⇔{x|x∈A或x∈B}.3.补集:一般地,如果集合A是全集U的一个子集,由U中的所有不属于A的元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作AC(或A),读作A在U中的补集.U即:AC= {x|x∈U且x∉A}.U三、典型例题：例1:已知集合A={1，3，- x3},B={1，x+2}.是否存在实数x,使得B∪(BC)=A? 实U数x若存在,求出集合A和B;若不存在,请说明理由.例2:若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.(1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若ΦA∩B且A∩C=Φ,求a的值;(3)若A∩B=A∩C≠Φ,求a的值.例3:某校先后举行数理化三科竞赛,学生中至少参加一科的:数学807人,物理739人,化学437人,至少参加两科的:数学与物理593人,数学与化学371人,物理与化学267人,三科都参加的有213人,试计算参加竞赛的学生总数.四、归纳小结：1. 交集的性质:A∩A=A ;A∩Φ=Φ;A∩B=B∩A;A∩B ⊆A;A∩B ⊆B;如果A ⊆B,则A∩B=A .2. 并集的性质:A ∪A=A;A ∪Φ=A ;A ∪B=B ∪A;A ⊆A ∪B;B ⊆A ∪B;如果A ⊆B,则A ∪B=B.3. 补集的性质:A C A =Φ;ΦA C =A;A ∪A C U =U;A∩A C U =Φ;A A C C U U =)(;)(B A C U ⋂=A C U ∪B C U ;)(B A C U ⋃=A C U ∩B C U .五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.任何一个集合A 必有两个子集B.任何一个集合A 必有一个真子集C.A 为任一集合,它与B 的交集是空集,则A,B 中至少有一个是空集D.若集合A 与B 的交集是全集,则A,B 都是全集2.设集合A={x| x 2-6x+5＜0},B={x||x-4|≤2},则A∩B=( )A.{x|1＜x≤6}B.{x|2≤x ＜5}C.{x|2＜x≤5}D.{x|2≤x≤6}3.设集合A={x| x(x-1)=0,x ∈R},B={x| x 2+x-2=0,x ∈R},则A∩B 是( )A.{0,1,2}B.{0}C.{1}D.{2}4.设集合A={(x,y)| 4x+y=6},B={(x,y)| 3x+2y=7},则集合A∩B 是( )A.{(1,2)}B.{1,2}C.{(2,1)}D.{(-1,-2)}5.集合A={}110|-≤≤-∈x Z x x 且,B={}5|||≤∈x Z x x 且,则A ∪B 中的元素个数( )A.11B.11C.16D.156.设全集U=R,集合M={x| -3≤x ＜2},P={x| x≥0},则)(P M C U =( )A.{x| 0≤x ＜2}B.{x| x≥2}C.{x| x ＜0或x≥2}D.{x| x≤0或x ＞2}7.已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8},A={3，4，5},B={1，3，6},那么集合{2，7，8}是( )A.A ∪BB.A∩BC.B A ⋃D.B A ⋂8.已知集合A={a 2，a+1，-3},B={a-3，2a-1，a 2+1},若A∩B={-3},则实数a 的值是( )A.-1B.0C.1D.29.设全集为U,对任意子集合A,B,若A B,则下列集合为空集的是( )A.A∩(B C U )B.(A C U )∩(B C U )C.(A C U )∩BD.A∩B（二）填空题：10. 设集合A={x|x+8＞0},B={x|x-3＜0},C={x|x 2+5x-24＜0},(x ∈R),则集合A 、B 、C 的关系是.11. 设A={x||x-a|≤2},B={x|x 2-6x+8≥0},且A∩B=Φ,则a 的取值范围是.12. 已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x ＞a},若A∩B≠Φ,A ∪B≠B,则a 的取值范围是.13. 若集合A 和集合B 满足A ∪B=A∩B,则A 与B 的关系是.14. 设M={x|x 2-2x+p=0},N={x|x 2+qx+r=0},且M ∩N={-3},M ∪N={2，-3，5},则实数p=,q=,r=.15. 已知集合A={1，2，3，x},B={x 2，3},且A ∪B=A,试求x 的值.简易逻辑一、高考要求：理解推出、充分条件、必要条件和充要条件.二、知识要点：1. 推出:①如果p,则q(真命题);②p ⇒q;③p 是q 的充分条件;④q 是p 的必要条件. 这四句话表述的是同一逻辑关系.2. 充要条件:①p ⇔q;②p 是q 的充要条件;③q 当且仅当p;④p 与q 等价. 这四句话表述的是同一逻辑关系.三、典型例题：例:甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,则丁是甲的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件四、归纳小结：1. 命题联结词中,“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反;“p 且q”形式复合命题当p 与q 同时为真时为真,其它情况时为假;“p 或q”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假,其它情况时为真.2. 符号“⇒”叫作推断符号,符号“⇔”叫作等价符号.五、基础知识训练：1.在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b≠0)和2211b a >互为充要条件D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件2.设A={x|x 具有性质p},B={x|x 具有性质q},则下列每组命题不等价的是( )A.A∩B 和“p 且q”B.A ∪B 和“p 或q”C.A ⊆B 和“p ⇔q”D.A=B 和“p ⇔q”3.如果命题p 、q 都是真命题,在下列命题中:①p ∨q ②p ∧q ③q p ∨ ④q p ∧ ⑤q p ∨ ⑥q p ∧真命题的个数是（）A.1B.2C.4D.64. “a ＜b ＜0”是“ba 11>”成立的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5.“A∩B=A”是“A=B”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用.二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b=0⇔a=b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c;(2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c;(3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞bc;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜bc;(4)移项法则:如果a+b ＞c,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d;(6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞bd.3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1);a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1);a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒b a 11<; 4. 重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2ab （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3abc （a 、b 、c ∈R +）; ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +); (2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; ca b c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）; (4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; a a 1+≤-2（a ∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q≤2;(4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0;(5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9. 四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B;(3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧.五、基础知识训练：（一）选择题：6.在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b≠0)和2211b a >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 7.已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c 2⋅＞b c 2⋅8.如果ab ＞0且a ＞b,则有( ) A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1 C.a 2＞b2 D.a 2＜b 2 9. “a ＜b ＜0”是“a 1＞b 1”成立的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件10. 不等式2>+ab b a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a≠b B.ab≠0且a≠b C.a ＞0,b ＞0且a≠b D.a≠1且b≠111. 已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.112. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个13. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.b≥c ＞aB.b ＞c ＞aC.b ＜c ＜aD.b ＜c≤a14. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化15. 若a≠2或b≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( )A.M ＞-5B.M ＜-5C.M=-5D.不能确定16. 已知0＜a ＜1,则a a 1、a a -、a a 的大小关系是( ) A.a a 1＞a a ＞a a - B.a a -＞a a ＞a a 1 C.a a ＞a a 1＞a a - D.a a -＞aa 1＞a a 17. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( )A.a 2＞b 2B.b a >C.b a 11> D. ab a 11>- 18. 设a 、b 是不相等的正数,则( ) A.2222b a ab b a +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222b a ab b a +<<+ 19. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( )A.2xyB.x+yC.xy 2D.x 2+y 220. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④ba ab +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个21. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.3422. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.2223. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )A.4B.6C.8D.1024. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21 B.a C.2ab D.a 2+b2 25. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③26. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（二）填空题：27. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xb y a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是. 28. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bd a c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成个正确的命题.29. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有.30. 已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是.31. 已知函数x x y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是. 一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集.二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(ab ,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,a b ). 3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集.三、典型例题：例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x . 四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-2B.m ≤-4C.m ＞-5D.-5＜m≤-42. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜41-B.m ＞41-C.m≥41-D.m ＞41-且m≠0 （三）解答题：解不等式(组): (1)52(x-2)≤x -5210(2)250360x x x -<⎧⎪+>⎨⎪-<⎩分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx b ax . 二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c d cx b ax ,不等号也可以是“≥”或“≤”. 三、典型例题：例:解不等式:1523-+>-+x x x x . 四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有：(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法.注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 满足21<x 与31->x的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或 2. 下列不等式中与xx --34≥0同解的是( ) A.(x-4)(3-x)≥0 B.43--x x ≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x -4)(3-x)＞0 3. 不等式1212>-+x x 的解集是( ) A.{x|0≤x ＜3} B.{x|-2＜x ＜3} C.{x|-6≤x ＜3} D.{x|x ＜-3或x ＞2}4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x≠1} D.{x|x ＜3且x≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( ) A.{x|1≤x ＜2} B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x=-3}D.{x|1≤x≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( ) A.(-∞,c)∪[b,a) B.(c,b]∪[a,+∞) C.(c,b]∪(b,a] D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题：7. 不等式1312>+-x x 的解集是. 8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是. 9. 若不等式342+++x x a x ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x≥2},则a=. （三）解答题：10. 解下列不等式:(1) 12+<x x (2) 110<-<xx 含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集.二、知识要点：1. |x-a|(a≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a≤x≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集.三、典型例题：例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x -1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞)2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( ) A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( ) A.{x|21＜x ＜65} B. {x|x ＜21或x ＞65} C. {x|x≤21或x≥65} D. {x|21≤x≤65} 4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( )A.{x|x≤7或x ＞1}B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x≤7或x≥3}5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A∩B 等于( )A.{x|x ＜0或x ＞2}B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5}（二）填空题：6. 若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则b a 2log =. 7. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b=.8. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是. （三）解答题：9. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件:(1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B≠Φ.10. 解下列不等式:(1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1 一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对比表如下：判别式△=b 2-4ac△＞0 △=0 △＜0一元二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的图象三、典型例题： 例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x 2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x 2-32x+3＞0；(4)x 2+6(x+3)＞3；(5)3x 2+5≤3x.例2:m 是什么实数时,方程(m-1)x 2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D .{x|x≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac≥0D.a ＜0且b 2-4ac≤04. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜05. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m≠±2D.m ∈R6. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：7. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b=，c=.8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为.（三）解答题：9.设集合A={x|x2-2x-8≥0, x∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a∈R},A∩B=Φ,求a的取值范围.10.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a的取值范围.11.若函数y=x2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p元,每月售货卖出n件,因而现在每月售货总金额为np元.设定价上涨x成,卖出数量减少y成,售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)设y=kx,其中k是满足0＜k＜1的常数,利用k来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32=,求使售货总金额有所增加时的x 的范围. 四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ) A.x=2b a + B.x≤2b a + C.x ＞2b a + D.x≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过(千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过.（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?映射与函数一、高考要求：理解映射与函数的概念;会求函数的解析式.二、知识要点：1. 映射的概念:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x ,在B 中总有一个且只有一个元素y 与x 对应,则称f 是集合A 到B 的映射;称y 是x 在映射f 作用下的象,记作)(x f .于是)(x f y =;x 称做y 的原象.映射f 可记为:f :A→B,x |→)(x f .其中,A 叫做映射f 的定义域,由所有象)(x f 所构成的集合叫做f 的值域.2. 如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f ,叫做A 到B 的函数.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ⊆B),叫做函数的值域.(1) 函数的两要素:定义域、对应法则.一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定.两个函数是相同的函数的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同.(2) 函数的表示方法:常用的有列表法、图象法和解析法.三、典型例题：例1:已知映射f :A→B,其中集合A ＝{-3，-2，-1，1，2，3，4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的a ∈A,在B 中和它对应的元素是|a|,则集合B 中元素的个数是( )A.4B.5C.6D.7例2:已知集合A={1，2，3，a},B={4，7，b 4，b 2+3b},其中a ∈N *，b ∈N *.若x ∈A ，y ∈B,映射f :A→B 使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,求a 和b 的值. 例3:(1)已知x x f -=11)(,求)1(+x f ,)1(xf . (2)已知x x x f 2)12(2-=+,求)(x f .四、归纳小结：1. 映射是一种特殊的对应.(1) 映射f :A→B 是由集合A 、B 以及从A 到B 的对应法则所确定.(2) 映射f :A→B 中的两个集合A 、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.再者,集合A 、B 可以是同一个集合.(3) 集合A 到集合B 的映射f :A→B 与集合B 到集合A 的映射f :B→A,一般来说是不同的.换言之,映射涉及的两个集合有先后次序.(4) 在映射f :A→B 之下,集合A 中的任一元素在集合B 中都有象,且象是唯一的(简括之:“都有象;象唯一”).(5)给定映射f:A→B,集合B中的元素在集合A中可能有一个原象,可能有两个或多个原象,也可能没有原象.(6)如果对于A中的不同元素在集合B中有不同的象,且B中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B的一一映射.一一映射是一种特殊的映射,若设映射f:A→B的象集为C,则C⊆B.C=B是映射f:A→B构成一一映射的必要条件.2.函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射.3.求函数解析式的常用方法:(1)当已知表达式较简单时,可直接用凑合法求解;(2)若已知函数的结构,则可用待定系数法求解;(3)若已知表达式)](xf,则常用换元法求解)f;([xg(4)消去法:已知表达式)](a(xf.f时,可不必先求)(f,求)[xg五、基础知识训练：（一）选择题：16.在映射f:A→B中,下列判断正确的是( )A.A中的任一元素在B中都有象,但不一定唯一B.B中的某些元素在A中可能有多个原象,也可能没有原象C.集合A和B一定是数集D.记号f:A→B与f: B→A的含义是一样的17. 已知四个从集合A 到集合B 的对应(如图),那么集合A 到集合B 的映射是( )A.④B.①和④C.②和④D.③和④18. 如果x 在映射f :R→R 下的象是x 2-1,那么3在f 下的原象是( )A.2B.-2C.2和-2D.819. 集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P 到Q 的函数是( )A.f :x→y=21xB.f :x→y=31xC.f :x→y=32x D. f :x→y=x 20. 下列每一组中的函数)(x f 和)(x g ,表示同一个函数的是( )A.x x f =)(;2)()(x x g =B.x x f =)(;33)()(x x g =C.1)(=x f ;xx x g =)( D.1)(=x f ;0)(x x g = 21. (2003高职-11)已知函数22)1(2++=+x x x f ,则)(x f 的解析表达式为( )A.2)1(-xB.12-xC.12+xD.2)1(+x22. 已知函数13)1(-=-x x f ,则)(x f =( )A.3x-1B.3xC.3x+1D.3x+223. 函数)23(32)(-≠+=x x cx x f ,满足x x f f =))((,则c 等于( ) A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3（二）填空题：24. 集合A 、B 是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A 到B 的映射f :{(x,y)}→{(x 2+y 2,xy)},则象(5,2)的原象是.25. 从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有个.26. 设函数)(x f =[x], (x ∈R),其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则)8.4(-f =.（三）解答题：27. 已知正方形ABCD 的边长为10,一动点P 从点A 出发沿正方形的边运动,路线是A→B→C→D→A,设点P 经过的路程为x,设AP 2=y,试写出y 关于x 的函数.函数的定义域、值域一、高考要求：掌握函数的定义域、值域的求解.二、知识要点：函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f :A→B 称为A 到B 的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A 叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C ⊆B)称为函数的值域.三、典型例题：例1;求下列函数的定义域:(1)y=-2x 2+3x-1; (2)422--=x x y ; (3)22x x y -=; (4)3213113-+---=x x x x y 例2:求下列函数的值域;(1)1+=x y ; (2) y=-2x 2+4x-1; (3)53-+==x x y ; (4)13212+-=x x y . 四、归纳小结：(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:1. 一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:(1) )(x f 是整式或奇次根式时,定义域为实数集;(2) )(x f 是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;(3) )(x f 是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;(4) )(x f 是对数函数的,要考虑对数的意义.2. 如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.3. 由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:(1) 配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围;(2) 判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”;(3) 图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.(4) 反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 函数)12lg(22--=x x x y 的定义域是( ) A.]2,1()1,21(⋃ B.]2,21( C.()(]2,11,0⋃D.(]2,0 2. 函数x x y -+=的定义域为( )A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.(-∞,+∞)D.{0} 3. 函数xy 111+=的定义域为( ) A.x ＞0 B.x ＞0或x≤-1 C. x ＞0或x ＜-1D.0＜x ＜1 4. 函数265)(2-+-=x x x x f 的定义域为( )A.{x|2＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜2}C.{x|x≤2或x≥3}D. {x|x ＜2或x≥3} 5. 函数)(x f 的定义域为[-2,1],则函数)1(x x f -的定义域为() A.(32-,0) B.[31,+∞) C.[31-,+∞)D.(0,+∞) 6. (当[]4,1∈x 时,函数7822+-=x x y 的值域是( )A.[1,7]B.[-1,1]C.[-1,7]D.[)+∞-,1 7. 函数322+--=x x y (-5≤x≤0)的值域是( )A.(]4,∞-B.[3,12]C.[-12,4]D.[4,12]8. 若36)]([+=x x g f ,且12)(+=x x g ,则)(x f =( )A.3B.3xC.3(2x+1)D.6x+1（二）填空题：9. (函数4)65(log 222-++-=x x x y 的定义域为(用集合表示).10. 函数34)63lg(-+-=x x y 的定义域为. 11. 函数4)(1321-++=x x y 的定义域为. 12. 已知函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)(2x f 的定义域是.13. y =x 2-5x+6(-3≤x≤2)的值域是.14. 已知函数32)(+=x x f ,x ∈{0，1，2，3，4，5},则函数)(x f 的值域是.15. 函数22--=x x y 的定义域为A,函数xx y -+=12的定义域为B,则A∩B=, A ∪B=.函数的图象一、高考要求：会用描点法作函数的图象.二、知识要点：函数图象是函数的一种表示形式,它反映了从“图形”方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质,也可以帮助我们掌握各类函数的基本性质.函数的图象可能是一条光滑的直线,也可能是曲线或折线或其中的一部分,还可能是一些间断点.描点法是作函数图象的基本方法.三、典型例题：例1:画出下列各函数的图象:(1)y=1-x(x ∈Z); (2)y=|x-1|; (3)y=2x 2-4x-3(0≤x ＜3); (4)y=x 3.例2:ABCD 是一个等腰梯形,下底AB=10,上底CD=4,两腰AD=BC=5,设动点P 由B 点沿梯形各边经C 、D 运动到A 点,试写出△PAB 的面积S 与P 点所行路程x 之间的函数关系式,并画出其图象.四、归纳小结：1. 画函数的图象(草图)的一般步骤是:(1) 确定函数的定义域;(2) 化简函数的解析式(如含有绝对值的函数化为分段函数);(3) 利用基本函数画出所需的图象.2. 利用描点法画函数的图象时要注意根据具体函数进行分析:如何取点,取多少点.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数是( )A.有一个B.至少有一个C.至多有一个D.有一个或两个2. 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如右图,则( )。
高教版(2021)中职数学基础模块上册第1章《集合复习课》课件
第1章 集合
复习课
一、知识回顾
1.集合的概念.
由某些确定的对象组成的整体称为集合.
组成这个集合的对象称为这个集合的元素.
(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系:a∈A或a∉A.
(3)常用数集:自然数集N;正整数集N*或N+;整数集Z;有理数集
Q;实数集R.
(1)4
{x|x2-2x-8=0};
{x|x2-4x+3=0};
(2){1,3}
(3){x|1<x≤4}
{x|x≥0};
(4)Z
N;
(5)∅
{x∈R|x2-4=0};
(6)6
{x|x<5}.
【例3】
写出集合A={2,3,4}的所有子集,并指出哪些是它的真
子集.
【解】
【例4】
设全集U={x∈N|x<10},集合A={2,3,4,5},集合
B={2,4,6,8},求A∩B,A∪B,∁UA,∁UB.
【解】
【例5】
设全集U=R,集合A={x|x≥2},集合B={x|1≤x<5},求
A∩B,A∪B,∁UA,∁UB.
【解】
*题型概括
1.判断语句能否组成集合.
2.元素与集合的关系.
3.集合与集合的关系.
4.用列举法求集合的交集、并集、补集.
A.a=M
B.a∈M
合M.
C.a⊆M
(
)
D.a⫋M
)
6.下列关系中正确的是 (
A.0⊆{0}
【答案】
B.∅={0}
)
C.∅∈{0}
D.∅⊆{0}
D
【解】 空集是任何集合的子集.
职业中专 高一 数学复习知识点
第一章：集合第二章：方程与不等式一、解一元二次方程1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.步骤：（1）化系数和移项:把x 2前面的系数化为1，且把常数项移到方程的右边； （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； （3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方； （4）求解:解一元一次方程； （5）定解:写出原方程的解. 例1.解方程：2x +8x-9=0 移项得： 2x +8x=9 配方得：2x +8x+16=9+16 写成完全平方式：（x+42）=25开方得：x+4=±5 ∴ x+4=5 x+4=-51x =1 2x =-92.公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是：242b b acx a-±-=．步骤：例：x 2－2x －2＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4•1×(－2)－12＞0， ∴21222322x±±==，∴31x 1+=，3-1x 2=.二、解含绝对值的不等式1.),(-m x m m m x m -⇔<<⇔<2.),(),(x x +∞--∞⇔>-<⇔>m m m m x m 或例）（2,8-2x 8-5x 35-5x 3⇔≤≤⇔≤+≤⇔≤+ 注意：不等号的方向和区间的开闭 三、解一元二次不等式 步骤：（1）化系数和移项:把x 2前面的系数化为1，且把常数项移到方程的右边； （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；（3）开方加绝对值:根据平方根意义,对不等式开发，并加上绝对值； （4）按解绝对值的不等式求解 例1.解方程：05-x 4x 2<+ 移项得： 5x 4x 2<+ 配方得：454x 4x 2+<++ 写成完全平方式：（x+22）<9 开方加绝对值得：32x <+去绝对值：)1,5(15-323--⇒<<⇒<+<x x第三章：函数1.函数概念设集合A 是一个非空的实数集，对A 内任意实数x ，按照某个确定的法则f ，有唯一确定的实数值y 与它对应，则称这种对应关系为集合A 上的一个函数．记作y=f(x)．其中x 为自变量，y 为因变量．自变量x 的取值集合A 叫做函数的定义域．对应的因变量y 的取值集合叫做函数的值域． 2. 描点法作函数图象． （1）分析函数解析式的特点； （2）取值列表； （3）描点； （4）连线． 3.函数的增减性增函数：在给定的区间上任取x1，x2，函数f(x)在给定区间上为增函数的充要条件是xy∆∆>0，这个给定的区间就为单调增区间。
(完整word版)高职数学总复习一轮(集合)
高三总复习（一）（集合）一、 选择题：1、 下列命题所列对象中能组成集合的是（ ）A 、好人B 、非常小的数C 、有趣的书D 、小于5 的实数2、 给出下面四个关系：∅∈0∉3Q Z ⊆Q {}0⊂∅ 其中正确的个数为（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个3、用列举法表示{}0232=+-x x x 集合的结果是（ ）A 、（1，2）B 、1，2C 、{1，2}D 、以上都不是4、设M=(){}(){}723,,64,=+==+y x y x N y x y x ，则N M 等于（ ）A 、（1，2）B 、{（1，2）}C 、{1，2}D 、{}{}21==y y x x5、已知集合A={}Z x x x ∈≤<-,22，B={}N x x x ∈<,4，则B A =（ ）:A 、{1，2}B 、{-1，0，1，2，3}C 、{-1，1，2，3}D 、{-1，0，1，2，3，4}6、集合{1，2，3，4}所有子集的个数是（ ）A 、8B 、14C 、15D 、167、已知集合M={a,0},N={1,2}且N M ={1}，那么N M 等于（ ）A 、{0，1，2}B 、{a ，0，1，2}C 、{1，0，1，2}D 、不能确定8、方程()()02222=-+--k x k x 有实根，则k 的取值范围是（ ） A 、()()+∞∞-,32, B 、(][)+∞∞-,32, C 、[2，3] D 、（2，3）二、 填空题：1、 用适当的符号（=⊇⊆⊇⊆∉∈,,,,,,）填空○1{}a {}b a , ○2a {}c b a ,, ○3{}0 ∅○4{}1,1- {}12=x x 5 ○6{}3<x x {}0<x x2、 023212=+-==x x x x 是或的 条件；00==a ab 是的 条件；a b a ==是3、 {}{},13),(,3),(=+==-=y x y x B y x y x A 那么=B A4、 集合{1，3}的所有子集为 ，其中真子集为5、 已知全集U={}N x x x ∈≤≤,94，A={4，5，7，8}，B={5，6，7，9}，那么 ○1B A = ○2B A = ○3B C A C U U = ○4B C A C U U = 6、 已知A={}50≤≤x x ，B={}21<<-x x ，则B A 用区间表示为三、 解答题：1、已知集合{}5,53,22+-=a a A ，集合{}3,106,12+-=a a B ，且 B A ={2，3}，求a 和B A .2、设集合{}{},,02,0232A B A ax x B x x x A ==-==+-= 且求实数a 组成的集合M.。
集合与常用逻辑用语专项-中职数学-一轮复习
B．1个
C．2个
D．3个
2
）
已知
A x∣x2 4 x 0 , B x∣x2 2 a 1 x a 2 1 0
（1）若A是B的子集，求实数a的值
（2）若B是A的子集，求实数a的取值范围。
超越自己
向自己挑战
向弱项挑战
向懒惰挑战
向陋习挑战
题，
只需要找出一个x满足条件；
★ 要判断全称量词命题是假命
题，需要推导证明.
它为真，我
只要找出一
个例子就可
以；它为假，
我得证明！
存在
量词
命题
怎么判断它
的真假呢？
例
题
跟
练
1、给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近 2 的实数的全体；③方程
x x 1 0
2
A．①③
2、集合
A．4
的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（
记为
∀ ∈ ,
常见的全称量词有“一切”“每一个”“任给”“所有的”
“全部的”“只要是”“任意的”“凡是”等等
>
我不能判断真
我能判断真假，
假，不是命题
而且是假命题！
∀ ∈ ，
>
全称量词命题怎么判断真假？
要判断全称量词命题“∀x ∈ M, p x ”是真命题，需要对集合中每一个
我能判断真假，
假，不是命题
而且是真命题！
∃ ∈ ，
>
存在量词命题怎么判断真假？
要判断全称量词命题“∃x ∈ M, p x ”是真命题，只需在集合M中找到
一个元素x，证明p x 成立即可；如果在集合M中找不到任何元素，使得p
职高数学复习教案第一轮
职高数学复习教案第一轮-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN目录1.1集合的概念 (4)一、高考要求： (4)二、知识要点： (4)三、典型例题： (4)四、归纳小结： (5)五、基础知识训练： (5)1.2集合的运算 (7)一、高考要求： (7)1.3简易逻辑 (10)2.1不等式的性质与证明 (11)2.2一次不等式和不等式组的解法 (15)2.3含有绝对值的不等式 (19)2.4一元二次不等式的解法 (20)2.5不等式的应用 (24)3.1映射与函数 (26)3.2函数的定义域、值域 (29)3.3函数的图象 (33)3.4函数的单调性与奇偶性 (35)3.5反函数 (39)3.6一元一次函数和一元二次函数的性质 (42)3.7函数的应用 (45)4.1指数式与对数式 (48)4.2指数函数和对数函数 (53)4.3抽象函数 (58)5.1向量的概念 (61)5.2向量的加法与减法运算 (64)5.3 数乘向量 (67)5.4平行向量和轴上向量的坐标运算 (70)5.5向量的分解 (73)5.5向量的直角坐标 (76)5.6向量的长度和中点公式 (79)5.7平移公式 (81)5.8向量的射影与内积 (84)6.1数列的概念 (86)6.2等差数列 (90)26.3等比数列 (94)6.4数列求和 (99)6.5数列的应用 (103)7.1角的概念推广及其度量 (106)7.2任意角的三角函数 (110)7.3同角三角函数的基本关系式 (114)7.4诱导公式 (116)7.5和角公式 (119)7.6倍角公式 (123)7.7三角函数中的化简与求值问题 (126)7.8三角函数的图象和性质 (129)7.9三角函数中的求角问题 (134)7.10解斜三角形 (137)8.1平面的基本性质 (139)8.2直线与直线的位置关系 (142)8.3直线与平面的位置关系 (145)8.4平面和平面的位置关系 (151)8.5翻折问题 (155)8.6空间图形性质的应用 (157)8.7线段的定比分点 (163)8.8两直线的平行和垂直 (170)8.9两直线的夹角及点到直线的距离 (174)8.10圆 (177)8.11椭圆 (182)8.12双曲线 (186)8.13抛物线 (191)8.14坐标轴的平移 (196)9.1排列 (200)9.2组合 (206)9.3排列、组合的应用 (211)9.4二项式定理 (217)9.5随机事件 (221)9.6事件的概率 (224)9.7概率的加法公式 (228)9.8概率的乘法公式 (230)9.9独立重复试验 (234)341.1集合的概念一、高考要求：1. 理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系；2. 掌握集合的表示方法.二、知识要点：1. 集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“∉”表示.常用到的数集有自然数集N （在自然数集内排除0的集合记作N + 或N*）、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R.2. 集合中元素的特征:①确定性:a ∈A 和a ∉A,二者必居其一;②互异性:若a ∈A,b ∈A,则a≠b;③无序性: {a ，b}和{b ，a}表示同一个集合.3. 集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法.4. 集合的分类:含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ.5. 集合间的关系:用符号“⊆”或“⊇”、“⊂（）”或“⊃（）”、“=”表示.子集:一般地,如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A ⊆B 或B ⊇A,读作A 包含于B,或B 包含A.即:A ⊆B ⇔x ∈A ⇒x ∈B.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A B 或B A.等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A 等于集合B,记作A=B.即:A=B ⇔x ∈A ⇔x ∈B.三、典型例题：例1:数集A 满足条件:若a ∈A,则有)1(11≠∈-+a A aa . (1) 已知2∈A,求证:在A 中必定还有另外三个数,并求出这三个数;(2) 若a ∈R,求证:A 不可能是单元素集合.例2:已知集合A={a，a+d，a+2d},B={a，aq，aq2},若a,d,q∈R且A=B,求q的值.例3:设A={x| x2+4x=0},B={x| x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若B⊆A,求实数a的值;(2)若A⊇B,求实数a的值.四、归纳小结：1.任何一个集合A都是它本身的子集,即A⊆A;集合A不是集合B的子集,记作A B或B A.2.空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集.3.对于集合A、B、C,如果A⊆B, B⊆C,则A⊆C; 如果A B, B C,则A C;如果A⊆B, B⊆A,则A=B; 如果A=B, 则A⊆B, B⊆A.4.注意区别一些容易混淆的符号:①∈与⊆的区别:∈是表示元素与集合之间的关系, ⊆是表示集合与集合之间的关系;②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合;③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列条件不能确定一个集合的是( )A.小于100的质数的全体B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体C.充分接近3的所有实数的全体D.身高不高于1.7m的人的全体2.下列命题中正确的是( )5A. {4，5}和{5，4}是两个不同的集合B.{x∈R| x2+x+1=0}是空集C.若a∈N,b∈N*,则a+b的最小值为2D.小于10的偶数集合是有限集3.集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是( )A.32B.31C.16D.154.已知集合M={(0,1)},则( )A.0∈MB.1∈MC.(0,1) ∈MD.(1,0) ∈M5.集合{0}与Φ的关系是( )A.{0}=ΦB.Φ∈{0}C.{0}ΦD.Φ{0}6.设I为全集,集合A、B⊆I,A∪B=B,则( )A.A⊇BB.A⊆BC.A⊆BD. A⊇B7.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则A中实系数k的值为( )A.1B.0C.0或1D.以上答案都不对8.设P={x| x=n2+1,n∈N},M={x| x=m2-4m+5,m∈N},则集合P与M的关系是( )A.P=MB.P MC.P MD.不同以上答案9.设I为全集,且Φ⊂A⊆B⊂I,下列集合中,一定为空集的是( )A.A∩BB.A∪BC.A∩BD.A∩B10.设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( )A.x∈M或x∈NB.x∈M且x∈NC.x∈M但x∉ND.x∉M但x∈N（二）填空题：11.已知A={x | 1≤x＜4},B={x | x＜a},若A B,则实数a的取值集合为 .12.已知A={1，a，b},B={a，a2，ab},且A=B,则实数a= ,b= .13.若集合A有n个元素,则其子集个数为 .14.已知非空集合M满足:M⊆{1，2，3，4，5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条件的集合M的个数是 .（三）解答题：15.已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.671.2集合的运算一、高考要求：理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算.二、知识要点：1. 交集:一般地,对于两个给定的集合A 、B,由既属于A 又属于B 的所有元素所构成的集合,叫做A 、B 的交集,记作A∩B,读作A 交B.即:A∩B ⇔{x|x ∈A 且x ∈B}.2. 并集:一般地,对于两个给定的集合A 、B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A 、B 的并集,记作A ∪B,读作A 并B.即:A ∪B ⇔{x|x ∈A 或x ∈B}.3. 补集:一般地,如果集合A 是全集U 的一个子集,由U 中的所有不属于A 的元素构成的集合,叫做A 在U 中的补集,记作A C U (或A ),读作A 在U 中的补集.即:A C U = {x|x ∈U 且x ∉A}.三、典型例题：例1:已知集合A={1，3，- x 3},B={1，x+2}.是否存在实数x,使得B ∪(B C U )=A 实数x 若存在,求出集合A 和B;若不存在,请说明理由.例2:若A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},C={x|x 2+2x-8=0}.(1)若A∩B=A ∪B,求a 的值;(2)若ΦA∩B 且A∩C=Φ,求a 的值;(3)若A∩B=A∩C≠Φ,求a 的值.例3:某校先后举行数理化三科竞赛,学生中至少参加一科的:数学807人,物理739人,化学437人,至少参加两科的:数学与物理593人,数学与化学371人,物理与化学267人,三科都参加的有213人,试计算参加竞赛的学生总数.四、归纳小结：81. 交集的性质:A∩A=A ;A∩Φ=Φ;A∩B=B∩A;A∩B ⊆A;A∩B ⊆B;如果A ⊆B,则A∩B =A.2. 并集的性质:A ∪A=A;A ∪Φ=A ;A ∪B=B ∪A;A ⊆A ∪B;B ⊆A ∪B;如果A ⊆B,则A ∪B=B.3. 补集的性质:A C A =Φ;ΦA C =A;A ∪A C U =U;A∩A C U =Φ;A A C C U U =)(;)(B A C U ⋂=A C U ∪B C U ;)(B A C U ⋃=A C U ∩B C U .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列说法正确的是( )A.任何一个集合A 必有两个子集B.任何一个集合A 必有一个真子集C.A 为任一集合,它与B 的交集是空集,则A,B 中至少有一个是空集D.若集合A 与B 的交集是全集,则A,B 都是全集2. 设集合A={x| x 2-6x+5＜0},B={x||x-4|≤2},则A∩B=( )A.{x|1＜x≤6}B.{x|2≤x ＜5}C.{x|2＜x≤5}D.{x|2≤x≤6}3. 设集合A={x| x(x-1)=0,x ∈R},B={x| x 2+x-2=0,x ∈R},则A∩B 是( )A.{0,1,2}B.{0}C.{1}D.{2}4. 设集合A={(x,y)| 4x+y=6},B={(x,y)| 3x+2y=7},则集合A∩B 是( )A.{(1,2)}B.{1,2}C.{(2,1)}D.{(-1,-2)}5. 集合A={}110|-≤≤-∈x Z x x 且,B={}5|||≤∈x Z x x 且,则A ∪B 中的元素个数( )A.11B.11C.16D.156. 设全集U=R,集合M={x| -3≤x ＜2},P={x| x≥0},则)(P M C U =( )A.{x| 0≤x ＜2}B.{x| x≥2}C.{x| x ＜0或x≥2}D.{x| x≤0或x ＞2}7. 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8},A={3，4，5},B={1，3，6},那么集合{2，7，8}是( )A.A ∪BB.A∩BC.B A ⋃D.B A ⋂8. 已知集合A={a 2，a+1，-3},B={a-3，2a-1，a 2+1},若A∩B={-3},则实数a 的值是( )A.-1B.0C.1D.29. 设全集为U,对任意子集合A,B,若A B,则下列集合为空集的是( )A.A∩(B C U )B.(A C U )∩(B C U )C.(A C U )∩BD.A∩B（二）填空题：10. 设集合A={x|x+8＞0},B={x|x-3＜0},C={x|x 2+5x-24＜0},(x ∈R),则集合A 、B 、C 的关系是 .11.设A={x||x-a|≤2},B={x|x2-6x+8≥0},且A∩B=Φ,则a的取值范围是 .12.已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x＞a},若A∩B≠Φ,A∪B≠B,则a的取值范围是 .13.若集合A和集合B满足A∪B=A∩B,则A与B的关系是 .14.设M={x|x2-2x+p=0},N={x|x2+qx+r=0},且M∩N={-3},M∪N={2，-3，5},则实数p= ,q= ,r= .15.已知集合A={1，2，3，x},B={x2，3},且A∪B=A,试求x的值.910 1.3简易逻辑一、高考要求：理解推出、充分条件、必要条件和充要条件.二、知识要点：1. 推出:①如果p,则q(真命题);②p ⇒q;③p 是q 的充分条件;④q 是p 的必要条件.这四句话表述的是同一逻辑关系.2. 充要条件:①p ⇔q;②p 是q 的充要条件;③q 当且仅当p;④p 与q 等价. 这四句话表述的是同一逻辑关系.三、典型例题：例:甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,则丁是甲的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件四、归纳小结：1. 命题联结词中,“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反;“p 且q”形式复合命题当p 与q 同时为真时为真,其它情况时为假;“p 或q”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假,其它情况时为真.2. 符号“⇒”叫作推断符号,符号“⇔”叫作等价符号.五、基础知识训练：1. 在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b≠0)和2211ba >互为充要条件D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. 设A={x|x 具有性质p},B={x|x 具有性质q},则下列每组命题不等价的是( )A.A∩B 和“p 且q”B.A ∪B 和“p 或q”C.A ⊆B 和“p ⇔q”D.A=B 和“p ⇔q”3. 如果命题p 、q 都是真命题,在下列命题中:①p ∨q ②p ∧q ③q p ∨ ④q p ∧ ⑤q p ∨ ⑥q p ∧真命题的个数是（）A.1B.2C.4D.64. “a ＜b ＜0”是“ba 11>”成立的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5. “A∩B=A”是“A=B”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用.二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b=0⇔a=b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c;(3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞bc;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜bc; (4)移项法则:如果a+b ＞c,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d;(6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞bd. 3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1);a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1);a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4. 重要不等式: (1) 整式形式: a 2+b 2≥2ab （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3abc （a 、b 、c ∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; aa 1+≤-2（a ∈R -）.三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222ba +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c≥ca bc ab ++; (3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q≤2;(4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0;(5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(b a ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B;(3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧.五、基础知识训练：（一）选择题： 6. 在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件7. 已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( ) A.a+c ＞b-c B.ac ＞bc C.ac 2＞bc 2 D.a c 2⋅＞b c 2⋅ 8.如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1B.a 1＜b1C.a 2＞b 2D.a 2＜b 2 9. “a ＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件10. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( )A.ab ＞0且a≠bB.ab≠0且a≠bC.a ＞0,b ＞0且a≠bD.a≠1且b≠111. 已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( )A.4B.3C.2D.112. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个13. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.b≥c ＞aB.b ＞c ＞aC.b ＜c ＜aD.b ＜c≤a14. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＞g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x)＜g(x) D.随x 值变化而变化 15. 若a≠2或b≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( ) A.M ＞-5 B.M ＜-5 C.M=-5 D.不能确定 16. 已知0＜a ＜1,则aa 1、a a -、a a 的大小关系是( )A.aa 1＞aa ＞aa - B.aa -＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞a a - D.aa -＞aa 1＞a a 17. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( )A.a 2＞b 2B.b a >C. b a 11>D.ab a 11>-18. 设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab b a +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 19. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.xy 2 D.x 2+y 220. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222ba +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 21. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.34 22. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( ) A.6 B.8 C.24 D.2223. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 24. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( )A.21B.aC.2abD.a 2+b 225. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( ) A.②③ B.①②③ C.③④⑤ D.③26. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（二）填空题： 27. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 28. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bda c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题. 29. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 . 30. 已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 .31. 已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 .2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集.二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞);当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集.三、典型例题：例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜-2 B.m≤-4 C.m ＞-5 D.-5＜m≤-42. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜41-B.m ＞41-C.m≥41-D.m ＞41-且m≠0（三）解答题： 解不等式(组): (1)52(x-2)≤x -5210(2)250360x x x -<⎧⎪+>⎨⎪-<⎩2.2分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax . 二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题：例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法.注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( )A.2131<<xB. 21>xC. 31-<xD. 3121-<>x x 或2. 下列不等式中与x x --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x -4)(3-x)＞03. 不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x ＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x ＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2}4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( )A.{x|x ＜3}B.{x|1＜x ＜3}C.{x|x ＜3或x≠1}D.{x|x ＜3且x≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x ＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x=-3}D.{x|1≤x≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c)∪[b,a)B.(c,b]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题：7. 不等式1312>+-x x 的解集是 .8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9. 若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x≥2},则a= .（三）解答题： 10. 解下列不等式:(1) 12+<x x (2) 110<-<x x2.3含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集.二、知识要点：1. |x-a|(a≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a≤x≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集.三、典型例题：例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x -1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37)B.(37,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(37,+∞)3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x≤21或x≥65}D. {x|21≤x≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( ) A.{x|x ≤7或x ＞1} B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x≤7或x≥3}5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A∩B 等于( ) A.{x|x ＜0或x ＞2} B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} （二）填空题：6. 若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 7. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= .8. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是 .（三）解答题：9. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B≠Φ. 10. 解下列不等式:(1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥12.4一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对比表如下：判别式△=b 2-4ac △＞0 △=0 △＜0 一元二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根没有实根三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；2x+3＞0；(3)x2-3(4)x2+6(x+3)＞3；(5)3x2+5≤3x.例2:m是什么实数时,方程(m-1)x2-mx+m=0 有两个不相等的实数根?例3:已知ax2+2x+c＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值, 并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a≠0)的4. 解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac≥0D.a ＜0且b 2-4ac≤05. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜06. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m≠±2D.m ∈R7. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：8. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .9. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .（三）解答题：10. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x ∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a ∈R},A∩B=Φ,求a 的取值范围.11. 不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a 的取值范围.12. 若函数y=x 2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k 的取值范围.13. 若关于x 的方程x 2+(a 2-9)x+a 2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a 的取值范围.2.5不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)(2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32 ,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ) A.x=2b a + B.x≤2b a + C.x ＞2b a + D.x≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?3.1映射与函数一、高考要求：理解映射与函数的概念;会求函数的解析式.二、知识要点：1. 映射的概念:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x ,在B 中总有一个且只有一个元素y 与x 对应,则称f 是集合A 到B 的映射;称y 是x 在映射f 作用下的象,记作)(x f .于是)(x f y =;x 称做y 的原象.映射f 可记为:f :A→B,x |→)(x f .其中,A 叫做映射f 的定义域,由所有象)(x f 所构成的集合叫做f 的值域.2. 如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f ,叫做A 到B 的函数.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ⊆B),叫做函数的值域.(1) 函数的两要素:定义域、对应法则.一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定.两个函数是相同的函数的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同.(2) 函数的表示方法:常用的有列表法、图象法和解析法.三、典型例题：例1:已知映射f :A→B,其中集合A ＝{-3，-2，-1，1，2，3，4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的a ∈A,在B 中和它对应的元素是|a|,则集合B 中元素的个数是( )A.4B.5C.6D.7例2:已知集合A={1，2，3，a},B={4，7，b 4，b 2+3b},其中a ∈N *，b ∈N *.若x ∈A ，y ∈B,映射f :A→B 使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,求a 和b 的值.例3:(1)已知x x f -=11)(,求)1(+x f ,)1(xf . (2)已知x x x f 2)12(2-=+,求)(x f .四、归纳小结：1. 映射是一种特殊的对应.(1) 映射f :A→B 是由集合A 、B 以及从A 到B 的对应法则所确定.(2) 映射f :A→B 中的两个集合A 、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.再者,集合A 、B 可以是同一个集合.(3) 集合A 到集合B 的映射f :A→B 与集合B 到集合A 的映射f :B→A,一般来说是不同的.换言之,映射涉及的两个集合有先后次序.(4) 在映射f :A→B 之下,集合A 中的任一元素在集合B 中都有象,且象是唯一的(简括之:“都有象;象唯一”).(5)给定映射f:A→B,集合B中的元素在集合A中可能有一个原象,可能有两个或多个原象,也可能没有原象.(6)如果对于A中的不同元素在集合B中有不同的象,且B中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B的一一映射.一一映射是一种特殊的映射,若设映射f:A→B的象集为C,则C⊆B.C=B是映射f:A→B构成一一映射的必要条件.2.函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射.3.求函数解析式的常用方法:(1)当已知表达式较简单时,可直接用凑合法求解;(2)若已知函数的结构,则可用待定系数法求解;(3)若已知表达式)](x(f,则常用换元法求解)f;[xg(4)消去法:已知表达式)]f时,可不必先求)(x(af.([xgf,求)五、基础知识训练：（一）选择题：16.在映射f:A→B中,下列判断正确的是( )A.A中的任一元素在B中都有象,但不一定唯一B.B中的某些元素在A中可能有多个原象,也可能没有原象C.集合A和B一定是数集D.记号f:A→B与f: B→A的含义是一样的17.已知四个从集合A到集合B的对应(如图),那么集合A到集合B的映射是( )A.④B.①和④C.②和④D.③和④18.如果x在映射f:R→R下的象是x2-1,那么3在f下的原象是( )A.2B.-2C.2和-2D.819. 集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P 到Q 的函数是( )A.f :x→y=21xB.f :x→y=31xC.f :x→y=32x D. f :x→y=x 20. 下列每一组中的函数)(x f 和)(x g ,表示同一个函数的是( )A.x x f =)(;2)()(x x g =B.x x f =)(;33)()(x x g =C.1)(=x f ;xx x g =)( D.1)(=x f ;0)(x x g = 21. (2003高职-11)已知函数22)1(2++=+x x x f ,则)(x f 的解析表达式为( )A.2)1(-xB.12-xC.12+xD.2)1(+x22. 已知函数13)1(-=-x x f ,则)(x f =( )A.3x-1B.3xC.3x+1D.3x+223. 函数)23(32)(-≠+=x x cx x f ,满足x x f f =))((,则c 等于( ) A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3（二）填空题：24. 集合A 、B 是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A 到B 的映射f :{(x,y)}→{(x 2+y 2,xy)},则象(5,2)的原象是 .25. 从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有 个.26. 设函数)(x f =[x], (x ∈R),其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则)8.4(-f = .（三）解答题：27. 已知正方形ABCD 的边长为10,一动点P 从点A 出发沿正方形的边运动,路线是A→B→C→D→A,设点P 经过的路程为x,设AP 2=y,试写出y 关于x 的函数.3.2函数的定义域、值域一、高考要求：掌握函数的定义域、值域的求解.二、知识要点：函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f :A→B 称为A 到B 的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A 叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C ⊆B)称为函数的值域.三、典型例题：例1;求下列函数的定义域:(1)y=-2x 2+3x-1; (2)422--=x x y ; (3)22x x y -=; (4)3213113-+---=x x x x y例2:求下列函数的值域; (1)1+=x y ; (2) y=-2x 2+4x-1; (3)53-+==x x y ; (4)13212+-=x x y .四、归纳小结：(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:1. 一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:(1) )(x f 是整式或奇次根式时,定义域为实数集;(2) )(x f 是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;(3) )(x f 是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;(4) )(x f 是对数函数的,要考虑对数的意义.2. 如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.3. 由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:(1) 配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围; (2) 判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”; (3) 图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.(4) 反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 函数)12lg(22--=x x x y 的定义域是( )A.]2,1()1,21(⋃B.]2,21(C.()(]2,11,0⋃D.(]2,02. 函数x x y -+=的定义域为( )A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.(-∞,+∞)D.{0} 3. 函数xy 111+=的定义域为( ) A.x ＞0 B.x ＞0或x≤-1 C. x ＞0或x ＜-1 D.0＜x ＜1 4. 函数265)(2-+-=x x x x f 的定义域为( )A.{x|2＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜2}C.{x|x≤2或x≥3}D. {x|x ＜2或x≥3}5. 函数)(x f 的定义域为[-2,1],则函数)1(xx f -的定义域为( )A.(32-,0)B.[31,+∞)C.[31-,+∞) D.(0,+∞)6. (当[]4,1∈x 时,函数7822+-=x x y 的值域是( ) A.[1,7] B.[-1,1] C.[-1,7] D.[)+∞-,1。
中职数学第1章《集合》单元复习知识点归纳及历年真题
中职数学第1章《集合》单元复习知识点归纳
及历年真题
中职数学第一章《集合》单元复习知识点归纳及历年真题：
一、集合简介
1、集合是由一组有限或无限个元素组成的整体，元素称为成员。
2、集合用大括号{ }表示，不包括在大括号内的元素称为空集。
3、子集：如果集合A中所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
二、并集、交集及补集
1、并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，它是由两个集合的所有元素组成的新集合。
2、交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，它是由两个集合所共有的元素组成的集合。
3、补集：集合A相对于某一直角坐标系中的U（U是指所有元素的总集合），它包括在U中，但不在A中的元素，叫做集合A的补集，表示为A’。
三、直积、对称差
1、直积：集合A和集合B的直积，表示为A×B，它是由两个集合所有元素的所有组合组成的新集合。
2、对称差：集合A和集合B的对称差，表示为AΔB，它是由属于A 而不属于B及属于B而不属于A的元素组成的集合。
四、历年真题
（1）已知集合A={a,b,c},B={b,c,d,e}，求：
A∩B={b,c}；A∪B= {a,b,c,d,e}；A’ = {d,e}.
（2）已知集合A={x|x<2},B={x|x>0,x是整数}，求：
A∩B={x|0<x<2}；A∪B= {x|x>0,x是整数}；A’ = {x|x≤0或x≥2，x是整数}。
高三职高数学复习资料
第一章集合及函数概念〔1〕集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.〔2〕常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q 表示有理数集，R表示实数集.〔3〕集合及元素间的关系对象a及集合M的关系是a M∉，两者必居其一.∈，或者a M〔4〕集合的表示法①自然语言法：用文字表达的形式来描绘集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描绘法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.〔5〕集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).〔6〕子集、真子集、集合相等真子集≠⊂〔或≠⊃〕BA⊆，且B中至少有一元素不属于A〔1〕A≠∅⊂〔A为非空子集〕(2)假设A B≠⊂且B C≠⊂，那么A C≠⊂B A集合相等A B=A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)⊆(2)⊆A(B)（7）集合A有(1)n n≥个元素，那么它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集（8）它有22n-非空真子集.名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈〔1〕A A A=〔2〕A∅=∅〔3〕A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈〔1〕A A A=〔2〕A A∅=〔3〕A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅ 2()UA A U=第二章不等式〔1〕含肯定值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解〔2〕一元二次不等式的解法()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=〔其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R20(0) ax bx c a++<>的解集12{|}x x x x<<∅∅3.常用的根本不等式第三章函数〔1〕函数的单调性①定义及断定方法函数的性质定义图象断定方法函数的单调性假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< x．．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o〔1〕利用定义〔2〕利用函数的单调性〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象上升为增〕〔4〕利用复合函数假如对于属于定义域I 内某个区间上的随意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211〔1〕利用定义〔2〕利用函数的单调性〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象下降为减〕 〔4〕利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．〔2〕函数的奇偶性①定义及断定方法函数的 性 质定义图象断定方法 函数的 奇偶性假如对于函数f(x)定义域内随意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．．〔1〕利用定义〔要先推断定义域是否关于原点对称〕〔2〕利用图象〔图象关于原点对称〕假如对于函数f(x)定义域内随意一个x ，都有f(．．－．x)．．(x)．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．〔1〕利用定义〔要先推断定义域是否关于原点对称〕〔2〕利用图象〔图象关于y 轴对称〕 指数及对数运算 一．分数指数幂及根式： 假如nxa =，那么称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，假设0a ≠，那么当n 为奇数时，a 的n 次方根有1个，na 当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n 次方根na n 次方根记做n a -1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：n a =||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数3、正数的正分数指数幂的意义：m na =正数的负分数指数幂的意义：mna-=．4、分数指数幂的运算性质： ⑴ mn m n aa a +⋅=； ⑵ m n m n a a a -÷=；⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m a b a b ⋅=⋅；⑸ 01a=，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数二．对数及其运算 1．定义：假设ba N =(0a >，且1a ≠，0)N >，那么log ab N =．2．两个对数：⑴ 常用对数：10a =，10log lg b N N ==； ⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N ==． 3．三条性质：⑴ 1的对数是0，即log 10a =； ⑵ 底数的对数是1，即log 1a a =； ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法那么：⑴ log ()log log a a a MN M N =+； ⑵log log log aa a MM N N =-；⑶ log log na a M n M =； ⑷1log log a a M n =．5．其他运算性质： ⑴ 对数恒等式：log a ba b =； ⑵ 换底公式：log log log c a c ab b =；⑶ log log log a b a b c c ⋅=；log log 1a b b a ⋅=； ⑷log log m n a a nb b m =．〔3〕二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠〔2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或及对称轴有关或及最大〔小〕值有关时，常运用顶点式．③假设抛物线及x 轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求()f x 更便利． 〔4〕二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba-∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象及x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-第四章平面对量1.向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量〔共线向量〕：方向一样或相反的非零向量．零向量及任一向量平行．相等向量：长度相等且方向一样的向量．2.向量加法运算：⑴三角形法那么的特点：首尾相连．⑵平行四边形法那么的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，那么()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，那么()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么()1212,x x y y AB =--． 3.向量数乘运算：⑴实数λ及向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向及a 的方向一样；当0λ<时，a λ的方向及a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，那么()(),,a x y x y λλλλ==．baCBAa b C C -=A -AB =B第五章 数列一、等差数列的性质：1.定义式:=-=-2312a a a a … d a a n n =-=-1(常数)。
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集合
第1讲 集合的含义与基本关系
1．(2011年江西)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N
C ．(∁U M )∪(∁U N )
D ．(∁U M )∩(∁U N )
2．(2011年湖南)设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4}
3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
12，则A ∪B 为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，b
B.⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 D.⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，12，1 4．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图K1－1－1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
图K1－1－1
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
5．(2011年广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．(2011年湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪⎪
y ＝1
x ，x >2，则∁U P ＝( ) A.⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞ B.⎝⎛⎭
⎫0，12 C.()0，＋∞
D.()－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞
7．(2011年上海)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________________. 8．(2011年北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是
____________．
9．(2011年安徽合肥一模)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R|x 2
－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，求A ∩B ＝B 的概率．
10．(2011届江西赣州联考)已知函数y ＝ln(2－x )[x －(3m ＋1)]的定义域为集合A ，集合B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |
x －(m 2＋1)x －m ＜0. (1)当m ＝3时，求A ∩B ；
(2)求使B ⊆A 的实数m 的取值范围．
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．(2011年湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．(2010年陕西)“a ＞0”是“|a |＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(ax ＋b )·(xb －a )为一次函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．(2010年广东)“m <1
4
”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )
A ．充分非必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分必要条件 5．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；
②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．(2011年山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )
A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3
B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3
C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3
D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3
7．(2010年上海)“x ＝2k π＋π
4
(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分条件
D ．既不充分也不必要条件 8．给定下列命题：
①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是________．
9．已知p：|x－4|≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．。